散乱の伝播関数の理論(15)(応用2-3)

　散乱の伝播関数の理論の続きです。

ここまでの最低次近似の電子-陽子散乱についてさらなる高次補正

を与えます。

ただし,Feynman-rulesが与える手順によって定められる計算式の

導出が主目的ですから,行列のトレースの評価等,具体的な計算結果

を追求するものではありません。

§7.5 Higher-order Corrections to Electron-Proton Scattering

　(電子-陽子散乱の高次補正)

ここまでの電子-陽子散乱の計算結果は,Ｓ行列要素Ｓ_fiではｅと

ｅ_p(＝－ｅ)の１次,遷移確率では,ｅ²ｅ_p²の１次のオーダーまで

で正しいに過ぎません。

その次に高次の補正を得るには「散乱の伝播関数(10)」で与えた

Ｓ行列要素の近似表現,つまり,

Ｓ_fi＝δ_fi－iｅ∫ｄ⁴ｙψ_f~(ｘ)Ａ(ｘ)Ψ_i(ｘ)のｎ次の寄与:

－iｅⁿ∫..∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_nψ_f~(ｙ_n)Ａ(ｙ_n)Ｓ_F(ｙ_n－ｙ_n-1)

Ａ(ｙ_n-1)..Ｓ_F(ｙ₂－ｙ₁)Ａ(ｙ₁)ψ⁽⁺⁾_i(ｙ)

に戻る必要があります。

この式から,電子と陽子の間のｅの２次の補正は,

Ｓ_fi⁽²⁾＝－iｅ²∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙψ_f~(ｘ)Ａ(ｘ)Ｓ_F(ｘ－ｙ)

Ａ(ｙ)ψ_i(ｙ)　です。

この式における電磁ポテンシャル:Ａ^μ(ｘ),Ａ^ν(ｙ)も再び電磁

カレントによって生起されます。

この場合のカレントを決めるために,Ａ^μ(ｘ),Ａ^ν(ｙ)と相互作用

する２次のカレントの形を見ます。

１次の計算におけると同様,Ｓ_fi⁽²⁾の２次の電子カレントは,

iψ_f~(ｘ)γ^μＳ_F(ｘ－ｙ)γ^νψ_i(ｙ)

＝ψ_f~(ｘ)γ^μ{Σ_n;p0＞0θ(ｘ⁰－ｙ⁰)ψ_n(ｘ)ψ_n~(ｙ)

－Σ_n;p0＜0θ(ｙ⁰－ｘ⁰)ψ_n(ｘ)ψ_n~ (ｙ)}γ^νψ_i(ｙ)

で与えられます。

先頭の因子ｉはカレントを２つのカレント積で表わすためです。　

ここで,「散乱の伝播関数(10)」で得た式:

Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)＝－iθ(ｔ－ｔ₀)∫ｄ³ｐΣ_r=1²ψ_p^(r)(ｘ)ψ_p^(r)~(ｘ₀)

＋iθ(ｔ₀－ｔ)∫ｄ³ｐΣ_r=3⁴ψ_p^(r)(ｘ)ψ_p^(r)~(ｘ₀)

を用いました。

電磁ポテンシャルは,Ａ^μ(ｘ)＝ε₀^-1∫ｄ⁴ｙＤ_F(ｘ－ｙ)Ｊ^μ(ｙ);

Ｊ^μ(ｙ)＝ｅ_pψ^p_f~(ｘ)γ^μψ^p_i(ｙ)で与えられます。

これから２次のカレントから生起されるＡ^μ(ｘ)Ａ^ν(ｙ)の表現が

得られます。

Ａ^μ(ｘ)Ａ^ν(ｙ)＝ε₀^-2ｅ_p²∫ｄ⁴ｗｄ⁴ｚＤ_F(ｘ－ｗ)Ｄ_F(ｙ－ｚ)

ψ_f~(ｗ)γ^μ{Σ_n;p0＞0θ(ｗ⁰－ｚ⁰)ψ_n(ｗ)ψ_n~(ｚ)－

Σ_n;p0＜0θ(ｚ⁰－ｗ⁰)ψ_n(ｗ)ψ_n~(ｚ)}γ^νψ^p_i(ｚ)

＝iε₀^-2ｅ_p²∫ｄ⁴ｗｄ⁴ｚＤ_F(ｘ－ｗ)Ｄ_F(ｙ－ｚ)ψ^p_f~(ｗ)γ^μ

Ｓ^p_F(ｗ－ｚ)γ^νψ^p_i(ｚ)

です。

ここで,因子Ｄ_F(ｘ－ｗ)Ｄ_F(ｙ－ｚ)は,図7.4の光子の２本の内線に

対するFeynman-propaggatorです。

それらは単なる点(dot)で表わされる電子,または陽子との相互作用

頂点(vertex)の間を伝播します。

一方,電子,陽子のそれらの頂点はそれぞれｅγ_λ,ｅ_pγ_σの寄与を

します。

電子,陽子内線にはFermi粒子のpropagator:

Ｓ_F(ｘ－ｙ),Ｓ^p_F(ｗ－ｚ) を対応させます。

これらの因子は,座標空間で書かれたFeynman-graphとＳ行列要素

の間の対応付けの例です。

Ｓ_fi⁽²⁾に対する表現を完成させるためには,陽子カレントにもう

一つ項を付け加えて２つの光子の区別不可能性を表現する必要

があります。

すなわち,電子と点ｘで相互作用する光子が点ｗで生じたか？,

点ｚで生じたか？ということをその電子は知りません。

それ故,下図7.5のような可能性も一緒に含む必要があります。

何故なら,光子に対するFeynman-propagatorは正振動数部分のみが

未来に伝播することを保証しますから,４つの点ｘ,ｙ,ｚ,ｗの相対

的な時間順序が相互作用の中で生じるからです。

したがって,例えばｗにおける光子は,対等に電子によって放出され

たり吸収されたりする最初のものにも第二のものにも成り得ます。

そこで,２つの区別できない交換光子の変数を対称化するため,

iε₀^-2ｅ_p²∫ｄ⁴ｗｄ⁴ｚＤ_F(ｘ－ｗ)Ｄ_F(ｙ－ｚ)ψ^p_f~(ｗ)γ^μ

Ｓ^p_F(ｗ－ｚ)γ^νψ^p_i(ｚ)に,

項:iε₀^-2ｅ_p²∫ｄ⁴ｗｄ⁴ｚＤ_F(ｘ－ｚ)Ｄ_F(ｙ－ｗ)ψ^p_f~(ｗ)γ^μ

Ｓ^p_F(ｗ－ｚ)γ^νψ^p_i(ｚ) を加えます。

これから,

Ｓ_fi⁽²⁾＝－iｅ²∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙψ_f~(ｘ)Ａ(ｘ)Ｓ_F(ｘ－ｙ)Ａ(ｙ)ψ_i(ｙ)

は,Ｓ_fi⁽²⁾＝ε₀^-2ｅ²ｅ_p²∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙｄ⁴ｚｄ⁴ｗψ_f~(ｘ)γ_μ

Ｓ_F(ｘ－ｙ)γ_νψ_i(ｙ)

[Ｄ_F(ｘ－ｗ)Ｄ_F(ｙ－ｚ)ψ^p_f~(ｗ)γ^μＳ^p_F(ｗ－ｚ)γ^νψ^p_i(ｚ)

＋Ｄ_F(ｘ－ｚ)Ｄ_F(ｙ－ｗ)ψ^p_f~(ｗ)γ^μＳ^p_F(ｗ－ｚ)γ^νψ^p_i(ｚ)]

を得ます。

この右辺の２つの項は,座標空間において,対応する

Feynman-diagramからＳ行列要素を書き下すことに対する同じ

ルールを満足します。

　しかし,今までのところ,これらのルールは因子ｉに関しては幾分

　不明確なことに気付きます。

　そこで,全体としての因子:(－i)をＳ行列に結び付け,因子iＳ^p_Fを

　陽子伝播関数(propagator)に結び付けます。

　高次のオーダ－においては,全ての陽子伝播関数Ｓ^p_Fは同じ理由で

　因子ｉを伴ないます。

　そして,各電子内線についてもiＳ_Fを対応させ,同時にＡに因子：

　(－i)を結び付けると,Fermi粒子のpropagatorを統一して考える

　規則とすることができます。

　すなわち,－iｅＡＳ_FｅＡＳ_F...ｅＡ

　＝(－iｅＡ)(iＳ_F)(－iｅＡ)(iＳ_F)...(－iｅＡ)

　とするわけです。

　こうすれば全体としての因子:(－i)もＡの余分な因子に含まれます。

　ｅＡに因子:(－i)を結び付けるのは,全ての電子線における頂点に

　対して(－iｅγ^μ)を付与することに相当します。

　一方,光子のpropagator:Ｄ_Fにもｉを付加して(iＤ_F)に置き換え,

　同時に陽子線頂点に(－iｅ_pγ^ν)を付与すれば,Fermi粒子に対し

　て統一されたルールが得られます。

すなわち,因子:(－i)を電子,陽子の各頂点(vertex)に対応させ,

因子:ｉを各内線propagatorに対応させます。

以下,一貫してこのルールを仮定します。

実際の計算は,座標空間でなくむしろ運動量空間で実行するのが

有利なので散乱の遷移要素をFourier変換します。

まず.外粒子線(すなわち,入射,散乱の電子,および陽子)の波動関数は

平面波と見なされます。

再び,Ｓ_fi⁽²⁾＝ε₀^-2ｅ²ｅ_p²∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙｄ⁴ｚｄ⁴ｗψ_f~(ｘ)γ_μ

Ｓ_F(ｘ－ｙ)γ_νψ_i(ｙ)

[Ｄ_F(ｘ－ｗ)Ｄ_F(ｙ－ｚ)ψ^p_f~(ｗ)γ^μＳ^p_F(ｗ－ｚ)γ^νψ^p_i(ｚ)

＋Ｄ_F(ｘ－ｚ)Ｄ_F(ｙ－ｗ)ψ^p_f~(ｗ)γ^μＳ^p_F(ｗ－ｚ)γ^νψ^p_i(ｚ)]

から出発します。

右辺第１項のFourier変換のみ考えると,

(ε₀^-2ｅ⁴/Ｖ²)∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙｄ⁴ｚｄ⁴ｗ{ｍ²/(Ｅ_fＥ_i)}^1/2

{Ｍ²/(Ｅ^p_fＥ^p_i)}^1/2(2π)^-4ｄ⁴ｑ₁(2π)^-4ｄ⁴ｑ₂(2π)^-4ｄ⁴ｐ

(2π)^-4ｄ⁴Ｐexp{－iｑ₁(ｘ－ｗ)}(ｑ₁²＋iε)^-1exp{－iｑ₂(ｙ－ｚ)}

(ｑ₂²＋iε)^-1[exp(iｐ_fｘ)ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ_μexp{－iｐ(ｘ－ｙ)}

(ｐ－ｍ＋iε)^-1γ_νｕ(ｐ_i,ｓ_i)exp(－iｐ_iｙ)]

[exp(iＰ_fｗ)ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)γ^μexp{－iＰ(ｗ－ｚ)}

(Ｐ－Ｍ＋iε)^-1γ^νｕ(Ｐ_i,Ｓ_i) exp(－iＰ_iｚ)]

を得ます。

全ての時空座標についての積分を実行すれば,各積分が関わる頂点

ｘ,ｙ,ｚ,ｗにおけるエネルギー・運動量保存に対応する４次元

δ関数,および(2π)⁴の因子を生じます。

　すなわち,(ε₀^-2ｅ⁴/Ｖ²){ｍ²/(Ｅ_fＥ_i)}^1/2{Ｍ²/(Ｅ^p_fＥ^p_i)}^1/2

∫ｄ⁴ｑ₁ｄ⁴ｑ₂ｄ⁴ｐｄ⁴Ｐδ⁴(－ｑ₁＋ｐ_f－ｐ)δ⁴(－ｑ₂＋ｐ－ｐ_i)

　δ⁴(ｑ₂＋Ｐ_f－Ｐ)δ⁴(ｑ₁＋Ｐ－Ｐ_i)(ｑ₁²＋iε)^-1(ｑ₂²＋iε)^-1

[ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ_μ(ｐ－ｍ＋iε)^-1γ_νｕ(ｐ_i,ｓ_i)]

　[ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)γ^μ(Ｐ－Ｍ＋iε)^-1γ^νｕ(Ｐ_i,Ｓ_i)]

　です。

これを,さらにｄ⁴ｑ₂ｄ⁴ｐｄ⁴Ｐで運動量積分します。

結果は,(ε₀^-2ｅ⁴/Ｖ²){ｍ²/(Ｅ_fＥ_i)}^1/2{Ｍ²/(Ｅ^p_fＥ^p_i)}^1/2(2π)⁴

δ⁴(Ｐ_f+ｐ_f－Ｐ_i－ｐ_i)∫ｄ⁴ｑ₁(2π)^-4(ｑ₁²＋iε)^-1

{(ｑ－ｑ₁)²＋iε}^-1

[ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ_μ(ｐ_f－ｑ₁－ｍ＋iε)^-1γ_νｕ(ｐ_i,ｓ_i)]

[ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)γ^μ(Ｐ_f＋ｑ₁－Ｍ＋iε)^-1γ^νｕ(Ｐ_i,Ｓ_i)]

です。

ただし,前と同じくｑはｑ≡ｐ_f－ｐ_i＝Ｐ_i－Ｐ_fで定義されます。

結果,全体としてのエネルギー・運動量保存のδ関数が出現し,

そして運動量空間でのFeynman-diagramにおいて閉曲線(loop)を

描いて走る４元運動量ｑ₁にわたる積分が出現することに着目し

ます。

全体としてのエネルギー・運動量保存のδ⁴と結びついた(2π)⁴を

除けば,(2π)⁴因子は全て系統的に相殺されて消えています。

そして,残った(2π)⁴因子は∫ｄ⁴ｑ₁(2π)^-4に伴なう因子(2π)^-4が

それを補っています。

運動量空間の図7.6の他の因子については,各頂点は(－iｅγ_μ),

または,(－iｅ_pγ^μ)＝(iｅγ^μ)に寄与し,各外線は因子(ｍ/Ｅ)^1/2,

または,(Ｍ/Ｅ^p)^1/2を持ちます。

内線には因子:i(ｐ－ｍ＋iε)^-1,i(Ｐ－Ｍ＋iε)を割り当てます。

　　　　　　

こうして少しの経験を経ると,与えられたFeynman-diagramを視察

するだけで,

[ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ_μ(ｐ_f－ｑ₁－ｍ＋iε)^-1γ_νｕ(ｐ_i,ｓ_i)]

[ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)γ^μ(Ｐ_f＋ｑ₁－Ｍ＋iε)^-1γ^νｕ(Ｐ_i,Ｓ_i)]

なる形を連想できるようになります。

　　

例えば,図7.7のような運動量空間でのFeynman-graphは座標空間で

の図7.5に対応しており,この振幅は図7.6の陽子のspin因子:

[ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)γ^μ(Ｐ_f＋ｑ₁－Ｍ＋iε)^-1γ^νｕ(Ｐ_i,Ｓ_i)]を,

単に[ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)γ^ν(Ｐ_f＋ｑ₁－Ｍ＋iε)^-1γ^μｕ(Ｐ_i,Ｓ_i)]

で置換しただけ違います。

残りの因子∫ｄ⁴ｑ₁(2π)^-4(ｑ₁²＋iε)^-1{(ｑ－ｑ₁)²＋iε}^-1[...]

の評価は,初等的に見積もることが困難な４次元積分を含んでいる

ため簡単ではありません。

これは,陽子をCoulom力の点源と見た静電的極限に対してはDalitz

によって計算されました。

この例では,Coulombポテンシャルの到達範囲が無限大であるため,

特殊な困難を生じています。

この記事の目的は一応達成したので,この計算をこれ以上は行なわ

ないことにします。

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell“Relativistic Quantum Mechanics”(McGraw-Hill)

PS:いやー惜しかったなあ,もうちょっとで三原じゅん子氏の手を握れた

　のに。。もしかしてジジィのスケベな意図がバレタかな？

　今日は地蔵通りは"４のつく日＝縁日"でした。散歩はお金が無くて

　もお茶とワインや,当たり女などのツマミなど屋台の試食や試飲も

　バッチリでした。