散乱の伝播関数の理論(1)(Lippman-Schwinger-1)

電磁波の放射,散乱の古典論を述べてきたついでに,散乱問題の量子論での扱いも示しておきます。

紹介しようと思うのは,いわゆる伝播関数の理論(propageter theory),あるいはGreen関数による方法です。

これは,Born(ボルン)級数やLippman-Schwinger方程式の摂動展開にFeynman-diagramを組み合わせるようなものです。

量子波の伝播や散乱問題については,Betheの"Intermediate Quantum Mechaniocs"やJ.J.Sakurai(桜井純)の"Advanced Quantum Mechanics",またはSchiffの教科書「量子力学(下)(邦訳:Quantum Mechanics)」にもそうした崩芽の記述があったと記憶しています。

こうした,初期の中間的量子力学(intermediate quantum-mechanics)において,伝播関数を用いた方法はFeymanの経路積分の考え方をも内包しているようです。

私の所持している本では,Schiff(シッフ)や上記J.J.Sakurai著の"Advanced Quantum Mechanics"などに上記のような第２量子化の理論(QED,場の量子論)への橋渡しのような量子論的扱いがあります。

まず,日本物理学会編集の「新編物理学選集32(素粒子理論)」に載っているものから紹介します。

これは,私が大学院修士課程に入学した年(1974年)に１年先輩のＨさんから頂いたものです。

当時,素粒子論に関して右も左もわからない状態でしたが,"まず,これを読め"と先輩に頂いたのがこの論文集でした。

彼には,既に読み終わったからとLandauの「相対論的量子力学Ⅰ」(東京図書)も貰って,まだ大事に持っています。

両方とも裏表紙に名前が書いてあります。

なぜ,親切にして頂いたのか？タダで貰ったのか？は,よくわかりませんが,最近２年続けて関西に行った際に探し出してお会いしました。

(※ひょっとしたら,谷川研究室の他の２人の私の１年先輩ＴさんとＭさんは東大と京大の出身ですが,Ｈさんは富山大出身でしたので同じ地方国立のＳ大から来た私に親しみを持たれたのかも知れません。)

当時も日本語の専門書はまだ安い方でしたが,洋書は１ドルが360円の時代ですから,日本円では今よりもかなり高価でした。

しかも,トピックが専門的であればあるほど日本語の参考文献などは,ほとんどなかった時代ですね。

洋書を１冊程度輪講をするにしても,市販の本は貧乏学生には高値の花だったため,普通は図書室にあった本を青焼きコピーしてそれをファイルして使っていたのが常でした。

普通,理論物理などの理論分野では,取り合えず本と論文など文献さえあればいいので,ある程度独学可能な素養と頭があれば,別に大学に属する必要などないのですが。。。

しかし,当時は(今も？)ほとんどの専門文献が揃っていて,それらを容易に参照できる環境は,附属の図書室を持つ大学の研究室など研究施設に限られていたので,やはり大学に属するという選択が最善でした。

(いや,まだ,普通に前途があった若い時代でしたし,何か学びたい,と思えば大学や大学院に入る以外の選択を思い付くのは不可能でした。)

(↑うーん,また回顧録になってるな。。)

まず,有名な散乱の「Lippmann-Schwinger方程式」を与えた論文:

B.A.Lippmann Julian Schwinger "Variational Principles for Scattering Process.I" Phys.Lev,Vol.29(3)(1950)

を紹介します。

これは,何と私が生まれた年に提出された論文です。

※ 以下は,本文を私が日本語に翻訳したものです。

　(表題):時間に依存する散乱理論

　問題とする系のHamiltonianを独立な２つの部分,非摂動部分Ｈ₀と摂動部分(相互作用エネルギー)Ｈ₁の和で表現します。

Ｈ₁による効果のみを記述したいので,Schoedinger方程式:

iｈ_c{∂Ψ(ｔ)/∂ｔ}＝(Ｈ₀＋Ｈ₁)Ψ(ｔ)から,Ｈ₀に関わる時間依存性を除くのが便利です。

そのため,ユニタリ変換(unitary transformation):

Ψ(ｔ)≡exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)ψ_I(ｔ) を実行します。

こうすれば,方程式は,

iｈ_c{∂ψ_I(ｔ)/∂ｔ}＝Ｈ₁(ｔ)ψ_I(ｔ),Ｈ_I(ｔ)

＝exp(iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｈ₁exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)

となります。 

(※(訳注):↑これは相互作用表示ですね。)

この表示で,初期の相互作用していない部分は状態ベクトルψ_I(－∞)で表わされ,やがては終状態のベクトルψ_I(＋∞)に向かいます。

時間発展のユニタリ変換をψ_I(ｔ)＝Ｕ₊(ｔ)ψ_I(－∞)で定義します。

Ｕ₊⁺(ｔ)Ｕ₊(ｔ)＝1です。

特に,ψ_I(∞)＝Ｓψ_I(－∞),Ｓ＝Ｕ₊(∞)とします。

Ｓを散乱演算子(scattering operator:衝突演算子)と呼びます。

Ｕ₊(ｔ)はＵ₊(－∞)＝1なる境界条件を満たす微分方程式:

iｈ_c{∂Ｕ₊(ｔ)/∂ｔ}＝Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)の解です。

ψ_I(ｔ)をψ_I(ｔ)＝Ｕ_-(ｔ)ψ_I(∞)によってψ_I(∞)に結びつける別のユニタリ演算子:Ｕ_-(ｔ)を導入することも有益です。

ψ_I(ｔ)＝Ｕ_-(ｔ)ψ_I(∞)＝Ｕ_-(ｔ)Ｓψ_I(－∞)＝Ｕ₊(ｔ)ψ_I(－∞)ですから,Ｕ₊(ｔ)＝Ｕ_-(ｔ)Ｓなる関係があります。

こちらのＵ_-(ｔ)も方程式:iｈ_c{∂Ｕ_-(ｔ)/∂ｔ}＝Ｈ₁(ｔ)Ｕ_-(ｔ)の解ですが,これは境界条件Ｕ_-(∞)＝1を満たします。

iｈ_c{∂Ｕ₊(ｔ)/∂ｔ}＝Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)を積分方程式で書くと,

Ｕ₊(ｔ)＝1－(i/ｈ_c)∫_-∞^tＨ₁(ｔ')Ｕ₊(ｔ')ｄｔ'

＝1－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞θ(ｔ－ｔ')Ｈ₁(ｔ')Ｕ₊(ｔ')ｄｔ'

です。

ただし,θ(τ)はHeavisideの関数(step function;階段関数)です。

τ＞0 ならθ(τ)＝1,τ＜0 ならθ(τ)＝0 なる関数です。

同様に,Ｕ_-(ｔ)＝1＋(i/ｈ_c)∫_t^∞Ｈ₁(ｔ')Ｕ_-(ｔ')ｄｔ'

＝1＋(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ')Ｕ_-(ｔ')θ(ｔ'－ｔ)ｄｔ'

です。

したがって,Ｓ＝1－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)ｄｔ,

Ｓ^-1＝1＋(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)Ｕ_-(ｔ)ｄｔ　です。

Ｕ_±(ｔ)に対する微分方程式,積分方程式は,それと等価なある作用が停留値をとる基本方程式を与える変分原理(Variational Principle)で置き換えることができるはずです。

さらに,このときに取る作用の停留値が正に散乱演算子Ｓであることがわかります。

したがって,Ｓの停留表現を与えることでＳを構成する上での誤差が最小化されるため,問題の変分定式化は近似計算を生み出します。

これを示すため,最初に,Ｓ'

≡Ｕ_＋(∞)－∫_-∞^∞Ｕ_-⁺(ｔ){∂/∂ｔ＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}Ｕ₊(ｔ)ｄｔ

とおき,これを独立なＵ₊(ｔ),Ｕ_-(ｔ)の汎関数(作用)と考えます。

そして,Ｕ₊(－∞)＝1という拘束の下での変分問題,つまり任意の独立なδＵ₊,δＵ_-に対するＳ'の変分δＳ'がゼロになるための条件を求める問題を考えます。

まず,δＳ'＝δＵ₊(∞)

－∫_-∞^∞δＵ_-⁺(ｔ)[{∂/∂ｔ＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}Ｕ₊(ｔ)]ｄｔ

－∫_-∞^∞Ｕ_-⁺(ｔ)[{∂/∂ｔ＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}δＵ₊(ｔ)]ｄｔ

と書けます。

右辺最後の項は,

－∫_-∞^∞Ｕ_-⁺(ｔ)[{∂/∂ｔ＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}]δＵ₊(ｔ)ｄｔ

＝－[Ｕ_-⁺(ｔ)δＵ₊(ｔ)]_-∞^∞＋∫_-∞^∞[{∂/∂ｔ

＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}Ｕ_-(ｔ)]⁺δＵ₊(ｔ)ｄｔ

＝－Ｕ_-⁺(∞)δＵ₊(∞)

＋∫_-∞^∞[{∂/∂ｔ＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}Ｕ_-(ｔ)]⁺δＵ_＋(ｔ)ｄｔ

と変形されます。

そこで,δＳ'＝{1－Ｕ_-⁺(∞)}δＵ₊(∞)－∫_-∞^∞δＵ_-⁺(ｔ)[{∂/∂ｔ

＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}Ｕ₊(ｔ)]ｄｔ

＋∫_-∞^∞[{∂/∂ｔ＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}Ｕ_-(ｔ)]⁺δＵ₊(ｔ)ｄｔ

なる式が得られます。

独立な任意のδＵ₊,δＵ_-に対してδＳ'＝0 が満たされるためには,

運動方程式:{∂/∂ｔ＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}Ｕ₊(ｔ)＝0,

{∂/∂ｔ＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}Ｕ_-(ｔ)＝0 が成立し,境界条件:

Ｕ_-⁺(∞)＝1が満たされることが必要十分です。

そして,このときのＳ'の停留値はＳ'＝Ｕ₊(∞)ですが,右辺のＵ₊(∞)は散乱演算子Ｓそのものなので,Ｓ'_min＝Ｓなることが結論されます。

Ｓ'≡Ｕ₊(∞)－∫_-∞^∞Ｕ_-⁺(ｔ){∂/∂ｔ＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}Ｕ₊(ｔ)ｄｔを対称化して,

Ｓ"≡(1/2){Ｕ₊(∞)＋Ｕ_-⁺(∞)}

－∫_-∞^∞[(1/2)Ｕ_-⁺(ｔ){∂Ｕ₊(ｔ)/∂ｔ}

－(1/2)]{∂Ｕ_-⁺(ｔ)/∂ｔ}Ｕ₊(ｔ)

＋(i/ｈ_c)Ｕ_-⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)]ｄｔ

を作ります。

そして,これの拘束条件をＵ₊(－∞)＝Ｕ_-(∞)＝1とします。

Ｓ"の停留条件からも同じ運動方程式が得られＳ"の停留値は散乱演算子Ｓです。(※詳細は省略)

直接,積分方程式に導くための作用を考え,

Ｓ^≡1－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞[Ｕ_-⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)＋Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)]ｄｔ

＋(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｕ_-⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)]ｄｔ

＋(i/ｈ_c)²∫_-∞^∞∫_-∞^∞Ｕ_-⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)

θ(ｔ－ｔ')Ｈ₁(ｔ')Ｕ₊(ｔ')ｄｔｄｔ'

と定義します。

実際,

δＳ^＝(i/ｈ_c)∫_-∞^∞ｄｔδＵ_-⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)[Ｕ₊(ｔ)－1

＋(i/ｈ_c)∫_-∞^∞θ(ｔ－ｔ')Ｈ₁(ｔ')Ｕ₊(ｔ')ｄｔ']

＋(i/ｈ_c)∫_-∞^∞ｄｔ[Ｕ_-(ｔ)－1－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞ｄｔ'

Ｈ₁(ｔ')Ｕ_-(ｔ')θ(ｔ'－ｔ)]⁺Ｈ₁(ｔ)δＵ₊(ｔ)＝0

から,求める積分方程式が得られ,

しかも停留値は散乱演算子Ｓに一致します。

このＳ^に対する変分原理は,Ｓ',Ｓ"のそれらとは異なり,Ｕ₊,Ｕ_-にも相互作用演算子Ｈ₁を含む積分にも何の拘束条件を要求しません。

後者の性質はＵ₊とＵ_-への適切な近似が,現実の相互作用過程の間だけ要求されることを意味します。

　さらに,同じ近似演算子Ｕ₊とＵ_-を用いるとき,第二の型の変分原理の方が第一の型のそれより正確な結果を生み出します。

　すなわち,簡単ですが粗い近似Ｕ₊(ｔ)＝Ｕ_-(ｔ)＝1を,

　Ｓ'＝Ｕ₊(∞)－∫_-∞^∞Ｕ_-⁺(ｔ){∂/∂ｔ＋(i/ｈ_c)Ｈ₁(ｔ)}Ｕ₊(ｔ)ｄｔ

　または, 

 Ｓ^＝1－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞[Ｕ_-⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)＋Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)]ｄｔ

＋(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｕ_-⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)]ｄｔ

＋(i/ｈ_c)²∫_-∞^∞∫_-∞^∞Ｕ_-⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)θ(ｔ－ｔ')Ｈ₁(ｔ')

Ｕ₊(ｔ')ｄｔｄｔ'　に代入します。

　前者からは,Ｓ～ 1－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)ｄｔを得ます。

　これは第１Born近似と同等です。

　一方,後者からは,

　Ｓ～ 1－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)ｄｔ

＋(i/ｈ_c)²∫_-∞^∞∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)θ(ｔ－ｔ')Ｈ₁(ｔ')ｄｔｄｔ'

　を得ます。こちらは第２Born近似と同等です。

これらのＳに対する近似表現は,以下に論じる変分原理の欠点を示しています。すなわち,不正確なＳではユニタリ性(unitarity:確率の保存)が保証されません。

例えば,Ｓ～ 1－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)ｄｔからは,

Ｓ⁺Ｓ～ 1＋(1/ｈ_c)²(∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)ｄｔ)²≠1

を得ます。

この欠陥に対処する理論の修正版は,Ｕ₊(ｔ)とＵ_-(ｔ)を

Ｖ(ｔ)≡2Ｕ₊(ｔ)/(1＋Ｓ)＝2Ｕ_-(ｔ)/(1＋Ｓ^-1)で置き換える

ことで得られます。

こうすれば,Ｖ(－∞)＝2/(1＋Ｓ),Ｖ(∞)＝2Ｓ/(1＋Ｓ)ですから,

(1/2){Ｖ(∞)＋Ｖ(－∞)}＝1で,Ｖ(∞)＝Ｖ⁺(－∞)です。

そこで,ＫをHermite演算子,つまりＫ⁺＝Ｋとして,

Ｖ(∞)＝1－iＫ/2,Ｖ(∞)＝1＋iＫ/2と置くことができます。

Ｋはいわゆる反応演算子(reaction operator)です。

Ｓ＝Ｖ(∞)/Ｖ(－∞)に注意すれば,Ｓ＝(1－iＫ/2)/(1＋iＫ/2)

となり,ユニタリなＳをHermite演算子で表現できます。

そして,このHermite性が保証されているＫに対して変分原理を適用してみます。

演算子(作用素)Ｋ'を,

Ｋ'≡(i/2)∫_-∞^∞{Ｖ⁺(ｔ)(ｄＶ/ｄｔ)－(ｄＶ⁺/ｄｔ)Ｖ(ｔ)}ｄｔ

＋(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｖ⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)Ｖ(ｔ)ｄｔ

＋(i/2)[{Ｖ(∞)－Ｖ(－∞)}－{Ｖ⁺(∞)－Ｖ⁺(－∞)}]

で定義します。

これは,任意のＶ(ｔ)について明らかにHemiteな表現です。

Ｖ⁺(ｔ),Ｖ(ｔ)の小変分に対するＫ'への効果はδＫ'＝(※略)

となります。

そして,δＫ'＝0 という条件から,

{－iｈ_c∂/∂ｔ＋Ｈ₁(ｔ)}Ｖ(ｔ)＝0 が得られます。

このときＫ'は先に定義したＫに一致します。

Ｖ(ｔ)の満たす積分方程式は,{－iｈ_c∂/∂ｔ＋Ｈ₁(ｔ)}Ｖ(ｔ)＝0

を－∞からｔまで積分して,

Ｖ(ｔ)＝Ｖ(－∞)－(i/ｈ_c)∫_-∞^tＨ₁(ｔ')Ｖ(ｔ')ｄｔ'

となります。

一方,∞からｔまで積分すれば,

Ｖ(ｔ)＝Ｖ(∞)＋(i/ｈ_c)∫_t^∞Ｈ₁(ｔ')Ｖ(ｔ')ｄｔ' です。

これらを辺々加えて２で割ると,変分原理からも得られる条件

(1/2){Ｖ(∞)＋Ｖ(－∞)}＝1から,

Ｖ(ｔ)＝1－{i/(2ｈ_c)}∫_-∞^∞ε(ｔ－ｔ')Ｈ₁(ｔ')Ｖ(ｔ')ｄｔ'

を得ます。

ただし,ε(ｔ)は符号関数でｔ＞0 ならε(ｔ)＝1,ｔ＜0 なら

ε(ｔ)＝－1です。

　逆に,この積分方程式からＶ(ｔ)が時間発展の微分方程式

(Schoedinger方程式)と境界条件に従うことが演繹的に導かれます。

　また,Ｋ＝i{Ｖ(∞)－Ｖ(－∞)}

＝(1/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ')Ｖ(ｔ')ｄｔ'なる式も導かれます。

　このＫに対する上記積分方程式は,直接,

　Ｋ"≡(1/ｈ_c)∫_-∞^∞{Ｈ₁(ｔ)Ｖ(ｔ)＋Ｖ⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)}ｄｔ

　－{i/(2ｈ_c)}∫_-∞^∞ｄｔ∫_-∞^∞ｄｔ'

　[Ｖ⁺(ｔ)Ｈ₁(ｔ)ε(ｔ－ｔ')Ｈ₁(ｔ’)Ｖ(ｔ')]

　なる作用の変分原理δＫ"＝0 から得られます。

　(※↑これの証明も省略します。)

ここまで展開してきた抽象理論は系を始状態と終状態を記述する部分に分ける固有関数Φ_aを導入すればより明確になります。

ＳΦ_aは始状態Φ_a(※訳注:相互作用表示)から出現する終状態なので,

系が特に状態Φ_bに見出される確率はＷ_ba＝|＜Φ_bＳΦ_a＞|²＝|Ｓ_ba|²

で与えられます。(Ｓ_ba≡＜Φ_bＳΦ_a＞です。)

　相互作用過程で生成される状態変化を推進する作用素:Ｔ≡Ｓ－1を導入すれば,僅かに便利になります。

　Ｓのユニタリ性:Ｓ⁺Ｓ＝1 は,Ｔ⁺Ｔ＝－(Ｔ＋Ｔ⁺)を意味します。

　そして,系が始状態と異なる終状態Φ_bに見出される確率:Ｗ_baは,

ｂ≠ａならＷ_ba＝|＜Φ_bＴΦ_a＞|²＝|Ｔ_ba|²と書けます。

　先の積分方程式:Ｓ＝1－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)ｄｔによれば,

Ｔ＝Ｓ－1＝－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)Ｕ_＋(ｔ)ｄｔです。

　そこで,Ｔ_ba＝＜Φ_bＴΦ_a＞

＝－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞ｄｔ＜Φ_bＨ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)Φ_a＞

＝－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞ｄｔ＜Φ_bexp(iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｈ₁exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)

Ｕ₊(ｔ)Φ_a＞を得ます。

　系が２つの成分へと明確に分離されることに関わって運動量状態の重ね合わせ(波束)には空間の局所性が要求されるため,Φ_bはＨ₀の正確な固有関数とは成り得ないことに着目すべきです。

しかし,そのままＨ₀Φ_b＝Ｅ_bΦ_bを満たすＨ₀の固有関数を導入し,系の成分分離から生じる相互作用の停止をｔ→±∞での相互作用の強さの断熱減衰によってシミュレートすれば同等な記述が可能です。

この断熱減衰は任意の微小なε＞0 による因子exp(－ε|ｔ|/ｈ_c)の挿入で表現できます。

　したがって,

Ｔ_ba＝＜Φ_bＴΦ_a＞＝－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞ｄｔ＜Φ_bexp(iＨ₀ｔ/ｈ_c)

Ｈ₁exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｕ₊(ｔ)Φ_a＞の物理的に正しい表現は,

Ｔ_ba＝－(i/ｈ_c)＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽⁺⁾(Ｅ_b)＞となります。

　ここに,Ψ_a⁽⁺⁾(Ｅ)

≡∫_-∞^∞ｄｔexp{i(Ｅ－Ｈ₀)ｔ/ｈ_c}exp(－ε|ｔ|/ｈ_c)Ｕ₊(ｔ)Φ_a

です。

同様に,Ｓ^-1＝1＋(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)Ｕ_-(ｔ)ｄｔですが,

Ｓ^-1＝Ｓ⁺＝(1＋Ｔ)⁺＝1＋Ｔ⁺なので,

Ｔ⁺＝(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ)Ｕ_-(ｔ)ｄｔと書けます。

それ故,Ｔ_ba＝－(i/ｈ_c)＜Ψ_a^(-)(Ｅ_b)Ｈ₁Φ_b＞と書けます。

ただし,Ψ_a^(-)(Ｅ)

≡∫_-∞^∞ｄｔexp{i(Ｅ－Ｈ₀)ｔ/ｈ_c}exp(－ε|ｔ|/ｈ_c)Ｕ_-(ｔ)Φ_a

です。

Ψ_a⁽⁺⁾(Ｅ),およびΨ_a^(-)(Ｅ)を決定する方程式は,

Ｕ₊(ｔ)＝1－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞θ(ｔ－ｔ')Ｈ₁(ｔ')Ｕ₊(ｔ')ｄｔ',

およびＵ_-(ｔ)＝1＋(i/ｈ_c)∫_-∞^∞Ｈ₁(ｔ')Ｕ_-(ｔ')θ(ｔ'－ｔ)ｄｔ'

から得られます。

　すなわち,積分方程式:Ψ_a⁽⁺⁾(Ｅ)

＝∫_-∞^∞ｄｔexp{i(Ｅ－Ｅ_a)ｔ/ｈ_c}exp(－ε|ｔ|)Φ_a

－(i/ｈ_c)∫₀^∞ｄτexp{i(Ｅ－Ｈ₀)τ/ｈ_c}exp(－ετ/ｈ_c)

Ｈ₁Ψ_a⁽⁺⁾(Ｅ),

　および, 

　Ψ_a^(-)(Ｅ)

＝∫_-∞^∞ｄｔexp{i(Ｅ－Ｅ_a)ｔ/ｈ_c}exp(－ε|ｔ|)Φ_a

＋(i/ｈ_c)∫₀^∞ｄτexp{－i(Ｅ－Ｈ₀)τ/ｈ_c}exp(－ετ/ｈ_c)

Ｈ₁Ψ_a^(-)(Ｅ)です。

　ここでτ＝|ｔ－ｔ'|とおきました。

　さて,－(i/ｈ_c)∫₀^∞ｄτexp{i(Ｅ－Ｈ₀)τ/ｈ_c}exp(－ετ/ｈ_c)

＝1/(Ｅ＋iε－Ｈ₀)＝(Ｅ－Ｈ₀－iε)/{(Ｅ－Ｈ₀)²＋ε²}

＝Ｐ{1/(Ｅ－Ｈ₀)}－iπδ(Ｅ－Ｈ₀),および,

　(i/ｈ_c)∫₀^∞ｄτexp{－i(Ｅ－Ｈ₀)τ/ｈ_c}exp(－ετ/ｈ_c)

＝1/(Ｅ－iε－Ｈ₀)＝(Ｅ－Ｈ₀＋iε)/{(Ｅ－Ｈ₀)²＋ε²}

＝Ｐ{1/(Ｅ－Ｈ₀)}＋iπδ(Ｅ－Ｈ₀)

なる公式が成立します。

　両表現の最後の式はε→＋0 の極限での次の積分の実部と虚部が取る値の記号的表現です。

すなわち,lim_ε→＋0∫_-∞^∞{ｘｆ(ｘ)/(ｘ²＋ε²)}ｄｘ

＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ,および,

lim_ε→＋0(1/π)∫_-∞^∞{εｆ(ｘ)/(ｘ²＋ε²)}ｄｘ＝ｆ(0)です。

ｆ(ｘ)はｘの任意関数でＰは積分の主値(principal value)です。

(※訳注:これについては,2009年７/４のブログ記事

「コーシーの主値(主値積分)」を参照してください。)

　これを用いると,積分方程式は記号的に,

　Ψ_a⁽⁺⁾(Ｅ)＝2πｈ_cδ(Ｅ－Ｅ_a)Φ_a

＋{1/(Ｅ＋iε－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a⁽⁺⁾(Ｅ),および, 

　Ψ_a^(-)(Ｅ)＝2πｈ_cδ(Ｅ－Ｅ_a)Φ_a

＋{1/(Ｅ－iε－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a^(-)(Ｅ)

と書けます。

Ψ_a^(±)(Ｅ)≡2πｈ_cδ(Ｅ－Ｅ_a)Ψ_a^(±)と書けば,方程式は,

Ψ_a^(±)＝Φ_a＋{1/(Ｅ±iε－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a^(±) に帰着します。

これらの方程式の表現はエネルギーＥに小さい正の虚部iεか

負の虚部(－iε)のいずれを加えるかによって,

散乱体から出る波(outgoing wave)か,散乱体に向かって入る波

(incoming wave)か,を自動的に選択する散乱問題の時間に依存

しない定式化を与えます。

演算子(作用素)Ｔの行列要素はＴ_ba≡－2πiδ(Ｅ_a－Ｅ_b)Ｔ_ba;

Ｔ_ba≡＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞＝＜Ψ_a^(-)Ｈ₁Φ_b＞と表現できます。

これは,Ｅ_a＝Ｅ_bのエネルギーが等しい状態だけで定義される関連行列要素Ｔによる等価な表現です。

結果として遷移確率の公式:

Ｗ_ba＝4π²[δ(Ｅ_a－Ｅ_b)]²|Ｔ_ba |²

が得られます。

長いので,ここでちょっとお休みします。

参考文献:「新編物理学選集32(素粒子理論)」(1961,第2版)

(日本物理学会編 )

 

 

この歳になっても,先輩は先輩で,またしてもオゴってもらいました。