共形場理論(2)

　共形場理論の続きです。

1.3 Wickの定理

ＡをＰ＝∂/∂ｘ,Ｑ＝ｘの生成する非可換代数とします。他方,ｐ,ｑを可換な変数としてＦ(ｐ,ｑ)をｐ,ｑの任意の多項式とします。

Ｆ(ｐ,ｑ)においてｐ→Ｐ＝∂/∂ｘ,ｑ→Ｑ＝ｘに置き換えてＦをＡの元として読み直すことがSchrödingerに始まる伝統的な量子化の方法です。

ただし,この量子化は一意的ではなく例えばＦ＝ｐｑならＦをｐｑと見るか,またはｑｐと見るかによってｐｑ→ＰＱ＝ＱＰ＋1,またはｑｐ→ＱＰという違いが生じます。

こうした不定性を固定する１つの処方箋として記号: :で表わされる正規積(normal-ordering)があります。

正規積とは,可換量Ｆ(ｐ,ｑ)に対して非可換量:Ｆ(ｐ,ｑ):∈Ａを定義して対応させるものです。この対応Ｆ→:Ｆ:はＰ,Ｑそれぞれに対する線形性,および次の関係式によって定義されます。

すなわち,:ｑＦ(ｐ,ｑ):＝Ｑ:Ｆ(ｐ,ｑ):, :Ｆ(ｐ,ｑ)ｐ:＝:Ｆ(ｐ,ｑ):Ｐ,:1:＝1 なる関係式です。

上記においては,説明の都合上,可換量ｐ,ｑと非可換量Ｐ,Ｑの記号を小文字と大文字で区別しました。

しかし,今のｐ,ｑとＰ,Ｑのみの作用素代数Ａの場合,正規積を取るとはｐ,ｑをそれぞれＰ,Ｑに置き換えながらＱを左にＰを右にという順序にする操作を行なうことなので,混乱のおそれがないなら両者に同じ記号を用いて差し支えないです。

以下では,全ての変数をＰ,Ｑのみで表わします。

例えば,:(Ｐ＋Ｑ)²:＝:Ｐ²＋2ＰＱ＋Ｑ²:＝Ｐ²＋2ＱＰ＋Ｑ²といった具合いです。

以上の話は,変数が{Ｑ_i,Ｐ_i}(ｉ∈Ｉ)から成るときのように,変数Ｐ,Ｑの組が複数ある場合も同様です。

そして,Ａ≡Σ_i∈I(ｕ_iＰ_i＋ｖ_iＱ_i) (ｕ_i,ｖ_i∈Ｃ)について,これをＡ＝Ａ_＋＋Ａ_－,Ａ_＋≡Σ_i∈Iｕ_iＰ_i,Ａ_－≡Σ_i∈Iｖ_iＱ_iと分解します。

この記号を,Ｐ_i,Ｑ_jの任意の線形結合Ａ,Ｂに適用したとき,ｃ(Ａ,Ｂ)≡[Ａ_＋,Ｂ_－]と定義して,これをＡ,Ｂの縮約(contraction)といいます。

ここで,正規積と縮約に関する重要な"Wickの定理"を与えます。

[Wickの定理]:Ｐ_i,Ｑ_iの任意の線形結合Ａ,Ｂに対して:exp(Ａ)::exp(Ｂ):＝exp{ｃ(Ａ,Ｂ)}:exp(Ａ＋Ｂ):が成立する。

(証明):正規積の定義から:exp(Ａ):＝:exp(Ａ_＋＋Ａ_－):＝exp(Ａ_－)exp(Ａ_＋)です。

同様に:exp(Ｂ):＝exp(Ｂ_－)exp(Ｂ_＋)です。

それ故,:exp(Ａ)::exp(Ｂ):＝exp(Ａ_－)exp(Ａ_＋)exp(Ｂ_－)exp(Ｂ_＋)が成立します。

　そして,Ｐ_i,Ｑ_iの線形結合Ａ,Ｂについては[Ａ_＋,Ｂ_－]がＡ_＋,Ｂ_－の両方と可換なので,既に求めた公式によりexp(Ａ_＋)exp(Ｂ_－)＝exp[Ａ_＋,Ｂ_－]exp(Ｂ_－)exp(Ａ_＋)＝{ｃ(Ａ,Ｂ)}exp(Ｂ_－)exp(Ａ_＋)です。

　また,Ａ_－とＢ_－,およびＡ_＋とＢ_＋は明らかに可換なので:exp(Ａ＋Ｂ):＝exp(Ａ_－＋Ｂ_－)exp(Ａ_＋＋Ｂ_＋)＝exp(Ａ_－)exp(Ｂ_－)exp(Ａ_＋)exp(Ｂ_＋)です。

　よって,定理の結論である:exp(Ａ)::exp(Ｂ):＝exp{ｃ(Ａ,Ｂ)}:exp(Ａ＋Ｂ):が得られました。(証明終わり)

(系):Ａ_r(ｒ＝1,2,..)をＰ_i,Ｑ_i(ｉ∈Ｉ)の線形結合とする。

　ｘ_r,ｙ_r∈ＣをパラメータとしてＡ≡Σ_rｘ_rＡ_r,Ｂ≡Σ_rｙ_rＡ_rと置くと,:exp(Ａ)::exp(Ｂ):＝:exp(Σ_rｘ_rＡ_r)::exp(Σ_sｙ_sＡ_s):＝exp{Σ_r,sｘ_rｙ_sｃ(Ａ_r,Ａ_s)}:exp{Σ_r(ｘ_r＋ｙ_r)Ａ_r}:である。

　この命題は自明なので証明は省略します。

　得られた式:exp(Σ_rｘ_rＡ_r)::exp(Σ_sｙ_sＡ_s):＝exp{Σ_r,sｘ_rｙ_sｃ(Ａ_r,Ａ_s)}exp{Σ_r(ｘ_r＋ｙ_r)Ａ_r}の両辺をｘ_r,ｙ_s etc.で何回か微分してｘ＝ｙ＝0 と置けば,次の便利な関係式も得られます。

　:Ａ_r::Ａ_sＡ_t:＝ｃ(Ａ_r,Ａ_s):Ａ_t:＋ｃ(Ａ_r,Ａ_t):Ａ_s:＋:Ａ_rＡ_sＡ_t:,:Ａ_rＡ_s::Ａ_tＡ_u:＝ｃ(Ａ_r,Ａ_s)ｃ(Ａ_t,Ａ_u)＋ｃ(Ａ_r,Ａ_u)ｃ(Ａ_s,Ａ_t)＋ｃ(Ａ_r,Ａ_t):Ａ_sＡ_u:＋ｃ(Ａ_r,Ａ_u):Ａ_sＡ_t:＋ｃ(Ａ_s,Ａ_t):Ａ_rＡ_u:＋ｃ(Ａ_s,Ａ_u):Ａ_rＡ_t:＋:Ａ_rＡ_sＡ_tＡ_u:などです。

　また,Wickの定理の結論式:exp(Ａ)::exp(Ｂ):＝exp{ｃ(Ａ,Ｂ)}:exp(Ａ＋Ｂ):から,:exp(Ａ₁)::exp(Ａ₂)::exp(Ａ₃):＝exp{ｃ(Ａ₁,Ａ₂)}:exp(Ａ₁＋Ａ₂)::exp(Ａ₃):＝exp{ｃ(Ａ₁,Ａ₂)}exp{ｃ(Ａ₁＋Ａ₂,Ａ₃)}:exp(Ａ₁＋Ａ₂＋Ａ₃):＝exp{ｃ(Ａ₁,Ａ₂)＋ｃ(Ａ₁,Ａ₃)＋ｃ(Ａ₂,Ａ₃)}:exp(Ａ₁＋Ａ₂＋Ａ₃):です。

　したがって,一般にΠ_r=1ⁿ:exp(Ａ_r):＝[Π_s<texp{ｃ(Ａ_s,Ａ_t)}]:{Π_r=1ⁿexp(Ａ_r)}:を得ます。

　この式で,Ａ_r→ｘ_rＡ_rなる置き換えをした後,両辺のｘ₁ｘ₂..ｘ_rの係数を比較すると,Ａ₁Ａ₂..Ａ_r＝Σ{Π_対ｃ(Ａ_i,Ａ_j):Π_残りＡ_r:}なる恒等式が得られます。

ただし,右辺の和は{1,2,..,ｒ}を幾つかの対(ｉ₁,ｊ₁),(ｉ₂,ｊ₂),..と残りの{ｒ₁,ｒ₂,..}に分割する全ての分け方にわたって取ります。

短いですが今日はここまでです。

参考文献:山田泰彦 著「共形場理論入門」(培風館)

PS:７/17,18は毎年恒例の将棋チェスネットのお泊りオフです。

　今年は三保の「三保園ホテル」です。17日朝８時20分に東京駅八重洲口から出る東名高速バスで向かう予定です。