散乱の伝播関数の理論(18)(応用４)

　散乱の伝播関数の理論の続きです。

　今日は自由電子による光子の散乱(Compton散乱)の微分断面積の

　最低次の計算を行います。

　まず,すぐ前の電子による制動輻射(Bremsstrahlung)の

　Feynman-diagramを再掲します。

　すなわち,電荷:－Ｚｅ＞0 を源とする静電Coulomb場:

　Ａ⁰_Coul(ｘ)＝－Ｚｅ/(4πε₀|ｘ|)

　＝－Ｚｅ∫ｄ³ｑ{exp(iｑｘ)/|ｑ|²}の中を電子が通過する際に

　１光子を放出する２次のグラフ:下図7.8です。　

　　

　このグラフで静電Coulomb場の源:－Ｚｅと交換される仮想光子

　が実光子である場合,

　つまり正電荷の原子核に相当する源:－Ｚｅは存在せず,単に

　自由電子が光子を吸収して放出する過程を想定すると,これが

　記述するのは,"自由電子による光子の散乱＝Compton散乱"です。

§7.7 Compton Scattering(コンプトン散乱)

　前の制動輻射において与えたのと同じ平面波の場:

　Ａ^μ(ｘ;ｋ)＝(2|ｋ|ε₀Ｖ)^-1/2

ε^μ{exp(－iｋｘ)＋exp(iｋｘ)}を電子線の１つの頂点で

　吸収される入射光子とします。

一方,運動量ｋ'^μ,偏光ε'^μを持つ別の平面波:

Ａ'^μ(ｘ;ｋ')＝(2|ｋ'|ε₀Ｖ)^-1/2

ε'^μ{exp(－iｋ'ｘ)＋exp(iｋ'ｘ)}が第２の頂点で放出

されて終光子になるとします。

　この過程は,ｋ＋ｐ_i＝ｋ'＋ｐ_fなる関係によって,エネルギー・

　運動量保存を示す光子の自由電子による散乱,

　つまり,Compton散乱として知られています。

　このCompton散乱の２次のＳ行列要素は,先の制動輻射のＳ行列要素

　Ｓ_fi＝ｅ²∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙψ~_f(ｘ)

　[－iＡ(ｘ;ｋ)iＳ_F(ｘ－ｙ)(－iγ⁰)Ａ⁰_Coul(ｙ)

　＋(－iγ⁰)Ａ⁰_Coul(ｘ)iＳ_F(ｘ－ｙ){－iＡ(ｙ;ｋ)}]ψ_i(ｙ)

　において,γ⁰Ａ⁰_Coul(ｙ)をＡ'(ｙ;ｋ')に,γ⁰Ａ⁰_Coul(ｘ)を

　Ａ'(ｘ;ｋ')に置き換えるだけ異なります。

　制動輻射の２次のＳ行列要素の運動量表示は,

　Ｓ_fi＝{－Ｚｅ³/(ε₀Ｖ)^3/2}2πδ(Ｅ_f＋ｋ⁰－Ｅ_i)(2ｋ⁰)^-1/2

{ｍ²/(Ｅ_fＥ_i)}^1/2(1/|ｑ|²)

　ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[(－iε){i/(ｐ_f＋ｋ－ｍ)}(－iγ⁰)

　＋(－iγ⁰){i/(ｐ_i－ｋ－ｍ)}(－iε)]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)

　でした。

この式から,電磁ポテンシャルの置換:γ⁰Ａ⁰_Coul → Ａ'によって,

Compton散乱の２次のＳ行列要素Ｓ_fi^Compが得られます。

すなわち,Ｓ_fi^Compの運動量表示として,

Ｓ_fi^Comp＝{ｅ²/(ε₀Ｖ²)}(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ)

(4ｋ⁰ｋ'⁰)^-1/2{ｍ²/(Ｅ_fＥ_i)}^1/2

ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[(－iε'){i/(ｐ_i＋ｋ－ｍ)}(－iε)

＋(－iε){i/(ｐ_i－ｋ'－ｍ)}(－iε')]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)

を得ます。

これは,以下の図７.10のFeynman-diagramに対応しています。

このＳ_fi^Compの表現式からは,他のｋ,またはｋ'の符号が異なる３つ

の追加項を落としました。

これらの追加項は,Ａ^μ(ｙ;ｋ)とＡ'^μ(ｘ;ｋ')の積とその交換

グラフに対応する交代項:Ａ'^μ(ｙ;ｋ')とＡ^μ(ｘ;ｋ)の積によ

る計２×４個の項のうち,

exp(iｋｙ)exp(－iｋ'ｘ),exp(－iｋ'ｙ)exp(iｋｘ)に比例する項,

exp(iｋｙ)exp(iｋ'ｘ),exp(iｋ'ｙ)exp(iｋｘ)に比例する項,　

および,exp(－iｋｙ)exp(－iｋ'ｘ),exp(－iｋ'ｙ)exp(－iｋ'ｘ)

に比例する項に由来するものです。

これらのうち,前の２×２個の項は,Compton散乱の４元運動量保存

条件として,ｐ_i＝ｐ_f＋ｋ＋ｋ',またはｐ_f＝ｐ_i＋ｋ＋ｋ'を要求し.

これに対応するδ⁴関数に導くものです。

しかし,こうした条件は１つの自由電子が１つの自由電子と２つの

光子に崩壊する過程,またはその逆反応に対応する条件で,これを

満たすことは運動学的に不可能です。

(※例えば,後述する対生成は光子の電子,陽電子対への崩壊に相当

　しますが,これも１つの光子だけからの生成は運動学的に不可能

　で,２つ以上の光子からの生成のみ可能です。※)

残る第３の項の対は,Ｓ_fi^Compの表現でｋとｋ'を入れかえた項の対

に相当します。

これは入射光子がｋ'で終光子がｋの散乱に対応します。

この項は,δ⁴(ｐ_f＋ｋ－ｐ_i－ｋ')に比例するため,この項がゼロで

ない場合が,上記のＳ_fi^Compの右辺の因子:δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ)

がゼロでない場合と共存することは有り得ません。

しかし,Ｓ_fi^Compが(ｋ,ε)⇔(－ｋ',ε')なる交換に対して対称で

あることに着目すれば,

入射光子がｋ'で終光子がｋの場合のCompton散乱の断面積も

同じ値を与えることがわかります。

これは,２体散乱のCrossing Symmetry(交叉対称性)として知られて

いる性質ですが,実は相互作用の２次の摂動近似だけでなく摂動の

あらゆる次数で成立する正確な対称性です。

この交叉対称性は,素粒子論の多くの場合に成立して重要な役割を

果たすもので,"詳細釣り合いの原理(detailed valance)"と呼ばれ

ます。

さて,具体的なCompton散乱の２次の散乱断面積の計算は,これまで

幾つかの例において展開してきたラインに沿って実行できます。

ただし,スピノール(spinor)代数に関連する因子の計算については

ややハードルが高いです。

まず,Compton散乱の２次のＳ行列要素Ｓ_fi^Compを再掲します。

Ｓ_fi^Comp＝{ｅ²/(ε₀Ｖ²)}(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ)

(4ｋ⁰ｋ'⁰)^-1/2{ｍ²/(Ｅ_fＥ_i)}^1/2ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)

[(－iε'){i/(ｐ_i＋ｋ－ｍ)}(－iε)

＋(－iε){i/(ｐ_i－ｋ'－ｍ)}(－iε')]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)

です。

このＳ行列要素の絶対値の平方:|Ｓ_fi^Comp|²をＴＶ＝(2π)⁴δ⁴(0)

で割って単位体積,単位時間当たりの遷移率とします。

そして,散乱断面積の定義に従って,これを入射粒子の流束(flux):

|ｖ|/Ｖで割り,さらに"単位体積に存在する平均の標的粒子数＝

標的密度:(1/Ｖ)"で割ります。

最後に,位相空間体積:{Ｖ²/(2π)⁶}ｄ³ｐ_fｄ³ｋ'にわたる総和

(積分)を取ると散乱断面積:ｄσが得られます。

制動輻射の断面積の式:

ｄσ＝{Ｚ²ｅ⁶ｍ²/(2ε₀³ｋ⁰Ｅ_fＥ_i|ｖ_i|)}

∫(|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[ε{1/(ｐ_f＋ｋ－ｍ)}γ⁰＋

γ⁰{1/(ｐ_i－ｋ－ｍ)}ε]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²/|ｑ|⁴)(2π)^-5

δ(Ｅ_f＋ｋ⁰－Ｅ_i)ｄ³ｋｄ³ｐ_f

を参考にしてCompton散乱のｄσを求めます。

Compton散乱では,ｄσ＝{ｅ⁴ｍ/(2ｋ⁰ε₀²Ｅ_i|ｖ|)}

∫(|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[ε'{1/(ｐ_i＋ｋ－ｍ)}ε

＋ε{1/(ｐ_i－ｋ'－ｍ)}ε']ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²)(2π)^-2

δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ)ｄ³ｐ_f(ｍ/Ｅ_f)ｄ³ｋ'{1/(2ｋ'⁰)}

となります。

ここでまず,初期の標的電子が静止している実験室系:

ｐ_i^μ＝(Ｅ_i,ｐ_i)＝(ｍ,0)を準拠系に採用すると,

|ｖ|＝ｃ＝1ですから,ｍ/(2ｋ⁰Ｅ_i|ｖ|)}＝1/(2ｋ)です。

ただし,ｋ≡|ｋ|＝ｋ⁰です。

「散乱の伝播関数の理論(13)(応用2-1)」で書いたように,

ｄ³ｐ/(2Ｅ)＝∫₀^∞ｄｐ⁰δ(ｐ²－ｍ²)ｄ³ｐ

＝∫_-∞^∞ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²－ｍ²);Ｅ＝(ｐ²＋ｍ²)^1/2

なる有用な公式があります。

これを利用し,散乱光子の立体角Ω_k'と実験室系でｋとｋ'のなす角

θを固定して,ｄσの右辺の因子:

δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ)ｄ³ｐ_f(ｍ/Ｅ_f)ｄ³ｋ'{1/(2ｋ'⁰)}

をｋ'≡|ｋ'|＝ｋ'⁰で積分します。

すると,∫ｄ³ｐ_f(ｍ/Ｅ_f)ｄ³ｋ'{1/(2ｋ')}δ⁴(ｋ＋ｐ_i－ｋ'－ｐ_f)

＝(1/2)ｄΩ_k'∫₀^∞ｋ'ｄｋ'∫(ｍ/Ｅ_f)ｄ³ｐ_fδ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ)

＝ｍｄΩ_k'∫₀^∞ｋ'ｄｋ'

∫θ(ｋ＋ｍ－ｋ')δ({ｋ＋ｐ_i－ｋ'}²－ｍ²)

＝ｍｄΩ_k'∫₀^k+mｋ'ｄｋ'δ({2ｍ(ｋ－ｋ')－2ｋｋ'(1－cosθ)})

＝ｄ_Ωk'(ｋ'/2){1＋(ｋ/ｍ)(1－cosθ)}

を得ます。

ただし,最後の式では,ｋ'＝ｋ/{1＋(ｋ/ｍ)(1－cosθ)}

です。

すなわち,∫ｄ³ｐ_f(ｍ/Ｅ_f)ｄ³ｋ'{1/(2ｋ')}δ⁴(ｋ＋ｐ_i－ｋ'－ｐ_f)

＝{ｋ'²/(2ｋ)}ｄΩ_k'であり,ｋ'＝ｋ/{1＋(ｋ/ｍ)(1－cosθ)}

＝ｋ/{1＋(2ｋ/ｍ)sin²(θ/2)}　です。

したがって,ｄσ＝{ｅ⁴ｍ/(2ｋ⁰ε₀²Ｅ_i|ｖ|)}

∫(|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[ε'{1/(ｐ_i＋ｋ－ｍ)}ε

＋ε{1/(ｐ_i－ｋ'－ｍ)}ε']ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²)(2π)^-2

δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ)ｄ³ｐ_f(ｍ/Ｅ_f)ｄ³ｋ'{1/(2ｋ'⁰)}

において,Ω＝Ω_k'と書きｅ²＝4πε₀αを用いると,

次のようになります。

すなわち,ｄσ/ｄΩ

＝α²(ｋ'/ｋ)²|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[ε'{1/(ｐ_i＋ｋ－ｍ)}ε

＋ε{1/(ｐ_i－ｋ'－ｍ)}ε'ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²

です。

これは,始状態,終状態で電子と光子が共に偏極している場合の

Compton散乱に対する微分断面積を表わしています。

ここで,準拠系では初期と終期に光子が横方向に偏極していると

して行列要素Ｓ_fi^Compを単純化します。

すなわち,ε^μ＝(0,ε);εｋ＝0,ε'^μ＝(0,ε');

εｋ'＝0 とします。

このとき,ｐ_i^μ＝(Ｅ_i,ｐ_i)＝(ｍ,0)なので,εｐ_i＝ε'ｐ_i＝0

も成立します。

また,スピン行列γ^μの反交換性から,

ｐ_iε＝2ｐ_iε－εｐ_i＝－εｐ_iであり,

同様にｐ_iε'＝－ε'ｐ_iです。

そこで,自由粒子のDirac方程式から,

(ｐ_i＋ｍ)εｕ(ｐ_i,ｓ_i)＝－ε(ｐ_i－ｍ)ｕ(ｐ_i,ｓ_i)＝0

が成立します。

同様に(ｐ_i＋ｍ)ε'ｕ(ｐ_i,ｓ_i)＝0 です。

また,ｋε＝－εｋ,ｋε'＝ －ε'ｋ　です。

スピノル因子の寄与は,

ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[ε'{1/(ｐ_i＋ｋ－ｍ)}ε＋ε{1/(ｐ_i－ｋ'－ｍ)}ε']

ｕ(ｐ_i,ｓ_i)

＝ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[ε'(ｐ_i＋ｋ＋ｍ)ε/(2ｋｐ_i)

＋ε(ｐ_i－ｋ'＋ｍ)ε'/(－2ｋ'ｐ_i)]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)　です。

これに上記の横波光子の性質を用いると,

－ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[ε'εｋ/(2ｋｐ_i)＋εε'ｋ'/(2ｋ'ｐ_i)]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)

と単純化されます。

これをｄσ/ｄΩ

＝α²(ｋ'/ｋ)²|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[ε'{1/(ｐ_i＋ｋ－ｍ)}ε

＋ε{1/(ｐ_i－ｋ'－ｍ)}ε']ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²に代入し,さらに

終電子spin：ｓ_fについて総和し初期電子spin:ｓ_iについて平均

します。

すると,ｄσ_AVE/ｄΩ＝(1/2)Σ_si,sf(ｄσ/ｄΩ)

＝{α²/(8ｍ²)}(ｋ'/ｋ)²Ｔr[(ｐ_f＋ｍ){ε'εｋ/(2ｋｐ_i)

＋εε'ｋ'/(2ｋ'ｐ_i)}(ｐ_i＋ｍ)]{ｋεε'/(2ｋｐ_i)

＋ｋ'ε'ε/(2ｋ'ｐ_i)}]

を得ます。

そして,トレース定理から,

Ｔr[(ｐ_f＋ｍ)ε'εｋ(ｐ_i＋ｍ)ｋεε'

＝Ｔr[εε'ｋ'(ｐ_i＋ｍ)ｋεε'(ｐ_f＋ｍ)

＝Ｔr[(ｐ_f＋ｍ)εε'ｋ'(ｐ_i＋ｍ)ｋεε'です。

以下トレースの途中計算を省略すると,

Ｔr[(ｐ_f＋ｍ){ε'εｋ/(2ｋｐ_i)＋εε'ｋ'/(2ｋ'ｐ_i)}

(ｐ_i＋ｍ)]{ｋεε'/(2ｋｐ_i)＋ｋ'ε'ε/(2ｋ'ｐ_i)}]

＝2{ｋ'/ｋ＋ｋ/ｋ'＋4(εε')²－2}

を得ます。

結局,Compton散乱に対する有名な

Klein-Nishina(クライン・仁科)の公式:

ｄσ_AVE/ｄΩ＝{α²/(4ｍ²)}(ｋ'/ｋ)²

{ｋ'/ｋ＋ｋ/ｋ'＋4(εε')²－2}

が得られます。

この２次のCompton散乱の断面積は,軟光子弾性散乱:

ｋ＝ｋ'→ 0 の極限では古典Thomson散乱(トムソン散乱)の

微分断面積の公式:(ｄσ_AVE/ｄΩ)_k→0＝(α/ｍ)²(εε')²

になります。

ここで,電子質量ｍに対しては,

α/ｍ＝ｅ²/(4πε₀ｍｃ²)～ 2.8×10^-13cmですが,

これはいわゆる古典電子半径です。

また,散乱角θ→ 0 の前方散乱ではｋ→ｋ'であり,低エネルギー

(ｋ～0)だけでなく全てのエネルギーのｋに対してCompton散乱

断面積が正確にThomson散乱断面積に等しくなることがわかります。

最後に,個々の断面積を終状態光子のspin(偏光)にわたって総和し,

始状態光子のspinについて平均すると,散乱光子が偏光していない

場合の断面積:ｄσ~/ｄΩを得ることができます。

それを得る手順は古典電磁気学における光の散乱と全く同じであり,

その結果を借りると,

ｄσ~/ｄΩ＝{α²/(2ｍ²)}(ｋ'/ｋ)²(ｋ'/ｋ＋ｋ/ｋ'－sin²θ)

です。

※(注18-1):ｋとｋ'のなす角がθのとき,一般に,

ｋ^'＝sinθcosφε⁽¹⁾＋sinθsinφε⁽²⁾＋cosθｋ^と書くことが

できます。ただし,ｋ＾≡ｋ/ｋ,ｋ^'≡ｋ'/ｋ'です。

また,ε⁽¹⁾'＝ｌε⁽¹⁾＋ｍε⁽²⁾＋ｎｋ^;ｌ²＋ｍ²＋ｎ²＝1

とおけば.ε⁽¹⁾'ｋ^'＝0 より

ｌsinθcosφ＋ｍsinθsinφ＋ｎcosθ＝0

です。

(ε⁽¹⁾',ε⁽²⁾',ｋ^')が右手系の正規直交基底をなすという条件

から,ε⁽²⁾'＝ｋ^'×ε⁽¹⁾'

＝(ｎsinθsinφ－ｍcosθ)ε⁽¹⁾＋(ｌcosθ－ｎsinθcosφ)ε⁽²⁾

＋(ｍsinθcosφ－ｌsinθsinφ)ｋ＾

です。

故に,全ての偏光(spin)にわたる総和：Σ_ε,ε'(εε')²は,

(ε⁽¹⁾ε⁽¹⁾')²＋(ε⁽¹⁾ε⁽²⁾')²＋(ε⁽²⁾ε⁽¹⁾')²＋(ε⁽²⁾ε⁽²⁾')²

＝ｌ²＋(ｎsinθsinφ－ｍcosθ)²＋ｍ²＋(ｌcosθ－ｎsinθcosφ)²

＝1＋cos²θとなります。

そこで,始光子偏光状態による平均としては,

(1/2)Σ_ε,ε'(εε')²＝(1＋cos²θ)/2です。

ε＝(0,ε),ε'＝(0,ε')より(εε')²＝(εε')²なので,

(1/2)Σ_ε,ε'(εε')²＝(1＋cos²θ)/2　を得ます。

(注18-1終わり)※

微分断面積:ｄσ~/ｄΩ

＝{α²/(2ｍ²)}(ｋ'/ｋ)²(ｋ'/ｋ＋ｋ/ｋ'－sin²θ)は光子の立体角

Ωについて容易に積分されて全断面積σ~が得られます。

すなわち,σ~＝(πα²/ｍ²)∫_-1¹ｄ(cosθ)

{(ｋ'/ｋ)²(ｋ'/ｋ＋ｋ/ｋ'－sin²θ)}

＝(πα²/ｍ²)∫_-1¹ｄｚ[1/{1＋(ｋ/ｍ)(1－ｚ)}³

＋1/{1＋(ｋ/ｍ)(1－ｚ)}－(1－ｚ²)/{1＋(ｋ/ｍ)(1－ｚ)}²]

です。

これから,低エネルギー:(ｋ/ｍ)→ 0 では全断面積は

σ~～ (πα²/ｍ²)∫_-1¹(1＋ｚ²ｄｚ＝(8π/3)(α/ｍ)²となります。

これはThomson散乱の断面積です。

一方,高エネルギー:ｋ/ｍ＞＞1では,全断面積は

σ~～{πα²/(ｋｍ)}{ln(2ｋ/ｍ)＋1/2＋Ｏ((ｍ/ｋ)ln(ｋ/ｍ)}

となります。

右辺の支配的な対数項は被積分関数の[]の中の第２項:

1/{1＋(ｋ/ｍ)(1－ｚ)}に由来します。

※(注18-2):ζ＝1－ｚとおけば,

(πα²/ｍ²)^-1σ~

＝∫₀²ｄζ{(1＋ｋζ/ｍ)^-3＋(1＋ｋζ/ｍ)^-1

－(ζ²－2ζ)(1＋ｋζ/ｍ)^-2}

＝[{－ｍ/(2ｋ)}(1＋ｋζ/ｍ)^-2＋(ｍ/ｋ)ln(1＋ｋζ/ｍ)

＋(ｍ/ｋ)²ζ－{2(ｍ/ｋ)²＋(ｍ/ｋ)³}(1＋ｋζ/ｍ)^-1

－2{(ｍ/ｋ)²＋(ｍ/ｋ)³}ln(1＋ｋζ/ｍ)]₀²です。

すなわち,σ~＝{πα²/(ｋｍ)}

[{1－2ｍ/ｋ－2(ｍ/ｋ)²}ln(1＋2ｋ/ｍ)＋1/2＋4ｍ/ｋ＋(ｍ/ｋ)²

－(1＋2ｋ/ｍ)^-2]　を得ます。

そこで,ｋ/ｍ＞＞1のとき,右辺の[ ]の中で(ｍ/ｋ)の２次の項を

無視すると,

σ~ {πα²/(ｋｍ)}{(1－2ｍ/ｋ)ln(1＋2ｋ/ｍ)＋1/2＋4ｍ/ｋ

－(1＋2ｋ/ｍ)^-2}　となります。

故に,

σ~～ {πα²/(ｋｍ)}{ln(2ｋ/ｍ)＋1/2＋Ｏ((ｍ/ｋ)ln(ｋ/ｍ)}

が得られました。(注18-2終わり)※

今日はここまでにします。

参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics"(McGrawHill)

　どういうやむにやまれぬ理由か？はわからないが,自分の子供殺すくらい

　なら　オレにくれ。。育児ノイローゼコミで引き受けて,最後の命けずって育て

　たるサカイ。。。