散乱の伝播関数の理論(9)

散乱の伝播関数の理論の続きです。

まず,前記事の最後の部分を要約します。

Ｓ系において粒子が速度ｖ＝βで運動することは,この粒子が固

定されている"静止系＝Ｓ₀系"に対してＳ系が相対速度－ｖ＝－β

で運動するのと同等です。

そして,Ｓ₀系に対しｘ軸に沿った相対速度－ｖ＝－β＝tanhω

を持って運動するＳ系に対応する時空座標のLorentz変換:

ｘ'^μ＝ａ^μ_νｘ^νは,

ｘ'⁰＝ｘ⁰coshω－ｘ¹sinhω,ｘ'¹＝ｘ¹coshω－ｘ⁰sinhω,

ｘ'²＝ｘ²,ｘ'³＝ｘ³

です。 

このLorentz変換:(ａｘ)^μ＝ａ^μ_νｘ^νに対応する波動関数の変換:

ψ(ａｘ)＝Ｓ(ａ)ψ(ｘ)を与える変換行列Ｓ(ａ)を具体的に求め

ると,Ｓ(ａ)＝cosh(ω/2)－α¹sinh(ω/2) となります。

静止系Ｓ₀では運動量ｐ^μ＝(ｍ,0)を持つ粒子が,Ｓ₀系に対して

ｘ軸に沿った相対速度－ｖ＝－β＝tanhωで運動するＳ系では

運動量ｐ^μ＝(Ｅ,ｐ)を持つとします。

Ｓ系での独立な自由粒子波動関数は,

ψ^(r)(ｘ)＝ｗ^(r)(ｐ)exp(－iε_rｐｘ)

＝Ｓ(ａ)ｗ^(r)(0)exp(－iε_rｍｔ) (ｒ＝1,2,3,4)

と書けます。

ここに,ε_r≡1(ｒ＝1,2),ε_r≡－1(ｒ＝3,4) です。

ただし,ｗ⁽¹⁾(0)≡(1,0,0,0)^T,ｗ⁽²⁾(0)≡(0,1,0,0)^T,

ｗ⁽³⁾(0)≡(0,0,1,0)^T,ｗ⁽⁴⁾(0)≡(0,0,1,0)^Tで.

ｗ^(r)(ｐ)＝Ｓ(ａ)ｗ^(r)(0)

＝{cosh(ω/2)－α¹sinh(ω/2)}ｗ^(r)(0)です。

(↑ ※右上添字Ｔは行列の転置(transport)を示しています。

これは前記事では,例えば(1,0,0,0)^Tではなく^ｔ(1,0,0,0)と

表記していました。

気紛れです。本当はブログの科学記事全体で統一すべきですが

迷ってます。※)

座標のLorentz変換:ｘ^μ→ａ^μ_νｘ^νに対応する運動量の

Lorentz変換:ｐ^μ→ａ^μ_νｐ^νから,

Ｅ＝ｐ⁰＝ｍcoshω＝ｍ/(1－β²)^1/2,

ｐ＝ｐ¹＝－ｍsinhω＝ｍβ/(1－β²)^1/2

を得ます。

そこで,－tanh(ω/2)＝－tanhω/{1＋(1－tanh²ω)^1/2}

＝β/{1＋(1－β²)^1/2}＝ｐ/(Ｅ＋ｍ)であり,

cosh(ω/2)＝{1－tanh²(ω/2)}^-1/2＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2

であること,がわかります。

故に,－sinh(ω/2)＝－tanh(ω/2)cosh(ω/2)

＝{ｐ/(Ｅ＋ｍ)}{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2＝ｐ/{2ｍ(Ｅ＋ｍ)}^1/2

を得ます。

そして,Ｓ(ａ)＝(ｗ⁽¹⁾(ｐ),ｗ⁽²⁾(ｐ),ｗ⁽³⁾(ｐ),ｗ⁽⁴⁾(ｐ))

＝cosh(ω/2)－α¹sinh(ω/2) です。

これから,

ｗ⁽¹⁾(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2(1,0,0,ｐ/(Ｅ＋ｍ))^T,

ｗ⁽²⁾(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2(0,1,ｐ/(Ｅ＋ｍ),0)^T,

ｗ⁽³⁾(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2(0,ｐ/(Ｅ＋ｍ),1,0)^T,

ｗ⁽⁴⁾(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2(ｐ/(Ｅ＋ｍ),0,0,1)^T

と書けます。

一般の速度:β＝(β¹,β²,β³)を持つ粒子のｗ^(r)(ｐ)

＝Ｓ(ａ)ｗ^(r)(0)を得るには,

Ｓ(ａ)_αβ＝exp{－(i/4)ω(σ_μνＩ_n^μν)}_αβ

＝ exp{－(1/8)ω[γ_μ,γ_ν]Ｉ_n^μν}_αβの右辺の生成行列:

Ｉ_n^μνを速度βの空間軸回転の3×3直交行列:Ｔを考慮した形

にします。

ｐ^μ＝(Ｅ,ｐ)は,Ｅ＝ｍ/(1－β²)^1/2,ｐ＝ｍβ/(1－β²)^1/2

ですが,特にｐ^±≡ｐ¹±iｐ²＝ｍ(β¹±iβ²)/(1－β²)^1/2と

定義します。

計算結果だけ書くと,

ｗ⁽¹⁾(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2

(1,0,ｐ³/(Ｅ＋ｍ),ｐ^＋/(Ｅ＋ｍ))^T,

ｗ⁽²⁾(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2

(0,1,ｐ^－/(Ｅ＋ｍ),－ｐ³/(Ｅ＋ｍ))^T,

ｗ⁽³⁾(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2

(ｐ³/(Ｅ＋ｍ),ｐ^＋/(Ｅ＋ｍ),1,0)^T,

ｗ⁽⁴⁾(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2

(ｐ^－/(Ｅ＋ｍ),－ｐ³/(Ｅ＋ｍ),0,1)^T

です。

特に,ここだけ単位を復活させると,

まず,β＝ｖ/ｃ,ｐ^μ＝(Ｅ/ｃ,ｐ)で,

Ｅ＝ｍｃ²/(1－β²)^1/2,ｐ＝ｍｖ/(1－β²)^1/2,

ｐ^±＝ｐ¹±iｐ²＝ｍ(ｖ¹±iｖ²)/(1－β²)^1/2です。

ｗ⁽¹⁾(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍｃ²)/(2ｍｃ²)}^1/2

(1,0,ｐ³ｃ/(Ｅ＋ｍｃ²),ｐ^＋ｃ/(Ｅ＋ｍｃ²))^T,

ｗ⁽²⁾(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍｃ²)/(2ｍｃ²)}^1/2

(0,1,ｐ^－ｃ/(Ｅ＋ｍｃ²),－ｐ³ｃ/(Ｅ＋ｍｃ²))^T,

ｗ⁽³⁾(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍｃ²)/(2ｍｃ²)}^1/2

(ｐ³/(Ｅ＋ｍｃ²),ｐ^＋ｃ/(Ｅ＋ｍｃ²),1,0)^T,

ｗ⁽⁴⁾(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍｃ²)/(2ｍｃ²)}^1/2

(ｐ^－ｃ/(Ｅ＋ｍｃ²),－ｐ³ｃ/(Ｅ＋ｍｃ²),0,1)^T

です。

さて,波動関数:ψ^(r)(ｘ)＝ｗ^(r)(ｐ)exp(－iε_rｐｘ)は,

もちろん, Dirac方程式:(γ^μｐ^_μ－ｍ)ψ^(r)(ｘ)＝0

を満足します。

そして,ｐ^_μ＝(ｐ^⁰,－ｐ^)＝(i(∂/∂ｔ),－i∇)＝i∂_μより,

γ^μｐ^_μψ^(r)(ｘ)＝iγ^μ∂_μｗ^(r)(ｐ)exp(－iε_rｐｘ)

＝ε_rγ^μｐ_μｗ^(r)(ｐ)exp(－iε_rｐｘ)ですから,

(ε_rγ^μｐ_μ－ｍ)ｗ^(r)(ｐ)＝0 が成立します。 

これは,(γ^μｐ_μ－ε_rｍ)ｗ^(r)(ｐ)＝0 とも書けます。

これらの式の両辺のHermite共役を取ると,

ｗ^(r)＋(ｐ)(γ^μ+ｐ_μ－ε_rｍ)＝0 です。

そして,γ^0＋＝γ⁰,γ^＋＝－γですから,γ^μ＋γ⁰＝γ⁰γ^μより,

等式の両辺の右からγ⁰を乗じた後,４行１列の行ベクトル:

ｗ^(r)~(ｐ)≡ｗ^(r)＋(ｐ)γ⁰を用いると,

ｗ^(r)~(ｐ)(γ^μｐ_μ－ε_rｍ)＝0 　を得ます。

また,ψ(ａｘ)＝Ｓ(ａ)ψ(ｘ)より,ψ^＋(ａｘ)＝ψ⁺(ｘ)Ｓ⁺(ａ)

ですから,ψ~(ａｘ)＝ψ^＋(ａｘ)γ⁰＝ψ^＋(ｘ)Ｓ^＋(ａ)γ⁰

＝ψ~(ｘ)γ⁰Ｓ^＋(ａ)γ⁰です。

容易にわかるように,γ⁰Ｓ^＋(ａ)γ⁰＝Ｓ^-1(ａ)なので,

ψ~(ａｘ)ψ~(ｘ)Ｓ^-1(ａ)です。

故に,ψ~(ａｘ)ψ(ａｘ)＝ψ~(ｘ)ψ(ｘ)となり,ψ~(ｘ)ψ(ｘ)は

Lorentz-scalarですから,

ｗ^(r)~(ｐ)exp(iε_rｐｘ)ｗ^(r')(ｐ)exp(－iε_r'ｐｘ)

＝ｗ^(r)~(ｐ)ｗ^(r')(ｐ)exp{i(ε_r－ε_r')ｐｘ}はscalar

(Lorents不変量)です。

そして,ε_r,ｐｘもscalarですから,

ｗ^(r)~(ｐ)ｗ^(r')(ｐ)exp{i(ε_r－ε_r')ｐｘ}は,

ｗ^(r)~(0)ｗ^(r')(0)＝ε_rδ_rr'に一致します。

故に,ｗ^(r)~(ｐ)ｗ^(r')(ｐ)＝ε_rδ_rr'なる関係式を得ました。

また,証明は省略しますが,

Σ_r=1⁴ε_rｗ^(r)_α(ｐ)ｗ^(r)~_β(ｐ)＝δ_αβなる式も成立します。

ψ~(ｘ)ψ(ｘ)がLorentz-scalarなので,確率密度:

ψ⁺(ｘ)ψ(ｘ)＝ψ~(ｘ)γ⁰ψ(ｘ)はLorentz不変では

ありません。

これは,j^μ(ｘ)≡(ρ(ｘ),ｊ(ｘ))＝ψ~(ｘ)γ^μψ(ｘ)の第 0 成分

として変換します。

また,簡単な計算からｗ^(r)＋(ε_rｐ)ｗ^(r')(ε_r'ｐ)＝(Ｅ/ｍ)δ_rr'

を得ます。

Ｅ/ｍ＝(1－β²)^1/2ですから,β＝0 での３次元体積をΔＶ₀とすると,

ｗ^(r)＋(ε_rｐ)ｗ^(r')(ε_r'ｐ)ΔＶ

＝ｗ^(r)+(ε_rｐ)ｗ^(r')(ε_r'ｐ)ΔＶ₀(1－β²)^1/2

＝δ_rr'となります。

よって,この規格化では確率密度でなく確率がLorentz不変です。

ψ^(r)(ｘ)＝ｗ^(r)(ｐ)exp(－iε_rｐｘ)から,

上記のｗ^(r)+(ε_rｐ)ｗ^(r')(ε_r'ｐ)＝(Ｅ/ｍ)δ_rr'なる表式は,

運動量がｐの正エネルギーのspinor:

ｗ^(r)(ｐ)exp(－iＥｔ＋iｐｒ)(ｒ＝1,2)は,

逆符号の運動量－ｐを持つspinor:

ｗ^(r')(－ｐ)exp(iＥｔ＋iｐｒ)(ｒ'＝3,4)

のHermite共役と直交するという描像です。

そこで,同じ空間運動量ｐを持ち反対符号のエネルギーを持つ

平面波解ψ^(r)(ｘ),ψ^(r')(ｘ)は,ｒ＝1,2;ｒ'＝3,4,または

ｒ＝3,4;ｒ'＝1,2ならψ^(r)+(ｘ)ψ^(r')(ｘ)＝0 になるという意味

で直交します。

さて,ｕ(ｐ,ｓ)で運動量:ｐ^μ＝(Ｅ,ｐ)とspin:ｓ^μ＝(ｓ⁰,ｓ)

を持つDirac方程式の正エネルギー解を記述します。

すなわち,(γ^μｐ_μ－ｍ)ｕ(ｐ,ｓ)＝0 です。

ただし,ｓ^μは静止系ｐ₀^μ＝(ｍ,0)での偏極ベクトルｓ₀により

ｓ₀^μ＝(0,ｓ₀)で定義される４元ベクトルです。

したがって,任意の慣性座標系でｓ^μｓ_μ＝ｓ₀^μｓ_0μ＝－ｓ₀²

＝－1,ｐ^μｓ_μ＝ｐ₀^μｓ_0μ＝0 です。

そして,ｕ(ｐ,ｓ)がspin:ｓを持つという意味を,

静止系ｐ₀^μ＝(ｍ,0)ではｕ(ｐ₀,ｓ₀)がσｓ₀ｕ(ｐ₀,ｓ₀)

＝ｕ(ｐ₀,ｓ₀)を満たすことと定義します。

ただし,σｓ₀＝σⁱｓ₀ⁱでσⁱ≡ε_ijkσ^jk＝iε_ijkγ^jγ^kです。

行列σⁱ＝iε_ijkγ^jγ^kは,Pauliの２×２スピン行列

σⁱ＝iε_ijkσ^jσ^kの４×４行列版です。

(※下図では区別する便宜のため,４×４行列の方をσ₍₄₎^k,と

表記しました。※)

　　　　　

 静止系では,i∂ψ/∂ｔ＝βｍψ,Ｈ＝βｍですが,

　β＝γ⁰ですから,[Ｈ,σｓ₀]＝ｍ[γ⁰,σⁱｓ₀ⁱ]

  ＝ｍｓ₀ⁱ[γ⁰,σⁱ]＝iｍε_ijkｓ₀ⁱ[γ⁰,γ^jγ^k]＝0 です。

 それ故,σｓ₀は静止系での保存量であってＨとの同時固有状態

  が存在可能です。よって,σｓ₀はｐ₀と同時対角化可能です。

よって,(γ^μｐ_μ－ｍ)ｕ(ｐ,ｓ)＝0,σｓ₀ｕ(ｐ₀,ｓ₀)

＝ｕ(ｐ₀,ｓ₀)によりｕ(ｐ,ｓ)の定義が可能です。

同様に,(γ^μｐ_μ＋ｍ)ｖ(ｐ,ｓ)＝0 を満たす解で,静止系で

－ｓ₀のspinを持つという条件σｓ₀ｖ(ｐ₀,ｓ₀)＝－ｖ(ｐ₀,ｓ₀)

によってｖ(ｐ,ｓ)を定義します。

この結果,ｗ⁽¹⁾(ｐ)＝ｕ(ｐ,ｕ_z),ｗ⁽²⁾(ｐ)＝ｕ(ｐ,－ｕ_z),

ｗ⁽³⁾(ｐ)＝ｖ(ｐ,－ｕ_z),ｗ⁽⁴⁾(ｐ)＝ｖ(ｐ,ｕ_z) です。

ただし,ｕ_z＝(ｕ_z⁰,ｕ_z)は,静止系では,ｕ_z0^μ＝(0,ｕ_z0)

＝(0,0,0,1)という形になる４元ベクトルです。

そして,ｕ_z0＝(0,0,1)はｚ方向の spin-upを意味します。

さて,天下り的ですが,Λ_r(ｐ)≡(ε_rγ^μｐ_μ＋ｍ)/(2ｍ)

(ｒ＝1,2,3,4),またはΛ_±(ｐ)≡(±γ^μｐ_μ＋ｍ)/(2ｍ)

とおけば,

Λ_r(ｐ)Λ_r'(ｐ)＝(1＋ε_rε_r')Λ_r(ｐ)/2 が成立するので,

Λ_＋²(ｐ)＝Λ_＋(ｐ),Λ_－²(ｐ)＝Λ_－(ｐ),

Λ_＋(ｐ)Λ_－(ｐ)＝0,Λ_＋(ｐ)＋Λ_－(ｐ)＝1 です。

Λ_r(ｐ)ｗ^(r')(ｐ)＝(ε_rγ^μｐ_μ＋ｍ)ｗ^(r')(ｐ)/(2ｍ)

＝{ε_r(γ^μｐ_μ－ε_r'ｍ)/(2ｍ)＋(1＋ε_rε_r')/2}ｗ^(r)(ｐ)

＝{(1＋ε_rε_r')/2}ｗ^(r)(ｐ)です。

故に,ｒ＝1,2,かつｒ'＝1,2,または,ｒ＝3,4,かつｒ'＝3,4

なら,Λ_r(ｐ)ｗ^(r')(ｐ)＝ｗ^(r')(ｐ)　です。

ｒ＝1,2,かつｒ'＝3,4,または,ｒ＝3,4,かつｒ'＝1,2

なら,Λ_r(ｐ)ｗ^(r')(ｐ)＝0　です。

そして,また,Σ(ｓ)≡(1＋γ₅γ_μｓ^μ)/2とおきます。

すると,Σ(ｕ_z)＝(1＋γ₅γ_μｕ_z^μ)/2です。

ただし,γ₅＝γ⁵≡iγ⁰γ¹γ²γ³です。

明らかに,Σ(ｕ_z)ｕ(ｐ,ｕ_z)＝ｕ(ｐ,ｕ_z),

Σ(ｕ_z)ｖ(ｐ,ｕ_z)＝ｖ(ｐ,ｕ_z)で,

Σ(－ｕ_z)ｕ(ｐ,ｕ_z)＝Σ(－ｕ_z)ｖ(ｐ,ｕ_z)＝0 です。

Σ(ｕ_z)は共変形なので,Σ(ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)＝ｕ(ｐ,ｓ),

Σ(ｓ)ｖ(ｐ,ｓ)＝ｖ(ｐ,ｓ)で,

Σ(－ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)＝Σ(－ｓ)ｖ(ｐ,ｓ)＝0

が成立します。

以上から,Ｐ₁(ｐ)≡Λ_＋(ｐ)Σ(ｓ),Ｐ₂(ｐ)≡Λ_＋(ｐ)Σ(－ｓ),

Ｐ₃(ｐ)≡Λ_－(ｐ)Σ(－ｓ),Ｐ₄(ｐ)≡Λ_－(ｐ)Σ(ｓ)とおけば,

これらはＰ_r(ｐ)ｗ^(r')(ｐ)＝δ_rr'ｗ^(r')(ｐ),または,

Ｐ_r(ｐ)Ｐ_r'(ｐ)＝δ_rr'を満たす正負のエネルギー固有関数

の射影演算子となります。

さて,これで準備完了したので散乱の伝播関数の話に戻ります。

５/30の記事「散乱の伝播関数(7)」の最後では,

自由電子の伝播関数が,

Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)＝∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4exp{－iｐ(ｘ－ｘ₀)}

×{(γ_μｐ^μ＋ｍ)/(ｐ²－ｍ²＋iε)}

＝∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4exp{－iｐ(ｘ－ｘ₀)}/(γ_μｐ^μ－ｍ＋iε)

で与えられるのを見ました。

これに,上で論じた射影演算子:Λ_±(ｐ)＝(±γ^μｐ_μ＋ｍ)/(2ｍ)

を適用すると,

ｔ＞ｔ₀ならＳ_F(ｘ－ｘ₀)

＝－i∫ｄ³ｐ(2π)^-3exp{－iＥ(ｔ－ｔ₀)}exp{iｐ(ｒ－ｒ₀)}

(ｍ/Ｅ)Λ_＋(ｐ),

ｔ＜ｔ₀ならＳ_F(ｘ－ｘ₀)

＝－i∫ｄ³ｐ(2π)^-3exp{iＥ(ｔ－ｔ₀)}exp{－iｐ(ｒ－ｒ₀)}

(ｍ/Ｅ)Λ_－(ｐ)　です。

そこで,ｐ^o＝Ｅ＞0 として,

Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)＝－i∫ｄ³ｐ(2π)^-3(ｍ/Ｅ)[θ(ｔ－ｔ₀)Λ_＋(ｐ)

exp{－iｐ(ｘ－ｘ₀)}＋θ(ｔ₀－ｔ)Λ_－(ｐ)exp{iｐ(ｘ－ｘ₀)}]

を得ます。

ところで,Σ_r=1⁴ε_rｗ^(r)_α(ｐ)ｗ^(r)~_β(ｐ)＝δ_αβ or

Σ_r=1⁴ε_rｗ^(r)(ｐ)ｗ^(r)~(ｐ)＝1ですから,

Λ_＋(ｐ)Σ_r=1⁴ε_rｗ^(r)(ｐ)ｗ^(r)~(ｐ)

＝Σ_r=1²ｗ^(r)(ｐ)ｗ^(r)~(ｐ)

＝Λ_＋(ｐ),

Λ_－(ｐ)Σ_r=1⁴ε_rｗ^(r)(ｐ)ｗ^(r)~(ｐ)

＝－Σ_r=3⁴ｗ^(r)(ｐ)ｗ^(r)~(ｐ)

＝Λ_－(ｐ)　です。

故に,規格化された波動関数を,

ψ_p^(r)(ｘ)≡(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ)^1/2ｗ^(r)(ｐ)exp{－iε_rｐ(ｘ－ｘ₀)}

とおくと,

(2π)^-3(ｍ/Ｅ)Λ_＋(ｐ)exp{－iｐ(ｘ－ｘ₀)}

＝Σ_r=1²ψ_p^(r)(ｘ)ψ_p^(r)~(ｘ₀),

－(2π)^-3(ｍ/Ｅ)Λ_－(ｐ)exp{－iｐ(ｘ－ｘ₀)}

＝Σ_r=3⁴ψ_p^(r)(ｘ)ψ_p^(r)~(ｘ₀)　となります。

したがって,Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)

＝－iθ(ｔ－ｔ₀)∫ｄ³ｐΣ_r=1²ψ_p^(r)(ｘ)ψ_p^(r)~(ｘ₀)

＋iθ(ｔ₀－ｔ)∫ｄ³ｐΣ_r=3⁴ψ_p^(r)(ｘ)ψ_p^(r)~(ｘ₀)

を得ます。

そこで,任意の正エネルギー解を,

ψ⁽⁺⁾(ｘ)≡∫ｄ³ｐΣ_r=1²Ｃ_r(ｐ)ψ_p^(r)(ｘ),

任意の負エネルギー解を,

ψ^(-)(ｘ)≡∫ｄ³ｐΣ_r=3⁴Ｃ_r(ｐ)ψ_p^(r)(ｘ)とおきます。

すると,ｗ^(r)+(ε_rｐ)ｗ^(r')(ε_r'ｐ)＝(Ｅ/ｍ)δ_rr' or

ｗ^(r)+(ｐ)ｗ^(r')(ｐ)＝(Ｅ/ｍ)δ_rr'によって,

ψ_p^(r)+(ｘ)ψ_p^(r')(ｘ)＝(2π)^-3δ_rr'です。

また,∫ｄ³ｒ₀(2π)^-3exp{－iε_r(ｐ'－ｐ)ｘ₀}

＝δ(ｐ'－ｐ)exp{－iε_r(ｐ⁰'－ｐ⁰)ｔ₀}ですから,

∫ｄ³ｒ₀∫ｄ³ｐΣ_r=1²ψ_p^(r)(ｘ)ψ_p^(r)~(ｘ₀)γ⁰ψ⁽⁺⁾(ｘ₀)

＝Σ_r,r'=1²∫ｄ³ｐｄ³ｐ'Ｃ_r'(ｐ')ψ_p^(r)(ｘ)∫ｄ³ｒ₀(2π)^-3

(ｍ²/ＥＥ')^1/2ｗ^(r)+(ｐ)ｗ^(r')(ｐ')exp{－iε_r(ｐ'－ｐ)ｘ₀}

＝Σ_r,r'=1²∫ｄ³ｐ(ｍ/Ｅ)Ｃ_r'(ｐ)ψ_p^(r)(ｘ)ｗ^(r)+(ｐ)ｗ^(r')(ｐ)

＝Σ_r=1²∫ｄ³ｐＣ_r(ｐ)ψ_p^(r)(ｘ)＝ψ⁽⁺⁾(ｘ)

を得ます。

したがって,θ(ｔ－ｔ₀)ψ⁽⁺⁾(ｘ)

＝i∫ｄ³ｒ₀Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)γ⁰ψ⁽⁺⁾(ｘ₀)が成立します。

同様にして,θ(ｔ₀－ｔ)ψ^(-)(ｘ)

＝－i∫ｄ³ｒ₀Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)γ⁰ψ^(-)(ｘ₀) も成立します。

これらは,Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)が正エネルギー解ψ⁽⁺⁾(ｘ₀)を時間

の前方(＝未来)へ,負エネルギー解ψ^(-)(ｘ₀)を時間の後方

(＝過去)へ運ぶことを明示しています。

Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)は自由電子のFeyman-propagater(伝播関数)として

知られています。

これは,最初1942年に,Stükelbergによって陽電子理論に導入され

ました。

そして,1948年には,Feynmanによっても独立に導入されました。

Feynmanはそれを広範囲にわたって実際の計算に適用しました。

自由伝播関数Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)から,正確で完全なGreen関数,そして,

Ｓ行列要素,つまり相互作用の力場が存在する場合の電子や陽電子

の種々の散乱過程に対する振幅を作ることができます。

このことを遂行するため,前の非相対論的扱いを書き直します。

まず,電磁相互作用のみ存在する場合の正確なFeyman-propagater

(伝播関数)Ｓ_F'(ｘ;ｘ₀)は,

[iγ_μ(∂/∂ｘ_μ)－ｅγ_μＡ^μ(ｘ)－ｍ]Ｓ_F'(ｘ;ｘ₀)

＝δ⁴(ｘ－ｘ₀) を満たします。

これと,前に求めた式:{i(∂/∂ｔ)－Ｈ₀(ｘ)}Ｇ(ｘ;ｘ₀)

＝∫ｄ⁴ｘ₁δ⁴(ｘ－ｘ₁)[δ⁴(ｘ₁－ｘ₀)＋Ｖ(ｘ₁)Ｇ(ｘ₁;ｘ₀)],

および,Ｇ(ｘ;ｘ₀)

＝∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀(ｘ;ｘ₁)[δ⁴(ｘ₁－ｘ₀)＋Ｖ(ｘ₁)Ｇ(ｘ₁;ｘ₀)]

＝Ｇ₀(ｘ;ｘ₁)＋∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀(ｘ;ｘ₁)Ｖ(ｘ₁)Ｇ(ｘ₁;ｘ₀)

を利用します。

つまり,上の表現で{i(∂/∂ｔ)－Ｈ(ｘ)}γ⁰,Ｖ(ｘ₁)γ⁰を,

それぞれ,(iγ^μ∂_μ－ｍ),－ｅγ_μＡ^μ(ｘ)に置き換え,

Ｇ₀(ｘ;ｘ₀),Ｇ(ｘ;ｘ₀)を,それぞれ,

Ｓ_F(ｘ－ｘ₀),Ｓ_F'(ｘ;ｘ₀) に置換します。

　すると,{i(∂/∂ｔ)－Ｈ₀(ｘ)}Ｇ(ｘ;ｘ₀)

　＝∫ｄ⁴ｘ₁δ⁴(ｘ－ｘ₁)[δ⁴(ｘ₁－ｘ₀)＋Ｖ(ｘ₁)Ｇ(ｘ₁;ｘ₀)]は,

　(iγ^μ∂_μ－ｍ)Ｓ_F'(ｘ;ｘ₀)

　＝∫ｄ⁴ｙδ⁴(ｘ－ｙ)[δ⁴(ｙ－ｘ₀)＋ｅγ_μＡ^μ(ｙ)Ｓ_F'(ｙ;ｘ₀)

　となります。

　これとδ⁴(ｘ－ｙ)＝(iγ^μ∂_μ－ｍ)Ｓ_F(ｘ－ｙ)より,

　(iγ^μ∂_μ－ｍ)Ｓ_F'(ｘ;ｘ₀)

　＝(iγ^μ∂_μ－ｍ)[Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)

　＋ｅ∫ｄ⁴ｙＳ_F(ｘ－ｙ)γ_μＡ^μ(ｙ)Ｓ_F'(ｙ;ｘ₀)]

　が成立します。

　すなわち,Ｓ_F'(ｘ;ｘ₀)＝Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)

　＋ｅ∫ｄ⁴ｙＳ_F(ｘ－ｙ)γ_μＡ^μ(ｙ)Ｓ_F'(ｙ;ｘ₀)

　が成立します。

また,Dirac方程式;(iγ^μ∂_μ－ｍ)Ψ(ｘ)＝ｅγ_μＡ^μ(ｘ)Ψ(ｘ)

の正確な解で,Feynmanの境界条件を満たすΨ(ｘ)を考えます。

　先述したように,相互作用のない自由伝播関数は,

　Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)

 ＝－iθ(ｔ－ｔ₀)∫ｄ³ｐΣ_r=1²ψ_p^(r)(ｘ)ψ_p^(r)~(ｘ₀)

　＋iθ(ｔ₀－ｔ)∫ｄ³ｐΣ_r=3⁴ψ_p^(r)(ｘ)ψ_p^(r)~(ｘ₀)

　で与えられます。

　そこで,ψ(ｘ₀)が正負の両振動数成分を含む場合でも,

　ｔ＞ｔ₀ではψ(ｘ)は自由電子の正振動数成分のみの重ね合わせ

　としてψ(ｘ)＝i∫ｄ³ｒ₀Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)γ⁰ψ(ｘ₀)と表わされます。

　一方,Ψ(ｙ)＝lim _t0→-∞ i∫ｄ³ｒ₀Ｓ_F'(ｙ;ｘ₀)γ⁰ψ(ｘ₀)

　です。

 そこで,Ｓ_F'(ｘ;ｘ₀)

　＝Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)＋ｅ∫ｄ⁴ｙＳ_F(ｘ－ｙ)γ_μＡ^μ(ｙ)Ｓ_F'(ｙ;ｘ₀)

　により,

　Ψ(ｘ)＝ψ(ｘ)＋ｅ∫ｄ⁴ｙＳ_F(ｘ－ｙ)γ_μＡ^μ(ｙ)Ψ(ｙ)

　です。

 他方,ｔ＜ｔ₀ではψ(ｘ)は自由電子の負振動数成分のみの

　重ね合わせとして,ψ(ｘ)＝－i∫ｄ³ｒ₀Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)γ⁰ψ(ｘ₀)

　と表現され,

　Ψ(ｙ)＝lim _{t0→ ∞} (－i)∫ｄ³ｒ₀Ｓ_F'(ｙ;ｘ₀)γ⁰ψ(ｘ₀)

　です。

よって,いずれの場合も、

Ψ(ｘ)＝ψ(ｘ)＋ｅ∫ｄ⁴ｙＳ_F(ｘ－ｙ)γ_μＡ^μ(ｙ)Ψ(ｙ)

なる同じ表現が得られます。

そして,Ψ(ｘ)＝ψ(ｘ)＋ｅ∫ｄ⁴ｙＳ_F(ｘ－ｙ)γ_μＡ^μ(ｙ)Ψ(ｙ)

は,未来ｔ＞ｔ₀では正振動数成分のみ,過去ｔ＜ｔ₀では負振動数

成分のみを含みます。

すなわち,ｔ→ ∞ では,

Ψ(ｘ)－ψ(ｘ)＝∫ｄ³ｐΣ_r=1²ψ_p^(r)(ｘ)[－iｅ∫ｄ⁴ｙψ_p^(r)~(ｙ)

γ_μＡ^μ(ｙ)Ψ(ｙ)],

および,ｔ→－∞ では,

Ψ(ｘ)－ψ(ｘ)＝∫ｄ³ｐΣ_r=3⁴ψ_p^(r)(ｘ)[＋iｅ∫ｄ⁴ｙψ_p^(r)~(ｙ)

γ_μＡ^μ(ｙ)Ψ(ｙ)]　です。

[ ]の中は,いずれもｐ,ｒに依存するｃ-数です。

こうして,電磁場Ａ^μ(ｙ)による散乱では,"散乱後(未来)ｔ→ ∞

には電子は決して負エネルギーの海に落ちないという空孔理論

の要請"に従う散乱定式化が得られました。

まだ,満たされてない正エネルギー状態のみを取ることができる

のです。

今日はここまでにします。

参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics" (McGraw-Hill)

PS:今６/８(火)22時半です。

今日も,ちゃんと椎名町駅近く(目白５丁目)で18：45～20：45

の手話講習会(第６回)(私は４回目)を受けてきました。

そろそろ,クラスに馴染んできて楽しいです。 

(金払って飲み屋に行かなくても話相手がたくさんいるし。)

今日は往きはJR山手線で巣鴨→目白,都バスで目白→聖母病院,

帰りは西武線で椎名町→池袋,都バスで池袋→西巣鴨,都営三田線

で西巣鴨→巣鴨のコースでした。

都営は無料なのですが,往きはノンビリ都バスで巣鴨→池袋だと

時間かかって遅れる可能性があるので,このコースがいいかも

知れません。

PS2:いくらケンカが強いから,いくら頭がいいからといっても

人は決して神ではない!!

増長している私,あなたのそばにもきっと自分の器,裁量を

はるかに超えた,どうしようもないモンスターがいるはずだ。。

人間とは,子供とは,大人とは,男とは,女とは,年寄りとは,

こういうものだ。。と狭い固定観念で上から目線で決め付け

てはいけない。。。

上には上の例外,突然変異のモンスター,ミュータントがいる。。

ＧＴＯでも"ごくせんのヤンクミ"でもままならない子供とかね。

それでもなお,無常である,滅びるが故に救いはある。

殺されてもひたすら愛するとか。。

↑ ※自分でも何を言いたいのか？わからない。

何となく浮かんだ啓示か,散文詩のような。。

何故か,私の中のモンスターもあばれているよ。。