散乱の伝播関数の理論(6)(Bjorken-Drell-l)

　散乱の伝播関数の理論の続きです。

　Bjorken & Drellのテキスト"Relativistic Quantum Mechanics"の

　第６章の続きです。

　以下,本文です。

§6.3 Formal definition and Properties of Green's functions

　(Green関数の正式な定義と性質)

　散乱問題を解くための物理的構成分子を発掘してきましたが,ここでこうした解の回答を作り上げる正式な数学的仕組みを与えます。

　本節で目指す目的はＧが定める微分方程式を探求し,特に自由粒子の

ＧであるＧ₀を陽に解くことです。

　そうすれば,これまで概略的に述べてきたＧの展開が確実に遂行できるわけです。

　まず,ｔ＞ｔ₀に対してのみ有効な表現:

　Ψ(ｒ,ｔ)＝i∫ｄ³ｒ₀Ｇ(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)Ψ(ｒ₀,ｔ₀)から出発して,

　これをｔ≦ｔ₀も含む任意の時刻ｔに対して正しい形に拡張します。

　これは,単にθ(ｔ－ｔ₀)Ψ(ｘ)＝i∫ｄ³ｒ₀Ｇ(ｘ;ｘ₀)Ψ(ｘ₀)と書き

直すだけのことです。

　ただしθ(τ)は,θ(τ)≡1 (τ＞0),θ(τ)≡0 (τ＜0)で定義される Heavisideの単位階段関数です。

　この Heaviside関数θ(τ)は複素平面上の積分から,

　θ(τ)＝lim_ε→+0{－1/(2πi)}∫_-∞^∞ｄω[exp(－iωτ)/(ω＋iε)]

　と表わせます。

　(※↑の証明は外周積分の留数を取れば簡単なので省略します。)

　そして,θ(τ)にはτ＝0 に不連続な単位飛躍があるため,

　ｄθ(τ)/ｄτ＝δ(τ)＝{1/(2π)}∫_-∞^∞ｄωexp(－iωτ)

　となります。

θ(ｔ－ｔ₀)Ψ(ｘ)＝i∫ｄ³ｒ₀Ｇ(ｘ;ｘ₀)Ψ(ｘ₀)なる形から正式な

伝播関数(propagator):Ｇ(ｘ;ｘ₀)を見出すことを試みます。

そのために,まず,積分方程式の両辺に左から{i(∂/∂ｔ)－Ｈ(ｘ)}を

作用させます。

{i(∂/∂ｔ)－Ｈ(ｘ)}θ(ｔ－ｔ₀)Ψ(ｘ)

＝i∫ｄ³ｒ₀{i(∂/∂ｔ)－Ｈ(ｘ)}Ｇ(ｘ;ｘ₀)Ψ(ｘ₀)　です。

i(∂/∂ｔ)θ(ｔ－ｔ₀)＝iδ(ｔ－ｔ₀),かつ

{i(∂/∂ｔ)－Ｈ(ｘ)}ψ(ｘ)＝0 なので,

これは,iδ(ｔ－ｔ₀)Ψ(ｘ)

＝i∫ｄ³ｒ₀{i(∂/∂ｔ)－Ｈ(ｘ)}Ｇ(ｘ;ｘ₀)Ψ(ｘ₀)

と書き直せます。

この式が,任意のΨ(ｘ)に対して成立するため,

{i(∂/∂ｔ)－Ｈ(ｘ)}Ｇ(ｘ:ｘ₀)＝δ³(ｒ－ｒ₀)δ(ｔ－ｔ₀)

＝δ⁴(ｘ－ｘ₀) を得ます。

これが,Schrodinger理論においてGreen関数(Green's function)

Ｇ(ｘ;ｘ₀)の満たすべき微分方程式です。

これに,"時間の前方(forword)＝未来"にのみ伝播するという

境界条件:"ｔ＜ｔ₀ならＧ(ｘ;ｘ₀)＝0 "を付加すれば,

上記方程式の解は一意的なので,

θ(ｔ－ｔ₀)Ψ(ｘ)＝i∫ｄ³ｒ₀Ｇ(ｘ;ｘ₀)Ψ(ｘ₀)

に適合する遅延Green関数(retarded Green's function)の定義

を与えたこよになります。

得られた方程式から,特にＨ＝Ｈ₀≡－∇²/(2ｍ)のときのＧの解である

自由粒子伝播関数Ｇ₀(ｘ;ｘ₀)を陽に解いてみます。

伝播関数の満たす方程式:{i(∂/∂ｔ)－Ｈ(ｘ)}Ｇ(ｘ;ｘ₀)

＝δ⁴(ｘ－ｘ₀)で,ｙ＝ｘ－ｘ₀とおけば,

{i(∂/∂ｔ)－Ｈ(ｘ₀＋ｙ)}Ｇ(ｘ₀＋ｙ;ｘ₀)＝δ⁴(ｙ)です。

自由粒子では,Ｈ(ｘ₀＋ｙ)＝Ｈ₀(ｘ₀＋ｙ)＝－∇_y²/(2ｍ)であって,

これはｘ₀に無関係ですから,Ｇ₀(ｘ;ｘ₀)＝Ｇ₀(ｘ₀＋ｙ;ｘ₀)は,

ｙ＝ｘ₀―ｘ₀だけの関数です。

そこで,Ｇ₀(ｘ;ｘ₀)のFourier積分表示を

Ｇ₀(ｘ;ｘ₀)＝Ｇ₀(ｘ－ｘ₀)

＝(2π)^-4∫ｄωｄ³ｐ[exp{iｐ(ｒ－ｒ₀)－iω(ｔ－ｔ₀)}Ｇ^₀(ｐ,ω)]

と表現することができます。

すると,Ｇ₀の満たす方程式:

{{i(∂/∂ｔ)＋∇²/(2ｍ)}Ｇ₀(ｘ－ｘ₀)＝δ⁴(ｘ－ｘ₀)は,

(2π)^-4∫ｄωｄ³ｐ[exp{iｐ(ｒ－ｒ₀)－iω(ｔ－ｔ₀)}

{ω－ｐ²/(2ｍ)}Ｇ^₀(ｐ,ω)]

＝(2π)^-4∫ｄωｄ³ｐ[exp{iｐ(ｒ－ｒ₀)－iω(ｔ－ｔ₀)}

となります。

故に,{ω－ｐ²/(2ｍ)}Ｇ^₀(ｐ,ω)]＝1となることが必要です。

そこで,ω≠ｐ²/(2ｍ)なら,Ｇ^₀(ｐ,ω)＝1/{ω－ｐ²/(2ｍ)}です。

Ｇ^₀(ｐ,ω)の完全な表現を得るには,分母がゼロとなる特異点を扱う

べき法則が必要ですが,これは"ｔ＜ｔ₀ならＧ₀(ｘ－ｘ₀)＝0 "という

遅延境界条件から決定できるはずです。

Fourier積分に形式的にＧ^₀(ｐ,ω)＝1/{ω－ｐ²/(2ｍ)}を代入す

ると,

Ｇ₀(ｘ－ｘ₀)

＝∫_-∞^∞ｄω/(2π)[exp{－iω(ｔ－ｔ₀)}/{ω－ｐ²/(2ｍ)}

(2π)^-3∫ｄ³ｐexp{iｐ(ｒ－ｒ₀)}

です。

さらに,Ｇ₀(ｘ－ｘ₀)

＝{－1/(2πi)}∫_-∞^∞ｄ{ω－ｐ²/(2ｍ)}

[exp[－i{ω－ｐ²/(2ｍ)}(ｔ－ｔ₀)]/{ω－ｐ²/(2ｍ)}(－i)

∫ｄ³ｐ(2π)^-3exp{iｐ(ｒ－ｒ₀)－ｐ²(ｔ－ｔ₀)/(2ｍ)}

となります。

同じく分母に特異点を持つ積分公式:

θ(τ)＝{－1/(2πi)}∫_-∞^∞ｄω[exp(－iωτ)/(ω＋iε)]

を利用すれば,分母の特異性がうまく処理できて,

Ｇ₀(ｘ－ｘ₀)＝－iθ(ｔ－ｔ₀)∫ｄ³ｐ(2π)^-3

exp{iｐ(ｒ－ｒ₀)－iｐ²(ｔ－ｔ₀)/(2ｍ)}となり,

遅延境界条件が満たされます。

これを運動量がｐの規格化された自由粒子波動関数:

φ_p(ｘ)＝φ_p(ｒ,ｔ)＝(2π)^-3/2exp{iｐｒ－iｐ²ｔ/(2ｍ)}

を用いて表わせば,

Ｇ₀(ｘ－ｘ₀)＝－iθ(ｔ－ｔ₀)∫ｄ³ｐφ_p(ｒ,ｔ)φ_p^*(ｒ₀,ｔ₀)

という馴染み深い表現が得られます。

※(注):自由粒子の伝播関数の陽な形は,既に前のSchiffの項で,

　Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)

　＝(－i)∫ｄ³ｐｕ_p^*(ｒ₀)ｕ_p(ｒ)exp{－iｐ²(ｔ－ｔ₀)/(2μｈ_c)}

　＝(－i)(2πｈ_c)^-3∫exp{iｐ(ｒ－ｒ₀)/ｈ_c}

　exp{－iｐ²(ｔ－ｔ₀)/(2μｈ_c)}ｄ³ｐ

　であることを見ました。

これは,ｈ_c＝1(自然単位),μ＝ｍ,

φ_p(ｒ,ｔ)＝ｕ_p(ｒ)exp{－iｐ²ｔ/(2ｍ)}と置換すれば,

たった今得た表現と因子θ(ｔ－ｔ₀)を除いて完全に一致します。

(注終わり)※

最後の,Ｇ₀(ｘ－ｘ₀)＝－iθ(ｔ－ｔ₀)

∫ｄ³ｐφ_p(ｒ,ｔ)φ_p^*(ｒ₀,ｔ₀)なる式の因子:

∫ｄ³ｐφ_p(ｒ,ｔ)φ_p^*(ｒ₀,ｔ₀)は,

"Green関数の一般表現＝波動方程式の固有関数の完全系にわたる和",

の固有関数が平面波である場合の特殊例になっています。

　離散スペクトルにわたる総和:Σと連続スペクトルにわたる積分:∫

　を統合した一般化された総和を象徴的に離散和Σ_nで表現して,上記

　"Greenグリーン関数の一般表現”が求める伝播関数であることを

　示します。

　つまり,ＨΨ_n(ｒ,ｔ)＝Ｅ_nΨ_n(ｒ,ｔ)を満たす規格化された固有関数

　の系{Ψ_n(ｒ,ｔ)}が完備性(完全性)条件;

　Σ_nΨ_n(ｒ,ｔ)Ψ_n^*(ｒ₀,ｔ)＝δ³(ｒ－ｒ₀)を満たすなら,

　Ｇ(ｘ;ｘ₀)≡－iθ(ｔ－ｔ₀)Σ_nΨ_n(ｘ)Ψ_n^*(ｘ₀)なる形が,

　求める境界条件を満たす伝播関数です。

何故なら,Ｇ(ｘ;ｘ₀)≡－iθ(ｔ－ｔ₀)Σ_mΨ_m(ｘ)Ψ_m^*(ｘ₀)の両辺に

右からΨ_n(ｘ₀)を掛けてi∫ｄ³ｒ₀Ｇ(ｘ;ｘ₀)Ψ_n(ｘ₀)を作ると,

i∫ｄ³ｒ₀Ｇ(ｘ;ｘ₀)Ψ_n(ｘ₀)＝θ(ｔ－ｔ₀)Σ_mΨ_m(ｘ)

∫ｄ³ｒ₀Ψ_m^*(ｘ₀)Ψ_n(ｘ₀)＝i∫ｄ³ｒ₀Ｇ(ｘ;ｘ₀)Ψ_n(ｘ₀)

となるからです。

逆に,左からΨ_n^*(ｘ₀)を掛けると,

i∫ｄ³ｒ₀Ψ_n^*(ｘ₀)Ｇ(ｘ;ｘ₀)＝θ(ｔ－ｔ₀)Ψ_n^*(ｘ)です。 

そして完全性Σ_nΨ_n(ｒ,ｔ)Ψ_n^*(ｒ₀,ｔ)＝δ³(ｒ－ｒ₀)から,

ａ_n≡∫Ψ_n^*(ｒ₀,ｔ)Ψ(ｒ₀,ｔ)ｄ³ｒ₀とおけば,

任意の解Ψが,Ψ(ｘ)＝Σ_nａ_nΨ_n(ｒ,ｔ)

＝∫ｄ³ｒ₀[Σ_n∫ｄ³ｒ₀Ψ_n^*(ｒ₀,ｔ)Ψ_n(ｒ,ｔ)]Ψ(ｒ₀,ｔ)

と展開されることがわかります。

そこで,一般表現のＧは確かに,

θ(ｔ－ｔ₀)Ψ(ｘ)＝i∫ｄ³ｒ₀Ｇ(ｘ;ｘ₀)Ψ(ｘ₀)

を満たします。

そして,式:Ｇ(ｘ;ｘ₀)≡－iθ(ｔ－ｔ₀)Σ_nΨ_n(ｘ)Ψ_n^*(ｘ₀)で,

Σ_n→∫ｄ³ｐ,Ψ_n→φ_pなる置換を行えば,自由粒子の伝播関数:

Ｇ₀(ｘ－ｘ₀)＝－iθ(ｔ－ｔ₀)∫ｄ³ｐφ_p(ｒ,ｔ)φ_p^*(ｒ₀,ｔ₀)

が得られます。

さらに,Ｇ(ｘ:ｘ₀)＝－iθ(ｔ－ｔ₀)Σ_nΨ_n(ｘ)Ψ_n^*(ｘ₀)の複素共役

を取れば,Ｇ^*(ｘ;ｘ₀)＝iθ (ｔ－ｔ₀)Σ_nΨ^*_n(ｘ)Ψ_n(ｘ₀)です。

そして,ｘとｘ₀を交換すると,

Ｇ^*(ｘ₀;ｘ)＝iθ(ｔ₀－ｔ)Σ_nΨ_n(ｘ)Ψ_n^*(ｘ₀)です。

このＧ^*(ｘ₀;ｘ)をＧ^-(ｘ;ｘ₀)と書きます。

そうすれば,－i∫ｄ³ｒ₀Ｇ^-(ｘ;ｘ₀)Ψ_n(ｘ₀)

＝θ(ｔ₀－ｔ)Σ_mΨ_m(ｘ)∫ｄ³ｒ₀Ψ_m^*(ｘ₀)Ψ_n(ｘ₀)

が成立します。

すなわち,θ(ｔ₀－ｔ)Ψ_n(ｘ)＝－i∫ｄ³ｒ₀Ｇ^-(ｘ;ｘ₀)Ψ_n(ｘ₀)

です。

Ｇ^-(ｘ;ｘ₀)≡Ｇ^*(ｘ₀;ｘ)は先進Green関数(advanced Green's

function)と呼ばれます。

これは,ｔ＞ｔ₀ならＧ^-(ｘ;ｘ₀)＝0 という境界条件を満たし,

"時間の後方(backword)＝過去"へ伝播するGreen関数を示して

います。

さて,Ｓ_fiの定義:Ｓ_fi≡lim _t→∞∫φ_f^*(ｘ)Ψ_i⁽⁺⁾(ｘ)ｄ³ｒと,

θ(ｔ－ｔ₀)Ψ(ｘ)＝i∫ｄ³ｒ₀Ｇ(ｘ;ｘ₀)Ψ(ｘ₀)から,Ｓ行列要素:

Ｓ_fiの正確な伝播関数Ｇ(ｘ;ｘ₀)を用いた簡略表現が得られます。

すなわち,Ｓ_fi＝ilim _t→∞lim _t0→-∞

∫ｄ³ｒｄ³ｒ₀φ_f^*(ｘ)Ｇ(ｘ；ｘ₀)φ_i(ｘ₀)です。

しかし,この形では一般的な伝播関数Ｇ(ｘ;ｘ₀)を直接解いて求める

ことができないため,有用な式ではありません。

Ｇ(ｘ;ｘ₀)＝－iθ(ｔ－ｔ₀)Σ_nΨ_n(ｘ)Ψ_n^*(ｘ₀)から明白なように,

Ｇ(ｘ;ｘ₀)には莫大な量の情報が含まれています。

Schrödinger方程式の全ての解は,

Σ_nΨ_n(ｒ,ｔ)Ψ_n^*(ｒ₀,ｔ)＝δ³(ｒ－ｒ₀)なる完備性関係(完全性)

においては,要求されるような束縛状態も含め等しい重みで現われ

ます。

それ故,Ｇの計算が困難であるのは何の不思議でもありません。

前にＧ(ｘ;ｘ₀)＝Ｇ₀(ｘ;ｘ₀)

＋∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀(ｘ;ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ₀(ｘ₁;ｘ₀)

＋∫∫ｄ⁴ｘ₁ｄ⁴ｘ₂Ｇ₀(ｘ;ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ₀(ｘ₁;ｘ₂)Ｖ(ｘ₂)

Ｇ₀(ｘ₂;ｘ₀)＋..なる展開を導いた直観的な考察と同様,

自由グリ－ン関数から始まる反復手法を作れるようにＧ(ｘ;ｘ₀)

の探索を進めます。

基本方程式{i(∂/∂ｔ)－Ｈ(ｘ)}Ｇ(ｘ;ｘ₀)＝δ⁴(ｘ－ｘ₀)は,

Ｈ＝Ｈ₀＋Ｖと分解すれば,{i(∂/∂ｔ)－Ｈ₀(ｘ)}Ｇ(ｘ;ｘ₀)

＝δ⁴(ｘ－ｘ₀)＋Ｖ(ｘ)Ｇ(ｘ;ｘ₀)

＝∫ｄ⁴ｘ₁δ⁴(ｘ－ｘ₁)[δ⁴(ｘ₁－ｘ₀)＋Ｖ(ｘ₁)Ｇ(ｘ₁;ｘ₀)]

と書けます。

こうして,反復項が Diracのデルタ関数の級数の重ね合わせで表現

できました。

望ましい境界条件を持ったこの式の積分は,丁度,対応する自由

伝播関数の重ね合わせです。

δ⁴(ｘ－ｘ₀)＝{i(∂/∂ｔ)－Ｈ₀(ｘ)}Ｇ₀(ｘ;ｘ₀)なので,

{i(∂/∂ｔ)－Ｈ₀(ｘ)}Ｇ(ｘ;ｘ₀)

＝{i(∂/∂ｔ)－Ｈ₀(ｘ)}

∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀(ｘ;ｘ₁)[δ⁴(ｘ₁－ｘ₀)＋Ｖ(ｘ₁)Ｇ(ｘ₁;ｘ₀)]

　です。

それ故,Ｇ(ｘ;ｘ₀)＝∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀(ｘ;ｘ₁)[δ⁴(ｘ₁－ｘ₀)

＋Ｖ(ｘ₁)Ｇ(ｘ₁;ｘ₀)]＝Ｇ₀(ｘ;ｘ₁)

＋∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀(ｘ;ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ(ｘ₁;ｘ₀)

が得られます。

これを,Ｓ_fi＝ilim _t→∞lim _t0→-∞∫ｄ³ｒｄ³ｒ₀

φ_f^*(ｘ)Ｇ(ｘ;ｘ₀)φ_i(ｘ₀)に代入すると,

Ｓ_fi＝ilim _t→∞lim _t0→-∞∫ｄ³ｒｄ³ｒ₀φ_f^*(ｘ)

[Ｇ₀(ｘ;ｘ₁)＋∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀(ｘ;ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ(ｘ₁;ｘ₀)]φ_i(ｘ₀)

となります。 

さらに,Ｓ_fi＝∫ｄ³ｒφ_f^*(ｘ)φ_i(ｘ)

＋lim _t0→-∞∫ｄ³ｒ₀ｄ⁴ｘ₁φ_f^*(ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ(ｘ₁;ｘ₀)]φ_i(ｘ₀)

＝δ_fi－i∫ｄ⁴ｘ₁φ_f^*(ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)

－i∫ｄ⁴ｘ₁ｄ⁴ｘ₂φ_f^*(ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ₀(ｘ₁;ｘ₂)Ｖ(ｘ₂)φ_i(ｘ₂)－..

と級数展開されます。

この多重級数はＳ_fi≡lim _t→∞∫φ_f^*(ｒ,ｔ)Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ

＝δ³(ｋ_f－ｋ_i)

＋lim _t→∞∫ｄ³ｒ₀∫ｄ⁴ｘφ_f^*(ｒ,ｔ)Ｇ₀(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)

Ｖ(ｒ₀,ｔ₀)Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ₀,ｔ₀)

から得られる級数と各項ごとに一致します。

そして,前と同様,正確なSchrödinger方程式の解に総和されます。

これを示すため,上述の,

Ｓ_fi＝∫ｄ³ｒφ_f^*(ｘ)φ_i(ｘ)＋lim _t0→-∞∫ｄ³ｒ₀ｄ⁴ｘ₁

φ_f^*(ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ(ｘ₁;ｘ₀)]φ_i(ｘ₀)なる表式で,

lim _t0→-∞∫ｄ³ｒ₀Ｇ(ｘ₁;ｘ₀)]φ_i(ｘ₀)

＝lim _t0→-∞∫ｄ³ｒ₀Ｇ(ｘ₁;ｘ₀)]Ψ_i(ｘ₀)＝－iΨ_i(ｘ₁)

を代入します。

すると,Ｓ_fi＝δ_fi－i∫ｄ⁴ｘ₁φ_f^*(ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ψ_i⁽⁺⁾(ｘ₁)

と書けます。

ここでΨ_i⁽⁺⁾(ｘ₁)の上添字(＋)は,ｔ→－∞ の極限で自由波

φ_i(ｘ)に帰着する解であることを示す記号です。

これは,前にも,

Ψ_i⁽⁺⁾(ｘ)＝φ_i(ｘ)＋∫ｄ⁴ｘ₀Ｇ₀(ｘ;ｘ₀)Ｖ(ｘ₀)Ψ_i⁽⁺⁾(ｘ₀)

なる形で与えられていたものです。

さて,ここまでを要約します。

式の組:

Ｓ_fi＝ilim _t→∞lim _t0→-∞∫ｄ³ｒｄ³ｒ₀φ_f^*(ｘ)Ｇ(ｘ;ｘ₀)φ_i(ｘ₀);

Ｇ(ｘ;ｘ₀)＝Ｇ₀(ｘ;ｘ₀)＋∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀(ｘ;ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ(ｘ₁;ｘ₀)

と,式の組:

Ｓ_fi＝δ_fi－i∫ｄ⁴ｘ₁φ_f^*(ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ψ_i⁽⁺⁾(ｘ₁);Ψ_i⁽⁺⁾(ｘ)

＝φ_i(ｘ)＋∫ｄ⁴ｘ₀Ｇ₀(ｘ;ｘ₀)Ｖ(ｘ₀)Ψ_i⁽⁺⁾(ｘ₀)とは,

Ｓ行列に対する等価な表現です。

これから,先述のＳ_fi＝∫ｄ³ｒφ_f^*(ｘ)φ_i(ｘ)

＋lim _t0→-∞∫ｄ⁴ｘ₁φ_f^*(ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ(ｘ₁;ｘ₀)]φ_i(ｘ₀)

＝δ_fi－i∫ｄ⁴ｘ₁φ_f^*(ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)

－i∫ｄ⁴ｘ₁ｄ⁴ｘ₂φ_f*(ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ₀(ｘ₁;ｘ₂)Ｖ(ｘ₂)φ_i(ｘ₂)－..

のような多重散乱級数の式が導かれます。

　通常の実用上では,この級数の最初,または最初の２つゼロでない

　寄与のみを計算することが多いです。

　この摂動計算の妥当性は相互作用Ｖが弱いことと,この相互作用のベキの形の級数が急速に収束するという予見に依拠しています。 

　確率保存則から結論されるＳ行列の一般的性質はユニタリ性

　(unitarity)です。

　一般に,Hamiltonian:ＨのHermite性(Hermiticity)が確率の保存を保証します。

　これはＨがHermiteなら波動方程式の２つの解の内積は時間に依らないことを思い出せば明らかです。

※(注):i∂Ψ₁/∂ｔ＝ＨΨ₁,i∂Ψ₂/∂ｔ＝ＨΨ₂の場合,

－i∂Ψ₁^*/∂ｔ＝ＨΨ₁^*より,∂(Ψ₁^*Ψ₂)/∂ｔ＝(∂Ψ₁^*/∂ｔ)Ψ₂

＋Ψ₁^*(∂Ψ₂/∂ｔ)＝i[(ＨΨ₁^*)Ψ₂－Ψ₁^*(ＨΨ₂)]です。

　故に,ｄ＜Ψ₁|Ψ₂＞/ｄｔ＝i[＜ＨΨ₁|Ψ₂＞－＜Ψ₁|ＨΨ₂＞]

　となりますが,Ｈのエルミート性により,

　＜ＨΨ₁|Ψ₂＞＝＜Ψ₁|ＨΨ₂＞なので,右辺はゼロです。

　故に,ｄ＜Ψ₁Ψ₂＞/ｄｔ＝0 で内積は時間的に一定です。

　特に確率の総和は常に＜Ψ|Ψ＞＝１であり一定です。

　(注終わり)※

　したがって,＜Ψ_i⁽⁺⁾|Ψ_j⁽⁺⁾＞＝∫ｄ³ｒΨ_i⁽⁺⁾(ｘ)^*Ψ_j⁽⁺⁾(ｘ)

　＝lim _t→-∞∫ｄ³ｒΨ_i⁽⁺⁾(ｘ)^*Ψ_j⁽⁺⁾(ｘ)

　＝lim _t→-∞∫ｄ³ｒφ_i(ｘ)^*φ_j(ｘ)

　＝＜φ_i|φ_j＞＝δ_jiです。

上記のKroneckerの記号δ_jiは,平面波の例では,

δ_ji＝δ³(ｋ_j－ｋ_i)を意味します。

　この内積を遠い未来ｔ→ ∞ に投影することもできます。

　すなわち,自由波{φ_i(ｘ)}の完全性により,解Ψ_i⁽⁺⁾(ｘ)は平面波の重ね合わせに展開可能です。そして,遠い未来ｔ→ ∞ での展開係数はＳ行列要素になります。

つまり,lim _t→∞Ψ_i⁽⁺⁾(ｘ)＝Σ_nφ_n(ｘ)Ｓ_niです。(平面波表示ではΣ_n→∫ｄ³ｐとなります。)

実際,Ｓ_fi＝lim _t→∞∫φ_f^*(ｘ)Ψ_i⁽⁺⁾(ｘ)ｄ³ｒより,

Σ_nφ_n(ｘ)Ｓ_ni＝lim _t→∞∫Σ_nφ_n(ｘ)φ_n^*(ｘ₁)Ψ_i⁽⁺⁾(ｘ₁)ｄ³ｒ₁

＝lim _t→∞∫Σ_nφ_n(ｘ)φ_n^*(ｘ₁)Ψ_i⁽⁺⁾(ｘ₁)ｄ³ｒ₁

＝lim _t→∞∫δ³(ｒ－ｒ₁)Ψ_i⁽⁺⁾(ｘ₁)ｄ³ｒ₁

＝lim _t→∞Ψ_i⁽⁺⁾(ｘ)です。

そして,lim _t→∞Ψ_i⁽⁺⁾(ｘ)＝Σ_nφ_n(ｘ)Ｓ_niを,

lim _t→∞∫ｄ³ｒΨ_i⁽⁺⁾(ｘ)^*Ψ_j⁽⁺⁾(ｘ)＝δ_jiの左辺に代入すると,

lim _t→∞∫ｄ³ｒΨ_i⁽⁺⁾(ｘ)^*Ψ_j⁽⁺⁾(ｘ)

＝Σ_m,n∫ｄ³ｒφ_m(ｘ)^*Ｓ_mi^*φ_n(ｘ)^*Ｓ_nj

＝Σ_m,nδ_nmＳ_mi^*Ｓ_nj＝δ_jiを得ます。

つまり,Σ_nＳ_ni^*Ｓ_nj＝δ_jiを得ます。行列記法ではＳ⁺Ｓ＝1です。

もしも,{Ψ_i⁽⁺⁾(ｘ)}が{φ_i(ｘ)}のように完全系を形成するなら,

Ｓ⁺＝Ｓ^-1が成立し,Ｓはユニタリ行列であると結論されます。

今日はここまでにします。(つづく)

参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics" (McGraw-Hill)