場理論におけるＳ行列とLSZの公式(2)

場理論におけるＳ行列とLSZの公式の続きです。

§16.4 Spectral representation for the Vacuum Expectation

Value of the Commutator and the Propagator

for a Scalar Field 

(スカラー場の交換子と伝播関数の真空期待値のスペクトル表示)

くりこみ定数Ｚの表現を得るため,場の交換子の真空期待値:

iΔ'(ｘ,ｙ)≡＜0|[φ(ｘ),φ(ｙ)]|0＞ の一般形を作ります。

一般に,自由場と異なり,φ(ｘ)が満たす場の方程式は陽には

解けないので,真空期待値でなく交換子:[φ(ｘ),φ(ｙ)]自身

を与えることはできません。

Ｐ^^μ|ｎ＞＝ｐ_n^μ|ｎ＞を満たす固有状態:|ｎ＞の完全系

(complete set):{|ｎ＞}により,

Δ'(ｘ,ｙ)＝－i＜0|[φ(ｘ),φ(ｙ)]|0＞の右辺の中央部

に恒等式:1＝Σ_n|ｎ＞＜ｎ|を挿入すると,

Δ'(ｘ,ｙ)＝－i＜0|[φ(ｘ),φ(ｙ)]|0＞

＝－iΣ_n{＜0|φ(ｘ)|ｎ＞＜ｎ|φ(ｙ)|0＞

－＜0|φ(ｙ)|ｎ＞＜ｎ|φ(ｘ)|0＞}　

が得られます。

そして,場の平行移動不変性:

[Ｐ^^μ,φ(ｘ)]＝－i(∂φ(ｘ)/∂ｘ_μ)により,

φ(ｘ)＝exp(iＰ^ｘ)φ(0)exp(－iＰ^ｘ)ですから,

＜ｎ|φ(ｘ)|ｍ＞＝＜ｎ|exp(iＰ^ｘ)φ(0)exp(－iＰ^ｘ)|ｍ＞

＝exp{i(ｐ_n－ｐ_m)ｘ}＜ｎ|φ(0)|ｍ＞

です。

そこで,Δ'(ｘ,ｙ)

＝－iΣ_n＜0|φ(0)|ｎ＞＜ｎ|φ(0)|0＞[exp{－iｐ_n (ｘ－ｙ)}

－exp{iｐ_n (ｘ－ｙ)}]

＝－iΣ_n|＜0|φ(0)|ｎ＞|²[exp{－iｐ_n (ｘ－ｙ)}

－exp{iｐ_n (ｘ－ｙ)}]

と書けます。

よって,Δ'(ｘ,ｙ)は(ｘ－ｙ)のみの関数ですから,

以後,これをΔ'(ｘ－ｙ)と書きます。

こう書き換えた表現では,

Δ'(ｘ－ｙ)＝－iΣ_n|＜0|φ(0)|ｎ＞|²[exp{－iｐ_n(ｘ－ｙ)}

－exp{iｐ_n (ｘ－ｙ)}]　です。

右辺に 1＝∫ｄ⁴ｑδ⁴(ｐ_n－ｑ)を掛けると,

Δ'(ｘ－ｙ)＝－i(2π)^-3∫ｄ⁴ｑ[(2π)³Σ_nδ⁴(ｐ_n－ｑ)|

＜0|φ(0)|ｎ＞|²][exp{－iｑ (ｘ－ｙ)}－exp{iｑ (ｘ－ｙ)}]

＝－i(2π)^-3∫ｄ⁴ｑρ(ｑ)[exp{－iｑ (ｘ－ｙ)}－exp{iｑ (ｘ－ｙ)}]

となります。

ただし,ρ(ｑ)≡(2π)³Σ_nδ⁴(ｐ_n－ｑ)|＜0|φ(0)|ｎ＞|²

と定義して,これを使用しました。

このρ(ｑ)はスペクトル振幅(spectral amplitude)と

呼ばれる量ですが,固有状態|ｑ＞に対して同じエネルギー

・運動量ｐ_n＝ｑを持つ全ての固有状態:|ｎ＞のΔ'への寄与

を測るものです。

量ρ(ｑ)は,実はｑ²だけの関数であってLorentzスカラーである

ことは次のようにして示すことができます。

φ(ｘ)はスカラー場ですから,Lorentz変換:ｘ→ｘ'＝ａｘ

(ｘ'^μ＝ａ^μ_νｘ^ν)に対応して,

任意の状態:｜α＞が,|α＞ ← |α'＞＝Ｕ(ａ)|α＞

なるユニタリ変換を受けるなら,

＜α'|φ(ｘ)|β'＞＝＜α|Ｕ(ａ)^-1φ(ｘ)Ｕ(ａ)β＞

＝＜α|φ(ｘ'))|β＞ です。

　すなわち,φ(ａｘ)＝Ｕ(ａ)^-1φ(ｘ)Ｕ(ａ)と書けます。

　よって,φ(0)＝Ｕ(ａ)^-1φ(0)Ｕ(ａ)ですが,真空の不変性

:Ｕ(ａ)|0＞＝|0＞から,＜0|φ(0)|ｎ＞＝＜0|φ(0)Ｕ(ａ)|ｎ＞

　です。

　故に,ρ(ｑ)＝(2π)³Σ_nδ⁴(ｐ_n－ｑ)|＜0|φ(0)Ｕ(ａ)||ｎ＞|²

が成立します。

　一方,Ｕ(ａ)^-1Ｐ^Ｕ(ａ)＝ａＰ^より,

＜ｎ|Ｕ(ａ)^-1Ｐ^Ｕ(ａ)|ｎ＞＝ａｐ_nですから,|

ｍ＞≡Ｕ(ａ)|ｎ＞と置くと|ｍ＞はＰ^^μのａ^μ_νｐ_n^νに属する

固有状態です。

　また,δ関数のLorentz不変性から

δ⁴(ｐ_n－ｑ)＝δ⁴(ａ^-1(ｐ_n－ｑ))が成立します。

以上から,

ρ(ｑ)＝(2π)³Σ_mδ⁴(ｐ_n－ａ^-1ｑ))|＜0|φ(0)|ｍ＞|²＝ρ(ａ^-1ｑ)

を得ます。

それ故,ρ(ｑ)はLorentzスカラーでｑ→ａｑに依らない量であり,

ｑ²だけの関数であると考えられます。

しかし,さらに,エネルギー・運動量の固有値ｐ^μはｐ²≧0,かつ

ｐ⁰≧0を満たすべきであるという要請がありましたから,ｑ²≧0,

かつｑ⁰≧0でないならｑ＝ｐ_nを満たす固有状態|ｎ＞は存在せず

ρ(ｑ)＝0 です。

したがって,ρ(ｑ)≡ρ(ｑ²)θ(ｑ⁰)と書くことができて,

ｑ²＜0ならρ(ｑ²)＝0です。

また,ρ(ｑ²)θ(ｑ⁰)＝(2π)³Σ_nδ⁴(ｐ_n－ｑ)|＜0|φ(0)||ｎ＞|²

の右辺の形から常にρ(ｑ²)≧0 です。

結局,Δ'(ｘ－ｙ)

＝－i(2π)^-3∫ｄ⁴ｑρ(ｑ²)θ(ｑ⁰)[exp{－iｑ (ｘ－ｙ)}

－exp{iｑ (ｘ－ｙ)}]

＝－i(2π)^-3∫₀^∞ｄσ²ρ(σ²)∫ｄ⁴ｑδ(ｑ²－σ²)θ(ｑ⁰)

[exp{－iｑ (ｘ－ｙ)}－exp{iｑ(ｘ－ｙ)}

です。

したがって,Δ'(ｘ－ｙ)＝∫₀^∞ｄσ²ρ(σ²)Δ(ｘ－ｙ;σ²)

なる表現を得ました。

この簡明な最終表式を交換関係の真空期待値に対する

スペクトル表示(spectral representation)といいます。

ただし,iΔ(ｘ－ｙ;σ²)は質量がσの自由なKlein-Gordon場

の交換関係です。

例えば,入射漸近場φ_inは(□＋ｍ²)φ_in(ｘ)＝0 に従う自由場

なので iΔ(ｘ－ｙ;ｍ²)＝[φ_in(ｘ),φ_in(ｙ)]です。

※(注):[φ_in(ｘ),φ_in(ｙ)]

＝(2π)^-3∫ｄ³ｋｄ³ｑ(4ω_kω_q)^-1/2{[ａ_in^(ｋ),ａ_in^⁺(ｑ)]

exp(－iｋｘ＋iｑｙ)＋[ａ_in^⁺(ｋ),ａ_in^(ｑ)]exp(iｋｘ－iｑｙ)}

＝(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1[exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}

－exp{iｋ(ｘ－ｙ)}];ω_k≡(ｋ²＋ｍ²)^1/2

です。

ところで,「散乱の伝播関数の理論(13)(応用2-1)」では,

ｄ³ｐ/(2Ｅ)積分が,ｄ³ｐ/(2Ｅ)＝∫₀^∞ｄｐ⁰δ(ｐ²－ｍ²)ｄ³ｐ

＝∫_-∞^∞ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²－ｍ²);

ただし,Ｅ＝(ｐ²＋ｍ²)^1/2と,ｄ⁴ｐ積分で表現できることを見ました。

故に,iΔ(ｘ－ｙ;ｍ²)＝[φ_in(ｘ),φ_in(ｙ)]

＝(2π)^-3∫ｄ⁴ｋθ(ｋ⁰)δ(ｋ²－ｍ²)[exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}

－exp{iｋ(ｘ－ｙ)}]を得ます。　(注終わり)※

　真空期待値に対するスペクトル表示:

　Δ'(ｘ－ｙ)＝∫₀^∞ｄσ²ρ(σ²)Δ(ｘ－ｙ;σ²)は直ちに

"伝播関数＝Green関数":iΔ_F'(ｘ－ｙ)＝＜0|Ｔ(φ(ｘ)φ(ｙ))|0＞

に拡張できてΔ_F'(ｘ－ｙ)＝∫₀^∞ｄσ²ρ(σ²)Δ_F(ｘ－ｙ;σ²)

となります。

ただし,Δ_F(ｘ－ｙ;σ²)は質量がσの自由スカラー場の伝播関数

であり,そのFourier表示は, 

Δ_F(ｘ－ｙ;σ²)＝i∫ｄ⁴ｐ[exp{－iｐ(ｘ－ｙ)}/(ｐ²－σ²＋iε)] 

です。

※(注):まず,iΔ_F'(ｘ－ｙ)＝－i＜0|Ｔ(φ(ｘ)φ(ｙ))|0＞の

中心に固有状態|ｎ＞の完全系を挿入すると,

 Δ_F'(ｘ－ｙ)＝－i＜0|Ｔ(φ(ｘ)φ(ｙ))|0＞

＝－iΣ_n{θ(ｘ⁰－ｙ⁰)＜0|φ(ｘ)|ｎ＞＜ｎ|φ(ｙ)|0＞

＋θ(ｙ⁰－ｘ⁰)＜0|φ(ｙ)|ｎ＞

＝Σ_n|＜0|φ(0)|ｎ＞|²[θ(ｘ⁰－ｙ⁰)exp{－iｐ_n(ｘ－ｙ)}

＋θ(ｙ⁰－ｘ⁰)exp{iｐ_n (ｘ－ｙ)}]

です。

さらに,1＝∫ｄ⁴ｑδ⁴(ｐ_n－ｑ)を挿入すると,

Δ_F'(ｘ－ｙ)

＝－i(2π)^-3∫ｄ⁴ｑ[(2π)³Σ_nδ⁴(ｐ_n－ｑ)|＜0|φ(0)|ｎ＞|²]

[θ(ｘ⁰－ｙ⁰)exp{－iｑ(ｘ－ｙ)}＋θ(ｙ⁰－ｘ⁰)exp{iｑ (ｘ－ｙ)}]

です。

結局,

Δ_F'(ｘ－ｙ)

＝－i(2π)^-3∫ｄ⁴ｑρ(ｑ²)θ(ｑ⁰)[θ(ｘ⁰－ｙ⁰)exp{－iｑ (ｘ－ｙ)}＋θ(ｙ⁰－ｘ⁰)exp{iｑ (ｘ－ｙ)}]

＝－i(2π)^-3∫₀^∞ｄσ²ρ(σ²)∫ｄ⁴ｑδ(ｑ²－σ²)θ(ｑ⁰)

[θ(ｘ⁰－ｙ⁰)exp{－iｑ (ｘ－ｙ)}＋θ(ｙ⁰－ｘ⁰)exp{iｑ (ｘ－ｙ)}]

を得ます。

前と同じく,∫ｄ⁴ｑθ(ｑ⁰)δ(ｑ²－σ²)＝∫ｄ³ｑ(2ω_q)^-1より,

(2π)^-3∫ｄ⁴ｑδ(ｑ²－σ²)θ(ｑ⁰)[θ(ｘ⁰－ｙ⁰)exp{－iｑ (ｘ－ｙ)}

＋θ(ｙ⁰－ｘ⁰)exp{iｑ (ｘ－ｙ)}]

＝(2π)^-3∫ｄ³ｑ(2ω_q)^-1)[θ(ｘ⁰－ｙ⁰)exp{－iｑ(ｘ－ｙ)}

＋θ(ｙ⁰－ｘ⁰)exp{iｑ (ｘ－ｙ)}]＝iΔ_F(ｘ－ｙ,σ²)

です。

すなわち,Δ_F'(ｘ－ｙ)＝∫₀^∞ｄσ²ρ(σ²)Δ_F(ｘ－ｙ;σ²)

です。　(注終わり)※

さて,Δ_F'(ｘ－ｙ)＝∫₀^∞ｄσ²ρ(σ²)Δ_F(ｘ－ｙ;σ²)

＝i∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4exp{－iｐ(ｘ－ｙ)}

[∫₀^∞ｄσ²ρ(σ²)/(ｐ²－σ²＋iε)]なので,

Δ_F'(ｐ)≡∫₀^∞ｄσ²[ρ(σ²)/(ｐ²－σ²＋iε)]とおけば

Δ_F'(ｘ－ｙ)＝i∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4Δ_F’(ｐ)exp{－iｐ(ｘ－ｙ)}

と書けます。

一方,ρ(ｑ²)θ(ｑ⁰)＝(2π)³Σ_nδ⁴(ｐ_n－ｑ)|＜0|φ(0)||ｎ＞|²

の右辺の{＜0|φ(0)||ｎ＞|²の固有状態｜ｎ＞のうちで

１粒子状態|ｐ＞の寄与のみに着目します。

そして,入射漸近場(In-field):φ_inの定義;

√Ｚφ_in(ｘ)＝φ(ｘ)－∫ｄ⁴ｙΔ_ret(ｘ－ｙ;ｍ)ｊ~(ｙ)

から,＜0|φ(ｘ)|ｐ＞＝√Ｚ＜0|φ_in(ｘ)|ｐ＞

＋∫ｄ⁴ｙΔ_ret(ｘ－ｙ;ｍ)＜0|ｊ~(ｙ)|ｐ＞

です。

ところが,＜0|ｊ~(ｙ)|ｐ＞＝＜0|(□_y＋ｍ²)φ(ｙ)|ｐ＞

＝(□_y＋ｍ²)exp(－iｐｙ)＜0|φ(0)|ｐ＞

＝(－ｐ＋ｍ²)＜0|φ(ｙ)|ｐ＞＝0 が成立するので

右辺第２項はゼロです。

したがって,＜0|φ(ｘ)|ｐ＞＝√Ｚ＜0|φ_in(ｘ)|ｐ＞で,

√Ｚはφ(ｘ)を媒介して真空から１粒子状態を生成する振幅

を示しています。

定義によってφ_in(ｘ)は真空から１粒子状態を生成する行列要素

の単位振幅となるように規格化されているため,

＜0|φ_in(ｘ)|ｐ＞＝∫ｄ³ｋ(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2＜0|ａ^_in(ｋ)|ｐ＞

＝(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2exp(－iｐｘ)　です。

そこで,＜0|φ(ｘ)|ｐ＞＝√Ｚ(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2exp(－iｐｘ)

であり,|＜0|φ(0)|ｐ＞|²＝(2π)^-3(2ω_p)^-1Ｚ　

です。

故に,スペクトル振幅ρ(ｑ)＝ρ(ｑ²)θ(ｑ⁰)

＝(2π)³Σ_nδ⁴(ｐ_n－ｑ)|＜0|φ(0)|ｎ＞|²への

１粒子状態:|ｐ＞の寄与を分離して取り出すと,

(2π)³∫ｄ³ｐδ⁴(ｐ－ｑ)(2π)^-3(2ω_p)^-1Ｚ

＝∫ｄ⁴ｐδ(ｐ²－ｍ²)θ(ｐ⁰)δ⁴(ｐ－ｑ)Ｚ

＝Ｚδ(ｑ²－ｍ²)θ(ｑ⁰)

となります。

これから,Δ'(ｘ－ｙ)＝∫₀^∞ｄσ²ρ(σ²)Δ(ｘ－ｙ;σ²)は

Δ'(ｘ－ｙ)＝ＺΔ(ｘ－ｙ;ｍ²)＋∫_mt2^∞ｄσ²ρ(σ²)Δ(ｘ－ｙ;σ²)

です。

ただし,ｍ_t²は１粒子項を超える最小の連続的な平方質量を表わす

閾値(threshold)です。

π中間子の場合には,ｍ＝ｍ_πであり,今はπよりも軽い粒子の

存在や束縛状態の存在を仮定しないのでｍ_t²＝4ｍ_t²です。

ここで,得られた式:

Δ'(ｘ－ｙ)＝ＺΔ(ｘ－ｙ;ｍ²)＋∫_mt2^∞ｄσ²ρ(σ²)Δ(ｘ－ｙ;σ²)

の両辺を時刻ｘ⁰＝ｔで微分した後に,ｙ⁰＝ｘ⁰＝ｔとおきます。

lim _y0→x0 {∂Δ'(ｘ－ｙ)/∂ｘ⁰}＝＜0|[π(ｘ,ｔ),φ(ｙ,ｔ)]

＝－iδ³(ｘ－ｙ)＝lim _y0→x0 {∂Δ((ｘ－ｙ;σ²)/∂ｘ⁰}

ですから,1＝Ｚ＋∫_mt2^∞ρ(σ²)ｄσ²を得ます。

そこで,ρ(σ²)≧0 によって定数Ｚに対し,0≦Ｚ≦1なる制限

が課せられます。

もしもσ²≧ｍ_t²の連続領域に何らかのρ(σ²)＞0 なる相互作用

が存在すれば,Ｚ＝1は除外されて 0≦Ｚ＜1です。

そこで,自由場の１に比べてφ(ｘ)が真空から１粒子を生成する

振幅Ｚは１より小さくなると予測されます。

√Ｚφ_in(ｘ)＝φ(ｘ)－∫ｄ⁴ｙΔ_ret(ｘ－ｙ;ｍ)ｊ~(ｙ)がＺφ_in(ｘ)

を定義し.漸近条件:lim_t→-∞＜α|φ^f(ｔ)|β＞＝√Ｚ＜α|φ_in^f|β＞

を満たす状態：

|ｋ₁,ｋ₂,..,ｋ_N;in＞≡ａ_in^⁺(ｋ₁)ａ_in^⁺(ｋ₂)..ａ_in^⁺(ｋ_N)|0＞を

構成するとすればＺがゼロとなることは許されません。

ところが,実際には摂動展開の個々の項がこの要請を破ることが見出されます。これは困ったことです。

※(注): 級数の各項が発散しても級数和が有限な例を挙げます。

exp(－Λ)－1＝Σ_n=1^∞(－Λⁿ/ｎ!)なる等式を考えると,

Λ→∞ のとき右辺の級数の各項はそれぞれ発散しますが,

左辺の総和は有限な値(－1)に収束します。(注終わり※)

また,Ｚ＜1となるような相互作用が存在する場合には,

漸近条件lim _x0→-∞φ(ｘ) ＝√Ｚφ_in(ｘ)と矛盾します。

つまり,これが正しいと仮定すると,

lim _x0→-∞[φ^d(ｘ,ｔ),φ(ｙ,ｔ)]＝－iδ³(ｘ－ｙ)

＝lim _x0→-∞Ｚ[φ_in^d(ｘ,ｔ),φ_in(ｙ,ｔ)]ですが,

[φ_in^d(ｘ,ｔ),φ_in(ｙ,ｔ)]＝－iδ³(ｘ－ｙ)ですから,

比較によってＺ＝1と結論されます。

こうした場合には,不正確で決まりのない極限操作の順序を

交換することは明らかに正当とは認められません。

§16.5 The Out-field and Out-states(散乱漸近場と散乱漸近状態)

ｔ→－∞では動力学を入射漸近場(In-fields)φ_in(ｘ)の助けで

自由粒子のそれに帰着させたように,ｔ→∞でも散乱漸近場

(outgoing-fields or Out-fields) φ_out(ｘ)を適切に定義する

ことにより同じことをなすことができます。

　これは散乱問題の終状態における状況なので,こうしたｔ→∞

における物理的状態の簡単に記述する手法が求められます。

 φ_out(ｘ)は,φ_in(ｘ)について展開したのとほぼ同じ手順

で構成することができます。

　まず,[Ｐ^^μ,φ_in(ｘ)]＝－i(∂φ_in(ｘ)/∂ｘ_μ),

　(□＋ｍ²)φ_in(ｘ)＝0 のアナロジーで,

　φ_out(ｘ)は２つの条件式:

 [Ｐ^^μ,φ_out(ｘ)]＝－i(∂φ_in(ｘ)/∂ｘ_μ)(平行移動不変),

　(□＋ｍ²)φ_out(ｘ)＝0 (質量ｍの自由スカラー場)を満たす

ように定義されます。

　そして,φ_out(ｘ)もφ_in(ｘ)と同じく,

(□＋ｍ²)＜ｎ|φ_out(ｘ)|0＞

＝(ｍ²－ｐ_n²)＜ｎ|φ_out(ｘ)|0＞＝0

を満たします。

　故に,やはり真空から１粒子状態のみを生成します。

Fourier展開は,φ_out(ｘ,ｔ)

＝∫ｄ³ｋ[ａ_iout^(ｋ)ｆ_k(ｘ)＋ａ_out^⁺(ｋ)ｆ_k^*(ｘ)]

＝∫ｄ³ｋ{(2π)³2ω_k}^-1/2[ａ_out^(ｋ)exp(iｋｘ－iω_kｔ)

＋ａ_out^⁺(ｋ)exp(－iｋｘ＋iω_kｔ)];ω_k≡(ｋ²＋ｍ²)^1/2

です。

これから,[Ｐ^^μ,φ_out(ｘ)]＝－i(∂φ_in(ｘ)/∂ｘ_μ)によって,

[Ｐ^^μ,ａ_out^(ｋ)]＝－ｋ^μａ_out^(ｋ),かつ

[Ｐ^^μ,ａ_out^⁺(ｋ)]＝ｋ^μａ_out^⁺ (ｋ)]　を得ます。

　そして,lim _t→-∞＜α|φ^f(ｔ)|β＞＝√Ｚ＜α|φ_in^f|β＞

とは対照的な弱漸近条件:

lim _t→+∞＜α|φ^f(ｔ)|β＞＝√Ｚ＜α|φ_out^f|β＞,

または象徴的にφ(ｘ)→ √Ｚφ_out(ｘ)(ｘ⁰ →＋∞)が

満たされるようにφ_out(ｘ)を定義したいです。

　これらのことから,φ_out(ｘ)を,

　√Ｚφ_out(ｘ)≡φ(ｘ)－∫ｄ⁴ｙΔ_adv(ｘ－ｙ;ｍ)ｊ~(ｙ)

で定義するのが妥当と考えられます。

　ここに,ｘ⁰＞ｙ⁰ならΔ_adv(ｘ－ｙ;ｍ)＝0 を満たす関数:

　Δ_adv(ｘ－ｙ;ｍ)は謂わゆる先進Green関数(advanced Green's function)であり方程式:(□＋ｍ²)Δ_adv(ｘ－ｙ;ｍ)＝δ⁴(ｘ－ｙ)

を満足します。

規格化定数√Ｚは,再び真空から１粒子状態を生成するときに

単位振幅となるように導入されます。

よって,＜0|φ(ｘ)|ｐ＞＝√Ｚ＜0|φ_out(ｘ)|ｐ＞

＝√Ｚ∫ｄ³ｋ(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2＜0|ａ^_out(ｋ)|ｐ＞

＝√Ｚ(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2exp(－iｐｘ)です。

つまり,＜0|φ(ｘ)|ｐ＞＝√Ｚ＜0|φ_in(ｘ)|ｐ＞

＝√Ｚ＜0|φ_out(ｘ)|ｐ＞＝√Ｚ(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2exp(－iｐｘ)

であり,１粒子だけでは自己相互作用以外の相互作用は不可能です。

１粒子波動関数:＜0|φ(ｘ)|ｐ＞は規格化定数が異なるだけで

自由粒子のそれと同じです。

以上から,φ_out(ｘ)の交換子の真空期待値はφ_in(ｘ)の交換子

と同じく自由場のそれと同じです。

すなわち,＜0|[φ_out(ｘ),φ_out(ｙ)]|0＞

＝＜0|[φ_in(ｘ),φ_in(ｙ)]|0＞＝iΔ(ｘ－ｙ)です。

こうした交換子が実際には単なるｃ-数であり,

[φ_out(ｘ),φ_out(ｙ)]＝[φ_in(ｘ),φ_in(ｙ)]＝iΔ(ｘ－ｙ)

と書けることがZimmermanによって証明されています。

今日はここまでにします。

次回はＳ行列要素の明確な定義

Ｓ_βα≡＜β;out|α;in＞を与えることから考察したいと思います。

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell“Relativistic Quantum Fields”(McGraw-Hill)