波束のぼやけ(量子論覚書き)

　ちょっとCoffee-breakです。といっても数式話ですが。。。

40年以上前に大学で受けた量子力学のＮ先生の講義の板書を私が

授業中に手書きで綴った式だけのノートに注釈をつけて,自由粒子

の波束のぼやけ(ambiguity of wave-packet9),あるいは自由波の

拡散(diffusion)についての覚書きにします。

　１次元ｘの方向に自由進行する平面波は,

　ｐ_k≡ｈ_cｋ,Ｅ_k＝ｈ_c²ｋ²/(2ｍ)とすると,

　ψ_k(ｘ,ｔ)≡exp{i(ｋｘ－ω_kｔ)です。

　ただしω_k＝Ｅ_k/ｈ_c＝ｈ_cｋ²/(2ｍ)で,ｈ_c≡ｈ/(2π);

　ｈはPlanck定数です。

(－iｈ_c∂/∂ｘ)ψ_k(ｘ,ｔ)＝ｈ_cｋψ_k(ｘ,ｔ),

Ｈψ_k(ｘ,ｔ)＝(iｈ_c∂/∂ｔ)ψ_k(ｘ,ｔ)＝ｈ_cωψ_k(ｘ,ｔ)より,

これは運動量:ｐ_x＝－iｈ_c∂/∂ｘの,固有値:ｐ_k＝ｈ_cｋに属する

固有関数,かつエネルギー:Ｈ＝iｈ_c∂/∂ｔの,固有値:

Ｅ_k＝ｈ_c²ｋ²/(2ｍ)に属する固有関数です。

しかし,量子力学では,波動関数ψ_k(ｘ,ｔ)に対して確率密度関数

は,ρ_k(ｘ,t)＝ｃ|ψ_k(ｘ,ｔ)|² (ｃは確率規格化のための正定数)

なる形で与えられるのに対して,

この平面波の関数による密度は積分が発散するという性質(ⅰ):

ｃ^-1∫_-∞^∞ρ_k(ｘ,ｔ)ｄｘ＝∫_-∞^∞|ψ_k(ｘ,ｔ)|²ｄｘ

＝∫_-∞^∞ｄｘ＝∞ 

を有します。

それ故,ψ_k(ｘ,ｔ)は粒子の物理的状態を表わす状態関数としては

不適切です。

とはいっても,性質(ⅱ):

ｃ^-1ρ_k(ｘ,ｔ)＝|ψ_k(ｘ,ｔ)|²＝1(一定) for ∀ｘ∈(－∞, ∞)

を有しますから,

任意の時刻ｔに全ての位置ｘに粒子が存在する確率が等しい,

すなわち,一様密度であるという理想的な拡がりを持つ波を

表わすという,意味は持っています。

目の前から宇宙の果てまで,どこにでも一様に拡がった理想的な

平面波ではなく,現実の局在化した粒子描像をも示す物理的状態

を意味する確率波は,

ψ(ｘ,ｔ)＝(2π)^-1/2∫_-∞^∞φ(ｋ)ψ_k(ｘ,ｔ)ｄｋ

＝(2π)^-1/2∫_-∞^∞φ(ｋ)exp{iｋｘ－iｈ_cｋ²ｔ/(2ｍ)}ｄｋ

のように,

平面波：ψ_k(ｘ,ｔ)≡exp{i(ｋｘ－ω_kｔ)に(2π)^-1/2φ(ｋ)

という重みをつけた重ね合わせで表現されるはずです。

このψ(ｘ,ｔ)であれば,確率密度ρ(ｘ、t)＝|ψ(ｘ,ｔ)|²に対し,

∫_-∞^∞ρ_k(ｘ,ｔ)ｄｘ＝∫_-∞^∞|ψ(ｘ,ｔ)|²ｄｘ＜∞ とできるので

確率波として問題ありません。

こうした平面波の重ね合わせを波束(wave-ｐacket)といいます。

特に初期時刻:ｔ＝0 で,

ψ(ｘ,0)≡(ａπ^1/2)^-1/2exp{－ｘ²/(2ａ²)}exp(iｋ₀ｘ)とおけば,

∫_-∞^∞|ψ(ｘ,0)|²ｄｘ＝1ですから,ｔ＝0 での

確率密度は,ρ(ｘ,0)＝|ψ(ｘ,0)|²＝(ａπ^1/2)^-1exp(－ｘ²/ａ²)

で与えられます。

この確率分布はGauss分布,あるいは正規分布:Ｎ[0,ａ²]です。

また,確率の流速密度は,

Ｊ(ｘ,ｔ)＝Re{ψ^*(ｘ,ｔ)(－iｈ_c/ｍ)∂ψ(ｘ,ｔ)}

ですから,初期時刻のそれは,

Ｊ(ｘ,0)＝(ｈ_cｋ₀/ｍ)(ａπ^1/2)^-1exp(－ｘ²/ａ²)＝ｖ₀ρ(ｘ,0);

ｖ₀≡ｈ_cｋ₀/ｍ)　です。

　そしてψ(ｘ,0)＝(2π)^-1/2∫_-∞^∞φ(ｋ)exp(iｋｘ)ｄｋの

　Fourier逆変換から,重み関数(展開係数)の表現:

　φ(ｋ)＝(2π)^-1/2∫_-∞^∞ψ(ｘ,0)exp(－iｋｘ)ｄｘ

　を得ます。

　さらに,∫_-∞^∞|φ(ｋ)|²ｄｋ＝1　です。

このφ(ｋ)の積分表現に,上記のGauss型のψ(ｘ,0)を代入すると,

φ(ｋ)＝(2π)^-1/2(ａπ^1/2)^-1/2∫_-∞^∞2exp{－ｘ²/(2ａ²)}

exp{－i(ｋ－ｋ₀)ｘ}ｄｘ　を得ます。

右辺の積分計算に,公式:∫_-∞^∞exp(－αｘ²＋iβｘ)ｄｘ

＝(π/α)^1/2exp{－β²/(4α)}を適用すれば,

φ(ｋ)＝(ａ/π^1/2)^1/2exp{－ａ²(ｋ－ｋ₀)²/2}

です。

故に,|φ(ｋ)|²＝(ａ/π^1/2)exp{－ａ²(ｋ－ｋ₀)²}　を得ます。

初期時刻ｔ＝0 での波束の位置の期待値は,

＜ｘ＞＝∫_-∞^∞ψ^*(ｘ,0)ｘψ(ｘ,0)ｄｘ＝0 であり,

波数の期待値は,

＜ｋ＞＝∫_-∞^∞ψ^*(ｘ,0)(－i∂/∂ｘ)ψ(ｘ,0)ｄｘ

＝∫_-∞^∞φ^*(ｋ)ｋφ(ｋ)ｄｋ＝ｋ₀です。

この意味で,|φ(ｋ)|²＝φ^*(ｋ)φ(ｋ)は,波数ｋの空間における

確率密度と解釈されます。

よって,φ(ｋ)は波数の波動関数とでも呼ぶべきものです。

また,|φ(ｋ)|²ｄｋ＝ｈ_c^-1|φ(ｋ)|²ｄｐなので,ｈ_c^-1/2φ(ｋ)は

運動量波動関数とでも呼ぶべきものです。

さて,先の積分公式:∫_-∞^∞exp(－αｘ²＋iβｘ)ｄｘ

＝(π/α)^1/2exp{－β²/(4α)}の両辺をαで微分すると,

∫_-∞^∞ｘ²exp(－αｘ²＋iβｘ)ｄｘ

＝[(1/2)π^1/2α^-3/2－(1/4)π^1/2α^-5/2β²]exp{－β²/(4α)}

となります。

そこで,ｘ²の期待値は,

＜ｘ²＞₀≡∫_-∞^∞ψ^*(ｘ,0)ｘ²ψ(ｘ,0)ｄｘ

＝(ａπ^1/2)^-1∫_-∞^∞ｘ²exp(－ｘ²/ａ²)

＝(ａπ^1/2)^-1(1/2)π^1/2ａ³＝ａ²/2

であることがわかります。

故に,初期時刻ｔ＝0 における位置ｘの不確定性(標準偏差)は,

Δｘ₀＝＜(ｘ－＜ｘ＞₀)²＞₀^1/2＝ａ/√2で与えられます。

同様に,波数ｋの不確定性(標準偏差)を求めると,

Δｋ₀＝＜(ｋ－＜ｋ＞₀)²＞₀^1/2＝＜(ｋ－ｋ₀)²＞₀^1/2

＝1/(√2ａ)です。

以上から,このGauss波束は,初期時刻には不確定性関係の最小値:

Δｘ₀Δｋ₀＝1/2 or Δｘ₀Δｐ₀＝ｈ_c/2 を満たす状態に対応して

いることがわかります。

そして,自由波の伝播式:

ψ(ｘ,ｔ)＝(2π)^-1/2∫_-∞^∞φ(ｋ) exp(iｋｘ－iω_kｔ)ｄｋ

によって,ｔ＞0 における波動関数を求めると,

ψ(ｘ,ｔ)

＝(2π)^-1/2∫_-∞^∞φ(ｋ)exp{iｋｘ－iｈ_cｋ²ｔ/(2ｍ)}ｄｋ

＝(2π)^-1/2(ａ/π^1/2)^1/2∫_-∞^∞exp{－ａ²(ｋ－ｋ₀)²/2}

exp{iｋｘ－iｈ_cｋ²ｔ/(2ｍ)}ｄｋ　です 。

これに,先の公式:∫_-∞^∞exp(－αｘ²＋iβｘ)ｄｘ

＝(π/α)^1/2exp{－β²/(4α)}を適用すると,

ψ(ｘ,ｔ)

＝{π^1/2ａ(1＋iαｔ)}^-1/2exp[－(ｘ－ｖ₀ｔ)²/{2ａ²(1＋iαｔ)}]

exp{i(ｋ₀ｘ－ω₀ｔ)}

を得ます。

ただし,α≡ｈ_c/(ｍａ²),ｖ₀＝ｈ_cｋ₀/ｍ,ω₀＝ｈ_cｋ₀²/(2ｍ)

です。

　そこで,ρ(ｘ,ｔ)＝|ψ(ｘ,ｔ)|²

 ＝[π^1/2ａ{1＋(αｔ)²}^1/2]^-1

 exp[－(ｘ－ｖ₀ｔ)²/{ａ²(1＋(αｔ)²)}],

　Ｊ(ｘ,ｔ)＝Re{ψ^*(ｘ,ｔ)(－iｈ_c/ｍ)∂ψ(ｘ,ｔ)}

　＝ρ(ｘ,ｔ)ｖ₀{1＋(αｔ)²ｘ/(ｖ₀ｔ)}/{1＋(αｔ)²}

　です。

　もちろん,

　∫_-∞^∞ρ(ｘ,ｔ)ｄｘ＝∫_-∞^∞|ψ(ｘ,ｔ)|²ｄｘ＝1

　が成立しています。

ここで,ａ(ｔ)≡ａ{1＋(αｔ)²}^1/2とおけば,

ψ(ｘ,ｔ)＝{π^1/2ａ(ｔ)}^-1/2exp[－(ｘ－ｖ₀ｔ)²/{2ａ(ｔ)²}]

exp{i(ｋ₀ｘ－ω₀ｔ)}ですから,

時刻ｔにおける位置ｘの期待値は,

＜ｘ＞＝∫_-∞^∞ψ^*(ｘ,ｔ)ｘψ(ｘ,ｔ)ｄｘ＝ｖ₀ｔ

です。

つまり確率分布の中心は一定速度ｖ₀で進みます。

そして中心のまわりのゆらぎ(偏差)は,

Δｘ＝＜(ｘ－ｖ₀ｔ)²＞^1/2＝ａ{ｔ)/√2

です。

これらを基にして時間に伴なう波束のぼやけを論じます。

初期時刻ｔ＝0 には,ρ(ｘ,0)＝(ａπ^1/2)^-1exp(－ｘ²/ａ²),

Ｊ(ｘ,0)＝ρ(ｘ,0)ｖ₀であった波束が,

時刻ｔ＞0 には,ρ(ｘ,ｔ)＝[π^1/2ａ{1＋(αｔ)²}^1/2]^-1

exp[－(ｘ－ｖ₀ｔ)²/{ａ²(1＋(αｔ)²)}],

Ｊ(ｘ,ｔ)＝Re{ψ^*(ｘ,ｔ)(－iｈ_c/ｍ)∂ψ(ｘ,ｔ)}

＝ρ(ｘ,ｔ)ｖ₀{1＋(αｔ)²ｘ/(ｖ₀ｔ)}/{1＋(αｔ)²}

になります。

　位置の不確かさ,つまりぼやけ幅は,

　Δｘ＝Δｘ₀{1＋(αｔ)²}^1/2, or ａ(ｔ)＝ａ{1＋(αｔ)²}^1/2

　です。

　時間が経過しても,確率分布とｘ軸の囲う面積は同じなので,

　初期時刻には中心のまわりに密度が集中してGauss分布をして

　いた波束は,その幅Δｘが時間につれて拡がると,

　中心付近の平均の"高さ＝|振幅|²"は時間ｔと共に,

　1/ａ(ｔ)＝1/{1＋(αｔ)²}^1/2の率で下がります。

　つまり,最初ａの程度に拡がって速さｖ₀で進行していた波束は,

　束の中心は常にｖ₀の速さで進行しますが,

　時間ｔの後の波束の広がり幅は{1＋ｈ_cｔ/(ｍａ²)}^1/2倍に拡がり,

　"高さ＝|振幅|²"は,1/{1＋ｈ_cｔ/(ｍａ²)}^1/2程度に

　減少するといえます。

式によれば,この波束のぼやけの程度は,粒子の質量ｍが小さいほど,

そして最初の幅ａが小さいほど急激になります。

ｔ＝0 ではΔｘ₀ ～ ａ/√2,Δｋ₀ ～ 1／(√2ａ)ですが,

ｔ＞0 ではΔｘ ～ ａ{1＋(αｔ)²}^1/2/√2,

Δｋ＝Δｋ₀ ～ 1／(√2ａ)なので,

ΔｘΔｋ≧Δｘ₀Δｋ₀＝1/2 とぼやけていきます。

　例えば,電子では,α＝ｈ_c/(ｍａ²)

　～ (2.36×10^-11cm)(3×10¹⁰cm.sec^-1/ａ²)

　＝1.16(cm/ａ)²sec^-1より,αｔ＝1.16ｔsec^-1(cm/ａ)²

 です。

　故に,幅が２倍になって半分の薄さにぼやける時間は,

　{1＋(αｔ)²}^1/2～ 2,αｔ～√3～1.7320508..より

　ｔ ～ 1.5(ａ/cm)²secです。

　例えばａ＝2Å＝2×10^-8cmなら,ｔ＝6×10^-16cm秒ですから,

　電子であろうと,粒子描像は,ほぼ瞬時で急激にくずれていき

　ます。