散乱の伝播関数の理論(16)(応用3-1)

　散乱の伝播関数の理論の続きです。

　このシリーズ記事は６/24以来で,丁度１ヶ月の間があきました。

§7.6 Bremsstrahlung(制動輻射,または制動放射)

※まず,前節の電子－陽子散乱の高次補正のFeynman-diagram

　である図7.6,および図7.7を下に再掲します。※　

　　　　

　図7.6,図7.7で交換されている２つの量子

　(仮想光子:virtual photons)の一方がEinsteinの条件:ｑ²＝0

　(実光子条件＝質量殻条件:real photon or on mass-shell)

　を満足することは大いに有り得ることです。

　この場合,この量子は電子と陽子との間の交換から脱出できて,

　自由輻射,または Bremsstrahlung(制動輻射)として出現します。

　散乱過程におけるこの輻射場との相互作用効果を調べるため,

　再びSchiffによって発見されたのと,よく似た発見的議論を進

　めます。

　これらは,Bjorken-Drellテキストのcompanion volume

　(場の理論:field theory)で論じる予定の,輻射の厳密に量子論

　的な扱いから得られる答と完全に一致し,実験結果と一致する

　有益な結果を,より小さい労力で与えます。

　さて,運動量ｋ^μと偏極(polarization)ε^μを持つ１つの

　"光子(photon)"に相当する４元ベクトルポテンシャルは

　平面波で表現することができて,

　Ａ^μ(ｘ;ｋ)＝(2|ｋ|ε₀Ｖ)^-1/2ε^μ{exp(－iｋｘ)＋exp(iｋｘ)}

　と書けます。

　ただし,ｋ²＝ｋ_μｋ^μ＝0 です。

　偏光ベクトル:ε^μは単位ベクトル(ε²＝ε_με^μ＝－1)であり,

　横波条件:εｋ＝ε_μｋ^μ＝0 を満たします。

※(注16-1):電磁ポテンシャルＡ^μの波動方程式が□Ａ^μ＝0

　(ｋ²＝ｋ_μｋ^μ＝0)となるためには,Lorenzゲージ(gauge):

　∂_μＡ^μ＝0 を取る必要があります。

　この条件はεｋ＝ε_μｋ^μ＝0 に相当します。

また,特別なローレンツ系ではε^μは純粋に空間的(space-like):

ε^μ＝(0,ε)であり,|ε|＝1ですから,

ε²＝ε_με^μ＝－ε²＝－1　です。

そして,ε²はLorentzスカラーですから,任意のローレンツ系で

ε²＝－1(一定:空間的)です。

偏極(偏光):ε^μが単位6クトルに規格化されているとはこういう

意味です。(注16-1終わり)※

Ａ^μ(ｘ;ｋ)＝(2|ｋ|ε₀Ｖ)^-1/2ε^μ{exp(－iｋｘ)＋exp(iｋｘ)}

における規格化定数:(2|ｋ|ε₀Ｖ)^-1/2は,Ａ^μ(ｘ;ｋ)なる平面波

のエネルギーが丁度:ω＝ｋ⁰＝|ｋ|になるよう選んだものです。

(ただし,ｃ＝1の自然単位です。)

これは,Ｕ＝(1/2)∫ｄ³ｘ(ε₀Ｅ²＋μ₀^-1Ｂ²)＝ε₀∫Ｂ²ｄ³ｘ

を計算すれば得られます。

(※何故なら,μ₀^-1＝ｃ²ε₀＝ε₀(自然単位))

すなわち,まず,

Ｂ＝∇×[(2|ｋ|ε₀Ｖ)^-1/2ε

{exp(－iｋｘ)＋exp(iｋｘ)}]

＝i{|ｋ|/(2ε₀Ｖ)}^1/2(ｋ^×ε){exp(－iｋｘ)－exp(iｋｘ)}

＝{2|ｋ|/(ε₀Ｖ)}^1/2(ｋ^×ε)sin(ｋｘ)　です。

ただし,ｋ^≡ｋ/|ｋ|　です。

そして,(ｋ^×ε)(ｋ^×ε)＝－ｋ^{(ｋ^×ε)×ε}

＝ｋ^{ε² ｋ^－ε(εｋ^)}

＝ε²－(εｋ^)²＝ε²－(ε⁰ｋ⁰/|ｋ|)²＝ε²－(ε⁰)²

＝－ε²＝1　です。

　故に,Ｂ²＝{2|ｋ|/(ε₀Ｖ)}sin²(ｋｘ－ωｔ)ですから,

　確かにＵ＝ε₀∫Ｂ²ｄ³ｘ＝|ｋ|＝ω　を得ます。

　以下,散乱の間にそうした１光子が輻射される現象を記述する

　散乱振幅(scattering amplitude)を考察します。

　ただし,簡単のために静電近似に戻って,電子－陽子散乱の自由陽子

　の源による電磁場を静電Coulomb場で置き換えて,ｅの最低次の寄与

　がゼロでない遷移要素(transition-matrix element):Ｓ_fiを計算

　します。

　こうした過程に対するFeynman-diagramを図7.8に示します。　　　　　

　図の１つの頂点(vertex)は,電子とCoulomb場との相互作用に対応し,

　他の頂点は制動輻射の放出につながる２次過程に対応します。

　外場がないところでの自由電子による１次のオーダーの光子の輻射

　放出は有り得ません。

　つまり,単に自由電子が光子を放出するだけという,

　１次のFeynman-diagramは存在しない,

　または書いても寄与がゼロです。

　これは運動学的に禁止されているからです。

　何故なら,１次のオーダーの光子放出を仮定すると,

　エネルギー・運動量の保存が不可能であるからです。

　つまり,ｋ²＝0≠(ｐ_f－ｐ_i)²となって,ｋ,ｐ_f,ｐ_i以外にまわりに

　何もない系なら質量がゼロ:ｋ²＝0 の実光子では保存則不成立

　です。

※(注16-2):－(ｐ_f－ｐ_i)²

＝(ｐ_f－ｐ_i)²－{(ｐ_f²＋ｍ²)^1/2－(ｐ_i²＋ｍ²)^1/2}²

＝2{(ｐ_f²＋ｍ²)^1/2(ｐ_i²＋ｍ²)^1/2－(ｐ_fｐ_i＋ｍ²)}

　です。

そして,{(ｐ_f²＋ｍ²)^1/2(ｐ_i²＋ｍ²)^1/2}²－(ｐ_fｐ_i＋ｍ²)²

＝ｐ_f²ｐ_i²－(ｐ_fｐ_i)²＋(ｐ_f－ｐ_i)²ｍ²≧0 です。

何故ならｐ_f²ｐ_i²－(ｐ_fｐ_i)²＝ｐ_f²ｐ_i²(1－cosθ)≧0

であるからです。

そして,ｋ^μ≠0 ですから,(ｐ_f－ｐ_i)^μ＝ｋ^μ≠0 より,cosθ＜1

です。

したがって,－(ｐ_f－ｐ_i)²＞0,つまり(ｐ_f－ｐ_i)²＜0 ですから,

ｋ²＝0≠(ｐ_f－ｐ_i)²を得ます。(注16-2終わり)※

　２次のＳ行列要素は,

　Ｓ_fi＝ｅ²∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙψ~_f(ｘ)[－iＡ(ｘ;ｋ)iＳ_F(ｘ－ｙ)

　(－iγ⁰)Ａ⁰_Coul(ｙ)＋(－iγ⁰)Ａ⁰_Coul(ｘ)iＳ_F(ｘ－ｙ)

　{－iＡ(ｙ;ｋ)}]ψ_i(ｙ)　です。

　ただし,Ａ⁰_Coul(ｘ)は中心電荷が－Ｚｅの静電Coulombポテンシャル

　でＡ⁰_Coul(ｘ)≡－Ｚｅ/(4πε₀|ｘ|)です。

　(ｅ＜ 0 は電子の電荷)

　そして,右辺の２つの項は図7.8に示されているような頂点の２つの

　順序に対応しています。

　これまでやってきたように,Ｓ_fiの右辺の座標表示の全ての因子

　をFourier展開して座標積分∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙを実行して運動量空間

　における表現に変換します。

　この型にはまった操作を実行した結果は,

　Ｓ_fi＝{－Ｚｅ³/(ε₀Ｖ)^3/2}2πδ(Ｅ_f＋ｋ⁰－Ｅ_i)(2ｋ⁰)^-1/2

{ｍ²/(Ｅ_fＥ_i)}^1/2(1/|ｑ|²)

　ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[(－iε){i/(ｐ_f＋ｋ－ｍ)}(－iγ⁰)

　＋(－iγ⁰){i/(ｐ_i－ｋ－ｍ)}(－iε)]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)

　です。

※(注16-3):何故なら,

　ψ~_f(ｘ)＝{ｍ/(Ｅ_fＶ)}^1/2ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)exp(iｐ_fｘ),

　ψ_i(ｙ)＝{ｍ/(Ｅ_iＶ)}^1/2ｕ(ｐ_i,ｓ_i)exp(－iｐ_iｙ)

　であり,

　また,Ａ^μ(ｘ;ｋ)＝(2ｋε₀Ｖ)^-1/2ε^μ{exp(－iｋｘ)＋exp(iｋｘ)},

　Ｓ_F(ｘ－ｙ)＝∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4{exp{－iｐ(ｘ－ｙ)/(ｐ－ｍ＋iε)},

　Ａ⁰_Coul(ｘ)＝－Ｚｅ/(4πε₀|ｘ|)　であるからです。

　さらに,∫ｄ³ｘ{exp(－iｑｘ)/|ｘ|}＝4π/|ｑ|²です。

　それ故,Ｓ_fi

＝(－Ｚｅ³/ε₀^3/2Ｖ^3/2)(2ｋ⁰)^-1/2{ｍ²/(Ｅ_fＥ_i)}^1/2

∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙｄ⁴ｐ(2π)^-4ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)((－iε){i/(ｐ－ｍ＋iε)}

　(－iγ⁰)[exp{i(ｐ_f－ｋ－ｐ)ｘ＋(ｐ－ｐ_i)ｙ}

　＋exp{i(ｐ_f＋ｋ－ｐ)ｘ＋(ｐ－ｐ_i)ｙ}]/(4πε₀|ｙ|)

　＋(－iγ⁰){i/(ｐ－ｍ＋iε)}(－iε)

　[exp{i(ｐ_f－ｐ)ｘ＋(ｐ－ｋ－ｐ_i)ｙ}

　＋exp{i(ｐ_f－ｐ)ｘ＋(ｐ＋ｋ－ｐ_i)ｙ}]/(4πε₀|ｘ|))

　ｕ(ｐ_i,ｓ_i)　となります。

これの座標積分,およびｄ⁴ｐ積分を実行すると,確かにＳ_fiに対する

上記の運動量表示表現を得ます。(注16-3終わり)※

　さて,Ｓ_fi＝{－Ｚｅ³/(ε₀Ｖ)^3/2}2πδ(Ｅ_f＋ｋ⁰－Ｅ_i)(2ｋ⁰)^-1/2

{ｍ²/(Ｅ_fＥ_i)}^1/2(1/|ｑ|²)

　ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[(－iε){i/(ｐ_f＋ｋ－ｍ)}(－iγ⁰)

　＋(－iγ⁰){i/(ｐ_i－ｋ－ｍ)}(－iε)]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)

　から,散乱断面積(cross section)を求めます。

そのためには,|Ｓ_fi|²を流束密度:|ｖ_i|/Ｖで割り,さらに単位時間

当たりにするため,2πδ(0)で割って,観測される光子と終状態電子

の位相空間での区間体積Ｖ²ｄ³ｋｄ³ｐ_f/(2π)⁶にわたる総和を取り

ます。

　{2πδ(Ｅ_f＋ｋ⁰－Ｅ_i)}²＝2πδ(0)2πδ(Ｅ_f＋ｋ⁰－Ｅ_i)

　に注意すると,

　ｄσ＝{Ｚ²ｅ⁶ｍ²/(2ε₀³ｋ⁰Ｅ_fＥ_i|ｖ_i|)}∫ｄ³ｋｄ³ｐ_f(2π)^-6

[(2π)δ(Ｅ_f＋ｋ⁰－Ｅ_i){(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²|

　ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²/|ｑ|⁴]

　を得ます。

　そして,ｄ³ｐ_f＝ｐ_f²ｄｐ_fｄΩ_f (ｐ_f≡|ｐ_f|)であり,

　ｐ_fｄｐ_f＝Ｅ_fｄＥ_fですが,

　軟光子(soft-photon)放出:ｋ～0 の近似を取ると,

　ｐ_f＝|ｐ_f|＝|ｐ_i―ｋ|～|ｐ_i|＝Ｅ_i|ｖ_i|なので,

　ｄ³ｐ_f＝ｐ_fＥ_fｄＥ_f～|ｖ_i|Ｅ_iＥ_fｄＥ_fです。

　また,ｄ³ｋ＝ｋ²ｄｋｄΩ_k (ｋ≡|ｋ|),そして,

　∫_ｍ^∞δ(Ｅ_f＋ｋ⁰－Ｅ_i)ｄＥ_f＝θ(∞)－θ(ｍ＋ｋ－Ｅ_i)

　＝1－θ(ｍ＋ｋ－Ｅ_i)＝θ(Ｅ_i－ｍ＋ｋ)　です。

　そして,ｄΩ_fを残したｄ³ｐ_f積分,つまりｄＥ_f積分を実行します。

すると,ｄσ/ｄΩ_f ～{Ｚ²ｅ⁶ｍ²/(2ε₀³ｋ)}

{(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²

|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²/|ｑ|⁴]

ｋ²ｄｋｄΩ_k(2π)^-5θ(Ｅ_i－ｍ＋ｋ)

を得ます。

これを,先の「散乱の伝播関数の理論(11)(応用1-1)」で得た

弾性散乱(elastic scattering)の最低次の微分断面積:

　(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic＝(4Ｚ²α²ｍ²/|ｑ|⁴)

　|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²|ｑ|⁴

と比較します。

すると,4πα＝ｅ²/ε₀なので,

ｄσ/ｄΩ_f ～ (ｄσ/ｄΩ_f)_elastic[ｅ²/{2(2π)³ε₀}]

ｋｄｋｄΩ_k{(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²θ(Ｅ_i－ｍ＋ｋ)

です。

　これは,立体角ｄΩ_fの中に電子が観測され,運動量ｋを持つ偏極ε

　の光子がｄｋｄΩ_kの中に出現する断面積を表わしています。

　故に,軟光子の極限では,非弾性散乱の断面積は同一のエネルギー

　と同一の散乱角における弾性散乱の断面積の倍数として表現され

　ます。

　ｄσ/ｄΩ_fの因子:ｋｄｋ{(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²に

　よると,ｋ～ 0 で軟光子のスペクトルはｄｋ/ｋのように挙動する

　ため,ｋ＝0 のゼロエネルギー光子を放出する確率は無限大になり

　ます。

　これは,赤外発散(infrared divergence)

　or赤外破局(infrared dcatasyrophe)と呼ばれている現象です。

　こうした無限大の困難から救済されるためには,制動輻射を観測する

　現実の実験条件の注意深い解析が必要です。

　決定的な点は,如何なる検知装置も有限エネルギーの分析しかでき

　ないということです。

　もしも検知装置がｋ＝0 を含む有限なエネルギー区間に非弾性的に

　散乱された電子を受けるなら,それは正に弾性的に散乱された電子を

　受け取ることを意味します。

　そこで,実験と矛盾しない比較をするためには,散乱の断面積

　としてｅ²の同じオーダーまで計算した弾性散乱と非弾性散乱

　の両方の断面積を含む必要があります。

　すなわち,制動輻射の寄与は弾性散乱に対してｅ²培のオーダー

　ですから,(ｄσ/ｄΩ_f)_elasticにも同じｅ²のオーダーまでの輻射

　補正を含める必要があります。

　今日はここまでにします。 

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics"(McGraw-Hill)