原子核のγ崩壊とメスバウアー効果(4)

　原子核のγ崩壊とメスバウアー効果の続きです。ＧＷというわけではないですが,ちょっと間が空き過ぎたので途中経過をアップします。　

前回の最後から必要な部分を再掲します。

(※再掲開始)

(θ,φ)のまわりの微小立体角ｄΩの中に単位時間に放射される電磁エネルギーｄＵはｄＵ＝|＜Ｓ(ｒ)＞|ｒ²ｄΩ＝{ｃ/(2μ₀)}|Ｂ(ｒ)|²ｒ²ｄΩ＝{ｃ/(2μ₀ｋ²)}|Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l(－i)^l+1[ａ^E_lmＸ_l^m(Ω)＋ｃ^-1ａ^N_lm{ｅ_r×Ｘ_l^m(Ω)}]|²ｄΩで与えられます。

もしも,γ線放射が純粋な電気(ｌ,ｍ)放射ならｄＵ^E_lm＝{ｃ/(2μ₀ｋ²)}|ａ^E_lm|²|Ｘ_l^m(Ω)|²ｄΩです。一方,純粋な磁気(ｌ,ｍ)放射ならｄＵ^M_lm＝{1/(2μ₀ｃｋ²)}|ａ^M_lm|²|Ｘ_l^m(Ω)|²ｄΩとなります。

そこで,同じ(ｌ,ｍ)極放射なら電気型,磁気型を問わず,同じ強度角度分布:|Ｘ_l^m(Ω)|²を有することがわかります。

　Ｚ_l^m(Ω)≡|Ｘ_l^m(Ω)|²と置けばｄＵ^E_lm/ｄΩ＝{ｃ/(2μ₀)}Ｚ_l^m(Ω)|ａ^E_lm|²/ｋ²,ｄＵ^N_lm/ｄΩ＝{1/(2ｃμ₀)}Ｚ_l^m(Ω)|ａ^M_m|²/ｋ²です。

　全てのＥ波,Ｍ波の(ｌ,ｍ)波の総和はｄＵ/ｄΩ＝{ｃ/(2μ₀ｋ²)}|Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l(－i)^l+1[ａ^E_lmＸ_l^m(Ω)＋ｃ^-1ａ^N_lm{ｅ_r×Ｘ_l^m(Ω)}]|²よりＵ＝∫ｄＵ＝{ｃ/(2μ₀)}Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l(|ａ^E_lm|²＋|ａ^N_lm|²/ｃ²)/ｋ²となります。

これに先に求めたａ^E_lm＝iμ₀ｃｋ^l+2/(2ｌ＋1)!!}{(l＋1)/l}^1/2Ｑ_lm;電気多極放射:Ｑ_lm＝∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*ρ_e(ｒ)ｄｒ,ａ^N_lm＝{iμ₀ｃｋ^l+2/(2ｌ＋1)!!}{(l＋1)/l}^1/2Ｍ_lm;磁気多極放射:Ｍ_lm＝－∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*∇Ｍ(ｒ)ｄｒを組み合わせます。(再掲終了※)

さて,量子論では原子核のエネルギー準位の高い始状態|ｉ＞からより低い終状態|ｆ＞へのγ崩壊を考えると,対応原理から古典論でのＱ_lm,Ｍ_lmはこれらを表現する量子論の演算子Ｑ_lm,Ｍ_lmの遷移行列要素＜ｆ|Ｑ_lm|ｉ＞,＜ｆ|Ｍ_lm|ｉ＞に相当すると考えられます。

そこで,量子論に移行するには古典論における電荷密度ρ_e(ｒ),電流密度ｊ_e(ｒ),磁気モーメントＭ(ｒ)を,それぞれρ_e(ｒ)＝ＺｅΨ_f^*(ｒ)Ψ_i(ｒ),ｊ_e(ｒ)＝{ｅｈ_c/(2Ｍ)}Σ_a=1^Z[Ψ_f^*(ｒ)ｐ_aΨ_i(ｒ)＋{ｐ_aΨ_f(ｒ)}^*Ψ_i(ｒ)],Ｍ(ｒ)＝{ｅｈ_c/(2Ｍ)}Ψ_f^*(ｒ){Σ_a=1^Aμ_aσ_a}Ψ_i(ｒ)の右辺に置き換えればいいだけです。

ただし,ｈ_c≡ｈ/(2π)(ｈはPlanck定数)です。Ψ_i(ｒ)＝＜ｒ|ｉ＞は始状態の波動関数,Ψ_f(ｒ)＝＜ｒ|ｆ＞は終状態の波動関数です。また,ｐ_a＝－iｈ_c∇_aですが,これは核子ａの運動量です。

また,ｅ＞0 は陽子の電荷,Ｍは核子の質量です。さらにσ_aは核子ａに対するPauli行列,μ_aは磁気回転比(gyromagnetic ratio)でａが陽子ｐならμ_p～ 2.7928,中性子ｎならμ_n～ －1.9132です。

つまり,量子力学における"物理量＝演算子(operator)"Ｏに対して一般に＜ｆ|Ｏ|ｉ＞＝∫ｄ³ｒｄ³ｒ'＜ｆ｜ｒ＞＜ｒ|Ｏ|ｒ'＞＜ｒ'|ｉ＞＝∫ｄ³ｒｄ³ｒ'Ψ_f^*(ｒ)＜ｒ|Ｏ|ｒ'＞Ψ_i(ｒ')です。

Ｏが位置表示で＜ｒ|Ｏ|ｒ'＞＝Ｏ(ｒ)δ³(ｒ－ｒ')と対角化可能なら＜ｆ|Ｏ|ｉ＞＝∫ｄ³ｒΨ_f^*(ｒ)Ｏ(ｒ)Ψ_i(ｒ)と書けます。

ただし位置表示で陽子の電荷密度はρ_e＝Ｚｅδ³(ｒ－ｒ'),電流密度はｊ_e＝{ｅｈ_c/(2Ｍ)}Σ_a=1^Z(ｐ_a＋ｐ'_a)δ³(ｒ－ｒ'),磁気モーメントはＭ＝{ｅｈ_c/(2Ｍｃ)}{Σ_a=1^Aμ_aσ_a}δ³(ｒ－ｒ')です。

　そして,量子論の場合には放射エネルギーｄＵ,またはＵに寄与するのはＳの平均値＜Ｓ＞ではなくＳそのものなので,古典論で与えられる強度式にさらに因子２を掛けることが必要です。

そして,電気(l,ｍ)極モーメントはＱ_lm＝∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*ρ_e(ｒ)ｄ³ｒから＜ｆ|Ｑ_lm|ｉ＞＝ｅΣ_a=1^Z∫ｒ_a^lＹ_l^m(Ω_a)^*Ψ_f^*(ｒ)Ψ_i(ｒ)ｄ³ｒ＝ｅΣ_a=1^Z＜ｆ|ｒ_a^lＹ_l^m(Ω_a)^*|ｉ＞です。

磁気(ｌ,ｍ)極モーメントはＭ_lm＝－∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*∇Ｍ(ｒ)ｄ³ｒから＜ｆ|Ｍ_lm|ｉ＞＝－{ｅｈ_c/(2Ｍｃ)}Σ_a=1^Aμ_a∫ｒ_a^lＹ_l^m(Ω_a)^*∇{Ψ_f^*(ｒ)σ_aΨ_i(ｒ)}＝{ｅｈ_c/(2Ｍｃ)}Σ_k=1^A＜ｆ|∇{ｒ_a^lＹ_l^m(Ω_a)^*μ_aσ_a}|ｉ＞です。

　ｉ→ｆのγ崩壊の確率(decay rate):ｗは,単位時間の全放射エネルギーＵを放射光子のエネルギーｈ_cω＝ｈ_cｃｋで割れば得られます。

つまり,全放射エネルギーＵが光子何個分のエネルギーに相当するかを見ることで,単位時間に何個の光子が放射されるかがわかります。

特に,電気(ｌ,ｍ)極放射ならｗ^E_lm＝Ｕ^E_lm/(ｈ_cｃｋ)＝[(μ₀ｃ²/ｈ_c){(l＋1)/l}ｋ^2l+1/{(2ｌ＋1)!!}²]＜ｆ|Ｑ_lm|ｉ＞²＝(2π/ｈ_c){1/(4πε₀)}{2(l＋1)/l}ｋ^2l+1/{(2ｌ＋1)!!}²]＜ｆ|Ｑ_lm|ｉ＞²です。

磁気(ｌ,ｍ)極放射ならｗ^M_lm＝Ｕ^M_lm/(ｈ_cｃｋ)＝(μ₀/ｈ_c){(l＋1)/l}(ｋ^2l+1/{(2ｌ＋1)!!}²)＜ｆ|Ｍ_lm|ｉ＞²＝(2π/ｈ_c){μ₀/(4π)}{2(l＋1)/l}(ｋ^2l+1/{(2ｌ＋1)!!}²)＜ｆ|Ｍ_lm|ｉ＞²です。

ところで,前に「原子核のγ崩壊とメスバウアー効果(1)」では同じγ崩壊の確率について次のような内容の記事を書きました。

　原子核:^Z_AＸ_N の励起状態|ｉ＞≡|Ｉ_i^πiＭ_i＞がγ線を放出して終状態|ｆ＞≡|Ｉ_f^πfＭ_f＞へ転移するとします。ただしＭは"核スピンＩのｚ軸成分＝磁気量子数"です。

一定のスピンの偏極(polarization):ｍ＝(Ｍ_i－Ｍ_f)を持つ"γ線の量子＝光子"が単位時間に波数ベクトルｋの周りの微小立体角ｄΩに放出される確率をｕ(Ｍ_i,Ｍ_f)ｄΩとすると,摂動論によって良い近似でｕ(Ｍ_i,Ｍ_f)ｄΩ＝(2π/ｈ_c)|＜ｆ|Ｈ_γ'|ｉ＞|²(ｄｎ/ｄＥ_γ)ｄΩとなります。

(これはFermiの黄金律です。)

ここにＨ_γ'は,"電磁場(γ線)と核の相互作用＝電磁相互作用"のハミルトニアン(Hamiltonian)で,Ｈ_γ'＝∫ｊ_e^μ(ｒ,ｔ)Ａ_μ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ＝∫ρ_e(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ－∫ｊ_e(ｒ,ｔ)Ａ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ＝ｑφ(0)－ＰＥ(0)－μＢ(0)－(1/6)Σ_ijＱ_ij∂_iＥ_j＋..です。

そこで,遷移行列要素＜ｆ|Ｈ_γ'|ｉ＞において電気双極子放射に対応するものは,－ＰＥ(0)の遷移行列要素:－＜ｆ|ＰＥ|ｉ＞です。

ただし,ｑ＝ｑ(ｔ)(全電荷),Ｐ＝Ｐ(ｔ)(全偏極＝電気双極子),μ＝μ(ｔ)(磁気双極子),Ｑ_ij＝Ｑ_ij(ｔ)(電気四重極子)です。

これらは,ｑ(ｔ)≡∫ρ_e(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ,Ｐ(ｔ)≡∫ρ_e(ｒ,ｔ)ｒｄ³ｒ,μ(ｔ)≡(1/2)∫ｒ×ｊ_e(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ,Ｑ_ij(ｔ)≡∫ρ_e(ｒ,ｔ)(３ｘ_iｘ_j－δ_ijｒ²)ｄ³ｒで定義されています。

一方,2010年３/30の記事「電磁波の放射(2)(多重極放射)」では,電気双極子による波動帯での放射のポインテイングベクトル(Poynting vector)がＳ＝{μ₀ｃ⁴ｋ⁴/(16π²ｒ²)}|ｎ×ｐ|ｎで与えられるのを見ました。

これによれば,電気双極子による放射エネルギーの角分布はｄＵ/ｄΩ＝|Ｓ|ｒ²＝{μ₀ｃ³ｋ⁴/(16π²)}|ｎ×ｐ|²です。故にｐの方向を極軸に取れば|ｎ×ｐ|²＝ｐ²sin²θよりＵ＝μ₀ｃ³ｋ⁴ｐ²/(6π)です。

一方,上で初めて与えた電気(ｌ,ｍ)極放射のエネルギーの表式は＜ｆ|Ｑ_lm|ｉ＞をＱ_lmなる古典表記に戻せばＵ^E_lm＝{ｃ/(μ₀ｋ²)}|ａ^E_lm|²,ａ^E_lm＝{iμ₀ｃｋ^l+2/(2ｌ＋1)!!}{(l＋1)/l}^1/2Ｑ_lmです。

特に,ｌ＝1,ｍ＝0 の電気双極子の場合,これはＵ^E₁₀＝μ₀ｃ³ｋ⁴(2/9)|Ｑ₁₀|²となります。

ダブルスタンダードの恐れのある２つの出発点からの結論的式が矛盾しないためには,μ₀ｃ³ｋ⁴ｐ²/(6π)＝μ₀ｃ³ｋ⁴(2/9)|Ｑ₁₀|²となることが必要です。

今のγ崩壊では,崩壊確率はどこを極軸(θ＝0)に取るかに依らない対称性を持つはずなので,全放射エネルギーが一致すれば十分です。

Ｑ₁₀＝(3/4π)^1/2∫ｒρ_e(ｒ)cosθｄ³ｒより,これはｐ²＝[∫ｒρ_e(ｒ)cosθｄ³ｒ]²を意味します。

そして過去記事「電磁波の放射(2)(多重極放射)」では,ｐ(ｔ)≡∫ρ_e(ｒ,ｔ)ｒｄ³ｒと定義されていましたが,ここでのｐはρ_e(ｒ,ｔ)＝ρ_e(ｒ)exp(－iωｔ)よりｐ≡∫ρ_e(ｒ)ｒｄ³ｒで与えられます。

よって,ｐ＝∫ｒρ_e(ｒ)cosθｄ³ｒですから全く問題無しです。しかし別にこれは前に書いた記事と今回の記事が矛盾しないことの検算をしたに過ぎず,実は当たり前のことでした。

でも,まあボチボチですが前進しています。いずれにしろ今日はここまでにします。

参考文献:八木浩輔 著「原子核と放射」(朝倉書店),八木浩輔 著「原子核物理学」(朝倉書店),砂川重信著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店),ジャクソン 著(西田 稔 訳)「電磁気学

ＰＳ:５/９(日)早朝です。何だか今回の風邪は比較的軽かったようで,ほぼ完治しました。