散乱の伝播関数の理論(12)(応用1-2)

　散乱の伝播関数の理論の続きです。

　ついでに陽電子のCoulomb散乱を手短かに書いておきます。

§7.3 Coulomb Scattering of Positrons(陽電子のCoulomb散乱)

　Coulombポテンシャルによる陽電子の散乱に対する遷移行列要素の

　計算は電子の散乱のそれに同様です。

まず,Ｓ_fi＝iｅ∫ｄ⁴ｘψ_f~(ｘ)Ａ(ｘ)Ψ_i(ｘ)(ｆ≠ｉ);

Ａ(ｘ)≡γ_μＡ^μ(ｘ)です。

ただしｅ＜0 は前と同じく電子の電荷です。

この場合,入射状態:Ψ_i(ｘ)は,未来にあって時間的に後退して運動

する(過去に向かって伝播する)４元運動量:－ｐ_fを持った負エネル

ギー電子と解釈します。(※負エネルギー電子の抜けた空孔は未来

へ伝播)

よって.最低次のΨ_i(ｘ)を示す自由平面波は,

ψ_i(ｘ)≡{ｍ/(Ｅ_fＶ)}^1/2ｖ(ｐ_f,ｓ_f)exp(＋iｐ_fｘ)

であるとします。

同様に,出て行く方の状態は過去へ伝播する負エネルギー状態です

から,ψ_f(ｘ)≡{ｍ/(Ｅ_iＶ)}^1/2ｖ(ｐ_i,ｓ_i)exp(＋iｐ_iｘ)です。

これは散乱前には,運動量:ｐ_iのとスピン偏極:ｓ_iを持っていた

"入射陽電子＝空孔(Hole)"を表わしています。

Coulombポテンシャル:Ａ⁰(ｘ)＝Ａ₀(ｘ)＝－Ｚｅ/(4πε₀|ｒ|),

Ａ(ｘ)＝0 を代入すると,

最低次では,

Ｓ_fi＝{－iＺｅ²/(4πε₀Ｖ)}{ｍ²/(Ｅ_iＥ_f)}^1/2

ｖ~(ｐ_i,ｓ_i)γ⁰ｖ(ｐ_f,ｓ_f)∫ｄ⁴ｘ[exp{i(ｐ_f－ｐ_i)ｘ}/|ｒ|]

なる式を得ます。

これから,Ｓ_fi＝{－iＺｅ²ｍ/(ε₀Ｖ)}(Ｅ_iＥ_f)^-1/2

[ｖ~(ｐ_i,ｓ_i)γ⁰ｖ(ｐ_f,ｓ_f)/|ｑ|²]2πδ(Ｅ_f－Ｅ_i)

です。

荷電共役不変性(charge conjugation invariance:

粒子-反粒子対称性)から,このオーダーでは計算は電子に対する

ものと,ほぼ同様です。

すなわち,最低次では,

Ｓ_fi ～ ＋iｅ∫ｄ⁴ｘψ_ci~(ｘ)Ａ(ｘ)ψ_cf(ｘ)

＝－iｅ∫ｄ⁴ｘψ_f^T(ｘ)Ｃ^^-1Ａ(ｘ)Ｃ^ψ_i~^T(ｘ)

＝＋iｅ∫ｄ⁴ｘψ_f~(ｘ)Ａ(ｘ)ψ_i(ｘ);

ψ_c(ｘ)＝Ｃγ⁰ψ⁺(ｘ)です。

そして,今採用しているBjorken-DrellのテキストのJガンマ行列の

表示では,Ｃ＝iγ²γ⁰＝－Ｃ^-1＝－Ｃ^Tです。

そこで,この近似での陽電子の散乱の微分断面積は,

ｄσ/ｄΩ＝(4Ｚ²α²ｍ²/|ｑ|⁴)|ｖ~(ｐ_i,ｓ_i)γ⁰ｖ(ｐ_f,ｓ_f)|²

です。

さらに終状態のスピンで総和し,始状態スピンで平均すると,

ｄσ/ｄΩ＝(2Ｚ²α²ｍ²/|ｑ|⁴)Σ_±sf,±si|

ｖ~(ｐ_i,ｓ_i)γ⁰ｖ(ｐ_f,ｓ_f)|²

＝{Ｚ²α²/(2|ｑ|⁴)Ｔr[γ⁰(ｐ_f－ｍ)γ⁰(ｐ_i－ｍ)]

です。

結局,陽電子散乱は電子散乱の式:

ｄσ/ｄΩ＝{Ｚ²α²/(2|ｑ|⁴)Ｔr[γ⁰(ｐ_i＋ｍ)γ⁰(ｐ_f＋ｍ)]

でｍを－ｍにしたものに一致します。

したがって,散乱の微分断面積は電子と全く同じで,

ｄσ/ｄΩ＝{Ｚ²α²/(4Ｅ²|ｑ|⁴)}{１－β²sin²(θ/2)}

＝{Ｚ²α²/(4|ｐ|²β²²sin⁴(θ/2))}{１－β²sin²(θ/2)}

です。

最低次での散乱は静電Coulombポテンシャルが引力であるか斥力

であるかには無関係であることがわかります。

ところが,上図7.2の電子の散乱diagramsのように,もしも左の１次

(最低次)のdiagramに加えて,右の２次のdiagramの寄与をも考慮し

たときには,

Ｓ_fi への１次の項が電荷に比例するのに対し,２次の項は電荷の

２乗に比例するため,１次の項に対する２次の項の相対的符号は,

電子と陽電子では反対になります。

そして,各々の散乱の微分断面積は,

Ｒ＝|Ｓ_fi|²Ｖｄ³ｐ_f/{(2π)³Ｔ}に比例しますが,その因子:

|Ｓ_fi|²のＳ_fi は１次の寄与と２次の寄与の和として出現する

ため,高次近似まで考慮すると,"結果が,引力であるか斥力で

あるかに無関係"という命題は正しくありません。

※(注12-2):Ｓ_fi^電子＝(－i)(ｅＡ＋ｅ²Ｂ)＝－iｅ(Ａ＋ｅＢ),

Ｓ_fi^陽電子＝(－i){－ｅＡ＋(－ｅ)²Ｂ}＝iｅ(Ａ－ｅＢ)(ｅ＜0)

であれば,|Ｓ_fi|²＝Ｓ_fi^＊Ｓ_fiなので２次まで考慮すると一致

しません。

Ｓ行列のユニタリ性の議論からも,Ｓ_fiはＳ_fi＝δ_fi＋iＴ_fi,

Ｔ_fi はHermite(実数)なる形と推論されます。(注12-1終わり)※

しかし,任意のFeynman-diagramの寄与の計算おいて,電子と陽電子

の間でｐ_i⇔－ｐ_f とすればいいという簡単な置換ルールがあります。

これは,ここまで展開してきた伝播関数理論と密接に結びついて

います。

今日はここまでにします。

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell"Relativistic Quantum Mechanics"(McGrawHill)

PS:今日(６/15)も夜は手話講習会に行ってきました。

手話は,ただ聴いて(見て)いるだけでは身に付かないので,毎回教室

の生徒全員が順に皆の前であいさつ,自分の名前とか家族構成,生年

月日,出身地,身長などを身振り,手振りでやらされるのですが。。

私は,何故か人一倍覚えが悪くて仕草も滑稽で下手なせいなのか？

このごろは順番がまわって出る直前から,かなり失笑が湧いて。。

イヤ楽しいですネ,笑われるのは。。。

(休み時間に大笑いしたコに謝られました？？)

別に笑いを取ろうとしているのでなく,手話なのでシャベルわけ

でもなく,恐らく天然らしいのですがネ。。