散乱の伝播関数の理論(4)(Schiff-1)

　散乱の伝播関数の理論の続きです。

 今回はL.I.schiff(シッフ)著,(井上 健 訳)「量子力学(下)」

　衝突の理論における近似法の散乱行列の項より引用紹介します。

　換算質量μを持つ２個の粒子の相対運動を記述するHamiltonian

　をＨとすると,この２体問題の完全なSchrödinger方程式

　＝波動方程式(運動方程式)"は,次のようになります。

　iｈ_c∂ψ(ｒ,ｔ)/∂ｔ＝Ｈψ(ｒ,ｔ)＝[Ｈ₀＋Ｖ(ｒ,ｔ)]ψ(ｒ,ｔ)

　です。

　ただし,Ｈ₀は自由粒子のHamiltonianであり,

　Ｈ₀≡{－ｈ_c²/(2μ)}∇²です。そして,ｈ_c≡ｈ/(2π)で

　ｈはPlanck定数です。

波動方程式は,ψについて線型な微分方程式なので,その解は

重ね合わせで表わすことができます。

そこで,異なる時刻の波動関数ψ同士の関係も線型になっている

はずです。

これは次のようにして示されます。

定常状態のSchrödinger方程式:Ｈｕ(ｒ)＝Ｅｕ(ｒ)の解:

エネルギーＥの固有関数をｕ(ｒ)＝ｕ_E(ｒ)とします。

そして,固有関数族:{ｕ_E(ｒ)}は直交規格化されているとします。

つまり,∫ｕ_E^*(ｒ)ｕ_E'(ｒ)ψ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ＝δ_EE'です。

このとき,時間を含む完全な波動方程式:iｈ_c∂ψ(ｒ,ｔ)/∂ｔ

＝Ｈψ(ｒ,ｔ)の任意の解:ψ(ｒ,ｔ)は,

ψ(ｒ,ｔ)＝Σ_EＡ_E(ｔ)ｕ_E(ｒ);Ａ_E(ｔ)＝∫ｕ_E^*(ｒ)ψ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ

とｕ_E(ｒ)で展開できます。

そして,Ａ_E(ｔ)＝Ａ_E(ｔ₀)exp{－iＥ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c} です。

　ψ(ｒ,ｔ)＝Σ_EＡ_E(ｔ)ｕ_E(ｒ)に

　Ａ_E(ｔ)＝∫ｕ_E^*(ｒ₀)exp{－iＥ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ₀

 を代入すると,

　ψ(ｒ,ｔ)

＝∫[Σ_Eｕ_E^*(ｒ₀)ｕ_E(ｒ)exp{－iＥ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}]ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ₀

を得ます。

したがって,波動関数ψは,

ψ(ｒ,ｔ)＝i∫Ｇ(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ₀

なる形の斉次積分方程式を満たします。 

(※ここでは,便宜上,離散表記していますが,デルタ関数を用いた

連続表記定式化をも包摂しています。)

この積分方程式が波動方程式:iｈ_c∂ψ(ｒ,ｔ)/∂ｔ＝Ｈψ(ｒ,ｔ)

の積分である場合,

上記の関数:Ｇ(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)を,HamiltonianＨに対応する

Green関数といいます。

　ψ(ｒ,ｔ)＝i∫Ｇ(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ₀なる表現は,

　ψの時間について前向き(ｔ＞ｔ₀)の伝播と後向き(ｔ＜ｔ₀)の

　伝播を区別していません。

　しかし,これらの伝播をはっきり区別しておくと都合のいい場合が

　多いので,前向き伝播に対するＧをＧ⁺と書いて遅延Green関数

　(retarded Green's function)と呼び次式で定義します。

すなわち,Ｇ⁽⁺⁾(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)＝Ｇ(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)(ｔ＞ｔ₀),

Ｇ⁽⁺⁾(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)＝0 (ｔ＜ｔ₀)と定義します。

そして,(※非相対論的量子論では)これを伝播関数(propagator:

プロパゲータ)と呼びます。

これはHeavisideの階段関数θ(τ)を用いると,

Ｇ⁽⁺⁾(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)≡θ(ｔ－ｔ₀)Ｇ(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)

と表現されます。

そして,ψ(ｒ,ｔ)＝i∫Ｇ(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ₀は

遅延Green関数によって,

θ(ｔ－ｔ₀)ψ(ｒ,ｔ)＝i∫Ｇ⁽⁺⁾(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ₀

と表現できます。

同様に,時間について後向き伝播の先進Green関数

(advanced Green's function)をＧ^(-)と書いて定義します。

すなわち,Ｇ^(-)(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)＝－Ｇ(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)(ｔ＜ｔ₀),

Ｇ^(-)(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)＝0 (ｔ＞ｔ₀)です。

これから,Ｇ^(-)(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)≡－θ(ｔ₀－ｔ)Ｇ(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀),

または,

θ(ｔ₀－ｔ)ψ(ｒ,ｔ)＝－i∫Ｇ^(-)(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ₀

なる表現を得ます。

そこで,ｔ＞ｔ₁＞ｔ₀のときには,

Ｇ⁽⁺⁾(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)

＝i∫Ｇ⁽⁺⁾(ｒ,ｔ;ｒ₁,ｔ₁)Ｇ⁽⁺⁾(ｒ₁,ｔ₁;ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ₁

が成立します。

同様にｔ＜ｔ₁＜ｔ₀のときには,

Ｇ^(-)(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)

＝－i∫Ｇ^(-)(ｒ,ｔ;ｒ₁,ｔ₁)Ｇ^(-)(ｒ₁,ｔ₁;ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ₁です。

一方,ｔ₀→ｔの極限で成立する式:

ψ(ｒ,ｔ)＝±i∫Ｇ^(±)(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ)ψ(ｒ₀,ｔ)ｄ³ｒ₀から,

超関数的積分核(kernel)の意味で,

±iＧ^(±)(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ)＝δ³(ｒ－ｒ₀)です。(複号同順)

故に,ｔ＞ｔ₁では,

δ³(ｒ－ｒ₀)＝i∫Ｇ⁽⁺⁾(ｒ,ｔ;ｒ₁,ｔ₁)Ｇ^(-)(ｒ₁,ｔ₁;ｒ₀,ｔ)ｄ³ｒ₁,

ｔ＜ｔ₁では,

δ³(ｒ－ｒ₀)＝i∫Ｇ^(-)(ｒ,ｔ;ｒ₁,ｔ₁)Ｇ⁽⁺⁾(ｒ₁,ｔ₁;ｒ₀,ｔ)ｄ³ｒ₁

が成立します。

特に,Ｈ≡Ｈ₀＝{－ｈ_c²/(2μ)}∇²の自由粒子の場合のGreen関数を,

Ｇ＝Ｇ₀と書くと,これは容易に陽な形に表現できて,

Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)

＝i[μ/{2πiｈ_c(ｔ－ｔ₀)}]^3/2exp[iμ|ｒ－ｒ₀|²/{2ｈ_c(ｔ－ｔ₀)}]

と表わせます。

　※[注]:(証明):先の表現:

　ψ(ｒ,ｔ)＝∫[Σ_Eｕ_E^*(ｒ₀)ｕ_E(ｒ)exp{－iＥ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}]

　ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ₀が有効な場合には,明らかに,

　Ｇ(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ)

　＝(－i)Σ_Eｕ_E^*(ｒ₀)ｕ_E(ｒ)exp{－iＥ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}　です。

しかし,Ｈ≡Ｈ₀＝{－ｈ_c²/(2μ)}∇²の自由粒子のときには,

ｕ_E(ｒ)＝(2πｈ_c)^-3/2exp(iｐｒ/ｈ_c)で,Ｅ＝ｐ²/(2μ)は縮退して

おりエネルギー固有値が連続の場合ですから修正が必要です。

そこで,固有値がｐの運動量固有関数ｕ_p(ｒ)を,

ｕ_p(ｒ)≡(2πｈ_c)^-3/2exp(iｐｒ/ｈ_c)で定義し,ψ(ｒ,ｔ)を

ψ(ｒ,ｔ)＝∫ｄ³ｐＡ_p(ｔ)ｕ_p(ｒ)のようにｕ_p(ｒ)で積分

展開します。

運動量の連続固有値ｐに対する直交規格化条件:

∫ｕ_p^*(ｒ)ｕ_p'(ｒ)ｄ³ｒ＝δ³(ｐ－ｐ')によれば,係数は

Ａ_p(ｔ)＝∫ｕ_p^*(ｒ)ψ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒで与えられます。

ｕ_p(ｒ)は固有値がＥ＝ｐ²/( 2μ)の"エネルギー固有関数

＝定常状態の波動関数"でもありますから,

Ａ_p(ｔ)＝Ａ_p(ｔ₀)exp{－iｐ²(ｔ－ｔ₀)/( 2μｈ_c)} です。

よって,ψ(ｒ,ｔ)

＝∫[∫ｄ³ｐｕ_p^*(ｒ₀)ｕ_p(ｒ)exp{－iｐ²(ｔ－ｔ₀)/( 2μｈ_c)}]

ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ₀ を得ます。

したがって,自由粒子の場合のGreen関数は,Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)

＝(－i)∫ｄ³ｐｕ_p^*(ｒ₀)ｕ_p(ｒ)exp{－iｐ²(ｔ－ｔ₀)/( 2μｈ_c)}

＝(－i)(2πｈ_c)^-3∫ｄ³ｐexp{iｐ(ｒ－ｒ₀)/ｈ_c}

×exp{－iｐ²(ｔ－ｔ₀)/( 2μｈ_c)} と表現されます。

∫ｄ³ｐexp{iｐ(ｒ－ｒ₀)/ｈ_c}exp{－iｐ²(ｔ－ｔ₀)/( 2μｈ_c)}

＝2π∫_-1¹ｄ(cosθ)∫₀^∞ｄｐｐ²exp{iｐ|ｒ－ｒ₀|cosθ/ｈ_c}

exp{－iｐ²(ｔ－ｔ₀)/( 2μｈ_c)}

＝2πｈ_c|ｒ－ｒ₀|^-1∫₀^∞ｄｐｐ[exp{－iｐ²(ｔ－ｔ₀)/( 2μｈ_c)

＋iｐ|ｒ－ｒ₀|/ｈ_c}－exp{－iｐ²(ｔ－ｔ₀)/( 2μｈ_c)

－iｐ|ｒ－ｒ₀|/ｈ_c}] です。

さらに,ｐ²(ｔ－ｔ₀)/( 2μｈ_c)±ｐ|ｒ－ｒ₀|/ｈ_c

＝(ｔ－ｔ₀)/( 2μｈ_c){ｐ±μ|ｒ－ｒ₀|/(ｔ－ｔ₀)}²

－μ|ｒ－ｒ₀|²/{2ｈ_c(ｔ－ｔ₀)} なので,

∫₀^∞ｄｐｐ[exp{－iｐ²(ｔ－ｔ₀)/( 2μｈ_c)＋iｐ|ｒ－ｒ₀|/ｈ_c}

＝exp[iμ|ｒ－ｒ₀|²/{2ｈ_c(ｔ－ｔ₀)}]∫₀^∞ｄｐｐ

exp[－i(ｔ－ｔ₀)/( 2μｈ_c){ｐ－μ|ｒ－ｒ₀|/(ｔ－ｔ₀)}²]

,

＝∫₀^∞ｄｐｐ[exp{－iｐ²(ｔ－ｔ₀)/( 2μｈ_c)－iｐ|ｒ－ｒ₀|/ｈ_c}

＝exp[iμ|ｒ－ｒ₀|²/{2ｈ_c(ｔ－ｔ₀)}]

∫₀^∞exp[－i(ｔ－ｔ₀)/( 2μｈ_c){ｐ＋μ|ｒ－ｒ₀|/(ｔ－ｔ₀)}²]

ｐｄｐ　となります。

結局,Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)＝(－i)(2πｈ_c)^-2|ｒ－ｒ₀|^-1

∫₀^∞ｄｐｐ[exp{－iｐ²(ｔ－ｔ₀)/(2μｈ_c)＋iｐ|ｒ－ｒ₀|/ｈ_c}

－exp{－iｐ²(ｔ－ｔ₀)/( 2μｈ_c)－iｐ|ｒ－ｒ₀|/ｈ_c}]

＝(－i)(2πｈ_c)^-2|ｒ－ｒ₀|^-1exp[iμ|ｒ－ｒ₀|²/{2ｈ_c(ｔ－ｔ₀)}]

{2μ|ｒ－ｒ₀|/(ｔ－ｔ₀)}∫₀^∞ｄｕexp{－iｕ²(ｔ－ｔ₀)/( 2μｈ_c)}

です。

故に, 

Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)

＝(－iμ)(2πｈ_c)^-2(ｔ－ｔ₀)^-1exp[iμ|ｒ－ｒ₀|²/{2ｈ_c(ｔ－ｔ₀)}]

[2πμｈ_c/{i(ｔ－ｔ₀)}]^1/2

＝i[μ/{2πiｈ_c(ｔ－ｔ₀)}]^3/2exp[iμ|ｒ－ｒ₀|²/{2ｈ_c(ｔ－ｔ₀)}]

を得ます。(証明終わり)(注終わり)※

　自由粒子のGreen関数Ｇ₀が得られたので,その遅延Green関数,および

　先進Green関数Ｇ₀^±は,それぞれ, 

　Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)＝θ(ｔ－ｔ₀)Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀),

　および,Ｇ₀^(-)(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)＝－θ(ｔ₀－ｔ)Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)

　で定義できます。

特に,上記のＧ₀の陽な形から,

Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)＝Ｇ₀^(-)*(ｒ₀,ｔ₀;ｒ,ｔ)

なることがわかります。

後述するように,この関係は,Ｈ＝Ｈ₀＋ＶのポテンシャルＶ≠0 が実

の量であるような任意のＨに対するＧに対しても成立します。

すなわち,Ｇ⁽⁺⁾(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)＝Ｇ^(-)*(ｒ₀,ｔ₀;ｒ,ｔ)　です。

θ(ｔ－ｔ₀)ψ(ｒ,ｔ)＝i∫Ｇ⁽⁺⁾(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ₀

の反復形式を求めるため,ｔ₀とｔの間の幾つかのきわめて短い時間

間隔を除けばＶの作用は切られているとします。

ｔ＞ｔ_n＞..＞ｔ₁＞ｔ₀と分割して,Ｖが作用している時間間隔を,

ｔ₁からｔ₁＋Δｔ₁まで,ｔ₂からｔ₂＋Δｔ₂まで,..ｔ_nから

ｔ_n＋Δｔ_nまでとします。

ｔ_i＋Δｔ_iからｔ_i+1ま(ｉ＝1,2,..ｎ)での時間間隔ではＶがスイッチ

オフされていて,Ｇ⁽⁺⁾でなく自由粒子伝播関数Ｇ₀⁽⁺⁾が伝播関数の役目

をなすとしていいため,

ψ(ｒ_i+1,ｔ_i+1)

＝i∫Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ_i+1,ｔ_i+1,;ｒ_i,ｔ_i＋Δｔ_i)

×ψ(ｒ_i,ｔ_i＋Δｔ_i)ｄ³ｒ_i が成立します。

一方,ｔ_iから ｔ_i＋Δｔ_iまでの時間間隔では,

iｈ_c∂ψ(ｒ,ｔ)/∂ｔ＝Ｈψ(ｒ,ｔ)

＝[Ｈ₀＋Ｖ(ｒ,ｔ)]ψ(ｒ,ｔ) です。

Δｔ_iは微小なので,時刻ｔ_iのψ(ｒ,ｔ_i)から時刻ｔ_i＋Δｔ_i

までのψの変化は,

Δψ≡ψ(ｒ,ｔ_i＋Δｔ_i)－ψ(ｒ,ｔ_i)

＝－(i/ｈ_c)[Ｈ₀＋Ｖ(ｒ,ｔ_i)]ψ(ｒ,ｔ_i)Δｔ_i

と表現されます。

このうち,－(i/ｈ_c)Ｈ₀ψ(ｒ,ｔ_i)Δｔ_iの部分は,

i∫Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ,ｔ_i＋Δｔ_i ;ｒ₀,ｔ_i)ψ(ｒ₀,ｔ_i)ｄ³ｒ₀

－ψ(ｒ,ｔ_i)　で与えられます。

それ故,ψ(ｒ,ｔ_i＋Δｔ_i)

＝i∫Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ,ｔ_i＋Δｔ_i ;ｒ₀,ｔ_i)ψ(ｒ₀,ｔ_i)ｄ³ｒ₀

－(i/ｈ_c)Ｖ(ｒ,ｔ_i)Δｔ_iψ(ｒ,ｔ_i)　と書けます。

ψ(ｒ,ｔ_i＋Δｔ_i)のこの表式を,

ψ(ｒ_i+1,ｔ_i+1)

＝i∫Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ_i+1,ｔ_i+1,;ｒ_i,ｔ_i＋Δｔ_i)

ψ(ｒ_i,ｔ_i＋Δｔ_i)ｄ³ｒ_iの右辺のψ(ｒ_i,ｔ_i＋Δｔ_i)

に代入します。

すると,

ψ(ｒ_i+1,ｔ_i+1)

＝i∫Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ_i+1,ｔ_i+1,;ｒ₀,ｔ_i＋Δｔ_i)

[i∫Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ_i,ｔ_i＋Δｔ_i ;ｒ₀,ｔ_i)ψ(ｒ₀,ｔ_i)ｄ³ｒ₀

－(i/ｈ_c)Ｖ(ｒ_i,ｔ_i)]Δｔ_i]ψ(ｒ_i,ｔ_i)]ｄ³ｒ_i

＝i∫Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ_i+1,ｔ_i+1,;ｒ_i,ｔ_i){1－(i/ｈ_c)Ｖ(ｒ_i,ｔ_i)Δｔ_i}

ψ(ｒ_i,ｔ_i)ｄ³ｒ_iとなります。

故に,これらを全て合成したｔ₀からｔへの伝播は,

θ(ｔ－ｔ₀)ψ(ｒ,ｔ)

＝∫..∫iＧ₀⁽⁺⁾(ｒ,ｔ,;ｒ_n,ｔ_n){1－(i/ｈ_c)Ｖ(ｒ_n,ｔ_n)Δｔ_n}

iＧ₀⁽⁺⁾(ｒ_n,ｔ_n,;ｒ_n-1,ｔ_n-1).. iＧ₀⁽⁺⁾(ｒ₂,ｔ₂,;ｒ₁,ｔ₁)

{1－(i/ｈ_c)Ｖ(ｒ₁,ｔ₁)Δｔ₁}ψ(ｒ_i,ｔ_i)

iＧ₀⁽⁺⁾(ｒ₁,ｔ₁,;ｒ₀,ｔ₀)ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ_n.. ｄ³ｒ₁ｄ³ｒ₀

で与えられます。

Δｔ_iの２次以上の項を捨てて展開すれば,

θ(ｔ－ｔ₀)ψ(ｒ,ｔ)

＝i∫Ｇ₀⁺(ｒ,ｔ ;ｒ₀,ｔ₀)ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ₀

＋(i/ｈ_c)Σ_j∫∫Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ,ｔ,;ｒ_j,ｔ_j)Ｖ(ｒ_j,ｔ_j)Δｔ_j

Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ_j,ｔ_j;ｒ₀,ｔ₀)ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ_jｄ³ｒ₀

＋(i/ｈ_c)²Σ_j,k∫∫∫Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ,ｔ,;ｒ_j,ｔ_j)Ｖ(ｒ_j,ｔ_j)Δｔ_j

Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ_j,ｔ_j;ｒ_k,ｔ_k)Ｖ(ｒ_k,ｔ_k)Δｔ_kＧ₀⁽⁺⁾(ｒ_k,ｔ_k;ｒ₀,ｔ₀)

ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ_jｄ³ｒ_kｄ³ｒ₀＋..

と書けます。　ただしｔ_j＞ｔ_k etc.です。

これは,Ｖが効く時間間隔Δｔ_jの回数を増やして長さをゼロに近づけた極限では遂にＶの効果が連続的になるとすれば,総和Σを時間積分に変えた表現となります。

θ(ｔ－ｔ₀)ψ(ｒ,ｔ)

＝i∫Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ,ｔ ;ｒ₀,ｔ₀)ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ₀

＋(i/ｈ_c)∫ｄｔ_j∫∫Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ,ｔ,;ｒ_j,ｔ_j)Ｖ(ｒ_j,ｔ_j)

Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ_j,ｔ_j;ｒ₀,ｔ₀)ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ_jｄ³ｒ₀

＋(i/ｈ_c)²∫ｄｔ_j∫ｄｔ_k∫Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ,ｔ,;ｒ_j,ｔ_j)Ｖ(ｒ_j,ｔ_j)

Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ_j,ｔ_j;ｒ_k,ｔ_k)Ｖ(ｒ_k,ｔ_k)Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ_k,ｔ_k;ｒ₀,ｔ₀)

ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ_jｄ³ｒ_kｄ³ｒ₀＋..

です。

　これらの時間についての積分区間は,ｔ₀からｔまでの全ての時間を

取ることができます。

　なぜなら,ｔ_j＜ｔ_k ならＧ₀⁽⁺⁾(ｒ_j,ｔ_j;ｒ_k,ｔ_k)＝0

　だからです。

　そして,この式の右辺は左辺の摂動級数と解釈できます。

θ(ｔ－ｔ₀)ψ(ｒ,ｔ)

＝i∫Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ,ｔ ;ｒ₀,ｔ₀)ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ₀

＋(i/ｈ_c)∫ｄｔ_j∫∫Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ,ｔ,;ｒ_j,ｔ_j)Ｖ(ｒ_j,ｔ_j)

[Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ_j,ｔ_j;ｒ₀,ｔ₀)ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ₀＋(i/ｈ_c)∫ｄｔ_k

Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ_j,ｔ_j;ｒ_k,ｔ_k)Ｖ(ｒ_k,ｔ_k)Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ_k,ｔ_k;ｒ₀,ｔ₀)

ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ_kｄ³ｒ₀＋..]ｄ³ｒ_j

と形式的に書き直してみます。

もしも,[ ]内が収束するなら,これは明らかに

θ(ｔ_j－ｔ₀)ψ(ｒ_j,ｔ_j) に等しいです。

そこで,θ(ｔ－ｔ₀)ψ(ｒ,ｔ)

＝i∫Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ,ｔ ;ｒ₀,ｔ₀)ψ(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ₀＋(i/ｈ_c)

∫_t0^tｄｔ_j∫∫Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ,ｔ,;ｒ_j,ｔ_j)Ｖ(ｒ_j,ｔ_j)

ψ(ｒ_j,ｔ_j)ｄ³ｒ_j なる積分方程式を得ます。

これを,出発点の斉次積分方程式:

θ(ｔ－ｔ₀)ψ(ｒ,ｔ)

＝i∫Ｇ⁽⁺⁾(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)ψ(ｒ₀,ｔｔ ₀)ｄ³ｒ₀

と比較すると,

Ｇ⁽⁺⁾(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)

＝Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ,ｔ ;ｒ₀,ｔ₀)＋(1/ｈ_c)∫_t0^tｄｔ_j

∫ｄ³ｒ_jＧ₀⁽⁺⁾(ｒ,ｔ,;ｒ_j,ｔ_j)Ｖ(ｒ_j,ｔ_j)

Ｇ⁽⁺⁾(ｒ_j,ｔ_j;ｒ₀,ｔ₀) が成立します。

以上の遅延Green関数Ｇ₀⁽⁺⁾,Ｇ⁽⁺⁾に対する結果は,そのまま

先進Green関数Ｇ₀^(-),Ｇ^(-)に対して書き直すことができます。

先進Green関数ではｔ＜ｔ₀なので,ｔ＜ｔ_n＜..＜ｔ₁＜ｔ₀として

Ｖが作用している時間間隔をｔ_n－Δｔ_nからｔ_nまで,ｔ_n-1－Δｔ_n-1

からｔ_n-1まで,..,ｔ₁－Δｔ₁からｔ₁までとします。

結局,θ(ｔ－ｔ₀) →θ(ｔ₀－ｔ),Ｇ₀⁽⁺⁾,Ｇ⁽⁺⁾ →Ｇ₀^(-),

Ｇ^(-),(i/ｈ_c)→ (－i/ｈ_c)なる機械的な置き換えさえすればいい

ことがわかります。

そこで,特に,Ｇ^(-)(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)

＝Ｇ₀^(-)(ｒ,ｔ ;ｒ₀,ｔ₀)＋(－1/ｈ_c)∫_t0^tｄｔ_j

∫Ｇ₀^(-)(ｒ,ｔ,;ｒ_j,ｔ_j)Ｖ(ｒ_j,ｔ_j)

Ｇ^(-)(ｒ_j,ｔ_j;ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ_j です。

先に述べたように,Ｇ₀⁽⁺⁾(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)＝Ｇ₀^(-)*(ｒ₀,ｔ₀;ｒ,ｔ)

からＶが実の量ならＧ⁽⁺⁾(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)＝Ｇ^(-)*(ｒ₀,ｔ₀;ｒ,ｔ)

が成立することが示されました。

　ところで,ｄθ(τ)/ｄτ＝δ(τ)ですから,

　θ(ｔ－ｔ₀)ψ(ｒ,ｔ)

＝i∫Ｇ⁽⁺⁾(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)ψ(ｒ₀,ｔ ₀)ｄ³ｒ₀

 の両辺に,左から(i∂/∂ｔ－Ｈ/ｈ_c)を作用させると,

　iδ(ｔ－ｔ₀)ψ(ｒ,ｔ)

　＝i∫(i∂/∂ｔ－Ｈ/ｈ_c)Ｇ⁽⁺⁾(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)

ψ(ｒ₀,ｔ ₀)ｄ³ｒ₀ となります。

　これから,直ちに,(i∂/∂ｔ－Ｈ/ｈ_c)Ｇ⁽⁺⁾(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)

　＝δ³(ｒ－ｒ₀)δ(ｔ－ｔ₀) を得ます。

　これが,Ｇ⁽⁺⁾(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)の満たすべき微分方程式です。

同様に,θ(ｔ₀－ｔ)ψ(ｒ,ｔ)

＝－i∫Ｇ^(-)(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)ψ(ｒ₀,ｔ ₀)ｄ³ｒ₀から,

(i∂/∂ｔ－Ｈ/ｈ_c)Ｇ^(-)(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)

＝δ³(ｒ－ｒ₀)δ(ｔ－ｔ₀) が得られます。

一方,Ｇ^(±)(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)の満たす摂動級数は,

Ｇ^(±)(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)

＝Ｇ₀^(±)(ｒ,ｔ ;ｒ₀,ｔ₀)＋ｈ_c^-1∫ｄｔ_j∫Ｇ₀^(±)(ｒ,ｔ,;ｒ_j,ｔ_j)

Ｖ(ｒ_j,ｔ_j)Ｇ₀^(±)(ｒ_j,ｔ_j;ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ_j＋ｈ_c^-2∫ｄｔ_j∫ｄｔ_k

Ｇ₀^(±)(ｒ,ｔ,;ｒ_j,ｔ_j)Ｖ(ｒ_j,ｔ_j)Ｇ₀^(±)(ｒ_j,ｔ_j;ｒ_k,ｔ_k)

Ｖ(ｒ_k,ｔ_k)Ｇ₀^(±)(ｒ_k,ｔ_k;ｒ₀,ｔ₀)..

です。

また,Ｇ^(±)(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)の満たす積分方程式は,

Ｇ^(±)(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)

＝Ｇ₀^(±)(ｒ,ｔ ;ｒ₀,ｔ₀)

　＋ｈ_c^-1∫_t0^tｄｔ_j∫ｄ³ｒ_jＧ₀^(±)(ｒ,ｔ,;ｒ_j,ｔ_j)Ｖ(ｒ_j,ｔ_j)　

　Ｇ^(±)(ｒ_j,ｔ_j;ｒ₀,ｔ₀)　です。

そこで,これらを記号的に,

Ｇ^(±)＝Ｇ₀^(±)＋ｈ_c^-1Ｇ₀^(±)ＶＧ₀^(±)＋ｈ_c^-2Ｇ₀^(±)ＶＧ₀^(±)ＶＧ₀^(±)

＋..,および,Ｇ^(±)＝Ｇ₀^(±)＋ｈ_c^-1Ｇ₀^(±)ＶＧ^(±)

と表記することにします。

この表記では,積分方程式:Ｇ^(±)＝Ｇ₀^(±)＋ｈ_c^-1Ｇ₀^(±)ＶＧ^(±)

は,(1－ｈ_c^-1Ｇ₀^(±)Ｖ)Ｇ^(±)＝Ｇ₀^(±)と書けます。

そこで,(1－ｈ_c^-1Ｇ₀^(±)Ｖ)が逆演算子(1－ｈ_c^-1Ｇ₀^(±)Ｖ)^-1

を持てば,Ｇ^(±)＝(1－ｈ_c^-1Ｇ₀^(±)Ｖ)^-1Ｇ₀^(±)です。

これから,反復法によって

Ｇ^(±)＝(1＋ｈ_c^-1Ｇ₀^(±)Ｖ＋ｈ_c^-2Ｇ₀^(±)ＶＧ₀^(±)Ｖ..)Ｇ₀^(±)

なる級数展開が得られます。

これは正に上記Green関数の積分摂動展開を再現しています。

一方,Ｇ^(±)の満たす微分方程式もδ関数を積分演算子として１

に置き換えると,(i∂/∂ｔ－Ｈ/ｈ_c)Ｇ^(±)＝1なる記号的表現

で書けます。

これは自由粒子では,(i∂/∂ｔ－Ｈ₀/ｈ_c)Ｇ₀^(±)＝1 です。

Ｇ^(±)＝Ｇ₀^(±)＋ｈ_c^-1Ｇ₀^(±)ＶＧ^(±)の両辺の左から

(i∂/∂ｔ－Ｈ₀/ｈ_c)を作用させると,

(i∂/∂ｔ－Ｈ₀/ｈ_c)Ｇ^(±)

＝(i∂/∂ｔ－Ｈ₀/ｈ_c)(Ｇ₀^(±)＋ｈ_c^-1Ｇ₀^(±)ＶＧ^(±))

＝1＋ｈ_c^-1ＶＧ^(±)ですが,

これは単に,(i∂/∂ｔ－Ｈ/ｈ_c)Ｇ^(±)＝1

を示すに過ぎません。

(i∂/∂ｔ－Ｈ/ｈ_c)Ｇ^(±)＝1から,

Ｇ^(±)＝1/(i∂/∂ｔ－Ｈ/ｈ_c)^-1,or Ｇ^(±）＝1/(i∂/∂ｔ－Ｈ/ｈ_c)

なる記号的表現も可能です。

前の記事では,散乱行列Ｓから出発してLippman-Schwinger方程式を得ました。

そして,積分方程式から出発して摂動の近似級数を得ましたが,これとは逆に,今回のSchiffの定式化では先に摂動級数を得て,それから積分方程式を構成しています。

今日はここまでにします。(つづく)

参考文献:L.I.schiff(シッフ)著,(井上 健 訳)「量子力学(下)」

ＰＳ1:日本は何で検察が政治やってんだ？

　支持率も選挙結果も検察のメンツ次第で10ポイントくらい動く？

ＰＳ2:加藤一二三さんは"秀才"ではなく,一般常識を超越した「神武以来の天才」らしいので"天才の常識"以外の常識は通じないでしょう。

　彼は確かクリスチャンですが,仏教と違って西洋の宗教では犬猫よりも人間様の方が大切なはずなんですがネ。

　彼はそれをも超越した博愛主義者のようです。まあ,多数決が通用しない人にとっては水掛け論ですね。

　かの人は昔(今も？),将棋対局中に,恐らく上座に座っている相手の後ろに回って頭越しに(上から目線で？)反対側から対局中の盤面を見てしばし考えるというトンデモ行動を取り,相手によっては「失礼な奴だな。」と思われたとしても気付かないほどの"大人物"ですね。

　隣人よりも犬猫をエコひいきするのは,彼にとって犬猫の方が"山上の垂訓"に云われるより"貧しきもの"だからでしょうか？

(※"善人なおもて往生をとぐ,いわんや悪人おや。。　

 "ありゃ,これはイエス様じゃなくて,親鸞だったかぁ。

　かつて,2006年７/１の「ユダの福音書(つづき)」で書いたカトリック異端のグノーシス派の主張とかね。

　↑「親鸞の"悪人"＝イエスの"(心の)貧しきもの"」？という私の"貧しい発想"です。(^^;)

　そういえば,昔パソコン通信:nifty^serve時代の,FLORD(キリスト教フォーラム)か,FBIBLE(聖書フォーラム)で,「心の貧しきもの」というのは,欲(物質欲)のない人という意味じゃないですか？などと質問して,優しく否定されたようなこともあったような。。。。

　まあ,この「心の貧しきもの」の解釈とか,今でもブログで得意げに書いている内容にも多々あるようですが,

　恐らく誰かに聞いたか,本や新聞テレビで見聞きしたことを,さも自分が発想したかのように勘違いして大声で主張したりしていたものの１つであるかも知れませんね。

　もっとも,意に染まぬなら賛同さえしていないし,パクリを自分の考えと勘違いするほどの段階では,数学や物理の先達の理論のパクリと同じく,かなり自分の血肉と化しているはずですが。。。

　新約聖書の"隣人を愛せ,汝の敵を愛せ"とか,あるいは"我は諍いの種を撒くためにこの世にやってきた。"(意訳："事なかれ主義の平安を乱すために降臨した。"とか,の方がふさわしいかもね。)

　(聖書については,偶々覚えていることだけを書いているので,本当は間違っているかも知れません。

　でも,新約聖書では,イエスはその時々に応じて正反対のことを述べているので神学者じゃないし解釈はむずかしいので主観です。※)

　そういえば,昔何回か行った大阪生野区の次兄の家では,"兄嫁＝従姉"0の"えっちゃん"が近所のノラ猫に餌をやって敷地内にたくさんの猫が集まっていましたが,大丈夫でしょうか？

　集合住宅ではないけれど,あのひとも決して常識人ではないので少し心配です。(2006年３/29の記事「淡い初恋)」)