散乱の伝播関数の理論(11)(応用1-1)

散乱の伝播関数の理論の続きです。

Bjoken-Drellのテキスト"Mechanics"の第７章:apprications(応用)

に入ります。

まず,最初は電子のCoulomb散乱の計算ですが,これはここまでの

理論の応用の原点ですね。

§7.1 Coulomb Scattering of Electrons(電子のCoulomb散乱)

　固定されたCoulombポテンシャルによる電子の散乱過程に対する

　遷移行列(transition-matrix＝Ｓ-matrix)の要素を求めます。

　既に得た知見によれば,これは,

　Ｓ_fi＝－iｅ∫ｄ⁴ｘψ_f~(ｘ)Ａ(ｘ)Ψ_i(ｘ) (ｆ≠ｉ);

　Ａ(ｘ)≡γ_μＡ^μ(ｘ) で与えられます。

　ただし,Ａ^μ(ｘ)は電磁ポテンシャル,ｅ＜0 は電子の電荷です。

　最低次の近似では,Ψ_i(ｘ)は自由平面波:ψ_i(ｘ)に帰着します。

　この入射する自由平面波(spinor-波動関数)を,

　ψ_i(ｘ)≡{ｍ/(Ｅ_iＶ)}^1/2ｕ(ｐ_i,ｓ_i)exp(－iｐ_iｘ)

　とします。

ここでは,体積Ｖの箱の中に１個の電子があるという規格化を採用

しています。

　同様に,終状態の波動関数の共役を,

　ψ_f~(ｘ)≡{ｍ/(Ｅ_fＶ)}^1/2ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)exp(iｐ_fｘ)

　とします。

　Coulombポテンシャルは点電荷:－Ｚｅ＞0 に対するものとして,

　Ａ⁰(ｘ)＝Ａ₀(ｘ)＝－Ｚｅ/(4πε₀|ｒ|),Ａ(ｘ)＝0 とします。

　すると,最低次近似の遷移行列要素として,

　Ｓ_fi＝{iＺｅ²/(4πε₀Ｖ)}{ｍ²/(Ｅ_iＥ_f)}^1/2

ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)∫ｄ⁴ｘ[exp{i(ｐ_f－ｐ_i)ｘ}/|ｒ|]

　を得ます。

　右辺の積分のうち,時間成分のそれは,∫ｄｘ⁰exp{i(ｐ_f⁰－ｐ_i⁰)ｘ⁰}

　＝∫ｄｔexp{i(Ｅ_f－Ｅ_i)ｔ}＝2πδ(Ｅ_f－Ｅ_i)　です。

　この右辺のδ-関数は静電Coulombポテンシャルのもとでの始状態

　と終状態の間のエネルギーの保存を示しています。

　一方,空間積分は∫ｄ³ｒexp(－iｑｒ)/|ｒ|＝4π/|ｑ|²となります。

　ただし,ｑ≡ｐ_f－ｐ_iです。

　以上から,Ｓ_fi＝{iＺｅ²ｍ/(ε₀Ｖ)}(Ｅ_iＥ_f)^-1/2

[ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)/|ｑ|²]2πδ(Ｅ_f－Ｅ_i)

　なる式が得られます。

　ところで,終運動量区間:ｐ_f ～ ｐ_f＋ｄｐ_fの体積要素ｄ³ｐ_fに

　存在する自由電子の終状態の数は,Ｖｄ³ｐ_f/(2π)³です。

※(注11－1):つまり,Ｖを１辺がＬの立方体(Ｖ＝Ｌ³)とすると,周期的

　境界条件からｐ_k＝(2π/Ｌ)ｎ_k;ｎ_k＝0,±1,±2,..(ｋ＝1,2,3)

　ですが,ｄｐ_k＝(2π/Ｌ)ｄｎ_kなので,ｄ³ｐ＝(2π)³ｄ³ｎ/Ｖ

　と書けます。

　そこで,ｄ³ｎ＝Ｖｄ³ｐ/(2π)³と書けます。

　そして,ｄ³ｎの中には丁度ｄ³ｎ個の状態があるので,結局,

　要素ｄ³ｐにはＶｄ³ｐ/(2π)³個の状態が存在します。

(注11-1終わり)※

　そこで,これらの終状態全体への遷移確率は,

　 |Ｓ_fi|²Ｖｄ³ｐ_f/(2π)³

＝{Ｚ²(4πα)²ｍ²/(Ｅ_iＶ)}{|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²/|ｑ|⁴}

　 ｄ³ｐ_f/{(2π)³Ｅ_f}[2πδ(Ｅ_f－Ｅ_i)]²で与えられます。

　ここで,微細構造定数(structure constant):

  α≡ｅ²/(4πε₀)～ 1/137 を用いました。

　右辺最後のエネルギーのδ-関数の平方因子の扱いについては,

　幾つかの説明が必要です。

　まず,仮に与えられた時間区間:(－Ｔ/2,Ｔ/2)の中での遷移を考え

　ている場合,エネルギーδ-関数はぼやけると思われます。

　すなわち,2πδ(Ｅ_f－Ｅ_i) → ∫_-T/2^T/2ｄｔexp{i(Ｅ_f－Ｅ_i)ｔ}

　＝[－exp{i(Ｅ_f－Ｅ_i)ｔ}/{i(Ｅ_f－Ｅ_i)}] _-T/2^T/2p

　＝2sin{Ｔ(Ｅ_f－Ｅ_i)/2}/(Ｅ_f－Ｅ_i)

  となります。

　そして,2π∫_-∞^∞[2sin{Ｔ(Ｅ_f－Ｅ_i)/2}/(Ｅ_f－Ｅ_i)]

　δ(Ｅ_f－Ｅ_i)]ｄＥ_f＝2πＴより,[2πδ(Ｅ_f－Ｅ_i)]²

＝2πδ(0)δ(Ｅ_f－Ｅ_i)] → 2πＴδ(Ｅ_f－Ｅ_i)　です。

　あるいは,単に無限の過去から無限の未来までの遷移時間をＴと

　して2πδ(0)＝Ｔ　とします。

　これを見るための発見的方法は,

　2πδ(Ｅ_f－Ｅ_i)＝lim _T→∞∫_-T/2^T/2ｄｔexp{i(Ｅ_f－Ｅ_i)ｔ}から,

　2πδ(0)＝lim _T→∞∫_-T/2^T/2ｄｔ＝lim _T→∞Ｔと書くことです。

さて,遷移確率:|Ｓ_fi|²Ｖｄ³ｐ_f/(2π)³を時間Ｔで割ると,

ｄ³ｐ_fへの"単位時間当たりの遷移数＝遷移率(transition rate)"

Ｒが得られます。

この値は,Ｒ＝{4Ｚ²α²ｍ²/(Ｅ_iＶ)}

{|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²/|ｑ|⁴}(ｄ³ｐ_f/Ｅ_f)δ(Ｅ_f－Ｅ_i)

となります。

散乱の断面積は,この遷移率を入射粒子の流束:

Ｊ_inc^a(ｘ)＝ψ_i~(ｘ)γ^aψ_i(ｘ)で割ったもので定義されます。

ただし,添字ａは入射速度ｖ_i＝β_i＝ｐ_i/Ｅ_iに沿うベクトル成分

を示します。

ψ_i(ｘ)≡{ｍ/(Ｅ_iＶ)}^1/2ｕ(ｐ_i,ｓ_i)exp(－iｐ_iｘ)で採用している

のと同じ規格化から,|Ｊ_inc|＝|ｖ_i|/Ｖです。

※(注11-2):何故なら,

　ｖ_i＝＜ｖ_i＞＝＜ｃα＞＝∫_Vψ_i⁺αψ_iｄ³ｒ＝Ｊ_incＶ

　であるからです。

　これは,密度ψ_i⁺αψ_iが位置ｒに独立であって,

　∫_Vψ_i⁺ψ_iｄ³ｒ＝1と規格化されているからです。

　それ故,|Ｊ_inc|＝|ｖ_i|/Ｖです。

(注11-2終わり)※

　微分断面積ｄσ/ｄΩは,

　(単位時間に単位立体角当たりに散乱される粒子数)

　を(単位時間に単位面積当たりを通過する入射粒子数)

　で除した値与えられます。

ρ≡1/Ｖが数密度なので,|Ｊ_inc|＝|ｖ_i|/Ｖ＝ρ|ｖ_i|は入射向き

に垂直な単位面積当たりを通過する入射粒子数です。

一方,Ｒはその流束に対してｄ³ｐ_f＝ｐ_f²ｄｐ_fｄΩの領域に単位時間

に散乱される粒子数に等しいため,

ｄσ/ｄΩ＝∫Ｒ(ｐ_f²ｄｐ_f/ｄ³ｐ_f)/|Ｊ_inc|

となります。

したがって,

ｄσ/ｄΩ＝∫{4Ｚ²α²ｍ²/(Ｅ_i|ｖ_i|)}

{|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²/|ｑ|⁴}(ｐ_f²ｄｐ_f/Ｅ_f)δ(Ｅ_f－Ｅ_i)

です。

ところが,Ｅ_f²＝ｐ_f²＋ｍ²よりＥ_fｄＥ_f＝ｐ_fｄｐ_f;ｐ_f＝|ｐ_f|です。

さらに,因子δ(Ｅ_f－Ｅ_i)の存在によってＥ_i＝Ｅ_f,

ｐ_f＝ｐ_i＝|ｐ_i|＝|ｖ_i|Ｅ_iですから,

ｐ_f²ｄｐ_f/(Ｅ_fＥ_i|ｖ_i|)＝ｄＥ_f を得ます。

　それ故,途中経過式:

　ｄσ/ｄΩ＝(4Ｚ²α²ｍ²/|ｑ|⁴)|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²

が得られました。

　しかし,一般に観測者は入射粒子の偏極(spin or polarization)を

　知らないし終粒子の偏極を観測することもしません。

　もしも初期粒子が明確な偏極を有するなら,それには必ず適切な理由

　があります。

　β-崩壊による偏極電子のケースのように実験者が必ずその理由を

　見つけるはずです。

　そうした特殊なスピン情報が無い場合には,異なる初期偏極の個々

　の状態に等しい先験的確率を割り当てます。

　これらは,実際の断面積においては終状態のスピンについては総和

　となり,始状態のスピンについて平均となることを意味します。

　すなわち,一般的な実験で評価される量としては,

　ｄσ/ｄΩ

　＝(2Ｚ²α²ｍ²/|ｑ|⁴)Σ_±sf,±si|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²

です。

　ところが,Σ_±sf,±si|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²

＝Σ_±sf,±siΣ_α,βΣ_λ,δ,σ[ｕ~_α(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰_αβｕ_β(ｐ_i,ｓ_i)]

　[ｕ⁺_λ(ｐ_i,ｓ_i)γ⁰⁺_λδγ⁰⁺_δσｕ_σ(ｐ_f,ｓ_f)]

　と表現されます。

　一般に,4×4行列Γに対してΓ~をΓ~≡γ⁰Γ⁺γ⁰で定義すると,

　|ｕ~(ｆ)Γｕ(ｉ)|²＝[ｕ~(ｆ)Γｕ(ｉ)][ｕ~(ｉ)Γ~ｕ(ｆ)]

　です。

　そして,特にγ^μ~≡γ⁰γ^μ+γ⁰＝γ^μ,(iγ⁵)~＝iγ⁵,

　(γ^μγ⁵)~＝γ^μγ⁵です。

実際,Σ_±sf,±siΣ_α,βΣ_λ,δ,σ[ｕ~_α(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰_αβｕ_β(ｐ_i,ｓ_i)]

[ｕ⁺_λ(ｐ_i,ｓ_i)γ⁰⁺_λδγ⁰⁺_δσｕ_σ(ｐ_f,ｓ_f)]は変形されます。

Σ_±sf,±siΣ_α,βΣ_λ,σ[ｕ~_α(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰_αβｕ_β(ｐ_i,ｓ_i)]

[ｕ~_λ(ｐ_i,ｓ_i)γ⁰~_λσｕ_σ(ｐ_f,ｓ_f)]であり,かつγ⁰~＝γ⁰です。

そして,Σ_±siｕ_β(ｐ_i,ｓ_i)ｕ~_λ(ｐ_i,ｓ_i)

＝Σ_r=1²ε_rｗ^(r)_β(ｐ_i)ｗ^(r)~_λ(ｐ_i)　とも書けます。

ｒ＝1,2 に対しては,

Λ₊(ｐ_i)ｗ^(r)(ｐ_i)＝(γ^μｐ_iμ＋ｍ)ｗ^(r)(ｐ_i)/(2ｍ)

＝ｗ^(r)(ｐ_i),

ｒ＝3,4 に対しては,

Λ₊(ｐ_i)ｗ^(r)(ｐ_i)＝(γ^μｐ_iμ＋ｍ)ｗ^(r)(ｐ_i)＝0

です。

そこで,ｗ^(r)+(ｐ_i)(γ^μ+ｐ_iμ＋ｍ)/(2ｍ)＝ｗ^(r)+(ｐ_i) (ｒ＝1,2),

かつ,ｗ^(r)+(ｐ_i)(γ^μ+ｐ_iμ＋ｍ)/(2ｍ)＝0 (ｒ＝3,4) です。

ところが,γ^μ+γ⁰＝γ⁰γ^μなので,これは,

ｗ^(r)~(ｐ_i)(γ^μｐ_iμ＋ｍ)/(2ｍ)＝ｗ^(r)~(ｐ_i)(ｒ＝1,2),

かつ,ｗ^(r)~(ｐ_i)(γ^μｐ_iμ＋ｍ)/(2ｍ)＝0 と変形されます。

γ^μｐ_μをｐと略記すると,

ｗ^(r)~_σ(ｐ_i)(ｐ_i＋ｍ)_σλ/(2ｍ)＝ｗ^(r)~_λ(ｐ_i) (ｒ＝1,2),

かつ,ｗ^(r)~_σ(ｐ_i)(ｐ_i＋ｍ)_σλ/(2ｍ)＝0 (ｒ＝3,4)

です。

そこで,Σ_±siｕ_β(ｐ_i,ｓ_i)ｕ~_λ(ｐ_i,ｓ_i)

＝Σ_r=1²ε_rｗ^(r)_β(ｐ_i)ｗ^(r)~_λ(ｐ_i)

＝Σ_r=1⁴Σ_σ=1⁴ε_rｗ^(r)_β(ｐ_i)ｗ^(r)~_σ(ｐ_i)(ｐ_i＋ｍ)_σλ/(2ｍ)

です。

故に,Σ_r=1⁴ε_rｗ^(r)_α(ｐ)ｗ^(r)~_β(ｐ)＝δ_αβより,

Σ_±siｕ_β(ｐ_i,ｓ_i)ｕ~_λ(ｐ_i,ｓ_i)

＝Σ_σ=1⁴δ_βσ(ｐ_i＋ｍ)_σλ/(2ｍ)

＝(ｐ_i＋ｍ)_βλ/(2ｍ)

を得ます。

それ故,Σ_±sf,±si|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²

＝Σ_±sf,±siΣ_α,βΣ_λ,σ[ｕ~_α(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰_αβｕ_β(ｐ_i,ｓ_i)]

[ｕ⁺_λ(ｐ_i,ｓ_i)γ⁰_λσｕ_σ(ｐ_f,ｓ_f)]

＝Σ_±sfΣ_α,ββΣ_λ,σ[ｕ~_α(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰_αβ(ｐ_i＋ｍ)_βλ

γ⁰_λσｕ_σ(ｐ_f,ｓ_f)]/(2ｍ)　です。

さらに,Σ_±sf,±si|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²

＝Σ_±sfΣ_α,σ[ｕ~_α(ｐ_f,ｓ_f){γ⁰(ｐ_i＋ｍ)γ⁰}_ασ

ｕ_σ(ｐ_f,ｓ_f)]/(2ｍ)

＝[Σ_α,σ{γ⁰(ｐ_i＋ｍ)γ⁰}_ασ(ｐ_i＋ｍ)_σα]/(4ｍ²)

を得ます。

何故なら,Σ_±sfｕ_σ(ｐ_f,ｓ_f)ｕ~_α(ｐ_f,ｓ_f)

＝Σ_r=1⁴Σ_λ=1⁴ε_rｗ^(r)_σ(ｐ_f)ｗ^(r)~_λ(ｐ_f)(ｐ_f＋ｍ)_λα/(2ｍ)

＝(ｐ_i＋ｍ)_σα/(2ｍ) となるからです。

そして,Σ_α,σ{γ⁰(ｐ_i＋ｍ)γ⁰}_ασ(ｐ_f＋ｍ)_σα]

＝Ｔr[γ⁰(ｐ_i＋ｍ)γ⁰(ｐ_f＋ｍ)](trace:トレース(跡＝対角和))

ですから,

結局,

ｄσ/ｄΩ＝{Ｚ²α²/(2|ｑ|⁴)Ｔr[γ⁰(ｐ_i＋ｍ)γ⁰(ｐ_f＋ｍ)]

です。 

§7.2 Some Trace Theorem;the Spin-averaged Coulomb Cross section(幾つかのトレース定理;スピンで平均化した散乱断面積)

前節の最後に得られた微分断面積のトレース因子は,

Ｔr[γ⁰(ｐ_i＋ｍ)γ⁰(ｐ_f＋ｍ)]

＝Ｔr(γ⁰ｐ_iγ⁰ｐ_f)＋ｍ²Ｔr(γ⁰)²と分割できますが,公式に

よって,(γ⁰)²＝１であり,Ｔr(γ⁰ｐ_iγ⁰ｐ_f)＝8Ｅ_iＥ_f－4ｐ_iｐ_f

です。

したがって,ｄσ/ｄΩ＝{Ｚ²α²/(2|ｑ|⁴)(8Ｅ_iＥ_f－4ｐ_iｐ_f＋4ｍ²)

＝{Ｚ²α²Ｅ²/(4|ｑ|⁴)}{１－β²sin²(θ/2)}　です。

すなわち,電子のCoulomb散乱の微分断面積の最低次の式として,

ｄσ/ｄΩ＝＝{Ｚ²α²/(4|ｐ|²β²sin⁴(θ/2))}{１－β²sin²(θ/2)}

が得られました。

(↑※これは,"Mottの散乱公式"と呼ばれているらしいです。)

※(注11-3):何故なら,Ｅ≡Ｅ_i＝Ｅ_f,ｐ≡ｐ_i,ｐ_iｐ_f≡ｐ²cosθ

　とおくと,ｐ_iｐ_f＝Ｅ_iＥ_f－ｐ_iｐ_f＝Ｅ²－ｐ²cosθ

　＝ｍ²＋ｐ²(1－cosθ)＝ｍ²＋2ｐ²sin²(θ/2)　であり,

　8Ｅ_iＥ_f－4ｐ_iｐ_f＋4ｍ²＝8{Ｅ²－ｐ²sin²(θ/2)}

　＝8Ｅ²{１－β²sin²(θ/2)},Ｅ²＝ｐ²/β²,|ｑ|²

＝(ｐ_f－ｐ_i)²＝2ｐ²(1－cosθ)＝4ｐ²sin²(θ/2)

　となるからです。

(注11-3終わり)※　

※(付録):γ行列,主としてそのトレースの公式集です。

　まず,任意の４元ベクトルａ^μに対し,γ_μａ^μ≡Σ_μ=0³(γ_μａ^μ)

　をイタリック体でａと書きます。

[性質1] 奇数個のγ行列のトレースはゼロである。

(証明)まず,γ₅²＝１です。

　そこでａ₁..ａ_n＝ａ₁..ａ_nγ₅γ₅です。

　よって,Ｔr(ａ₁..ａ_n)＝Ｔr(ａ₁..ａ_nγ₅γ₅)

　＝Ｔr(γ₅ａ₁..ａ_nγ₅)です。

　γ₅γ_μ＝－γ_μγ₅よりγ₅ａ＝－ａγ₅なので,

　Ｔr(ａ₁..ａ_nγ₅γ₅)＝(－1)ⁿＴr(γ₅ａ₁..ａ_nγ₅)です。

　それ故,ｎが奇数なら,Ｔr(ａ₁..ａ_n)＝－Ｔr(ａ₁..ａ_n)より

　Ｔr(ａ₁..ａ_n)＝0 です。(証明終わり)

[性質2] Ｔr１＝4である。 ← これは明らかです。

[性質3] Ｔr(ａｂ)＝4ａｂである。

(証明):Ｔr(ａｂ)＝Ｔr(γ_μγ_νａ^μｂ^ν)＝ａ^μｂ^νＴr(γ_μγ_ν)

　＝ａ^μｂ^νＴr(γ_νγ_μ)＝Ｔr(ｂａ)です。

　故に,Ｔr(ａｂ)＝(1/2)Ｔr(ａｂ＋ｂａ)

　＝(1/2)ａ^μｂ^νＴr(γ_μγ_ν＋γ_νγ_μ)＝ａ^μｂ^νＴr(ｇ_μν１)

　＝4ａｂです。(証明終わり)

[性質4] Ｔr(ａ₁..ａ_n)

　＝ａ₁ａ₂Ｔr(ａ₃..ａ_n)－ａ₁ａ₃Ｔr(ａ₂ａ₄..ａ_n)＋..

　＋ａ₁ａ_nＴr(ａ₂..ａ_n-1)である。

　特に,Ｔr(ａ₁ａ₂ａ₃ａ₄)

　＝4(ａ₁ａ₂ａ₃ａ₄＋ａ₁ａ₄ａ₂ａ₃－ａ₁ａ₃ａ₂ａ₄) である。

(証明):ａ₁ａ₂＝γ_μγ_νａ₁^μａ₂^ν＝ａ₁^μａ₂^ν(2ｇ_μν－γ_νγ_μ)

＝2ａ₁ａ₂－ａ₂ａ₁です。

　故に,Ｔr(ａ₁..ａ_n)

＝2ａ₁ａ₂Ｔr(ａ₃..ａ_n)－Ｔr(ａ₂ａ₁ａ₃..ａ_n)と書けます。

　この過程を続けると,Ｔr(ａ₁..ａ_n)

＝2ａ₁ａ₂Ｔr(ａ₃..ａ_n)－2ａ₁ａ₃Ｔr(ａ₂ａ₄..ａ_n)＋..

＋2ａ₁ａ_nＴr(ａ₂..ａ_n-1)－Ｔr(ａ₂..ａ_nａ₁) が得られます。

　しかし,Ｔr(ａ₂..ａ_nａ₁)＝Ｔr(ａ₁..ａ_n)なので,

Ｔr(ａ₁..ａ_n)＝ａ₁ａ₂Ｔr(ａ₃..ａ_n)－ａ₁ａ₃Ｔr(ａ₂ａ₄..ａ_n)＋..

＋ａ₁ａ_nＴr(ａ₂..ａ_n-1)です。(証明終わり)

[性質5] (ⅰ)Ｔrγ₅＝0 ,(ⅱ)Ｔr(γ₅ａｂ)＝0 ,

(ⅲ)Ｔr(γ₅ａｂｃｄ)＝4iε_αβγδａ^αｂ^βｃ^γｄ^δ である。

　ただし,ε_αβγδ;α,β,γ,δ＝0,1,2,3 は,４つの添字のうち

２つ以上が同じならゼロ,また,順列:(α,β,γ,δ)が(0,1,2,3),

およびその偶置換なら＋1,奇置換なら－1を取る符号を示す。

(証明):(ⅰ):γ₅＝iγ⁰γ¹γ²γ³です。

Ｔr(γ⁰γ¹γ²γ³)＝Ｔr(γ³γ⁰γ¹γ²) です。

　ところが,γ³γ⁰γ¹γ²＝－γ⁰γ³γ¹γ²＝γ⁰γ¹γ³γ²

   ＝－γ⁰γ¹γ²γ³です。よってＴrγ₅＝0 です。

(ⅱ):γ₅γ^μγ^νはμ＝νのときはγ₅γ^μγ^ν＝±γ₅なので,

  Ｔr(γ₅γ^μγ^ν)＝0 です。

　他方,μ≠νのときは,例えばγ₅γ⁰γ¹ならγ₅＝iγ⁰γ¹γ²γ³

  よりγ₅γ⁰γ¹＝±iγ²γ³ですが.γ³γ²＝－γ²γ³より,

  Ｔr(γ²γ³)＝Ｔr(γ³γ²)＝0 ですから,Ｔr(γ₅γ⁰γ¹)＝0

  です。

　よって,一般にＴr(γ₅ａｂ)＝0 です。

(ⅲ):γ₅γ_αγ_βγ_γγ_δは,添字α,β,γ,δのうち２つが等しいとき

例えばα＝βならγ_αγ_βγ_γγ_δ＝±γ_γγ_δです。

　ところが,(ⅱ)によってＴr(γ₅γ_γγ_δ)＝0　なので,結局,添字

　α,β,γ,δのうちの２つが等しいときには,

　Ｔr(γ₅γ_αγ_βγ_γγ_δ)＝0　と結論されます。

　一方,γ₅＝iγ⁰γ¹γ²γ³＝－iγ₀γ₁γ₂γ₃ なので,

　γ₅γ₀γ₁γ₂γ₃＝＋i１ですから,Ｔr(γ₅γ₀γ₁γ₂γ₃)＝4ｉ

  です。

　そして,添字α,β,γ,δが全て異なる行列積:γ_αγ_βγ_γγ_δ

を考えると,"添字の２つを交換する置換＝互換"ごとに,

　γ_αγ_βγ_γγ_δは符号を変えます。

　そこで,γ_αγ_βγ_γγ_δ＝ε_αβγδγ₀γ₁γ₂γ₃です。

　故にＴr(γ₅γ_αγ_βγ_γγ_δγ₀γ₁γ₂γ₃)

　＝ε_αβγδＴr(γ₀γ₁γ₂γ₃)＝4ｉε_αβγδ

となります。

　したがって,Ｔr(γ₅ａｂｃｄ)＝4iε_αβγδａ^αｂ^βｃ^γｄ^δです。

　(証明終わり)　

[性質6] (ⅰ)γ_μγ^μ＝4・１,(ⅱ)γ_μａγ^μ＝－2ａ,

　(ⅲ)γ_μａｂγ^μ＝(4ａｂ)１,(ⅳ)γ_μａｂｃγ^μ＝－2ｃｂａ,

　(ⅴ)γ_μａｂｃｄγ^μ＝2(ｄａｂｃ＋ｃｂａｄ)　である。

(証明):(ⅰ):γ_μγ^ν＋γ^νγ_μ＝ｇ^νλ(γ_μγ_λ＋γ_λγ_μ)

　＝2ｇ^νλｇ_μλ＝2ｇ^ν_μ１です。

　故に,γ_μγ^μ＝ｇ^μ_μ１＝4・１　です。

(ⅱ):γ_μａγ^μ＝γ_μγ^νγ^μａ_ν＝γ_μａ_ν(2ｇ^μν－γ^μγ^ν)

　＝2ａ－γ_μγ^μａ＝－2ａ　です。

(ⅲ):γ_μａｂγ^μ＝γ_μγ_νγ^λγ^μａ^νｂ_λ

＝(2ｇ_μν－γ_νγ_μ)(2ｇ^λμ－γ^μγ^λ)ａ^νｂ_λ

です。

　よって,4ｇ^λ_νａ^νｂ_λ－2(γ_νγ^λ＋γ_νγ^λ)ａ^νｂ_λ

＋γ_νγ_μγ^μγ^λａ^νｂ_λ＝(4ａｂ)１－4ａｂ＋4ａｂ

　＝(4ａｂ)１　が得られます。

(ⅳ):(ⅲ)より,(4ａｂ)１＝γ_μａｂγ^μ＝γ_μａｂ_λγ^λγ^μ

＝γ_μａｂ_λ(2ｇ^λμ－γ^μγ^λ)＝2ｂａ＋2ａｂ,

　すなわち(2ａｂ)１＝ａｂ＋ｂａ　を得ます。

　それ故,γ_μａｂｃγ^μ＝γ_μａｂγ^σγ^μｃ_σ

＝2ｃａｂ－γ_μａｂγ^μｃ＝2ｃａｂ－(4ａｂ)ｃ

　＝2ｃ{(4ａｂ)１－2ｂａ}－(4ａｂ)ｃ＝－2ｃｂａ

　です。

(ⅴ):γ_μａｂｃｄγ^μ＝γ_μａｂｃγ^σγ^μｄ_σ

＝2ｄａｂｃ－γ_μａｂｃγ^μｄ＝2ｄａｂｃ＋2ｃｂａｄ

　です。(証明終わり)

[性質7] Ｔr(ａ₁..ａ_2n)＝Ｔr(ａ_2n..ａ₁)　である。

(証明):任意のγ_μに対し,ある行列Ｃが存在して

　Ｃγ_μＣ^-1＝－γ_μ^Tが成立します。

(γ_μ^Tはγ_μの転置(transport);B-J.text.の表示ではＣ≡iγ₂γ₀)

　故に,Ｔr(ａ₁..ａ_2n)＝Ｔr(ａ₁..ａ_2nＣＣ^-1)

　＝Ｔr(Ｃａ₁..ａ_2nＣ^-1)＝Ｔr(Ｃａ₁Ｃ^-1..Ｃａ_2nＣ^-1)

　＝(－1)²ⁿＴr(ａ₁^T..ａ_2n^T)＝(－1)²ⁿＴr[(ａ_2n..ａ₁)^T]

　＝Ｔr(ａ_2n..ａ₁)です。　(証明終わり)

(付録終わり)※　

　今日はここまでです。

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell“Relativistic Quantum Mechanics”(McGraw-Hill)

PS:ワールドカップサッカー初戦,日本代表１－0 でカメルーンに勝利!!

　おめでとう。。シュート５本未満で１本入れた？？珍らしい。。