散乱の伝播関数の理論(2)(Lippman-Schwinger-2)

散乱の伝播関数の理論の続きです。

まず,前回の最後の部分を再掲します。

(※以下再掲記事(少し修正)です。)

Ｔ≡Ｓ－1とすると,Ｔの行列要素はＴ_ba≡－2πiδ(Ｅ_a－Ｅ_b)Ｔ_ba;

Ｔ_ba≡＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞＝＜Ψ_a^(-)Ｈ₁Φ_b＞と表現できます。

これは,Ｅ_a＝Ｅ_bのエネルギーが等しい状態だけで定義される関連行列要素Ｔによる等価な表現です。

この結果,遷移確率を与える公式：

Ｗ_ba＝4π²[δ(Ｅ_a－Ｅ_b)]²|Ｔ_ba |²が得られます。

　(再掲終わり※)

　さて,前回の続きです。

 [δ(Ｅ_a－Ｅ_b)]²のうち,１つの因子δ(Ｅ_a－Ｅ_b)を時間積分:

δ(Ｅ_a－Ｅ_b)＝(2πｈ_c)^-1∫_-∞^∞exp{i(Ｅ_a－Ｅ_b)ｔ/ｈ_c}

exp(－ε|ｔ|)ｄｔ (ε→＋0) と解釈します。

これと,もう１つのδ(Ｅ_a－Ｅ_b)因子により,Ｅ_a＝Ｅ_bを代入すると,

[δ(Ｅ_a－Ｅ_b)]²＝(2πｈ_c)^-1δ(Ｅ_a－Ｅ_b)∫_-∞^∞ｄｔです。

故にＷ_ba＝(2π/ｈ_c)δ(Ｅ_a－Ｅ_b)|Ｔ_ba |²∫_-∞^∞ｄｔ を得ます。

この式は,遷移が系の２つの成分の等エネルギー状態の間でのみ生じ,

遷移確率の強さは相互作用が有効に効く全時間に比例することを示し

ています。

ε→＋0 の理想的極限では,後者(＝全時間:∫_-∞^∞ｄｔ)は無限大に発散してしまいます。

しかし,この表現:Ｗ_ba＝(2π/ｈ_c)δ(Ｅ_a－Ｅ_b)|Ｔ_ba |²∫_-∞^∞ｄｔは,

単位時間に遷移確率がｗ_ba＝(2π/ｈ_c)δ(Ｅ_a－Ｅ_b)|Ｔ_ba |²の率で増

加すると解釈できます。

上の結果式のより納得できる導出法は,最初に状態ａにあった系が時刻ｔに状態ｂに見出される確率の単位時間当たりの増加率(遷移速度 or 遷移率)を文字通りに表現する式:ｗ_ba＝(∂/∂ｔ)|＜Φ_bＵ₊(ｔ)Φ_a＞|²を評価することです。

|＜Φ_bＵ₊(ｔ)Φ_a＞|²＝＜Φ_bＵ₊(ｔ)Φ_a＞^*＜Φ_bＵ₊(ｔ)Φ_a＞

＝＜Ｕ₊(ｔ)Φ_a|Φ_b＞＜Φ_bＵ₊(ｔ)Φ_a＞ですから,

ｗ_ba＝＜{∂Ｕ₊(ｔ)/∂ｔ}Φ_a|Φ_b ＞＜Φ_bＵ₊(ｔ)Φ_a＞

＋＜Ｕ₊(ｔ)Φ_a|Φ_b＞＜Φ_b{∂Ｕ₊(ｔ)/∂ｔ}Φ_a＞です。

右辺第２項は第１項の複素共役(ｃ.ｃ)です。

これは運動方程式ｉｈ_c∂Ｕ₊(ｔ)/∂ｔ＝Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)によって,

ｗ_ba＝(i/ｈ_c)＜Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)Φ_a|Φ_b ＞＜Φ_bＵ₊(ｔ)Φ_a＞

＋(ｃ.ｃ) となります。(※ c.cは複素共役 complex conjugate の略)

そして,＜Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)Φ_a|Φ_b＞

＝＜exp(iＨ₀ｔ)Ｈ₁exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｕ₊(ｔ)Φ_a|Φ_b ＞

＝＜Φ_bexp(iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｈ₁exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｕ₊(ｔ)Φ_a＞^*

＝exp(－iＥ_bｔ/ｈ_c)＜Φ_bＨ₁exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｕ₊(ｔ)Φ_a＞^*

＝＜Ｈ₁exp{i(Ｅ_b－Ｈ₀)ｔ/ｈ_c}Ｕ₊(ｔ)Φ_a|Φ_b＞

＝＜exp{i(Ｅ_b－Ｈ₀)ｔ/ｈ_c}Ｕ₊(ｔ)Φ_aＨ₁Φ_b＞　です。

一方,＜Φ_bＵ₊(ｔ)Φ_a＞に,

Ｕ₊(ｔ)＝1－(i/ｈ_c)∫_-∞^tｄｔ'Ｈ₁(ｔ')Ｕ₊(ｔ')

＝1－(i/ｈ_c)∫_-∞^tｄｔ'exp(iＨ₀ｔ'/ｈ_c)Ｈ₁exp(－iＨ₀ｔ'/ｈ_c)

Ｕ₊(ｔ')　を代入します。

ｂ≠ａなら,＜Φ_bＵ₊(ｔ)Φ_a＞

＝(－i/ｈ_c)∫_-∞^tｄｔ'＜Φ_bexp(iＨ₀ｔ'/ｈ_c)Ｈ₁exp(－iＨ₀ｔ'/ｈ_c)

Ｕ₊(ｔ')Φ_a＞

＝(－i/ｈ_c)∫_-∞^tｄｔ'＜Φ_bＨ₁exp{i(Ｅ_b－Ｈ₀)ｔ'/ｈ_c}

Ｕ₊(ｔ')Φ_a＞ となります。

それ故,ｗ_ba＝(i/ｈ_c)＜Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)Φ_a|Φ_b ＞＜Φ_bＵ₊(ｔ)Φ_a＞

＋(ｃ.ｃ)＝(1/ｈ_c²)∫_-∞^tｄｔ'＜exp{i(Ｅ_b－Ｈ₀)ｔ/ｈ_c}Ｕ₊(ｔ)Φ_a

Ｈ₁Φ_b＞＜Φ_bＨ₁exp{i(Ｅ_b－Ｈ₀)ｔ'/ｈ_c}Ｕ₊(ｔ')Φ_a＞＋(ｃ.ｃ)

なる式を得ます。

ところで,

Ψ_a⁽⁺⁾(Ｅ)≡∫_-∞^∞ｄｔexp{i(Ｅ－Ｈ₀)ｔ/ｈ_c}exp(－ε|ｔ|/ｈ_c)

Ｕ₊(ｔ)Φ_a,および,Ψ_a^(±)(Ｅ)≡2πｈ_cδ(Ｅ－Ｅ_a)Ψ_a^(±)より,

Ψ_a^(＋)(Ｅ)＝∫_-∞^∞ｄｔexp{i(Ｅ－Ｈ₀)ｔ/ｈ_c}exp(－ε|ｔ|/ｈ_c)

Ｕ₊(ｔ)Φ_a＝2πｈ_cδ(Ｅ－Ｅ_a)Ψ_a⁽⁺⁾ が成立します。

これは,exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｕ₊(ｔ)Φ_a＝exp(iＥ_aｔ/ｈ_c)Ψ_a⁽⁺⁾なることを意味します。

そして,また我々の理想定常状態のSchroedinger表示の状態ベクトルになっています。

代入すると,ｗ_ba＝(1/ｈ_c²)∫_-∞^tｄｔ'＜exp{i(Ｅ_b－Ｈ₀)ｔ/ｈ_c}

Ｕ₊(ｔ)Φ_aＨ₁Φ_b＞＜Φ_bＨ₁exp{i(Ｅ_b－Ｈ₀)ｔ'/ｈ_c}Ｕ₊(ｔ')Φ_a＞

＋(ｃ.ｃ)＝(1/ｈ_c²)∫_-∞^tｄｔ' exp{i(Ｅ_a－Ｅ_b)(ｔ－ｔ')/ｈ_c}

＜Ψ_a⁽⁺⁾Ｈ₁Φ_b＞＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞＋(ｃ.ｃ) となります。

すなわち,

ｗ_ba＝(1/ｈ_c²)|Ｔ_ba|²∫_-∞^tｄｔ'exp{i(Ｅ_a－Ｅ_b)(ｔ－ｔ')/ｈ_c}

＋(ｃ.ｃ)＝(2π/ｈ_c)|Ｔ_ba|²δ(Ｅ_a－Ｅ_b) が導かれました。

そして,演算子Ｔの一般的性質:Ｔ^＋Ｔ＝－(Ｔ＋Ｔ^＋)から始状態からの全遷移速度に対する簡単な表現が得られます。

すなわち,Ｔ^＋Ｔ＝－(Ｔ＋Ｔ^＋)を行列要素で書くと,

Σ_bＴ_ba^*Ｔ_bc＝－(Ｔ_ac＋Ｔ_ca^*)です。

これにＴ_ba＝－2πiδ(Ｅ_a－Ｅ_b)Ｔ_baを代入すると,

4π²Σ_bδ(Ｅ_a－Ｅ_b)Ｔ_ba^*δ(Ｅ_b－Ｅ_c)Ｔ_bc

＝2πiδ(Ｅ_a－Ｅ_c)(Ｔ_ac－Ｔ_ca^*) を得ます。

特に,ｃ＝ａとすると両辺のδ(Ｅ_a－Ｅ_c)は相殺されて,

4π²Σ_bδ(Ｅ_a－Ｅ_b)|Ｔ_ba|²δ＝－4πＩm(Ｔ_aa),

つまりΣ_bｗ_ba＝－(2/ｈ_c)Ｉm(Ｔ_aa)が得られます。

(※訳注:↑これは光学定理です。)

この公式の左辺は総和の中にｂ＝ａが含まれているため,正確には状態ａからの全遷移率ではありません。

しかし,こうした総和には単一の状態は寄与しません。

一般に状態のグループが要求されます。

こうしたタイプの関係式は,散乱媒質を通過する平面波の強度の減衰が元の波とその伝播方向に散乱される第二の波の間の破壊的干渉によって説明されるという波動理論において典型的なものです。

Ｔ_baに対する定常表現によって,方程式:

Ψ_a^(±)＝Φ_a＋{1/(Ｅ±iε－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a^(±)の変分定式化が

得られます。

すなわち,

Ｔ'_ba＝－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞ｄｔ

[＜exp{i(Ｅ_a－Ｈ₀)ｔ/ｈ_c}Ｕ_-(ｔ)Φ_b|Ｈ₁Φ_a＞

＋＜Φ_b|Ｈ₁exp{i(Ｅ_b－Ｈ₀)ｔ/ｈ_c}Ｕ₊(ｔ)Φ_a＞]

＋(i/ｈ_c)∫_-∞^∞ｄｔ

＜exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｕ_-(ｔ)Φ_b|Ｈ₁exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｕ₊(ｔ)Φ_a＞

＋(i/ｈ_c)²∫_-∞^∞ｄｔ∫_-∞^∞ｄｔ'

＜exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｕ_-(ｔ)Φ_b|Ｈ₁exp{(－iＨ₀(ｔ－ｔ')/ｈ_c)

Ｈ₁exp(－iＨ₀ｔ'/ｈ_c)Ｕ₊(ｔ)Φ_a＞

なる作用を想定します。

　そして,exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｕ_±(ｔ)Φ_a＝exp(iＥ_aｔ/ｈ_c)Ψ_a^(±)

 なる仮定に従う定常状態の族に限定して考えます。

　積分を実行すると,Ｔ'_ba＝＜Ψ_b^(-)Ｈ₁Φ_a＞＋＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞

－＜Ψ_b^(-)Ｈ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞＋＜Ψ_b^(-)Ｈ₁{1/(Ｅ＋iε－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞

が得られます。

　ただし,Ｅは状態ａとｂの共通のエネルギーです。

　δＴ'_ba＝＜δΨ_b^(-)Ｈ₁[Φ_a＋{1/(Ｅ＋iε－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a⁽⁺⁾－Ψ_a⁽⁺⁾]＞

　＋＜[Φ_b＋{1/(Ｅ－iε－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_b^(-)－Ψ_b^(-)]Ｈ₁δΨ_a⁽⁺⁾＞

　ですから,

δＴ'_baがゼロになるという停留条件より,

　Ψ_a^(±)＝Φ_a＋{1/(Ｅ±iε－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a^(±)を得ます。

　さらに,このときのＴ'_baの停留値は,

　Ｔ_ba≡＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞＝＜Ψ_a^(-)Ｈ₁Φ_b＞ に一致します。

　同様に,Hermite演算子Ｋについても,Ｋ_ba＝2πδ(Ｅ_a－Ｅ_c)Ｋ_ba;

Ｋ_ba≡＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽¹⁾＞＝＜Ψ_a⁽¹⁾Ｈ₁Φ_b＞ と書けます。

ただし,時間に依存しないベクトルΨ_a⁽¹⁾は,

exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｖ(ｔ)Φ_a＝exp(iＥ_aｔ/ｈ_c)Ψ_a⁽¹⁾なる関係を

満たす定常状態であり,方程式:Ψ_a⁽¹⁾＝Φ_a＋Ｐ{1/(Ｅ－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a⁽¹⁾

に従います。

Ｔと同様に,Ｋの変分定式化の作用は,

Ｋ'_ba＝＜Ψ_b⁽¹⁾Ｈ₁Φ_a＞＋＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽¹⁾＞－＜Ψ_b⁽¹⁾Ｈ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞

＋＜Ψ_b⁽¹⁾Ｈ₁Ｐ{1/(Ｅ－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞

で与えられます。

そして,Ｔ＝Ｓ－1;Ｓ＝Ｖ(∞)/Ｖ(－∞)＝(1－iＫ/2)/(1＋iＫ/2)よりＴ＝－iＫ/(1＋iＫ/2),つまり,Ｔ＋iＫＴ/2＝－iＫです。

この等式の行列要素にＴ_ba≡－2πiδ(Ｅ_a－Ｅ_b)Ｔ_ba,

Ｋ_ba＝2πδ(Ｅ_a－Ｅ_b)Ｋ_baを代入します。

－2πiδ(Ｅ_a－Ｅ_b)Ｔ_ba＋2π²Σ_cδ(Ｅ_b－Ｅ_c)Ｋ_bcδ(Ｅ_a－Ｅ_c)Ｔ_ca

＝－2πiδ(Ｅ_a－Ｅ_b)Ｋ_baですから,等エネルギー状態に限定して,

Ｔ_ba＋πiΣ_cＫ_bcδ(Ｅ_c－Ｅ)Ｔ_ca＝Ｋ_baを得ます。

ただし,Ｅはａとｂの共通エネルギーです。

　この方程式を解く効果的な方法は,固有値方程式:

　Σ_aＫ_baδ(Ｅ_a－Ｅ)ｆ_aA＝Ｋ_Aｆ_bAを満たすＫの固有関数を見出す

　ことです。

ＫはHermite行列なので固有値Ｋ_Aは実数で,固有関数ｆ_aAは次のように直交規格化できます。Σ_aｆ_aA^*δ(Ｅ_a－Ｅ)ｆ_aB＝δ_ABです。

これを使うと,Ｋの行列要素はＫ_ba＝Σ_Aｆ_bAＫ_Aｆ_aA^*と表わせます。

それ故,Ｔ_A＋πiＫ_AＴ_A＝Ｋ_A orＴ_A＝Ｋ_A/(1＋πiＫ_A)として,

Ｔ_ba＝Σ_Aｆ_bAＴ_Aｆ_aA^*とおけば,

式:Ｔ_ba＋πiΣ_cＫ_bcδ(Ｅ_c－Ｅ)Ｔ_ca＝Ｋ_ba が満たされます。

このことからいえるのは,ＴがＫの関数で同じ固有関数を持ち,その固有値がＫの固有値から決まるということだけです。

そこで,Ｔ_A＝－(1/π)sinδ_Aexp(iδ_A)となるようＫの固有値を

Ｋ_A≡－(1/π)tanδ_Aとして,角度δ_Aを導入した表現が便利です。

遷移速度ｗ_baをこうした表現を使って表わせば

ｗ_ba＝{2/(πｈ_c)}Σ_Asinδ_Aexp(iδ_A)ｆ_bAｆ_aA^* |²δ(Ｅ_a－Ｅ)

となります。

また,Σ_bｗ_ba＝－(2/ｈ_c)Ｉm(Ｔ_aa)より,状態ａからの全遷移速度は

Σ_bｗ_ba＝{2/(πｈ_c)}Σ_Asin²δ_A|ｆ_aA|²と表わされます。

最後にこの全遷移速度の同じエネルギーを持つ全ての始状態にわたる総和はΣ_b,aｗ_baδ(Ｅ_a－Ｅ)＝{2/(πｈ_c)}|Σ_Asin²δ_Aです。

これらの結果は中心力場による粒子の散乱の伝統的位相のずれ

(phase shift)の解析で得られる馴染み深い式の一般化です。

中心力場での散乱では,Ｋの固有関数は対称性の考慮,すなわち始状態

ａと終状態ｂを定義する伝播ベクトルｋ_a,ｋ_bの同時の回転の下での

Ｋ_baの不変性から明らかです。

ｆ_aAは"ｋ_aの向きを決定する角度の関数＝球面関数":ｆ_aA＝ＣＹ_l^m(ｋ_a) (Ａ＝ｌ,ｍ)であると推論されます。

そして,Ｋの固有値Ｋ_Aは球面調和関数の次数,すなわちδ_A≡δ_lにのみ依存します。

定数Ｃは直交規格化条件:Σ_aｆ_aA^*δ(Ｅ_a－Ｅ)ｆ_aB＝δ_AB,今の中心力散乱のケースでは|Ｃ|²∫Ｙ_l^m(ｋ)Ｙ_l'^m'(ｋ)ρｄΩ＝δ_ll'δ_mm'によって定めることができます。

ただし,ρｄΩは立体角ｄΩの内部運動に関わるエネルギー値域当たりの状態数です。

これは等エネルギー状態にわたる総和の重み因子として生じます。

つまり,ρｄΩは因子δ(Ｅ_a－Ｅ)によって制限される全ての状態にわたる総和を書き換えたものです。

空間の単位体積を想定してρを陽に表わすと,

ρ＝ｐ²ｄｐ/{(2πｈ_c)³ｄＥ}＝(8π³ｈ_c)^-1(ｋ²/ｖ)です。

２番目の式ではｐを波数ｋと粒子の速さｖで表現しています。

そこで,|Ｃ|²∫Ｙ_l^m(ｋ)Ｙ_l'^m'(ｋ)ρｄΩ＝δ_ll'δ_mm'と規格化されるためには|Ｃ|²＝1/ρ＝8π³ｈ_cｖ/ｋ²が要求されます。

そして,次には粒子がｋ_a方向から方向ｋ_bのまわりの立体角ｄΩに

散乱される単位時間当たりの確率ｗを遷移速度の式:

ｗ_ba＝{2/(πｈ_c)}|Σ_Asinδ_Aexp(iδ_A)ｆ_bAｆ_aA^* |²δ(Ｅ_a－Ｅ)

から計算します。

単純な置換から,ｗ＝{2/(πｈ_c)}|Σ_l,msinδ_lexp(iδ_l)|Ｃ|²

Ｙ_l^m(ｋ_b)Ｙ_l^m (ｋ_a) ^*|²ρｄΩが得られます。

このｗを入射粒子の流束を示すｖで割り|Ｃ|²＝1/ρとすることにより

極角θ方向に散乱される微分断面積のよく知られた表現:

ｄσ(θ)＝(1/ｋ²)|Σ_l(2ｌ＋1)sinδ_lexp(iδ_l)Ｐ_l(cosθ)|²ｄΩ

を得ます。

ここで,球面調和関数についての定理:

Σ_m=-l^lＹ_l^m(ｋ_b)Ｙ_l^m (ｋ_a)^*|＝{(2ｌ＋1)/(4π)}Ｐ_l(cosθ)

を用いました。

θはｋ_aとｋ_bのなす角,Ｐ_l(cosθ)はcosθのｌ次のLegendre多項式

です。

全散乱断面積σもΣ_bｗ_ba＝{2/(πｈ_c)}Σ_Asin²δ_A|ｆ_aA|²に対応して,

σ＝{2/(πｈ_cｖ)}Σ_l,msin²δ_l|Ｃ|²|Ｙ_l^m (ｋ_a)|²

＝(4π/ｋ²)Σ_l(2ｌ＋1)sin²δ_lとなります。

ここでは公式:Σ_m=-l^l|Ｙ_l^m (ｋ_a)|²＝(2ｌ＋1)/(4π)を用いました。

全断面積の式:σ＝(4π/ｋ²)Σ_l(2ｌ＋1)sin²δ_lは,入射ｋ_aの大きさ

ｋだけに依存して方向に依らないので,

Σ_b,aｗ_baδ(Ｅ_a－Ｅ)＝{2/(πｈ_c)}|Σ_Asin²δ_Aと同等な結果も

直ちに得られます。

この節の最後に,中心力場による散乱の一般的性格を持つような問題:

Ｋの固有関数がその対称性から決まり,基本的問題は固有値Ｋ_A,or

位相角δ_Aを得ることであるような問題の変分定式化を考察します。

この目的のため,表現:Ｋ_ba＝Σ_Aｆ_bAＫ_Aｆ_aA^*の逆が,

Σ_b,aｆ_ｂB^*δ(Ｅ_b－Ｅ)Ｋ_baｆ_aAδ(Ｅ_a－Ｅ)＝Ｋ_Aδ_ABで与えられること

に着目します。

状態ベクトル;Φ_A≡Σ_aΦ_aｆ_aAδ(Ｅ_a－Ｅ),および,

Ψ_A⁽¹⁾≡Σ_aΨ_a⁽¹⁾ｆ_aAδ(Ｅ_a－Ｅ)を導入して,先に与えた

Ｋ'_ba＝＜Ψ_b⁽¹⁾Ｈ₁Φ_a＞＋＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽¹⁾＞－＜Ψ_b⁽¹⁾Ｈ₁Ψ_a⁽¹⁾＞

＋＜Ψ_b⁽¹⁾Ｈ₁Ｐ{1/(Ｅ－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a⁽¹⁾＞ に代入します。

すると,Ｋ'_Aδ_AB＝－(1/π)tanδ'_Aδ_AB

＝＜Ψ_B⁽¹⁾Ｈ₁Φ_A＞＋＜Φ_BＨ₁Ψ_A⁽¹⁾＞－＜Ψ_B⁽¹⁾Ｈ₁Ψ_A⁽¹⁾＞

＋＜Ψ_B⁽¹⁾Ｈ₁Ｐ{1/(Ｅ－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_A⁽¹⁾＞ となります。

Φ_Aはより正確にはΦ_A,Eと書かれるべきで,これは,

＜Φ_A,EΦ_B,E'＞＝Σ_aｆ_aA^*δ(Ｅ_a－Ｅ)ｆ_aBδ(Ｅ_a－Ｅ')

＝δ(Ｅ－Ｅ')Σ_aｆ_aA^*δ(Ｅ_a－Ｅ)ｆ_aB

＝δ_ABδ(Ｅ－Ｅ')を満たします。

そこで,Φ_A＝Σ_aΦ_aｆ_aAδ(Ｅ_a－Ｅ),および,

Ψ_A⁽¹⁾＝Σ_aΨ_a⁽¹⁾ｆ_aAδ(Ｅ_a－Ｅ)の逆は,

Φ_a＝Σ_Aｆ_aA^*Φ_A,およびΨ_a⁽¹⁾＝Σ_Aｆ_aA^*Ψ_A⁽¹⁾となって,

Ｋの固有関数で展開できます。

ちょっと時間がないので,今日はここで終わります。

参考文献:「新編物理学選集32(素粒子理論)」(1961,第2版)

(日本物理学会編 )

 

 

散乱の伝播関数の理論(1)(Lippman-Schwinger-1)

電磁波の放射,散乱の古典論を述べてきたついでに,散乱問題の量子論での扱いも示しておきます。

紹介しようと思うのは,いわゆる伝播関数の理論(propageter theory),あるいはGreen関数による方法です。

これは,Born(ボルン)級数やLippman-Schwinger方程式の摂動展開にFeynman-diagramを組み合わせるようなものです。

量子波の伝播や散乱問題については,Betheの"Intermediate Quantum Mechaniocs"やJ.J.Sakurai(桜井純)の"Advanced Quantum Mechanics",またはSchiffの教科書「量子力学(下)(邦訳:Quantum Mechanics)」にもそうした崩芽の記述があったと記憶しています。

こうした,初期の中間的量子力学(intermediate quantum-mechanics)において,伝播関数を用いた方法はFeymanの経路積分の考え方をも内包しているようです。

私の所持している本では,Schiff(シッフ)や上記J.J.Sakurai著の"Advanced Quantum Mechanics"などに上記のような第２量子化の理論(QED,場の量子論)への橋渡しのような量子論的扱いがあります。

まず,日本物理学会編集の「新編物理学選集32(素粒子理論)」に載っているものから紹介します。

これは,私が大学院修士課程に入学した年(1974年)に１年先輩のＨさんから頂いたものです。

当時,素粒子論に関して右も左もわからない状態でしたが,"まず,これを読め"と先輩に頂いたのがこの論文集でした。

彼には,既に読み終わったからとLandauの「相対論的量子力学Ⅰ」(東京図書)も貰って,まだ大事に持っています。

両方とも裏表紙に名前が書いてあります。

なぜ,親切にして頂いたのか？タダで貰ったのか？は,よくわかりませんが,最近２年続けて関西に行った際に探し出してお会いしました。

(※ひょっとしたら,谷川研究室の他の２人の私の１年先輩ＴさんとＭさんは東大と京大の出身ですが,Ｈさんは富山大出身でしたので同じ地方国立のＳ大から来た私に親しみを持たれたのかも知れません。)

当時も日本語の専門書はまだ安い方でしたが,洋書は１ドルが360円の時代ですから,日本円では今よりもかなり高価でした。

しかも,トピックが専門的であればあるほど日本語の参考文献などは,ほとんどなかった時代ですね。

洋書を１冊程度輪講をするにしても,市販の本は貧乏学生には高値の花だったため,普通は図書室にあった本を青焼きコピーしてそれをファイルして使っていたのが常でした。

普通,理論物理などの理論分野では,取り合えず本と論文など文献さえあればいいので,ある程度独学可能な素養と頭があれば,別に大学に属する必要などないのですが。。。

しかし,当時は(今も？)ほとんどの専門文献が揃っていて,それらを容易に参照できる環境は,附属の図書室を持つ大学の研究室など研究施設に限られていたので,やはり大学に属するという選択が最善でした。

(いや,まだ,普通に前途があった若い時代でしたし,何か学びたい,と思えば大学や大学院に入る以外の選択を思い付くのは不可能でした。)

(↑うーん,また回顧録になってるな。。)

まず,有名な散乱の「Lippmann-Schwinger方程式」を与えた論文:

B.A.Lippmann Julian Schwinger "Variational Principles for Scattering Process.I" Phys.Lev,Vol.29(3)(1950)

を紹介します。

これは,何と私が生まれた年に提出された論文です。

※ 以下は,本文を私が日本語に翻訳したものです。

　(表題):時間に依存する散乱理論

　問題とする系のHamiltonianを独立な２つの部分,非摂動部分Ｈ₀と摂動部分(相互作用エネルギー)Ｈ₁の和で表現します。

Ｈ₁による効果のみを記述したいので,Schoedinger方程式:

iｈ_c{∂Ψ(ｔ)/∂ｔ}＝(Ｈ₀＋Ｈ₁)Ψ(ｔ)から,Ｈ₀に関わる時間依存性を除くのが便利です。

そのため,ユニタリ変換(unitary transformation):

Ψ(ｔ)≡exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)ψ_I(ｔ) を実行します。

こうすれば,方程式は,

iｈ_c{∂ψ_I(ｔ)/∂ｔ}＝Ｈ₁(ｔ)ψ_I(ｔ),Ｈ_I(ｔ)

＝exp(iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｈ₁exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)

となります。 

(※(訳注):↑これは相互作用表示ですね。)

この表示で,初期の相互作用していない部分は状態ベクトルψ_I(－∞)で表わされ,やがては終状態のベクトルψ_I(＋∞)に向かいます。

時間発展のユニタリ変換をψ_I(ｔ)＝Ｕ₊(ｔ)ψ_I(－∞)で定義します。

Ｕ₊⁺(ｔ)Ｕ₊(ｔ)＝1です。

特に,ψ_I(∞)＝Ｓψ_I(－∞),Ｓ＝Ｕ₊(∞)とします。

Ｓを散乱演算子(scattering operator:衝突演算子)と呼びます。

Ｕ₊(ｔ)はＵ₊(－∞)＝1なる境界条件を満たす微分方程式:

iｈ_c{∂Ｕ₊(ｔ)/∂ｔ}＝Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)の解です。

ψ_I(ｔ)をψ_I(ｔ)＝Ｕ_-(ｔ)ψ_I(∞)によってψ_I(∞)に結びつける別のユニタリ演算子:Ｕ_-(ｔ)を導入することも有益です。

ψ_I(ｔ)＝Ｕ_-(ｔ)ψ_I(∞)＝Ｕ_-(ｔ)Ｓψ_I(－∞)＝Ｕ₊(ｔ)ψ_I(－∞)ですから,Ｕ₊(ｔ)＝Ｕ_-(ｔ)Ｓなる関係があります。

こちらのＵ_-(ｔ)も方程式:iｈ_c{∂Ｕ_-(ｔ)/∂ｔ}＝Ｈ₁(ｔ)Ｕ_-(ｔ)の解ですが,これは境界条件Ｕ_-(∞)＝1を満たします。

iｈ_c{∂Ｕ₊(ｔ)/∂ｔ}＝Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)を積分方程式で書くと,

Ｕ₊(ｔ)＝1－(i/ｈ_c)∫_-∞^tＨ₁(ｔ')Ｕ₊(ｔ')ｄｔ'

＝1－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞θ(ｔ－ｔ')Ｈ₁(ｔ')Ｕ₊(ｔ')ｄｔ'

です。

ただし,θ(τ)はHeavisideの関数(step function;階段関数)です。

τ＞0 ならθ(τ)＝1,τ＜0 ならθ(τ)＝0 なる関数です。

同様に,Ｕ_-(ｔ)＝1＋(i/ｈ_c)∫_t^∞Ｈ₁(ｔ')Ｕ_-(ｔ')ｄｔ'

＝1＋(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ')Ｕ_-(ｔ')θ(ｔ'－ｔ)ｄｔ'

です。

したがって,Ｓ＝1－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)ｄｔ,

Ｓ^-1＝1＋(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)Ｕ_-(ｔ)ｄｔ　です。

Ｕ_±(ｔ)に対する微分方程式,積分方程式は,それと等価なある作用が停留値をとる基本方程式を与える変分原理(Variational Principle)で置き換えることができるはずです。

さらに,このときに取る作用の停留値が正に散乱演算子Ｓであることがわかります。

したがって,Ｓの停留表現を与えることでＳを構成する上での誤差が最小化されるため,問題の変分定式化は近似計算を生み出します。

これを示すため,最初に,Ｓ'

≡Ｕ_＋(∞)－∫_-∞^∞Ｕ_-⁺(ｔ){∂/∂ｔ＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}Ｕ₊(ｔ)ｄｔ

とおき,これを独立なＵ₊(ｔ),Ｕ_-(ｔ)の汎関数(作用)と考えます。

そして,Ｕ₊(－∞)＝1という拘束の下での変分問題,つまり任意の独立なδＵ₊,δＵ_-に対するＳ'の変分δＳ'がゼロになるための条件を求める問題を考えます。

まず,δＳ'＝δＵ₊(∞)

－∫_-∞^∞δＵ_-⁺(ｔ)[{∂/∂ｔ＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}Ｕ₊(ｔ)]ｄｔ

－∫_-∞^∞Ｕ_-⁺(ｔ)[{∂/∂ｔ＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}δＵ₊(ｔ)]ｄｔ

と書けます。

右辺最後の項は,

－∫_-∞^∞Ｕ_-⁺(ｔ)[{∂/∂ｔ＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}]δＵ₊(ｔ)ｄｔ

＝－[Ｕ_-⁺(ｔ)δＵ₊(ｔ)]_-∞^∞＋∫_-∞^∞[{∂/∂ｔ

＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}Ｕ_-(ｔ)]⁺δＵ₊(ｔ)ｄｔ

＝－Ｕ_-⁺(∞)δＵ₊(∞)

＋∫_-∞^∞[{∂/∂ｔ＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}Ｕ_-(ｔ)]⁺δＵ_＋(ｔ)ｄｔ

と変形されます。

そこで,δＳ'＝{1－Ｕ_-⁺(∞)}δＵ₊(∞)－∫_-∞^∞δＵ_-⁺(ｔ)[{∂/∂ｔ

＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}Ｕ₊(ｔ)]ｄｔ

＋∫_-∞^∞[{∂/∂ｔ＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}Ｕ_-(ｔ)]⁺δＵ₊(ｔ)ｄｔ

なる式が得られます。

独立な任意のδＵ₊,δＵ_-に対してδＳ'＝0 が満たされるためには,

運動方程式:{∂/∂ｔ＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}Ｕ₊(ｔ)＝0,

{∂/∂ｔ＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}Ｕ_-(ｔ)＝0 が成立し,境界条件:

Ｕ_-⁺(∞)＝1が満たされることが必要十分です。

そして,このときのＳ'の停留値はＳ'＝Ｕ₊(∞)ですが,右辺のＵ₊(∞)は散乱演算子Ｓそのものなので,Ｓ'_min＝Ｓなることが結論されます。

Ｓ'≡Ｕ₊(∞)－∫_-∞^∞Ｕ_-⁺(ｔ){∂/∂ｔ＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}Ｕ₊(ｔ)ｄｔを対称化して,

Ｓ"≡(1/2){Ｕ₊(∞)＋Ｕ_-⁺(∞)}

－∫_-∞^∞[(1/2)Ｕ_-⁺(ｔ){∂Ｕ₊(ｔ)/∂ｔ}

－(1/2)]{∂Ｕ_-⁺(ｔ)/∂ｔ}Ｕ₊(ｔ)

＋(i/ｈ_c)Ｕ_-⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)]ｄｔ

を作ります。

そして,これの拘束条件をＵ₊(－∞)＝Ｕ_-(∞)＝1とします。

Ｓ"の停留条件からも同じ運動方程式が得られＳ"の停留値は散乱演算子Ｓです。(※詳細は省略)

直接,積分方程式に導くための作用を考え,

Ｓ^≡1－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞[Ｕ_-⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)＋Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)]ｄｔ

＋(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｕ_-⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)]ｄｔ

＋(i/ｈ_c)²∫_-∞^∞∫_-∞^∞Ｕ_-⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)

θ(ｔ－ｔ')Ｈ₁(ｔ')Ｕ₊(ｔ')ｄｔｄｔ'

と定義します。

実際,

δＳ^＝(i/ｈ_c)∫_-∞^∞ｄｔδＵ_-⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)[Ｕ₊(ｔ)－1

＋(i/ｈ_c)∫_-∞^∞θ(ｔ－ｔ')Ｈ₁(ｔ')Ｕ₊(ｔ')ｄｔ']

＋(i/ｈ_c)∫_-∞^∞ｄｔ[Ｕ_-(ｔ)－1－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞ｄｔ'

Ｈ₁(ｔ')Ｕ_-(ｔ')θ(ｔ'－ｔ)]⁺Ｈ₁(ｔ)δＵ₊(ｔ)＝0

から,求める積分方程式が得られ,

しかも停留値は散乱演算子Ｓに一致します。

このＳ^に対する変分原理は,Ｓ',Ｓ"のそれらとは異なり,Ｕ₊,Ｕ_-にも相互作用演算子Ｈ₁を含む積分にも何の拘束条件を要求しません。

後者の性質はＵ₊とＵ_-への適切な近似が,現実の相互作用過程の間だけ要求されることを意味します。

　さらに,同じ近似演算子Ｕ₊とＵ_-を用いるとき,第二の型の変分原理の方が第一の型のそれより正確な結果を生み出します。

　すなわち,簡単ですが粗い近似Ｕ₊(ｔ)＝Ｕ_-(ｔ)＝1を,

　Ｓ'＝Ｕ₊(∞)－∫_-∞^∞Ｕ_-⁺(ｔ){∂/∂ｔ＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}Ｕ₊(ｔ)ｄｔ

　または, 

 Ｓ^＝1－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞[Ｕ_-⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)＋Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)]ｄｔ

＋(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｕ_-⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)]ｄｔ

＋(i/ｈ_c)²∫_-∞^∞∫_-∞^∞Ｕ_-⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)θ(ｔ－ｔ')Ｈ₁(ｔ')

Ｕ₊(ｔ')ｄｔｄｔ'　に代入します。

　前者からは,Ｓ～ 1－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)ｄｔを得ます。

　これは第１Born近似と同等です。

　一方,後者からは,

　Ｓ～ 1－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)ｄｔ

＋(i/ｈ_c)²∫_-∞^∞∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)θ(ｔ－ｔ')Ｈ₁(ｔ')ｄｔｄｔ'

　を得ます。こちらは第２Born近似と同等です。

これらのＳに対する近似表現は,以下に論じる変分原理の欠点を示しています。すなわち,不正確なＳではユニタリ性(unitarity:確率の保存)が保証されません。

例えば,Ｓ～ 1－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)ｄｔからは,

Ｓ⁺Ｓ～ 1＋(1/ｈ_c)²(∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)ｄｔ)²≠1

を得ます。

この欠陥に対処する理論の修正版は,Ｕ₊(ｔ)とＵ_-(ｔ)を

Ｖ(ｔ)≡2Ｕ₊(ｔ)/(1＋Ｓ)＝2Ｕ_-(ｔ)/(1＋Ｓ^-1)で置き換える

ことで得られます。

こうすれば,Ｖ(－∞)＝2/(1＋Ｓ),Ｖ(∞)＝2Ｓ/(1＋Ｓ)ですから,

(1/2){Ｖ(∞)＋Ｖ(－∞)}＝1で,Ｖ(∞)＝Ｖ⁺(－∞)です。

そこで,ＫをHermite演算子,つまりＫ⁺＝Ｋとして,

Ｖ(∞)＝1－iＫ/2,Ｖ(∞)＝1＋iＫ/2と置くことができます。

Ｋはいわゆる反応演算子(reaction operator)です。

Ｓ＝Ｖ(∞)/Ｖ(－∞)に注意すれば,Ｓ＝(1－iＫ/2)/(1＋iＫ/2)

となり,ユニタリなＳをHermite演算子で表現できます。

そして,このHermite性が保証されているＫに対して変分原理を適用してみます。

演算子(作用素)Ｋ'を,

Ｋ'≡(i/2)∫_-∞^∞{Ｖ⁺(ｔ)(ｄＶ/ｄｔ)－(ｄＶ⁺/ｄｔ)Ｖ(ｔ)}ｄｔ

＋(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｖ⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)Ｖ(ｔ)ｄｔ

＋(i/2)[{Ｖ(∞)－Ｖ(－∞)}－{Ｖ⁺(∞)－Ｖ⁺(－∞)}]

で定義します。

これは,任意のＶ(ｔ)について明らかにHemiteな表現です。

Ｖ⁺(ｔ),Ｖ(ｔ)の小変分に対するＫ'への効果はδＫ'＝(※略)

となります。

そして,δＫ'＝0 という条件から,

{－iｈ_c∂/∂ｔ＋Ｈ₁(ｔ)}Ｖ(ｔ)＝0 が得られます。

このときＫ'は先に定義したＫに一致します。

Ｖ(ｔ)の満たす積分方程式は,{－iｈ_c∂/∂ｔ＋Ｈ₁(ｔ)}Ｖ(ｔ)＝0

を－∞からｔまで積分して,

Ｖ(ｔ)＝Ｖ(－∞)－(i/ｈ_c)∫_-∞^tＨ₁(ｔ')Ｖ(ｔ')ｄｔ'

となります。

一方,∞からｔまで積分すれば,

Ｖ(ｔ)＝Ｖ(∞)＋(i/ｈ_c)∫_t^∞Ｈ₁(ｔ')Ｖ(ｔ')ｄｔ' です。

これらを辺々加えて２で割ると,変分原理からも得られる条件

(1/2){Ｖ(∞)＋Ｖ(－∞)}＝1から,

Ｖ(ｔ)＝1－{i/(2ｈ_c)}∫_-∞^∞ε(ｔ－ｔ')Ｈ₁(ｔ')Ｖ(ｔ')ｄｔ'

を得ます。

ただし,ε(ｔ)は符号関数でｔ＞0 ならε(ｔ)＝1,ｔ＜0 なら

ε(ｔ)＝－1です。

　逆に,この積分方程式からＶ(ｔ)が時間発展の微分方程式

(Schoedinger方程式)と境界条件に従うことが演繹的に導かれます。

　また,Ｋ＝i{Ｖ(∞)－Ｖ(－∞)}

＝(1/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ')Ｖ(ｔ')ｄｔ'なる式も導かれます。

　このＫに対する上記積分方程式は,直接,

　Ｋ"≡(1/ｈ_c)∫_-∞^∞{Ｈ₁(ｔ)Ｖ(ｔ)＋Ｖ⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)}ｄｔ

　－{i/(2ｈ_c)}∫_-∞^∞ｄｔ∫_-∞^∞ｄｔ'

　[Ｖ⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)ε(ｔ－ｔ')Ｈ₁(ｔ’)Ｖ(ｔ')]

　なる作用の変分原理δＫ"＝0 から得られます。

　(※↑これの証明も省略します。)

ここまで展開してきた抽象理論は系を始状態と終状態を記述する部分に分ける固有関数Φ_aを導入すればより明確になります。

ＳΦ_aは始状態Φ_a(※訳注:相互作用表示)から出現する終状態なので,

系が特に状態Φ_bに見出される確率はＷ_ba＝|＜Φ_bＳΦ_a＞|²＝|Ｓ_ba|²

で与えられます。(Ｓ_ba≡＜Φ_bＳΦ_a＞です。)

　相互作用過程で生成される状態変化を推進する作用素:Ｔ≡Ｓ－1を導入すれば,僅かに便利になります。

　Ｓのユニタリ性:Ｓ⁺Ｓ＝1 は,Ｔ⁺Ｔ＝－(Ｔ＋Ｔ⁺)を意味します。

　そして,系が始状態と異なる終状態Φ_bに見出される確率:Ｗ_baは,

ｂ≠ａならＷ_ba＝|＜Φ_bＴΦ_a＞|²＝|Ｔ_ba|²と書けます。

　先の積分方程式:Ｓ＝1－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)ｄｔによれば,

Ｔ＝Ｓ－1＝－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)Ｕ_＋(ｔ)ｄｔです。

　そこで,Ｔ_ba＝＜Φ_bＴΦ_a＞

＝－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞ｄｔ＜Φ_bＨ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)Φ_a＞

＝－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞ｄｔ＜Φ_bexp(iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｈ₁exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)

Ｕ₊(ｔ)Φ_a＞を得ます。

　系が２つの成分へと明確に分離されることに関わって運動量状態の重ね合わせ(波束)には空間の局所性が要求されるため,Φ_bはＨ₀の正確な固有関数とは成り得ないことに着目すべきです。

しかし,そのままＨ₀Φ_b＝Ｅ_bΦ_bを満たすＨ₀の固有関数を導入し,系の成分分離から生じる相互作用の停止をｔ→±∞での相互作用の強さの断熱減衰によってシミュレートすれば同等な記述が可能です。

この断熱減衰は任意の微小なε＞0 による因子exp(－ε|ｔ|/ｈ_c)の挿入で表現できます。

　したがって,

Ｔ_ba＝＜Φ_bＴΦ_a＞＝－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞ｄｔ＜Φ_bexp(iＨ₀ｔ/ｈ_c)

Ｈ₁exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｕ₊(ｔ)Φ_a＞の物理的に正しい表現は,

Ｔ_ba＝－(i/ｈ_c)＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽⁺⁾(Ｅ_b)＞となります。

　ここに,Ψ_a⁽⁺⁾(Ｅ)

≡∫_-∞^∞ｄｔexp{i(Ｅ－Ｈ₀)ｔ/ｈ_c}exp(－ε|ｔ|/ｈ_c)Ｕ₊(ｔ)Φ_a

です。

同様に,Ｓ^-1＝1＋(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)Ｕ_-(ｔ)ｄｔですが,

Ｓ^-1＝Ｓ⁺＝(1＋Ｔ)⁺＝1＋Ｔ⁺なので,

Ｔ⁺＝(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)Ｕ_-(ｔ)ｄｔと書けます。

それ故,Ｔ_ba＝－(i/ｈ_c)＜Ψ_a^(-)(Ｅ_b)Ｈ₁Φ_b＞と書けます。

ただし,Ψ_a^(-)(Ｅ)

≡∫_-∞^∞ｄｔexp{i(Ｅ－Ｈ₀)ｔ/ｈ_c}exp(－ε|ｔ|/ｈ_c)Ｕ_-(ｔ)Φ_a

です。

Ψ_a⁽⁺⁾(Ｅ),およびΨ_a^(-)(Ｅ)を決定する方程式は,

Ｕ₊(ｔ)＝1－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞θ(ｔ－ｔ')Ｈ₁(ｔ')Ｕ₊(ｔ')ｄｔ',

およびＵ_-(ｔ)＝1＋(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ')Ｕ_-(ｔ')θ(ｔ'－ｔ)ｄｔ'

から得られます。

　すなわち,積分方程式:Ψ_a⁽⁺⁾(Ｅ)

＝∫_-∞^∞ｄｔexp{i(Ｅ－Ｅ_a)ｔ/ｈ_c}exp(－ε|ｔ|)Φ_a

－(i/ｈ_c)∫₀^∞ｄτexp{i(Ｅ－Ｈ₀)τ/ｈ_c}exp(－ετ/ｈ_c)

Ｈ₁Ψ_a⁽⁺⁾(Ｅ),

　および, 

　Ψ_a^(-)(Ｅ)

＝∫_-∞^∞ｄｔexp{i(Ｅ－Ｅ_a)ｔ/ｈ_c}exp(－ε|ｔ|)Φ_a

＋(i/ｈ_c)∫₀^∞ｄτexp{－i(Ｅ－Ｈ₀)τ/ｈ_c}exp(－ετ/ｈ_c)

Ｈ₁Ψ_a^(-)(Ｅ)です。

　ここでτ＝|ｔ－ｔ'|とおきました。

　さて,－(i/ｈ_c)∫₀^∞ｄτexp{i(Ｅ－Ｈ₀)τ/ｈ_c}exp(－ετ/ｈ_c)

＝1/(Ｅ＋iε－Ｈ₀)＝(Ｅ－Ｈ₀－iε)/{(Ｅ－Ｈ₀)²＋ε²}

＝Ｐ{1/(Ｅ－Ｈ₀)}－iπδ(Ｅ－Ｈ₀),および,

　(i/ｈ_c)∫₀^∞ｄτexp{－i(Ｅ－Ｈ₀)τ/ｈ_c}exp(－ετ/ｈ_c)

＝1/(Ｅ－iε－Ｈ₀)＝(Ｅ－Ｈ₀＋iε)/{(Ｅ－Ｈ₀)²＋ε²}

＝Ｐ{1/(Ｅ－Ｈ₀)}＋iπδ(Ｅ－Ｈ₀)

なる公式が成立します。

　両表現の最後の式はε→＋0 の極限での次の積分の実部と虚部が取る値の記号的表現です。

すなわち,lim_ε→＋0∫_-∞^∞{ｘｆ(ｘ)/(ｘ²＋ε²)}ｄｘ

＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ,および,

lim_ε→＋0(1/π)∫_-∞^∞{εｆ(ｘ)/(ｘ²＋ε²)}ｄｘ＝ｆ(0)です。

ｆ(ｘ)はｘの任意関数でＰは積分の主値(principal value)です。

(※訳注:これについては,2009年７/４のブログ記事

「コーシーの主値(主値積分)」を参照してください。)

　これを用いると,積分方程式は記号的に,

　Ψ_a⁽⁺⁾(Ｅ)＝2πｈ_cδ(Ｅ－Ｅ_a)Φ_a

＋{1/(Ｅ＋iε－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a⁽⁺⁾(Ｅ),および, 

　Ψ_a^(-)(Ｅ)＝2πｈ_cδ(Ｅ－Ｅ_a)Φ_a

＋{1/(Ｅ－iε－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a^(-)(Ｅ)

と書けます。

Ψ_a^(±)(Ｅ)≡2πｈ_cδ(Ｅ－Ｅ_a)Ψ_a^(±)と書けば,方程式は,

Ψ_a^(±)＝Φ_a＋{1/(Ｅ±iε－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a^(±) に帰着します。

これらの方程式の表現はエネルギーＥに小さい正の虚部iεか

負の虚部(－iε)のいずれを加えるかによって,

散乱体から出る波(outgoing wave)か,散乱体に向かって入る波

(incoming wave)か,を自動的に選択する散乱問題の時間に依存

しない定式化を与えます。

演算子(作用素)Ｔの行列要素はＴ_ba≡－2πiδ(Ｅ_a－Ｅ_b)Ｔ_ba;

Ｔ_ba≡＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞＝＜Ψ_a^(-)Ｈ₁Φ_b＞と表現できます。

これは,Ｅ_a＝Ｅ_bのエネルギーが等しい状態だけで定義される関連行列要素Ｔによる等価な表現です。

結果として遷移確率の公式:

Ｗ_ba＝4π²[δ(Ｅ_a－Ｅ_b)]²|Ｔ_ba |²

が得られます。

長いので,ここでちょっとお休みします。

参考文献:「新編物理学選集32(素粒子理論)」(1961,第2版)

(日本物理学会編 )

 

 

この歳になっても,先輩は先輩で,またしてもオゴってもらいました。

原子核のγ崩壊とメスバウアー効果(3)

　原子核のγ崩壊とメスバウアー効果の続きです。 

　非斉次方程式:{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｆ^E_lm(ｋｒ)＝－Ｋ^E(ｒ),{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｆ^M_lm(ｋｒ)＝－Ｋ^M(ｒ)を解くためにグリ－ン関数(Green function)の方法を用います。

{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')＝－ｒ^-2δ(ｒ－ｒ')を満たす関数:ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')を方程式の左辺の微分作用素(演算子)のグリーン関数といいます。

この関数が得られれば,Ｆ^E,M_lm(ｋｒ)＝∫₀^∞ｒ'²ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')Ｋ^E,M(ｒ')ｄｒ'なる式が{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｆ^E,M_lm(ｋｒ)＝－Ｋ^E,M(ｒ)を満たします。

グリ－ン関数もＦ^M_lm(ｋｒ),Ｆ^M_lm(ｋｒ)と同じ境界条件を満たすべきという物理的要請から,ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')は(ⅰ)ｒ＝0 (波源)近傍で有限で(ⅱ)ｒ→ ∞(遠方)で外向き球面波になるという条件を満たします。

ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')の添字の記号(＋)は外向き球面波を意味します。

方程式:{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')＝－ｒ^-2δ(ｒ－ｒ')はｒ≠ｒ'では斉次式ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')＝0 になります。

この斉次方程式の条件(ⅰ)を満たす解はｊ_l(ｋｒ)で(ⅱ)を満たす解はｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)で与えられることは既にわかっています。

そこで,ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')はｒ,r'について対称な関数であるとすればｒ＜ｒ'ではｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')＝Ａｊ_l(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ'),ｒ＞ｒ'ではｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')＝Ａｊ_l(ｋｒ')ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)と書けます。

Ａを決めるため,まず{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')＝－ｒ^-2δ(ｒ－ｒ')を{ｄ/ｄｒ(ｒ²ｄ/ｄｒ)＋ｋ²ｒ²－ｌ(ｌ＋1)}ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')＝－δ(ｒ－ｒ')と変形してｒ∈[ｒ'－ε,ｒ'＋ε]の区間で積分し,最後にε→ +0 とします。

これから,[ｒ²ｄｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')/ｄｒ]_r'-ε^r'+ε＝－1です。代入するとＡｋ{ｊ_l(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾'(ｋｒ)－ｊ_l'(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)}＝－1/ｒ²を得ます。

ただし,ｊ_l'(ｋｒ)≡ｄｊ_l(ｋｒ)/ｄ(ｋｒ)＝ｋ^-1ｄｊ_l(ｋｒ)/ｄｒであり,ｈ_l⁽¹⁾'(ｋｒ)≡ｄｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)/ｄ(ｋｒ)＝ｋ^-1ｄｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)/ｄｒです。

　ところで,２階斉次線形常微分方程式ｄ²ｙ/ｄｚ²＋ｐ(ｚ)ｄｙ/ｄｚ＋ｑ(ｚ)ｙ＝0 においては,その異なる２つの解ｙ＝ｙ₁,ｙ₂について１次独立性と関わるロンスキー行列式(Wronskian)と呼ばれる特別な式表現:Ｗ[ｙ₁,ｙ₂]≡ｙ₁(ｄｙ₂/ｄｚ)－(ｄｙ₁/ｄｚ)ｙ₂＝ｙ₁²ｄ(ｙ₂/ｙ₁)があります。

これは,１階線形微分方程式ｄＷ[ｙ₁,ｙ₂]/ｄｚ＝ｙ₁(ｄ²ｙ₂/ｄｚ²)－(ｄ²ｙ₁/ｄｚ²)ｙ₂＝－ｐ(ｚ)Ｗ[ｙ₁,ｙ₂]を満たすので,Ｗ[ｙ₁,ｙ₂]＝Ｗ[ｙ₁,ｙ₂]_z0exp{－∫_z0^zｐ(ｕ)ｄｕ}なる一般形を持ちます。Ｂ＝Ｗ[ｙ₁,ｙ₂]_z0は単なる積分定数です。

そして,上記の定数Ａを決定するための式:Ａｋ{ｊ_l(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾'(ｋｒ)－ｊ_l'(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)}＝－1/ｒ²は,Ｗ[ｊ_l,ｈ_l⁽¹⁾]＝ｋ{ｊ_l(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾'(ｋｒ)－ｊ_l'(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)}なのでＡＷ[ｊ_l,ｈ_l⁽¹⁾]＝－1/ｒ²と表わされます。

ところで,今の球ベッセル方程式ではｒの１階微分の係数が2/ｒですからＷ[ｊ_l,ｈ_l⁽¹⁾]＝Ｗ[ｊ_l,ｈ_l⁽¹⁾]_r0exp{－2∫_r0^rｄｒ/ｒ}＝Ｂｒ^-2(Ｂは定数)です。

そして,ｒ～ 0 ではｊ_l(ｋｒ)～(ｋｒ)^l/(2ｌ＋1)!!,ｄｊ_l(ｋｒ)/ｄｒ～ｋｌ(ｋｒ)^l-1/(2ｌ＋1)!!,ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)}～iｎ_l(ｋｒ)～－i(2ｌ－1)!!(ｋｒ)^-(l+1),ｄｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)/ｄｒ＝iｋ(ｌ＋1)(2ｌ－1)!!,(ｋｒ)^l-1/(2ｌ＋1)!!より,Ｗ[ｊ_l,ｈ_l⁽¹⁾]＝iｋ(ｋｒ)^-2です。

したがって,ＡＷ[ｊ_l,ｈ_l⁽¹⁾]＝Ａiｋ(ｋｒ)^-2＝－1/ｒ²によってＡ＝iｋを得ます。故に,ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')＝iｋｊ_l(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ')(ｒ＜ｒ'),ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')＝iｋｊ_l(ｋｒ')ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)(ｒ＞ｒ')です。

　これでグリーン関数ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')の具体形が得られ,原子核の中心近傍にある放射源の外側ｒ＞ｒ'ではｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')＝iｋｊ_l(ｋｒ')ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)であることがわかりました。

そして,前に書いたようにＦ^E,M_lm(ｋｒ)はグリーン関数ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')によってＦ^E,M_lm(ｋｒ)＝∫₀^∞ｒ'²ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')Ｋ^E,M(ｒ')ｄｒ'と表わされます。

故に,ｒ＞ｒ'ではＦ^E,M_lm(ｋｒ)＝iｋｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)∫₀^∞ｒ’²ｊ_l(ｋｒ')Ｋ^E,M(ｒ')ｄｒ'です。

これを中心の放射源の外でＦ^E_lm(ｒ)→Ａ^E_lmＣ^E_lm⁽¹⁾ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ),Ｆ^M_lm(ｒ)→Ａ^M_lmＣ^M_lm⁽¹⁾ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)となるという境界条件と比較すれば,ａ^E_lm≡Ａ^E_lmＣ^E_lm⁽¹⁾＝iｋ∫₀^∞ｒ²ｊ_l(ｋｒ)Ｋ^E(ｒ)ｄｒ＝－iμ₀ｋ∫Ｘ_l^m(Ω)^*ｊ_l(ｋｒ){∇×ｊ_e(ｒ)}ｄｒ,およびａ^M_lm≡Ａ^M_lmＣ^M_lm⁽¹⁾＝－μ₀ｃｋ²∫Ｘ_l^m(Ω)^*ｊ_l(ｋｒ){∇×Ｍ(ｒ)}ｄｒです。

さらに,定義によってＸ_l^m(Ω)≡ｈ_c^-1ＬＹ_l^m(Ω)/{l(l＋1)}^1/2なのでＸ_l^m(Ω)^*＝ｈ_c^-1Ｌ^*Ｙ_l^m(Ω)^*/{l(l＋1)}^1/2です。

∇×ｊ_e(ｒ),∇×Ｍ(ｒ)はｒ→ ∞で1/ｒ²より急激にゼロになるため,Ｌのエルミート性から,ａ^E_lm＝－iμ₀ｋｈ_c^-1{l(l＋1)}^-1/2∫ｊ_l(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)^*Ｌ{∇×ｊ_e(ｒ)}ｄｒ,ａ^M_lm＝－μ₀ｃｋ²ｈ_c^-1{l(l＋1)}^-1/2∫ｊ_l(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)^*Ｌ{∇×Ｍ(ｒ)}ｄｒと書けます。

ところで,ベクトル解析から公式:ｈ_c^-1Ｌ(∇×ａ)＝i(ｒ×∇)(∇×ａ)＝i(ｒ∂/∂ｒ)∇ａ―iｒ∇²ａが成立します。

そこで,ａ＝ｊ_e(ｒ),またはａ＝Ｍ(ｒ)としたこの表現を代入すればａ^E_lm＝－μ₀ｋ{l(l＋1)}^-1/2∫ｊ_l(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)^*{(ｒ∂/∂ｒ)∇ｊ_e(ｒ)－ｒ∇²ｊ_e(ｒ)}ｄｒ,ａ^M_lm＝－iμ₀ｃｋ²ｈ_c^-1{l(l＋1)}^-1/2∫ｊ_l(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)^*{(ｒ∂/∂ｒ)∇Ｍ(ｒ)―ｒ∇²Ｍ(ｒ)}ｄｒを得ます。

さらに,∇²,i(ｒ∂/∂ｒ)はエルミート演算子であり左側の関数に作用するようにできます。そして∇²{ｊ_l(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)^*}＝－ｋ²ｊ_l(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)^*,∇ｊ_e＝iｃｋρ_eです。

また,∇Ｂ＝0 ですが,磁性体の中では∇Ｈ≠0 なので∇Ｍは一般にはゼロとは限りません。(2008年５/３の記事「電場と電束密度,磁場と磁束密度(4)」参照)

したがって,ａ^E_lm＝iμ₀ｃｋ²{l(l＋1)}^-1/2∫Ｙ_l^m(Ω)^*[ρ_e(ｒ)∂/∂ｒ{ｒｊ_l(ｋｒ)}＋iｃ^-1ｋ{ｒｊ_e(ｒ)}ｊ_l(ｋｒ)]ｄｒ,ａ^M_lm＝iμ₀ｃｋ²{l(l＋1)}^-1/2∫ｊ_l(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)^*[∇Ｍ(ｒ)∂/∂ｒ{ｒｊ_l(ｋｒ)}－ｋ²{ｒＭ(ｒ)}ｊ_l(ｋｒ)]ｄｒと書けます。

ここまでは何の近似もしていません。 

ここで,電磁波のソース(source)が半径Ｒの原子核の場合を考えると,電磁波の波長λに対してＲ/λ＝ｋＲ＜＜1の長波長近似が成立してｒ≦Ｒではｊ_l(ｋｒ)～ (ｋｒ)^l/(2ｌ＋1)!!です。それ故,(∂/∂ｒ){ｒｊ_l(ｋｒ)}～ (ｌ＋1)(ｋｒ)^l/(2ｌ＋1)!!です。

故に,Ｑ_lm≡∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*[ρ_e(ｒ)＋{iｋ/ｃ(ｌ＋1)}{ｒｊ_e(ｒ)}]ｄｒと置けばＥ波の係数はａ^E_lm＝iμ₀ｃｋ^l+2/(2ｌ＋1)!!}{(l＋1)/l}^1/2Ｑ_lmと書けます。

また,Ｍ波ではＭ_lm≡－∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*[∇Ｍ(ｒ)－{ｋ²/(ｌ＋1)}{ｒＭ(ｒ)}]ｄｒと置けばａ^M_lm＝{iμ₀ｃｋ^l+2/(2ｌ＋1)!!}{(l＋1)/l}^1/2Ｍ_lmを得ます。

しかし,オーダー的に{ｋ/ｃ(ｌ＋1)}(ｒｊ_e)～ｋ/ｃ(ｌ＋1)}ｒ(ｋｃｒρ)＝(ｋｒ)²ρ/(ｌ＋1)なのでρ_e(ｒ)＋{iｋ/ｃ(ｌ＋1)}{ｒｊ_e(ｒ)}の第２項は無視できてＱ_lm＝∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*ρ_e(ｒ)ｄｒと近似されます。

同様に,Ｍ_lm＝－∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*∇Ｍ(ｒ)ｄｒとできます。 

これまでの一連の電磁波放射の記事と同じく,Ｑ_lmを電気多極モ－メント,Ｍ_lmを磁気多極モーメントと呼びます。

　さて,電磁放射の強度分布を求めるには遠方領域(波動帯)において"単位時間に単位面積を通過するエネルギー＝ポインティングベクトル(Poyntung vector)":Ｓ(ｒ,ｔ)≡Ｅ(ｒ,ｔ)×Ｈ(ｒ,ｔ)を求める必要があります。

電磁放射では遠方領域は真空なのでＨ(ｒ,ｔ)＝Ｂ(ｒ,ｔ)/μ₀ですからＳ(ｒ,ｔ)≡Ｅ(ｒ,ｔ)×Ｂ(ｒ,ｔ)/μ₀です。そして複素表現でＥ(ｒ,ｔ)＝Ｅ(ｒ)exp(iωｔ),Ｂ(ｒ,ｔ)＝Ｂ(ｒ)exp(iωｔ)です。

実数表現ではＳ(ｒ,ｔ)＝{Ｅ(ｒ)×Ｂ^*(ｒ)/μ₀}cos²ωtですが,観測に掛かるのはこれのサイクル平均＜Ｓ(ｒ)＞であり,cos²ωtに代わる因子は1/2となるので＜Ｓ(ｒ)＞＝{Ｅ(ｒ)×Ｂ^*(ｒ)}/(2μ₀)です。

　これまでの考察から,ソースの外部領域ではＢ(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l{Ｂ^E_lm(ｒ)＋Ｂ^N_lm(ｒ)}＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l[ａ^E_lmｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)－{i/(ｃｋ)}ａ^M_lm∇×{ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)}]です。

　また,Ｅ(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l{Ｅ^E_lm(ｒ)＋Ｅ^M_lm(ｒ)}＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l[(iｃ/ｋ)ａ^E_lm∇×{ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)}＋ａ^M_lmｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)]です。

　そして,Ｓを計算するにはＢ^E,M_lm,Ｅ^E,M_lmの遠方のｒ→ ∞での挙動を把握すれば十分です。そしてハンケル関数ではｒ→∞での漸近式がｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)→(－i)^l+1exp(iｋｒ)/(ｋｒ)です。

したがって,電気2^l極放射(Ｅ波)ではＢ^E_lm(ｒ)→ ａ^E_lm(－i)^l+1exp(iｋｒ)/(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω),Ｅ^E_lm(ｒ)→ (iｃ/ｋ)ａ^E_lm(－i)^l+1∇×{exp(iｋｒ)/(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)}であり,

磁気2^l極放射(Ｍ波)ではＥ^M_lm(ｒ)→ ａ^M_lm(－i)^l+1exp(iｋｒ)/(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω),Ｂ^M_lm(ｒ)→ {－i/(ｃｋ)}ａ^M_lm(－i)^l+1∇×{exp(iｋｒ)/(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)}です。

　そして,∇×{exp(iｋｒ)/(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)}＝∇{exp(iｋｒ)/(ｋｒ)}×Ｘ_l^m(Ω)＋{exp(iｋｒ)/(ｋｒ)}{∇×Ｘ_l^m(Ω)}＝iｋ{exp(iｋｒ)/(ｋｒ)}{ｅ_r×Ｘ_l^m(Ω)}＋Ｏ(1/(ｋｒ)²です。ｅ_r≡ｒ/ｒです。

　そこで,電気2^l極放射ではＥ^E_lm(ｒ)～ －ｃａ^E_lm(－i)^l+1{exp(iｋｒ)/(ｋｒ)}{ｅ_r×Ｘ_l^m(Ω)}＝ｃＢ^E_lm(ｒ)×ｅ_r,磁気2^l極放射ではＢ^M_lm(ｒ)～ ｃ^-1ａ^M_lm(－i)^l+1{exp(iｋｒ)/(ｋｒ)}{ｅ_r×Ｘ_l^m(Ω)}＝ｃ^-1ｅ_r×Ｅ^M_lm(ｒ)を得ます。

　以上をまとめると,遠方領域でＢ(ｒ)＝{exp(iｋｒ)/(ｋｒ)}Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l(－i)^l+1[ａ^E_lmＸ_l^m(Ω)＋ｃ^-1ａ^M_lm{ｅ_r×Ｘ_l^m(Ω)}],Ｅ(ｒ)＝ｃＢ(ｒ)×ｅ_rなる具体的な漸近表現を得ます。

　そこで,|Ｂ(ｒ)|＝ｃ^-1|Ｅ(ｒ)|であってｒ,Ｅ,Ｂはこの順に右手直交系を作ります。

　したがって,ベクトルＳ(ｒ)＝μ₀^-1Ｅ(ｒ)×Ｂ(ｒ)はｒ方向を向いていて,これのサイクル平均には因子1/2が掛かって＜Ｓ(ｒ)＞＝(2ｃμ₀)^-1|Ｅ(ｒ)|²ｅ_r＝{ｃ/(2μ₀)}|Ｂ(ｒ)|²ｅ_rです。

　結局,Ω＝(θ,φ)のまわりの微小立体角ｄΩに単位時間に放射される電磁エネルギーをｄＵとすれば,ｄＵ＝|＜Ｓ(ｒ)＞|ｒ²ｄΩ＝{ｃ/(2μ₀)}|Ｂ(ｒ)|²ｒ²ｄΩ＝{ｃ/(2μ₀ｋ²)}|Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l(－i)^l+1[ａ^E_lmＸ_l^m(Ω)＋ｃ^-1ａ^M_lm{ｅ_r×Ｘ_l^m(Ω)}]|²ｄΩです。

もしも,γ線放射が純粋な電気(ｌ,ｍ)放射なら,ｄＵ^E_lm＝{ｃ/(2μ₀ｋ²)}|ａ^E_lm|²|Ｘ_l^m(Ω)|²ｄΩであり,純粋な磁気(ｌ,ｍ)放射なら,ｄＵ^M_lm＝{1/(2μ₀ｃｋ²)}|ａ^M_lm|²|Ｘ_l^m(Ω)|²ｄΩです。

これによれば,同じ(ｌ,ｍ)極放射であれば,その放射エネルギー密度は電気型,磁気型を問わず同じ強度角度分布|Ｘ_l^m(Ω)|²を有することがわかります。

　故に,γ線強度の角度分布の測定だけでは放射が電気多極放射か磁気多極放射かを判断することはできません。しかし,放射波の偏極(polarization) or 偏光を調べれば両者を区別できます。

　すなわち,電気多極放射ならその偏光はＸ_l^m(Ω)に平行であり,磁気多重極放射なら偏光はｅ_r×Ｘ_l^m(Ω)に平行です。

さて,Ｚ_l^m(Ω)≡|Ｘ_l^m(Ω)|²と置けば,角度分布はｄＵ^E_lm/ｄΩ＝{ｃ/(2μ₀)}Ｚ_l^m(Ω)|ａ^E_lm|²/ｋ²,ｄＵ^M_lm/ｄΩ＝{1/(2ｃμ₀)}Ｚ_l^m(Ω)|ａ^M_m|²/ｋ²です。

具体的にはＸ_l^m(Ω)≡ｈ_c^-1ＬＹ_l^m(Ω)/{l(l＋1)}^1/2でありＹ_l^m(Ω)＝(－1)^m{(2ｌ＋1)/(4π)}^1/2{(ｌ－ｍ)!/(ｌ＋ｍ)!}^1/2Ｐ_l^m(cosθ)exp(iｍφ)です。

ただし,Ｐ_l(ｚ)はルジャンドル多項式(Legendre polynomial):Ｐ_l(ｚ)≡(2^lｌ!)^-1(ｄ^l/ｄｚ^l)(ｚ²－1)^lであり,Ｐ_l^m(ｚ)はルジャンドル陪多項式:Ｐ_l^m(ｚ)≡(ｄ^l/ｄｚ^l)(ｚ²－1)^m/2{ｄ^mＰ_l(ｚ)/ｄｚ^m}(|ｍ|≦ｌ)です。

そして,ｈ_c^-1Ｌ_x＝－i{－sinφ(∂/∂θ)－cosθsin^-1θcosφ(∂/∂φ)},ｈ_c^-1Ｌ_y＝－i{cosφ(∂/∂θ)－cosθsin^-1θsinφ(∂/∂φ)},ｈ_c^-1Ｌ_z＝－i(∂/∂φ)です。

　そこで,例えばｌ＝1のＰ波なら,Ｘ₁⁰(Ω)＝2^-1/2ｈ_c^-1ＬＹ₁⁰＝{3/(8π)}^1/2(sinθsinφ,sinθcosφ,0)よりＺ₁⁰(Ω)＝|Ｘ_l^m(Ω)|²＝{3/(8π)}sin²θであり,Ｚ₁^±1(Ω)＝|Ｘ₁^±1 (Ω)|²＝{3/(16π)}(1＋cos²θ)です。

同様に,ｌ＝2のＤ波ならＺ₂⁰(Ω)＝{15/(8π)}sin²θcos²θ,Ｚ₂^±1(Ω)＝{5/(16π)}(1－5cos²θ＋4 cos⁴θ),Ｚ₂^±2(Ω)＝{5/(16π)}(1－5cos²θ＋4 cos⁴θ)です。

　いずれにしても,あらゆる方向に放射される(ｌ,ｍ)波の総和:Ｕ^E,M_lmはｄＵ^E,M_lm/ｄΩを全立体角で積分すれば得られます。

　ｄΩ積分を実行して規格化直交条件∫(Ｘ_l^m(Ω)^*Ｘ_l'^m'(Ω))ｄΩ＝δ_ll'δ_mm'を用いることにより放射がＥ波ならＵ^E_lm＝∫ｄＵ^E_lm＝{ｃ/(2μ₀)}|ａ^E_lm|²/ｋ²,Ｍ波ならＵ^M_lm＝∫ｄＵ^M_lm＝{1/(2ｃμ₀)}|ａ^M_lm|²/ｋ²を得ます。

一般には全ての(ｌ,ｍ)型のＥ波,Ｍ波の総和として,ｄＵ/ｄΩ＝{ｃ/(2μ₀ｋ²)}|Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l(－i)^l+1[ａ^E_lmＸ_l^m(Ω)＋ｃ^-1ａ^N_lm{ｅ_r×Ｘ_l^m(Ω)}]|²より,Ｕ＝∫ｄＵ＝{ｃ/(2μ₀)}Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l(|ａ^E_lm|²＋ｃ^-2|ａ^M_lm|²)/ｋ²です。

この式に,先に求めたａ^E_lm＝iμ₀ｃｋ^l+2/(2ｌ＋1)!!}{(l＋1)/l}^1/2Ｑ_lm;電気多極放射:Ｑ_lm＝∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*ρ_e(ｒ)ｄｒ,ａ^M_lm＝{iμ₀ｃｋ^l+2/(2ｌ＋1)!!}{(l＋1)/l}^1/2Ｍ_lm;磁気多極放射;Ｍ_lm＝－∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*∇Ｍ(ｒ)ｄｒの表現を組み合わせます。

ところで,空間反転ｒ→ －ｒ,つまり(ｒ,θ,φ)→(ｒ,π－θ,π＋φ)なる変換に対して球面調和関数はＹ_l^m(θ－π,π＋φ)＝(－1)^lＹ_l^m(θ,φ)なる性質を持ち符号が(－1)^lだけ変わります。

これを関数Ｙ_l^m(Ω)＝Ｙ_l^m(θ,φ)は(－1)^lのパリティ(parity:偶奇性)を持つといいます。また明らかにｒ^lのパリティは正です。

電荷ρ_e(ｒ)はスカラーなのでパリテイは正です。∇ＭではＭ(ｒ)がパリティ正の軸性ベクトル,∇がパリティ負の極性ベクトルのため,∇Ｍのパリテイは負です。

以上から,Ｑ_lm＝∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*ρ_e(ｒ)ｄｒのパリティは(－1)^l,Ｍ_lm＝－∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*∇Ｍ(ｒ)ｄｒのパリティは(－1)^l+1です。

さて,原子核の多極モーメントの幾つかの低次の具体的表現を求めてみると次のようになります。

電気多極では,Ｑ₀₀＝(4π)^-1/2∫ρ_e(ｒ)ｄｒ＝(4π)^-1/2ｑ(ｑは核の総電荷),Ｑ₁₀＝{3/(4π)}1^1/2∫ｒρ_e(ｒ)cosθｄｒ＝{3/(4π)}1^1/2∫ｚρ_e(ｒ)ｄｒ(∫ｚρ_e(ｒ)ｄｒは電気双極子モーメント)etc.です。

磁気多極では,Ｍ₀₀＝－(4π)^-1/2∫∇Ｍ(ｒ)ｄｒ＝－(4π)^-1/2∫Ｍ(ｒ)ｎｄＳ＝0,Ｍ₁₀＝－{3/(4π)}1^1/2∫ｚ∇Ｍ(ｒ)ｄｒ＝－{3/(4π)}1^1/2∫Ｍ_z(ｒ)ｄｒetc.です。

　これまでは古典論でしたが,原子核が量子論的状態|Ψ＞にある場合の量子論での話に移行するには,単に古典論での多極モーメントＱ_lm,Ｍ_lmを,それらに対応する線形演算子Ｑ_lm,Ｍ_lmの期待値＜Ψ|Ｑ_lm|Ψ＞,＜Ψ|Ｍ_lm|Ψ＞で置きかえれば十分です。

　例えば,Ｍ_l0を得るなら,Ψ(ｒ)＝＜ｒ|Ψ＞を波動関数としてＭ_l0＝＜Ψ|Ｍ_l0|Ψ＞＝∫Ψ^*(ｒ)Ｍ_l0Ψ(ｒ)ｄｒを計算します。

　ところで,Ｍ_l0＝∫Ψ^*(ｒ)Ｍ_l0Ψ(ｒ)ｄｒで|Ψ^*Ψ|＝|Ψ|²のパリティ(parity:偶奇性＝空間反転の固有値)は正ですから,Ｍ_l0のパリティはＭ_l0のそれと同じ(－1)^l+1です。

　もしも,Ｍ_l0のパリテイが負なら,それは∫Ψ^*(－ｒ)Ｍ_l0(－ｒ)Ψ(－ｒ)ｄｒ＝－∫Ψ^*(ｒ)Ｍ_l0(ｒ)Ψ(ｒ)ｄｒを意味します。

　ところが,左辺は元が右手系なら単に空間軸が反対の左手系に移行しただけです。

　つまり,この積分はｒ'＝－ｒと変数置換しただけなので,これば∫Ψ^*(－ｒ)Ｍ_l0(－ｒ)Ψ(－ｒ)ｄｒ＝－∫'Ψ^*(ｒ')Ｍ_l0(ｒ')Ψ(ｒ')ｄｒ'と書けます。

　ただし,ｒの積分領域とそれに対応する積分変数ｒ'の積分領域の違いを強調するため,ｒ'の積分記号を∫'と書いて区別表記しました。

　一般に,座標積分変数の反転ｘ'＝－ｘに対しては,∫_-∞^∞ｄｘ＝－∫_∞^-∞ｄｘ'＝∫_-∞^∞ｄｘ'なので積分値の符号は代わりません。

　従って,積分区間の変更:∫→∫'のため,∫Ψ^*(－ｒ)Ｍ_l0(－ｒ)Ψ(－ｒ)ｄｒ＝∫Ψ^*(ｒ)Ｍ_l0(ｒ)Ψ(ｒ)ｄｒを得ます。

　以上から,Ｍ_l0のパリテイが負なら∫Ψ^*(ｒ)Ｍ_l0(ｒ)Ψ(ｒ)ｄｒ＝－∫Ψ^*(ｒ)Ｍ_l0(ｒ)Ψ(ｒ)ｄｒが成立するため,∫Ψ^*(ｒ)Ｍ_l0(ｒ)Ψ(ｒ)ｄｒはゼロになります。

　すぐ上で書いたように,Ｍ_l0のパリテイはＭ_l0と同じ(－1)^l+1ですから原子核のｌが偶数(ｌ＝0,2,4,..)の全ての磁気2^l極モーメントの値はゼロとなります。

　同様にＱ_l0のパリテイはＱ_l0と同じ(－1)^lですから原子核のｌが奇数(ｌ＝1,3,5,..)の全ての電気2^l極モーメントの値はゼロとなります。

　原子核では,"電気双極子(electric dipole)＝電気分極ベクトル"Ｐ(ｒ)が存在しないのもこの結果の一例であると考えられます。

　また,角運動量の合成則から核スピンがＩの状態では,ｌ＞(2Ｉ)の次数の電磁2^l極モーメントは存在しません。そこで,特にＩ＝1/2の状態では電気四重極モーメントはゼロです。

　つまり,核スピンがＩの状態では相互作用中の電磁場の角運動量:Ｌ＝ｈ_cｌに対して角運動量の保存則からＩ＝Ｉ＋ｌが成立します。

　一方,角運動量の理論からＩ₂＝Ｉ₁＋ｌが成立するとき,ｌ≡|ｌ|の取り得る値はｌ＝－|Ｉ₁－Ｉ₂|,－|Ｉ₁－Ｉ₂|＋1,..,Ｉ₁＋Ｉ₂で,ｌの取り得る最大値はＩ₁＋Ｉ₂です。

　そこで,Ｉ₁＝Ｉ₂＝Ｉならｌの取り得る最大値が 2Ｉなのでｌ＞(2Ｉ)の次数の電磁2^l極モーメントは存在しないのです。

　特にＩ＝1/2ならｌの取り得る最大値が１なので,ｌ＝２の電気四重極モーメントも存在しませんね。

　切りがいいので今日はここで終わりにします。(つづく)

参考文献:八木浩輔著「原子核と放射」(朝倉書店),八木浩輔 著「原子核物理学」(朝倉書店),砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店),ジャクソン著(西田 稔 訳)「電磁気学」

　

 

原子核のγ崩壊とメスバウアー効果(2)

原子核のγ崩壊とメスバウアー効果の続きです。

いきなり本題に入ります。

電磁波を与える真空中のマクウェル方程式(Maxwell eq.)は線型なので,電場と磁場の任意の解Ｅ,Ｂは電気的波(Ｅ波＝ＴＭ波;transverse magnetic wave)と磁気的波(Ｍ波＝ＴＥ波;transverse electric wave)に分解できます。

すなわち,Ｅ,ＢはＥ＝Ｅ^E＋Ｅ^M,Ｂ＝Ｂ^E＋Ｂ^M,(ⅰ)Ｅ波＝ＴＭ波:Ｅ^E_r＝Ｅ_r,Ｂ^E_r＝0 (or ｒＥ^E＝ｒＥ,ｒＢ^E＝0 )(ⅱ)Ｍ波＝ＴＥ波:Ｅ^M_r＝0,Ｂ^M_r＝Ｂ_r (or ｒＥ^M＝0,ｒＢ^M＝ｒＢ)の和に分解されます。

(例えば2009年11/７の記事「光(電磁波)の散乱(4)」参照)

一方,前記事で述べたように電磁ポテンシャルφ(ｒ,ｔ)＝φ^(ｒ)exp(－iωｔ),Ａ(ｒ,ｔ)＝Ａ^(ｒ)exp(－iωｔ)の空間部分:φ^(ｒ),Ａ^(ｒ)の任意の１成分ψ(ｒ)はヘルムホルツ方程式(Helmholtz eq.):(∇²＋ｋ²)ψ(ｒ)＝0 の解です。

すなわち,ψ(ｒ)＝ψ(ｒ,θ,φ)は[ｒ^-2(∂/∂ｒ){ｒ²(∂/∂ｒ)}＋ｋ²－(Ｌ²/ｈ_c²)/ｒ²]ψ(ｒ)＝0 を満たします。

そこで,動径関数(radial fuction)因子をｆ_lm(ｋｒ)とすると,ψ(ｒ)は独立な変数分離解の和としてψ(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^lｆ_lm(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)と多重極(multi-pole)に展開できます。

Ｙ_l^m(Ω)＝Ｙ_l^m(θ,φ)は球面調和関数(spherical harmonics)です。これは軌道角運動量の固有値方程式:Ｌ²Ｙ_l^m(Ω) ＝ｈ_c²ｌ(ｌ＋1),Ｌ_zＹ_l^m(Ω)＝ｍＹ_l^m(Ω)を満たします。

そこで,φ(ｒ,ｔ),Ａ(ｒ,ｔ)の空間微分,時間微分の線形和であるＥ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａも多重極展開できるはずです。

先出の2009年11/７の記事「光(電磁波)の散乱(4)」でも,M.Born,E.Wolf著(草川徹)「光学の原理」(東海大学出版会)などを参考にして球状散乱体によるレーリー(Raileigh)散乱,ミイ(Mie)散乱の境界条件を満たすＥ^E,Ｂ^E,Ｅ^M,Ｂ^Mの具体的な展開形を与えましたが,ここでは別の一般的方法で多重極展開の具体形を得たいと思います。

まず,マクスウェル方程式(Maxwell eq.):∇Ｄ＝ρ_e,∇Ｂ＝0,∇×Ｅ＝－∂Ｂ/∂ｔ,∇×Ｈ＝∂Ｄ/∂ｔ＋ｊ_e,および連続方程式:∇ｊ_e＝－∂ρ_e/∂ｔにおいて,Ｅ,Ｂ,Ｄ,Ｈの時間依存性がexp(－iωｔ)のみである角振動数ωの単色波の形式を考えます。

ただし,以下では混乱は生じないと思われるので,例えば電場Ｅ(ｒ,ｔ)＝Ｅ^(ｒ)exp(－iωｔ)の空間部分Ｅ^(ｒ)も,Ｅ(ｒ,ｔ)と同じくＥ(ｒ),あるいは単にＥと表わすことにします。

そして,振動数がωの単色波では上記のマクスウェルの方程式系と連続方程式は∇Ｄ＝ρ_e,∇Ｂ＝0,∇×Ｅ＝iωＢ,∇×Ｈ＝－iωＤ＋ｊ_e,および∇ｊ_e＝－∂ρ_e/∂ｔに帰着します。

特に"ρ_e＝ｊ_e＝0 のとき＝真空中"では,この方程式系は∇Ｅ＝0,∇Ｂ＝0,∇×Ｅ＝iωＢ,∇×Ｂ＝－iμ₀ε₀ωＥ＝－iωｃ^-2Ｅです。

これらの式から,真空中のＥ,Ｂを具体的に得るには(∇²＋ｋ²)Ｂ＝0,および∇Ｂ＝0 を解いてＥ＝(iｃ/ｋ)∇×Ｂ,Ｂ＝－iω^-1∇×Ｅとすればよいことがわかります。

そこで,まず後の便宜のためベクトルヘルムホルツ方程式:(∇²＋ｋ²)Ｂ＝0 の一般解Ｂ(ｒ)を,動径関数を球面ハンケル(Hankel)関数ｈ_l^(ν)(ｘ)(ν＝1,2)の線形結合とする展開式:Ｂ(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^l[ｂ_lm⁽¹⁾ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)＋ｂ_lm⁽²⁾ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)]Ｙ_l^m(Ω)で表現します。

球面ハンケル関数ｈ_l⁽¹⁾(ｘ),ｈ_l⁽²⁾(ｘ)というのはヘルムホルツ動径方程式のｊ_l(ｘ),ｎ_l(ｘ)とは異なる選択の独立解:ｈ_l⁽¹⁾(ｘ)＝ｊ_l(ｘ)＋iｎ_l(ｘ),ｈ_l⁽²⁾(ｘ)＝ｊ_l(ｘ)－iｎ_l(ｘ)です。

さて,Ｂ(ｒ)の多重極展開の表現式を∇Ｂ＝0 に代入するとΣ_l,m∇{ｂ_lm^(ν)ｈ_l^(ν)(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)}＝0 (ν＝1,2)を得ます。

ここで,右辺の∇に公式:∇＝(ｒ/ｒ)(∂/∂ｒ)－{i/(ｈ_cｒ²)}(ｒ×Ｌ)を用います。

　一応,この公式を証明しておきます。

(証明):Ｌ＝(－iｈ_c)(ｒ×∇)より,(ｒ×Ｌ)_i/(－iｈ_c)＝(ε_ijkｘ_jＬ_k)/(－iｈ_c)＝ε_ijkε_klmｘ_jｘ_l∂_m＝(δ_ilδ_jm－δ_imδ_jl)ｘ_jｘ_l∂_m＝ｘ_iｘ_j∂_j－ｘ_jｘ_j∂_i＝ｘ_i(ｒ∇)－ｒ²∇_iです。

　つまり,(ｒ×Ｌ)/(－iｈ_c)＝ｒ(ｒ∇)－ｒ²∇なので,∇＝(ｒ/ｒ)(∂/∂ｒ)－{i/(ｈ_cｒ²)}(ｒ×Ｌ)を得ます。(証明終わり)

あるいは,別の極座標を用いた証明もあります。

(別証明):∇＝ｅ_r(∂/∂ｒ)＋ｅ_θｒ^-1(∂/∂θ)＋ｅ_φｒ^-1sin^-1θ(∂/∂φ)であり,ｅ_r＝ｒ/ｒ,ｅ_r×ｅ_r＝0,ｅ_r×ｅ_θ＝ｅ_φ,ｅ_r×ｅ_φ＝－ｅ_θですから,Ｌ＝(－iｈ_c)(ｒ×∇)＝(－iｈ_c){－ｅ_θsin^-1θ(∂/∂φ)ｒ^-1(∂/∂θ)＋ｅ_φ(∂/∂θ)}です。

さらに,ｒ×Ｌ＝(－iｈ_cｒ){ｅ_θ(∂/∂θ) ＋ｅ_φsin^-1θ(∂/∂φ)}が得られます。

そこで,この極座標表現からも公式:∇＝(ｒ/ｒ)(∂/∂ｒ)－{i/(ｈ_cｒ²)}(ｒ×Ｌ)を導くことができました。(証明終わり)

さらに,Ｆ(ｒ)をｒだけの微分可能な任意関数とすれば,{Ｌ/(－iｈ_c)}Ｆ(ｒ)＝(－i)(ｒ×∇)Ｆ(ｒ)＝(－i/ｒ)(ｒ×ｒ)(ｄＦ/ｄｒ)＝0,つまりＬＦ(ｒ)＝0 です。そこでＬはｒだけの関数を素通りします。

以上から,式:∇Ｂ＝0 or Σ_l,m∇{ｂ_lm^(ν)ｈ_l^(ν)(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)}＝0 はｒΣ_l[{ｄｈ_l^(ν)(ｋｒ)/ｄｒ}Σ_m{ｂ_lm^(ν)Ｙ_l^m(Ω)}－ｈ_c^-1ｒ^-1ｈ_l^(ν)(ｋｒ)Ｌ×{Σ_mｂ_lm^(ν)Ｙ_l^m(Ω)}]＝0 を意味します。

もしも,Ｂ(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^l[ｂ_lm⁽¹⁾ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)＋ｂ_lm⁽²⁾ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)]Ｙ_l^m(Ω)がＴＭ波(Ｅ波):Ｂ^EであればｒＢ^E＝0より,ｒΣ_m=-l^l[ｂ_lm^(ν)ｈ_l^(ν)(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)＝0 ですから,ｒ[Ｌ×{Σ_mｂ_lm^(ν)Ｙ_l^m(Ω)}]＝0 を得ます。

ｒΣ_m=-l^l[ｂ_lm^(ν)ｈ_l^(ν)(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)＝0,かつｒ[Ｌ×{Σ_mｂ_lm^(ν)Ｙ_l^m(Ω)}]＝0 が常に成立するためにはＤ^E_lm^(ν)を定係数として,Σ_mｂ_lm^(ν)Ｙ_l^m(Ω)＝ｈ_c^-1Σ_mＤ^E_lm^(ν)ＬＹ_l^m(Ω)と書ければ十分です。

この表現を採用してＢ^E(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^lΣ_νｂ_lm^(ν)ｈ_l^(ν)(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)に代入すると,Ｂ^E(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^lΣ_νＤ^E_lm^(ν)ｈ_l^(ν)(ｋｒ)ｈ_c^-1ＬＹ_l^m(Ω)を得ます。

そして,Ｅ＝(iｃ/ｋ)(∇×Ｂ)より,Ｅ^E(ｒ)＝(iｃ/ｋ)Σ_l=0^∞Σ_m=-l^lΣ_νＤ^E_lm^(ν)ｈ_l^(ν)(ｋｒ){∇×ｈ_c^-1ＬＹ_l^m(Ω)}です。

同様にｒＥ^M＝0 よりＥ^M(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^lΣ_νＤ^M_lm^(ν)ｈ_l^(ν)(ｋｒ)ｈ_c^-1ＬＹ_l^m(Ω)です。

そこで,Ｂ＝－iω^-1∇×ＥからＢ^M(ｒ)＝－i(ｃｋ)^-1∇×Ｅ^M(ｒ)＝{－i/(ｃｋ)}Σ_l=0^∞Σ_m=-l^lΣ_νΣ_m=-l^lＤ^M_lm^(ν)ｈ_l^(ν)(ｋｒ){∇×ｈ_c^-1ＬＹ_l^m(Ω)}を得ます。

ここで,∫(Ｘ_l^m(Ω)^*Ｘ_l'^m'(Ω))ｄΩ＝δ_ll'δ_mm'と直交規格化されたベクトル球面調和関数:Ｘ_l^m(Ω)をＸ_l^m(Ω)≡ｈ_c^-1ＬＹ_l^m(Ω)/{l(l＋1)}^1/2＝(－i){ｒ×∇Ｙ_l^m(Ω)}/{l(l＋1)}^1/2で定義して導入します。

また,ｆ^E,M_lm(ｋｒ)≡Ｃ^E,M_lm⁽¹⁾ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)＋Ｃ^E,M_lm⁽²⁾ｈ_l⁽²⁾(ｋｒ),Ｃ^E,M_lm^(ν)≡{l(l＋1)}^1/2Ｄ^E,M_lm^(ν)と置きます。

すると場はＢ(ｒ)＝Ｂ^E(ｒ)＋Ｂ^M(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l[Ａ^E_lmｆ^E_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)－Ａ^M_lm{i/(ｃｋ)}{∇×{ｆ^M_lm(ｒ)Ｘ_l^m(Ω)}},Ｅ(ｒ)＝Ｅ^E(ｒ)＋Ｅ^M(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l[Ａ^E_lm(iｃ/ｋ){∇×{ｆ^E_lm(ｒ)Ｘ_l^m(Ω)}＋Ａ^M_lmｆ^M_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)}と表わすことができます。

これで,真空中の磁場Ｂ(ｒ)と電場Ｅ(ｒ)の多重極展開の具体的な形が得られました。

右辺の級数和:Σ_l=0^∞をｌ＝1から始まるΣ_l=1^∞に書き換えたのはｌ＝0 (球対称なｓ波)なら,ＬＦ(ｒ)＝0 のためＸ_l^m(Ω)＝ｈ_c^-1ＬＹ_l^m(Ω)}/{l(l＋1)}^1/2が存在しないからです。

次に,原子核の中心ｒ＝0 付近の限られた領域を考えると,ここは真空ではなくρ_e(ｒ,ｔ)＝ρ_e(ｒ)exp(－iωｔ),ｊ_e(ｒ,ｔ)＝ｊ_e(ｒ)exp(－iωｔ)なる振動電荷,振動電流が存在します。

そして,物質の電磁気学の現象論からεを核の誘電率,μを核の透磁率としてＤ＝εＥ＝ε₀Ｅ＋Ｐ,Ｈ＝μ^-1Ｂ＝μ₀^-1Ｂ－Ｍと書けます。

ただし,実際には非負電荷のみから成る原子核では電気分極:Ｐはゼロですからε＝ε₀,Ｄ＝ε₀Ｅです。核磁気モーメントＭの方は存在してＭ(ｒ,ｔ)＝Ｍ(ｒ)exp(－iωｔ)と書けます。

そこで,先に与えた単色波のマクスウェル方程式:∇Ｄ＝ρ_e,∇Ｂ＝0,∇×Ｅ＝iωＢ,∇×Ｈ＝－iωＤ＋ｊ_e,連続方程式:∇ｊ_e＝iωρ_eに,Ｄ＝ε₀Ｅ,Ｈ＝μ₀^-1Ｂ－Ｍを代入してρ_e＝ｊ_e＝0 の真空のときと同じくＤ,Ｈを消去してみます。

∇Ｅ＝ρ_e/ε₀,∇Ｂ＝0,∇×Ｅ＝iωＢ,∇×(Ｂ－μ₀Ｍ)＝－iε₀μ₀ωＥ＋μ₀ｊ_e＝－iｃ^-2ωＥ＋μ₀ｊ_e,∇ｊ_e＝iωρ_eですね。

そして∇Ｅ＝ρ_e/ε₀と∇ｊ_e＝iωρ_eから,∇{Ｅ＋i/(ε₀ω)ｊ_e}＝0 となりρ_eを消去できます。

つまり,Ｅ'をＥ'≡Ｅ＋i/(ε₀ω)ｊ_eで定義すれば∇Ｅ'＝0 です。さらに,∇×(Ｂ－μ₀Ｍ)＝－iｃ^-2ωＥ＋μ₀ｊ_eはＥ'を用いると∇×(Ｂ－μ₀Ｍ)＝－iｃ^-2ωＥ'と書き直せます。

そして,発散(divergence)がゼロのＢ,Ｅ'については,∇×(∇×Ｂ)＝∇(∇Ｂ)－∇²Ｂ＝－∇²Ｂ,∇×(∇×Ｅ’)＝∇(∇Ｅ')－∇²Ｅ'＝－∇²Ｅ'が成り立ちます。

　故に,∇×(Ｂ－μ₀Ｍ)＝－iｃ^-2ωＥ'より∇×{∇×(Ｂ－μ₀Ｍ)}＝－iｃ^-2ω∇×Ｅ'＝－iｃ^-2ω∇×Ｅ＋μ₀∇×ｊ_eですが,∇×Ｅ＝iωＢなので(∇²＋ｋ²)Ｂ＝－μ₀{∇×ｊ_e＋∇×(∇×Ｍ)}を得ます。

また,∇×Ｅ＝iωＢより∇×{Ｅ'－i/(ε₀ω)ｊ_e}＝iωＢですから∇×{∇×{Ｅ'－i/(ε₀ω)ｊ_e}}＝iω∇×Ｂです。

故に,∇×(Ｂ－μ₀Ｍ)＝－iｃ^-2ωＥ'＋μ₀∇×Ｍを用いて－∇²Ｅ'－i/(ε₀ω)∇×(∇×ｊ_e)＝ｋ²Ｅ'＋iμ₀ω∇×Ｍとなります。

　以上から,(∇²＋ｋ²)Ｅ'＝－iｃμ₀ｋ^-1{∇×(∇×ｊ_e)＋ｋ²∇×Ｍ}が得られます。

並べて書くと,(∇²＋ｋ²)Ｂ＝－μ₀{∇×ｊ_e＋∇×(∇×Ｍ)},(∇²＋ｋ²)Ｅ'＝－iμ₀ｋ^-1{ｋ²∇×Ｍ＋∇×(∇×ｊ_e)}です。

式が過剰となりますから整合性が必要ですが,これらと∇Ｂ＝0,∇Ｅ'＝0,∇×Ｂ＝－iｃ^-2ωＥ'＋μ₀∇×Ｍ,および∇×Ｅ'＝iωＢ＋i/(ε₀ω)∇×ｊ_eを組み合わせます。

真空のときと同様,Ｂ＝Ｂ^E＋Ｂ^M,Ｅ'＝Ｅ'^E＋Ｅ'^Mと分割して,∇Ｂ^E＝0,ｒＢ^E＝0,および∇Ｅ'^M＝0,ｒＥ'^M＝0 を同時に満たすＢ^E,Ｅ'^MとしてＢ^E(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^lＦ^E_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω),Ｅ'^M(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^lＦ^M_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)なる展開形が想定されます。

前と同じく,Ｂ^M＝－iω^-1∇×Ｅ'^MとしてみるとＢ＝Ｂ^E＋Ｂ^M＝－iω^-1∇×Ｅ'＋ｋ^-2μ₀∇×ｊ_eから,Ｂ^E＝－iω^-1∇×Ｅ'^E＋ｋ^-2μ₀∇×ｊ_eとなることが必要です。

また,Ｅ'^E＝(iｃ/ｋ)∇×Ｂ^EとしてみるとＥ'＝Ｅ'^E＋Ｅ'^M＝iｃｋ^-1∇×Ｂ－iｃμ₀ｋ^-1∇×Ｍから,Ｅ'^M＝iｃｋ^-1∇×Ｂ^M－iｃμ₀ｋ^-1∇×Ｍとなることが必要です。

これで辻褄が合うなら,Ｂ^E(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^lＦ^E_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω),およびＥ'^M(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^lＦ^M_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)から,動径関数Ｆ^E,M_lm(ｋｒ)だけが真空中のｆ^E,M_lm(ｋｒ)と異なるという形で原子核中心領域の磁場,電場の空間部分が次のように表わされます。

すなわち,Ｂ(ｒ)＝Ｂ^E(ｒ)＋Ｂ^M(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l[Ｆ^E_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)－{i/(ｃｋ)}{∇×{Ｆ^M_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)}},Ｅ(ｒ)＝Ｅ^E(ｒ)＋Ｅ^M(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l[(iｃ/ｋ){∇×{Ｆ^E_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)}＋Ｆ^M_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)}です。

問題はこれで全ての辻褄が合うかどうか?です。

まず,Ｂ^E＝－iω^-1∇×Ｅ'^E＋ｋ^-2μ₀∇×ｊ_eとＥ'^E＝(iｃ/ｋ)∇×Ｂ^Eから,Ｂ^E＝－ｋ^-2∇²Ｂ^E＋ｋ^-2μ₀∇×ｊ_eなので,(∇²＋ｋ²)Ｂ^E＝μ₀∇×ｊ_eです。

同様に,Ｅ'^E＝－ｋ^-2∇²Ｅ'^E＋iｃｋ^-3μ₀∇×(∇×ｊ_e)により,(∇²＋ｋ²)Ｅ'^E＝iμ₀ｃｋ^-1∇×(∇×ｊ_e)です。

また,Ｅ'^M＝iｃｋ^-1∇×Ｂ^M－iｃμ₀ｋ^-1∇×Ｍ,Ｂ^M＝－iω^-1∇×Ｅ'^MからＥ'^M＝－ｋ^-2∇²Ｅ'^M－iｃμ₀ｋ^-1∇×Ｍにより,(∇²＋ｋ²)Ｅ'^M＝－iμ₀ｃｋ∇×Ｍです。

同様に,Ｂ^M＝－ｋ^-2∇²Ｂ^M＋ｋ^-2μ₀∇×(∇×Ｍ)により,(∇²＋ｋ²)Ｂ^M＝μ₀∇×(∇×Ｍ)が得られます。

これらを通して,Ｂ(ｒ)＝Ｂ^E(ｒ)＋Ｂ^M(ｒ),Ｅ(ｒ)＝Ｅ'^E(ｒ)＋Ｅ'^M(ｒ)は,確かにそれぞれ,方程式:(∇²＋ｋ²)Ｂ＝－μ₀{∇×ｊ_e＋∇×(∇×Ｍ)},(∇²＋ｋ²)Ｅ'＝－iμ₀ｃｋ^-1{∇×(∇×ｊ_e)＋ｋ²∇×Ｍ}を満たしています。

そして,与えた多重極の展開形式は,確かに∇Ｂ^E,M＝∇Ｅ'^E,M＝0,およびｒＢ^E＝ｒＥ'^M＝0 を満たします。

Ｂ^E＝－iω^-1∇×Ｅ'^E＋ｋ^-2μ₀∇×ｊ_e,Ｅ'^M＝iｃｋ^-1∇×Ｂ^M－iｃμ₀ｋ^-1∇×Ｍ,ｒＢ^E＝0,ｒＥ'^M＝0 によりｒ{∇×(Ｅ'^E＋iμ₀ｃｋ^-1ｊ_e)}＝0,ｒ{∇×(Ｂ^N－μ₀Ｍ)}＝0 が要求されます。

しかし,これはＢ＝Ｂ^E＋Ｂ^M,Ｅ＝Ｅ'^E＋Ｅ'^Mの上記分割が妥当でその他全ての式を満たす解であれば,当然,Ｂ^M,Ｅ'^Eが満たすべき条件です。言うなればトートロジーですね。

さて,今得たのは電荷密度,電流密度,磁気モーメントが全て存在する内部領域における解ですがこれらはその境界で領域の外の解に滑らかに接続するはずです。

そして,この境界条件はＦ^E_lm(ｋｒ)→Ａ^E_lmＣ^E_lm⁽¹⁾ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ),Ｆ^M_lm(ｋｒ)→Ａ^M_lmＣ^M_lm⁽¹⁾ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)で与えられます。

ここで,ｒ→ ∞での球ハンケル関数の挙動はｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)→(－i)^l+1exp(iｋｒ)/(ｋｒ),ｈ_l⁽²⁾(ｋｒ)→i^l+1exp(－iｋｒ)/(ｋｒ)ですから,原子核中心付近から放射される波には外向き成分しかないとして領域の外の真空中での動径関数ｆ^E,N_lm(ｋｒ)≡Ｃ^E,N_lm⁽¹⁾ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)＋Ｃ^E,N_lm⁽²⁾ｈ_l⁽²⁾(ｋｒ)でｈ_l⁽²⁾(ｋｒ)の係数Ｃ^E,N_lm⁽²⁾を全てゼロと置きました。

動径関数:Ｆ^E_lm(ｋｒ)を具体的に解くために,Ｂ^E(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^lＦ^E_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)を(∇²＋ｋ²)Ｂ＝－μ₀∇×ｊ_eに代入します。

すると,[ｒ^-2(∂/∂ｒ){ｒ²(∂/∂ｒ)}＋ｋ²－(Ｌ²/ｈ_c²)/ｒ²]Ｂ^E(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｆ^E_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)＝－μ₀∇×ｊ_eです。

　この方程式の両辺の左からＸ_l'^m'(Ω)^*を掛けてｄΩ積分し規格化直交条件を用いると,{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｆ^E_lm(ｋｒ)＝－μ₀∫Ｘ_l^m(Ω)^* {∇×ｊ_e(ｒ)}ｄΩ≡－Ｋ^E(ｒ)です。

　同様に,Ｅ'^M(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^lＦ^M_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)を(∇²＋ｋ²)Ｅ'^M＝－iμ₀ｃｋ∇×Ｍに代入します。

　すると,[ｒ^-2(∂/∂ｒ){ｒ²(∂/∂ｒ)}＋ｋ²－(Ｌ²/ｈ_c²)/ｒ²]Ｅ'^M(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｆ^M_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)＝－iμ₀ｃｋ∇×Ｍです。

これも左からＸ_l'^m'(Ω)^*を掛けてｄΩ積分し規格化直交条件を用いると,{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｆ^M_lm(ｋｒ)＝－iμ₀ｃｋ∫Ｘ_l^m(Ω)^*{∇×Ｍ(ｒ)}ｄΩ≡－Ｋ^M(ｒ)を得ます。

今日はここで終わります。

いやあ,今回も細かい計算を始めると寝食も忘れてしまいます。こういう習性だけは,体力も精神力も落ちて老眼鏡が不可欠な今も昔と変わりませんね。

この関係の記事を後回しにしていたのは自分の計算に納得できず,いくら検算しても合わないような問題点があったからです。

そしてまだ終わっていません。テーマは古いのですがね。

ただ,別に締め切りも無くて暇があるだけが救いです。

ま,いくら心血を注いでも一銭にもなりませんがね。あ,でも自己満足を得られるからそれで十分かぁ。。。

ゼロからでなく色々と参考書もあるのですが,一度つまずくと細かい式については専門の本も100％は信用できませんから大変かな。。

八木浩輔著「原子核物理学」(朝倉書店),八木浩輔 著「原子核と放射」(朝倉書店),砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店),ジャクソン著(西田 稔 訳)「電磁気学」 

　

 

甲斐智美女流二段がマイナビ新女王に!!

　将棋ニュースです。(友人のTKさんからの情報を少し脚色)

　「マイナビ女子オープン」http://mynavi-open.jp/　で甲斐智美女流二段が矢内理絵子女王（女流四段)との五番勝負３連勝で新女王になりました。

　(第３局は４月19日東京将棋会館)　

　　　　　　←甲斐智美女流二段；メガネが似合ってる。

　鉄のスカートと呼ばれていた？矢内理絵子さん４年ぶり無冠です。

　羽生善治名人と挑戦者三浦弘行八段の名人戦七番勝負第２局が４月20,21日に岩手の遠野で行われ,９３手で先手羽生の２連勝です。

　このまま終わってしまうのでは？。。。第３局は５月６日千葉県野田市で。。

　http://mainichi.jp/enta/shougi/news/20100422k0000m040061000c.html

アクセス数新記録

　何なんだろうなぁ？昨日は初めて一日のアクセス数が1000を超えて1552でした。訪問者数は1474ですから訪問回数は平均１回で,ほとんどは"いちげんさん"なんでしょうけど。。

　何故か13時から14時に1224人,1230アクセス,それ以外は300アクセスくらいですからイツモと同じなんだけど。。。

　きっと,何かの検索ワードで大当たりしたんでしょうけどね。。。理由がわからないと少し気持ち悪い。。イヤ,ある意味気持ちいいのですが。。

(明男さんのコメントによれば,Ｘ-ＪＡＰＡＮのＴＯＳＨＩさんのニュースのためらしいです。やはり芸能人の名前の効果はすごいですね。)

PS:自分ではプライドなんか持っていない。あるとしてもそれは"プライドなんかないぞ。"というプライドくらいかな？と思っていましたが。。。

　どうもその"プライドなんかない。"というプライドというのが"何様のつもりなんだ？"とか"何の根拠も無いのにえらくプライドの高い野郎だな"と見えるらしいですね。。。イヤこういうフラストレイション？はむずかしいものです。。。

ＰＳ２：基地移転問題か？そりゃ,こういうものは人も漁獲資源などもなく人里から離れた無人島でもなければ普通,誰だって反対するのが当然でしょう。

　ん？関空は埋立地か?

　もうヤンキーは不要だから全員国に帰れば。。。？

　思えば40年前,地元の大多数の農民の反対にも関わらず成田新空港建設の土地を強制収用するという強制代執行への反対を支援して現地で土地座り込みをしたりしたものでした。

　当時の大多数の国民の世論は政府と千葉県を支持していて反対者は犯罪人扱いだったなあ。。懐かしい。。。

　まあ,強制執行のおかげで今の成田空港ができたのですが。。。

　元々火山灰だらけの不毛な関東シラス台地を苦労して開墾し,米はできないけれど落花生,イモなどができるようにしたと聞いていた農地(命？)を「公共の利益」(←誰の利益じゃ？）のために奪われたのですね。

　最後に,土地収用を強制的に執行された頃には反対派は少数化していましたが,それはヤン場ダム?などと同じく説明会と称する地上げ活動,買収によるもので当初は大多数が建設反対でした。

　(2006年５/15の記事 「学生運動の時代(回想) 」参照)

　

原子核のγ崩壊とメスバウアー効果(1)

　原子核のγ崩壊についての記事は私自身の古典電磁気学の復習のために意図していた時期よりも２ヶ月も遅れました。やっと本題に入れます。

　ちなみにα崩壊の話なら,2006年10/４,10/５の記事「原子核のα崩壊の理論(Ⅰ)」,「原子核のα崩壊の理論(Ⅱ)」があります。

　さて,原子核:^Z_AＸ_Nの励起状態|ｉ＞≡|Ｉ_i^πiＭ_i＞がγ線を放出して終状態|ｆ＞≡|Ｉ_f^πfＭ_f＞へ転移(transit)するとします。

ただし,Ｍは"核スピンＩのｚ軸成分＝磁気量子数"です。また,放出γ線のエネルギーをＥ_γ≡ｈ_cω＝ｈ_cｃ|ｋ|とします。ｃは光速,ｋはγ線の波数ベクトルです。ｈ_c≡ｈ/(2π)で,ｈはPlanck定数です。

一定のスピンの偏極(polarization):(Ｍ_i－Ｍ_f)を持つ"γ線の量子＝光子(photon)"が単位時間に波数ベクトルｋの周りの微小立体角ｄΩに放出される確率をｕ(Ｍ_i,Ｍ_f)ｄΩとすると,摂動論からこれはよい近似でｕ(Ｍ_i,Ｍ_f)ｄΩ＝(2π/ｈ_c)|＜ｆ|Ｈ_γ'|ｉ＞|²(ｄｎ/ｄＥ_γ)ｄΩと表わされます。

ここにＨ_γ'は,"電磁場(γ線)と核の相互作用＝電磁相互作用"のハミルトニアン(Hamiltonian)です。これは具体的にはＨ_γ'＝∫ｊ_e^μ(ｒ,ｔ)Ａ_μ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ＝∫ρ_e(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ－∫ｊ_e(ｒ,ｔ)Ａ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒで与えられます。

ただしｊ_e^μ＝(ｃρ_e,ｊ_e)＝(ｃρ_e,ρ_eｖ),Ａ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)です。ρ_e(ｒ,ｔ)は電荷密度,ｊ_e (ｒ,ｔ)は電流密度です。

ｖを時刻ｔに位置ｒにある電荷の速度とすると,伝導電流が存在しないときにはｊ_e(ｒ,ｔ)＝ρ_e(ｒ,ｔ)ｖと書くことができます。

時刻ｔでの全電荷をｑ(ｔ)＝∫ρ_e(ｒ,ｔ)ｄ³ｒとします。また,"全偏極＝電気双極子(electric dipole)"をＰ(ｔ)＝∫ρ_e(ｒ,ｔ)ｒｄ³ｒで,磁気双極子(magnetic dipole)をμ(ｔ)＝(1/2)∫ｒ×ｊ_e(ｒ,ｔ)ｄ³ｒで表わします。

また,電気四重極子(electric quadrapole)をＱ_ij(ｔ)＝∫ρ_e(ｒ,ｔ)(3ｘ_iｘ_j－δ_ijｒ²)ｄ³ｒとします。磁気四重極子は通常速度では電気のそれに比べて無視できる量なので詳細な表現は割愛します。

元々,双極子,四重極子etc.の多重極展開(multi-pole expansion)はラプラス方程式(Laplace eq.)やポアソン方程式(Poisson eq.)に従う静電場,または静磁場に適用されたものです。

すなわち,静電場,または静磁場をそれぞれ点電荷の球対称なクーロン電場(Coulomb field)とその微分,または双極子電流によるアンペール(Amprere')やビオ・サバール(Biot-Savart)の磁場とその微分を与える動径関数と球面調和関数(spherical harmonics)の積で表わされる項の和で表現するものです。

静電場,静磁場を与える一般的な電磁ポテンシャルはφ(ｒ)＝{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒ'[ρ_e(ｒ')/|ｒ－ｒ'|],Ａ(ｒ)＝{μ₀/(4π)}∫ｄ³ｒ'[ｊ_e(ｒ')/|ｒ－ｒ'|]です。

この電磁ポテンシャルφ(ｒ),Ａ(ｒ)の４成分のうちの１つをψ(ｒ)と書けば,これはラプラス方程式∇²ψ(ｒ)＝0 を満たします。

ただし,∇²はラプラス演算子(Laplacian)で,∇²≡∂²/∂ｘ²＋∂²/∂ｙ²＋∂²/∂ｚ²で定義される微分演算子です。

ラプラス演算子を極座標で書くと,∇²＝(∂/∂ｒ){ｒ²(∂/∂ｒ)}－(Ｌ²/ｈ_c²)/ｒ²と書けます。ただしＬは軌道角運動量:Ｌ≡ｒ×ｐ＝ｒ×(－iｈ_c∇)です。

軌道角運動量の成分の極座標表示は,Ｌ_x＝－iｈ_c(ｙ∂/∂ｚ－ｚ∂/∂ｙ)＝－iｈ_c{－sinφ(∂/∂θ)－cosθsin^-1θcosφ(∂/∂φ)},Ｌ_y＝－iｈ_c(ｚ∂/∂ｘ－ｘ∂/∂ｚ)＝－iｈ_c{cosφ(∂/∂θ)－cosθsin^-1θsinφ(∂/∂φ)},Ｌ_z＝－iｈ_c(ｘ∂/∂ｙ－ｙ∂/∂ｘ)＝－iｈ_c(∂/∂φ)です。

故に,Ｌ²＝ｈ_c²[sin^-1θ(∂/∂θ)sinθ(∂/∂θ)＋sin^-2θ(∂²/∂φ₂)]となるためにラプラス演算子が∇²＝ｒ^-2(∂/∂ｒ){ｒ²(∂/∂ｒ)}－(Ｌ²/ｈ_c²)/ｒ²と表わされるわけです。

そこで.ラプラス方程式の一般解はψ(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^lＲ_l(ｒ)Ｙ_l^m(Ω)なる多重極展開として表現できます。

Ｙ_l^m(Ω)＝Ｙ_l^m(θ,φ)は球面調和関数です。これは軌道角運動量の固有値方程式:Ｌ²Ｙ_l^m(Ω) ＝ｌ(ｌ＋1)ｈ_c²Ｙ_l^m(Ω),およびＬ_zＹ_l^m(Ω)＝ｍｈ_cＹ_l^m(Ω)を満たします。

一方,動径関数Ｒ_l(ｒ)は常微分方程式:{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｒ_l(ｒ)＝0 の解です。

Ｒ_l(ｒ)に対するこの２階方程式の独立な解としてｒ^l,ｒ^-(l+1)を採用すれば,ラプラス方程式の一般解の１表現:ψ(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^l[Ａ_lｒ^l＋Ｂ_lｒ^-(l+1)]Ｙ_l^m(Ω)を得ます。

静電磁場ではなく"共変ゲージ＝ローレンツゲージ(Lorenz gauge)":∇Ａ＋ｃ^-2(∂φ/∂ｔ)＝0 を満たす一般の時間に依存する場の電磁ポテンシャルφ,Ａを遅延ポテンシャル(retarded- potential)で表わすと,φ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒ'[ρ_e(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'|],Ａ(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4π)}∫ｄ³ｒ'[ｊ_e(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'|];ｔ'≡ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃと書けます。

これらを見ると,電荷分布ρ_e(ｒ,ｔ),電流密度ｊ_e(ｒ,ｔ)の時間ｔへの依存性を除けば電磁ポテンシャルは静場のクーロン電場やアンペール磁場のそれに一致する形をしています。

しかし,静電場,静磁場のポテンシャルφ(ｒ),Ａ(ｒ)がラプラス方程式:∇²φ(ｒ)＝0,∇²Ａ(ｒ)＝0 の解であるのに対し,一般の場は"時間に依存する波動方程式＝ダランベール(D'Alembert)の方程式":□φ(ｒ,ｔ)＝0,□Ａ(ｒ,ｔ)＝0 の解です。

ただし,□はダランベール演算子(D'Alembertian)と呼ばれる微分演算子で,□≡ｃ^-2(∂²/∂ｔ²)－∇²で定義されます。

遅延ポテンシャルはローレンツゲージ∇Ａ＋ｃ^-2(∂φ/∂ｔ)＝0 を満たしていて,かつＥ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａによって電場Ｅ,磁場Ｂを与えます。

もしも,場が時間ｔによらない静電場,静磁場なら∂φ/∂ｔ＝0,∂Ａ/∂ｔ＝0 なのでローレンツゲージ∇Ａ＋ｃ^-2(∂φ/∂ｔ)＝0 はクーロンゲージ∇Ａ＝0 に帰着します。

また,Ｅ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａも静場の場合の電場,磁場の表現Ｅ＝－∇φ,Ｂ＝∇×Ａに帰着します。

さて,静場でない一般的な場の時間依存部分を変数分離してφ(ｒ,ｔ)＝∫φ^(ｒ,ω)exp(－iωｔ)ｄω,Ａ(ｒ,ｔ)＝∫Ａ^(ｒ,ω)exp(－iωｔ)ｄωとフーリエ(Fourier)積分で表現してみます。

すると,φ^(ｒ,ω),Ａ^(ｒ,ω)はヘルムホルツ方程式(Helmholtz eq.)の解です。すなわち,φ^(ｒ,ω),Ａ^(ｒ,ω)の４成分の任意の１つをψ(ｒ,ω)と書けば,これは方程式(∇²＋ｋ²)ψ(ｒ,ω)＝0 を満たします。ただしｋ＝ω/ｃです。

特に,複素表現で場の時間依存性が因子:exp(－iωt)のみに比例する場合,つまり角振動数ωが一定の単色平面波の場合を仮定すれば,電磁ポテンシャルはφ(ｒ,ｔ)＝φ^(ｒ)exp(－iωt),Ａ(ｒ,ｔ)＝Ａ^(ｒ)exp(－iωt)と書けます。

このときのφ^(ｒ),Ａ^(ｒ)の４成分のうちの任意の１つψ(ｒ)ももちろんヘルムホルツ方程式(∇²＋ｋ²)ψ(ｒ)＝0 を満たします。

それ故,静場のラプラス方程式∇²ψ(ｒ)＝0 の一般解と同じく,ヘルムホルツ方程式の一般解もψ(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^lＲ_l(ｒ)Ｙ_l^m(Ω)と多重極展開されます。

動径関数Ｒ_l(ｒ)は静場では{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｒ_l(ｒ)＝0 を満たすのに対し,一般の場では{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｒ_l(ｒ)＝0 を満たします。

そこで,ヘルムホルツ方程式の一般解としてψ(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^l[Ａ_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ_lｎ_l(ｋｒ)]Ｙ_l^m(Ω)なる展開式を得ます。ただしj_l(ｘ),ｎ_l(ｘ)は球面ベッセル関数(spherical Bessel function)です。

このj_l(ｘ),ｎ_l(ｘ)はベッセル関数Ｊ_l+1/2(ｘ),Ｎ_l+1/2(ｘ)からj_l(ｘ)≡{π/(2ｘ)}^1/2Ｊ_l+1/2(ｘ),ｎ_l(ｘ)≡{π/(2ｘ)}^1/2Ｎ_l+1/2(ｘ)で定義されます。

これらは,j_l(ｘ)＝(－ｘ)^l{(1/ｘ)ｄ/ｄｘ}^l(sinｘ/ｘ),ｎ_l(ｘ)＝－(－ｘ)^l{(1/ｘ)ｄ/ｄｘ}^l(cosｘ/ｘ)なる表現を持ちますからｘ＝0 の近傍ではj_l(ｘ)→{ｘ^l/(2ｌ＋1)!!}[1－ｘ²/{2(2ｌ＋１)}＋..],ｎ_l(ｘ)→－(2ｌ－1)!!/ｘ^l+1と近似できます。

記号(2ｌ＋1)!!は,(2ｌ＋1)!!≡(2ｌ＋1)(2ｌ－1)(2ｌ－3)..5・3・1,(2ｌ－1)!!≡(2ｌ－1)(2ｌ－31)(2ｌ－5)..5・3・1です。

原子核から放射される個々のγ線は単一の角振動数ωを持つことを想定して,φ(ｒ,ｔ)＝φ^(ｒ)exp(－iωt),Ａ(ｒ,ｔ)＝Ａ^(ｒ)exp(－iωt)なる形の単色波を仮定した場合,ローレンツ条件:∇Ａ＋ｃ^-2(∂φ/∂ｔ)＝0 は∇Ａ^－iωｃ^-2φ^＝0に帰着します。

また,電場,磁場の表現:Ｅ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×ＡはＥ^＝－∇φ^＋iωＡ^,Ｂ^＝∇×Ａ^に帰着します。

変動の少ない電荷や電流から放射された電磁波であれば,φ(ｒ,ｔ),Ａ(ｒ,ｔ)の形は平面波exp{i(ｋｒ－ωｔ)}に近いと考えられます。そこでローレンツ条件∇Ａ^－iωｃ^-2φ^＝0 はさらにｋＡ^－ωｃ^-2φ^～ 0 と近似されます。

したがって,Ａ^とφ^の大きさを比較すると,ｋ＝|ｋ|＝ω/ｃよりｋ|Ａ^|～ωｃ^-2|φ^|なのでオーダー的には|Ａ^|～|φ^|/ｃです。

以上から,原子核の中心ｒ＝0 に集中した電荷の時間変動が激しくない:∂ρ/∂ｔ～ 0,ω/ｃ＜＜１と見なせる場合は,φ,Ａの１成分ψ(ｒ)の展開:ψ(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^l[Ａ_lmj_l(ｋｒ)＋Ｂ_lmｎ_l(ｋｒ)]Ｙ_l^m(θ,φ)を静場の展開:ψ(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^l[Ａ_lmｒ^l＋Ｂ_lmｒ^-(l+1)]Ｙ_l^m(θ,φ)で近似してよいと考えられます。

つまり,電荷の変動が激しくない場合の近似は,j_l(ｋｒ)を(ｋｒ)^l/(2ｌ＋1)!!で,ｎ_l(ｋｒ)を(ｋｒ)^-(l+1)(2ｌ－1)!!で置き換える近似に相当しています。

こうした近似が有効な場合,電磁相互作用Ｈ_γ'＝∫ρ_e(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ－∫ｊ_e(ｒ,ｔ)Ａ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒの多重極展開は,次のようなｒによるテイラー(Tayler)展開と同等であると思われます。

まず,φ(ｒ)のテイラー展開:φ(ｒ)＝φ(0)＋ｒ∇φ^＋(1/2)Σ_ijｘ_iｘ_j(∂_i∂_jφ)＋..＝φ(0)－ｒＥ(0)－(1/2)Σ_ijｘ_iｘ_j(∂_iＥ_j)＋..より∫ρ_e(ｒ)φ(ｒ)ｄ³ｒ＝∫ρ_e(ｒ)φ(0)ｄ³ｒ－[∫ρ_e(ｒ)ｒｄ³ｒ]Ｅ(0)－(1/2)Σ_ij[∫ρ_e(ｒ)(ｘ_iｘ_j)ｄ³ｒ](∂_iＥ_j)＋..＝ｑφ(0)－ＰＥ(0)－(1/6)Σ_ijＱ_ij∂_iＥ_j＋(1/2)∇Ｅ∫ρ_e(ｒ)ｒ²ｄ³ｒ＋..を得ます。

しかし,電荷ｑが中心に集中している原子核ならρ_e(ｒ)～ｑδ³(ｒ)ですから,∇Ｅ＝ρ_e(0)/ε₀＝ｑδ³(0)/ε₀,∫ρ_e(ｒ)ｒ²ｄ³ｒ＝ｑ∫δ³(ｒ)ｒ²ｄ³ｒ＝0 より(1/2)∇Ｅ∫ρ_e(ｒ)ｒ²ｄ³ｒ～ｑ²∫{ｒδ³(ｒ)}²ｄ³ｒ＝0 となります。

結局,∫ρ_e(ｒ)φ(ｒ)ｄ³ｒ＝ｑφ(0)－ＰＥ(0)－(1/6)Σ_ijＱ_ij∂_iＥ_j＋..なる展開式が得られます。

一方,－∫ｊ_e(ｒ,ｔ)Ａ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒは－∫ｊ_e(ｒ)Ａ(ｒ)ｄ³ｒ＝－Σ_k∫ｊ_ek(ｒ){Ａ_k(0)＋ｘ_j∂_jＡ_k＋(1/2)Σ_ijｘ_iｘ_j(∂_i∂_jＡ_k)＋..}ｄ³ｒ＝－[∫ｊ_e(ｒ)ｄ³ｒ]Ａ(0)－Σ_k∫[ｊ_ek(ｒ)Σ_iｘ_i∂_iＡ_k]ｄ³ｒ＋..と表わすことができです。

右辺第１項は全空間の総電流がゼロであること:∫ｊ_e(ｒ)ｄ³ｒ＝0 からゼロです。

実は,電荷密度の変動がゼロ:∂ρ_e/∂ｔ＝0 と近似できるときには電荷の保存の方程式が∇ｊ_e(ｒ)＝0 なので∇{ｘ_kｊ_e(ｒ)}＝Σ_i∂_i{ｘ_kｊ_ei(ｒ)}＝ｊ_ek(ｒ)です。そこで,常に∫ｊ_ek(ｒ)ｄ³ｒ＝0 (ｋ＝1,2,3)が成立します。

そして,右辺第２項－Σ_k∫[ｊ_ek(ｒ)Σ_iｘ_i∂_iＡ_k]ｄ³ｒを評価するため公式:[Ａ×(∇×Ｂ)]_k＝Σ_ijΣ_lmε_kijＡ_iε_jlm∂_lＢ_m＝Σ_ilm[(δ_klδ_im－δ_kmδ_il)Ａ_i∂_lＢ_m]＝Σ_i[Ａ_i∂_kＢ_i－Ａ_i∂_iＢ_k]＝(Ａ∂_kＢ)－(Ａ∇)Ｂ_k,または－Σ_i(Ａ_i∂_iＢ_k)＝[Ａ×(∇×Ｂ)]_k－(Ａ∂_kＢ)を用います。

この最後の式:－Σ_i(Ａ_i∂_iＢ_k)＝[Ａ×(∇×Ｂ)]_k－(Ａ∂_kＢ)においてＡをｒ,ＢをＡ(ｒ)|_ｒ→0で置き換えると－Σ_i(ｘ_i∂_iＡ_k)＝[ｒ×(∇×Ａ)]_k－(ｒ∂_kＡ)を得ます。

Ｂ＝∇×Ａですから,これは－Σ_i(ｘ_i∂_iＡ_k)＝(ｒ×Ｂ)_k－(ｒ∂_kＡ)です。さらにｊ_e(ｒ)との積和:Σ_kｊ_ek(ｒ)を取ると－Σ_kｊ_ek(ｒ)Σ_i(ｘ_i∂_iＡ_k)＝ｊ_e(ｒ)(ｒ×Ｂ)－Σ_kｊ_ek(ｒ)(ｒ∂_kＡ)＝－[ｒ×ｊ_e(ｒ)]Ｂ－Σ_kｊ_ek(ｒ)Σ_i(ｘ_i∂_kＡ_i)です。

ところが,定常∇ｊ_e(ｒ)＝0 の場合,∇{ｘ_jｘ_kｊ_e(ｒ)}＝Σ_i∂_i{ｘ_jｘ_kｊ_ei(ｒ)}＝ｘ_kｊ_ei(ｒ)＋ｘ_kｊ_ek(ｒ)により,∫{ｘ_kｊ_ei(ｒ)＋ｘ_iｊ_ek(ｒ)}ｄ³ｒ＝0 ですからΣ_kΣ_i[∂_iＡ_k∫{ｘ_iｊ_ek(ｒ)＋ｘ_kｊ_ei(ｒ)}ｄ³ｒ]＝0 となります。

以上から,Σ_k∫[ｊ_ek(ｒ)Σ_i(ｘ_i∂_kＡ_i)]ｄ³ｒ＝－Σ_k∫[ｊ_ek(ｒ)Σ_i(ｘ_i∂_iＡ_k)]ｄ³ｒです。

それ故,－2Σ_k∫[ｊ_ek(ｒ)Σ_i(ｘ_i∂_iＡ_k)]ｄ³ｒ＝－[∫ｒ×ｊ_e(ｒ)ｄ³ｒ]Ｂ(0)なる等式を得ます。

そこで,磁気双極子モーメントμの環状電流による積分表現μ＝(1/2)∫{ｒ×ｊ_e(ｒ)}ｄ³ｒから,－Σ_k∫[ｊ_ek(ｒ)Σ_i(ｘ_i∂_iＡ_k)]ｄ³ｒ＝－μＢ(0)と書けることがわかります。

結局,－∫ｊ_e(ｒ)Ａ(ｒ)ｄ³ｒ＝－μＢ(0)＋..なる展開を得ます。

磁気四重極子は電気四重極子に比べ無視できる量ですから,静電磁場に近い微小変動の原子核との電磁相互作用を示す摂動Ｈ_γ'は,Ｈ_γ'＝ ∫ｊ^μ_e(ｒ)Ａ_μ(ｒ)ｄ³ｒ＝∫ρ_e(ｒ)φ(ｒ)ｄ³ｒ－∫ｊ_e(ｒ)Ａ(ｒ)ｄ³ｒ＝ｑφ(0)－ＰＥ(0)－μＢ(0)－(1/6)Σ_ijＱ_ij∂_iＥ_j＋..なる展開で表現されることがわかります。

今日はここで終わります。(つづく)

八木浩輔著「原子核物理学」(朝倉書店),八木浩輔 著「原子核と放射」(朝倉書店),砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店),ジャクソン著(西田 稔 訳)「電磁気学(上),(下)」(吉岡書店) 

　

 

マシントラブル

　単なるお知らせですが,昨日昼頃,ＰＣ作業中に個人的に急停電(単に電流超過)のためマシントラブルで復旧に今朝までかかり,昨日中にと思っていた原稿のアップができませんでした。

　ＰＣが複数台あればどうってことはないのですが。。最高で４台あったのが今やデスクトップ１つです。(まだジャンクの２台捨ててないけど)

電磁波の放射(7)(点電荷による電磁波４:場の反作用)

　「電磁波の放射(点電荷による電磁波)」の続きです。最後に放射の反作用について記述して古典論を終わります。 

　点電荷が加速されていると,それは電磁波を放射します。そこで,外部からの補償が無ければ放射に伴なって点電荷自身の力学的エネルギーが減少します。

　この作用を電磁波の放射の反作用(reaction)といいます。

　こうした反作用は電荷の運動に対する減衰力として運動方程式に反映されます。以下,減衰力をエネルギーの保存則に従って導きます。

「電磁波の放射(5)」ではβ(ｔ)＝ｖ(ｔ)/ｃ＜＜1のとき,つまり点電荷の速さｖ(ｔ)＝ｚ^d(ｔ)が光速度ｃに比べて小さいときには単位加速時間当たりの放射エネルギーがｄＷ/ｄｔ＝{ｅ²/(16π²ε₀ｃ)}∫ｄΩ[ｎ(ｔ)×{ｎ(ｔ)×β^d(ｔ)}]²＝{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}ｖ^d(ｔ)² (Larmorの公式)で与えられることを見ました。

　仮に点電荷は周期運動をしていて,ある２つの時刻ｔ₁,ｔ₂においてｖ(ｔ₁)＝ｖ(ｔ₂)＝0 を満たすとします。

　そして,ｔ∈[ｔ₁,ｔ₂]において減衰力Ｋ(ｔ)が存在するとすれば,エネルギー保存則から,この時間の間にＫ(ｔ)が点電荷になす仕事は同じ時間の放射による点電荷のエネルギー減衰量に等しいはずです。

すなわち,∫_t1^t2Ｋ(ｔ)ｖ(ｔ)ｄｔ＝－{ｅ²/(6πε₀ｃ)}∫_t1^t2ｖ^d(ｔ)²ｄｔ＝－{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}{[ｖ^d(ｔ)ｖ(ｔ)]_t1^t2－∫_t1^t2ｖ^2d(ｔ)ｖ^d(ｔ)ｄｔ}＝{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}∫_t1^t2ｖ^2d(ｔ)ｖ(ｔ)ｄｔです。

つまり,∫_t1^t2[Ｋ(ｔ)－{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}ｖ^2d(ｔ)]ｖ(ｔ)ｄｔ＝0 が成立します。

したがって,Ｋ(ｔ)＝{ｅ²/(6π²ε₀ｃ³)}ｖ^2d(ｔ)と置けばエネルギーの均衡が保たれることになります。

この減衰力の表式をＫ(ｔ)＝(2/3){ｅ²/(4πε₀ｈ_cｃ)}{ｈ_c/(ｍｃ²)}ｍｖ^2d(ｔ)と書けば,特に点電荷が電子の場合には微細構造定数:α≡ｅ²/(4πε₀ｈ_cｃ)}～ 1/137によりＫ(ｔ)＝(2/3)α{ｈ_c/(ｍｃ²)}ｍｖ^2d(ｔ)となって簡明な表現になります。

電子の場合には,上記のｄｐ/ｄｔ＝ｍｖ^2d(ｔ)の係数はＴ₀＝(2/3)α{ｈ_c/(ｍｃ²)}～ (2/3)(1/137)10^-21秒 ～ 10^－23秒程度です。これは非常に小さい値です。

Ｋ(ｔ)＝Ｔ₀(ｄｐ/ｄｔ)ですが,この周期運動で加速度が変化をする時間の長さをＴ≡ｔ₂－ｔ₁と置けば,一般にＴ＞＞Ｔ₀と考えられますから,Ｋ(ｔ)～(Ｔ₀/Ｔ)[ｄｐ/ｄｔ]_t1^t2＝(Ｔ₀/Ｔ){ｐ(ｔ₂)－ｐ(ｔ₁)}となって減衰力Ｋ(ｔ)はきわめて小さいことがわかります。

　巨視的物体の場合には,質量ｍはさらに大きいため,Ｔ₀＝(2/3)α{ｈ_c/(ｍｃ²)}は電子の場合よりさらに小さいので電磁波の放射の反作用は無視できると考えられます。

　以上から,ｖ＜＜ｃなら質量がｍ,電荷がｅの１個の点電荷が外力Ｆによって加速され電磁波を放射しながら運動するときの運動方程式は,ｍ{ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²}＝Ｆ(ｚ(ｔ))＋{ｅ²/(6π²ε₀ｃ³)}{ｄ³ｚ(ｔ)/ｄｔ³}で与えられることがわかります。

　微分方程式の本質的性格は係数がいかに小さくても最高階の微分を含む項によって決定付けられます。 

そこで,この加速度の時間微分をも含む微分方程式は,"ある時刻に位置と速度が与えられると以後の軌道が決まる。"という因果性に従うニュートンの方程式から予想される以外の解を持つ可能性があります。

実際,例えば方程式:ｍ{ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²}＝Ｆ(ｚ(ｔ))＋{ｅ²/(6π²ε₀ｃ³)}{ｄ³ｚ(ｔ)/ｄｔ³}で外力がない場合:Ｆ＝0 の場合を考えるとｍ{ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²}＝{ｅ²/(6π²ε₀ｃ³)}{ｄ³ｚ(ｔ)/ｄｔ³},またはｍｖ^d(ｔ)＝Ｔ₀{ｍｖ^2d(ｔ)}です。

電子が力を受けず自由運動をするケースですから,加速度が恒等的にゼロ:ｖ^d(ｔ)＝ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ² ≡0 なる解も可能なはずです。実際,このときにはｖ^2d(ｔ)＝ｄ³ｚ(ｔ)/ｄｔ³≡0 より減衰力もＫ(ｔ)≡0 となって確かに解になっています。

　一方,ｍｖ^d(ｔ)＝Ｔ₀{ｍｖ^2d(ｔ)}よりｖ^2d(ｔ)＝ｖ^d(ｔ)/Ｔ₀なので,素直に積分するとｖ^d(ｔ)＝ｖ^d(0)exp(ｔ/Ｔ₀)なる解を得ます。この解は外力Ｆがゼロなのに,ｔが大きくなると加速度ｖ^dが際限なく増大するという内容です。

　物理的に考えると,これは明らかに不合理です。なぜ,こうした解が得られたかの理由について,すぐ気付くことは外力Ｆがゼロのときのこの解では運動が周期的で,時刻ｔ₁≠ｔ₂にｖ(ｔ₁)＝ｖ(ｔ₂)＝0 であるという条件が満たされてないことです。

　そこで,これの解決のため電子の非周期運動も包括した対象電子を含む電荷群と電磁場が共存する現実的な系で考察します。

電磁場の基本方程式はマクスウェルの方程式系:∇×Ｅ(ｒ,ｔ)＋∂Ｂ(ｒ,ｔ)＝0,∇Ｂ(ｒ,ｔ)＝0,および∇×Ｈ(ｒ,ｔ)－∂Ｄ(ｒ,ｔ)＝ｊ₀(ｒ,ｔ)＋Σ_k≠0ｊ_k(ｒ,ｔ),∇Ｄ(ｒ,ｔ)＝ρ₀(ｒ,ｔ)＋Σ_k≠0ρ_k(ｒ,ｔ)です。ただしＨ＝Ｂ/μ₀,Ｄ＝ε₀Ｅです。

　ただし,ρ₀,ｊ₀を考察対象の電子の電荷密度,電流密度とし,それ以外の電荷(帯電体)の電荷密度,電流密度ρ_k,ｊ_k(ｋ≠0)と区別しました。

　また,電子は極めて小さいけれど大きさは有限であり,特に半径がａ₀の剛体球であると仮定します。

　一方,電子自体の運動方程式は,後の便宜上電子の質量ｍ,軌道ｚに下添字 0 を付けると,ｍ₀{ｄ²ｚ₀(ｔ)/ｄｔ²}＝∫ｄ³ｒ{ρ₀(ｒ,ｔ)Ｅ(ｒ,ｔ)＋ｊ₀(ｒ,ｔ)×Ｂ(ｒ,ｔ)}と表わされます。

これら微分方程式系では,電磁場の基本方程式における"物理量＝場の量"も電子の運動方程式における物理量も全て未知量です。 

　対象とする電子の電荷,電流ρ₀,ｊ₀が作る電磁場Ｅ₀,Ｂ₀の自分自身へ及ぼす力(自己力:self-force)というものを考察するために,Ｅ(ｒ,ｔ)＝Ｅ₀(ｒ,ｔ)＋Ｅ₁(ｒ,ｔ),Ｂ(ｒ,ｔ)＝Ｂ₀(ｒ,ｔ)＋Ｂ₁(ｒ,ｔ)のように全体の場を分離します。

マクスウェルの方程式の線形性から,これらの場が従う微分方程式も∇×Ｅ₀(ｒ,ｔ)＋∂Ｂ₀(ｒ,ｔ)＝0,∇Ｂ₀(ｒ,ｔ)＝0,∇×Ｈ₀(ｒ,ｔ)－∂Ｄ₀(ｒ,ｔ)＝ｊ₀(ｒ,ｔ),∇Ｄ₀(ｒ,ｔ)＝ρ₀(ｒ,ｔ),

および,∇×Ｅ₁(ｒ,ｔ)＋∂Ｂ₁(ｒ,ｔ)＝0,∇Ｂ₁(ｒ,ｔ)＝0,∇×Ｈ₁(ｒ,ｔ)－∂Ｄ₁(ｒ,ｔ)＝Σ_k≠0ｊ_k(ｒ,ｔ),∇Ｄ₁(ｒ,ｔ)＝Σ_k≠0ρ_k(ｒ,ｔ)と分離できます。

一方,電子の運動方程式も分離されて,ｍ₀{ｄ²ｚ₀(ｔ)/ｄｔ²}＝Ｆ₀＋Ｆ₁と書けます。

ただし,Ｆ₀＝∫ｄ³ｒ{ρ₀(ｒ,ｔ)Ｅ₀(ｒ,ｔ)＋ｊ₀(ｒ,ｔ)×Ｂ₀(ｒ,ｔ)},およびＦ₁＝∫ｄ³ｒ{ρ₀(ｒ,ｔ)Ｅ₁(ｒ,ｔ)＋ｊ₀(ｒ,ｔ)×Ｂ₁(ｒ,ｔ)}です。このＦ₀が自己力を表現しています。

　自己電磁場の方程式部分を形式的に解けば,φ₀(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒ'{ρ₀(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'|,Ａ₀(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4π)}∫ｄ³ｒ'{ｊ₀(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'|;ｔ'≡ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃです。

　これをＦ₀＝∫ｄ³ｒ{ρ₀(ｒ,ｔ)Ｅ₀(ｒ,ｔ)＋ｊ₀(ｒ,ｔ)×Ｂ₀(ｒ,ｔ)}に代入します。ただし電子の速度ｖ₀の大きさは光速ｃに比べて十分小さいとしてｖ₀の１次の項だけを考えることにします。

ｊ₀(ｒ,ｔ)がｖ₀に比例するので,Ａ₀もｖ₀に比例します。したがって,Ｂ₀＝∇×Ａ₀もｖ₀に比例しますからｊ₀(ｒ,ｔ)×Ｂ₀(ｒ,ｔ)はｖ₀の２次の量となるため,磁場の関係する項の寄与を無視します。

　すると,運動方程式は,ｍ₀{ｄ²ｚ₀(ｔ)/ｄｔ²}＝Ｆ₁＋∫ｄ³ｒρ₀(ｒ,ｔ)Ｅ₀(ｒ,ｔ)＝Ｆ₁－∫ｄ³ｒρ₀(ｒ,ｔ){∇φ₀(ｒ,ｔ)＋∂Ａ₀(ｒ,ｔ)/∂ｔ}＝Ｆ₁－{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒρ₀(ｒ,ｔ)[∇∫ｄ³ｒ'{ρ₀(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'|＋ｃ^-2(∂/∂ｔ)∫ｄ³ｒ'{ｊ₀(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'|}となります。

　右辺の２つの空間積分∫ｄ³ｒ,∫ｄ³ｒ'はいずれも微小半径ａ₀の球状電子の内部が積分範囲ですから,寄与する発信時刻ｔ'＝ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃはｔ'＝ｔ－ａ₀/ｃ程度であり,電子内の各点で発信時刻ｔ'の関数で示されている量はｔのまわりにテイラー(Taylor)展開できます。

　すなわち,ρ₀(ｒ',ｔ－Ｒ/ｃ)＝Σ_n=0^∞[(－Ｒ/ｃ)ⁿ{∂ⁿρ₀(ｒ‘,ｔ)/∂ｔⁿ}/ｎ!],ｊ₀(ｒ',ｔ－Ｒ/ｃ)＝Σ_n=0^∞[(－Ｒ/ｃ)ⁿ{∂ⁿｊ₀(ｒ',ｔ)/∂ｔⁿ}/ｎ!];Ｒ≡ｒ－ｒ',Ｒ≡|Ｒ|です。

これをＦ₀の表現式に代入すると,電子の運動方程式はｍ₀{ｄ²ｚ₀(ｔ)/ｄｔ²}＝Ｆ₁－{1/(4πε₀)}Σ_n=0^∞[(－1)ⁿ/(ｃｎ!){∫ｄ³ｒｄ³ｒ'ρ₀(ｒ,ｔ)[{∂ⁿρ₀(ｒ',ｔ)/∂ｔⁿ}{∇(Ｒ/ｃ)^n-1}＋ｃ^-2(Ｒ/ｃ)^n-1{∂ⁿ⁺¹ｊ₀(ｒ',ｔ)/∂ｔⁿ⁺¹}]となります。

このうちスカラーポテンシャルφ₀からの寄与の一部を考えます。 

右辺のｎ＝0 の項は－{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒｄ³ｒ'[ρ₀(ｒ,ｔ)ρ₀(ｒ',ｔ)∇(Ｒ^-1)]＝{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒｄ³ｒ'[ρ₀(ｒ,ｔ)ρ₀(ｒ',ｔ)(ｒ－ｒ')/|ｒ－ｒ'|³]ですが,被積分関数がｒ,ｒ'の交換について反対称なのでこの項は消えます。

また,ｎ＝1の項も∇Ｒ^-2≡0 より,やはり消えます。

そこで,φ₀からの寄与の項では添字をｎ→ｎ＋2とシフトして,Ｆ₀＝－{1/(4πε₀)}Σ_n=0^∞[(－1)ⁿ/(ｃⁿ⁺²ｎ!){∫ｄ³ｒｄ³ｒ'[Ｒ^n-1ρ₀(ｒ,ｔ)(∂ⁿ⁺¹/∂ｔⁿ⁺¹){ｊ₀(ｒ',ｔ)＋{∂ρ₀(ｒ',ｔ)/∂ｔ}∇(Ｒⁿ⁺¹)/{(ｎ＋1)(ｎ＋2)Ｒ^n-1}と書きます。

右辺の項の∫ｄ³ｒ'積分の因子は∫ｄ³ｒ'[Ｒ^n-1ｊ₀(ｒ',ｔ)＋{∂ρ₀(ｒ',ｔ)/∂ｔ}∇(Ｒⁿ⁺¹)/(ｎ＋1)(ｎ＋2)]＝∫ｄ³ｒ'[Ｒ^n-1ｊ₀(ｒ',ｔ)－∇ｊ₀(ｒ',ｔ)Ｒⁿ∇Ｒ/(ｎ＋2)]です。

さらに変形して,∫ｄ³ｒ'[Ｒ^n-1ｊ₀(ｒ',ｔ)＋{ｊ₀(ｒ',ｔ)∇}Ｒ^n-1Ｒ/(ｎ＋2)]＝∫ｄ³ｒ'Ｒ^n-1[{(ｎ＋1)/(ｎ＋2)}ｊ₀(ｒ',ｔ)－{(ｎ－1)/(ｎ＋2){ｊ₀(ｒ',ｔ)Ｒ}Ｒ/Ｒ²}を得ます。

　今は電子を微小な剛体球としているので,ｊ₀(ｒ',ｔ)＝ρ₀(ｒ',ｔ)ｖ₀(ｔ)と書けます。

そこで,上記積分結果のベクトルでその第ｉ成分はΣ_j=1³∫ｄ³ｒ'Ｒ^n-1ρ₀(ｒ',ｔ)ｖ_0j(ｔ)[{(ｎ＋1)/(ｎ＋2)}δ_ij－{(ｎ－1)/(ｎ＋2)}Ｒ_iＲ_j/Ｒ²]と表わされます。

さらに,∫ｄ³ｒ積分を実行すると対称性からＲ_iＲ_jを(1/3)Ｒ²δ_ijと置いてよいので,(2/3)ｖ_0i(ｔ)∫ｄ³ｒ'Ｒ^n-1ρ₀(ｒ',ｔ)です。

これをベクトル表現で書けば,(2/3)ｖ₀(ｔ)∫ｄ³ｒ'Ｒ^n-1ρ₀(ｒ',ｔ)となります。

それ故,Ｆ₀＝－{1/(4πε₀)}Σ_n=0^∞[(－1)ⁿ/(ｃⁿ⁺²ｎ!)(2/3)∫ｄ³ｒｄ³ｒ'[Ｒ^n-1ρ₀(ｒ,ｔ)(∂ⁿ⁺¹/∂ｔⁿ⁺¹){ρ₀(ｒ',ｔ)ｖ₀(ｔ)}]です。

右辺の時間微分で電荷密度ρ₀(ｒ',ｔ)の時間微分は∂ρ₀(ｒ',ｔ)/∂ｔ＝－∇ｊ₀(ｒ',ｔ)であり,電流密度はｊ₀(ｒ',ｔ)＝ρ₀(ｒ',ｔ)ｖ₀(ｔ)ですから,積ρ₀(ｒ',ｔ)ｖ₀(ｔ)はｖ₀(ｔ)の２次以上になるため省略します。

すると,Ｆ₀＝－{1/(4πε₀)}Σ_n=0^∞[(－1)ⁿ/(ｃⁿ⁺²ｎ!)(2/3)∫ｄ³ｒｄ³ｒ'{ρ₀(ｒ,ｔ)Ｒ^n-1ρ₀(ｒ',ｔ)}{ｄⁿ⁺¹ｖ₀(ｔ)/ｄｔⁿ⁺¹}です。

この右辺の級数の最初の数項を評価します。

まず,ｎ＝0 の項Ｆ₀⁽⁰⁾はＦ₀⁽⁰⁾＝－{1/(4πε₀ｃ²)}(2/3)∫ｄ³ｒｄ³ｒ'{ρ₀(ｒ,ｔ)ρ₀(ｒ',ｔ)/|ｒ－ｒ'|}ｖ₀^d(ｔ)です。

ここで電子の自己エネルギーＷ＝∫ρ₀φｄＶはＷ≡{1/(4πε₀ｃ²)}(1/2)∫ｄ³ｒｄ³ｒ'ρ₀(ｒ,ｔ)ρ₀(ｒ',ｔ)/|ｒ－ｒ'|＝ｅ²/(4πε₀ａ₀)で定義されますから,Ｆ₀⁽⁰⁾はこれを用いてＦ₀⁽⁰⁾＝－{4Ｗ/(3ｃ²)}ｖ₀^d(ｔ)と表現できます。

次にｎ＝1のときは,Ｆ₀⁽¹⁾＝{1/(4πε₀ｃ³)}Σ_n=0^∞[(2/3)∫ｄ³ｒｄ³ｒ'ρ₀(ｒ,ｔ)ρ₀(ｒ',ｔ)ｖ₀^2d(ｔ)＝{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}ｖ₀^2d(ｔ)ですが,これは先に周期運動を仮定して求めた減衰力に一致しています。

ｎ≧2に対しては,Ｆ₀⁽ⁿ⁾＝－{1/(4πε₀ｃ³)}[(－1)ⁿ/(ｃⁿ⁺²ｎ!)(2/3)＜ａ₀^n-1＞ｖ₀⁽ⁿ⁺¹⁾(ｔ)です。ただし,＜ａ₀^n-1＞≡∫ｄ³ｒｄ³ｒ'ρ₀(ｒ,ｔ)|ｒ－ｒ'|^n-1ρ₀(ｒ',ｔ)です。

これらは電子の内部構造には無関係な量です。

こうして,自己力の作用の下での電子の運動方程式がｍ₀ｖ₀^d(ｔ)＝Ｆ₁－{4Ｗ/(3ｃ²)}ｖ₀^d(ｔ)＋{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}ｖ₀^2d(ｔ)＋..となることがわかりました。

これは,ｍ_e≡{4Ｗ/(3ｃ²)}＝(4/3){ｅ²/(4πε₀ｃ²ａ₀)}と置くと(ｍ₀＋ｍ_e)ｖ₀ ^d(ｔ)＝Ｆ₁＋{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}ｖ₀^2d(ｔ)＋..と書けます。

ｍ_e≡{4Ｗ/(3ｃ²)}＝(4/3){ｅ²/(4πε₀ｃ²ａ₀)}は電子がそのまわりに静電場を作ることに基づく電磁的質量と解釈されます。しかし実は係数4/3の存在は特殊相対論の要求と矛盾します。

これについては,2008年12/20の記事「運動物質内の相対論(7)(電子の古典模型)」に詳細に書きましたが,このシリーズの(1)～(6)の続きなので順に参照する必要があるかもしれません。

その問題はさておき,運動方程式の(ｍ₀＋ｍ_e)ｖ₀ ^d(ｔ)＝Ｆ₁＋{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}ｖ₀^2d(ｔ)＋..なる形は力学的質量ｍ₀に対し現実に観測される電子の電荷がｍ≡(ｍ₀＋ｍ_e)であると考えることができます。

量子電磁力学のくりこみ(renormarization)では,ｍ₀を裸の質量(bare-mass),ｍ_eを着物の質量(mass of dress),ｍを着物を着た質量(dressed-mass)と呼びます。

得られた電子の運動方程式:(ｍ₀＋ｍ_e)ｖ₀^d(ｔ)＝Ｆ₁＋{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}ｖ₀^2d(ｔ)＋..は周期運動,非周期運動に関わらず成立します。

そこで,この方程式表現でもＦ₁＝0 のときの解として,先の不合理解:ｖ^d(ｔ)＝ｖ^d(0)exp(ｔ/Ｔ₀)の存在を免れません。

しかし,この運動方程式はｖ₀,ｖ₀^d,ｖ₀^2d..がこれらの２乗が無視できるほど小さいと仮定したときに成立する近似方程式であることを思い出します。不合理解:ｖ^d(ｔ)＝ｖ^d(0)exp(ｔ/Ｔ₀)はこうした条件を満足しないため,物理的には許されないはずです。

これまでの議論では電子は半径がａ₀の剛体球としましたが,そもそも剛体球という概念はローレンツ不変(Lorentz invariant)ではないので,ａ₀が有限である限り,ｎ≧2の＜ａ₀^n-1＞の因子を含む運動方程式ｍ₀ｖ₀^d(ｔ)＝Ｆ₁－{4Ｗ/(3ｃ²)}Ｗｖ₀^d(ｔ)＋{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}ｖ₀^2d(ｔ)＋..を相対論的に共変な方程式に拡張することはできません。

そこで,共変性のためａ₀→ 0 とすると,ｎ≧2 の＜ａ₀^n-1＞≡∫ｄ³ｒｄ³ｒ'ρ₀(ｒ,ｔ)|ｒ－ｒ'|^n-1ρ₀(ｒ',ｔ)は全てゼロになり消えるため,電子の方程式は,(ｍ₀＋ｍ_e)ｖ₀^d(ｔ)＝Ｆ₁＋{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}ｖ₀^2d(ｔ)となります。

しかし,ｍ_e＝{4Ｗ/(3ｃ²)}＝(4/3){ｅ²/(4πε₀ｃ²ａ₀)}なので,ａ₀→ 0とするとＷ→ ∞,かつｍ_e→ ∞となってしまいます。

それ故,ａ₀→ 0 とした相対論的に共変な理論では自己エネルギーＷの発散を免れることはできません。逆に自己エネルギーを有限にしようとすれば相対論と矛盾します。

こうした困難は量子論にも受け継がれ,摂動の収束性と相俟って理論の最大の難点となっています。

関連記事として2006年12/21の「電子の自己エネルギーとディラックの海」,2008年５/８の「自己力と自己エネルギー」も参照して下さい。

この記事をもって電磁波放射の古典論のシリーズを終わります。

参考文献:砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店) ),ジャクソン 著(西田 稔 訳)「電磁気学(上),(下)」(吉岡書店) 

　

 

電磁波の放射(6)(点電荷による電磁波３:散乱)

「電磁波の放射(点電荷による電磁波)」の続きです。

　γ崩壊に利するために電磁場の多重極展開を復習するという初期の目的からは既にかなり逸脱しました。そのついでに点電荷による電磁波(光)の古典的散乱も記述しておきます。

点電荷が電磁波を放射しながら加速度運動をしているとき,系の外部から別の電磁波が入射して点電荷を加速し電磁波の放射を促す場合を想定してみます。

これは点電荷による電磁波の散乱(scattering),あるいは電磁波と点電荷の衝突(collision)とみなすことができます。

　外力Ｆの作用の下にある点電荷に平面波Ｅ_in,Ｂ_inが入射するときの点電荷の運動方程式は,ｍ(ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²)＝Ｆ(ｚ(ｔ))＋ｅ[Ｅ_in(ｚ(ｔ),ｔ)＋ｖ(ｔ)×Ｂ_in(ｚ(ｔ),ｔ)]で与えられます。

　ただし,ｖ(ｔ)≡ｄｚ(ｔ)/ｄｔ＝ｚ^d(ｔ)です。

　Ｅ_in,Ｂ_inは自由電磁波なので,|Ｂ_in|＝|Ｅ_in|/ｃです。そこで,点電荷の速さｖがｃに比べて小さい場合を想定しているので,電気力ｅＥ_inに比べて磁場による力ｅｖ×Ｂ_inを無視します。

　また,入射電磁波による強制振動で生じる点電荷の位置の変化は入射波の波長に比べごく小さいと仮定して,Ｅ_in(ｚ(ｔ),ｔ)の引数のｚ(ｔ)を電荷の平均的位置ｚ₀で置き換える近似をするとＥ_in(ｚ(ｔ),ｔ)～ Ｅ_in(ｚ₀,ｔ)＝εＥ₀exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}です。

　ただしεは"電磁波の偏り＝偏光"を示す単位べくトルです。

　これらの近似の結果,点電荷の運動方程式はｍ(ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²)＝Ｆ(ｚ(ｔ))＋ｅεＥ₀exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}と簡単になります。

一方,既に示したように点電荷による放射率Ｐの正確な式は,Ｐ＝ｄＷ/ｄｔ＝{ｅ²/(16π²ε₀ｃ)}∫ｄΩ(ｎ(ｔ)×[{ｎ(ｔ)－β(ｔ)}×β^d(ｔ)])²/{1－ｎ(ｔ)β(ｔ)}⁵ (β(ｔ)≡ｖ(ｔ)/ｃ)です。

この式から,β＜＜1のときのラーモア(Larmor)の公式を得た際に,途中計算で得た平均放射率Ｐの非相対論的近似式はＰ＝ｄ＜Ｗ＞/ｄｔ＝{ｅ²/(32π²ε₀ｃ)}∫ｄΩ|ｎ(ｔ)×{ｎ(ｔ)×β^d(ｔ)}|²でした。

そこで,今のｖ＜＜ｃという仮定の下で,単位時間に単位立体角の中に放射される平均エネルギーはｄＰ/ｄΩ＝{ｅ²/(32π²ε₀ｃ³)}|ｎ(ｔ)×{ｎ(ｔ)×ｖ^d(ｔ)}|²で与えられます。

ｖ^d(ｔ)＝ｄｖ(ｔ)/ｄｔ＝ｚ^2d(ｔ)(加速度)です。

一方,単位面積当たりに入射する入射波の平均強度(＝単位時間に単位面積を通過する入射エネルギー)は,明らかに＜Ｓ_in＞＝Ｅ₀²/(2μ₀ｃ)＝ε₀ｃＥ₀²/2です。

そして,散乱における微分断面積(differetial cross section)ｄσ/ｄΩは,"(単位時間,単位立体角当たりを通過する散乱波のエネルギー)＝(散乱強度(insistency of scattering))"ｄＰ/ｄΩの入射波の平均強度＜Ｓ_in＞に対する比で定義されます。

すなわち,ｄσ/ｄΩ≡(ｄＰ/ｄΩ)/＜Ｓ_in＞です。

この定義式にｄＰ/ｄΩ＝{ｅ²/(32π²ε₀ｃ³)}|ｎ(ｔ)×{ｎ(ｔ)×ｖ^d(ｔ)}|²,および＜Ｓ_in＞＝Ｅ₀²/(2μ₀ｃ)＝ε₀ｃＥ₀²/2を代入すると,散乱の微分断面積の式ｄσ/ｄΩ＝[ｅ²/{(4πε₀ｃ²)²Ｅ₀²}]|ｎ(ｔ)×{ｎ(ｔ)×ｖ^d(ｔ)}|²が得られます。

　さて,上記の最終の表現式に基づいて幾つかのケースの散乱について断面積を計算してみます。

(1)トムソン(Thomson)散乱:

　これは自由電子による電磁波の散乱です。Thomsonの頭文字Ｔを取ってトムソン散乱の微分断面積をｄσ_T/ｄΩと書くことにします。

この散乱は,電子に対する運動方程式:ｍ(ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²)＝Ｆ(ｚ(ｔ))＋ｅεＥ₀exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}で外力Ｆ(ｚ(ｔ))がゼロでｍ(ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²)＝ｅεＥ₀exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}と書ける場合です。

ただし,この場合ｍは電子の質量,ｅは電子の電荷でｅ＜0です。　

これから直ちに,加速度としてｖ^d(ｔ)＝ｚ^2d(ｔ)＝ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²＝ε(ｅＥ₀/ｍ)exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}を得ます。

代入すると,|ｎ(ｔ)×{ｎ(ｔ)×ｖ^d(ｔ)|²＝(ｅ²Ｅ₀²/ｍ²)|ｎ(ｔ)×{ｎ(ｔ)×ε}|²です。ｎ(ｔ)は点電荷の位置ｚ(ｔ)から観測点の位置Ω＝(θ,φ)までの方向単位ベクトルです。

このｎ(ｔ)と電磁波の電場の偏り(偏光)εのなす角をΘとすれば,|ｎ(ｔ)×{ｎ(ｔ)×ε}|²＝sin²Θなので,ｄσ_T/ｄΩ＝{ｅ²/(4πε₀ｍｃ²)}²sin²Θとなります。

そして,入射電磁波の運動方向ｚを極軸に取れば,成分表示でｎ(ｔ)＝(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)です。また,進行方向ｚに垂直なｘｙ面内で偏りεの偏角をψとすると,ε＝(cosψ,sinψ,0)です。

故に,cosΘ＝ｎε＝sinθcos(φ－ψ)と書けます。

そこで,sin²Θ＝1－sin²θcos²(φ－ψ)ですから,ｄσ_T/ｄΩ＝{ｅ²/(4πε₀ｍｃ²)}²{1－sin²θcos²(φ－ψ)}を得ます。

入射平面波が偏光性の光ではなく偏ってない普通の場合なら,この因子{1－sin²θcos²(φ－ψ)}をψについて平均したもの:＜1－sin²θcos²(φ－ψ)＞＝(2π)^-1∫₀^2π{1－sin²θcos²(φ－ψ)}ｄψ＝(1＋cos²θ)/2 で置き換える必要があります。

　以上から,トムソン散乱の微分断面積としてｄσ_T/ｄΩ＝[ｅ²/{2(4πε₀ｍｃ²)}]²(1＋cos²θ)を得ます。そして,すぐ前の表現ｄσ_T/ｄΩ＝{ｅ²/(4πε₀ｍｃ²)}²sin²Θの形からこの電磁波の放射も電気双極子によるものであるとわかります。

微分断面積(ｄσ/ｄΩ)を全立体角にわたって積分したσ_tot≡∫(ｄσ/ｄΩ)ｄΩを散乱の全断面積,または総断面積(total cross section)といいます。

トムソン散乱の微分断面積(ｄσ_T/ｄΩ)についてこの立体角積分を実行すると,散乱の全断面積としてσ_T＝(8π/3){ｅ²/(4πε₀ｍｃ²)}²が得られます。

古典論のモデルでは,ｅ²/(4πε₀ａ₀)～ ｍｃ²なる等置から電子を半径ａ₀ ～ ｅ²/(4πε₀ｍｃ²)～ 2.8×10^-13cmの剛体球と考えて,全断面積はσ_T ～ 6.7×10^-15cm²と評価されます。

　さらに,このσ_Tは微細構造定数(fine-structure constant):α＝ｅ²/(4πε₀ｈ_cｃ) ～ 1/137を用いてσ_T＝(8α²/3)π{ｈ_c/(ｍｃ)}²と表現すれば,トムソンの公式に量子論的解釈を与えることもできます。

　αを使えばトムソンの微分断面積もｄσ_T/ｄΩ＝{α²ｈ_c²/(2ｍ²ｃ²)}(1＋cos²θ)と表わせます。

　量子論では,電子波の拡がり(半径)は大体コンプトン(Compton)波長:ｈ_c/(ｍｃ)(ｈ_c≡ｈ/(2π))です。そこで電子雲の面積は大体π{ｈ_c/(ｍｃ)}²です。

　トムソン散乱では,標的の電子雲が半透明なため,そのうちの(8α²/3)～(8/3)(1/137)²だけが電磁波の散乱に寄与すると解釈されます。

　上記では,入射電磁波の波長が大きく(エネルギーが小さく)電子は強制振動を受けても束縛電子のように入射波の波長に比べ電荷の位置はほとんど変動しないという仮定の下での散乱を考察しました。

しかし,もしも入射波の波長が小さくてＸ線やγ線くらいになると,こうしたトムソン散乱の仮定は成立しなくなり,いわゆるコンプトン散乱(Compton scattering＝自由衝突)になります。

　コンプトン散乱の微分断面積は"クライン・仁科(Klein-Nishna)の公式"ｄσ/ｄΩ＝{α²ｈ_c²/(4ｍ²ｃ²)}(ｋ'/ｋ)²{ｋ'/ｋ＋ｋ/ｋ'＋4(εε')²－2}に従います。

　そして,これを入射光子の偏りについて平均し散乱光子の偏りについて和を取ると,ｄσ/ｄΩ＝{α²ｈ_c²/(2ｍ²ｃ²)}(ｋ'/ｋ)²{ｋ'/ｋ＋ｋ/ｋ'－2sin²θ}となります。

ただし,(ｋ,ε),および(ｋ',ε')は,それぞれ入射光子,および散乱光子の波数と偏りの組です。

光子衝突前の電子の始運動量をｐ_i^μ,衝突後の終運動量をｐ_f^μとすると,衝突前後での４元運動量の保存式:ｐ_i^μ＋ｈ_cｋ^μ＝ｐ_f^μ＋ｈ_cｋ'^μが満たされます。

そこで,ｋ＝|ｋ|＝2π/λ,ｋ'＝|ｋ'|＝2π/λ'はいわゆるコンプトン条件:ｋ'＝ｋ/{1＋(ｋ/ｍ)(1－cosθ)}＝ｋ/{1＋(2ｋ/ｍ)sin²(θ/2)}(自然単位)を満たします。

低エネルギーの極限:ｋ→ 0 ではｋ'/ｋ～ 1 (弾性散乱)ですから,ｄσ/ｄΩ～ {α²ｈ_c²/(2ｍ²ｃ²)}(2－sin²θ)となってトムソン散乱の微分断面積の公式:ｄσ_T/ｄΩ＝{α²ｈ_c²/(2ｍ²ｃ²)}(1＋cosin²θ)に一致します。この極限をトムソン極限(Thomson limit)といいます。

(2)レーリ－(Rayleigh)散乱:

電子が振動数ｆ₀＝ω₀/(2π)の弾性力(elastic force)により束縛されている場合:つまり近似的運動方程式:ｍ(ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²)＝Ｆ(ｚ(ｔ))＋ｅεＥ₀exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}で外力がＦ(ｚ(ｔ))＝－ｍω₀²ｚ(ｔ)の場合を考えます。

この散乱の断面積はσ_Rと書くことにします。

このときの電子の運動方程式は,ｍ(ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²)＋ｍω₀²ｚ(ｔ)Ｆ(ｚ(ｔ))＝ｅεＥ₀exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}です。

右辺の入射電磁波により誘起される電子の強制振動を求めたいので,ｚ(ｔ)＝Ｃexp(－iωｔ)(ωが一定の単色波)の形の特解を仮定して考察すれば十分です。

これを上記の運動方程式のｚに代入するとｍ(ω₀²－ω²)Ｃ＝ｅεＥ₀exp(iｋｚ₀)を得ます。したがって,解はｚ(ｔ)＝ε[ｅＥ₀/{ｍ(ω₀²－ω²)}]exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}です。

そこで,電子の加速度としてｖ^d(ｔ)＝ｚ^2d(ｔ)＝ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²＝ε[－ｅω²Ｅ₀/{ｍ(ω₀²－ω²)}]exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}を得ます。

このｖ^d(ｔ)＝ε[－ｅω²Ｅ₀/{ｍ(ω₀²－ω²)}]exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}を先のトムソン散乱でのｖ^d(ｔ)＝ｚ^2d(ｔ)＝ｄ²ｚ(ｔ)/ｄｔ²＝ε(ｅＥ₀/ｍ)exp{i(ｋｚ₀－ωｔ)}と比較します。

今の場合,微分断面積は因子|ｖ^d(ｔ)|²が単純にトムソン散乱の同じ因子のω⁴/(ω₀²－ω²)²倍である以外トムソン散乱の微分断面積と全く同じです。

　したがって,ｄσ_R/ｄΩ＝(ｄσ_T/ｄΩ){ω⁴/(ω₀²－ω²)²},σ_R＝σ_T{ω⁴/(ω₀²－ω²)²}です。また,電磁波の放射もトムソン散乱と同じく電気双極子によるものと考えることができます。

特に入射波の角振動数ωが小さくて,ω₀＞＞ωのときにはσ_R ～ σ_T(ω⁴/ω₀⁴)＝σ_T(λ₀⁴/λ⁴)となって散乱断面積は入射波の波長λの４乗に反比例します。

この全断面積σ_R はω₀²≡{ｅ²/(4πｍε₀)}ａ^-3とすれば,以前の2009年10/20の雲(水滴)による光のミイ(Mie)散乱の考察の記事「光(電磁波)の散乱(2)」で得たレイリー散乱の全断面積に一致します。

つまり,部分波展開σ＝(4π/ｋ²)Σ(2ｌ＋1)sin²δ_lでのｌ＝1の主要なＰ波項σ＝(8π/3)ｋ⁴ａ⁶ ∝ｋ⁴ａ⁶ ∝ａ⁶/λ⁴に一致します。ただしｋ＝ω/ｃです。

レイリー散乱は角運動量ｌ＝１の電気双極子放射項ですから,今の問題のω₀＞＞ωの場合の束縛力による電気双極子放射が"散乱球の半径ａが波長に比べて小さい(ａ＜＜λ)場合の散乱＝レイリー散乱"の模型になっていると考えられます。そこで,これもレイリー散乱と呼びます。

2009年11/７の記事「光(電磁波)の散乱(4)」によれば,電子ではなく空気分子のような誘電体球による散乱の全断面積は,電子によるそれ:σ＝σ_T(ω⁴/ω₀⁴)＝(8π/3)ｋ⁴ａ⁶に屈折因子の入ったσ＝σ_T |(ε_r－1)/(ε_r＋2)|²(ω⁴/ω₀⁴)＝(8π/3)ｋ⁴ａ⁶|(ε_r－1)/(ε_r＋2)|²です。

ただし,ε_rは比誘電率でε_r≡ε^/ε₀＝ｎ^²です。(ｎ^は屈折率)

　ところで,一般に散乱断面積には次のような意味があります。

　例えば気体なら,単位体積中にＮ個の気体分子がある場合,分子１個の散乱の全断面積がσなら,重ね合あわせにより厚さΔｚの気体中を進むときに失われるエネルギー流の割合がＮσΔｚに等しい:ΔＩ/Ｉ＝－ＮσΔｚという意味を持ちます。

そこで,γ≡Ｎσと置けばγ＞0 であって,Ｉ＝Ｉ₀exp(－γｚ)と書けます。この定数γを吸収係数(absorption coefficient),または減衰係数(attenuation coefficient)と呼びます。

散乱というのは全方向的にはエネルギーが失われるわけではないですが,ある一方向に進むビームのほとんどが散乱体によって方向を変えられるため,方向性を持つビームとしては実質的に減衰します。

そして,空気分子によるレイリー散乱では,ε_r≡ｎ^²における屈折率がｎ^～1なので,(ε_r－1)/(ε_r＋2)＝(ｎ^²－1)/(ｎ^²＋2) ～ 2(ｎ^－1)/3と近似していいです。

また,(4πａ³/3)Ｎ＝1より,ａ⁶＝9/(16π²Ｎ²)ですから,σ_R＝(8π/3)ｋ⁴ａ⁶|(ε_r－1)/(ε_r＋2)|²が成立します。これから,減衰係数γについてγ＝Ｎσ_R ～{2ｋ⁴/(3πＮ)}|ｎ^－1|²なる評価式が得られます。

なお,繰り返しになりますが念のためｋ＝ω/ｃ＝2π/λです。

空の色の話は既にレイリーをはじめ多くの人により文献や資料で示されていることで,いまさらという感じですが一応述べておきます。

散乱の減衰係数γが振動数の４乗:ω⁴に比例,または波長の４乗:λ⁴に反比例することから,明らかに可視光域では相対的に赤色光は散乱されず紫色光が最もよく散乱されます。

そこで,入射光線の方向から離れたところで受ける光は太陽光線のエネルギー分布の中で青色の高振動数成分が最大の割合になります。

一方,透過光線の方はエネルギー分布の中で赤色光の割合が増えるので赤く見えますが,全体としての強度は距離と共に減衰します。

さらに定量評価を試みます。

可視光線(λ＝4100～6500Å)での空気の屈折率ｎ^はｎ^－1＝2.78×10^-4で与えられます。そして標準状態の空気分子の個数密度はＮ＝2.69×10¹⁹cm^-3ですから,減衰距離Λ≡γ^-1(光強度Ｉが1/ｅになる距離)の典型的な値は,紫色光(λ＝4100Å)でΛ＝30ｋｍ,緑色光(λ＝5200Å)で77ｋｍ,赤色光(λ＝6500Å)で188ｋｍです。

そして,重力との静力学平衡で密度が高度と共に指数関数的に変化する等温大気の模型を用いて大気の頂上と地表との相対的強度比を太陽が天頂にあるとき(南中時)と日の出,日の入りの場合に評価しました。

すると,太陽が天頂にあるときの強度比は赤色光,緑色光,紫色光の順に0.96,0.90,0.76ですが,同じ比率値は日の出,日の入りのときには0.21,0.024,0.000065です。

今日はここまでにします。

参考文献:砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店),ジャクソン 著(西田 稔 訳)「電磁気学(上),(下)」(吉岡書店)

　

今日は復活記念日!!

　大したことではないけれど,今日４月10日は第２の誕生日のような日です。

　丁度３周年ですね。

　2007年４月10日は順天堂大学病院手術室で死に掛けていた心臓を体から取り出して朝８時から10時間以上のバイパス手術。。動脈血管を新しい血管で７本つなぎ,肥大した心臓を小さくしぼったらしい。。終わったのはその日の夜で何とか私の命が再生した日です。

　私にとってはまだ忘れられないある意味特別な記念日です。

　それから12日後の４月22日には退院したのですが,当分は肋骨も骨折状態で日常生活もママ成りませんでしたね。

　今は57歳になったばかりだったその頃より何故か10キロ以上も太り体重も元に戻りましたが,何か精神状態が元に戻らないような感覚です。

　思えば,球界のキムタクは昨日が告別式だったらしいですね。まだ,私より20歳以上も若いのに。。。。。。

　まあ,死という側面だけなら有名人の死も無名な人の死もその重さに違いはないとは思いますが。。。

　若くしての自殺や意思に反して他人に奪われる不幸な？死もあります。

　また,35歳から84歳まで49年間もの冤罪(恐らく？)で死刑囚として死と隣合わせにいるという方もいるらしいですね。。。拘束され無駄な時間を余儀なくされたことを思えば。。。。

PS:渡辺直美。。また太ったようですね!!

　ところで,募金・贖罪？のバナー

　「Happy Birthday for Children」(生まれた子が１歳の誕生日を迎えられるように。。)のキャンペーンを張りました。よろしく。。

PS2:やはり政治は密室でやるに限るのか？

　情報開示だとかで,政権交代でいままでは隠していたスキャンダルも政策論争も何もかもガラス張りにしたとたん,一億総政治家,総評論家になって言いたい放題のカンカンガクガク。。。内幕が丸見えなら支持率も下がるし。。

　まだ,60年近くも続いた前政権を引き継いで１年も経たず,やっと予算が通ったくらいで実質的には何もやってない段階で,もうやめろやめろの大合唱？セッカチ過ぎないか？やってしまってからでは遅い？大きなお世話？。。

　結局,喜んでるのはマスコミとかそれで金になる輩くらいか。。。。

　

 

電磁波の放射(5)(点電荷による電磁波２)

「電磁波の放射(点電荷による電磁波)」の続きです。

　例として,まず等速度運動中の点電荷による電磁場を考察します。

　加速度がゼロ:β^d＝ｚ^2d/ｃ＝0 のため,この場合の電場Ｅ,磁場Ｂは先に求めた点電荷による場の強さの最終表式において,右辺第１項のみで表わされます。

すなわちＥ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}({ｎ(ｔ₀')－β(ｔ₀')}{1－β²(ｔ₀')}/{Ｒ²(ｔ₀')α³(ｔ₀')},Ｂ(ｒ,ｔ)＝{μ₀ｅｃ/(4π)}{β(ｔ₀')×ｎ(ｔ₀')}{1－β²(ｔ₀')}/{Ｒ²(ｔ₀')α³(ｔ₀')}です。

しかし,ここではリエナール・ウィーヘルトのポテンシャル(Lie'nard-Wiechert potential):φ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}[|ｒ－ｚ(ｔ₀')|－ｚ^d(ｔ₀'){ｒ－ｚ(ｔ₀')}/ｃ]^-1,Ａ(ｒ,ｔ)＝{ｅμ₀/(4π)}(ｚ^d(ｔ₀')/[|ｒ－ｚ(ｔ₀')|－ｚ^d(ｔ₀'){ｒ－ｚ(ｔ₀')}/ｃ])から,直接これらを求めてみます。

等速度運動をする点電荷の軌道ｚ(ｔ)の詳細ですが,今の場合は電荷ｅを持つ点粒子が時刻ｔ＝0 に原点Ｏにあってｘ軸の正の向きに一定速度ｖ＝(ｖ,0,0)で運動しているとします。

そして,任意時刻ｔにおける点Ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)(位置ベクトル:ｒ＝(ｘ,ｙ,ｚ))における場の強さを求めます。

この点電荷が時刻ｔには点Ａにあるとすると,ｔにおいてＰに生じる電磁場は点Ａにある電荷によるのではなくてｔよりも過去の時刻ｔ₀'に別の点Ａ₀'にあった電荷を出発点とする電磁波によるものです。

点Ｐからｘ軸に下ろした垂線の足をＢ(ｘ,0,0)(ｘ＞ 0)とします。するとｘはｔ＝0 に原点Ｏからｘ軸に沿って出発した点電荷が点Ｂに達する時刻ｔ₀とｘ＝ｖｔ₀なる関係にあります。

また,ここでは一般性を失うことなく受信時刻ｔはｔ₀＞ｔ＞ｔ₀'を満たすと仮定します。

このとき,Ａ₀'Ｐ＝Ｒ(ｔ₀')＝ｃ(ｔ－ｔ₀'),Ａ₀'Ｂ＝Ｘ(ｔ₀')＝ｖ(ｔ₀－ｔ₀')です。また,ｂ≡ＢＰと置くとｂ＝(ｙ²＋ｚ²)^1/2でありＲ(ｔ₀')＝{Ｘ²(ｔ₀')＋ｂ²}^1/2です。

等式:ｃ(ｔ－ｔ₀')＝{ｖ²(ｔ₀－ｔ₀')²＋ｂ²}^1/2からｔ₀'に関する２次方程式:(ｃ²－ｖ²)ｔ₀'²－2(ｃ²ｔ－ｖ²ｔ₀)ｔ₀'＋ｃ²ｔ²－ｖ²ｔ₀²－ｂ²＝0 を得ます。

これと,条件ｔ₀＞ｔ＞ｔ₀'によりｔ₀'がｔ₀'＝[(ｃ²ｔ－ｖ²ｔ₀)－{(ｃ²ｖ²)(ｔ₀－ｔ)²＋(ｃ²－ｖ²)ｂ²}^1/2]/(ｃ²－ｖ²)と解けます。

これからＲ(ｔ₀')＝ｃ(ｔ－ｔ₀')＝ｃ[ｖ²(ｔ₀－ｔ)＋{(ｃ²ｖ²)(ｔ₀－ｔ)²＋(ｃ²－ｖ²)ｂ²}^1/2]/(ｃ²－ｖ²),Ｘ(ｔ₀')＝ｖ(ｔ₀－ｔ₀')＝ｖ[ｃ²(ｔ₀－ｔ)＋{(ｃ²ｖ²)(ｔ₀－ｔ)²＋(ｃ²－ｖ²)ｂ²}^1/2]/(ｃ²－ｖ²)です。

φ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}[1/{Ｒ(ｔ₀')－ｖＲ(ｔ₀')/ｃ}]＝{ｅ/(4πε₀)}[1/{Ｒ(ｔ₀')－ｖＸ(ｔ₀')/ｃ}],Ａ(ｒ,ｔ)＝{ｅμ₀/(4π)}[ｖ/{Ｒ(ｔ₀')－ｖＸ(ｔ₀')/ｃ}]ですから,まず,φ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}[1/{ｖ²(ｔ₀－ｔ)²＋(1－ｖ²/ｃ²)ｂ²}^1/2]を得ます。

さらに,ｖｔ₀＝ｘ,ｂ＝(ｙ²＋ｚ²)^1/2を代入するとφ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}[ｅ/{(ｘ－ｖｔ)²＋(1－ｖ²/ｃ²)(ｙ²＋ｚ²)}^1/2]です。同様に,Ａ(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4π)}[ｅｖ/{(ｘ－ｖｔ)²＋(1－ｖ²/ｃ²)(ｙ²＋ｚ²)}^1/2]と書けます。

Ｒ^*(ｔ)≡Ｒ(ｔ₀')－ｖＸ(ｔ₀')/ｃ＝{(ｘ－ｖｔ)²＋(1－ｖ²/ｃ²)(ｙ²＋ｚ²)}^1/2と置けば,もっと簡単な形になってφ(ｒ,ｔ)＝ｅ/(4πε₀Ｒ^*),かつＡ(ｒ,ｔ)＝μ₀ｅｖ/(4πＲ^*)と表現されます。

後の便宜のために,γ≡(1－ｖ²/ｃ²)^-1/2と置いてＲ^*(ｔ)≡(Ｒ_x^*(ｔ),Ｒ_y^*(ｔ),Ｒ_z^*(ｔ))＝(ｘ－ｖｔ,ｙ/γ,ｚ/γ)なるベクトルを設定するとＲ^*(ｔ)＝|Ｒ^*(ｔ)|です。

そして,電磁ポテンシャル:φ(ｒ,ｔ)＝ｅ/(4πε₀Ｒ^*),Ａ(ｒ,ｔ)＝μ₀ｅｖ/(4πＲ^*)をｒやｔで微分することで,Ｅ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａにより,場の強さＥ,Ｂを得ることができます。

これらの微分は全てＲ^*を通してのみ出現します。そして∂Ｒ^*/∂ｔ＝－ｖ(ｘ－ｖｔ)/Ｒ^*,∂Ｒ^*/∂ｘ＝(ｘ－ｖｔ)/Ｒ^*,∂Ｒ^*/∂ｙ＝(1－ｖ²/ｃ²)ｙ/Ｒ^*,∂Ｒ^*/∂ｚ＝(1－ｖ²/ｃ²)ｚ/Ｒ^*です。

これらを用いた計算の詳細を全て省略して結果だけ書くと,電場はＥ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}{ｅ(1－ｖ²/ｃ²)Ｒ(ｔ)/Ｒ^*3}です。ただしＲ(ｔ)≡(ｘ－ｖｔ,ｙ,ｚ)となります。

そして,磁場はＢ(ｒ,ｔ)＝－{μ₀/(4π)}{ｅｖ×∇(1/Ｒ^*)}＝{ｖ×Ｅ(ｒ,ｔ)}/ｃ²です。

Ｅ(ｒ,ｔ)＝ｅ(1－ｖ²/ｃ²)Ｒ(ｔ)/Ｒ^*3)は,ベクトルＲ^*(ｔ)を用いるとＥ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}[ｅ(1－ｖ²/ｃ²)^-1/2Ｒ(ｔ)/{Ｒ_x^*2(ｔ)/(1－ｖ²/ｃ²)＋Ｒ_y^*2(ｔ)＋Ｒ_z^*2(ｔ)}^3/2],またはＥ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}[ｅγＲ(ｔ)/{γ²Ｒ_x^*2(ｔ)＋Ｒ_y^*2(ｔ)＋Ｒ_z^*2(ｔ)}^3/2]と書けます。

磁場は,Ｂ(ｒ,ｔ)＝{ｖ×Ｅ(ｒ,ｔ)}/ｃ²です。ここでの話ではこれの具体的形を書き下す必要はありません。

電場Ｅをもっとわかりやすく表現すれば,Ｅ(ｒ,ｔ)＝ｅγ^-2Ｒ(ｔ)/[(4πε₀){(ｘ－ｖｔ)²＋γ^-2(ｙ²＋ｚ²)}^3/2],Ｒ(ｔ)≡(ｘ－ｖｔ,ｙ,ｚ)となります。

そこでｖ→ｃならγ＝(1－ｖ²/ｃ²)^-1/2→ ∞ (γ^-1→ 0)より,Ｅ(ｒ,ｔ)→ 0 です。すなわち,点電荷が高速に運動する極限では電場はゼロに近づきます。

※(閑話):重力場に関連して電場に類似した考察をしてみます。

ニュートンの万有引力の法則:Ｆ＝－ＧＭｍＲ/Ｒ³と特殊相対論を組み合わせてみると,静止質量がＭの太陽付近を静止質量はｍですが太陽に対して大きい相対速度ｖを持った宇宙船が通過する場合,宇宙船から見た太陽の相対論的質量はγＭです。

また,逆に太陽静止系から見ると宇宙船の相対論的質量はγｍです。そこで,いずれにしても単純に静止質量を相対論的質量に置き換えると万有引力Ｆ＝－ＧＭｍＲ/Ｒ³はＦ'＝－ＧγＭｍＲ/Ｒ³に変わります。

質量とエネルギーの等価性,および慣性質量と重力質量の等価原理に従って実際激しい分子運動のために高温になった物体の静止質量は熱エネルギーの分だけ大きくなって秤で重さを測ると重くなっています。

そして,増加分の熱エネルギーは元々分子の運動エネルギーです。

地球上での重さというのは地球が物体に及ぼす"重力＝引力"に他ならないですから,相対速度が大きくなれば引力ＦがＦ'～γＦとなって重くなるというのは見当違いではないでしょう。

しかし,太陽と宇宙船の相対速度はほとんどゼロなのに,それを見ている観測者が大きな相対速度ｖで運動している場合,観測者にとって太陽と宇宙船双方の相対論的質量がγＭ,γｍとなるため単純代入で万有引力がＦ"＝－Ｇγ²ＭｍＲ/Ｒ³と莫大になるというのは賛同できません。

ここで先に求めた電場の表式に着目すると,等速度運動の点電荷による電場はＥ(ｒ,ｔ)＝ｅγ^-2Ｒ(ｔ)/[(4πε₀){(ｘ－ｖｔ)²＋γ^-2(ｙ²＋ｚ²)}^3/2]です。　

これはｖ＝0 の静電場Ｅ₀に対してＥ～γ^-2Ｅ₀のような形で小さくなっています。

この電場の表式のアナロジーで重力もＦ～γ^-2Ｆ₀のように因子γ^-2で小さくなるのなら,この因子と先に書いた質量増加によるＦ"＝－Ｇγ²ＭｍＲ/Ｒ³～γ²Ｆ₀の増加因子γ²が丁度相殺して準拠系に大して依存しないＦ～Ｆ₀という結果を得ます。

電荷は静止質量と同じく座標変換の不変量(４次元スカラー)ですが,相対論ではエネルギーと質量は等価であり,重力は静止質量だけでなく全体のエネルギー＝"相対論的質量＝(静止質量＋運動エネルギー/ｃ²)"に比例するはずですから,電場における常識とは違います。

そもそも"静止質量＝静止エネルギー/ｃ²"は座標系には無関係なスカラーですが運動エネルギーを含む全エネルギーは座標系の取り方次第で際限もなく増加しますから重力の扱いというのは困ったもんです。

磁場に相当する磁気的重力というものがあるかも知れず,それはどういうもので系の運動と共に増加するのでしょうか？

かつては慣性力の反作用とか,マッハ原理に関連した記事で一般相対論に基づきHenry,Thiringの回転系による重力も計算したましたが。。

2006年６/30の「慣性力の反作用」,および2007年の一連の記事:２/18の「一般相対論の基礎と回転系」２/19の 「回転系の計量(メトリック)」２/21の「遠心力,コリオリ力の相対性(マッハ原理？)」を参照

(閑話終わり)※

点電荷に固定して共に運動する座標系,つまり"点電荷が静止していると見える座標系＝電荷の静止系"ではｖ＝0,かつγ＝1ですから,電場ＥはCoulomb静電場:Ｅ(ｒ,ｔ)＝ｅＲ/(4πε₀Ｒ³)に一致します。

そして,ｖ＝0 により磁場Ｂはゼロ:Ｂ(ｒ,ｔ)＝{ｖ×Ｅ(ｒ,ｔ)}/ｃ²＝0 ですから電磁場は静止した点電荷による純粋な静電場です。

しかし,点電荷に対して速度－ｖで慣性運動をする座標系に移ると,その系では点電荷は速度ｖで運動するためｖが大きくなるにつれて電場は減少し,逆にｖが大きくなるため磁場はＢ(ｒ,ｔ)＝{ｖ×Ｅ(ｒ,ｔ)}/ｃ²に従って次第に増加すると思われます。

元々静止電荷の静電場のみであったのに,観測者が点電荷の系に対して運動すると共に静止電荷は"運動電荷＝電流"に転化し,ゼロであった磁場が発生して増加していくという描像が具体的に示されました。

これは,磁場と電場が実は同根の作用で磁場は単に電場の相対論的効果であることを示唆する現象の１つです。

この関連については,2006年４/10の記事「重力場(ファインマン)」や2008年５/27の記事「電磁気学と相対論(5)(真空中の電磁気学４:補遺)」も参照してください。

さて,既に述べたように等速度運動をする点電荷から生成される"電磁場のエネルギー流束＝Poyntingベクトル":Ｓ＝(Ｅ×Ｂ)/μ₀ ～Ｏ(Ｒ^-4)によって点電荷を中心とする半径Ｒの球内から外部空間へと飛散するエネルギー総量は,4πＲ²Ｏ(Ｒ^-4)～Ｏ(Ｒ^-2)と評価されます。

そこで,球の半径Ｒを十分大きく取れば等速度運動の電荷から飛散するエネルギー総量はゼロであること,例えば電荷が加速度運動を全くしない定常電流のコイルにより生成される磁場のようなものによってエネルギーが散逸して失われることはないということがわかります。

(導線では,"電気抵抗による散逸＝ジュール(Joule)熱"が存在して電源の起電力と相殺しますがこれは物性と関わる別の話です。)

しかし,電荷が加速度運動している場合にはそれによって生成される電磁波のエネルぎー流束ＳのオーダーはＯ(Ｒ^-2)の波動帯に与するため,運動に伴って電荷の持っていたエネルギーが失われてゆきます。

そこで,次には点電荷がゼロでない加速度β^d＝ｚ^2d/ｃを持って運動する場合を考えます。点電荷が加速されることによって電磁波を放射する現象は制動放射,または制動輻射(Bremsstrahlung)といわれます。

さて,前の記事で与えた一般的な点電荷による電場Ｅ(ｒ,ｔ),磁場Ｂ(ｒ,ｔ)の陽な表式のそれぞれで加速度因子β^d＝ｚ^2d/ｃを持ち,Ｒ^-1(ｔ₀')に比例した大きさを持っていて波動帯に寄与する右辺第２項に着目します。

すなわち,波動帯では,Ｅ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀ｃ)}[{ｎ(ｔ₀')－β(ｔ₀’)}{ｎ(ｔ₀')β^d(ｔ₀')}－β^d(ｔ₀'){1－ｎ(ｔ₀')β^d(ｔ₀')}]＝{ｅ/(4πε₀ｃ)}(ｎ(ｔ₀')×[{ｎ(ｔ₀')－β(ｔ₀')}×β^d(ｔ₀')]/{Ｒ(ｔ₀')α³(ｔ₀')}),かつＢ(ｒ,ｔ)＝－ｃ^-1Ｅ(ｒ,ｔ)×ｎ(ｔ₀')＝{ｎ(ｔ₀’)×Ｅ(ｒ,ｔ)}/ｃです。

Ｂ(ｒ,ｔ)はＥ(ｒ,ｔ),ｎ(ｔ₀')に垂直ですからｎ(ｔ₀')Ｅ(ｒ,ｔ)＝0 であり,波動帯では点電荷による電磁場は自由電磁波と同じ性質を持っています。

そして,ポインテイング・ベクトルはＳ≡Ｅ×Ｈ＝(Ｅ×Ｂ)/μ₀＝{Ｅ×(ｎ×Ｅ)}/(μ₀ｃ)＝Ｅ²ｎ/(μ₀ｃ)です。

そこで,時刻ｔ₀'に点電荷から放射された電磁波が時刻ｔに点ｒで測定されるとき,単位時間に単位面積を通過するエネルギー流はＳ(ｒ,ｔ)＝Ｅ(ｒ,ｔ)²ｎ(ｔ₀')/(μ₀ｃ)＝{ｅ/(4πε₀)}²{1/(μ₀ｃ³)}{ｎ(ｔ₀')/{Ｒ²(ｔ₀')α⁶(ｔ₀')}(ｎ(ｔ₀')×[{ｎ(ｔ₀')－β(ｔ₀')}×β^d(ｔ₀')])²となります。

ただし,電場の複素表現を使用する場合はサイクル平均が＜Ｅ(ｒ,ｔ)²＞＝|Ｅ(ｒ,ｔ)|²/2となるため＜Ｓ(ｒ,ｔ)＞＝|Ｅ(ｒ,ｔ)|²ｎ(ｔ₀')/(2μ₀ｃ)です。

ここで注意すべきことはＳ(ｒ,ｔ),または＜Ｓ(ｒ,ｔ)＞は観測点ｒにおける時間ｔに関する単位時間当たりの通過エネルギー量であり,時間ｔ₀'に関する点ｚ(ｔ₀')におけるそれではないということです。

　点電荷は運動しているため,仮に発信時刻ｔ₀'がＴ₁からＴ₂の(Ｔ₂－Ｔ₁)の間だけ電荷が加速されたとすると,ｔ₀'＝ｔ－|ｒ－ｚ(ｔ₀')|/ｃ, or ｔ＝ｔ₀'＋|ｒ－ｚ(ｔ₀’)|/ｃなる関係によって,(Ｔ₁,Ｔ₂)に放射される電磁波は観測点ｒではｔ₁＝Ｔ₁＋|ｒ－ｚ(Ｔ₁)|/ｃからｔ₂＝Ｔ₂＋|ｒ－ｚ(Ｔ₂)|/ｃの間の(ｔ₁,ｔ₂)に観測されます。

　つまり,ｒで受信する時間ｔ₂－ｔ₁＝{Ｔ₂＋|ｒ－ｚ(Ｔ₂)|/ｃ}－{Ｔ₁＋|ｒ－ｚ(Ｔ₁)|/ｃ}は一般に対応する点電荷の加速時間(Ｔ₂－Ｔ₁)とは異なっています。いわゆるドプラー効果(Doppler effect)ですね。

　そこで,ｔ₀'∈(Ｔ₁,Ｔ₂)に放射された電磁波を点ｒで受ける際の単位面積当たりの総エネルギー量ＥはＥ＝∫_t1^ｔ2Ｓ(ｒ,ｔ)ｎ(ｔ₀’)ｄｔで与えられます。

　これはＥ＝∫_T1^T2{Ｓ(ｒ,ｔ)ｎ(ｔ₀')}(ｄｔ/ｄｔ₀')ｄｔ₀'と書けますから,発信点ｚ(ｔ₀')での時間ｔ₀'に関するエネルギー放射率の式:ｄＥ/ｄｔ₀'＝{Ｓ(ｒ,ｔ)ｎ(ｔ₀')}(ｄｔ/ｄｔ₀')＝{Ｓ(ｒ,ｔ)ｎ(ｔ₀')}α(ｔ₀')が得られました。

　そこで,点電荷自身が単位加速時間に放射する全エネルギーｄＷ/ｄｔ₀'は上記ｄＥ/ｄｔ₀'を半径Ｒ(ｔ₀')の球面上で積分した式ｄＷ/ｄｔ₀'＝∫Ｓ(ｒ,ｔ)ｎ(ｔ₀')}α(ｔ₀')Ｒ²(ｔ₀')ｄΩで与えられます。

ｄΩは点ｒにおける面積要素ｄＳを点電荷から見た立体角です。

既に前に定義した概念なのでさらりと流していますが,半径Ｒ(ｔ₀')の球面というのは時刻ｔにおいて|ｒ－ｚ(ｔ₀')|＝ｃ(ｔ－ｔ₀')を満たす全ての点ｒの集まりであることなども思い出す必要があります。

ｄＷ/ｄｔ₀'＝∫Ｓ(ｒ,ｔ)ｎ(ｔ₀')}α(ｔ₀')Ｒ²(ｔ₀')ｄΩにＳ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}²{1/(μ₀ｃ³)}{ｎ(ｔ₀')/{Ｒ²(ｔ₀')α⁶(ｔ₀')}(ｎ(ｔ₀')×[{ｎ(ｔ₀')－β(ｔ₀')}×β^d(ｔ₀')])²を代入しｔ₀'をｔと書き換えると次のようになります。

　すなわち,ｄＷ/ｄｔ＝{ｅ²/(16π²ε₀ｃ)}∫ｄΩ(ｎ(ｔ)×[{ｎ(ｔ)－β(ｔ)}×β^d(ｔ)])²/{1－ｎ(ｔ)β(ｔ)}⁵です。ここで,α(ｔ)＝1－ｎ(ｔ)β(ｔ)なる陽な等式を用いました。これは正確な式です。

　もしも,β(ｔ)＜＜1,つまり点電荷の速さｖ(ｔ)＝ｚ^d(ｔ)が光速度ｃに比べてごく小さいときには,ｎ(ｔ)＝Ｒ(ｔ)/Ｒ(ｔ)と加速度β^d(ｔ)＝ｚ^2d(ｔ)/ｃのなす角をθとすれば次のようになります。

　ｄＷ/ｄｔ～{ｅ²/(16π²ε₀ｃ)}∫ｄΩ(ｎ(ｔ)×[{ｎ(ｔ)－β(ｔ)}×β^d(ｔ)])²＝{ｅ²/(16π²ε₀ｃ)}∫ｄΩ[sin²θ{β^d(ｔ)}²]です。

ｄΩ積分を実行するとｄＷ/ｄｔ～ {ｅ²/(6πε₀ｃ³)}{ｖ^d(ｔ)}²を得ます。この放射率の非相対論的近似式をラーモアの公式,またはラーマーの公式(Larmor's formula)といいます。

　この非相対論的近似での放射の角分布:Δ(ｄＷ/ｄｔ)/ΔΩはsin²θに比例するので,これはｌ＝1の電気双極子放射に相当しています。

　単位時間当たりの全平均放射エネルギーＰは,複素表現では＜Ｓ(ｒ,ｔ)＞＝|Ｅ(ｒ,ｔ)|²ｎ(ｔ₀')/(2μ₀ｃ)ですから,Ｐ＝ｄ＜Ｗ＞/ｄｔ＝{ｅ²/(12πε₀ｃ³)}|ｖ^d(ｔ)|²と表わされます。

　例えば質量がｍの点電荷ｅがｚ方向に調和振動をしている場合には,運動方程式ｍｚ^2d＝－ｍω₀²ｚより,ｚ(ｔ)＝ａexp(－iω₀ｔ),ｖ^d(ｔ)＝－ａω₀²exp(－iω₀ｔ)です。

　そこで,ラーモアの公式からこの調和振動子の単位時間当たりの平均放射エネルギーはＰ＝ｄ＜Ｗ＞/ｄｔ＝{ｅ²/(12πε₀ｃ³)}ａ²ω₀⁴で与えられることがわかります。

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