散乱の伝播関数の理論(13)(応用2-1)

　散乱の伝播関数の理論の続きです。

　今度の例は電子の自由陽子による散乱です。

§7.4 Electron Scattering from a Dirac Proton

　　(Dirac陽子による電子の散乱)

今度は固定されたCoulomb場の代わりに,自由でliveな陽子による

電子の散乱を考察します。(ただし,陽子は内部構造のないDirac

粒子と仮定します。)

　結果は,Coulomb散乱からどのように変わるでしょうか？ 

陽子による４元電流Ｊ^μ(ｘ)がわかれば,Maxwellの方程式から電流

によって生じる電磁場Ａ^μ(ｘ)が計算できます。

このＡ^μ(ｘ)をＳ_fi＝－iｅ∫ｄ⁴ｘψ_f~(ｘ)Ａ(ｘ)Ψ_i(ｘ)(ｆ≠ｉ);

Ａ(ｘ)≡γ_μＡ^μ(ｘ)(ｅ＜0:電子電荷)に代入すれば,

前のCoulomb場による散乱と同じく,Ｓ_fiは場により散乱される電子

の振幅を与えます。

これから,前の手順に習って直線的にαの最低次の遷移率や散乱

断面積を得ることができます。

さて,第一段階は陽子電流によって生じる電磁場Ａ^μ(ｘ)を見出す

ことです。

古典論と違って量子論ではゲージ(gauge)選択についてデリケート

な問題がありますが,計算上はゲージ不変であることに間違いない

ので細かい事を考えずに謂ゆるLorenzゲージの方程式を想定します。

すると,電磁ポテンシャルＡ^μは方程式:□Ａ^μ(ｘ)＝Ｊ^μ(ｘ)/ε₀

から求めることができます。

ただし,□は"d'Alemdertianと呼ばれる微分演算子"です。

これは,□≡∂_μ∂^μ＝∂²/∂t²－∇² で定義されます。

　電子のDirac方程式に対して伝播関数(Feynman propagator):

　Ｓ_F(ｘ－ｙ)を導入したのと同様,

　□Ａ^μ(ｘ)＝Ｊ^μ(ｘ)/ε₀を積分して電磁場Ａ^μを得るため,

　Green関数,または伝播関数:Ｄ_F(ｘ－ｙ)を導入します。

これは,□Ｄ_F(ｘ－ｙ)＝δ⁴(ｘ－ｙ)を満たす関数と定義されます。

そこで,Ｄ_F(ｘ－ｙ)がFourier積分表示:

Ｄ_F(ｘ－ｙ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｑ exp{－iｑ(ｘ－ｙ)}Ｄ_F(ｑ²)

を持つとすると,

Ｄ_F(ｑ²)はｑ²≠0 ならＤ_F(ｑ²)＝－1/ｑ²

で与えられます。

Fermi粒子の伝播関数の場合のように,Ｄ_F(ｑ²)の極ｑ²＝0 において,

何が生じるか？を決める必要があります。

今までの伝播関数の論議からのアナロジーで,

Ｄ_F(ｑ²)＝－1/ｑ²の分母のｑ²に無限小の正の虚部を加えて,

Ｄ_F(ｑ²)≡－1/(ｑ²＋iε)と置けば,

Ｄ_F(ｘ－ｙ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｑ exp{－iｑ(ｘ－ｙ)}[－1/(ｑ²＋iε)]

なる式により,正振動数,or 正エネルギーの電磁波が未来に伝播する

ことが保証されます。

※(注13-1):Ｄ_F(ｘ－ｙ)

　＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｑ exp{－iｑ(ｘ－ｙ)} [－1/(ｑ²＋iε)]

　＝－[(2π)^-3∫ｄ³ｑ exp{iｑ(ｘ－ｙ)}]

×(2π)^-1∫ｄＥ exp{－iＥ(ｘ⁰－ｙ⁰)}/[Ｅ²－{|ｑ|－iε/(2|ｑ|)}²]

　です。

そこで,ｘ⁰－ｙ⁰＞0 なら,Ｄ_F(ｘ－ｙ)＝－i(2π)^-3

∫ｄ³ｑ exp{iｑ(ｘ－ｙ)－i|ｑ|(ｘ⁰－ｙ⁰)}(2|ｑ|)^-1],

ｘ⁰－ｙ⁰＜0 なら,Ｄ_F(ｘ－ｙ)＝i(2π)^-3

∫ｄ³ｑ exp{iｑ(ｘ－ｙ)＋i|ｑ|(ｘ⁰－ｙ⁰)}(－2|ｑ|)^-1]

となるからです。

(注13-1終わり)※

　物質の輻射(光＝電磁波)の散乱を考える場合,恐らく泡箱を通過

　するときのこの光の屈折を考える際には,正エネルギー量子を表示

　する正振動数の波は負振動数の波を伴なわずに出現します。

　それ故,電磁波のFeynman伝播関数は,確かにＤ_F(ｘ－ｙ)

　＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｑ exp{－iｑ(ｘ－ｙ)}[－1/(ｑ²＋iε)]

　で与えられ,

　電磁ポテンシャルに対する D'Alembert方程式:

　□Ａ^μ(ｘ)＝Ｊ^μ(ｘ)/ε₀の解は,

　Ａ^μ(ｘ)＝ε₀^-1∫ｄ⁴ｙＤ_F(ｘ－ｙ)Ｊ^μ(ｙ)

　です。

　これをＳ_fi＝－iｅ∫ｄ⁴ｘψ_f~(ｘ)Ａ(ｘ)Ψ_i(ｘ)に代入すると,

　Ｓ_fi＝－iε₀^-1∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙ{ｅψ_f~(ｘ)γ_μΨ_i(ｘ)}

　Ｄ_F(ｘ－ｙ)Ｊ^μ(ｙ)　となります。

　そして,当面問題となるのは陽子の電流,または電磁カレント:

　Ｊ^μ(ｙ)として何を選ぶのか?ということです。

　これは対応原理によって陽子の遷移流という選択,つまり,

　Ｊ^μ(ｙ)＝ｅ_pψ^p_f~(ｙ)γ^μψ^p_i(ｙ)なる選択が適切と

　思われます。

　ｅ_pは陽子の電荷ですがこれはｅ_p＝－ｅ＞ 0 であり,ψ^p_i(ｙ),

　および,ψ^p_f(ｙ)はそれぞれ始状態,および終状態の陽子の平面波

　の解です。

※(注13-2):一般に,電荷ｅを持つ粒子のψという状態での電荷-電流

　の期待値は,

　＜ｅγ⁰γ^μ＞_AV≡＜ｅψ~γ^μψ＞

　＝∫ｄ³ｒｅψ~(ｘ)γ^μψ(ｘ)で与えられるため,

　電荷密度-電流密度＝電磁カレントは,ｅψ~(ｘ)γ^μψ(ｘ)で

　与えられます。

そこでｅ_pψ^p_f~(ｘ)γ^μψ^p_i(ｘ)なる２次形式も電磁カレントの形態

を取っていて,電磁カレントとしてのｉ→ｆの遷移振幅に電荷ｅ_pを

掛けたものとなっています。

すなわち相互作用の後にψ_fとなる確率の流れの振幅と解釈します。

(注13-2終わり)※

この選択を採用すれば,

Ｊ^μ(ｙ)＝－(ｅ/Ｖ){Ｍ²/(Ｅ^p_iＥ^p_f)}^1/2exp{i(Ｐ_f－Ｐ_i)ｙ}

ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)γ^μｕ(Ｐ_i,Ｓ_i)です。

ただし,Ｍは陽子の質量,Ｐ_i,Ｐ_fは陽子の運動量です。

Ａ^μ(ｘ)＝ε₀^-1∫ｄ⁴ｙＤ_F(ｘ－ｙ)Ｊ^μ(ｙ)と,

Ｊ^μ(ｙ)＝ｅ_pψ^p_f~(ｙ)γ^μψ^p_i(ｙ)は,通常,

Dirac陽子のMöller(メラー)ポテンシャルと呼ばれているもの

を定義します。

非相対論的近似においては,Ａ^μ(ｘ)の源としてのカレントの遷移

行列要素の選択は,Heisenbergによって採用され,彼の行列力学に

よる原子の放射の計算において電子の遷移に適用されました。

さて,陽子カレントの形:

Ｊ^μ(ｙ)＝－(ｅ/Ｖ){Ｍ²/(Ｅ^p_iＥ^p_f)}^1/2exp{i(Ｐ_f－Ｐ_i)ｙ}}

ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)γ^μｕ(Ｐ_i,Ｓ_i)を,

Ｓ_fi＝－iε₀^-1∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙ{ｅψ_f~(ｘ)γ_μΨ_i(ｘ)}

Ｄ_F(ｘ－ｙ)Ｊ^μ(ｙ)　に代入します。

電子流は,ｅψ_f~(ｘ)γ_μΨ_i(ｘ)

＝(ｅ/Ｖ){ｍ²/(Ｅ_iＥ_f)}^1/2exp{i(ｐ_f－ｐ_i)ｘ}}

ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ_μｕ(ｐ_i,ｓ_i)なので,

Ｓ_fi＝－(iｅ²/ε₀Ｖ²)(2π)⁴δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i)

{ｍ²/(Ｅ_iＥ_f)}^1/2{Ｍ²/(Ｅ^p_iＥ^p_f)}^1/2

[ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ_μｕ(ｐ_i,ｓ_i)]{(ｐ_f－ｐ_i)²＋iε}^-1

[ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)γ^μｕ(Ｐ_i,Ｓ_i)]

を得ます。

結果式は運動量の電子変数と陽子変数が対称な形になっています。

陽子に内部構造が無いという仮定の下では,電子と陽子は電荷の

符号と質量以外はFermi粒子として全く同じなので,

結果的に対称形が得られたことは,上記の陽子カレントの選択:

Ｊ^μ(ｙ)＝ｅ_pψ^p_f~(ｙ)γ^μψ^p_i(ｙ)が妥当であったことを示唆

しています。

すなわち,逆に電子カレントによって生起された電磁場Ａ^μ(ｘ)に

よる陽子の散乱振幅に,同じ式:

Ｓ_fi＝－iｅ^p∫ｄ⁴ｘψ^p_f~(ｘ)Ａ(ｘ)Ψ^p_i(ｘ)を適用して,

陽子カレントの形についての上記推測を電子カレントに対して

行なえば同一の結果が得られるはずです。

さて,再掲すると,

Ｓ_fi＝－(iｅ²/ε₀Ｖ²)(2π)⁴δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i)

{ｍ²/(Ｅ_iＥ_f)}^1/2{Ｍ²/(Ｅ^p_iＥ^p_f)}^1/2

[ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ_μｕ(ｐ_i,ｓ_i)](ｑ²＋iε)^-1

[ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)γ^μｕ(Ｐ_i,Ｓ_i)]　です。

これをCoulomb散乱の,

Ｓ_fi＝{iＺｅ²ｍ/(ε₀Ｖ)}(Ｅ_iＥ_f)^-1/2

[ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)/|ｑ|²]2πδ(Ｅ_f－Ｅ_i)

と比較します。

ただし,ｑ＝ｐ_f－ｐ_i＝Ｐ_i－Ｐ_fです。

すると,両者の違いは,Coulom散乱での,Ｚγ⁰/|ｑ|²を,

－γ_μ(ｑ²＋iε)^-1{Ｍ²/(Ｅ^p_iＥ^p_f)}^1/2[ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)γ^μｕ(Ｐ_i,Ｓ_i)]

で,そして,１つの体積因子Ｖを運動量保存の因子:

(2π)³δ³(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i)で置き換えるという違いだけです。

結果式は,微細構造定数(structure constant):

α≡ｅ²/(4πε₀)～1/137 の最低次までの電子-陽子散乱振幅

を与えます。

ここで得た電子-陽子散乱の"振幅＝行列要素"で挿入された陽子

カレントには,平面波を歪める高次効果は無視されています。 

この近似描像は下図7.3のFeynman-diagramにうまく表現できます。

   

時間の正の向きを指す左側の実線矢印は電子を,また右側の太線は

陽子を表わし,真ん中の波線は電磁相互作用の影響を示しています。

すなわち,波線部分は運動量遷移(momentum-transfer):

ｑ＝ｐ_f－ｐ_i＝Ｐ_i－Ｐ_fの平方の逆数 or 運動量空間のd'Alemdertian

の逆:□^-1としてＳ行列要素の中に表現されています。

この波線は電子－陽子間に４元運動量:ｑ＝ｐ_f－ｐ_i＝Ｐ_i－Ｐ_fを

交換させる仮想光子(virtual photon)を表現していると考えられ

ます。

つまり,電子と陽子の２つのカレントの間を伝播する仮想光子の

振幅を,－(ｑ²＋iε)^-1と考えるのです。

こうしたFeynman diagramでは,"光子が入ったり出たりする点

＝頂点(vertex)"は,実の(仮想でない)入射,および散乱粒子を

表示する自由電子スピノル:(ｍ/Ｅ)^1/2ｕ(ｐ,ｓ)の２つのライン

に挟まれた因子:ｅγ^μを表現すると考えます。

このように,Diagramの各ラインとその交点にＳ行列要素の因子を

対応させていきます。

これをFeynman-ruleと呼びます。

行列要素:Ｓ_fiには,さらに,常に全てにわたるエネルギー・運動量

の保存を示す４次元のδ-関数因子が含まれています。

散乱断面積ｄσを計算するためには,|Ｓ_fi|²を相互作用時間Ｔと

相互作用領域の空間体積Ｖで割って単位体積当たりの遷移率を

求めます。

結局,単位体積当たりの遷移率は,

ｗ_fi≡|Ｓ_fi|²/(ＶＴ)

＝(2π)⁴δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i){ｍ²Ｍ²/(Ｅ_fＥ_iＥ^p_fＥ^p_i)}

Ｖ^-4|Ｍ_fi|²です。

ここに,Ｍ_fi≡[ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ_μｕ(ｐ_i,ｓ_i)]{ｅ²ε₀^-1/(ｑ²＋iε)}

[ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)γ^μｕ(Ｐ_i,Ｓ_i)]であり,

これはLorentz不変な行列要素です。

この要素は不変振幅(invariant amplitude)と呼ばれます。

ここで,遷移確率|Ｓ_fi|²に現われるδ関数の平方の扱いを,今までの

時間Ｔだけでなく空間体積Ｖも含むように拡張しました。

すなわち,[(2π)⁴δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i)]²

＝{2πδ(0)}⁴(2π)⁴δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i)

→ ＶＴ(2π)⁴δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i) です。

次に,この単位体積当たりの遷移率ｗ_fiを入射流束:|Ｊ_inc|,および,

単位体積当たりの標的粒子数:(1/Ｖ)で割ります。

最後に,物理的な断面積を得るため,物理過程を観測するための

実験室の状況に対応する電子と陽子の終状態の運動量区間:

ｐ_f～ ｐ_f＋ｄｐ_f と Ｐ_f～ Ｐ_f＋ｄＰ_f の間の要素:

ｄ³ｐ_f,ｄ³Ｐ_f に存在する終状態の個数をカウントします。

これは,{Ｖｄ³ｐ_f/(2π)³}{Ｖｄ³Ｐ_f/(2π)³} です。

結局,この運動量区間の終状態への遷移に対応する遷移断面積は,

ｄσ＝Ｖ²(2π)^-3ｄ³ｐ_f(2π)^-3ｄ³Ｐ_f(Ｖ/|Ｊ_inc|)ｗ_fi

＝(2π)^-3ｄ³ｐ(2π)^-3ｄ³Ｐ_f{ｍ²Ｍ²/(Ｅ_fＥ_iＥ^p_fＥ^p_i)}

(2π)⁴δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i)/(Ｖ|Ｊ_inc|)|Ｍ_fi|²

と書けます。

上記最終式は任意の慣性系(実験室系or重心系)で成立する式です。

これを終状態粒子のspin状態について総和したものを,

非偏極断面積として初期-spinについて平均を取ります。

この段階で全ての散乱過程に共通の幾つかの性質が認められます

が,これらは一般に不変振幅の平方:|Ｍ_fi|²の中にあります。

そして,また各Fermi粒子の外線,つまり相互作用頂点に入ったり

出たりする各Dirac粒子(質量ｍ,エネルギーＥ)に対して(ｍ/Ｅ)

なる因子が付随します。

そして,終状態外線に対する位相空間因子は(2π)^-3ｄ³ｐ_fです。

故に,各終状態の粒子外線に対し総体で(ｍ/Ｅ)(2π)^-3ｄ³ｐ_fなる

因子が付随しますが,これは次に示すように,

運動量空間でのLorentz不変体積を形成します。

すなわち,ｄ³ｐ/(2Ｅ)＝∫₀^∞ｄｐ⁰δ(ｐ²－ｍ²)ｄ³ｐ

＝∫_-∞^∞ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²－ｍ²);Ｅ＝(ｐ²＋ｍ²)^1/2

と表わせます。

※(注13-3):何故なら,

　∫₀^∞ｄｐ⁰δ(ｐ²－ｍ²)

　＝∫₀^∞ｄｐ⁰δ((ｐ⁰)²－ｐ²－ｍ²)

　＝∫₀^∞ｄｐ⁰{2(ｐ²＋ｍ²)^1/2}^-1

{δ(ｐ⁰－(ｐ²＋ｍ²)^1/2)＋δ(ｐ⁰＋(ｐ²＋ｍ²)^1/2)}

　＝{2(ｐ²＋ｍ²)^1/2}^-1＝1//(2Ｅ) です。

(注13-3終わり)※

　そして,相互作用の際の全体としてのエネルギー・運動量の保存

　は因子(2π)⁴δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i)に由来します。

最後に因子:1/(Ｖ|Ｊ_inc|)ですが,|Ｊ_inc|は流束であって,これは

同一直線上にあるビームに対して,単位時間に衝突,または,すれ

違うなど,互いに通過する単位面積当たりの粒子数です。

故に,|Ｊ_inc|＝|ｖ_i－Ｖ_i|/Ｖです。

　そこで,因子:1/(Ｖ|Ｊ_inc|)も,入射粒子の規格化因子を結び付け

　ると,Lorentz不変な形で表現できます。

すなわち,同一直線上では,(ｐ_iＰ_i)²＝ｐ_i²Ｐ_i²なので,

Ｅ_iＥ^p_iＶ|Ｊ_inc|＝Ｅ_iＥ^p_i|ｖ_i－Ｖ_i|＝|ｐ_iＥ^p_i－Ｐ_iＥ_i|

＝{(Ｅ_i²－ｐ_i²)(Ｐ_i²－Ｅ^p_i²)＋(Ｅ_iＥ^p_i－ｐ_iＰ_i)²_i|^1/2

＝{(ｐ_iＰ_i)²－ｍ²Ｍ²}^1/2

となります。

そこで,1/(Ｅ_iＥ^p_iＶ|Ｊ_inc|)＝1/{(ｐ_iＰ_i)²－ｍ²Ｍ²}^1/2ですが,

この形は全断面積が入射粒子の運動方向に沿うLorents変換に対

して不変なことを示しています。

以上から,断面積ｄσは,

ｄσ＝ｍ²Ｍ²/{(ｐ_iＰ_i)²－ｍ²Ｍ²}^1/2|Ｍ_fi|²(2π)⁴

δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i)(2π)^-3(ｄ³ｐ_f/Ｅ_f){(2π)^-3(ｄ³Ｐ_f/Ｅ^p_f)

と書けます。

右辺の個々の因子は,非常に一般的な要因によるものです。

そして規格化に用いた箱の体積Ｖは,結局相殺して消えてしまい

ました。 

この特殊例だけでなく,以後に出現する計算例でも同じなので,以下

では基本的にこうした因子の現われる理由の詳細をいちいち挙げる

ことは省略します。

途中ですが,今日はここまでにします。

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics" (McGraw-Hill)