散乱の伝播関数の理論(14)(応用2-2)

　散乱の伝播関数の理論(13)の残りです。

　まず,前回の最後の部分を再掲します。

散乱断面積は.

ｄσ＝ｍ²Ｍ²/{(ｐ_iＰ_i)－ｍ²Ｍ²}^1/2|Ｍ_fi|²(2π)⁴

δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i)(2π)^-3(ｄ³ｐ_f/Ｅ_f)(2π)^-3(ｄ³Ｐ_f/Ｅ^p_f)

と書けます。

右辺の個々の因子は非常に一般的な要因によるものです。

そして規格化に用いた箱の体積Ｖは結局相殺して消えてしまい

ました。 

この特殊例だけでなく以後に出現する計算例でも同じなので,以下

では基本的にこうした因子の現われる理由の詳細をいちいち挙げる

ことは省略します。

さて,前回の続きです。

今は正面衝突する散乱を想定していますが,もしもビームが同一

直線上にあるとは限らない状況なら,単位時間当たりの遷移事象

の数Ｎを直接考えるのが便利です。

すなわち,単位時間当たりにに全運動量空間へと散乱される事象

の総数は,ｄＮ/ｄｔ＝∫ｄ³ｒρ_e(ｒ,ｔ)ρ_p(ｒ,ｔ)

∫ｍ²Ｍ²/(Ｅ_iＥ^p_i)|Ｍ_fi|²(2π)⁴δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i)

(2π)^-3(ｄ³ｐ_f/Ｅ_f)(2π)^-3(ｄ³Ｐ_f/Ｅ^p_f)

なる表現で与えられます。

ちょっと脇へそれましたが,また散乱実験の話に戻ります。

当面の散乱問題では,入射ビームは同一直線上にあるので,断面積は

ｄσ＝ｍ²Ｍ²/{(ｐ_iＰ_i)－ｍ²Ｍ²}^1/2|Ｍ_fi|²(2π)⁴

δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i)(2π)^-3(ｄ³ｐ_f/Ｅ_f)(2π)^-3(ｄ³Ｐ_f/Ｅ^p_f)

で与えられます。

前に定義した不変振幅は,

Ｍ_fi≡[ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ_μｕ(ｐ_i,ｓ_i)]{ｅ²ε₀^-1/(ｑ²＋iε)}

[ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)γ^μｕ(Ｐ_i,Ｓ_i)]ですが,

spinを特定しない実験の非偏極断面の積を求めるため,この不変

振幅において,終状態粒子のspin状態についての総和を初期-spin

で平均します。

すなわち,非偏極不変振幅は,

|Ｍ_fi|²＝1/4Σ_sf,siΣ_Sf,Si|[ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ_μｕ(ｐ_i,ｓ_i)]

{ｅ²/(ｑ²＋iε)}[ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)γ^μｕ(Ｐ_i,Ｓ_i)]|²

となります。

これは,結局,

|Ｍ_fi|²＝[ｅ⁴/{64ｍ²Ｍ²(ε₀ｑ²)²}]

Ｔr(ｐ_f＋ｍ)γ^μ(ｐ_i＋ｍ)γ^νＴr(Ｐ_f＋Ｍ)γ_μ(Ｐ_i＋Ｍ)γ_ν

と書けます。

※(注14-1):(証明):

　|[ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ_μｕ(ｐ_i,ｓ_i)][ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)γ^μｕ(Ｐ_i,Ｓ_i)]|²

　＝[ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ_μｕ(ｐ_i,ｓ_i)][ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)γ^μｕ(Ｐ_i,Ｓ_i)]

　[ｕ~(Ｐ_i,Ｓ_i)γ^ν~ｕ(Ｐ_f,Ｓ_f)][ｕ~(ｐ_i,ｓ_i)γ_ν~ｕ(ｐ_f,ｓ_f)],

　そしてγ^ν~＝γ^ν,γ_ν~＝γ_νです。

　６/14の記事「散乱の伝播関数の理論(11)(応用1-1)」

　と同様な方法で,

　Σ_±sf,±si[ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ^μｕ(ｐ_i,ｓ_i)]

　[ｕ~(ｐ_i,ｓ_i)γ^νｕ(ｐ_f,ｓ_f)]

　＝Σ_±sf,±siΣ_α,βΣ_λ,σ[ｕ~_α(ｐ_f,ｓ_f)γ^μ_αβｕ_β(ｐ_i,ｓ_i)]

　[ｕ⁺_λ(ｐ_i,ｓ_i)γ^ν_λσｕ_σ(ｐ_f,ｓ_f)]

　＝[Σ_α,σ{γ^μ(ｐ_i＋ｍ)γ^ν}_ασ(ｐ_i＋ｍ)_σα]/(4ｍ²)

　＝Ｔr(ｐ_f＋ｍ)γ^μ(ｐ_i＋ｍ)γ^ν/(4ｍ²)

　を得ます。

　同様に,Σ_±sf,±si[ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)γ_μｕ(Ｐ_i,Ｓ_i)]

　[ｕ~(Ｐ_i,Ｓ_i)γ_νｕ(Ｐ_f,Ｓ_f)]

　＝Ｔr(Ｐ_f＋Ｍ)γ_μ(Ｐ_i＋Ｍ)γ_ν/(4Ｍ²)です。(証明終わり)

(注14-1終わり)※

　そして,Ｔr(ｐ_f＋ｍ)γ^μ(ｐ_i＋ｍ)γ^ν

 ＝Ｔr(ｐ_fγ^μｐ_iγ^ν)＋ｍ²Ｔr(γ^μγ^ν)

　＝4[ｐ_f^μｐ_i^ν＋ｐ_f^νｐ_i^μ－ｇ^μν(ｐ_fｐ_i－ｍ²)]　です。

　同様に,Ｔr(Ｐ_f＋Ｍ)γ_μ(Ｐ_i＋Ｍ)γ_ν

 ＝4[Ｐ_fμＰ_iν＋Ｐ_fνＰ_iμ－ｇ_μν(Ｐ_fＰ_i－Ｍ²)]　です。

　以上から,|Ｍ_fi|²＝[ｅ⁴/{4ｍ²Ｍ²(ε₀ｑ²)²}]

　[ｐ_f^μｐ_i^ν＋ｐ_f^νｐ_i^μ－ｇ^μν(ｐ_fｐ_i－ｍ²)]

　[Ｐ_fμＰ_iν＋Ｐ_fνＰ_iμ－ｇ_μν(Ｐ_fＰ_i－Ｍ²)]

　＝[ｅ⁴/{2ｍ²Ｍ²(ｑ²)²}][(Ｐ_fｐ_f)(Ｐ_iｐ_i)＋(Ｐ_fｐ_i)(Ｐ_iｐ_f)

　－ｍ²(Ｐ_fＰ_i)－Ｍ²(ｐ_fｐ_i)＋2Ｍ²ｍ²]

　を得ます。

これを,ｄσ＝ｍ²Ｍ²/{(ｐ_iＰ_i)－ｍ²Ｍ²}^1/2|Ｍ_fi|²(2π)⁴

δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i)(2π)^-3ｄ³ｐ_f/Ｅ_f(2π)^-3(ｄ³Ｐ_f/Ｅ^p_f)

に代入すれば,微分断面積が具体的に得られます。

さて,有用な結果を得るために,初期陽子が静止している実験室系を

準拠系としてｄσを評価計算します。

つまり,Ｐ_i＝(Ｍ,0),ｐ_i＝(Ｅ,ｐ),ｐ_f＝(Ｅ',ｐ')

とします。

初期の標的陽子を原点として,極角θのまわりの微小立体角ｄΩ'

に出現する散乱電子に対する微分断面積を求めるために,ｄσに

対し位相空間積分を実行します。

まず,(ｄ³Ｐ_f/Ｅ^p_f)積分において,

公式:ｄ³ｐ/(2Ｅ)＝∫₀^∞ｄｐ⁰δ(ｐ²－ｍ²)ｄ³ｐ

＝∫_-∞^∞ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²－ｍ²);Ｅ＝(ｐ²＋ｍ²)^1/2

を使用し,

ｄ³ｐ_f/Ｅ_fをｄ³ｐ'/Ｅ'＝ｐ'²ｄｐ'ｄΩ'/Ｅ'＝ｐ'ｄＥ'ｄΩ'

と書きます。ただしｐ'≡|ｐ'|です。

すると,ｄσ＝ｍ²Ｍ²/{(ｐ_iＰ_i)²－ｍ²Ｍ²}^1/2|Ｍ_fi|²(2π)⁴

δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i)(2π)^-3(ｄ³ｐ_f/Ｅ_f)(2π)^-3(ｄ³Ｐ_f/Ｅ^p_f)

＝2(2π)^-2ｍ²Ｍ(Ｅ²－ｍ²)^-1/2ｐ'ｄＥ'ｄΩ'ｄ⁴Ｐ_f

|Ｍ_fi|²θ(Ｐ_f⁰)δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i)δ(Ｐ_f²－Ｍ²)

となります。

そこで,ｄσ/ｄΩ＝{ｍ²Ｍ/(2π²|ｐ|)}

∫ｄＥ'ｐ'|Ｍ_fi|²_(Pf=Pi+p-p')θ(Ｍ＋Ｅ－Ｅ')

δ((Ｍ＋Ｅ－Ｅ')²－(ｐ－ｐ')²－Ｍ²)

＝{ｍ²Ｍ/(2π²ｐ)}∫_m^M+EｄＥ'ｐ'|Ｍ_fi|²_(Pf=Pi+p-p')

δ(－2(Ｍ＋Ｅ)Ｅ'＋２ＭＥ＋2ｍ²＋2ｐｐ')

を得ます。ただし,ｐ≡|ｐ|です。

結局,ｄσ/ｄΩ＝{ｍ²Ｍｐ'/(4π²ｐ)}|Ｍ_fi|²_(Pf=Pi+p-p')

{Ｍ＋Ｅ＋ｐｄ(ｐ'/ｄＥ')}^-1

＝{ｍ²Ｍｐ'/(4π²ｐ)}|Ｍ_fi|²_(Pf=Pi+p-p')

(Ｍ＋Ｅ＋ｐＥ'cosθ/ｐ')^-1を得ます。

ただし,δ関数因子δ(－2(Ｍ＋Ｅ)Ｅ'＋２ＭＥ＋2ｍ²＋2ｐｐ')

によってＥ'(Ｍ＋Ｅ)－ｐｐ'＝ＭＥ＋ｍ²なる拘束があります。

|Ｍ_fi|²＝[ｅ⁴/{2ｍ²Ｍ²(ε₀ｑ²)²}]

[(Ｐ_fｐ_f)(Ｐ_iｐ_i)＋(Ｐ_fｐ_i)(Ｐ_iｐ_f)－ｍ²(Ｐ_fＰ_i)

－Ｍ²(ｐ_fｐ_i)＋2Ｍ²ｍ²]　の変形を考えます。

Ｐ_f＝Ｐ_i＋ｐ_i－ｐ_fを代入すると,

(Ｐ_fｐ_f)(Ｐ_iｐ_i)＋(Ｐ_fｐ_i)(Ｐ_iｐ_f)－ｍ²(Ｐ_fＰ_i)

－Ｍ²(ｐ_fｐ_i)＋2Ｍ²ｍ²

＝{(Ｐ_iｐ_f)＋(ｐ_iｐ_f)－ｍ²}(Ｐ_iｐ_i)

＋{(Ｐ_iｐ_i)＋ｍ²－(ｐ_iｐ_f)}(Ｐ_iｐ_f)－ｍ²{Ｍ²＋(Ｐ_iｐ_i)－(Ｐ_iｐ_f)}

－Ｍ²(ｐ_fｐ_i)＋2Ｍ²ｍ²)　です。

故に,|Ｍ_fi|²＝[ｅ⁴/{2ｍ²Ｍ²(ε₀ｑ²)²}]

[2(Ｐ_iｐ_f)(Ｐ_iｐ_i)＋(ｐ_iｐ_f){(Ｐ_iｐ_i)－(Ｐ_iｐ_f)－Ｍ²}

＋2ｍ²{(Ｐ_iｐ_f)－(Ｐ_iｐ_i)}＋Ｍ²ｍ²]

を得ます。

微細構造定数(structure constant)α≡ｅ²/(4πε₀)～1/137による

表現を用いると,

|Ｍ_fi|²＝[8π²α²/{ｍ²Ｍ²(ｑ²)²}]

[2(Ｐ_iｐ_f)(Ｐ_iｐ_i)＋(ｐ_iｐ_f){(Ｐ_iｐ_i)－(Ｐ_iｐ_f)－Ｍ²}

＋2ｍ²{(Ｐ_iｐ_f)－(Ｐ_iｐ_i)}＋Ｍ²ｍ²]　です。

特に,今の実験室系:Ｐ_i＝(Ｍ,0),ｐ_i＝(Ｅ,ｐ),ｐ_f＝(Ｅ',ｐ')

の場合なら,

2(Ｐ_iｐ_f)(Ｐ_iｐ_i)＋(ｐ_iｐ_f){(Ｐ_iｐ_i)－(Ｐ_iｐ_f)－Ｍ²}

＋2ｍ²{(Ｐ_iｐ_f)－(Ｐ_iｐ_i)}＋Ｍ²ｍ²

＝2Ｍ²ＥＥ'－Ｍ(Ｅ'－Ｅ＋Ｍ)(ＥＥ'－ｐｐ')

＋Ｍｍ²{2(Ｅ'－Ｅ)＋Ｍ}　です。

さらに,陽子の質量Ｍに比較して電子質量ｍは小さいので,Ｍの項と

比べてｍを因子とする極端に小さいオーダーの項を無視します。

すると,ｍに比べてＥ,Ｅが大きいときには,ｐ～Ｅ,ｐ'～Ｅ'

より,ＥＥ'－ｐｐ'＝ＥＥ'(1－ββ'cosθ) ～ ＥＥ'(1－cosθ)

＝2ＥＥ'sin²(θ/2)　と書けます。

故に,2Ｍ²ＥＥ'－Ｍ(Ｅ'－Ｅ＋Ｍ)(ＥＥ'－ｐｐ')

＋Ｍｍ²{2(Ｅ'－Ｅ)＋Ｍ}

～ 2Ｍ²ＥＥ'＋Ｍ(Ｅ－Ｅ'－Ｍ)(ＥＥ'－ｐｐ')

～ Ｍ²ＥＥ'[2＋(1－cosθ){(Ｅ－Ｅ')/Ｍ－1}

＝2Ｍ²ＥＥ'[cos²(θ/2)－{ｑ²/(2Ｍ)}sin²(θ/2)]

です。

ここで,ｑ²＝(ｐ_f－ｐ_i)²＝(ｐ'－ｐ)²

＝2ｍ²－2(ＥＥ'－ｐｐ')～－2(ＥＥ'－ｐｐ')

＝－2ＥＥ'(1－ββ'cosθ) ～ －2ＥＥ'(1－cosθ)

＝－4ＥＥ'sin²(θ/2),および,

保存則Ｅ'(Ｍ＋Ｅ)－ｐｐ'＝ＭＥ＋ｍ²から,

Ｍ(Ｅ－Ｅ')～ＥＥ'－ｐｐ'＝－ｑ²/2　を用いました。

したがって,|Ｍ_fi|²＝[8π²α²/{ｍ²Ｍ²(ｑ²)²}]

[2(Ｐ_iｐ_f)(Ｐ_iｐ_i)＋(ｐ_iｐ_f){(Ｐ_iｐ_i)－(Ｐ_iｐ_f)－Ｍ²}

＋2ｍ²{(Ｐ_iｐ_f)－(Ｐ_iｐ_i)}＋Ｍ²ｍ²]から,

|Ｍ_fi|²＝[π²α²/{ｍ²ＥＥ'sin⁴(θ/2)}]

[cos²(θ/2)－{ｑ²/(2Ｍ)}sin²(θ/2)]

が得られました。  

保存則Ｅ'(Ｍ＋Ｅ)－ｐｐ'＝ＭＥ＋ｍ²から,Ｅ'を評価します。

Ｅ'(Ｍ＋Ｅ)－ＥＥ'cosθ～ ＭＥより,

Ｅ'～ Ｅ/{1＋Ｅ(1－cosθ)/Ｍ}

＝Ｅ/|1＋(2Ｅ/Ｍ)sin²(θ/2)} です。

そこで,ｄσ/ｄΩ

＝{ｍ²Ｍｐ'/(4π²ｐ)}|Ｍ_fi|²/(Ｍ＋Ｅ＋ｐＥ'cosθ/ｐ')の分母は,

Ｅ/Ｍの２次以上を無視して,

Ｍ＋Ｅ＋Ｅcosθ/|1＋Ｅ(1－cosθ)/Ｍ}

＝(Ｍ＋Ｅ)/|1＋Ｅ(1－cosθ)/Ｍ}＋Ｅ

～ Ｍ/|1＋(2Ｅ/Ｍ)sin²(θ/2)}　と近似できます。

したがって,

ｄσ/ｄΩ＝{ｍ²Ｍｐ'/(4π²ｐ)}|Ｍ_fi|²/(Ｍ＋Ｅ＋ｐＥ'cosθ/ｐ')

は,ｄσ/ｄΩ＝{ｍ²/(4π²)}|Ｍ_fi|²/|1＋(2Ｅ/Ｍ)sin²(θ/2)}

と書けます。

結局,最終形は,

ｄσ/ｄΩ

＝(α²/4Ｅ²)[cos²(θ/2)－{ｑ²/(2Ｍ)}sin²(θ/2)]/[sin⁴(θ/2)

{1＋(2Ｅ/Ｍ)sin²(θ/2)}]

です。

Ｅ/Ｍ＜＜1の遅い電子(運動エネルギーが小さい電子)では,

(Ｅ/Ｍ)を１と比較して無視し,Ｅ'～Ｅとすることで,

微分断面積:

ｄσ/ｄΩ＝{ｍ²Ｍｐ'/(4π²ｐ)}|Ｍ_fi|²/(Ｍ＋Ｅ＋ｐＥ'cosθ/ｐ')

はｄσ/ｄΩ～{ｍ²/(4π²)}|Ｍ_fi|²

と近似されます。

このときは,陽子の反跳が無視され,

「散乱の伝播関数の理論(11)(応用1-1)」で詳述した,

電子のCoulomb散乱のMott散乱の公式:

ｄσ/ｄΩ＝{α²/(2|ｑ|⁴)(8Ｅ_iＥ_f－4ｐ_iｐ_f＋4ｍ²)

＝{α²Ｅ²/(4|ｑ|⁴)}{1－β²sin²(θ/2)}

＝{α²/(4|ｐ|²β²sin⁴(θ/2)}{1－β²sin²(θ/2)}

に帰着します。(詳細は省略します。)

短いですが,今日はここまでにします。

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell“Relativistic Quantum Mechanics”(McGraw-Hill)