散乱の伝播関数の理論(5)(Schiff-2,他)

　散乱の伝播関数の理論の続きです。

　L.I.Schiff(シッフ)著「量子力学」の衝突の理論における近似法の散乱行列の項の続きです。

§§散乱への応用:

　Ｔ₁,Ｔ₂を非常に大きい正の数とします。

　遠い過去:ｔ₀＜－Ｔ₁には自由粒子の方程式:

　iｈ_c∂φ_α(ｒ,ｔ₀)/∂ｔ₀＝Ｈ₀φ_α(ｒ,ｔ₀)を満たしていた,

　波束φ_α(ｒ,ｔ₀)を考えます。

　これまでの論議から,波束φ_αが,－Ｔ₁＜ｔ＜Ｔ₂には方程式:

　iｈ_c∂Ψ_α⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)/∂ｔ＝ＨΨ_α⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)を満たす波Ψ_α⁽⁺⁾

に変わるとき,

　Ψ_α⁽⁺⁾は,Ψ_α⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)

　＝i∫Ｇ⁽⁺⁾(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)φ_α(ｒ₀,ｔ₀)ｄ³ｒ₀

と表現できます。

そして,遠い未来ｔ＞Ｔ₂には,再び自由波の方程式:

iｈ_c∂Ψ_α⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)/∂ｔ＝Ｈ₀Ψ_α⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)を満たします。

この散乱の行列要素:Ｓ_βα＝＜β|Ｓ^|α＞は,ｔ＞Ｔ₂での

＜φ_β|Ψ_α⁽⁺⁾＞で与えられます。

Schiffのテキストは紹介程度で,これくらいにします。

※(注):ここで,誤解を恐れず,結論めいたことを述べてみます。

Hilbert(ヒルベルト)空間の部分空間として定義されている状態空間

の基底(basis)の取り方は無数に有りますが,

それらは,同じ観測量に対しては同じ期待値を取るように,互いに

ユニタリ変換(unitary transformation)で結び付いています。

同じ自由粒子の状態ベクトルの集合でも入射状態(incoming)の集まり

としての基底:{|φ_in,α＞}と散乱状態(outgoing)の集まりとしての

基底:{|φ_out,α＞}はユニタリ変換だけ異なります。

Ｓ行列(散乱行列:scattering-matrix):Ｓ≡{Ｓ_βα},

あるいは,散乱状態ベクトル:|φ_out,α＞は,

行列要素:Ｓ_βα＝＜β|Ｓ^|α＞＝＜φ_in,β|Ｓ^|φ_in,α＞

＝＜φ_out,β|φ_in,α＞によって定義されます。

これは２つの基底ケットの間のユニタリ変換が散乱演算子:Ｓ^により

＜φ_out,β|＝＜φ_in,β|Ｓ^と書ける,という表現と同等です。

こうした状態のユニタリ変換だけの違いというのは,量子論的には,

Schrödinger表示,Heisenberg表示,相互作用表示

(interaction picture)などの表示の違いと同じモノであると

見ることができます。

もっといえば,散乱問題を解くための摂動論の最初の手続きは,

Ｓ行列要素:Ｓ_βα＝＜φ_out,β|φ_in,α＞の間に中間状態

(intermediate states)の完全系(complete set):

１＝Σ_γ|ψ_int,γ＞＜ψ_int,γ|を挟むことです。

すなわち,Ｓ_βα＝＜φ_out,β|(Σ_γ|ψ_int,γ＞＜ψ_int,γ|)|φ_in,α＞

＝Σ_γ＜φ_out,β|ψ_int,γ＞＜ψ_int,γ|φ_in,α＞です。

ただし,自由粒子状態の系:{|φ_in,α＞},または{|φ_out,α＞}の要素は

全て物理的に許される状態であり,それだけで完全系をなしますが,

中間状態の系:{|ψ_int,α＞}は,一般に物理的に許されない仮想状態　

(virtual states)をも含めないと完全系をなしません。

(注終わり)※

　さて,内容的にSchiffと重複する部分が多々ありますが,私が過去に

　精読したBjorken & Drellのテキスト"Relativistic Quantum

　Mechanics"のChap.6,§6.2 non-relativistic propagatorから

　始めて,同様のテーマを記述している部分を紹介します。

　以下は,B-Dのテキストの本文の内容です。

　遠い過去に与えられた波束がポテンシャルに近づく１粒子を表わし,

　その波が遠い未来にどのようになるかの過程を見る便利な方法を

　光学の"Huygens(ホイヘンス)の原理"に求めます。

　すなわち,ある時刻ｔ₀に波動関数Ψ(ｒ₀,ｔ₀)がわかったなら,

　空間の各点ｒ₀をｒ₀から外向きに伝播する球面波の波源(source)

　と考えることで以後の任意時刻ｔにおける波動関数を見出すこと

　ができます。

そこで,後の時刻ｔに点ｒに到達する波の振幅は個々の源の波の振幅

Ψ(ｒ₀,ｔ₀)に比例すると想像されます。

この比例定数をiＧ(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)と記述すれば,Huygensの原理

に従って点ｒに到達する波の振幅は,

Ψ(ｒ,ｔ)＝i∫ｄ³ｒ₀Ｇ(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)Ψ(ｒ₀,ｔ₀)(ｔ＞ｔ₀)

と表わせるはずです。

ここで,Ｇ(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)はGreen関数(Green's function),または

propagator(プロパゲータ:伝播関数)として知られているもので,

Huygensの原理に従ってｒ₀,ｔ₀におけるΨ(ｒ₀,ｔ₀)の要素波の

Ψ(ｒ,ｔ)への影響を説明するものです。

Ｇがわかれば,与えられた任意の始状態から時間発展する物理的状態

を作ることが可能となります。

したがって,Ｇを知ることはSchrödinger方程式の完全な解を知るのと

同等な意味を持ちます。

しかし,ここまではそれが物理的であるという論拠に基づいてＧの存在を主張してきたに過ぎません。

後でＧの完全な正式な定義を与える必要があります。

取り合えず,Propagator-Approachのより良い理解を得るため,こうした論旨をさらに追求してみます。

自由粒子の運動は完全にわかっており対応するGreen関数Ｇ₀は陽に作ることができます。

この自由な伝播関数に,１つの時間に依存する広義ポテンシャルＶを

導入すればＧ₀はＧへと修正されます。

広義ポテンシャル:Ｖ(ｒ₁,ｔ₁)は時刻ｔ₁のまわりの非常に短い時間

Δｔ₁の間だけスイッチが入る相互作用を表わすとします。

ｔ₁より前の時刻では波動関数は自由波の波動関数φであり,対応する

プロパゲータはＧ₀ですが,

ｔ＝ｔ₁では,Ｖ(ｒ₁,ｔ₁)は,Schrödinger方程式:

{i(∂/∂ｔ)－Ｈ₀}Ψ(ｒ₁,ｔ₁)＝Ｖ(ｒ₁,ｔ₁)Ψ(ｒ₁,ｔ₁)

に従う新しい波動の波源として作用します。

右辺の波源の項は,ｔ＝ｔ₁からｔ＝ｔ₁＋Δｔ₁までの間だけゼロでないので,Ｖがないときに起こる変化に加えてΔｔ₁の間に追加の変化を生み出します。

この追加波ΔΨ(ｒ₁,ｔ₁)は,

{i(∂/∂ｔ)－Ｈ₀}Ψ(ｒ₁,ｔ₁)＝Ｖ(ｒ₁,ｔ₁)Ψ(ｒ₁,ｔ₁)

をΔｔ₁の１次のオーダーまで積分すれば得られ,

ΔΨ(ｒ₁,ｔ₁)＝－iＶ(ｒ₁,ｔ₁)φ(ｒ₁,ｔ₁)Δｔ₁

と表現できます。

そして,(ｒ₁,ｔ₁)での源ΔΨ(ｒ₁,ｔ₁)のΨ(ｒ,ｔ)への寄与は,

ΔΨ(ｒ,ｔ)＝i∫ｄ³ｒ₁Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₁,ｔ₁)ΔΨ(ｒ₁,ｔ₁)

＝∫ｄ³ｒ₁Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₁,ｔ₁)Ｖ(ｒ₁,ｔ₁)φ(ｒ₁,ｔ₁)Δｔ₁

と表わせます。

よって,トータルでは,

Ψ(ｒ,ｔ)＝φ(ｒ,ｔ)

＋∫ｄ³ｒ₁Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₁,ｔ₁)Ｖ(ｒ₁,ｔ₁)φ(ｒ₁,ｔ₁)Δｔ₁

＝i∫ｄ³ｒ₀[Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)

＋∫ｄ³ｒ₁Δｔ₁Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₁,ｔ₁)Ｖ(ｒ₁,ｔ₁)

Ｇ₀(ｒ₁,ｔ₁;ｒ₀,ｔ₀)]φ(ｒ₀,ｔ₀)　となります。

　これらは,(ｒ,ｔ)を(ｘ)＝ｘ^μ≡(ｔ,ｒ)と書く４次元表記では,

　ΔΨ(ｘ)＝∫ｄ³ｒ₁Δｔ₁Ｇ₀(ｘ,ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)φ(ｘ₁),および,

　Ψ(ｘ)＝i∫ｄ³ｒ₀[Ｇ₀(ｘ,ｘ₀)

　＋∫ｄ³ｒ₁Δｔ₁Ｇ₀(ｘ;ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ₀(ｘ₁;ｘ₀)]φ(ｘ₀)

　となります。

上式を,Ψ(ｒ,ｔ)＝i∫ｄ³ｒ₀Ｇ(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)φ(ｒ₀,ｔ₀)なる表現

と比較してGreen関数:Ｇに対する式と見れば,

Ｇ(ｘ;ｘ₀)＝Ｇ₀(ｘ;ｘ₀)　＋Σ_j=1ⁿ∫ｄ³ｒ_jΔｔ_jＧ₀(ｘ;ｘ₁)

Ｖ(ｘ_j)Ｇ₀(ｘ₁;ｘ₀)　です。

　さらに,ｔ₂＞ｔ₁なる時刻ｔ＝ｔ₂においてｔ＝ｔ₂からｔ＝ｔ₂＋Δｔ₂

の間に,もう１つの広義ポテンシャルＶ(ｒ₂,ｔ₂)のスイッチがオンに

　されるなら,前と同様これによる追加波は,

　ΔΨ(ｘ)＝∫ｄ³ｒ₂Δｔ₂Ｇ₀(ｘ;ｘ₂)Ｖ(ｘ₂)Ψ(ｘ₂)

　となります。

ところが,まだＶ(ｒ₂,ｔ₂)のスイッチがオフの状態でのｔ＝ｔ₂に

おける波動Ψ(ｘ₂)は,

Ψ(ｘ₂)＝i∫ｄ³ｒ₀[Ｇ₀(ｘ₂;ｘ₀)

＋∫ｄ³ｒ₁Δｔ₁Ｇ₀(ｘ₂;ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ₀(ｘ₁;ｘ₀)]φ(ｘ₀)

で与えられるはずです。

そこで,これをΔΨ(ｘ)＝∫ｄ³ｒ₂Δｔ₂Ｇ₀(ｘ;ｘ₂)Ｖ(ｘ₂)Ψ(ｘ₂)

の右辺のΨ(ｘ₂)に代入すれば,

ΔΨ(ｘ)＝i∫∫ｄ³ｒ₀ｄ³ｒ₂Δｔ₂[Ｇ₀(ｘ;ｘ₂)Ｖ(ｘ₂)

{Ｇ₀(ｘ₂;ｘ₀)＋∫ｄ³ｒ₁Δｔ₁Ｇ₀(ｘ₂;ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ₀(ｘ₁;ｘ₀)}

φ(ｘ₀)] なる表式を得ます。

故に,全体では

ψ(ｘ)＝i∫ｄ³ｒ₀{Ｇ₀(ｘ;ｘ₀)

＋∫ｄ³ｒ₂Δｔ₂Ｇ₀(ｘ;ｘ₂)Ｖ(ｘ₂)Ｇ₀(ｘ₂;ｘ₀)

＋∫∫ｄ³ｒ₂Δｔ₂ｄ³ｒ₁Δｔ₁Ｇ₀(ｘ;ｘ₂)Ｖ(ｘ₂)Ｇ₀(ｘ₂;ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)

Ｇ₀(ｘ₁;ｘ₀)}φ(ｘ₀)

＝φ(ｘ)＋∫ｄ³ｒ₁Δｔ₁Ｇ₀(ｘ;ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ₀(ｘ₁;ｘ₀)φ(ｘ₀)

＋∫ｄ³ｒ₂Δｔ₂Ｇ₀(ｘ;ｘ₂)Ｖ(ｘ₂)Ｇ₀(ｘ₂;ｘ₀)φ(ｘ₀)

＋∫∫ｄ³ｒ₂Δｔ₂ｄ³ｒ₁Δｔ₁Ｇ₀(ｘ;ｘ₂)Ｖ(ｘ₂)Ｇ₀(ｘ₂;ｘ₁)

Ｖ(ｘ₁)Ｇ₀(ｘ₁;ｘ₀)}φ(ｘ₀)

です。

これを反復すれば一般のｎ個の広義ポテンシャルの作用の結果の波動

として,ψ(ｘ)＝φ(ｘ)

＋Σ_j=1ⁿ∫ｄ³ｒ_jΔｔ_jＧ₀(ｘ;ｘ_j)Ｖ(ｘ_j)Ｇ₀(ｘ_j;ｘ₀)φ(ｘ₀)

＋Σ_j,k=1ⁿ∫∫ｄ³ｒ_jΔｔ_jｄ³ｒ_kΔｔ_kＧ₀(ｘ;ｘ_j)Ｖ(ｘ_j)

Ｇ₀(ｘ_j;ｘ_k)Ｖ(ｘ_k)Ｇ₀(ｘ_k;ｘ₀)φ(ｘ₀)＋..

を得ます。

　そして,これをGreen関数:Ｇに対する式と見れば,

　Ｇ(ｘ;ｘ₀)＝Ｇ₀(ｘ;ｘ₀)

　＋Σ_j=1ⁿ∫ｄ³ｒ_jΔｔ_jＧ₀(ｘ;ｘ_j)Ｖ(ｘ_j)Ｇ₀(ｘ_j;ｘ₀)

　＋Σ_tj＞tk∫∫ｄ³ｒ_jΔｔ_jｄ³ｒ_kΔｔ_kＧ₀(ｘ;ｘ_j)Ｖ(ｘ_j)

　Ｇ₀(ｘ_j;ｘ_k)Ｖ(ｘ_k)Ｇ₀(ｘ_k;ｘ₀)＋..

　となります。

　ここで,ｔ＜ｔ₀ならＧ₀(ｘ;ｘ₀)＝Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)≡0 と定義

　すればｔ_j＞ｔ_k etc.の時間順序の制限を省くことができます。

　このように,波が未来にのみ伝播するという境界条件を持つＧ₀は

自由粒子の遅延Green関数(retarded Green's function),または遅延伝播関数(retarded propagator)として知られています。

　これは,物理的にはHuygensの要素波ΔΨのｉ番目の反復によるものは

時刻ｔ＝ｔ_i以後でないと現われないことを意味します。

　連続的反復の極限を考えると,相互作用時間Δｔ_jにわたる総和;

　Σ_jΔｔ_j etc.はｄｔにわたる積分に置換され,　

　Ｇ(ｘ;ｘ₀)＝Ｇ₀(ｘ;ｘ₀)＋∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀(ｘ;ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ₀(ｘ₁;ｘ₀)

　＋∫∫ｄ⁴ｘ_jｄ⁴ｘ_kＧ₀(ｘ;ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ₀(ｘ₁;ｘ₂)

　Ｖ(ｘ₂)Ｇ₀(ｘ₂;ｘ₀)＋..

　と書けます。

　ただし,ｄ⁴ｘ≡ｄ³ｘｄｘ⁰＝ｄ³ｒｄｔです。

　この右辺の複合散乱級数が収束するなら形式的にＧは方程式:

　Ｇ(ｘ;ｘ₀)＝Ｇ₀(ｘ;ｘ₀)＋∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀(ｘ;ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ(ｘ₁;ｘ₀)

　を満たすことになります。

そこで,Ｇ₀(ｘ;ｘ₀)だけでなくＧ(ｘ;ｘ₀)も"ｔ＜ｔ₀ならＧ(ｘ;ｘ₀)＝0 を満たす遅延Green関数"となることに注意します。

これは,因果律(causality)の基本的概念から要求される条件を確かに満たすものです。

一見してわかるように,漸化式:

Ｇ(ｘ;ｘ₀)＝Ｇ₀(ｘ;ｘ₀)＋∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀(ｘ;ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ(ｘ₁;ｘ₀)

は既知のＶとＧ₀から反復法によってＧを見出す手続きを与えます。

それ故,これはｔよりも早い時刻ｔ₀での波動関数Ψ(ｘ₀)がわかれば

時刻ｔでの波動関数Ψ(ｘ)を見出せる手続きを与えます。

特に,散乱問題を解く際には,波ψが遠い過去に散乱体の相互作用領域に近づく１粒子を示すときの遠い未来でのψを知る必要があります。

そして,散乱問題を正しく定義するためには,初期時刻には如何なる相互作用も存在してはならず,ψは要求された初期条件を有する自由粒子の波動方程式の解φである必要があります。

この条件を成立させる数学的な１つの処方は,ｔ→－∞ に対して,

Ｖ(ｒ,ｔ)を断熱的に(無限に緩慢に)消してゆくことで相互作用

の時間を局所化することです。

すなわち,遠い過去には散乱波は全く無く,未来の波は,

Ψ(ｒ,ｔ)＝i∫ｄ³ｒ₀Ｇ(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)Ψ(ｒ₀,ｔ₀)

で与えられるわけです。

これはΨ(ｒ,ｔ)

＝lim _t0→-∞ i∫ｄ³ｒ₀Ｇ(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)φ(ｒ₀,ｔ₀)

と表現できます。

右辺のＧをＧ(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)＝Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)

＋∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₁,ｔ₁)Ｖ(ｒ₁,ｔ₁)Ｇ(ｒ₁,ｔ₁;ｒ₀,ｔ₀)

で表現すれば,

これは,Ψ(ｒ,ｔ)＝lim _t0→-∞ i∫ｄ³ｒ₀[Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)

＋∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₁,ｔ₁)Ｖ(ｒ₁,ｔ₁)Ｇ(ｒ₁,ｔ₁;ｒ₀,ｔ₀)]

φ(ｒ₀,ｔ₀) と書けます。

したがって,結局,

Ψ(ｒ,ｔ)＝φ(ｒ,ｔ)＋∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₁,ｔ₁)Ｖ(ｒ₁,ｔ₁)

Ψ(ｒ₁,ｔ₁)という波動関数についての表式を得ます。

　しかし,今までのところは,これで現実に何らかの方程式を解いた

　わけ　ではありません。

　何故なら,上式には右辺にも未知関数Ψがあるからです。

　しかし,こうした表式を得たことから摂動ポテンシャルＶが小さい場合には与えられた境界条件を満たす解を求める直接的な近似法を獲得したことになります。

　ところで,当面の問題として興味があるのはｔ→ ∞ での散乱波の形状です。

　この極限では,粒子ψは相互作用領域から出て再び自由粒子の波動方程式の解になります。

この条件を確実にするため,前のｔ→－∞ のときと同じく相互作用を断熱的に消します。

散乱波に関する全ての情報は種々の終状態φ_fに到る粒子の確率振幅から得ることができます。

ただし,φ_f(ｒ,ｔ)＝(2π)^-3/2exp(iｋ_fｒ－iω_fｔ)です。

そして,こうした情報は与えられた入射波:φ_i(ｒ,ｔ)からｔ→ ∞

の極限で到達する波に関するものとして得られます。

　与えられた始状態と終状態の対(ｆ,ｉ)に対する確率振幅Ｓ_fiは散乱演算子,または散乱行列Ｓ(S-matrix)の１つの要素です。

　これは,　

Ｓ_fi≡lim _t→∞∫φ_f^*(ｒ,ｔ)Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ

＝lim _t→∞∫φ_f^*(ｒ,ｔ)[φ_i(ｒ,ｔ)

＋∫ｄ³ｒ₀Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)Ｖ(ｒ₀,ｔ₀)Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)]

＝δ³(ｋ_f－ｋ_i)＋lim _t→∞∫ｄ³ｒ₀∫ｄ⁴ｘφ_f^*(ｒ,ｔ)

Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)Ｖ(ｒ₀,ｔ₀)Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)

で定義されます。

ただしΨ_i⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)は,

Ψ(ｒ,ｔ)＝φ(ｒ,ｔ)

＋∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₁,ｔ₁)Ｖ(ｒ₁,ｔ₁)Ψ(ｒ₁,ｔ₁)の解Ψの１つ

でｔ→－∞ では運動量がｋ_iの入射平面波に帰するという境界条件

を満たすものです。

ｔ→±∞ というのは,ｔが粒子が相互作用領域にはいない,あるいはＶがスイッチ-オフされているときの任意の遠い過去,未来の時刻:±Ｔに近づくことを意味します。

特に,ｔ＝±∞ は粒子が生み出されたり検出されたりする時刻を意味

します。

ところで,Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)は,

ψ_i⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)＝φ(ｒ,ｔ)＋∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₁,ｔ₁)Ｖ(ｒ₁,ｔ₁)

Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ₁,ｔ₁)の右辺のΨ_i⁽⁺⁾(ｒ₁,ｔ₁)への初期値：φ_i(ｒ₁,ｔ₁)

からの反復代入により多重散乱級数に展開できます。

　そして,この展開の個々の項を模式図に書くと,後述するダイアグラム

　(Feynman diagram)に対応することがわかります。

今日はここまでにします。(つづく)

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell“Relativistic Quantum Mechanics”(McGraw-Hill),L.I.schiff(シッフ)著,(井上健 訳)「量子力学(下)」(吉岡書店)