磁性の古典論

　科学記事についてはちょっと一息入れます。

とはいっても,避けては通れない歴史的話題です。

詳しく勉強したことがなくて得意とはいえない分野の話です。

さて,電場Ｅと磁場(磁束密度)Ｂ,および,その中を速度ｖで

運動する電荷ｑがある系では,電荷ｑがまわりの電場,磁場

によって受ける力は,Ｆ＝ｑ(Ｅ＋ｖ×Ｂ)です。

電場Ｅがない特別な場合を考えると,受ける力は単に

"磁気力＝Lorentzの力":Ｆ＝ｑｖ×Ｂです。

そこで,ある物体の微小体積ΔＶの中にこの電荷ｑを持つ

ｎΔＶ個のキャリア(carrier)があって,この中では電荷の

運動速度ｖが一定なら,ΔＶが全体として受ける力ΔＦは,

ΔＦ＝ｎｑ(ｖ×Ｂ)ΔＶです。

ｎは電荷がｑのキャリアの数密度を意味しますから,

(ｎｑ)は電荷密度,(ｎｑｖ)は電流密度:ｊを表わすため,

結局,この磁気力は,ΔＦ＝(ｊ×Ｂ)ΔＶと書けます。

もしも,ΔＶが断面積Ｓ,長さΔｌの導線ならΔＶ＝ＳΔｌ

ですから,ｊΔＶ＝ｊＳΔｌとなります。

導線の微小な断面積Ｓの上では電流密度ｊの大きさも向きも

一様なら,この導線を流れる電流Ｉ(※導線の任意断面を単位時間

に通過する全電荷)は,Ｉ＝∫_SｊｄＳ＝ｊＳで与えられます。

結局,ΔＦ＝(ｊ×Ｂ)ΔＶ＝(ｊ×Ｂ)ＳΔｌ＝(Ｉ×Ｂ)Δｌ

です。

ここで注目すべきことの１つは,キャリアの電荷ｑの符号

の正負を決めてないことです。

つまり,受ける磁気力ΔＦは電流Ｉの向きには依存しますが,

電流の源である電荷の符号の正負には依存しません。

したがって,磁力の向きを測ることだけから電流のキャリア電荷

の符号は決定できませんね。

(※PS:ちなみに,ホール効果(Hall effect)を測定すればキャリア

が正か負かの符号を決定できるはずです。)

さて,ある微小回路(circuit)Ｃ上を流れる定常電流Ｉが存在

して,これが外部磁場Ｂの影響を受けている場合を想定します。

特にＣの内部が面積Ａの平面領域を構成すると仮定してこの

平面上Ｃの内側に原点Ｏを取り,ｒをＣ上の点の位置ベクトル

としてｒにおける電流をＩ(ｒ)と表記すれば,ループ電流に

働く力は,∫_CｄＦ＝∫_C{Ｉ(ｒ)×Ｂ}ｄｓです。

ただしｄｓ＝|ｄｒ|です。

ところが,電流Ｉ(ｒ)は大きさＩが一定で向きは線素の向き

ｄｒと同じですから,Ｉ(ｒ)ｄｓ＝Ｉｄｒと書けます。

故に,ｄＦ＝Ｉ(ｄｒ×Ｂ)＝－Ｉ(Ｂ×ｄｒ)であり,合力は

Ｆ＝∫_CｄＦ＝－Ｉ∫_C(Ｂ×ｄｒ)です。

さらに,電流が流れているループＣが微小でＣ上では外部磁場

Ｂが一定と見なせるなら,

回路に働く合力:Ｆは,Ｆ＝－ＩＢ×∫_Cｄｒ＝0 です。

しかし,微小回路Ｃは面積Ａを囲むループであって完全な点では

ないので,回路に働く力:Ｆ＝∫_CｄＦはゼロでも,"トルク(torque)

＝力のモーメント":τ＝∫_Cｒ×ｄＦは偶力のような形で存在して

ゼロでない可能性があります。

　実際,磁場Ｂが存在するときに,電流がＩの微小回路Ｃでは,

　τ＝∫_Cｒ×ｄＦ＝－Ｉ∫_Cｒ×(Ｂ×ｄｒ)です。

　公式:Ａ×(Ｂ×Ｃ)＝(ＡＣ)Ｂ－(ＡＢ)Ｃより,

ｒ×(Ｂ×ｄｒ)＝(ｒｄｌ)Ｂ－(ｒＢ)ｄｒですが,

ｒｄｒ＝0ですから,τ＝Ｉ∫_C(ｒＢ)ｄｒ　を得ます。

ところで,Ｂがｒに依らない場合,

ｄ{(ｒＢ)ｒ}＝(ｒＢ)ｄｒ＋(ｄｒＢ)ｒ

なる式が成立します。

これと,恒等式:(ｒ×ｄｒ)×Ｂ＝(ｒＢ)ｄｒ－(ｄｒＢ)ｒ

を辺々加え合わせると,

ｄ{(ｒＢ)ｒ}＋(ｒ×ｄｒ)×Ｂ＝2(ｒＢ)ｄｒ　です。

この式の左辺:ｄ{(ｒＢ)ｒ}をＣ上で積分するとゼロですから,

これを利用すると,∫_C(ｒＢ)ｄｒ＝(1/2)∫_C(ｒ×ｄｒ)×Ｂ

を得ます。

故に,τ＝Ｉ∫_C(ｒＢ)ｄｒ＝(Ｉ/2)∫_C(ｒ×ｄｒ)×Ｂ

が得られます。

他方,微小な環状電流の磁気双極子モーメントは,

μ＝(Ｉ/2)[∫_C(ｒ×ｄｒ)]＝IＡですから,結局Ｃ全体

のトルクとして,τ＝Ｉ∫_C(ｒＢ)ｄｒ＝μ×Ｂ

なる表現を得ます。

ところで,対象としている系が単一の質点であれば,その運動

エネルギーＴは,Ｔ＝(1/2)ｍｖ²＝ｐ²/(2ｍ)　だけです。

　しかし,系が質点系,または大きさのある物体の場合には,

一般には全体として角運動量(古典的には軌道角運動量)を

持って回転していて重心運動のエネルギー:ｐ²/(2ｍ)の他

に回転エネルギーがあります。

軸が一定で,そのまわりの慣性モーメントがＩ_Mの場合,回転角

をθとすると,トータルの運動エネルギーは,

Ｔ＝(1/2)ｍｖ²＋(1/2)Ｉ_M(ｄθ/ｄｔ)²

＝ｐ²/(2ｍ)＋Ｌ²/(2Ｉ_M)です。

ただし,ｐは系の重心運動量でｐ＝ｍｖ;ｖは重心の運動速度

です。

また,Ｌは系の角運動量で回転軸の単位ベクトルをｎと

すると,Ｌ＝Ｉ_M(ｄθ/ｄｔ)ｎです。

　すると,系の運動を支配する基本方程式系は,ｄｐ/ｄｔ＝Ｆ,

および,ｄＬ/ｄｔ＝τです。

　特に,保存力の場合には,位置エネルギーＵ＝Ｕ(ｒ,θ)が

存在して,Ｆ＝－∇Ｕ,τ_θ＝－∂Ｕ/∂θと書けます。

ただし,τ_θはτのθ方向(回転の接線方向)の成分,ｒは

重心位置です。

そこで,ｄＴ/ｄｔ＝(ｄ/ｄｔ){ｐ²/(2ｍ)＋Ｌ²/(2Ｉ_M)}

＝(ｄｐ/ｄｔ)(ｐ/ｍ)＋(ｄＬ/ｄｔ)(Ｌ/Ｉ_M)

＝Ｆ(ｄｒ/ｄｔ)＋τ_θ(ｄθ/ｄｔ)

＝－∇Ｕ(ｄｒ/ｄｔ)－(∂Ｕ/∂θ)(ｄθ/ｄｔ)

＝－ｄＵ/ｄｔです。

　これによって,力学的エネルギーの保存則:

ｄ(Ｔ＋Ｕ)/ｄｔ＝0 が実現されます。

今の微小回路Ｃと磁場Ｂだけが存在する系のように,Ｆがゼロ

のときには,トルクτ_θ＝－∂Ｕ/∂θを満たすトルクτのみが

存在します。

トルクτ＝μ×Ｂのθ成分:τ_θはθが増加するのを妨げる向き

に働くので,τ_θ＝－μＢsinθ＝－ｄＵ/ｄθより,

位置エネルギーＵは積分定数を除いて,

Ｕ＝μＢ∫sinθｄθ＝－μＢcosθ＝－μＢ

を得ます。

一方,中心にある核のまわりを電子が周回しているという

原子の古典模型を想定して原子中の電子の運動をその軌道

ループＣ上を流れる電流と同定することを考えます。

簡単のため,原子は電子が１個だけの水素様電子を想定して,

この電子の軌道Ｃは核を中心とする半径ａ,角速度ωの

等速円運動とします。

すると,回転の速さｖはｖ＝ａωであり回転の周期は

Ｔ＝2π/ω＝2πａ/ｖです。

環状回路Ｃを周期Ｔで電荷:－ｅ(ｅ＞0)の電子が周回するとき

の電流(＝回路Ｃ上の任意の点を単位時間に通過する平均電荷量)

はＩ＝－ｅ/Ｔ＝－ｅω/(2π)で,

磁気モーメントは,μ＝(Ｉ/2)∫_C(ｒ×ｄｒ)です。

一方,周回電子の位置ベクトルをｒとすると,

"角運動量＝軌道角運動量"は,

Ｌ＝ｒ×ｐ＝ｍｒ×ｖ＝ｍｒ×(ｄｒ/ｄｔ)　です。

そして,ＬＴ＝∫₀^TＬｄｔ＝ｍ∫_C(ｒ×ｄｒ)＝2ｍμ/Ｉ

ですから,結局,μ＝(ＩＴ/2ｍ)Ｌです。

こうして,電子の磁気モーメントμとその軌道角運動量Ｌの

よく知られた比例関係:

μ＝{ＩＴ/(2ｍ)}Ｌ＝{－ｅ/(2ｍ)}Ｌ

を得ました。

さらに,水素様原子という特殊系でなく重ね合わせの原理が

成立するとして一般の多電子原子でもこの関係は保持される

と考えられます。

巨視的個数の原子から成る物体系でトータルＮ個の電子の

各々の磁気モーメントと軌道角運動量の総和を考えます。

物体内の各々の電子の角運動量,磁気モ－メントを,それぞれ

Ｌ_j,μ_j＝{－ｅ/(2ｍ)}Ｌ_jとすると,全系の"磁化ベクトル

＝磁気双極子の総和"はＭ＝Σ_j=1^Nμ_jですから,

Ｍ＝{－ｅ/(2ｍ)}Σ_j=1^NＬ_jです。
 

この電子系の総位置エネルギーはＵ＝－ＭＢと書けます。

ところで,ファインマン物理学の第Ⅳ巻「

電磁波と物性」(岩波書店)の"物質の磁性"の章の中では,

"古典物理では物質の磁性を説明できないこと"をほとんど文章

だけで説明しています。

これは,昔初めて読んだ頃の私には,とても奇妙でわかりにくい

という印象がありました。

これについては,以後もとても気になっていたのですが,後に

「ボーア－ファン・リューエンの定理

(Bohr-Van・Leeuwen's theorem)」と呼ばれる統計力学の定理

の説明であることを知りました。

いや,実は定理の詳しい名称は現在は覚えてなかったのですが,

今はネット検索があるので便利な時代ですね。

この定理は,熱力学や統計力学関連のことなら何でも載って

いる百科全書的な演習書:久保亮五 著「熱学 統計力学」

(裳華房)に,ほとんど目立たぬ程度にさらりと載っています。

これが紹介されているのは,この本の第６章

「カノニカル分布の応用」の演習問題[Ｃ]の問題[27]です。

※[27]:古典力学,古典統計にしたがう体系では磁化率は厳密に

ゼロであることを証明せよ。(Bohr-Van・Leeuwenの定理)

(※ヒント:磁場を導くベクトル・ポテンシャルをＡとすると,磁場

がある場合の荷電粒子系のHamiltonianは,

Ｈ＝Σ_j=1^N{1/(2ｍ_j)}{ｐ_j＋ｅＡ(ｒ_j)}²＋Ｕ(ｒ₁,..,ｒ_N)

と書かれる。)

これの解答もちゃんと載っていました。

分配関数Ｚ＝∫..∫exp{－Ｈ/(ｋ_BＴ)}ｄ³ｐ₁..ｄ³ｐ_N

ｄ³ｒ₁..ｄ³ｒ_N　　,は,Hamiltonianが磁場が無い場合の

Ｈ＝Σ_j=1^N[ｐ_j²＋/(2ｍ_j)＋Ｕ(ｒ₁,..,ｒ_N)]でも,磁場がある

場合のＨ＝Σ_j=1^N[{ｐ_j＋ｅＡ(ｒ_j)}²/(2ｍ_j)＋Ｕ(ｒ₁,..,ｒ_N)]

でも同じになります。

これは,運動量積分ｄ³ｐ₁..ｄ³ｐ_N 積分範囲が全運動量空間

なので,結果としてこの部分は磁場に無関係な(2πｍｋ_BＴ)^N/2

になるからです。

Fredholmの自由エネルギーＦをカノニカル分布の分配関数Ｚ

で表現すると,Ｆ＝Ｅ－ＴＳ＝－Ｎｋ_BＴlnＺであり,磁化Ｍは

Ｍ＝－∂Ｆ/∂Ｂで与えられます。

任意の物理系で分配関数ＺがＢによらないという上記結果は,

統計力学に従う熱平衡系では,磁化 or 磁気モーメントは常に

ゼロであることを意味します。※

さて,本ブログの2008年４/９の過去記事

「磁場の中の原子(ゼーマン効果)(2)」で述べたように,

Larmor(ラーモア)の定理というものがあります。

すなわち,トルクτが存在するとき電子の角運動量Ｌが従う

方程式は,ｄＬ/ｄｔ＝τです。

そして,外部磁場Ｂが存在するとき,磁化:Ｍ＝{－ｅ/(2ｍ)}Ｌ

が存在すればトルクはτ＝Ｍ×Ｂ＝{－ｅ/(2ｍ)}Ｌ×Ｂです。

このゼロでないトルクの存在により,Ｌの従う方程式は,

ｄＬ/ｄｔ＝{－ｅ/(2ｍ)}Ｌ×Ｂとなります。

電子系が力を受けるため,Ｌはもはや一定の向きを保持できません。

この運動では,磁場Ｂの方向をｚ軸にとればｄＬ_z/ｄｔ＝0

となり,Ｌ_zは時間的に一定で保存されますから,Ｌの運動は

磁場Ｂの向きを歳差の回転軸とする歳差運動(precession)

です。

　　 

この歳差運動によるLarmorの反磁性理論は次の通りです。

電子質量をｍとするとその角運動量はＬ＝ｒ×ｐ＝ｍｒ×ｖです。

半径ａ,角速度をωで円運動する場合にはＬ＝ｍａ²ωです。

特に磁場が全くないとき,電子の同じ円軌道の角速度を特にω₀

とするとCoulombの法則によって:ｍａω₀²＝ｅ²/(4πε₀ａ²)

です。

この運動では,Ｌ＝ｍａ²ω₀です。

　磁場Ｂが存在する場合には,上記のLarmorの歳差運動の式:

ｄＬ/ｄｔ＝{－ｅ/(2ｍ)}Ｌ×Ｂに代入すると,

ｍａ²(ｄω/ｄｔ)＝{－ｅ/(2ｍ)}ｍａ²ωＢsinθ,

ｄω/ｄｔ＝－{ｅ/(2ｍ)}ωＢsinθ　となります。

　θは歳差運動しているＬがＢとなす角です。

最後の式は,ｍ(ｄｖ/ｄｔ)＝－ｅａωＢsinθですから,

Coulomb電気力と磁場Ｂの両方があれば,

ｍａω²＝ｅ²/(4πε₀ａ²)－ｅａωＢsinθなる等式が

成立するはずです。

故に,ω²－ω₀²＝(－ｅ/ｍ)ωＢsinθですからＢの存在に

よる角速度の変化:Δω＝ω－ω₀は,１次近似で,

Δω～ －{ｅ/(2ｍ)}Ｂsinθ　です。

この角速度の変化は磁気モーメント:

μ＝{－ｅ/(2ｍ)}ＬをΔμ＝{－ｅ/(2ｍ)}ΔＬ

＝{－ｅ/(2ｍ)}(ｍａ²Δω)＝－{ｅ²ａ²/(4ｍ)}Ｂsinθ

だけシフトさせます。

Ｌ＝ｍａ²ω,Ｌ²＝ｍ²ａ⁴ω²ですから,

Δμ＝－{ｅ/(2ｍ)}ΔＬ＝－{ｅ/(2ｍ)}(ｍａ²Δω)

＝－{ｅ²ａ²/(4ｍ)}Ｂsinθ　です。

結局,Δμ＝－{ｅ²Ｌ²/(4ｍ³ａ²ω²)}Ｂsinθ

が得られました。

この効果をLarmorの反磁性といいます。

ところで,統計力学の熱平衡でのエネルギー等分配則によれば,

平均値として,(1/2)＜ｍｖ²＞＝(1/2)＜ｍａ²ω²＞＝(3/2)ｋ_BＴ

なので,熱平衡では,

Δμ＝－{ｅ²Ｌ²/(12ｍ²ｋ_BＴ)}Ｂsinθと結論されます。

よって,系全体の反磁性効果は,

ΔＭ＝ＮΔμ＝－{Ｎｅ²Ｌ²/(12ｍ²ｋ_BＴ)}Ｂ　ですね。

一方,常磁性の話は,2008年４/15の記事

「磁性の話(キュリーの法則) 」で書いた,

Ｍ＝χＨ＝(χ/μ₀)Ｂの比例係数で定義される磁化率:χに

対するCurie(キュリー)の法則:χ＝Ｃ/Ｔ;

Ｃ≡Ｎμ_B²μ₀ｇ_J ²Ｊ(Ｊ＋1)/(3ｋ_B)の古典論版で

与えられます。

ただし,μ_Bはボーア磁子(Bohr magneton)です。

μ＝－ｇ_Jμ_BＪとμ＝－{ｅ/(2ｍ)}Ｌとを比較して,

ｇ_J＝1,－μ_B →ｅ/(2ｍ)として,さらにＪ(Ｊ＋1)をＬ²に

置き換えて古典論に翻訳すると.

χ/μ₀＝Ｎｅ²Ｌ²/(12ｍ²ｋ_BＴ)なる表現を得ます。

しかし,横着をせず直接に熱平衡での統計的平均値としての

古典的磁化Ｍ(Ｂ,Ｔ)を計算してみます。

古典論では軌道角運動量Ｌに対してその磁場Ｂ方向の成分

はＬ_z＝Ｌcosθであり任意の角度θを連続的に取ることが

可能です。

Ｍ(Ｂ,Ｔ)

＝Ｎ∫_-1¹ｄ(cosθ){－ｅＬcosθ/(2ｍ)}

exp{－ｅＬＢcosθ/(2ｍｋ_BＴ)}

/∫_-1¹ｄ(cosθ)exp{－ｅＬＢcosθ/(2ｍｋ_BＴ)}

＝ＮＢ^-1(∂/∂β)ln∫_-1¹ｄ(cosθ)exp{－ｅβＬＢcosθ/(2ｍ)}]

です。

すなわち,

Ｍ(Ｂ,Ｔ)＝ＮＢ^-1(∂/∂β)ln{(iｅβＬＢ/ｍ)sin{ｅβＬＢ/(2ｍ)}]

です。

χ/μ₀を得るためＢ→0 の極限での

Ｍ(Ｂ,Ｔ)/Ｂ

＝ＮＢ^-2(∂/∂β)ln{(iｅβＬＢ/ｍ)sin{ｅβＬＢ/(2ｍ)}

＝ＮＢ^-2[1/β－{ｅＬＢ/(2ｍ)}cos{ｅβＬＢ/(2ｍ)}

/sin{ｅβＬＢ/(2ｍ)}を求めます。

結局,Ｍ(Ｂ,Ｔ)/Ｂ→χ/μ₀

＝ＮＢ^-2[1/β－(1/β)(1－(1/3){ｅβＬＢ/(2ｍ)}²]

＝Ｎｅ²Ｌ²β/(12ｍ²)

＝Ｎｅ²Ｌ²/(12ｍ²ｋ_BＴ)　です。

こうして,先の量子論でのCurieの法則の古典論への置き換え

と同じ結果を得ました。

こうした常磁性に対する理論は基本的にLangevin(ランジュバン)

理論と呼ばれます。

これは,Pierre Curie(ピエール・キュリー)が

Curieの法則:χ＝Ｃ/Ｔを実験的に発見した後,

Paul Langevin(ポール・ランジュバン)がその法則を裏付ける

ために発見した理論です。

上記の導出からわかるように,このCurie-Langevinの法則は,

Ｂ,またはＨが小さいときにだけ成立する法則です。

こうした常磁性磁化:Ｍ＝(χ/μ₀)Ｂは,先に述べたLarmorの

反磁性の磁化シフトΔＭ＝－{Ｎｅ²Ｌ²/(12ｍ²ｋ_BＴ)}Ｂ(１次近似)

によって相殺されゼロとなります。

よって,この結果はこうした型の反磁性,常磁性の存在を古典的

には説明できないことを示すもので,先述の

Bohr-Van・Leeuwenの定理を一部裏付けるものです。

さて,以上の古典論ではスピン(spin)角運動量ｓの存在を考慮

していません。

　スピンがあると仮定した場合には,束縛電子の全角運動量は

Ｊ＝Ｌ＋ｓです。

そこで,対応して原子内電子による全磁気モーメントも

μ＝μ_L＋μ_ｓと分解表現してみます。

それぞれの型の磁気モーメントと角運動量の比例関係を古典論

との対応でμ_L＝{ｇ_Lｅ/(2ｍ)}Ｌ,μ_s＝{ｇ_sｅ/(2ｍ)}Ｌ

と表わして磁気回転比(gyromagnetic-ratio)ｇ_L,ｇ_sを定義

するとｇ_L＝1,ｇ_s～ 2です。

したがって,スピンを考慮すると電子の磁気モーメントは

μ～ {ｅ/(2ｍ)}(Ｌ＋2ｓ)となって単純に角運動量:

Ｊ＝Ｌ＋ｓとの比例関係では表わせません。

(スピンの磁気回転比が2であることの古典的根拠に関しては

2008年４/５の記事「磁場の中の原子(ゼーマン効果)(1)」

のThomas歳差運動の関連の話を参照して下さい。)

スピンが存在する理論と古典論との対応を考えると,磁気回転比

の相違のため量子論では上記の意味での反磁性と常磁性の相殺

は起きず,反磁性か常磁性のいずれかが発現する可能性が

考えられます。

最初は強磁性の古典的話も書くつもりでしたが,後の機会に

まわすことにします。

(参考文献):R.P.Feynman(戸田盛和訳):ファインマン物理学Ⅳ

「電磁波と物性」(岩波書店),

久保亮五著 大学演習「熱学 統計力学」(裳華房),

砂川重信著「理論電磁気学」(第２版)(紀伊国屋書店),

志村史夫監修,中村久理真著「したしむ磁性」(朝倉書店)