散乱の伝播関数の理論(17)(応用3-2)

　散乱の伝播関数の理論,制動輻射(Bremsstrahlung)の続きです。

さて,弾性散乱断面積因子:(ｄσ/ｄΩ_f)_elasticのｅ²のオーダー

の輻射補正は次の２つのタイプの項から生じます。

すなわち,Coulomb場による電子２次散乱において,電子－陽子散乱

の図7.4,図7.5に対応する項 → 下の参考図　　

および,電子の輻射場を媒介とする自分自身との相互作用

の項です。

　後者の自己相互作用の寄与に対応するFeynman-diagramは下の

　図7.9に示すように,電子から出発した２つの仮想光子

　(virtual photons)のうちの１つが,Coulomb源(＝陽子)に着地

　する代わりに電子自身に戻ってくるようなグラフです。　　　

　実は,これらのグラフによる遷移振幅を計算すると,これも発散し,

　丁度,先のｋ＝0 の実光子による赤外発散(infrared catastrophe)

　を正確に相殺する寄与を与えることがわかり,

　結局,これによってｅ²ののオーダーでの赤外発散の困難は除去

　されます。

　しかし,そうした項を計算するという非常に扱いにくい課題に取り

　組むには,より多くの訓練,経験で武装する必要があります。

　ここでは,これ以上深入りしません。

(※これら赤外発散の除去についての本ブログでのレヴューは,

　2006年12/16の記事「電流によって発生す光子の個数分布」,

　2006年12/19の記事「赤外発散の問題(エネルギーゼロの光子)」

　の中などに示唆しています。よかったら,ご参照ください。※)

　さて,軟光子(soft-photon)制動輻射の微分断面積の式:

　ｄσ/ｄΩ_f ～ (ｄσ/ｄΩ_f)_elastic{(2π)^-3ｅ²/(2ε₀)}

ｋｄｋｄΩ_k{(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²θ(Ｅ_i－ｍ＋ｋ)

を離れる前に,この式で弾性極限のｋ＝0 を除く光子のエネルギー

の区間ΔＥに対する断面積の値を評価します。

　まず,Feynmanによる非常に便利な技巧を使って光子の偏極

　(polarization;偏光)にわたる総和を取ることから始めます。

　正確な散乱行列要素を再記すると,

　Ｓ_fi＝{－Ｚｅ³/(ε₀Ｖ)^3/2}2πδ(Ｅ_f＋ｋ⁰－Ｅ_i)(2ｋ⁰)^-1/2

{ｍ²/(Ｅ_fＥ_i)}^1/2(1/|ｑ|²)

　ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[(－iε){i/(ｐ_f＋ｋ－ｍ)}(－iγ⁰)

　＋(－iγ⁰){i/(ｐ_i－ｋ－ｍ)}(－iε)]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)

　です。

　もしも,右辺の各項で因子ε＝γ_με^μにおける光子の偏極(偏光):

　ε^μを４元運動量:ｋ^μに置き換えると,右辺は消えることに着目

　します。

これは,軟光子近似の断面積:

ｄσ/ｄΩ_f ＝(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic{(2π)^-3ｅ²/(2ε₀)}

ｋｄｋｄΩ_k{(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²θ(Ｅ_i－ｍ＋ｋ)

においても正しい性質です。

　これらはカレントの保存:∂_μｊ^μ＝0 からの帰結です。

　すなわち,カレント保存の運動量空間での表現:ｋ_μｊ^μ(ｋ)＝0

　に起因しています。

　あるいは,電磁場のゲージ不変性(gauge-invariance)から要求される

ことであると言ってもいいです。

何故なら,ゲージ変換(gauge transformatin):Ａ^μ → Ａ^μ－∂^μΛ

の運動量空間での表現は,Ａ^μ(ｋ) → Ａ^μ(ｋ)＋ｋ^μ{－iΛ(ｋ)}

であり,場にｋ^μに比例する因子を付け加えても最終の物理的結果

には何の変化も起こさないからです。

　この結果を利用するために,

　ε_με_νＪ^μν＝{(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²

と書きます。

　{(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²

＝ε_μ{ｐ_f^μ/(ｋｐ_f)－ｐ_i^μ/(ｋｐ_i)}

　×ε_ν{ｐ_f^ν/(ｋｐ_f)－ｐ_i^ν/(ｋｐ_i)}

　ですから,

　Ｊ^μν＝{ｐ_f^μ/(ｋｐ_f)－ｐ_i^μ/(ｋｐ_i)}

　×{ｐ_f^ν/(ｋｐ_f)－ｐ_i^ν/(ｋｐ_i)}　です。

このＪ^μνは,確かにｋ_μＪ^μν＝ｋ_νＪ^μν＝0 を満たします。

そして,ε_με_νＪ^μν＝{(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²

はLorentzスカラーであって,ε_μはベクトルですから,Ｊ^μνは

２階のテンソルです。

そこで,これらの表現は任煮のLorent系で共変的に評価できます。

特に,座標系の向きをｋ^μ＝(ｋ⁰,ｋ¹,0,0);ｋ⁰＝ｋ¹＝ｋとなる

ように取ります。

そして∂_μＡ^μ＝0　or ε_μｋ^μ＝0 ですから,Ａ⁰(ｘ)＝0

となるようにして,横波:Ａ(ｘ) (∇Ａ＝0)の２つの独立な

偏光ベクトルが,ε₍₁₎^μ＝(0,ε₍₁₎)＝(0,0,1,0),および,

ε₍₂₎^μ＝(0,ε₍₂₎)＝(0,0,0.1)となるように座標系の空間軸を

選択します。

すると,Σ_polε_με_νＪ^μν＝Ｊ²²＋Ｊ³³＝Ｊ⁰⁰－Ｊ¹¹－Ｊ^μ_μ

と書けます。

(※何故なら,Ｊ^μ_μ＝η_μνＪ^μν＝Ｊ⁰⁰－Ｊ¹¹－Ｊ²²－Ｊ³³ です。)

ところが,ｋ_μＪ^μν＝ｋ_νＪ^μν＝0 であって,

ｋ^μ＝(ｋ,ｋ,0,0)より,ｋ_μ＝(ｋ,－ｋ,0,0)

ですから,Ｊ^0ν＝Ｊ^1ν,Ｊ^μ0＝Ｊ^μ1です。

よって,Ｊ⁰⁰＝Ｊ¹¹により,Σ_polε_με_νＪ^μν＝－Ｊ^μ_μです。

右辺－Ｊ^μ_μは,任意のLorentz系で一定のスカラーです。

こうして偏光の総和は明白に共変な表現に置換されました。

これは,単に,

ｋａ(ｋ)＝ｋ_μａ^μ(ｋ)＝0,ｋｂ(ｋ)＝ｋ_μｂ^μ(ｋ)＝0 を満たす

任意の保存カレントａ^μ(ｋ),ｂ^μ(ｋ)に対して,

Σ_pol{ε_μ(ｋ)ａ^μ(ｋ)}{ε_ν(ｋ)ａ^ν(ｋ)}＝－ａｂが成立する

という意味です。

そこで,Σ_pol{(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²

＝Σ_pol[ε_μ{ｐ_f^μ/(ｋｐ_f)－ｐ_i^μ/(ｋｐ_i)}]

×[ε_ν{ｐ_f^ν/(ｋｐ_f)－ｐ_i^ν/(ｋｐ_i)}]

＝－ｐ_f²/(ｋｐ_f)²＋2(ｐ_fｐ_i)/{(ｋｐ_f)(ｋｐ_f)}－ｐ_i²/(ｋｐ_i)²

＝2(ｐ_fｐ_i)/{(ｋｐ_f)(ｋｐ_f)}－ｍ²/(ｋｐ_f)²－ｍ²/(ｋｐ_i)²

が得られます。

したがって,観測される全偏光成分の軟光子の総和としての

制動輻射断面積は,

ｄσ/ｄΩ_f ＝(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic{α/(4π²)}ｋｄｋｄΩ_k

Σ_pol{(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²θ(Ｅ_i－ｍ＋ｋ)

＝(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic{α/(4π²)}ｋｄｋｄΩ_k

[2(ｐ_fｐ_i)/{(ｋｐ_f)(ｋｐ_f)}－ｍ²/(ｋｐ_f)²－ｍ²/(ｋｐ_i)²]

θ(Ｅ_i－ｍ＋ｋ)

となることがわかりました。

これを,全ての光子立体角Ω_k,および,区間:

0＜ｋ_min≦ｋ≦ｋ_max＜＜Ｅ_i にわたるｋで積分すると,

ｄσ/ｄΩ_f ＝(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic{α/(4π²)}

∫_kmin^kmaxｋｄｋ∫ｄΩ_k

[2(ｐ_fｐ_i)/{(ｋｐ_f)(ｋｐ_f)}－ｍ²/(ｋｐ_f)²－ｍ²/(ｋｐ_i)²]

＝(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic(ε₀α/π)ln(ｋ_max/ｋ_min)∫ｄΩ_k(4π)^-1

[2(1－β_fβ_i)/{(1－ｋ^β_f)(1－ｋ^β_i)}－ｍ²/{Ｅ_f²(1－ｋ^β_f)²}

－ｍ²/{Ｅ_i²(1－ｋ^β_i)²}]

を得ます。

ただし,β_i＝ｖ_i/ｃ,β_f＝ｖ_f/ｃで,これらは今の自然単位(ｃ＝1)

では,入射電子と散乱電子の速度です。

そして,軟光子の極限:ｋ＝0 ではβ_f＝β_iなので,これをβと書くと

β_fβ_i＝β²cosθ (θは電子の散乱角)です。

そして,∫ｄΩ_k(4π)^-1[ｍ²/{Ｅ²(1－ｋ^β)²}

＝(ｍ²/Ｅ²)(1/2)∫_-1¹ｄｚ(1－βｚ)^-2

＝ｍ²/{Ｅ²(1－β²)}＝1です。

何故なら,β²＝ｐ²/Ｅ²より,1－β²＝ｍ²/Ｅ²だからです。

一方,Feynmanによって導入され,開発されたもう１つのトリック

の助けで,∫ｄΩ_k(4π)^-1[2(1－β_fβ_i)/{(1－ｋ^β_f)(1－ｋ^β_i)}

も容易に評価できます。

すなわち,このトリックは,容易に確かめられるように,

∫₀¹ｄｘ{ａｘ＋ｂ(1－ｘ)}^-2＝1/(ａｂ) なる公式です。

そこで,

∫ｄΩ_k(4π)^-1[2(1－β_fβ_i)/{(1－ｋ^β_f)(1－ｋ^β_i)}

＝2(1－β²cosθ)∫₀¹ｄｘ∫ｄΩ_k(4π)^-1

[1－ｋ^{β_fｘ＋(1－ｘ)β_i}^-2

＝2(1－β²cosθ)∫₀¹ｄｘ[1－{β_fｘ＋(1－ｘ)β_i}²]^-1

＝2(1－β²cosθ)∫₀¹ｄｘ{1－β²＋4β²ｘ(1－ｘ)sin²(θ/2)}^-1

を得ます。

したがって,低エネルギー散乱β＜＜1なら,

∫ｄΩ_k(4π)^-1[2(1－β_fβ_i)/{(1－ｋ^β_f)(1－ｋ^β_i)}

＝2{1＋(4/3)β²sin²(θ/2)}＋Ｏ(β⁴)　です。

一方,高エネルギー散乱:－ｑ²＞＞ｍ²,つまりｍ²/|ｑ²|＜＜1の場合

なら,∫ｄΩ_k(4π)^-1[2(1－β_fβ_i)/{(1－ｋ^β_f)(1－ｋ^β_i)}

＝2ln(－ｑ²/ｍ²)＋Ｏ(ｍ²/|ｑ²|)　です。

※(注17-1):β＜＜ 1 なら,

　{1－β²＋4β²ｘ(1－ｘ)sin²(θ/2)}^-1

＝1＋β²－4β²ｘsin²(θ/2)＋4β²ｘ²sin²(θ/2)＋Ｏ(β⁴)

　です。

　故に,cosθ＝1－2sin²(θ/2)より,

　2(1－β²cosθ){1－β²＋4β²ｘ(1－ｘ)sin²(θ/2)}^-1

＝2{1＋(4/3)β²sin²(θ/2)}＋Ｏ(β⁴)　です。

一方,軟光子極限:Ｅ_f＝Ｅ_i＝Ｅでは,

ｑ²＝(ｐ_f－ｐ_i)²＝－(ｐ_f－ｐ_i)²＝－4Ｅ²β²sin²(θ/2)

です。

そこで,|ｐ|＝βＥより,－ｑ²＞＞ｍ²のように運動量遷移

(momentum transfer):ｑが非常に大きいというのは,

ｐ²＞＞ｍ²を意味しており,このとき,Ｅ＞＞ｍです。

そこで,|ｐ|＝(Ｅ²－ｍ²)^1/2 ～ Ｅなので,

β＝|ｐ|/Ｅ ～ 1です。

正確な積分から,

2(1－β²cosθ)∫₀¹ｄｘ{1－β²＋4β²ｘ(1－ｘ)sin²(θ/2)}^-1

＝4(1－β²cosθ)[4β²sin²(θ/2){4β²sin²(θ/2)＋4(1－β²)}]^1/2

×ln|(4β²sin²(θ/2)＋[4β²sin²(θ/2){4β²sin²(θ/2)

＋4(1－β²)}]^/2)/(4β²sin²(θ/2)－[4β²sin²(θ/2)

{4β²sin²(θ/2)＋4(1－β²)}]^1/2)|　です。(数学公式集による。)

すなわち,2(1－β²cosθ)∫₀¹ｄｘ

{1－β²＋4β²ｘ(1－ｘ)sin²(θ/2)}^-1

＝4(1－β²cosθ)[4β²sin²(θ/2){4β²sin²(θ/2)＋4(1－β²)}]^-1/2

ln|(1＋[1＋(1－β²)/{β²sin²(θ/2)}]^1/2)²β²sin²(θ/2)/(1－β²)|

となります。

ここで,δ²≡1－β²＜＜1とおきます。すると,β²＝1－δ²です。

故に,2(1－β²cosθ)∫₀¹ｄｘ{1－β²＋4β²ｘ(1－ｘ)sin²(θ/2)}^-1

＝4{2sin²(θ/2)＋δ²cosθ}[1/{4sin²(θ/2)

＋Ｏ(δ²)ln|{2＋Ｏ(δ²)}²β²sin²(θ/2)/δ²|

＝2ln|4β²sin²(θ/2)}/δ²|＋Ｏ(δ²)

を得ます。

また,δ²＝1－β²＝1－ｐ²/Ｅ²＝ｍ²/Ｅ²であり,

Ｏ(δ²)＝Ｏ(－ｍ²/ｑ²)ですから,

2(1－β²cosθ)∫₀¹ｄｘ{1－β²＋4β²ｘ(1－ｘ)sin²(θ/2)}^-1

＝2ln|4ｐ²sin²(θ/2)]/ｍ²|＋Ｏ(δ²)

＝2ln(ｑ²/ｍ²)＋Ｏ(－ｍ²/ｑ²)＝2ln(－ｑ²/ｍ²)＋Ｏ(ｍ²/|ｑ²|)

です。

(注17-1終わり)※

　こうして,軟光子放出の制動輻射の断面積は,

　非相対論的エネルギー(Ｎ.Ｒ)では,

　ｄσ/ｄΩ_f ＝(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic(2α/π)ln(ｋ_max/ｋ_min)

　{(4/3)β²sin²(θ/2)＋Ｏ(β⁴)}　となり,

　超相対論的エネルギー(Ｅ.Ｒ)では,

　ｄσ/ｄΩ_f ＝(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic(2α/π)ln(ｋ_max/ｋ_min)

　{ln(－ｑ²/ｍ²)－1＋Ｏ(ｍ²/|ｑ²|)}

　となることがわかります。

　ここではこれ以上論じないですが,

　ｋ_min→ 0 におけるln(ｋ_max/ｋ_min)因子の赤外発散を相殺して

　断面積の有限な値を得るために,因子(ｄσ/ｄΩ_f)_elasticが

　(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic→ (有限値)×{Ｏ(ln(ｋ_max/ｋ_min))}^-1となる

ような弾性散乱の仮想光子輻射補正が必要です。

今日はここまでにします。

参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics"(McGraw-Hill)

PS:昨日は珍しく週末なのに,前夜,酒を飲み歩くことをしなくて,

　今朝７時頃に目が覚めて,体が元気であると感じました。

　そこで,急に将棋チェスネットの２チームが参加している社団戦

　の応援にでも行こうと思い立ち,開始時間の朝10時を目指して会

　場の浜松町へと向かいました。

　10時20分過ぎにやっと目的地に着いて,知っているメンバーを見

　つけたので観戦していました。

　７人対戦して４人勝てばチームは勝ちなので４人いれば参加可能

　ではあるのですが,どうもＢチームは正式メンバーが５人しかいな

　いみたいなので急遽２局目から飛び入りしました。

　もう１人の飛び入りもあって,これは,将棋チェスネット１の方の

　メンバーのお子さんで小学２年生の男児です。

　実は,そんなこともあろうかと多少の色気もあって見に行ったの

　ですが,結局,久しぶりの緊張感にちょっとハマってしまいました。

　はじめの２番はすぐ負けましたが,最後の対戦だけは私の勝ちも

　あってチームが４対３勝ちしたので少し貢献できたようです。

　２次会は私はどうもおチャラケ気分の異端児なので,おジャマ虫

　だったかも知れませんが。。。