電磁波の放射(7)(点電荷による電磁波４:場の反作用)

　「電磁波の放射(点電荷による電磁波)」の続きです。最後に放射の反作用について記述して古典論を終わります。 

　点電荷が加速されていると,それは電磁波を放射します。そこで,外部からの補償が無ければ放射に伴なって点電荷自身の力学的エネルギーが減少します。

　この作用を電磁波の放射の反作用(reaction)といいます。

　こうした反作用は電荷の運動に対する減衰力として運動方程式に反映されます。以下,減衰力をエネルギーの保存則に従って導きます。

「電磁波の放射(5)」ではβ(ｔ)＝ｖ(ｔ)/ｃ＜＜1のとき,つまり点電荷の速さｖ(ｔ)＝ｚ^d(ｔ)が光速度ｃに比べて小さいときには単位加速時間当たりの放射エネルギーがｄＷ/ｄｔ＝{ｅ²/(16π²ε₀ｃ)}∫ｄΩ[ｎ(ｔ)×{ｎ(ｔ)×β^d(ｔ)}]²＝{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}ｖ^d(ｔ)² (Larmorの公式)で与えられることを見ました。

　仮に点電荷は周期運動をしていて,ある２つの時刻ｔ₁,ｔ₂においてｖ(ｔ₁)＝ｖ(ｔ₂)＝0 を満たすとします。

　そして,ｔ∈[ｔ₁,ｔ₂]において減衰力Ｋ(ｔ)が存在するとすれば,エネルギー保存則から,この時間の間にＫ(ｔ)が点電荷になす仕事は同じ時間の放射による点電荷のエネルギー減衰量に等しいはずです。

すなわち,∫_t1^t2Ｋ(ｔ)ｖ(ｔ)ｄｔ＝－{ｅ²/(6πε₀ｃ)}∫_t1^t2ｖ^d(ｔ)²ｄｔ＝－{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}{[ｖ^d(ｔ)ｖ(ｔ)]_t1^t2－∫_t1^t2ｖ^2d(ｔ)ｖ^d(ｔ)ｄｔ}＝{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}∫_t1^t2ｖ^2d(ｔ)ｖ(ｔ)ｄｔです。

つまり,∫_t1^t2[Ｋ(ｔ)－{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}ｖ^2d(ｔ)]ｖ(ｔ)ｄｔ＝0 が成立します。

したがって,Ｋ(ｔ)＝{ｅ²/(6π²ε₀ｃ³)}ｖ^2d(ｔ)と置けばエネルギーの均衡が保たれることになります。

この減衰力の表式をＫ(ｔ)＝(2/3){ｅ²/(4πε₀ｈ_cｃ)}{ｈ_c/(ｍｃ²)}ｍｖ^2d(ｔ)と書けば,特に点電荷が電子の場合には微細構造定数:α≡ｅ²/(4πε₀ｈ_cｃ)}～ 1/137によりＫ(ｔ)＝(2/3)α{ｈ_c/(ｍｃ²)}ｍｖ^2d(ｔ)となって簡明な表現になります。

電子の場合には,上記のｄｐ/ｄｔ＝ｍｖ^2d(ｔ)の係数はＴ₀＝(2/3)α{ｈ_c/(ｍｃ²)}～ (2/3)(1/137)10^-21秒 ～ 10^－23秒程度です。これは非常に小さい値です。

Ｋ(ｔ)＝Ｔ₀(ｄｐ/ｄｔ)ですが,この周期運動で加速度が変化をする時間の長さをＴ≡ｔ₂－ｔ₁と置けば,一般にＴ＞＞Ｔ₀と考えられますから,Ｋ(ｔ)～(Ｔ₀/Ｔ)[ｄｐ/ｄｔ]_t1^t2＝(Ｔ₀/Ｔ){ｐ(ｔ₂)－ｐ(ｔ₁)}となって減衰力Ｋ(ｔ)はきわめて小さいことがわかります。

　巨視的物体の場合には,質量ｍはさらに大きいため,Ｔ₀＝(2/3)α{ｈ_c/(ｍｃ²)}は電子の場合よりさらに小さいので電磁波の放射の反作用は無視できると考えられます。

　以上から,ｖ＜＜ｃなら質量がｍ,電荷がｅの１個の点電荷が外力Ｆによって加速され電磁波を放射しながら運動するときの運動方程式は,ｍ{ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²}＝Ｆ(ｚ(ｔ))＋{ｅ²/(6π²ε₀ｃ³)}{ｄ³ｚ(ｔ)/ｄｔ³}で与えられることがわかります。

　微分方程式の本質的性格は係数がいかに小さくても最高階の微分を含む項によって決定付けられます。 

そこで,この加速度の時間微分をも含む微分方程式は,"ある時刻に位置と速度が与えられると以後の軌道が決まる。"という因果性に従うニュートンの方程式から予想される以外の解を持つ可能性があります。

実際,例えば方程式:ｍ{ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²}＝Ｆ(ｚ(ｔ))＋{ｅ²/(6π²ε₀ｃ³)}{ｄ³ｚ(ｔ)/ｄｔ³}で外力がない場合:Ｆ＝0 の場合を考えるとｍ{ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²}＝{ｅ²/(6π²ε₀ｃ³)}{ｄ³ｚ(ｔ)/ｄｔ³},またはｍｖ^d(ｔ)＝Ｔ₀{ｍｖ^2d(ｔ)}です。

電子が力を受けず自由運動をするケースですから,加速度が恒等的にゼロ:ｖ^d(ｔ)＝ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ² ≡0 なる解も可能なはずです。実際,このときにはｖ^2d(ｔ)＝ｄ³ｚ(ｔ)/ｄｔ³≡0 より減衰力もＫ(ｔ)≡0 となって確かに解になっています。

　一方,ｍｖ^d(ｔ)＝Ｔ₀{ｍｖ^2d(ｔ)}よりｖ^2d(ｔ)＝ｖ^d(ｔ)/Ｔ₀なので,素直に積分するとｖ^d(ｔ)＝ｖ^d(0)exp(ｔ/Ｔ₀)なる解を得ます。この解は外力Ｆがゼロなのに,ｔが大きくなると加速度ｖ^dが際限なく増大するという内容です。

　物理的に考えると,これは明らかに不合理です。なぜ,こうした解が得られたかの理由について,すぐ気付くことは外力Ｆがゼロのときのこの解では運動が周期的で,時刻ｔ₁≠ｔ₂にｖ(ｔ₁)＝ｖ(ｔ₂)＝0 であるという条件が満たされてないことです。

　そこで,これの解決のため電子の非周期運動も包括した対象電子を含む電荷群と電磁場が共存する現実的な系で考察します。

電磁場の基本方程式はマクスウェルの方程式系:∇×Ｅ(ｒ,ｔ)＋∂Ｂ(ｒ,ｔ)＝0,∇Ｂ(ｒ,ｔ)＝0,および∇×Ｈ(ｒ,ｔ)－∂Ｄ(ｒ,ｔ)＝ｊ₀(ｒ,ｔ)＋Σ_k≠0ｊ_k(ｒ,ｔ),∇Ｄ(ｒ,ｔ)＝ρ₀(ｒ,ｔ)＋Σ_k≠0ρ_k(ｒ,ｔ)です。ただしＨ＝Ｂ/μ₀,Ｄ＝ε₀Ｅです。

　ただし,ρ₀,ｊ₀を考察対象の電子の電荷密度,電流密度とし,それ以外の電荷(帯電体)の電荷密度,電流密度ρ_k,ｊ_k(ｋ≠0)と区別しました。

　また,電子は極めて小さいけれど大きさは有限であり,特に半径がａ₀の剛体球であると仮定します。

　一方,電子自体の運動方程式は,後の便宜上電子の質量ｍ,軌道ｚに下添字 0 を付けると,ｍ₀{ｄ²ｚ₀(ｔ)/ｄｔ²}＝∫ｄ³ｒ{ρ₀(ｒ,ｔ)Ｅ(ｒ,ｔ)＋ｊ₀(ｒ,ｔ)×Ｂ(ｒ,ｔ)}と表わされます。

これら微分方程式系では,電磁場の基本方程式における"物理量＝場の量"も電子の運動方程式における物理量も全て未知量です。 

　対象とする電子の電荷,電流ρ₀,ｊ₀が作る電磁場Ｅ₀,Ｂ₀の自分自身へ及ぼす力(自己力:self-force)というものを考察するために,Ｅ(ｒ,ｔ)＝Ｅ₀(ｒ,ｔ)＋Ｅ₁(ｒ,ｔ),Ｂ(ｒ,ｔ)＝Ｂ₀(ｒ,ｔ)＋Ｂ₁(ｒ,ｔ)のように全体の場を分離します。

マクスウェルの方程式の線形性から,これらの場が従う微分方程式も∇×Ｅ₀(ｒ,ｔ)＋∂Ｂ₀(ｒ,ｔ)＝0,∇Ｂ₀(ｒ,ｔ)＝0,∇×Ｈ₀(ｒ,ｔ)－∂Ｄ₀(ｒ,ｔ)＝ｊ₀(ｒ,ｔ),∇Ｄ₀(ｒ,ｔ)＝ρ₀(ｒ,ｔ),

および,∇×Ｅ₁(ｒ,ｔ)＋∂Ｂ₁(ｒ,ｔ)＝0,∇Ｂ₁(ｒ,ｔ)＝0,∇×Ｈ₁(ｒ,ｔ)－∂Ｄ₁(ｒ,ｔ)＝Σ_k≠0ｊ_k(ｒ,ｔ),∇Ｄ₁(ｒ,ｔ)＝Σ_k≠0ρ_k(ｒ,ｔ)と分離できます。

一方,電子の運動方程式も分離されて,ｍ₀{ｄ²ｚ₀(ｔ)/ｄｔ²}＝Ｆ₀＋Ｆ₁と書けます。

ただし,Ｆ₀＝∫ｄ³ｒ{ρ₀(ｒ,ｔ)Ｅ₀(ｒ,ｔ)＋ｊ₀(ｒ,ｔ)×Ｂ₀(ｒ,ｔ)},およびＦ₁＝∫ｄ³ｒ{ρ₀(ｒ,ｔ)Ｅ₁(ｒ,ｔ)＋ｊ₀(ｒ,ｔ)×Ｂ₁(ｒ,ｔ)}です。このＦ₀が自己力を表現しています。

　自己電磁場の方程式部分を形式的に解けば,φ₀(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒ'{ρ₀(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'|,Ａ₀(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4π)}∫ｄ³ｒ'{ｊ₀(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'|;ｔ'≡ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃです。

　これをＦ₀＝∫ｄ³ｒ{ρ₀(ｒ,ｔ)Ｅ₀(ｒ,ｔ)＋ｊ₀(ｒ,ｔ)×Ｂ₀(ｒ,ｔ)}に代入します。ただし電子の速度ｖ₀の大きさは光速ｃに比べて十分小さいとしてｖ₀の１次の項だけを考えることにします。

ｊ₀(ｒ,ｔ)がｖ₀に比例するので,Ａ₀もｖ₀に比例します。したがって,Ｂ₀＝∇×Ａ₀もｖ₀に比例しますからｊ₀(ｒ,ｔ)×Ｂ₀(ｒ,ｔ)はｖ₀の２次の量となるため,磁場の関係する項の寄与を無視します。

　すると,運動方程式は,ｍ₀{ｄ²ｚ₀(ｔ)/ｄｔ²}＝Ｆ₁＋∫ｄ³ｒρ₀(ｒ,ｔ)Ｅ₀(ｒ,ｔ)＝Ｆ₁－∫ｄ³ｒρ₀(ｒ,ｔ){∇φ₀(ｒ,ｔ)＋∂Ａ₀(ｒ,ｔ)/∂ｔ}＝Ｆ₁－{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒρ₀(ｒ,ｔ)[∇∫ｄ³ｒ'{ρ₀(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'|＋ｃ^-2(∂/∂ｔ)∫ｄ³ｒ'{ｊ₀(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'|}となります。

　右辺の２つの空間積分∫ｄ³ｒ,∫ｄ³ｒ'はいずれも微小半径ａ₀の球状電子の内部が積分範囲ですから,寄与する発信時刻ｔ'＝ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃはｔ'＝ｔ－ａ₀/ｃ程度であり,電子内の各点で発信時刻ｔ'の関数で示されている量はｔのまわりにテイラー(Taylor)展開できます。

　すなわち,ρ₀(ｒ',ｔ－Ｒ/ｃ)＝Σ_n=0^∞[(－Ｒ/ｃ)ⁿ{∂ⁿρ₀(ｒ‘,ｔ)/∂ｔⁿ}/ｎ!],ｊ₀(ｒ',ｔ－Ｒ/ｃ)＝Σ_n=0^∞[(－Ｒ/ｃ)ⁿ{∂ⁿｊ₀(ｒ',ｔ)/∂ｔⁿ}/ｎ!];Ｒ≡ｒ－ｒ',Ｒ≡|Ｒ|です。

これをＦ₀の表現式に代入すると,電子の運動方程式はｍ₀{ｄ²ｚ₀(ｔ)/ｄｔ²}＝Ｆ₁－{1/(4πε₀)}Σ_n=0^∞[(－1)ⁿ/(ｃｎ!){∫ｄ³ｒｄ³ｒ'ρ₀(ｒ,ｔ)[{∂ⁿρ₀(ｒ',ｔ)/∂ｔⁿ}{∇(Ｒ/ｃ)^n-1}＋ｃ^-2(Ｒ/ｃ)^n-1{∂ⁿ⁺¹ｊ₀(ｒ',ｔ)/∂ｔⁿ⁺¹}]となります。

このうちスカラーポテンシャルφ₀からの寄与の一部を考えます。 

右辺のｎ＝0 の項は－{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒｄ³ｒ'[ρ₀(ｒ,ｔ)ρ₀(ｒ',ｔ)∇(Ｒ^-1)]＝{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒｄ³ｒ'[ρ₀(ｒ,ｔ)ρ₀(ｒ',ｔ)(ｒ－ｒ')/|ｒ－ｒ'|³]ですが,被積分関数がｒ,ｒ'の交換について反対称なのでこの項は消えます。

また,ｎ＝1の項も∇Ｒ^-2≡0 より,やはり消えます。

そこで,φ₀からの寄与の項では添字をｎ→ｎ＋2とシフトして,Ｆ₀＝－{1/(4πε₀)}Σ_n=0^∞[(－1)ⁿ/(ｃⁿ⁺²ｎ!){∫ｄ³ｒｄ³ｒ'[Ｒ^n-1ρ₀(ｒ,ｔ)(∂ⁿ⁺¹/∂ｔⁿ⁺¹){ｊ₀(ｒ',ｔ)＋{∂ρ₀(ｒ',ｔ)/∂ｔ}∇(Ｒⁿ⁺¹)/{(ｎ＋1)(ｎ＋2)Ｒ^n-1}と書きます。

右辺の項の∫ｄ³ｒ'積分の因子は∫ｄ³ｒ'[Ｒ^n-1ｊ₀(ｒ',ｔ)＋{∂ρ₀(ｒ',ｔ)/∂ｔ}∇(Ｒⁿ⁺¹)/(ｎ＋1)(ｎ＋2)]＝∫ｄ³ｒ'[Ｒ^n-1ｊ₀(ｒ',ｔ)－∇ｊ₀(ｒ',ｔ)Ｒⁿ∇Ｒ/(ｎ＋2)]です。

さらに変形して,∫ｄ³ｒ'[Ｒ^n-1ｊ₀(ｒ',ｔ)＋{ｊ₀(ｒ',ｔ)∇}Ｒ^n-1Ｒ/(ｎ＋2)]＝∫ｄ³ｒ'Ｒ^n-1[{(ｎ＋1)/(ｎ＋2)}ｊ₀(ｒ',ｔ)－{(ｎ－1)/(ｎ＋2){ｊ₀(ｒ',ｔ)Ｒ}Ｒ/Ｒ²}を得ます。

　今は電子を微小な剛体球としているので,ｊ₀(ｒ',ｔ)＝ρ₀(ｒ',ｔ)ｖ₀(ｔ)と書けます。

そこで,上記積分結果のベクトルでその第ｉ成分はΣ_j=1³∫ｄ³ｒ'Ｒ^n-1ρ₀(ｒ',ｔ)ｖ_0j(ｔ)[{(ｎ＋1)/(ｎ＋2)}δ_ij－{(ｎ－1)/(ｎ＋2)}Ｒ_iＲ_j/Ｒ²]と表わされます。

さらに,∫ｄ³ｒ積分を実行すると対称性からＲ_iＲ_jを(1/3)Ｒ²δ_ijと置いてよいので,(2/3)ｖ_0i(ｔ)∫ｄ³ｒ'Ｒ^n-1ρ₀(ｒ',ｔ)です。

これをベクトル表現で書けば,(2/3)ｖ₀(ｔ)∫ｄ³ｒ'Ｒ^n-1ρ₀(ｒ',ｔ)となります。

それ故,Ｆ₀＝－{1/(4πε₀)}Σ_n=0^∞[(－1)ⁿ/(ｃⁿ⁺²ｎ!)(2/3)∫ｄ³ｒｄ³ｒ'[Ｒ^n-1ρ₀(ｒ,ｔ)(∂ⁿ⁺¹/∂ｔⁿ⁺¹){ρ₀(ｒ',ｔ)ｖ₀(ｔ)}]です。

右辺の時間微分で電荷密度ρ₀(ｒ',ｔ)の時間微分は∂ρ₀(ｒ',ｔ)/∂ｔ＝－∇ｊ₀(ｒ',ｔ)であり,電流密度はｊ₀(ｒ',ｔ)＝ρ₀(ｒ',ｔ)ｖ₀(ｔ)ですから,積ρ₀(ｒ',ｔ)ｖ₀(ｔ)はｖ₀(ｔ)の２次以上になるため省略します。

すると,Ｆ₀＝－{1/(4πε₀)}Σ_n=0^∞[(－1)ⁿ/(ｃⁿ⁺²ｎ!)(2/3)∫ｄ³ｒｄ³ｒ'{ρ₀(ｒ,ｔ)Ｒ^n-1ρ₀(ｒ',ｔ)}{ｄⁿ⁺¹ｖ₀(ｔ)/ｄｔⁿ⁺¹}です。

この右辺の級数の最初の数項を評価します。

まず,ｎ＝0 の項Ｆ₀⁽⁰⁾はＦ₀⁽⁰⁾＝－{1/(4πε₀ｃ²)}(2/3)∫ｄ³ｒｄ³ｒ'{ρ₀(ｒ,ｔ)ρ₀(ｒ',ｔ)/|ｒ－ｒ'|}ｖ₀^d(ｔ)です。

ここで電子の自己エネルギーＷ＝∫ρ₀φｄＶはＷ≡{1/(4πε₀ｃ²)}(1/2)∫ｄ³ｒｄ³ｒ'ρ₀(ｒ,ｔ)ρ₀(ｒ',ｔ)/|ｒ－ｒ'|＝ｅ²/(4πε₀ａ₀)で定義されますから,Ｆ₀⁽⁰⁾はこれを用いてＦ₀⁽⁰⁾＝－{4Ｗ/(3ｃ²)}ｖ₀^d(ｔ)と表現できます。

次にｎ＝1のときは,Ｆ₀⁽¹⁾＝{1/(4πε₀ｃ³)}Σ_n=0^∞[(2/3)∫ｄ³ｒｄ³ｒ'ρ₀(ｒ,ｔ)ρ₀(ｒ',ｔ)ｖ₀^2d(ｔ)＝{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}ｖ₀^2d(ｔ)ですが,これは先に周期運動を仮定して求めた減衰力に一致しています。

ｎ≧2に対しては,Ｆ₀⁽ⁿ⁾＝－{1/(4πε₀ｃ³)}[(－1)ⁿ/(ｃⁿ⁺²ｎ!)(2/3)＜ａ₀^n-1＞ｖ₀⁽ⁿ⁺¹⁾(ｔ)です。ただし,＜ａ₀^n-1＞≡∫ｄ³ｒｄ³ｒ'ρ₀(ｒ,ｔ)|ｒ－ｒ'|^n-1ρ₀(ｒ',ｔ)です。

これらは電子の内部構造には無関係な量です。

こうして,自己力の作用の下での電子の運動方程式がｍ₀ｖ₀^d(ｔ)＝Ｆ₁－{4Ｗ/(3ｃ²)}ｖ₀^d(ｔ)＋{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}ｖ₀^2d(ｔ)＋..となることがわかりました。

これは,ｍ_e≡{4Ｗ/(3ｃ²)}＝(4/3){ｅ²/(4πε₀ｃ²ａ₀)}と置くと(ｍ₀＋ｍ_e)ｖ₀ ^d(ｔ)＝Ｆ₁＋{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}ｖ₀^2d(ｔ)＋..と書けます。

ｍ_e≡{4Ｗ/(3ｃ²)}＝(4/3){ｅ²/(4πε₀ｃ²ａ₀)}は電子がそのまわりに静電場を作ることに基づく電磁的質量と解釈されます。しかし実は係数4/3の存在は特殊相対論の要求と矛盾します。

これについては,2008年12/20の記事「運動物質内の相対論(7)(電子の古典模型)」に詳細に書きましたが,このシリーズの(1)～(6)の続きなので順に参照する必要があるかもしれません。

その問題はさておき,運動方程式の(ｍ₀＋ｍ_e)ｖ₀ ^d(ｔ)＝Ｆ₁＋{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}ｖ₀^2d(ｔ)＋..なる形は力学的質量ｍ₀に対し現実に観測される電子の電荷がｍ≡(ｍ₀＋ｍ_e)であると考えることができます。

量子電磁力学のくりこみ(renormarization)では,ｍ₀を裸の質量(bare-mass),ｍ_eを着物の質量(mass of dress),ｍを着物を着た質量(dressed-mass)と呼びます。

得られた電子の運動方程式:(ｍ₀＋ｍ_e)ｖ₀^d(ｔ)＝Ｆ₁＋{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}ｖ₀^2d(ｔ)＋..は周期運動,非周期運動に関わらず成立します。

そこで,この方程式表現でもＦ₁＝0 のときの解として,先の不合理解:ｖ^d(ｔ)＝ｖ^d(0)exp(ｔ/Ｔ₀)の存在を免れません。

しかし,この運動方程式はｖ₀,ｖ₀^d,ｖ₀^2d..がこれらの２乗が無視できるほど小さいと仮定したときに成立する近似方程式であることを思い出します。不合理解:ｖ^d(ｔ)＝ｖ^d(0)exp(ｔ/Ｔ₀)はこうした条件を満足しないため,物理的には許されないはずです。

これまでの議論では電子は半径がａ₀の剛体球としましたが,そもそも剛体球という概念はローレンツ不変(Lorentz invariant)ではないので,ａ₀が有限である限り,ｎ≧2の＜ａ₀^n-1＞の因子を含む運動方程式ｍ₀ｖ₀^d(ｔ)＝Ｆ₁－{4Ｗ/(3ｃ²)}Ｗｖ₀^d(ｔ)＋{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}ｖ₀^2d(ｔ)＋..を相対論的に共変な方程式に拡張することはできません。

そこで,共変性のためａ₀→ 0 とすると,ｎ≧2 の＜ａ₀^n-1＞≡∫ｄ³ｒｄ³ｒ'ρ₀(ｒ,ｔ)|ｒ－ｒ'|^n-1ρ₀(ｒ',ｔ)は全てゼロになり消えるため,電子の方程式は,(ｍ₀＋ｍ_e)ｖ₀^d(ｔ)＝Ｆ₁＋{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}ｖ₀^2d(ｔ)となります。

しかし,ｍ_e＝{4Ｗ/(3ｃ²)}＝(4/3){ｅ²/(4πε₀ｃ²ａ₀)}なので,ａ₀→ 0とするとＷ→ ∞,かつｍ_e→ ∞となってしまいます。

それ故,ａ₀→ 0 とした相対論的に共変な理論では自己エネルギーＷの発散を免れることはできません。逆に自己エネルギーを有限にしようとすれば相対論と矛盾します。

こうした困難は量子論にも受け継がれ,摂動の収束性と相俟って理論の最大の難点となっています。

関連記事として2006年12/21の「電子の自己エネルギーとディラックの海」,2008年５/８の「自己力と自己エネルギー」も参照して下さい。

この記事をもって電磁波放射の古典論のシリーズを終わります。

参考文献:砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店) ),ジャクソン 著(西田 稔 訳)「電磁気学(上),(下)」(吉岡書店)