散乱の伝播関数の理論(7)(Bjorken-Drell-2)

　散乱の伝播関数の理論の続きです。 

 Bjorken & Drellの"Relativistic Quantum Mechanics"

のテキストの伝播関数理論の内容紹介の続きです。

§6.4 The Propegator in Positron Theory

(陽電子理論の伝播関数)

非相対論の伝播関数(propagator)による展開を一般化して

相対論的電子論に適用します。

出発点はｘ₀で発生してｘへと伝播する粒子波に対する確率振幅

としての非相対論的な伝播関数:Ｇ(ｘ;ｘ₀)の描像で与えられます。

この振幅は,Ｇ(ｘ;ｘ₀)＝Ｇ₀(ｘ;ｘ₀)

＋∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀(ｘ;ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ₀(ｘ₁;ｘ₀)

＋∫∫ｄ⁴ｘ₁ｄ⁴ｘ₂Ｇ₀(ｘ;ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ₀(ｘ₁;ｘ₂)Ｖ(ｘ₂)

Ｇ₀(ｘ₂;ｘ₀)＋..

なる式で与えられているように,振幅の和であって,そのｎ番目

の項は下の図6.4のdiagramに対応する因子の積です。

　　　　　　　　　

　この図6.4に示した散乱過程では,各線分はｘ_i-1で生じｘ_iまで自由に伝播する

部分の振幅Ｇ₀(ｘ_i;ｘ_i-1)を表わしています。

　粒子波は,相互作用頂点(vertex):ｘ_iで単位時空体積当たり

Ｖ(ｘ_i)の確率振幅で散乱され,それから新しい波が

Ｇ₀(ｘ_i+1;ｘ_i)なる振幅で次の頂点ｘ_i+1まで時間の前方(未来)

に伝播します。

そこでこの振幅は相互作用が生じることが可能な全時空

のｘ_iにわたって総和されます。

ｉ番目の相互作用頂点がｘ_iまで伝播してきた粒子を

消滅させ,そこで粒子を生成してさらにｔ_i+1＞ｔ_iなるｘ_i+1まで

伝播すると表現することもできます。

相対論的な Diracの空孔理論でも保持しつづけるべきは,

こうした描像です。

Hamiltonian定式化が時間のみを強調しているのに対し,

この描像は,散乱過程において全時空的な視野を強調して

いるため,相対論にも適合します。

(※例えば,伝統的なHeisenberg表示では時間座標だけを

特別視していますが,状態ベクトルが時間座標にも空間座標

にも依らないような表示の方がより共変的です。※)

ここでの目的は非相対論的伝播関数の理論のアナロジーに

よってDiracの空孔理論における散乱過程を計算できる法則

を作ることです。

しかし対生成(対創生)の存在はそれも説明しなければ

ならないのですが,事態をより複雑にします。

この状況を実際に扱うにおいて採用すべき基本法則は,単に

伝播関数に関する計算の指示がFermi粒子の場合,

Dirac方程式の力学での空孔理論で論じた陽電子の理論と無矛盾

であるべきということだけです。

(※今のところ,場の量子論以前の歴史的なDirac空孔理論の段階

を想定して論じています。※)

取り合えず,厳密さを犠牲にして直観的議論に傾倒します。

陽電子の理論において記述すべき典型的な過程の描像を

見てみます。

　　　　図6.5:陽電子理論での時空diagramの例

図6.5のFenman diagram:(ａ)は頂点(vertex)１で作用

するポテンシャルによる電子-陽電子対の生成(創生)

(pair production)を示していて,その後それぞれ

ｘ₁,ｘ₂に伝播します。

図6.5(ｂ)は1つの電子ｅ^-がｘ₁で発生してｘ₂で終わるまで

の経路を示しています。

この道筋に沿っては頂点１で作用するポテンシャルに

よって1つの電子－陽電子対が発生します。

この対のうちの陽電子は点３で場の初期電子と対消滅

(pair-annihilate)します。

もう一方の片割れの電子は点２まで伝播して.そこで

ポテンシャルによって破壊されると同時に電子が生成されて

ｘ₂でまで伝播します。

図6.5(ｃ)は頂点１で電子－陽電子対が生成されて点３まで

伝播し,そこで破壊消滅されることを示しています。

こうしたdiagramから次のようなことを見ます。

例えば,非相対論における頂点１で生成されて１から点２

に伝播し点２で破壊される電子に対する振幅だけでなく,

生成され伝播し破壊消滅される陽電子の振幅も必要です。

もしも,この振幅がわかれば図6.5(ａ),(ｂ),(ｃ)に図示

されているタイプの各過程と,確率振幅を結び付ける計算

が可能となります。

そして任意の個々の過程に対してこれに寄与できる介在する

経路の全てにわたって和を取るか,積分することにより全振幅

を形成する試みが可能となります。

このように,電子の散乱事象に対しては図6.4と6.5(ｂ)に

示される両方のタイプの経路が生じます。

(※取り合えずは)Diracの空孔理論に従って陽電子の振幅を

決める必要があります。

１つの陽電子の存在は,電子で満たされた海からの１つの

負エネルギー電子の欠損を意味するので,図6.5における

頂点３での陽電子の消滅はそこでの負エネルギー電子の生成

と同等であると見ることができます。

このことは頂点１で陽電子を生成し頂点３で消滅する振幅

が頂点３で負エネルギー電子を生成し頂点１で消滅する

振幅と関連付けられることを示唆します。

そこで,図6.5のdiagramは正エネルギーを持って未来に伝播

する電子と負エネルギーを持って"過去に"伝播する電子と

解釈されるでしょう。

Diagram:6.5(ａ)は点１での対生成を記述しています。

これは負エネルギー電子がｘ₂で生じて点１まで過去に伝播し,

そこで破壊され,代わりに創生された正エネルギー電子がｘ₁

まで未来に伝播する描像と解釈できます。

散乱過程では点３まで伝播する電子は,図6.4のように

ポテンシャルによって時空の未来方向に散乱されて正エネルギー

を持って伝播するか?,図6.5(ｂ)のように負エネルギーを持って

点１の方へと過去に"散乱されるか?という随意性を持っています。

時間について前方(未来),または後方(過去)にジグザグに進む

電子の経路に加え,図6.5(ｃ)に示されているように閉じた

ループを描く可能性もあります。

これは空孔理論では,点１でのポテンシャルの作用が Diracの

負エネルギー電子の海の中の１つの電子を１つの正エネルギー

状態へと散乱すると解釈します。

そして,点３ではそれは逆に海の中へと散乱し返されます。

伝播関数の言葉では,点１で生成された電子が未来の点３

で過去に散乱されて点１で消滅するということになります。

こうした過程,あるいは解釈を常識的に見て不合理だとして

無視することはできません。

実際,定式化はこれを要求しているし,後述するように実験

結果もその存在を支持しています。

さて,我々のプログラムの第一段階として,電子と陽電

子の伝播を記述するGreen関数を作ります。

相対論的量子力学の Dirac理論と,すぐ前に論じた非相対論

の伝播関数(prpopagator)の議論に習ってこのプログラムを

実行します。

　電子(Fermi粒子)の相対論的伝播関数Ｓ_F'(ｘ;ｘ₀)は,

非相対論での伝播関数Ｇ(ｘ;ｘ₀)の定義式:

{i(∂/∂ｔ)－Ｈ(ｘ)}Ｇ(ｘ;ｘ₀)＝δ⁴(ｘ－ｘ₀)

のアナロジーで,

　Σ_λ=1⁴[γ_μ{i∂/∂ｘ_μ－ｅＡ^μ(ｘ)}－ｍ]_αλ

Ｓ_F'_λβ(ｘ;ｘ₀)＝δ_αβδ⁴(ｘ－ｘ₀) を満足すると

定義されます。

　ここで,陽に書いたように,電子の伝播関数はγ^μの次数

に対応して,　4×4行列です。

　上式は,行列記法では,添字を省いて,

　[iγ_μ(∂/∂ｘ_μ)－ｅγ_μＡ^μ(ｘ)－ｍ]Ｓ_F'(ｘ;ｘ₀)

＝δ⁴(ｘ－ｘ₀)　と簡単になります。

　非相対論の式:{i(∂/∂ｔ)－Ｈ(ｘ)}Ｇ(ｘ;ｘ₀)＝δ⁴(ｘ－ｘ₀)との

もう１つ大きな違いは,因子[iγ_μ(∂/∂ｘ_μ)－ｅγ_μＡ^μ(ｘ)－ｍ]

が相対論的に共変な演算子となるように,{i(∂/∂ｔ)－Ｈ(ｘ)}にγ⁰

を掛けた演算子に相当していることです。

　自由電子の伝播関数を非相対論粒子のＧ₀(ｘ;ｘ₀)の代わりに,

　Ｓ_F(ｘ;ｘ₀)と書けば,これは行列記法で,

　[iγ_μ(∂/∂ｘ_μ)－ｍ]Ｓ_F(ｘ;ｘ₀)＝δ⁴(ｘ－ｘ₀)

　を満足します。

自由伝播関数:Ｓ_F(ｘ;ｘ₀)はこれを運動量空間にFourier変換すれば

得られます。

非相対論のＧ₀(ｘ;ｘ₀)のケースと同様,Ｓ_F(ｘ;ｘ₀)は(ｘ－ｘ₀)

だけの関数ですから,

Ｓ_F(ｘ;ｘ₀)＝Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)

＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp{－iｐ(ｘ－ｘ₀)}Ｓ_F(ｐ)　とおきます。

※(注):ｐ^μ＝(Ｅ,ｐ)の正エネルギー電子なら,

exp{－iｐ(ｘ－ｘ₀)}＝exp{－iｐ^μ(ｘ－ｘ₀)_μ}

＝exp{－iＥ(ｔ－ｔ₀)＋iｐ(ｒ－ｒ₀)}　です。

　ｐ^μ＝(－Ｅ,－ｐ)の負エネルギー電子なら

exp{－iｐ(ｘ－ｘ₀)}＝exp{－iｐ^μ(ｘ－ｘ₀)_μ}

＝exp{iＥ(ｔ－ｔ₀)－iｐ(ｒ－ｒ₀)}です。(注終わり)※

このFourier運動量表示を,

[iγ_μ(∂/∂ｘ_μ)－ｍ]Ｓ_F(ｘ;ｘ₀)＝δ⁴(ｘ－ｘ₀)の左辺に

代入すると,(γ_μｐ^μ－ｍ)Ｓ_F(ｐ)＝１を得ます。

右辺の１は4×4単位行列です。

これは,Σ_λ=1⁴[γ_μｐ^μ－ｍ]_αλＳ_Fλβ(ｐ)＝δ_αβを意味して

います。

そこで,ｐ²≠ｍ²ならＳ_F(ｐ)＝1/(γ_μｐ^μ－ｍ)

≡(γ_μｐ^μ－ｍ)^-1＝(γ_μｐ^μ＋ｍ)/(ｐ²－ｍ²)です。

(※(注):何故なら,(γ_μｐ^μ－ｍ)(γ_νｐ^ν＋ｍ)

＝γ_μγ_νｐ^μｐ^ν＋ｍ(γ_μｐ^μ－γ_νｐ^ν)－ｍ²

＝1/2(γ_μγ_ν＋γ_νγ_μ)－ｍ²

＝ｇ_μνｐ^μｐ^ν－ｍ²＝ｐ²－ｍ²だからです。※)

ｐ²＝ｍ²の分母の特異性,つまりｐ⁰軸上の特異点:

ｐ⁰＝±(ｐ²＋ｍ²)^1/2＝±Ｅをどのように処理するか?という

ことが伝播関数を一意的に定義するための条件になります。

非相対論での特異点に対する扱いを思い出すと,この問題に

対する答は,

Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ[exp{－iｐ(ｘ－ｘ₀)}Ｓ_F(ｐ)];

Ｓ_F(ｐ)＝1/(γ_μｐ^μ－ｍ)(ｐ²≠ｍ²)の右辺を積分する際に,

Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)に課せられる境界条件から得られるはずです。

Green関数:Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)に与えられる解釈は,"Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)

は,点ｘ₀にある単位波源がｘに生成する波を表わす。" 

ということです。

そうした局所化された点源のFourier成分は電子のCompton波長の逆数:ｍ＝1/λ_cよりも大きい多くの運動量ｐを含んでいます。

※(注):電子のCompton波長はλ_c＝ｈ_c/(ｍｃ)で,1/λ_c＝ｍｃ/ｈ_c,

またはｐ＝ｈ_c/λ_c＝ｍｃですが,Bjorkenテキストで一貫して

採用しているｈ_c＝ｃ＝1の自然単位では,ｐ＝1/λ_c＝ｍです。

(注終わり)※

　そこで,ｐ≧ｍなるｐの存在から,電子と同様,陽電子もこの

波源ｘ₀で生成されると予期されます。

　運動量がｐ^μ＝(Ｅ,ｐ)(Ｅ＞0)の正エネルギー陽電子に対応

する運動量－ｐ^μ＝(－Ｅ,－ｐ)の負エネルギー電子は運動量

がｐ＝|ｐ|～ｍのオーダーに到達すれば

(※ Dirac seaからジャンプして空孔(陽電子)を作ることが可能

になるので),振幅が評価できるオーダーになります。

　しかし,理論の必要な物理的要請は,ｘ₀から未来に向かって伝播

する波は正エネルギー電子と正エネルギー陽電子のFourier成分

のみから成ることです。

正エネルギー電子と正エネルギー陽電子は時間的に正の振動数

の因子exp(－iＥｔ)を持つ波動関数で表現されるので,

Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)は未来:ｘ⁰＞ｘ₀⁰(ｔ＞ｔ₀)において正振動数成分

のみ含むことができます。

※(注):例えば,ｐ^μ＝(Ｅ,ｐ)(Ｅ＞0),

ψ⁽⁺⁾(ｘ)＝ｕ(ｐ,ｓ)exp(－iｐｘ)と.

ψ_c⁽⁺⁾(ｘ)＝Ｃ{ｖ^(ｐ,ｓ)}^Texp(－iｐｘ)がそれぞれ電子と

陽電子の(規格化されていない)波動関数です。

上添字(＋)は波動関数(spinor)の正エネルギー(正振動数)

部分,下添字ｃは荷電共役された波動関数を表わしています。 

また,Ｃは荷電共役(charge conjugation:粒子⇔反粒子)

演算子(このテキストのγ行列の選択ではＣ＝iγ²γ⁰です。)

ｕ(ｐ,ｓ)は正エネルギー電子の４元スピノル,ｖ(ｐ,ｓ)は

負エネルギー電子の４元スピノルです。
 

そして,ｖ^(ｐ,ｓ)≡ｖ⁺(ｐ,ｓ)γ⁰で{ｖ^(ｐ,ｓ)}^Tは

行ベクトルｖ^(ｐ,ｓ)を転置して列の４元スピノルに戻した

ものです。　(注終わり)※

さて,Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)に課せられる境界条件が満たされるように

するため,Fourier４元運動量の積分∫ｄ⁴ｐ＝∫ｄｐ⁰ｄ³ｐの

うち,複素ｐ⁰ -平面の閉じた外周(contour)に沿う∫ｄｐ⁰の

積分を実行します。

まず,ｔ＞ｔ₀に対する∫ｄｐ⁰の複素平面上の周回経路Ｃ^＋は

実軸の積分路∫_-∞^∞ｄｐ⁰の他には下半平面遠方で閉じている

とします。 

ただし,Ｃ^＋は内部に正振動数の極ｐ⁰＝ω_p＝＋(ｐ²＋ｍ²)^1/2

のみを含み,もう１つの極ｐ⁰＝－ω_p＝－(ｐ²＋ｍ²)^1/2を

避けて,積分路(－∞,∞)部分を極の近傍では僅かに曲げた

経路;(－∞,∞)^＋に変えておきます。

　ｔ＞ｔ₀における伝播関数を,外周Ｃ^＋を用いて,

改めて,Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)

≡∫ｄ³ｐ(2π)^-3[exp{iｐ(ｒ－ｒ₀)}×∫_C+ｄｐ⁰(2π)^-1

exp{－iｐ⁰(ｔ－ｔ₀)}{(γ_μｐ^μ＋ｍ)}/(ｐ²－ｍ²)]と定義します。

すると,Cauchyの留数定理から,Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)

＝－i∫ｄ³ｐ(2π)^-3[exp{iｐ(ｒ－ｒ₀)－iＥ(ｔ－ｔ₀)}

{γＥ－γｐ＋ｍ)/(2Ｅ)}(ｔ＞ｔ₀)；Ｅ＝ω_p 

が得られます。

Ｃ^＋＝(－∞,∞)^＋＋Ｃ₁と書いて,Ｃ₁が半径がＲの

下半円周を時計まわりに回る経路とすれば,

∫ｄ³ｐ(2π)^-3[exp{iｐ(ｒ－ｒ₀)}

∫_C1ｄｐ⁰(2π)^-1exp{－iｐ⁰(ｔ－ｔ₀)}{(γ_μｐ^μ＋ｍ)}

/(ｐ²－ｍ²)]はＲ→∞の極限でゼロに収束します。

(証明は簡単なので略)

したがって,ｔ＞ｔ₀なら.Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)

＝－i∫ｄ³ｐ(2π)^-3[exp{iｐ(ｒ－ｒ₀)－iＥ(ｔ－ｔ₀)}

{(γ⁰Ｅ－γｐ＋ｍ)/(2Ｅ)})} (Ｅ＝ω_p)  

＝∫ｄ³ｐ(2π)^-3[exp{iｐ(ｒ－ｒ₀)}∫⁺_-∞^∞ｄｐ⁰(2π)^-1

 exp{－iｐ⁰(ｔ－ｔ₀)}{(γ_μｐ^μ＋ｍ)}/(ｐ²－ｍ²)]

です。

同様に,ｔ＜ｔ₀では∫ｄｐ⁰の積分路を

Ｃ^－≡(－∞,∞)^＋＋Ｃ₂として積分を実行します。

Ｃ₂は半径がＲ＝∞の上半円周を反時計まわりに回る

経路です。

そこで,ｔ＜ｔ₀なら,Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)

＝－i∫ｄ³ｐ(2π)^-3[exp{iｐ(ｒ－ｒ₀)＋iＥ(ｔ－ｔ₀)}

{(－γ⁰Ｅ－γｐ＋ｍ)/(2Ｅ)} (Ｅ＝ω_p) 

＝∫ｄ³ｐ(2π)^-3[exp{iｐ(ｒ－ｒ₀)}∫^-_-∞^∞ｄｐ⁰(2π)^-1

 exp{－iｐ⁰(ｔ－ｔ₀)}{(γ_μｐ^μ＋ｍ)}/(ｐ²－ｍ²)]

と書けます。

※(注3):ｔ＞ｔ₀,ｔ＜ｔ₀のいずれでも,これらのＳ_F(ｘ－ｘ₀)

は確かに(iγ^μ∂_μ－ｍ)Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)＝0 を満足するので,

(iγ_μ∂_μ－ｍ)Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)＝δ⁴(ｘ－ｘ₀)と矛盾しません。

また,ｔ＝ｔ₀ なら,(ｔ－ｔ₀)に関する不連続性が存在すると

考えられるので,

(iγ^μ∂_μ－ｍ)Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)

＝δ³(ｒ－ｒ₀)

lim_ｔ→ｔ0∫_-∞^∞ｄｐ⁰(2π)^-1exp{－iｐ⁰(ｔ－ｔ₀)}

です。

したがって,これらのＳ_F(ｘ－ｘ₀)の表現は確かに,

(iγ_μ∂_μ－ｍ)Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)＝δ⁴(ｘ－ｘ₀)＝δ⁴(ｘ－ｘ₀)

を満たす解となっています。(注3終わり)※

さて,負エネルギー(負振動数)の波は非相対論では無かった

のですが,ここでは不可避です。

本節の前の方の論議から,過去に伝播する負エネルギー電子

の波は未来に伝播する正エネルギー陽電子の波と解釈できる

ので上記の外周積分による伝播関数の定義は好都合です。

他方,遠方で消えるような外周積分路の他の選択では,

負エネルギー波を未来に伝播させるか,または正エネルギー波

を過去に伝播させる境界条件に対応します。

要約します。

正エネルギー波を未来に,負エネルギー波を過去に伝播させる

経路選択:Ｃ^＋＝(－∞,∞)^＋＋Ｃ₁ (ｔ＞ｔ₀),

Ｃ^-＝(－∞,∞)^＋＋Ｃ₂ (ｔ＜ｔ₀)において,

Ｃ₁,Ｃ₂,の積分を無視することから,電子(陽電子)伝播関数

の次のようなFourier運動量積分表現を得ました。

Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)

＝∫ｄ³ｐ(2π)^-3[exp{iｐ(ｒ－ｒ₀)}

∫^±_-∞^∞ｄｐ⁰(2π)^-1exp{－iｐ⁰(ｔ－ｔ₀)}{(γ_μｐ^μ＋ｍ)

/(ｐ²－ｍ²)}　です。

こうした,外周Ｃ^±の選択は,結局, 

Ｓ_F(ｐ)＝1/(γ_μｐ^μ－ｍ)＝(γ_μｐ^μ＋ｍ)/(ｐ²－ｍ²)の

分母に微小な正の虚部を付け加えて,

Ｓ_F(ｐ)＝(γ_μｐ^μ＋ｍ)/(ｐ²－ｍ²＋iε)とする,

あるいはｍ²をｍ²－iεとして積分後にε→＋0 の極限を取る

と解釈できます。

こうすれば,結局,

Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)＝∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4exp{－iｐ(ｘ－ｘ₀)}

{(γ_μｐ^μ＋ｍ)/(ｐ²－ｍ²＋iε)}

＝∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4exp{－iｐ(ｘ－ｘ₀)}/(γ_μｐ^μ－ｍ＋iε)

となります。

※(注4):ｍ²をｍ²－iεとして積分後にε→＋0 の極限を取る

のは,ｐ⁰＜ 0 では極をｐ⁰＝－(ｐ²＋ｍ²)^1/2＋iδに,ｐ⁰＞ 0

では極をｐ⁰＝(ｐ²＋ｍ²)^1/2－iδに平行移動して,積分路

(－∞,∞)^±を実軸(－∞,∞)に戻してδ→＋0 の極限を取る

ことに相当します。

すなわち,{ｐ⁰＋(ｐ²＋ｍ²)^1/2－iδ}{ｐ⁰－(ｐ²＋ｍ²)^1/2＋iδ}

＝(ｐ⁰)²－ｐ²－ｍ²)＋2iδ(ｐ²＋ｍ²)^1/2＝ｐ²－ｍ²＋iε；

ε≡2δ(ｐ²＋ｍ²)^1/2です。　　(注4終わり)※

ここで,まだまだ,途中なのですが私的な補足事項を書いて

今日の記事を終わりにします。

※(補足１)西島和彦 著「相対論的量子力学」(培風館)より

(Feyman-Stuekerberg理論)

空孔理論では４元運動量がｐ_iの陽電子が４元運動量ｐ_fの

状態に散乱された場合,これは負エネルギー状態の－ｐ_iの孔

が埋まって新たに－ｐ_fの孔ができたことになります。

この事象の方向,または順序を考えると,陽電子のｐ_i→ｐ_f

なる散乱が,元々孔を埋めていた負エネルギー電子の

(－ｐ_f)→(－ｐ_i)なる散乱を意味すると思われます。

したがって,既に述べたように陽電子が未来に進むと

負エネルギー電子が過去に進むという見方ができます。

このFeynmanによる見方を正当に定式化するために,

「Stuekerberg(シュティッケルベルク)の因果律」という

仮説を導入します。

Stuekerbergの因果律は元々は場の量子論の言葉で書かれています。

すなわち,ある粒子がｐ₁なる運動量で入射し,外場によって散乱

されてｐ₂なる運動量で出ていったとします。

これは,場の理論の言葉では,"相互作用の結果,運動量ｐ₁の

粒子が消滅して運動量ｐ₂の粒子が生成された。"といいます。

そして,Stuekerbergの因果律は,"ある粒子の消滅は必ずその粒子

の生成の後で起こる。"というものです。

そして,粒子(実在)というものを次のように定義します。

正エネルギーの電子と正エネルギー陽電子は実在の粒子で

あるが,負エネルギーの海を埋め尽くしている電子は観測

にかからないので,これらは粒子(実在)ではない。

(補足１終わり)※

※(補足２):時間発展のGreen関数＝伝播関数(propagator):

　Ｇ(ｘ;ｘ₀)＝Ｇ(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)は,時刻ｔ₀にｒ₀にあった

波が時刻ｔにｒにある遷移振幅を表わすものです。

すなわち,便宜上係数iを加えた伝播関数は

iＧ(ｘ;ｘ₀)＝＜ｘ|ｘ₀＞＝＜ｒ,ｔ|ｒ₀,ｔ₀＞なる振幅

を意味します。

|Ψ＞を任意の状態とすると,|ｒ₀,ｔ₀＞が完全系で

∫ｄ³ｒ₀|ｒ₀,ｔ₀＞＜ｒ₀,ｔ₀|＝1を満たすなら,１を間に挟んで,

＜ｒ,ｔ|Ψ＞＝∫ｄ³ｒ₀＜ｒ,ｔ|ｒ₀,ｔ₀＞＜ｒ₀,ｔ₀|Ψ＞,

または,＜ｘ|Ψ＞＝∫ｄ³ｒ₀＜ｘ|ｘ₀＞＜ｘ₀|Ψ＞　

と表現できます。

これは,＜ｘ|Ψ＞＝＜ｒ,ｔ|Ψ＞を時間ｔに依存する

波動関数:ψ(ｘ)＝ψ(ｒ,ｔ)と考えて,式:

iＧ(ｘ;ｘ₀)＝iＧ(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)＝＜ｒ,ｔ|ｒ₀,ｔ₀＞

を用いると,

ψ(ｒ,ｔ) ＝i∫ｄ³ｒ₀Ｇ(ｒ,ｔ;ｒ₀,ｔ₀)ψ(ｒ₀,ｔ₀),

またはψ(ｘ) ＝i∫ｄ³ｒ₀Ｇ(ｘ;ｘ₀)ψ(ｘ₀)

と書けます。

場の量子論では,真空を|0＞とし粒子場をψ^(ｘ)＝ψ^(ｒ,ｔ)

とすると,|ｘ＞＝ψ^^＋(ｘ)|0＞ですから,

iＧ(ｘ;ｘ₀)＝＜ｘ|ｘ₀＞＝＜0|ψ^(ｘ)ψ^^＋(ｘ₀)|0＞

です。

そこで,例えば|Φ＞が粒子場ψ^に対応する１粒子状態なら

波動関数は,φ(ｘ)≡＜ｘ|Φ＞＝＜0|ψ^(ｘ)|Φ＞

となります。

特に,運動量がｐの１粒子状態を|ｐ＞と書くとスカラー場

なら波動関数は,φ_ｐ(ｘ)≡＜ｘ|ｐ＞

＝＜0|ψ^(ｘ)|ｐ＞＝ｃexp(－iｐｘ)　です。

１粒子状態というのは全宇宙にただ１つ単独粒子があること

を意味しますから,相互作用する相手が全く無いので何も前提

を述べなくても自由粒子に決まっています。(Newtonの第一法則)

１粒子状態は,高々自由粒子の重ね合わせの純粋状態に

過ぎませんが,場の理論というのは裸の粒子が自分自身

との相互作用で衣を着ることもあるので単細胞の私には

ついていけないところもありますネ。

(例えばｃexp(－iｐｘ)の規格化定数ｃが∞になったりします。)

(※まあ,実際に我々が状態を考える対象は宇宙全体ではなく,

実験室の中とそれ以外を分離して実験室の中だけの部分系を想定

して,そこでの真空とか１粒子状態とかを考察するのですが,

理想的には宇宙全体を１状態と考えるべきでしょう。)

ところで,通常の非相対論では波はｔ＜ｔ₀の過去には伝播

できないのでｔ＜ｔ₀なら＜ｘ|ｘ₀＞＝0 です。(ただし

"光＝電磁波"には過去に伝播する先進波が有りますが,

元々光は相対論的存在です。)

そこで,非相対論的電子では,

iＧ(ｘ;ｘ₀)＝θ(ｔ－ｔ₀)＜0|ψ^(ｘ)ψ^^＋(ｘ₀)|0＞ですが,

相対論的電子では粒子場ψ^(ｘ)は電子を消滅させ陽電子

を生成します。

一方,ψ^^＋(ｘ)は電子を生成し陽電子を消滅させます。

つまり,電子(陽電子)の場はｂ^^＋,ｂ＾を電子の生成消滅演算子,

ｄ＾^＋,ｄ＾を陽電子の生成消滅演算子として.

ψ^(ｘ)＝Σ_s=±∫ｄ³ｐ(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ_p)^1/2

[ｂ^(ｐ,ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)exp(－iｐｘ)＋ｄ^+(ｐ,ｓ)ｖ(ｐ,ｓ)

exp(iｐｘ)]のように表現されます。

故に,ψ^^＋(ｘ)

＝Σ_s=±∫ｄ³ｐ(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ_p)^1/2[ｂ^^＋(ｐ,ｓ)ｕ^(ｐ,ｓ)

exp(iｐｘ)＋ｄ^(ｐ,ｓ)ｖ＾(ｐ,ｓ)exp(－iｐｘ)]

です。

場の量子論の定式化では,ｂ＾|0＞＝ｄ＾|0＞＝0 ですから,

真空:|0＞を負エネルギー電子の海であると考える必要はなく,

Dirac空孔理論のような仮説は不要となります。

しかも,場の量子論の定式化ではPauliの排他原理が成立しない

ため空孔理論の適用外であった Bose粒子の場も粒子,反粒子が

共存する理論の構成が可能です。

電子に戻ると,ψ^^＋(ｘ)|0＞は電子だけを生成し,ψ^(ｘ)|0＞

は陽電子だけを生成しますから,＜0|ψ^(ｘ)ψ^^＋(ｘ₀)|0＞は

電子のみの振幅であり,他方＜0|ψ^^＋(ｘ₀)ψ^(ｘ)|0＞

は陽電子のみの振幅です。

(※元々,量子論の演算子積の順序には蓋然性があります。

例えば,ｘｐ,ｐｘ,(ｘｐ＋ｐｘ)/2は古典論では同じ量ですが

量子論ではこれらはそれぞれ異なる量です。)

そこで,電子の場合は伝播関数:Ｇ(ｘ;ｘ₀)をＳ_F'(ｘ;ｘ₀)と書けば,

iＳ_F'(ｘ;ｘ₀)＝θ(ｔ－ｔ₀)＜0|ψ^(ｘ)ψ^^＋(ｘ₀)|0＞

－θ(ｔ₀－ｔ)＜0|ψ^^＋(ｘ₀)ψ^(ｘ)|0＞ と書けます。

時間順序積(Ｔ積:Ｔ-product)を,Ｔ(ψ^(ｘ)ψ^^＋(ｘ₀))

≡θ(ｔ－ｔ₀)ψ^(ｘ)ψ^^＋(ｘ₀)－θ(ｔ₀－ｔ)ψ^^＋(ｘ₀)ψ^(ｘ)

で定義すれば,iＳ_F'(ｘ;ｘ₀)＝＜0|Ｔ(ψ^(ｘ)ψ^^＋(ｘ₀))|0＞

とも書けます。

第２項に符号(－)があるのは,電子がFermi統計に従うためで

Bose粒子のＴ積なら第２項の符号(－)は不要です。

(PS:ψ^(ｘ)はスピノルですから本当は,

＜0|Ｔ(ψ_α^(ｘ)ψ_β^^＋(ｘ₀))|0＞etc.と書くべきでした。)

参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell

"Relativistic Quantum Mechanics",

"Relativistic Quantum Fields"(McGraw-Hill),

西島和彦 著「相対論的量子力学」(培風館)

PS:せっかくの神様がくれた？休息期間なのに無駄に過ごしている

バカ野郎だな。オレは。。