散乱の伝播関数の理論(10)

　散乱の伝播関数の理論の続きです。 

まず,前記事最後でｔ→∞ ではΨ(ｘ)－ψ(ｘ)＝∫ｄ³ｐΣ_r=1²ψ_p^(r)(ｘ)[－iｅ∫ｄ⁴ｙψ_p^(r))~(ｙ)γ_μＡ^μ(ｙ)Ψ(ｙ)],ｔ→－∞ ではΨ(ｘ)－ψ(ｘ)＝∫ｄ³ｐΣ_r=3⁴ψ_p^(r)(ｘ)[＋iｅ∫ｄ⁴ｙψ_p^(r)~(ｙ)γ_μＡ^μ(ｙ)Ψ(ｙ)]なる公式を得ました。

上の表現と非相対論的量子論でのＳ行列の定義:Ｓ_fi≡lim_t→∞∫φ_f^*(ｘ)ψ_i⁽⁺⁾(ｘ)ｄ³ｒを比較して時刻ｔ₀＝ｙ⁰での波動関数Ψ(ｙ)を上記定義の入射波ψ_i⁽⁺⁾(ｘ)と同一視してΨ_i(ｙ)と書くことにします。

すると,ｔ→∞ ではＳ_fi－δ_fi＝lim_t→∞∫ｄ³ｒψ_f~(ｘ)∫ｄ³ｐΣ_r=1²ψ_p^(r)(ｘ)[－iｅ∫ｄ⁴ｙψ_p^(r)~(ｙ)γ_μＡ^μ(ｙ)Ψ_i(ｙ)],ｔ→－∞ ではＳ_fi－δ_fi＝lim_t→-∞∫ｄ³ｒψ_f~(ｘ)∫ｄ³ｐΣ_r=3⁴ψ_p^(r)(ｘ)[＋iｅ∫ｄ⁴ｙψ_p^(r)~(ｙ)γ_μＡ^μ(ｙ)Ψ_i(ｙ)]となります。

※以下,簡単のためにγ_μＡ^μ(ｙ)をＡ(ｙ)と表記することにします。

よって,Ｓ行列要素を電子の空孔理論に基づく散乱への拡張は[ ]の中の表式に一致してＳ_fi＝δ_fi－iｅε_f∫ｄ⁴ｙψ_f~(ｙ)Ａ(ｙ)Ψ_i(ｙ)と書けます。

ただし,ψ_f(ｙ)は量子数ｆを持って出現する終状態の自由波です。

これは未来における正振動数解に対しては符号ε_f＝＋1を持ち,過去における負振動数解に対しては符号ε_f＝－1を持ちます。

一方,Ψ_i(ｙ)はｙ⁰ →－∞ では量子数ｉを持つん入射波ψ_i(ｙ)に帰着します。

他方,ｙ⁰ →＋∞ ではΨ(ｘ)＝ψ(ｘ)＋ｅ∫ｄ⁴ｙＳ_F(ｘ－ｙ)Ａ(ｙ)Ψ(ｙ)の解に対応し,Feynmanの境界条件に従って過去に伝播する入射の負振動数の波に帰着する入射波です。

※(訳注):すなわち,未来への散乱ではＳ_fi＝lim _x0→∞∫ψ_f⁺(ｘ)Ψ_i(ｘ)ｄ³ｒ,過去への散乱ではＳ_fi＝lim _x0→-∞∫ψ_f⁺(ｘ)Ψ_i(ｘ)ｄ³ｒです。

そしてＳ_F(ｘ－ｘ₀)＝－iθ(ｔ－ｔ₀)∫ｄ³ｐΣ_r=1²ψ_p^(r)(ｘ)ψ_p^(r)~(ｘ₀)＋iθ(ｔ₀－ｔ)∫ｄ³ｐΣ_r=3⁴ψ_p^(r)(ｘ)ψ_p^(r)~(ｘ₀)です,

そこで,ψ_f(ｘ)≡∫ｄ³ｐ_fΣ_rf=1²Ｃ_rf(ｐ_f)ψ_pf^(rf)(ｘ)と置くとψ_f⁺(ｘ)≡∫ｄ³ｐ_fΣ_rf=1²Ｃ_rf(ｐ_f)^*ψ_pf^(rf)+(ｘ)ですから,ｘ⁰ →＋∞ の極限では∫ｄ³ｒψ_f⁺(ｘ)Ｓ_F(ｘ－ｙ)＝－i∫ｄ³ｐｄ³ｐ_f∫ｄ³ｒΣ_r,rf=1²Ｃ_rf(ｐ_f)^*ψ_pf^(rf)+(ｘ)ψ_p^(r)(ｘ)ψ_p^(r)~(ｙ)です。

ｒ＝ｒ_f＝1,2なら∫ｄ³ｒψ_pf^(rf)+(ｘ)ψ_p^(r)(ｘ)＝{ｍ/(ＥＥ_f)^1/2}∫(2π)^-3exp{－i(ｐ－ｐ_f)ｘ}ｗ^(rf)+(ｐ_f)ｗ^(r)(ｐ)ｄ³ｒ＝{ｍ/(ＥＥ_f)^1/2}ｗ^(rf)+(ｐ_f)ｗ^(r)(ｐ)exp{－i(Ｅ－Ｅ_f)ｔ}δ³(ｐ_f－ｐ)です。

故に,∫ｄ³ｐｄ³ｒψ_pf^(rf)+(ｘ)ψ_p^(r)(ｘ)＝(ｍ/Ｅ_f)ｗ^(rf)+(ｐ_f)ｗ^(r)(ｐ_f)＝δ_rfrです。以上から,∫ｄ³ｒψ_f⁺(ｘ)Ｓ_F(ｘ－ｙ)＝－iψ_f~(ｙ)を得ます。

したがって,Ｓ_fi＝lim_x0→∞∫ψ_f⁺(ｘ)Ψ_i(ｘ)ｄ³ｒ＝∫ψ_f⁺(ｘ)ψ_i(ｘ)ｄ³ｒ＋lim_x0→∞ｅ∫ｄ⁴ｙ[∫ｄ³ｒψ_f⁺(ｘ)Ｓ_F(ｘ－ｙ)]Ａ(ｙ)Ψ_i(ｙ)＝δ_fi－iｅ∫ｄ⁴ｙψ_f~(ｙ)Ａ(ｙ)Ψ_i(ｙ)(前方(未来)散乱)を得ました。

同様にして,ψ_f(ｘ)≡∫ｄ³ｐ_fΣ_rf=3⁴Ｃ_rf(ｐ_f)ψ_pf^(rf)(ｘ)と置くと,Ｓ_fi＝lim_x0→-∞∫ψ_f⁺(ｘ)Ψ_i(ｘ)ｄ³ｒ＝δ_fi＋iｅ∫ｄ⁴ｙψ_f~(ｙ)Ａ(ｙ)Ψ_i(ｙ)(後方(過去)散乱)も得られます。(訳注終わり)※

得られた公式:Ｓ_fi＝δ_fi－iｅε_f∫ｄ⁴ｙψ_f~(ｙ)Ａ(ｙ)Ψ_i(ｙ)は通常の散乱過程だけでなく電子-陽電子の対生成(pair-production)や対消滅(pair-annihilation)を計算するルールも含んでいます。

さて,まずこのルールを通常の電子の散乱過程に適用します。

この過程ではｙ⁰ →－∞ ではΨ_i(ｙ)は正エネルギーの入射平面波ψ⁽⁺⁾_i(ｙ)に帰着します。

よって,散乱行列要素:Ｓ_fi＝δ_fi－iｅ∫ｄ⁴ｙψ_f~(ｙ)Ａ(ｙ)Ψ_i(ｙ)の第ｎ次の寄与は,－iｅⁿ∫..∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_nψ_f~(ｙ_n)Ａ(ｙ_n)Ｓ_F(ｙ_n－ｙ_n-1)Ａ(ｙ_n-1)..Ｓ_F(ｙ₂－ｙ₁)Ａ(ｙ₁)ψ⁽⁺⁾_i(ｙ)です。

※(訳注):何故なら,Ψ_i(ｙ)＝ψ_i(ｙ)＋ｅ∫ｄ⁴ｙ₁Ｓ_F(ｙ－ｙ₁)Ａ(ｙ₁)Ψ_i(ｙ₁)＝ψ_i(ｙ)＋ｅ∫ｄ⁴ｙ₁Ｓ_F(ｙ－ｙ₁)Ａ(ｙ₁)[ψ_i(ｙ₁)＋ｅ∫ｄ⁴ｙ₂Ｓ_F(ｙ₁－ｙ₂)Ａ(ｙ₂)Ψ_i(ｙ₂)]＝ψ_i(ｙ)＋ｅ∫ｄ⁴ｙ₁Ｓ_F(ｙ－ｙ₁Ａ(ｙ₁))ψ_i(ｙ₁)＋ｅ²∫ｄ⁴ｙ₁ｄ⁴ｙ₂Ｓ_F(ｙ－ｙ₂)Ａ(ｙ₂)Ｓ_F(ｙ₂－ｙ₁)Ａ(ｙ₁)Ψ_i(ｙ₁)です。

故に,反復代入の逐次近似法でΨ_i(ｙ)＝ψ_i(ｙ₁)＋ｅ∫ｄ⁴ｙ₂Ｓ_F(ｙ₁－ｙ₂)Ａ(ｙ₂)Ψ_i(ｙ₂)]＝ψ_i(ｙ)＋ｅ∫ｄ⁴ｙ₁Ｓ_F(ｙ－ｙ₁)Ａ(ｙ₁)ψ_i(ｙ₁)＋.. ＋ｅⁿ∫..∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_n-1Ｓ_F(ｙ－ｙ_n-1)Ａ(ｙ_n-1)..Ｓ_F(ｙ₂－ｙ₁)Ａ(ｙ₁)ψ⁽⁺⁾_i(ｙ₁)＋..を得ます。(訳注終わり)※

Ｓ_fiの寄与:－iｅⁿ∫..∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_nψ_f~(ｙ_n)Ａ(ｙ_n)Ｓ_F(ｙ_n－ｙ_n-1)Ａ(ｙ_n-1)..Ｓ_F(ｙ₂－ｙ₁)Ａ(ｙ₁)ψ_i(ｙ₁)は図6.5(ｂ)のFeyman-diagramに対応する過程を含んでいます。

つまり,３次の寄与を考えると点３のポテンシャルで散乱された追加波がｅ∫ｄ⁴ｙ₁Ｓ_F(ｙ₂－ｙ₁)Ａ(ｙ₁)ψ_i(ｙ₁)で与えられます。

　　　　(再掲)図6.5:陽電子理論での時空diagramの例

これに左からψ_f~(ｙ₂)を掛けてｄ⁴ｙ₂で積分すると,ｙ₂⁰＜ｙ₁⁰である過程にわたる積分のため,追加の波が負振動数を含むときには陽電子を生じる確率も存在して,このＳ行列の３次のオーダーに含まれます。

対生成(対創生)のグラフの計算をするためにＳ_fi＝δ_fi－iｅε_f∫ｄ⁴ｙψ_f~(ｙ)Ａ(ｙ)Ψ_i(ｙ)におけるΨ_i(ｙ)としてｙ⁰ →∞ のとき負振動数の自由平面波ψ^(-)_i(ｙ)に帰着する解を代入します。

この負振動数の自由平面波解はｙ⁰ →∞ の極限で量子数(ｐ₊,ｓ₊,ε＝－1)を持った負エネルギーの波:ψ^(-)_i(ｙ)≡(ｍ/Ｅ₊)^1/2(2π)^-3/2ｖ(ｐ₊,ｓ₊)exp(iｐ₊ｘ)に帰します。

他方,ψ_f~(ｙ)としては,量子数(ｐ_-,ｓ_-,ε＝＋1)で分類される正エネルギー解を採用します。

空孔理論の基本的法則によって運動量:ｐ₊と偏極(spin):ｓ₊を持つ陽電子の存在は運動量:－ｐ₊と偏極(spin):－ｓ₊を持つ負エネルギー電子の欠損(不在)を意味します。

この意味でψ^(-)_i(ｙ)＝(ｍ/Ｅ₊)^1/2(2π)^-3/2ｖ(ｐ₊,ｓ₊)exp(iｐ₊ｘ)は規格化された運動量:－ｐ₊とスピン:－ｓ₊を持つ負エネルギー解となっています。

ｖ(ｐ₊,ｓ₊)は運動量:－ｐ₊を持つスピンの射影演算子:Σ(ｓ)の固有状態です。

ｖ(ｐ,ｓ)が静止Ｓ₀系でのσｓ₀ｖ(ｐ₀,ｓ₀)＝－ｖ(ｐ,ｓ₀)の固有状態で定義されるように,ｖ(ｐ₊,ｓ₊)は静止Ｓ₀系でスピン:－ｓ₊₀を持ち一般系ではスピン:－ｓ₊を持っています。

または,ｖ(ｐ₊,ｓ₊)＝Ｃ^ｕ^~T(ｐ₊,ｓ₊)です。ただしＣ^はこのγ行列表示ではＣ^＝iγ²γ⁰で与えられる荷電共役演算子です。

伝播関数定式化では,陽電子をｘで生成し,それが相互作用領域から時空の前方(未来)に伝播してｘ'で与えられた状態(ｐ₊,ｓ)へ伝播する振幅を,ｘ'から相互作用領域へと後方(過去)に伝播してｘで消滅される運動量:－ｐ₊とスピン:－ｓ₊を持つ負エネルギー電子に対する振幅と同一視してきました。

そこで対生成に対する遷移振幅を場によって負エネルギー電子が散乱して未来に伝播する正エネルギー状態の中に出現するような相互作用領域と過去に向かう負エネルギー電子の経路の跡をたどることを結び付けて考えます。 

同様なやり方で対消滅の振幅を計算するためにＳ_fi＝δ_fi－iｅε_f∫ｄ⁴ｙψ_f~(ｙ)Ａ(ｙ)Ψ_i(ｙ)におけるΨ_i(ｙ)としてｙ⁰ →－∞ のとき正振動数の自由平面波ψ⁽⁺⁾_i(ｙ)に帰着する解を代入します。

この正エネルギー電子は時間前方に伝播して相互作用領域へと向かい,そこで時間後方に散乱されて負エネルギー状態に出現します。

電子が量子数(ｐ₊,ｓ₊,ε＝－1)で分類される与えられた"終状態"ψ^(-)_f(ｙ)へと散乱されるｎ次の振幅は,iｅⁿ∫..∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_nψ^(-)_f~(ｙ_n)Ａ(ｙ_n)Ｓ_F(ｙ_n－ｙ_n-1)Ａ(ｙ_n-1)..Ｓ_F(ｙ₂－ｙ₁)Ａ(ｙ₁)ψ⁽⁺⁾_i(ｙ₁)です。

空孔の言葉では,これは電子が自由運動量:－ｐ₊とスピン:－ｓ₊の負エネルギー状態へと散乱してゆくｎ次のオーダーの寄与です。

この状態はｙ⁰ →－∞ では空になっている必要があります。すなわち,１つの孔,または１つの陽電子が自由運動量:ｐ₊とスピン:ｓ₊を持って存在していることが必要です。

最後に陽電子散乱を記述するためにはＳ_fi＝δ_fi－iｅε_f∫ｄ⁴ｙψ_f~(ｙ)Ａ(ｙ)Ψ_i(ｙ)における入射波を量子数:ｐ₊',ｓ₊',ε＝－1を持つ負振動数解で置き換えます。

これは運動量(ｐ₊',ｓ₊')を持って出てゆく陽電子を示すものです。

短かいですが今日はここまでにします。 

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics" (McGraw-Hill)

PS:まったくぅ。お役所仕事は。。。

６月４日に面接後,先週末の６月11日土曜日に６月９日付で就労許可申請が通ったという旨の通知が来ました。

　そこで,あまり内部確認せず,今日14日月曜にさっそく仕事に行ったら,仕事開始の許可は別途21日からだなんて,こちらは１日でも早く仕事に就きたいのに。。。