散乱の伝播関数の理論(3)(Lippman-Schwinger-3)

　今日は朝から「散乱の伝播関数の理論」の続き草稿を書いていましたが

　何か知り合いが競馬で大当たりしたと聞いたのでオゴってもらうことにして

　急遽トンヅラします。(20時)

　アヤカリたいなあ。。こちとら馬券を買う金もないので。。。

　と思ったけれど。。。。　

　私的にはまだ早い時間だし,別に私のお金というわけではないので

　,途中までの原稿をアップしておきます。

（PS:やっぱホラだった。３連単90万の2000円買いでカスっただけ。。

　まったくぅ。一月遅れてるぞ。エイプリルフール。。

　別の友達には昔800万を取った奴もいたけど,奴はバカだから,その

　全額をまたぶっこんでスッてしまったらしい。。。）

　さて散乱の伝播関数の理論の続きです。

第Ⅲ節:束縛陽子による中性子の散乱

(Neutron scattering by bound proton)

　前節までの変分法の応用として別に用意された分子の中の束縛陽子

　による遅い中性子の散乱を考察します。

　全系の重心運動量をゼロと仮定すれば,非摂動Hamiltonian:

　Ｈ₀は中性子の相対運動と分子の重心運動を記述する部分,

　および,その他に内部分子運動のHamiltonian部分:Ｈ_mの２つ

　の部分で構成されます。

　すなわち,Ｈ₀＝ｐ_n²/(2μ)＋Ｈ_mです。

　μは中性子相対運動の換算質量でμ≡ＡＭ/(Ａ＋1),

　Ａは単位がＭ(中性子質量)の分子量です。

　摂動Ｈ₁は中性子・陽子の相互作用:Ｈ₁＝Ｖ(ｒ_n－ｒ_p)です。

　これは一般に中性子,陽子のSpin演算子:σ_n,σ_pにも依存します。

　この問題の簡単な特徴を述べるなら,長距離で弱い分子的力とは

　対照的な短距離の強い核力ということになります。

先に考察した散乱のＴ行列要素の作用関数:

Ｔ'_ba＝＜Ψ_b^(-)Ｈ₁Φ_a＞＋＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞－＜Ψ_b^(-)Ｈ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞

＋＜Ψ_b^(-)Ｈ₁{1/(Ｅ＋iε－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞の変分原理が要求する

のは,陽子に関する分子的力が無視できる核力領域内のみの状態を

記述する波動関数の情報です。

これの基本となる問題は,相対運動のエネルギーがゼロの１中性子

の１自由陽子による散乱です。

まず,この単純な散乱の性質を考えます。

重心静止系での１中性子と１自由陽子に対する非摂動Hamiltonian

は,Ｈ~₀＝ｐ²/Ｍで与えられます。

ただし,ｐは粒子の相対運動量です。

一時的にspin座標を省略すれば,非摂動の状態ベクトルΦ_aを表わす

波動関数φは相対運動エネルギーがゼロの極限では単なる定数です。

この定数は単位体積ごとに１に取ることができます。

状態ベクトルΨ_a⁽⁺⁾やΨ_a^(-)を表わす波動関数をψ(ｒ)とします。

ゼロエネルギーの極限では,出て行く波と入ってくる波の区別は

存在しません。

そこで,散乱は必然的に等方的で,Ｔ_baも単なる定数です。

この定数をｔと書くことにします。

先に与えたＴの定義式:Ｔ_ba≡＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞＝＜Ψ_a^(-)Ｈ₁Φ_b＞

によればｔ＝＜φＶψ＞＝∫Ｖ(ｒ)ψ(ｒ)ｄｒと考えられます。

ψ(ｒ)は積分方程式:Ψ_a^(±)＝Φ_a＋{1/(Ｅ±iε－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a^(±)

に対応して,積分方程式:ψ＋(1/Ｈ~₀)Ｖψ＝φに従います。

ｔとＳを結ぶ位相のずれ(phase shift)δ_Aは,

Ｔ_ba＝Σ_Aｆ_bAＴ_Aｆ_aA^*;Ｔ_A＝－(1/π)sinδ_Aexp(iδ_A)

から得られます。

これは,今の場合ｔ＝－|ｆ|²ｋａ/πです。

何故なら,ゼロエネルギー極限:ｋ→0 では,sinδ →δ(＝ｋａ)

となるからです。

これによって散乱振幅:ａを定義して導入します。

定数ｆは直交規格化条件:Σ_aｆ_aA^*δ(Ｅ_a－Ｅ)ｆ_aB＝δ_AB

において,δ(Ｅ_a－Ｅ)をρｄΩで置き換えて∫ｄΩ＝4π

より,|ｆ|²4πρ＝1なる式から決まります。

先に見たように,ρ＝ｐ²ｄｐ/{(2πｈ_c)³ｄＥ}

＝(8π³ｈ_c)^-1(ｋ²/ｖ)ですから,

4πρ＝ｋ²/(2π²ｈ_cｖ)です。

さらに相対運動量と相対速度の関係:ｈ_cｋ＝Ｍｖ/2から,

4πρ＝Ｍｋ/(4π²ｈ_c²)です。

したがって,結局ｔ＝－|ｆ|²ｋａ/π＝－4πｈ_c²ａ/Ｍを得ます。

もしも中性子・陽子相互作用がspin依存なら,ｔをspin量子数に

ついての行列で置き換える必要があります。

このspin行列の固有関数はスピン角運動量の三重項(triplet;

角運動量＝1)と一重項(singlet;角運動量＝0)状態のそれで

与えられます。

これと関連してｔの固有値は三重項と一重項の散乱振幅に対応

して,ｔ_1,0＝－4πｈ_c²ａ_1,0/Ｍと書けます。

Ｔ_ba＝Σ_Aｆ_bAＴ_Aｆ_aA^*によれば,行列ｔは固有値に対応する射影

演算子の行列要素の係数を持つ固有値の線形結合です。

そして,既によく知られているように,spinの三重項と一重項の

射影演算子は,Ｐ₁＝(3＋σ_nσ_p)/2,Ｐ₀＝(1－σ_nσ_p)/2です。

それ故,spin依存相互作用を含む場合には,ｔ＝ａ₁Ｐ₁＋ａ₀Ｐ₀

＝(1/2){(3ａ₁＋ａ₀)＋(ａ₁－ａ₀)σ_nσ_p} とすれば十分です。

次に,束縛陽子による中性子の散乱を記述するＴ_baの近似的ですが

高精度の評価式を求めようと思います。

この目的のため,元の

Ｔ'_ba＝＜Ψ_b^(-)Ｈ₁Φ_a＞＋＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞－＜Ψ_b^(-)Ｈ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞

＋＜Ψ_b^(-)Ｈ₁{1/(Ｅ＋iε－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞を,

Ｔ'_ba＝＜Ψ_b^(-)ＶΦ_a＞＋＜Φ_bＶΨ_a⁽⁺⁾＞－＜Ψ_b^(-)ＶΨ_a⁽⁺⁾＞

－＜Ψ_b^(-)Ｖ{1/(1/Ｈ~₀)ＶΨ_a⁽⁺⁾＞

＋＜Ψ_b^(-)Ｖ{1/(Ｅ＋iε－Ｈ₀)}＋1/Ｈ~₀}ＶΨ_a⁽⁺⁾＞

と書き直します。

spin依存相互作用を扱う際にはspin関数を隠すために,Ｔ_ba自身を

spin演算子とみなすのが便利です。

さて,導入さるべき最初の近似は状態ベクトル:Φ_aを表わす

波動関数:つまりΦ_a(ｒ_n,ｒ)に関するものです。

ただしｒ_nは分子の重心を原点とする中性子の座標,ｒは陽子の

座標ｒ_pを含む内部分子座標のセットです。

中性子と分子の独立な運動を記述する波動関数をΦ_a(ｒ_n,ｒ)

＝exp(iｋ_aｒ_n)χ_a(ｒ)なる形で導入します。

ここで,χ_a(ｒ)は分子運動の波動関数です。

ところが,Ｔ'_ba＝＜Ψ_b^(-)ＶΦ_a＞＋＜Φ_bＶΨ_a⁽⁺⁾＞

－＜Ψ_b^(-)ＶΨ_a⁽⁺⁾＞－＜Ψ_b^(-)Ｖ{1/(1/Ｈ~₀)ＶΨ_a⁽⁺⁾＞

＋＜Ψ_b^(-)Ｖ{1/(Ｅ＋iε－Ｈ₀)}＋1/Ｈ~₀}ＶΨ_a⁽⁺⁾＞

において,

Φ_a(ｒ_n,ｒ)は常に短距離の核力ポテンシャルＶ(ｒ_n－ｒ_p)が

掛けられた形でしか出現しません。

そこで,Φ_a(ｒ_n,ｒ)をＦ_a(ｒ)≡Φ_a(ｒ_p,ｒ)で置き換える近似を

行ないます。

そして,この近似で生じる誤差は,ｒ₀を核力のレンジの限界として,

(ｋｒ₀)²のオーダーです。

※(訳注):何故なら,Taylor展開により,Φ_a(ｒ_n,ｒ)

＝Φ_a(ｒ_p,ｒ)＋Ｏ(|ｒ_n－ｒ_p|)ですが,

　これと対の,Ｖ(ｒ_n－ｒ_p)～Ａexp(－ｒ₀^–1|ｒ_n－ｒ_p|)/|ｒ_n－ｒ_p|

(湯川ポテンシャル)～ 1/|ｒ_n－ｒ_p|。。。

今,対象としている遅い中性子に対する分子束縛の影響は,大体(ｋｒ₀)²≦10^-6です。

そこで,この置換の誤差を補償する補正を入れる必要はありません。

第二の近似はＴ'_baの表式の右辺の他の項と比較して小さい最後の項

＜Ψ_b^(-)Ｖ{1/(Ｅ＋iε－Ｈ₀)＋1/Ｈ~₀}ＶΨ_a⁽⁺⁾＞

に対するものです。

この項が他の項と比べて小さいのは,核力相互作用の間,中性子と陽子の実質的に等しい運動エネルギーと比較して分子のエネルギーは無視できるからです。

最初からこの項を無視すれば,Ｔ'_baは,

Ｔ"_ba＝＜Ψ_b^(-)ＶＦ_a＞＋＜Ｆ_bＶΨ_a⁽⁺⁾＞－＜Ψ_b^(-)ＶΨ_a⁽⁺⁾＞

－＜Ψ_b^(-)Ｖ(1/Ｈ~₀)ＶΨ_a⁽⁺⁾＞と読めます。

そして,Ｔ"_baが停留値を取る条件は,Ψ_a^(±)＋(1/Ｈ~₀)ＶΨ_a^(±)

＝Ｆ_a(ｒ)です。

これを自由陽子の散乱の積分方程式

ψ＋(1/Ｈ~₀)Ｖψ＝1と比較すると明らかに,

Ψ_a^(±)＝ψ(ｒ_n－ｒ_p)Ｆ_a(ｒ)です。

このときＴ"_baの停留値は正確な,Ｔ_ba＝＜Φ_bＶΨ_a⁽⁺⁾＞

＝＜Ψ_a^(-)ＶΦ_b＞の近似式:Ｔ_ba～ ＜Ｆ_bＶΨ_a⁽⁺⁾＞

＝＜Ｆ_bＶψＦ_a＞＝ｔ∫Ｆ_b^*(ｒ)Ｆ_a(ｒ)ｄｒ になります。

ただし,ｔ＝∫Ｖ(ｒ)ψ(ｒ)ｄｒを用いました。

※(訳注):何故なら,＜Ｆ_bＶψＦ_a＞

＝∫Ｆ_b^*(ｒ)Ｖ(ｒ_n－ｒ_p)ψ(ｒ_n－ｒ_p)Ｆ_a(ｒ)ｄｒ_nｄｒ

＝ｔ∫Ｆ_b^*(ｒ)Ｆ_a(ｒ)ｄｒだからです。(注終わり※)

Ｆ_a(ｒ)＝exp(iｋ_aｒ_p)χ_a(ｒ),Ｆ_b(ｒ)＝exp(iｋ_bｒ_p)χ_b(ｒ),

およびｔ＝－4πｈ_c²ａ/Ｍを代入した結果式:

Ｔ_ba～ －(4πｈ_c²ａ/Ｍ)∫exp{i(ｋ_a－ｋ_b)ｒ_p}χ_b^*(ｒ)χ_a(ｒ)ｄｒ

はFermi近似です。

一方,Ｔ'_baの右辺最後の項:

＜Ψ_b^(-)Ｖ{1/(Ｅ＋iε－Ｈ₀)＋1/Ｈ~₀}ＶΨ_a⁽⁺⁾＞

を復活させます。

この項は,波動関数を使うと,∫Ψ_b^(-)*(ｒ_n,ｒ)Ｖ(ｒ_n－ｒ_p)

＜ｒ_n,ｒ|1/(Ｅ＋iε－Ｈ₀)

＋1/Ｈ~₀}Ｖ(ｒ_n'－ｒ_p')Ψ_a⁽⁺⁾(ｒ_n',ｒ')ｄｒ_nｄｒｄｒ_n'ｄｒ'

と書けます。

そして,再び分子の特性長さと比較して核力Ｖの短距離性を利用

した近似を導入します。

すなわち,

∫Ψ_b^(-)*(ｒ_n,ｒ)Ｖ(ｒ_n－ｒ_p)Ｋ⁽⁺⁾(ｒ,ｒ')Ｖ(ｒ_n'－ｒ_p')

Ψ_a⁽⁺⁾(ｒ_n',ｒ')ｄｒ_nｄｒｄｒ_n'ｄｒ'；

Ｋ^(±)(ｒ,ｒ')≡＜ｒ_p,ｒ|1/(Ｅ±iε－Ｈ₀)＋1/Ｈ~₀|ｒ_p',ｒ'＞

とします。

Ｔ'_baの停留条件は,Ψ_a^(±)＋(1/Ｈ~₀)ＶΨ_a^(±)＝Ｆ_a(ｒ)

＋∫Ｋ⁽⁺⁾(ｒ,ｒ')Ｖ(ｒ_n'－ｒ_p')Ψ_a^(±)(ｒ_n',ｒ')ｄｒ_n'ｄｒ'

となります。

ｔ＝∫Ｖ(ｒ)ψ(ｒ)ｄｒ,および,ψ＋(1/Ｈ~₀)Ｖψ＝1から,

Ψ_a^(±)＝ψ(ｒ_n－ｒ_p)Ｇ_a^(±)(ｒ)と書けば,Ｇ_a^(±)(ｒ)は積分方程式

Ｇ_a^(±)(ｒ)－ｔ∫Ｋ⁽⁺⁾(ｒ,ｒ')Ｇ_a^(±)(ｒ')ｄｒ'＝Ｆ_a(ｒ)

に従います。

これはBreitによって得られた積分方程式の一般化になっています。

このとき,Ｔ'_baの停留近似値は,Ｔ_ba～ ＜Ｆ_bＶΨ_a⁽⁺⁾＞

＝ｔ∫Ｆ_b^*(ｒ)Ｇ_a⁽⁺⁾(ｒ)ｄｒ になります。

さらに,Ｇ_a⁽⁺⁾(ｒ)に対する積分方程式:

Ｇ_a^(±)(ｒ)－ｔ∫Ｋ⁽⁺⁾(ｒ,ｒ')Ｇ_a^(±)(ｒ')ｄｒ'＝Ｆ_a(ｒ)

は逐次代入法で解くことができます。

すなわち,Ｇ_a⁽⁺⁾(ｒ)＝Ｆ_a(ｒ)＋ｔ∫Ｋ⁽⁺⁾(ｒ,ｒ')Ｆ_a(ｒ')ｄｒ'

＋ｔ²∫Ｋ⁽⁺⁾(ｒ,ｒ')Ｋ⁽⁺⁾(ｒ',ｒ")Ｆ_a(ｒ")ｄｒ'ｄｒ" ＋..

です。

これは,ｌを分子の特性長さとすると,明らかに(ａ/ｌ)のベキ級数展開です。

ただし,ａ/ｌ～ 10^-3なので級数は急激に収束します。

そこで先のFermi近似への補正の精密な評価を得るには,Ｆ_a(ｒ)の他に,その次の項１つを取れば十分です。

したがって,Ｔ_ba～ｔ∫Ｆ_b^*(ｒ)Ｆ_a(ｒ)ｄｒ

＋ｔ²∫Ｋ⁽⁺⁾(ｒ,ｒ')Ｆ_a(ｒ')ｄｒｄｒ'なる新たな近似表式

を得ます。

そして,Ｋ⁽⁺⁾(ｒ,ｒ')を具体的に作るには,

＜ｒ_n,ｒ|1/(Ｅ＋iε－Ｈ₀)|ｒ_n',ｒ'＞

＝Σ_cΦ_c(ｒ_n,ｒ){1/(Ｅ＋iε－Ｅ_c}Φ_c^*(ｒ_n',ｒ')

＝Σ_γ∫ｄｋ(2π)^-3exp(iｋｒ_n)χ_γ(ｒ)/{Ｅ＋iε－ｈ_c²ｋ²/(2μ)

－Ｗ_γ}exp(－iｋｒ_n')χ_γ^*(ｒ')　とします。

２番目の式では,分子プラス自由中性子の系の状態全てにわたる総和が分子と中性子の個々独立に陽に実行できます。

(1/Ｈ~₀)の対応する行列要素を評価するためには,演算子は中性子と陽子の相対運動を参照する必要があります。

そこで,＜ｒ_n,ｒ|1/Ｈ~₀|ｒ_n',ｒ'＞

＝∫ｄｋ(2π)^-3exp{iｋ(ｒ_n－ｒ_p)}{Ｍ/(ｈ_c²ｋ²)}

exp{－iｋ(ｒ_n'－ｒ_p')}δ((ｒ_n＋ｒ_p)/2

－(ｒ_n'＋ｒ_p')/2)δ(ｓ－ｓ')です。

ただし,ｓはｒ_pを除く内部分子座標のセットの総称です。

実際に興味があるのは,ｒ_n→ｒ_p,ｒ_n'→ｒ_p'の場合ですが,この極限ではδ((ｒ_n＋ｒ_p)/2－(ｒ_n'＋ｒ_p')/2)はδ(ｒ_p－ｒ_p')になります。

そして分子固有関数の完全性を用いると,

δ(ｒ_p－ｒ_p')δ(ｓ－ｓ')＝δ(ｒ－ｒ')

＝Σ_γχ_γ(ｒ)χ_γ^*(ｒ)です。

こうして,Ｋ^(±)(ｒ,ｒ')

＝＜ｒ_p,ｒ|1/(Ｅ±iε－Ｈ₀)＋1/Ｈ~₀|ｒ_p',ｒ'＞

＝Σ_γ∫ｄｋ(2π)^-3exp(iｋｒ_n)χ_γ(ｒ)[1/{Ｅ＋iε－ｈ_c²ｋ²/(2μ)

－Ｗ_γ}＋Ｍ/(ｈ_c²ｋ²)]exp(－iｋｒ_n')χ_γ^*(ｒ')を得ます。

これはさらにＫ^(±)(ｒ,ｒ')

＝(Ｍ/ｈ_c²)Σ_γ∫ｄｋ(2π)^-3exp{iｋ(ｒ_p－ｒ_p')}

{(2μ/Ｍ)/(ｋ_γ²＋iη－ｋ²)＋1/ｋ²}χ_γ(ｒ)χ_γ^*(ｒ')

と変形できます。

ここに,ｋ_γ²≡(2μ/ｈ_c²)/(Ｅ－Ｗ_γ),η≡2με/ｈ_c²です。

(※(訳注):非相対論の湯川相互作用の伝播関数そのものですね。。)

この表式には,よく知られた積分公式;

∫ｄｋ(2π)^-3exp{iｋ(ｒ_p－ｒ_p')}/(ｋ²－ｋ_γ²－iη)

＝exp(iｋ_γ|ｒ_p－ｒ_p'|)/(4π|ｒ_p－ｒ_p'|),

∫ｄｋ(2π)^-3exp{iｋ(ｒ_p－ｒ_p')}/ｋ²

＝1/(4π|ｒ_p－ｒ_p'|)が含まれています。

ただし,Ｗ_γ＜Ｅなら,ｋ_γ＝＋{(2μ/ｈ_c²)/(Ｅ－Ｗ_γ)}^1/2,

Ｗ_γ＞Ｅなら,ｋ_γ＝＋i{(2μ/ｈ_c²)/(Ｗ_γ－Ｅ)}^1/2です。

エネルギー的に可能な分子状態γの励起であるかどうかに従って球面波として減衰伝播する様を示しているわけです。

最後に,上記積分式を代入すると,

Ｋ^(±)(ｒ,ｒ')＝－{Ｍ/(4πｈ_c²)}Σ_γχ_γ(ｒ)χ_γ^*(ｒ')

{exp(iｋ_γ|ｒ_p－ｒ_p'|)－1}/(4π|ｒ_p－ｒ_p'|)　となります。

そして,Ｔ_ba～ －(4πｈ_c²ａ/Ｍ)[∫Ｆ_b^*(ｒ)Ｆ_a(ｒ)ｄｒ

＋Σ_γ∫Ｆ_b^*(ｒ)χ_γ(ｒ)χ_γ^*(ｒ')(2μ/Ｍ)

{exp(iｋ_γ|ｒ_p－ｒ_p'|)－1}Ｆ_a(ｒ)/(4π|ｒ_p－ｒ_p'|)ｄｒｄｒ']

です。

比:(2μ/Ｍ)は,自由陽子のときの１から無限に重い分子に束縛

された陽子に当てはまる２までの範囲の値を取ります。

こうした状況での我々の結果は,Breitのそれと一致します。

特に内部分子運動が全くなくてｋ_γ＝ｋとなる自由陽子の場合

には,Ｔ_ba＝ｔ'＝－(4πｈ_c²/Ｍ)ａ(1＋iｋａ)です。

これは前のｔ＝－|ｆ|²ｋａ/πの正確なバージョン:

Ｔ_A＝－(1/π)sinδ_Aexp(iδ_A)より,

ｔ＝－(1/π)|ｆ|²sinδexp(iδ)

＝－(4πｈ_c²/Ｍ)(1/ｋ)tanδ/(1－itanδ)

から,

δを(ｋａ)で置き換えて,低エネルギー極限を取り,因子：

1/(1－itanδ)だけは,1＋iｋａとしてiｋａを残した式です。

この後者の因子のiｋａの効果は,今対象としているエネルギー領域

での遷移においては無視できますが,

一般の保存定理:4π²Σ_bδ(Ｅ_b－Ｅ_a)|Ｔ_ba|²＝4πＩm(Ｔ_aa)の

成立に必要です。

実際,－(1/π)Ｉm(Ｔ_aa)＝Σ_c|Ｔ_ca|²δ(Ｅ－Ｅ_a)なる正確な等式

の右辺のＴ_caにFermi近似から計算される,

4πρ|ｔ|²＝4ｈ_c²ｋａ²/Ｍを代入し,左辺に,

－(1/π)Ｉm(ｔ')＝(4ｈ_c²/Ｍ)ｋａ²を代入すると確かに等式が

成立します。

※これでLippmann-Schwinger equationの論文は終わりです。

この項目の次はSchiffとBjiorken-DrellのMechanicsにしようかな？

未定です。

参考文献:「新編物理学選集32(素粒子理論)」(1961,第2版)

(日本物理学会編)

ＰＳ: 上海万博の騒動を笑うなかれ。。

昭和30年代の昔,,貧乏な我が家での,たまの好き焼きで,僅かな肉の取り

合いをしたのが懐かしい。。