原子核のγ崩壊とメスバウアー効果(5)

原子核のγ崩壊とメスバウアー効果の続きです。 

ここまで展開してきた電磁放射の古典論と量子論の対応原理に基づく方法による結果と量子論の長波長の摂動近似で成立するFermiの黄金律の整合性を示すという面倒な課題は先送りにして,取り合えず古典論と量子論の対応原理に基づいて当面の課題を処理します。

さて,これまでの論議で原子核のγ崩壊の遷移速度(transition rate)ｗ,つまりエネルギー準位の高い核の励起準位(exciting level):|ｉ＞から,"低エネルギー状態＝主として基底準位(ground level)":|ｆ＞へのγ線放射を伴う遷移の確率ｗは次式で与えられることを見ました。

すなわち,単位時間に電気(ｌ,ｍ)極のγ線を放射して核が状態遷移をする確率は,ｗ^E_lm＝Ｕ^E_lm/(ｈ_cω)＝(2π/ｈ_c){1/(2πε₀)}{(l＋1)/l}ｋ^2l+1/{(2ｌ＋1)!!}²]＜ｆ|Ｑ_lm|ｉ＞²で与えられます。

また,単位時間に磁気(ｌ,ｍ)極のγ線を放射して状態遷移をする確率は,ｗ^M_lm＝Ｕ^M_lm/(ｈ_cω)＝(2π/ｈ_c){μ₀/(2π)}{(l＋1)/l}(ｋ^2l+1/{(2ｌ＋1)!!}²)|＜ｆ|Ｍ_lm|ｉ＞|²です。

ここに,＜ｆ|Ｑ_lm|ｉ＞＝∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*ρ_e(ｒ)ｄｒであり＜ｆ|Ｍ_lm|ｉ＞＝－∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*∇Ｍ(ｒ)ｄｒです。

対応原理(correspondence principle)から,Ψ_i(ｒ)＝＜ｒ|ｉ＞,Ψ_f(ｒ)＝＜ｒ|ｆ＞を原子核全体を位置ｒの１粒子と見た始状態,終状態の波動関数とすれば,ρ_e(ｒ)＝ＺｅΨ_f^*(ｒ)Ψ_i(ｒ),Ｍ(ｒ)＝{ｅｈ_c/(2Ｍ)}Ψ_f^*(ｒ){Σ_a=1^Aμ_aσ_a}Ψ_i(ｒ)です。

また,ｐ_a＝－iｈ_c∇_aですが,これはａ＝1,2,..,Ａの個々の核子の位置をｒ_aをとしたときの核子ａの運動量を示すものです。

さらに,ｅ＞0 は陽子の電荷,Ｍは核子の質量です。

σ_aは核子ａに対するPauli行列,μ_aは磁気回転比(gyromagnetic ratio)です。なお,後者はａが陽子ｐならμ_p～ 2.7928,中性子ｎならμ_n～ －1.9132です。 

遷移速度ｗ^E,M_lmの陽な表式に基づいて,その大きさを評価します。

まず,核子の質量はＭｃ²～10³MeVであり核子のスピン磁気モーメントの大きさは|μ_a|～2です。また,核半径をＲとすると|∇|～1/Ｒですが,質量数がＡの原子核では,Ｒ～(ｒ₀Ａ^1/3)です。(ｒ₀は核子半径)

そこで,特に平均的な質量数:Ａ～125の場合,単位時間の磁気的放射の電気的放射の率に対する比を評価すると,(ｗ^M_lm/ｗ^E_lm)＝ｃ^-2|＜ｆ|Ｍ_lm|ｉ＞/＜ｆ|Ｑ_lm|ｉ＞|²～{ｃ^-1{ｈ_c|μ_a|/(ＭＲ)}²～{2ｈ_cｃ/(Ｍｃ²ｒ₀Ａ^1/3)}²～ 4×10^-4となります。

故に,同じ,(ｌ,ｍ)型の放射なら電気放射(Ｅ型)の放射確率が磁気放射(Ｍ型)の放射確率より４桁も大きいことがわかります。 

次に,原子核の|ｉ＞→ |ｆ＞のγ線放射の崩壊において許される遷移の型について考えます。 

そのため,始状態:|ｉ＞のスピンとそのｚ成分,パリティをそれぞれＩ_i,Ｍ_i,π_iと表記し,終状態:|ｆ＞の対応する値をそれぞれＩ_f,Ｍ_f,π_fと表記します。

ここで,放射γ線はＥ型,またはＭ型単独のそれであって多極度は(ｌ,ｍ)と仮定します。このとき,γ崩壊の遷移速度ｗ^E,M_lmがゼロでないための条件を遷移の選択則(selection rule)といいます。

まず,電磁相互作用での角運動量保存則から,Ｉ_i＝ｌ＋Ｉ_f,Ｍ_i＝ｍ＋Ｍ_fです。

そこで,Ｉ_i＝ｌ＋Ｉ_fなる制約からはｌについての１つの選択則:|Ｉ_i－Ｉ_f|≦ｌ≦(Ｉ_i＋Ｉ_f)を得ます。さらに,Ｍ_i＝ｍ＋Ｍ_fもｍに対する選択則を与えます。

これまで見てきたように,ｌ＝0 のγ線放射は存在しないので,Ｉ_i＝Ｉ_f＝0 の場合にはγ線遷移は完全に禁止されます。

摂動近似であるFermiの黄金律ｕ(Ｍ_i,Ｍ_f)ｄΩ＝(2π/ｈ_c)|＜ｆ|Ｈ_γ'|ｉ＞|²(ｄｎ/ｄＥ_γ)ｄΩが近似的に成立するような長波長(λ＞＞Ｒ, or ω＜＜ｃ/Ｒ)のγ線の領域を想定します。

この領域では,電磁相互作用Ｈ_γ'の多重極展開で角運動量が小さい順に項の寄与が大きいため,ｌ＝|Ｉ_i－Ｉ_f|,|Ｉ_i－Ｉ_f|＋1,..,(Ｉ_i＋Ｉ_f)のうちｌの小さいγ線放射に関わる遷移がより顕著に出現します。

一方,パリティによる選択則を考えます。

Ｅ型放射ではＱ_lmのパリティが(－1)^l,Ｍ型放射ではＭ_lmのパリティが(－1)^l+1であり,電磁相互作用Ｈ_γ'ではパリティが保存すべきです。

このことから,放射による遷移行列要素がゼロにならないためには,Ｅ型放射ではπ_i＝(－1)^lπ_f,Ｍ型放射ではπ_i＝(－1)^l+1π_fなることが必要です。

これらの選択則から,例えばＩ_i^πi＝4⁺ →Ｉ_f^πf＝2⁺の遷移では,|Ｉ_i－Ｉ_f|＝2≦lが必要なため,許される多極放射はＥ2,Ｅ4,Ｅ6,..;Ｍ3,Ｍ5,..となります。

しかし,一般にγ崩壊では長波長近似がきわめて有効ですから,例えばＡ＝125の原子核からのｈ_cω＝2ＭeＶ程度のγ線放射では,波長がλ～ 100ｆｍ＝10^-13ｍ程度なので(ｗ^E₄/ｗ^E₂)～ 4×10^-9と評価されます。

したがって,Ｅ2(電気双極子)に比べてＥ4(電気四重極子)を無視する近似はきわめて正当であることがわかります。それ故,Ｉ_i^πi＝4⁺ →Ｉ_f^πf＝2⁺のγ遷移では高々Ｅ2とＭ3の放射を考えれば十分です。

次に,励起状態にある原子核がγ線を放出して崩壊する代わりに核外の原子のＫ,Ｌ,Ｍ..殻の軌道電子を放出して崩壊する過程があります。

これはγ線の内部転換(internal conversion)と呼ばれます。

内部転換は,原子核から放射されたγ線が核外の軌道電子に吸収されて電子が放出されるという２次過程ではなく,原子核と核外電子とのCoulomb相互作用により原子核エネルギーが直接軌道電子に与えられて電子が放出される現象です。

したがって,γ線放出と内部転換は独立な競合する過程です。

そこで,同じ|ｉ＞→｜ｆ＞の遷移においてγ線放出の確率をｗ_γ,内部転換の確率をｗ_eとすると,トータルのγ崩壊の確率:ｗはｗ＝ｗ_γ＋ｗ_eで与えられます。

内部転換係数αをα≡ｗ_e/ｗ_γで定義すると,ｗ＝(1＋α)ｗ_γです。

αはＫ,Ｌ,Ｍ,..電子による部分の総和であり,Ｌはさらに個殻(subshell)Ｌ₁,Ｌ₂,Ｌ₃,..に分かれるので,α＝α_K＋α_L＋α_M＋..＝α_K＋Σ_iα_Li＋Σ_iα_Mi＋..です。

各殻から放出される平均電子数をＮ_K,Ｎ_L1,..とし,これと競合するγ線の平均数をＮ_γとすると,α_K＝Ｎ_K/Ｎ_γ,α_L1＝Ｎ_L1/Ｎ_γ,..です。そして,Ｎ_α≡Ｎ_K＋Σ_iＮ_Li＋Σ_iＮ_Mi＋..とするとα＝Ｎ_α/Ｎ_γです。

内部転換電子の運動エネルギーをＥ_α,軌道電子の統合エネルギーをＢ_x(ｘ＝Ｋ,Ｌ₁,Ｌ₂,..,競合するγ線のエネルギーをｈ_cωとすると,Ｅ_α＝ｈ_cω－Ｂ_xです。

Ｂ_xは別の方法から得られるので,Ｅ_αを精密に測定すればγ線のエネルギーｈ_cωを高精度で求めることができます。

さて,核と１個の核外電子とのCoulomb相互作用はＨ_e'＝－Σ_p=1^Z{ｅ²/(4πε₀|ｒ_e－ｒ_p|)}で与えられます。ここでｒ_e,ｒ_pはそれぞれ核外電子,核内陽子の位置ベクトルです。

ルジャンドル関数による母関数展開の公式:1/|ｒ－ｒ'|＝1/(ｒ²＋ｒ'²－2ｒｒ'cosω)^1/2＝Σ_l=0^∞(ｒ^l/ｒ'^l+1)Ｐ_l(cosω)＝4πΣ_l,m(2ｌ＋1)^-1(ｒ^l/ｒ'^l+1)Ｙ_l^m*(Ω')Ｙ_l^m(Ω) (ｒ＜ｒ'),4πΣ_l,m(2ｌ＋1)^-1(ｒ'^l/ｒ^l+1)Ｙ_l^m*(Ω')Ｙ_l^m(Ω) (ｒ＞ｒ')を用います。

これからｒ_e＞ｒ_pならＨ_e'＝－Σ_p=1^ZΣ_l,m(2ｌ＋1)^-1(ｅ²/ε₀)(ｒ_p^l/ｒ_e^l+1)Ｙ_l^m*(Ω_p)Ｙ_l^m(Ω_e)です。

これの行列要素:＜ｆ|Ｈ_e'|ｉ＞は明らかにΣ_p=1^Zｒ_p^lＹ_l^m*(Ω_p)を含むことから,これは電気多極放射の行列要素:＜ｆ|Ｑ_lm|ｉ＞≡∫ｒ_p^lＹ_l^m(Ω_p)^*ρ_e(ｒ_p)ｄ³ｒ_pを因子に持つことがわかります。

そのため,Coulomb相互作用Ｈ_e'は電気2^l極遷移を引き起こします。 

内部転換係数αが原子番号Ｚ,γ線エネルギーｈ_cω,多極指数ｌに如何に依存するかを見るために簡単なモデルを考えます。

まず,核外電子としてＫ電子のみがある場合を想定します。

簡単のため放出電子の運動エネルギーは対象のＫ電子の結合エネルギーが無視できるほど大きく,しかし非相対論近似が有効な程度には小さいとします。

また,原子番号Ｚはあまり大きくなくてCoulomb力によるひずみが無視できて放出電子の波動関数は平面波で近似可能とします。

そして,始状態|ｉ＞,終状態|ｆ＞を|原子核＞|核外電子＞のように書いて,|ｉ＞≡|Ｉ_i＞|ｅ_i＞,|ｆ＞≡|Ｉ_f＞|ｅ_f＞と定義します。

このとき,核外Ｋ電子の始状態の座標表示は,水素様電子の近似として,|ｅ_i＞＝(πａ³)^-1/2exp(－ｒ_e/ａ),ａ≡ａ_B/Ｚ,ａ_B≡4πε₀ｈ_c²/(ｍ_eｅ²)(Bohr半径)と書けます。

また,終状態は平面波近似で|ｅ_f＞＝Ｖ^-1/2exp(iｋ_eｒ_e)です。

一方,原子核の状態|Ｉ_i＞,|Ｉ_f＞は前に書いたようにΨ_i(ｒ_p),Ψ_f(ｒ_p)で表現します。

すると,内部転換確率ｗ_eのFermi黄金律による評価式はＫ殻に２個の電子があるため,ｗ_e＝2(2π/ｈ_c)∫|＜ｆ|Ｈ_e'|ｉ＞|²(ｄｎ_f/ｄＥ_e)ｄΩと書けます。

ただし,ｄｎ_f/ｄＥ_eは|ｅ_f＞＝Ｖ^-1/2exp(iｋ_eｒ_e)で与えられる電子運動量ｐ_e＝ｈ_cｋ_eに相当する立体角:Ω方向の終状態:|ｅ_f＞の単位エネルギー準位当たりの状態数(状態密度)です。

仮に,一辺がＬの立方体領域(Ｖ＝Ｌ³)の箱に閉じ込められている以外自由な電子が,周期的境界条件を満たすとすればｋ_eの取り得る値はｋ_e＝(2ｎ₁π/Ｌ,2ｎ₂π/Ｌ,2ｎ₃π/Ｌ)です。

(※周期的境界条件の採用で一般性を失うことなく状態密度を求めることが可能です。)

そこで,ｎ_f≡(ｎ₁,ｎ₂,ｎ₃)と置けばｋ_e＝(2π/Ｌ)ｎ_fですから,ｄｋ_e＝(2π/Ｌ)ｄｎ_fです。

つまり,ｋ_e空間の体積要素ｋ_e²ｄｋ_eに,{Ｖ/(8π³)}ｋ_e²ｄｋ_e個の状態が存在することがわかります。

そして,Ｅ_e＝ｈ_c²ｋ_e²/(2ｍ_e)なのでｄＥ_e＝(ｈ_c²ｋ_e/ｍ_e)ｄｋ_eよりｄｎ_f/ｄＥ_e＝ｍ_eｋ_eＶ/(8π³ｈ_c²)を得ます。

一方,＜ｆ|Ｈ_e'|ｉ＞＝＜Ｉ_f;ｅ_f|Ｈ_e'|Ｉ_i;ｅ_i＞＝－(πａ³Ｖ)^-1/2Σ_l,ｍ(2ｌ＋1)^-1(ｅ/ε₀)[ｅΣ_p=1^Z∫ｒ_p^lＹ_l^m*(Ω_p)Ψ_f^*(ｒ_p)Ψ_i(ｒ_p)ｄ³ｒ_p]∫exp(－ｒ_e/ａ)exp(iｋ_eｒ_e)ｒ_e^-l-1Ｙ_l^m(Ω_e)ｄ³ｒ_eです。

右辺の[]の因子:ｅΣ_p=1^Z∫ｒ_p^lＹ_l^m*(Ω_p)Ψ_f^*(ｒ_p)Ψ_i(ｒ_p)ｄ³ｒ_pは＜ｆ|Ｑ_lm|ｉ＞＝∫ｒ_p^lＹ_l^m(Ω_p)^*ρ_e(ｒ_p)ｄ³ｒ_pに一致します。

また,最後の積分で展開公式:exp(iｋ_eｒ_e)＝4πΣ_l,ｍ(－i)^lｊ_l(ｋ_eｒ_e)Ｙ_l^m(Ω)Ｙ_l^m(Ω_e)^*を代入します。

すると,∫exp(－ｒ_e/ａ)exp(iｋ_eｒ_e)ｒ_e^-l-1Ｙ_l^m(Ω_e)ｄ³ｒ_e＝4πi^-lＹ_l^m(Ω)∫₀^∞exp(－ｒ_e/ａ)ｊ_l(ｋ_eｒ_e)ｒ_e^-l+1ｄｒ_eです。

変数置換により∫₀^∞exp(－ｒ_e/ａ)ｊ_l(ｋ_eｒ_e)ｒ_e^-l+1ｄｒ_e＝ｋ_e^l-2∫₀^∞exp{－ｘ/(ｋ_eａ)}ｊ_l(ｘ)ｘ^-l+1ｄｘ＝ｋ_e^l-2Ｊ_lです。

ｋ_eａ＞＞1と仮定しているので,積分記号の中でexp{－ｘ/(ｋ_eａ)}～1 と近似すれば,Ｊ_l～∫₀^∞ｊ_l(ｘ)ｘ^-l+1ｄｘとなり,Ｊ_lは近似的にｋ_eに依存しない定数と見なせます。

故に＜ｆ|Ｈ_e'|ｉ＞＝－4π^1/2(ａ³Ｖ)^-1/2Σ_l,ｍ(2ｌ＋1)^-1(ｅ/ε₀)ｋ_e^l-2Ｊ_l＜ｆ|Ｑ_lm|ｉ＞です。

最後に,これとｄｎ_f/ｄＥ_e＝ｍ_eｋ_eＶ/(8π³ｈ_c²)をｗ_e＝2(2π/ｈ_c)∫|＜ｆ|Ｈ_e'|ｉ＞|²(ｄｎ_f/ｄＥ_e)ｄΩに代入して,ｄΩ積分を実行します。

結局,ｗ_e～ {8ｅ²ｍ_e/(πε₀²ｈ_c³ａ³)}Σ_l,ｍ{Ｊ_l²ｋ_e^2l-3/(2ｌ＋1)²}|＜ｆ|Ｑ_lm|ｉ＞|²を得ます。

|Ｉ_i＞→|Ｉ_f＞の遷移では最小軌道角運動量ｌ＝|Ｉ_i－Ｉ_f|に対応する遷移がほとんどなので,このｌに限って考えます。

前に得た式から,ｗ_γ(ｌ)＝Σ_ｍｗ_lm^E＝(2π/ｈ_c){1/(2πε₀)}{(l＋1)/l}ｋ^2l+1/{(2ｌ＋1)!!}²]Σ_ｍ|＜ｆ|Ｑ_lm|ｉ＞|²です。

一方,今の結果からｗ_e(ｌ)～ {8ｅ²ｍ_e/(πε₀²ｈ_c³ａ³)}{Ｊ_l²ｋ_e^2l-3/(2ｌ＋1)²}Σ_ｍ|＜ｆ|Ｑ_lm|ｉ＞|²です。

　内部転換係数:α(ｌ)＝ｗ_e(ｌ)/ｗ_γ(ｌ)においては,分子と分母でΣ_ｍ|＜ｆ|Ｑ_lm|ｉ＞|²が相殺して消えるため,α(ｌ)は核の波動関数Ψ_i,Ψ_fに依存しないことがわかります。

　そして,Ｊ_l～∫₀^∞ｊ_l(ｘ)ｘ^-l+1ｄｘ＝[ｊ_l-1(ｘ)ｘ^-l+1]₀^∞＝{(2ｌ－1)!!}^-1なのでＫ電子の内部転換係数はα_K(ｌ)～{(l＋1)/l}16ｅ²ｍ_e/(ε₀ｈ_c²ａ³)}ｋ_e^2l-3/ｋ^2l+1です。

さらに,ａ＝ａ_B/Ｚ,ａ_B≡4πε₀ｈ_c²/(ｍ_eｅ²),ｈ_c²ｋ_e²/(2ｍ_e)～ｈ_cω＝ｈ_cｃｋより,α_K(ｌ)～{(l＋1)/l}16Ｚ³/(ε₀ａ_B⁴)}ｋ_e^2l-3)/ｋ^2l+1と書けます。

結局,α_K(ｌ)～{(l＋1)/l}Ｚ³α⁴{2ｍ_eｃ²/(ｈ_cω)}^l+5/2なる表式を得ました。α≡ｅ²/(4πε₀ｈ_cｃ)は微細構造定数(fine structure constant)で,α～1/137です。

この式によれば,α_K(ｌ)はＺ³に比例し,γ線のエネルギーｈ_cωの増加と共に(ｈ_cω)^l+5/2に反比例して減少します。

したがって,ｌが大きいほどα_K(ｌ)が大きく,Ｚの大きい重い核ほど内部転換確率が増大します。

しかし,上式はｋ_eａ＞＞1の場合の近似式でありａはＺに反比例するのでＺが大きいとこの近似式は使えないので注意が必要です。

そして,また,電子は固有の磁気モーメントを持つので磁気相互作用と関わる内部転換も起きるはずです。

さらに,γ線エネルギーが電子２個の質量を超えると内部電子対生成という現象も生じて,その効果がγ線放射を卓越するようになります。

最後に本題のメスバウアー効果です。

原子や分子による光の共鳴吸収現象についてはよく知られていますが,同じ"光＝電磁波"でもγ線の原子核による共鳴吸収は通常は不可能です。

すなわち,初め静止していた１個の自由な原子核からのγ線放射を考えます。 

放射されるγ線量子のエネルギーをｈ_cωとすると,運動量の保存により放射の際,この原子核は大きさがｐ＝ｈ_cω/ｃの運動量ｐの反跳(recoil)を受けるはずです。

この反跳運動のエネルギーをＥ_Rとすると,Ｅ_R＝ｐ²/(2ＡＭ)＝(ｈ_cω)²/(2ＡＭｃ²)です。

そこで,遷移する原子核のエネルギー準位の差をΔＥ≡Ｅ_f－Ｅ_iとするとｈ_cω＝ΔＥ－Ｅ_Rであって,厳密にはｈ_cωとΔＥ＝Ｅ_f－Ｅ_iは等しい値ではなくて,大きさＥ_Rの誤差が有ります。

また,逆に基底状態の核がγ線を吸収して同じ励起準位になるときにはエネルギー保存はｈ_cω＝ΔＥ＋Ｅ_Rを意味します。

例えば,励起核:⁵⁷Ｆe^*を考えると半減期はＴ＝9.8×10^-8secです。τを平均寿命とすると,1/2＝exp(－Ｔ/τ),or Ｔ＝τln2より"崩壊幅(decay width)＝エネルギー準位のゆらぎ(fluctuation)"Γは不確定性原理:τΓ～ｈ_cにより,Γ＝ｈ_c/τ＝ｈ_cln2/Ｔ＝4.7×10^-9eＶです。

⁵⁷Ｆe^*においては,放射γ線のエネルギーがｈ_cω＝14.4ｋeＶならＥ_R＝(ｈ_cω)²/(2ＡＭｃ²)～ 2×10^-3eＶです。

故に,この場合はエネルギー準位の不確定性ΓがＥ_Rよりもはるかに小さいです。これはｈ_cω＝14.4ｋeＶのように"高エネルギーの電磁波＝γ線"の特徴です。

したがって,Γ＝4.7×10^-9eＶ＜2Ｅ_R＝4×10^-3eＶにより,励起核:⁵⁷Ｆe^*から放出された14.4ｋeＶのγ線を安定した基底状態の⁵⁷Ｆe核に照射して再び⁵⁷Ｆe^*に励起するという共鳴吸収過程は不可能なはずです。

しかし,これは気体分子を構成する場合のように原子核がほぼ自由の場合です。

もしも,核が固体の格子を構成するような場合なら,非常に強いバネのような束縛力が存在して剛体近似が可能となり,反跳エネルギーはＥ_R＝(ｈ_cω)²/(2ＮＡＭｃ²)と評価されます。ただし,Ｎは結晶中の原子数という巨大な数です。

例えば１辺が10μｍ＝10^-5ｍの立方体結晶で原子間距離が1Å＝10^-8ｍ程度ならＮ～ 10¹⁵ですから,2Ｅ_R～ 4×10^-18eＶとなります。

この2Ｅ_Rはエネルギーの曖昧さ:Γ＝4.7×10^-9eＶよりもはるかに小さいため,⁵⁷Ｆeを再び⁵⁷Ｆe^*に励起する共鳴吸収が可能となります。

(※光の自由電子によるコンプトン散乱と束縛電子によるトムソン散乱の違いのようなものですね。)

実際の固体では,核は格子点のまわりに束縛されて振動しています。

固体のデバイ温度(Deby temperature)をΘ_Dとすると,格子振動(フォノン:phonon)の最高振動数はω_D≡ｋ_BΘ_D/ｈ_cです。

Ｅ_Rが限界値:ｈ_cω_D＝ｋ_BΘ_Dを超えると"反跳無し(non-recoiling)"に相当する共鳴吸収は起こらないと考えられます。

そこで,"反跳無し"で共鳴吸収が起こる確率をＰとすると,ＰはＥ_R/(ｈ_cω_D)＝Ｅ_R/(ｋ_BΘ_D)が小さいほど増大すると予想されます。

また,温度Ｔが低いほど熱振動は小さいため,"反跳無し"の剛体に近くなるはずなので,温度Ｔが低いほどＰは増大するはずです。

実際に量子力学的計算を実行すると,Ｐ＝exp[－3Ｅ_R/(2ｋ_BΘ_D){1＋4(Ｔ/Θ_D)²∫₀^ΘD/Tｘｄｘ/(exp(ｘ)－1)}＝exp[－3Ｅ_R/(2ｋ_BΘ_D){1＋(2/3)(πＴ/Θ_D)²}](Ｔ＜＜Θ_D)です。

このような"反跳無し"γ線の放出,吸収の現象は1958年にメスバウアー(Mössbauer)によって発見されたため,メスバウアー効果(Mössbauer effect)と呼ばれています。 

このメスバウアー効果を利用すると,きわめて高い精度でエネルギーの値を測定できます。

先の⁵⁷Ｆe^*の場合には,Γ/Ｅ＝4.7×10^-9eＶ/14.4ｋeＶ～10^-13ですから,γ線のエネルギーＥの相対誤差ΔＥ/Ｅは精度10^-13で測定されます。

このエネルギー測定は,共鳴エネルギーの前後にエネルギーをずらして共鳴吸収のγ線の連続的エネルギーに対する吸収カウントをプロットする共鳴曲線を描くことでなされます。

これには,光のドプラー効果(Doppler effect)を利用します。 

γ線源が速さｖで動いているとき,その方向に出たγ線の振動数ω_e(ｖ)はドプラー効果によってω_e(ｖ)＝ω_e(0)(1＋ｖ/ｃ)となるため,速さｖと共にそのエネルギーは(ｖ/ｃ)ｈ_cω_e(0)だけ増加します。

そこで,ｖをゼロから正または負の向きに連続的に変えていけば単色のγ線源から共鳴エネルギーの前後にエネルギーを連続的にずらすことができます。 

γ線源として,ステンレススチール(常磁性体)の⁵⁷Ｆe^*を用いれば,この物質では,⁵⁷Ｆeは平均して核外電子から磁場を受けないので,1/2^-基底状態:⁵⁷Ｆeから3/2^-励起状態:⁵⁷Ｆe^*はそれぞれ縮退しています。 

一方,吸収体には金属鉄を用いると,これは強磁性体なので核の位置に核外電子スピンによる磁場が存在するため,⁵⁷Ｆeの基底状態と14.4ｋeＶの励起状態⁵⁷Ｆe^*は共にゼーマン効果(＝磁場によるエネルギー準位の分裂)を起こします。

(2008年４/５,４/９の記事「磁場の中の原子(ゼーマン効果)(1)」,「磁場の中の原子(ゼーマン効果)(2)」参照)

1/2^-から3/2^-へのＭ1転移(γ線吸収)における磁気量子数の変化は,ΔＭ＝Ｍ_i－Ｍ_f＝ｍ＝0,±1ですから,1/2^-基底状態:⁵⁷Ｆeのゼーマン分裂したＭ_i＝±1/2から3/2^-励起状態:⁵⁷Ｆe^*のゼーマン分裂したＭ_f＝±3/2への６本の転移(γ線吸収)が観測されるはずです。

実際,縦軸にγ線吸収のカウント,横軸にドプラー連続エネルギー(ｖ/ｃ)ｈ_cω_eの吸収曲線をプロットすると,上記に対応する６つの吸収ピークが見られます。

これらの相対位置から,ゼーマン分岐のエネルギー:ΔＥ_g(基底状態),およびΔＥ_e(励起状態)を求めることができます。

一方,基底状態と励起状態の磁気モーメントのｇ因子をｇ_g,ｇ_eとすればΔＥ_g＝ｇ_gμ_sＨ,ΔＥ_e＝ｇ_eμ_sＨですから,上記の共鳴吸収曲線の観測結果から得られるΔＥ_g,ΔＥ_eの比からｇ_g,ｇ_eの比がわかります。

さらに基底準位のｇ値であるｇ_gは別の方法でわかるので,これから励起準位のｇ値:ｇ_e,および磁場の強さＨがわかります。(つづく)

参考文献:八木浩輔 著「原子核と放射」(朝倉書店),八木浩輔 著「原子核物理学」(朝倉書店)

PS：ここは掲示板ではなく個人的ブログであり,しかも反応が小さくて指摘のしがいがないという私の性格もありますが,ミスプリや,文章や式の単純ミスがあっても,ほとんど重箱の隅的コメントはないようです。

　そこで,ときどき自主的に読み返してメンテナンスをするという自浄作用？を発揮しています。

　書き始めた当初の頃はそうしたコメントも結構あって,私は別にイヤじゃないのですがネ。。