電磁波の放射(6)(点電荷による電磁波３:散乱)

「電磁波の放射(点電荷による電磁波)」の続きです。

　γ崩壊に利するために電磁場の多重極展開を復習するという初期の目的からは既にかなり逸脱しました。そのついでに点電荷による電磁波(光)の古典的散乱も記述しておきます。

点電荷が電磁波を放射しながら加速度運動をしているとき,系の外部から別の電磁波が入射して点電荷を加速し電磁波の放射を促す場合を想定してみます。

これは点電荷による電磁波の散乱(scattering),あるいは電磁波と点電荷の衝突(collision)とみなすことができます。

　外力Ｆの作用の下にある点電荷に平面波Ｅ_in,Ｂ_inが入射するときの点電荷の運動方程式は,ｍ(ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²)＝Ｆ(ｚ(ｔ))＋ｅ[Ｅ_in(ｚ(ｔ),ｔ)＋ｖ(ｔ)×Ｂ_in(ｚ(ｔ),ｔ)]で与えられます。

　ただし,ｖ(ｔ)≡ｄｚ(ｔ)/ｄｔ＝ｚ^d(ｔ)です。

　Ｅ_in,Ｂ_inは自由電磁波なので,|Ｂ_in|＝|Ｅ_in|/ｃです。そこで,点電荷の速さｖがｃに比べて小さい場合を想定しているので,電気力ｅＥ_inに比べて磁場による力ｅｖ×Ｂ_inを無視します。

　また,入射電磁波による強制振動で生じる点電荷の位置の変化は入射波の波長に比べごく小さいと仮定して,Ｅ_in(ｚ(ｔ),ｔ)の引数のｚ(ｔ)を電荷の平均的位置ｚ₀で置き換える近似をするとＥ_in(ｚ(ｔ),ｔ)～ Ｅ_in(ｚ₀,ｔ)＝εＥ₀exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}です。

　ただしεは"電磁波の偏り＝偏光"を示す単位べくトルです。

　これらの近似の結果,点電荷の運動方程式はｍ(ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²)＝Ｆ(ｚ(ｔ))＋ｅεＥ₀exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}と簡単になります。

一方,既に示したように点電荷による放射率Ｐの正確な式は,Ｐ＝ｄＷ/ｄｔ＝{ｅ²/(16π²ε₀ｃ)}∫ｄΩ(ｎ(ｔ)×[{ｎ(ｔ)－β(ｔ)}×β^d(ｔ)])²/{1－ｎ(ｔ)β(ｔ)}⁵ (β(ｔ)≡ｖ(ｔ)/ｃ)です。

この式から,β＜＜1のときのラーモア(Larmor)の公式を得た際に,途中計算で得た平均放射率Ｐの非相対論的近似式はＰ＝ｄ＜Ｗ＞/ｄｔ＝{ｅ²/(32π²ε₀ｃ)}∫ｄΩ|ｎ(ｔ)×{ｎ(ｔ)×β^d(ｔ)}|²でした。

そこで,今のｖ＜＜ｃという仮定の下で,単位時間に単位立体角の中に放射される平均エネルギーはｄＰ/ｄΩ＝{ｅ²/(32π²ε₀ｃ³)}|ｎ(ｔ)×{ｎ(ｔ)×ｖ^d(ｔ)}|²で与えられます。

ｖ^d(ｔ)＝ｄｖ(ｔ)/ｄｔ＝ｚ^2d(ｔ)(加速度)です。

一方,単位面積当たりに入射する入射波の平均強度(＝単位時間に単位面積を通過する入射エネルギー)は,明らかに＜Ｓ_in＞＝Ｅ₀²/(2μ₀ｃ)＝ε₀ｃＥ₀²/2です。

そして,散乱における微分断面積(differetial cross section)ｄσ/ｄΩは,"(単位時間,単位立体角当たりを通過する散乱波のエネルギー)＝(散乱強度(insistency of scattering))"ｄＰ/ｄΩの入射波の平均強度＜Ｓ_in＞に対する比で定義されます。

すなわち,ｄσ/ｄΩ≡(ｄＰ/ｄΩ)/＜Ｓ_in＞です。

この定義式にｄＰ/ｄΩ＝{ｅ²/(32π²ε₀ｃ³)}|ｎ(ｔ)×{ｎ(ｔ)×ｖ^d(ｔ)}|²,および＜Ｓ_in＞＝Ｅ₀²/(2μ₀ｃ)＝ε₀ｃＥ₀²/2を代入すると,散乱の微分断面積の式ｄσ/ｄΩ＝[ｅ²/{(4πε₀ｃ²)²Ｅ₀²}]|ｎ(ｔ)×{ｎ(ｔ)×ｖ^d(ｔ)}|²が得られます。

　さて,上記の最終の表現式に基づいて幾つかのケースの散乱について断面積を計算してみます。

(1)トムソン(Thomson)散乱:

　これは自由電子による電磁波の散乱です。Thomsonの頭文字Ｔを取ってトムソン散乱の微分断面積をｄσ_T/ｄΩと書くことにします。

この散乱は,電子に対する運動方程式:ｍ(ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²)＝Ｆ(ｚ(ｔ))＋ｅεＥ₀exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}で外力Ｆ(ｚ(ｔ))がゼロでｍ(ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²)＝ｅεＥ₀exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}と書ける場合です。

ただし,この場合ｍは電子の質量,ｅは電子の電荷でｅ＜0です。　

これから直ちに,加速度としてｖ^d(ｔ)＝ｚ^2d(ｔ)＝ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²＝ε(ｅＥ₀/ｍ)exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}を得ます。

代入すると,|ｎ(ｔ)×{ｎ(ｔ)×ｖ^d(ｔ)|²＝(ｅ²Ｅ₀²/ｍ²)|ｎ(ｔ)×{ｎ(ｔ)×ε}|²です。ｎ(ｔ)は点電荷の位置ｚ(ｔ)から観測点の位置Ω＝(θ,φ)までの方向単位ベクトルです。

このｎ(ｔ)と電磁波の電場の偏り(偏光)εのなす角をΘとすれば,|ｎ(ｔ)×{ｎ(ｔ)×ε}|²＝sin²Θなので,ｄσ_T/ｄΩ＝{ｅ²/(4πε₀ｍｃ²)}²sin²Θとなります。

そして,入射電磁波の運動方向ｚを極軸に取れば,成分表示でｎ(ｔ)＝(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)です。また,進行方向ｚに垂直なｘｙ面内で偏りεの偏角をψとすると,ε＝(cosψ,sinψ,0)です。

故に,cosΘ＝ｎε＝sinθcos(φ－ψ)と書けます。

そこで,sin²Θ＝1－sin²θcos²(φ－ψ)ですから,ｄσ_T/ｄΩ＝{ｅ²/(4πε₀ｍｃ²)}²{1－sin²θcos²(φ－ψ)}を得ます。

入射平面波が偏光性の光ではなく偏ってない普通の場合なら,この因子{1－sin²θcos²(φ－ψ)}をψについて平均したもの:＜1－sin²θcos²(φ－ψ)＞＝(2π)^-1∫₀^2π{1－sin²θcos²(φ－ψ)}ｄψ＝(1＋cos²θ)/2 で置き換える必要があります。

　以上から,トムソン散乱の微分断面積としてｄσ_T/ｄΩ＝[ｅ²/{2(4πε₀ｍｃ²)}]²(1＋cos²θ)を得ます。そして,すぐ前の表現ｄσ_T/ｄΩ＝{ｅ²/(4πε₀ｍｃ²)}²sin²Θの形からこの電磁波の放射も電気双極子によるものであるとわかります。

微分断面積(ｄσ/ｄΩ)を全立体角にわたって積分したσ_tot≡∫(ｄσ/ｄΩ)ｄΩを散乱の全断面積,または総断面積(total cross section)といいます。

トムソン散乱の微分断面積(ｄσ_T/ｄΩ)についてこの立体角積分を実行すると,散乱の全断面積としてσ_T＝(8π/3){ｅ²/(4πε₀ｍｃ²)}²が得られます。

古典論のモデルでは,ｅ²/(4πε₀ａ₀)～ ｍｃ²なる等置から電子を半径ａ₀ ～ ｅ²/(4πε₀ｍｃ²)～ 2.8×10^-13cmの剛体球と考えて,全断面積はσ_T ～ 6.7×10^-15cm²と評価されます。

　さらに,このσ_Tは微細構造定数(fine-structure constant):α＝ｅ²/(4πε₀ｈ_cｃ) ～ 1/137を用いてσ_T＝(8α²/3)π{ｈ_c/(ｍｃ)}²と表現すれば,トムソンの公式に量子論的解釈を与えることもできます。

　αを使えばトムソンの微分断面積もｄσ_T/ｄΩ＝{α²ｈ_c²/(2ｍ²ｃ²)}(1＋cos²θ)と表わせます。

　量子論では,電子波の拡がり(半径)は大体コンプトン(Compton)波長:ｈ_c/(ｍｃ)(ｈ_c≡ｈ/(2π))です。そこで電子雲の面積は大体π{ｈ_c/(ｍｃ)}²です。

　トムソン散乱では,標的の電子雲が半透明なため,そのうちの(8α²/3)～(8/3)(1/137)²だけが電磁波の散乱に寄与すると解釈されます。

　上記では,入射電磁波の波長が大きく(エネルギーが小さく)電子は強制振動を受けても束縛電子のように入射波の波長に比べ電荷の位置はほとんど変動しないという仮定の下での散乱を考察しました。

しかし,もしも入射波の波長が小さくてＸ線やγ線くらいになると,こうしたトムソン散乱の仮定は成立しなくなり,いわゆるコンプトン散乱(Compton scattering＝自由衝突)になります。

　コンプトン散乱の微分断面積は"クライン・仁科(Klein-Nishna)の公式"ｄσ/ｄΩ＝{α²ｈ_c²/(4ｍ²ｃ²)}(ｋ'/ｋ)²{ｋ'/ｋ＋ｋ/ｋ'＋4(εε')²－2}に従います。

　そして,これを入射光子の偏りについて平均し散乱光子の偏りについて和を取ると,ｄσ/ｄΩ＝{α²ｈ_c²/(2ｍ²ｃ²)}(ｋ'/ｋ)²{ｋ'/ｋ＋ｋ/ｋ'－2sin²θ}となります。

ただし,(ｋ,ε),および(ｋ',ε')は,それぞれ入射光子,および散乱光子の波数と偏りの組です。

光子衝突前の電子の始運動量をｐ_i^μ,衝突後の終運動量をｐ_f^μとすると,衝突前後での４元運動量の保存式:ｐ_i^μ＋ｈ_cｋ^μ＝ｐ_f^μ＋ｈ_cｋ'^μが満たされます。

そこで,ｋ＝|ｋ|＝2π/λ,ｋ'＝|ｋ'|＝2π/λ'はいわゆるコンプトン条件:ｋ'＝ｋ/{1＋(ｋ/ｍ)(1－cosθ)}＝ｋ/{1＋(2ｋ/ｍ)sin²(θ/2)}(自然単位)を満たします。

低エネルギーの極限:ｋ→ 0 ではｋ'/ｋ～ 1 (弾性散乱)ですから,ｄσ/ｄΩ～ {α²ｈ_c²/(2ｍ²ｃ²)}(2－sin²θ)となってトムソン散乱の微分断面積の公式:ｄσ_T/ｄΩ＝{α²ｈ_c²/(2ｍ²ｃ²)}(1＋cosin²θ)に一致します。この極限をトムソン極限(Thomson limit)といいます。

(2)レーリ－(Rayleigh)散乱:

電子が振動数ｆ₀＝ω₀/(2π)の弾性力(elastic force)により束縛されている場合:つまり近似的運動方程式:ｍ(ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²)＝Ｆ(ｚ(ｔ))＋ｅεＥ₀exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}で外力がＦ(ｚ(ｔ))＝－ｍω₀²ｚ(ｔ)の場合を考えます。

この散乱の断面積はσ_Rと書くことにします。

このときの電子の運動方程式は,ｍ(ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²)＋ｍω₀²ｚ(ｔ)Ｆ(ｚ(ｔ))＝ｅεＥ₀exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}です。

右辺の入射電磁波により誘起される電子の強制振動を求めたいので,ｚ(ｔ)＝Ｃexp(－iωｔ)(ωが一定の単色波)の形の特解を仮定して考察すれば十分です。

これを上記の運動方程式のｚに代入するとｍ(ω₀²－ω²)Ｃ＝ｅεＥ₀exp(iｋｚ₀)を得ます。したがって,解はｚ(ｔ)＝ε[ｅＥ₀/{ｍ(ω₀²－ω²)}]exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}です。

そこで,電子の加速度としてｖ^d(ｔ)＝ｚ^2d(ｔ)＝ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²＝ε[－ｅω²Ｅ₀/{ｍ(ω₀²－ω²)}]exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}を得ます。

このｖ^d(ｔ)＝ε[－ｅω²Ｅ₀/{ｍ(ω₀²－ω²)}]exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}を先のトムソン散乱でのｖ^d(ｔ)＝ｚ^2d(ｔ)＝ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²＝ε(ｅＥ₀/ｍ)exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}と比較します。

今の場合,微分断面積は因子|ｖ^d(ｔ)|²が単純にトムソン散乱の同じ因子のω⁴/(ω₀²－ω²)²倍である以外トムソン散乱の微分断面積と全く同じです。

　したがって,ｄσ_R/ｄΩ＝(ｄσ_T/ｄΩ){ω⁴/(ω₀²－ω²)²},σ_R＝σ_T{ω⁴/(ω₀²－ω²)²}です。また,電磁波の放射もトムソン散乱と同じく電気双極子によるものと考えることができます。

特に入射波の角振動数ωが小さくて,ω₀＞＞ωのときにはσ_R ～ σ_T(ω⁴/ω₀⁴)＝σ_T(λ₀⁴/λ⁴)となって散乱断面積は入射波の波長λの４乗に反比例します。

この全断面積σ_R はω₀²≡{ｅ²/(4πｍε₀)}ａ^-3とすれば,以前の2009年10/20の雲(水滴)による光のミイ(Mie)散乱の考察の記事「光(電磁波)の散乱(2)」で得たレイリー散乱の全断面積に一致します。

つまり,部分波展開σ＝(4π/ｋ²)Σ(2ｌ＋1)sin²δ_lでのｌ＝1の主要なＰ波項σ＝(8π/3)ｋ⁴ａ⁶ ∝ｋ⁴ａ⁶ ∝ａ⁶/λ⁴に一致します。ただしｋ＝ω/ｃです。

レイリー散乱は角運動量ｌ＝１の電気双極子放射項ですから,今の問題のω₀＞＞ωの場合の束縛力による電気双極子放射が"散乱球の半径ａが波長に比べて小さい(ａ＜＜λ)場合の散乱＝レイリー散乱"の模型になっていると考えられます。そこで,これもレイリー散乱と呼びます。

2009年11/７の記事「光(電磁波)の散乱(4)」によれば,電子ではなく空気分子のような誘電体球による散乱の全断面積は,電子によるそれ:σ＝σ_T(ω⁴/ω₀⁴)＝(8π/3)ｋ⁴ａ⁶に屈折因子の入ったσ＝σ_T |(ε_r－1)/(ε_r＋2)|²(ω⁴/ω₀⁴)＝(8π/3)ｋ⁴ａ⁶|(ε_r－1)/(ε_r＋2)|²です。

ただし,ε_rは比誘電率でε_r≡ε^/ε₀＝ｎ^²です。(ｎ^は屈折率)

　ところで,一般に散乱断面積には次のような意味があります。

　例えば気体なら,単位体積中にＮ個の気体分子がある場合,分子１個の散乱の全断面積がσなら,重ね合あわせにより厚さΔｚの気体中を進むときに失われるエネルギー流の割合がＮσΔｚに等しい:ΔＩ/Ｉ＝－ＮσΔｚという意味を持ちます。

そこで,γ≡Ｎσと置けばγ＞0 であって,Ｉ＝Ｉ₀exp(－γｚ)と書けます。この定数γを吸収係数(absorption coefficient),または減衰係数(attenuation coefficient)と呼びます。

散乱というのは全方向的にはエネルギーが失われるわけではないですが,ある一方向に進むビームのほとんどが散乱体によって方向を変えられるため,方向性を持つビームとしては実質的に減衰します。

そして,空気分子によるレイリー散乱では,ε_r≡ｎ^²における屈折率がｎ^～1なので,(ε_r－1)/(ε_r＋2)＝(ｎ^²－1)/(ｎ^²＋2) ～ 2(ｎ^－1)/3と近似していいです。

また,(4πａ³/3)Ｎ＝1より,ａ⁶＝9/(16π²Ｎ²)ですから,σ_R＝(8π/3)ｋ⁴ａ⁶|(ε_r－1)/(ε_r＋2)|²が成立します。これから,減衰係数γについてγ＝Ｎσ_R ～{2ｋ⁴/(3πＮ)}|ｎ^－1|²なる評価式が得られます。

なお,繰り返しになりますが念のためｋ＝ω/ｃ＝2π/λです。

空の色の話は既にレイリーをはじめ多くの人により文献や資料で示されていることで,いまさらという感じですが一応述べておきます。

散乱の減衰係数γが振動数の４乗:ω⁴に比例,または波長の４乗:λ⁴に反比例することから,明らかに可視光域では相対的に赤色光は散乱されず紫色光が最もよく散乱されます。

そこで,入射光線の方向から離れたところで受ける光は太陽光線のエネルギー分布の中で青色の高振動数成分が最大の割合になります。

一方,透過光線の方はエネルギー分布の中で赤色光の割合が増えるので赤く見えますが,全体としての強度は距離と共に減衰します。

さらに定量評価を試みます。

可視光線(λ＝4100～6500Å)での空気の屈折率ｎ^はｎ^－1＝2.78×10^-4で与えられます。そして標準状態の空気分子の個数密度はＮ＝2.69×10¹⁹cm^-3ですから,減衰距離Λ≡γ^-1(光強度Ｉが1/ｅになる距離)の典型的な値は,紫色光(λ＝4100Å)でΛ＝30ｋｍ,緑色光(λ＝5200Å)で77ｋｍ,赤色光(λ＝6500Å)で188ｋｍです。

そして,重力との静力学平衡で密度が高度と共に指数関数的に変化する等温大気の模型を用いて大気の頂上と地表との相対的強度比を太陽が天頂にあるとき(南中時)と日の出,日の入りの場合に評価しました。

すると,太陽が天頂にあるときの強度比は赤色光,緑色光,紫色光の順に0.96,0.90,0.76ですが,同じ比率値は日の出,日の入りのときには0.21,0.024,0.000065です。

今日はここまでにします。

参考文献:砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店),ジャクソン 著(西田 稔 訳)「電磁気学(上),(下)」(吉岡書店)