散乱の伝播関数の理論(8)

散乱の伝播関数の理論の続きです。

すぐ後で必要となるので,自由粒子のDirac方程式:

(iγ^μ∂_μ－ｍ)Ψ(ｘ)＝0 の一般解Ψ(ｘ)の導出過程を

復習します。

２行２列のPauliのスピン行列をσ＝(σ¹,σ²,σ³)とします。

また,同じく２×２行列ですが単位行列を１²とします。

　です。

　Pauli行列の主要な性質として,交換関係:[σⁱ,σ^j]

　≡σⁱσ^j－σ^jσⁱ＝2iε_ijkσ^k,および,

　反交換関係:{σⁱ,σ^j}_＋≡σⁱσ^j＋σ^jσⁱ＝2δ^ij

 が成立する,ということがあります。

　ただし,[Ａ,Ｂ]≡ＡＢ－ＢＡ,{Ａ,Ｂ}_＋≡ＡＢ＋ＢＡです。

　４行４列の行列:βを２つの２×２対角細胞が１²,－１²で

　非対角細胞が0²の対角細胞型行列とします。

また,４行４列の行列ベクトル:α＝(α¹,α²,α³)を対角成分

が 0²で,２つの非対角成分が共にσ＝(σ¹,σ²,σ³)である行列

とします。

容易にわかるように,{αⁱ,α^j}_＋＝αⁱα^j＋α^jαⁱ＝2δ^ij,

{αⁱ,β}_＋＝αⁱβ＋βαⁱ＝0,β²＝1です。

そこで,γ⁰≡β,γ≡βα,or (γ¹,γ²,γ³)≡(βα¹,βα²,βα³)

なる表示を採用すると,これらの{γ^μ}_μ=0,1,2,3は確かにDirac行列

が満たすべき条件:{γ^μ,γ^ν}_＋＝2ｇ^μνを満足します。

　　

ただし,Minkowski計量(metric)としては,ｇ⁰⁰＝1,ｇ⁰ⁱ＝0,

ｇ^ij＝－δ^ijを採用しています。

Dirac方程式(iγ^μ∂_μ－ｍ)Ψ(ｘ)＝0 の解である波動関数

(Dirac-spinor):Ψ(ｘ)は４行１列の縦ベクトルです。

(※ 余談ですが,世界がｄ次元のMinkowski時空なら,その時空で

の Dirac-spinor(スピノール)は,２成分-spinorの(ｄ/2)個の直積

(＝tensot:テンソル)で与えられるため,その次数は,2^d/2 です。)

このDirac方程式の変数分離解をΨ(ｘ)＝ｗ(ｐ)exp(－iｐｘ)と

書けば,ｗ(ｐ)も４元spinorで,方程式:(γ_μｐ^μ－ｍ)ｗ(ｐ)＝0

を満足します。

粒子の４元運動量は自然単位でｐ^μ＝(Ｅ,ｐ)ですが,特に粒子と

共に運動していて,粒子が静止している(ｐ＝0)と見える"運動座

標系＝静止系"Ｓ₀では,ｐ^μ＝(Ｅ,ｐ)＝ｐ₀^μ≡(±ｍ,0)です。

(↑ ※ｐ₀^μ＝(±ｍ,0)として,負の静止エネルギー:Ｅ＝－ｍの解

も捨てず,率直に独立解として採用するのがミソです。)

このＳ₀系での変数分離解は,ｐ₀^μ＝(±ｍ,0)の±に応じて,

Ψ₀(ｘ)＝ｗ(0)exp(－iｍｔ),または,Ψ₀(ｘ)＝ｗ(0)exp(iｍｔ)

です。

そこで,(iγ^μ∂_μ－ｍ)Ψ(ｘ)＝0;Ψ(ｘ)＝ｗ(ｐ)exp(－iｐｘ)

による(γ_μｐ^μ－ｍ)ｗ(ｐ)＝0 は,ｐ₀⁰＝ｍならγ⁰ｗ(0)＝ｗ(0),

ｐ₀⁰＝－ｍならγ⁰ｗ(0)＝－ｗ(0)　です。

したがって,静止系での変数分離解Ψ₀(ｘ)は,γ⁰ｗ^±(0)＝±ｗ^±(0)

(複号同順)を満たすγ⁰の２つの独立な固有ベクトルｗ^±(0)を用いて

Ψ₀^＋(ｘ)＝ｗ⁺(0)exp(－iｍｔ),および,

Ψ₀^－(ｘ)＝ｗ^－(0)exp(iｍｔ)　と表わされます。

γ⁰の固有ベクトルｗ^±(0)のうち,固有値＋1の固有ベクトル:

ｗ⁺(0)は,^t(1,0,0,0),^t(0,1,0,0)の１次結合で与えられます。

また,固有値が－1の固有ベクトルｗ^(-)(0)は,^t(0,0,1,0),

^t(0,0,0,1)の１次結合です。

そこで,独立な４つを改めて,ｗ⁽¹⁾(0)≡^t(1,0,0,0),

ｗ⁽²⁾(0)≡^t(0,1,0,0),ｗ⁽³⁾(0)≡^t(0,0,1,0),

ｗ⁽⁴⁾(0)≡^t(0,0,1,0) と定義します。

すると,静止系での４つの独立解は,

ψ₀^(r)(ｘ)＝ｗ^(r)(0)exp(－iε_rｍｔ)(ｒ＝1,2,3,4)

で与えられることになります。

ただし,符号関数ε_rは,ε_r≡1 (ｒ＝1,2),ε_r≡－1 (ｒ＝3,4)

で定義されます。

したがって,静止系での自由粒子の一般解Ψ₀(ｘ)は,Ψ₀^(r)(ｘ)の

１次結合で表わせます。

一方,Lorentz変換(4次元回転):ｘ'^μ＝ａ^μ_νｘ^ν,

または略記法でｘ'＝ａｘに伴なう波動関数のLorentz回転:

Ψ'_α(ｘ')＝Ψ'_α(ａｘ)≡Ｓ_αβ(ａ)Ψ_β(ｘ) (成分表記)

または,Ψ'(ｘ')＝Ψ'(ａｘ)＝Ｓ(ａ)Ψ(ｘ) (行列表記)

を考えます。

ｘ'＝ａｘ より,その逆変換:ａ^-1対しｘ＝ａ^-1ｘ'ですから,

Ψ'(ｘ')＝Ｓ(ａ)Ψ(ａ^-1ｘ'),つまり,

Ψ'(ｘ)＝Ｓ(ａ)Ψ(ａ^-1ｘ)です。

他方,Ψ(ｘ)＝Ｓ(ａ^-1)Ψ'(ａｘ),Ψ(ｘ)＝Ｓ^-1(ａ)Ψ'(ａｘ)より,

Ｓ(ａ^-1)＝Ｓ^-1(ａ)なる関係が成立することがわかります。

また,∂/∂ｘ^μ＝(∂ｘ'^ν/∂ｘ^μ)(∂/∂ｘ'^ν)ですから,

ｘ'^ν＝ａ^ν_μｘ^μより.∂_μ＝ａ^ν_μ∂'_νです。

そこで,Dirac方程式:(iγ^μ∂_μ－ｍ)Ψ(ｘ)＝0 にｘ＝ａ^-1ｘ',

および,Ψ(ｘ)＝Ｓ^-1(ａ)Ψ'(ｘ')を代入して,左からＳ(ａ)を

掛けると,[iＳ(ａ)γ^μＳ^-1(ａ)ａ^ν_μ∂'_ν－ｍ]Ψ'(ｘ')＝0

を得ます。

それ故,ａ^ν_μＳ(ａ)γ^μＳ^-1(ａ)＝γ^ν,つまり,

ａ^ν_μγ^μ＝Ｓ^-1(ａ)γ^νＳ(ａ)であれば,

上式は(iγ^ν∂'_ν－ｍ)Ψ'(ｘ')＝0 となって,

方程式が相対論的に共変(covariant)になります。

特に,ａ^μ_ν＝ｇ^μ_ν＋Δω^μ_ν;Δω^νμ＝－Δω^μνと書けて,

Δω^μ_νが微小の場合の微小Lorents変換を考えます。

これに対する４×４変換行列Ｓ(ａ)をΔω^μνの１次まで展開して

１次の係数行列を,－(i/4)σ_μνと表現すれば,

Ｓ(ａ)＝1－(i/4)σ_μνΔω^μν＋Ｏ(Δω²) です。

今のところ,σ_μνは未知の４次行列ですが,以下でそれを具体的に

決定します。

Ｏ(Δω²)が無視できる無限小変換では,

Ｓ(ａ)＝1－(i/4)σ_μνΔω^μν,

Ｓ^-1(ａ)＝1＋(i/4)σ_μνΔω^μνより,

ａ^μ_νγ^ν＝Ｓ^-1(ａ)γ^μＳ(ａ)は,

Δω^μ_νγ^ν＝－(i/4)Δω^αβ(γ^μσ_αβ－σ_αβγ^μ)

となります。

ここで,Δω^μ_νγ^ν＝ｇ^μ_αΔω^α_νγ^ν

＝ｇ^μ_αΔω^αβｇ_βνγ^ν＝ｇ^μ_αΔω^αβγ_β

＝ｇ^μ_βΔω^βαγ_αにより,

Δω^μ_νγ^ν＝(1/2)(ｇ^μ_αΔω^αβγ_β＋ｇ^μ_βΔω^βαγ_α)

＝(1/2)Δω^αβ(ｇ^μ_αΔγ_β－ｇ^μ_βγ_α)　を得ます。

故に,(1/2)Δω^αβ(ｇ^μ_αΔγ_β－ｇ^μ_βγ_α)

＝－(i/4)Δω^αβ(γ^μσ_αβ－σ_αβγ^μ)ですから,

2i(ｇ^μ_αΔγ_β－ｇ^μ_βγ_α)＝[γ^μ,σ_αβ]　です。

結局,無限小変換では,Ｓ(ａ)＝1－(i/4)σ_μνΔω^μν;

σ_μν＝(i/2)[γ_μ,γ_ν]であることがわかります。

さて,無限小ではなく一般の有限なLorentz変換を上記の無限小

変換を継続的に無限回反復した結果として評価するため,Δω^μν

をΔω^μν≡Δω(Ｉ_n)^μνと表現します。

ただし,Δωは軸:ｎのまわりの無限小Lorentz回転の回転角を表わす

無限小パラメータとし,Ｉ_nはこの軸ｎについての単位Lorentz回転を

示す４×４行列とします。

※(注):３次元空間の回転なら,例えばｚ軸の回りのｘｙ平面上の

　角度φの回転なら,

　ｘ'＝ｘcosφ－ｙsinφ,ｙ'＝ｘsinφ＋ｙcosφ,ｚ'＝ｚ

　です。

これはφが無限小回転角:Δφなら,

ｘ'＝ｘ－ｙΔφ,ｙ'＝ｘΔφ＋ｙ,ｚ'＝ｚですから,

行列形では,^t(ｘ',ｙ',ｚ')＝^t(ｘ,ｙ,ｚ)＋Δφ^t(―ｙ,ｘ,0)

＝{1＋Δφ(Ｉ_z)}^t(ｘ,ｙ,ｚ) と書けます。

これによって,３次元の場合の対応する３×３行列Ｉ_zを定義します。

ただし,^t(ｘ,ｙ,ｚ)は行ベクトル(ｘ,ｙ,ｚ)の転置(transport)

である縦ベクトルを意味します。

同様に,ｘ軸,ｙ軸のまわりの回転に対する３×３行列Ｉ_x,Ｉ_yも

定義できます。(注終わり)※

さて,Δω^μν＝Δω(Ｉ_n)^μν,Δω≡ω/Ｎとして,

Δω回転のＮ回の反復でωになる変換を考えます。

刻みＮが無限大の極限では,

ａ^μ_ν＝lim _N→∞ Π_n=1^N{1＋(ω/Ｎ)Ｉ_n}^μ_ν

＝{exp(ωＩ_n)}^μ_ν,またはｘ^μ＝ａ^μ_νｘ^ν

＝{exp(ωＩ_n)}^μ_νｘ^ν

が得られます。

そして,これに伴なうspinorの変換は,

Ｓ(ａ)_αβ＝{1－(i/4)Δω(σ_μνＩ_n^μν)}_αβより,

Δωが一般の有限の角度ωなら,

Ｓ(ａ)_αβ＝exp{－(i/4)ω(σ_μνＩ_n^μν)}_αβ

＝ exp{－(1/8)ω[γ_μ,γ_ν]Ｉ_n^μν}_αβ  です。

特に,ｘ軸に沿って無限小の速度Δｖ＝Δβ＝Δωで運動する

座標系への無限小変換は,

ｘ'⁰＝ｘ⁰－Δβｘ¹,ｘ'¹＝ｘ¹－Δβｘ⁰

です。

そこで,Lorentz変換:ａ^μ_ν＝ｇ^μ_ν＋Δω^μ_ν;Δω^νμ＝－Δω^μν

では,Δω⁰₁＝Δω¹₀＝－Δβ以外の全てのΔω^μ_νはゼロです。

この場合,有限変換ではｘ'^μ＝{exp(ωＩ_n)}^μ_νｘ^νであり,

ｘ'⁰＝ｘ⁰coshω－ｘ¹sinhω,ｘ'¹＝ｘ¹coshω－ｘ⁰sinhω,

ｘ'²＝ｘ²,ｘ'³＝ｘ³ と書けます。

これに対応するLorentz変換は相対速度がｖ＝β＝tanhωの変換

です。

このとき,coshω＝1/(1－β²)^1/2,sinhω＝β/(1－β²)^1/2です。

よって,確かに無限小変換ではΔβ＝Δωを満たしています。

さて,spinorの無限小変換はΔω⁰¹＝－Δω¹⁰＝Δω＝Δβなので,

Ｓ(ａ)＝1－(i/4)σ_μνΔω^μνは,Ｓ(ａ)＝1－(iΔω/2)σ₀₁で,

σ₀₁＝(i/2)[γ₀,γ₁]＝iγ₀γ₁＝－iγ⁰γ¹＝－iβ²α¹＝－iα¹

です。

それ故,Ｓ(ａ)＝1－Δωα¹/2です。

有限変換では,(α¹)²＝1ですからＳ(ａ)＝exp(－ωα¹/2)

＝cosh(ω/2)－α¹sinh(ω/2)です。

そして,系Ｓで粒子が速度ｖ＝βで運動することは,粒子に対して

静止しているＳ₀系に対し系Ｓが相対速度－ｖ＝－βで運動する

ことに同等です。

したがって,静止系Ｓ₀でｐ^μ＝(ｍ,0)の正エネルギー粒子がＳ₀に

対して相対速度－ｖ＝－βで運動するＳ系では,

ｘ'⁰＝ｘ⁰coshω－ｘ¹sinhω,ｘ'¹＝ｘ¹coshω－ｘ⁰sinhω,

ｘ'²＝ｘ²,ｘ'³＝ｘ³ に対応して,

ｐ^μ＝(Ｅ,ｐ)なる表示で,Ｅ＝ｍcoshω,ｐ¹＝－ｍsinhω,

ｐ²＝ｐ³＝0 なので,β＝－tanhω＝ｐ/Ｅです。

ただし,ｐ＝|ｐ|＝ｐ¹です。

故に,tanhω＝－ｐ/Ｅにより,tanh(ω/2)＝－ｐ/(Ｅ＋ｍ),

cosh(ω/2)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2を得ます。

一方,静止系Ｓ₀でｐ^μ＝(－ｍ,0)の負エネルギー粒子がＳ₀に対し

相対速度－βで運動するＳ系では,

ｐ^μ＝(－Ｅ,－ｐ)(Ｅ＞0)なるエネルギー表示で,

tanh(ω/2)＝ｐ/(－Ｅ＋ｍ)＝－ｐ/(Ｅ－ｍ),

cosh(ω/2)＝{(Ｅ－ｍ)/(2ｍ)}^1/2です。

以上から,自由粒子波動関数の4つの独立な解は,

Ψ^(r)(ｘ)＝ｗ^(r)(ｐ)exp(－iε^rｐｘ),

ｗ^(r)(ｐ)＝Ｓ(ａ)ｗ^(r)(0)

＝{cosh(ω/2)－α¹sinh(ω/2)}ｗ^(r)(0)

であり,

ｗ⁽¹⁾(0)≡^t(1,0,0,0),ｗ⁽²⁾(0)≡^t(0,1,0,0),

ｗ⁽³⁾(0)≡^t(0,0,1,0),ｗ⁽⁴⁾(0)≡^t(0,0,1,0)

であることがわかりました。

Pending・・・

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics" (McGraw-Hill)

(後記):この記事がPendingになっているのを,長期間,

うっかりして忘れていました。続きは別記事にします。