共形場理論(3)

　共形場理論の続きです。 

1.4 頂点作用素

　無限個の変数ｔ＝(ｔ₀,ｔ₁,ｔ₂,..),複素パラメータｋ,およびｚを用意します。

　そして,ｔの関数に作用する頂点作用素(vertex operator):Ｖ_k(ｚ)を次式で定義します。

　すなわち,Ｖ_k(ｚ)≡Ｖ_k^－(ｚ)Ｖ_k^＋(ｚ);Ｖ_k^－(ｚ)≡exp(ｋΣ_n=0^∞ｚⁿｔ_n),Ｖ_k^＋(ｚ)≡exp{ｋΣ_n=0^∞ｕ_n(ｚ)∂/∂ｔ_n}です。ただし,ｕ₀(ｚ)≡logｚ,ｕ_n(ｚ)≡ｚ^-n/ｎ(ｎ＞0)です。

ｕ_n(ｚ)はｚの対数:log(ｚ－ｗ)のｗによるベキ級数展開をlog(ｚ－ｗ)＝Σ_n=0^∞ｕ_n(ｚ)ｗⁿと表現したときの展開係数です。

Ｖ_k(ｚ)は掛け算作用素部分Ｖ_k^－(ｚ)が左側に,微分作用素部分Ｖ_k^＋(ｚ)が右側にくる正規積(normal-ordering)の形です。

しかし,２つの頂点作用素の積:Ｖ_l(ｗ)Ｖ_k(ｚ)＝Ｖ_l^－(ｗ)Ｖ_l^＋(ｗ)Ｖ_k^－(ｚ)Ｖ_k^＋(ｚ)を考えると,中央のＶ_l^＋(ｗ)Ｖ_k^－(ｚ)が正規積の順序になっていません。

そして,Ｖ_l^＋(ｗ)Ｖ_k^－(ｚ)＝exp{ｌΣ_m=0^∞ｕ_m(ｗ)∂/∂ｔ_m}exp(ｋΣ_n=0^∞ｚⁿｔ_n)＝exp{ｋｌΣ_m=0^∞ｕ_m(ｗ)ｚ^m}[exp(ｋΣ_n=0^∞ｚⁿｔ_n)exp{ｌΣ_m=0^∞ｕ_m(ｗ)∂/∂ｔ_m}]です。

右辺,最初の因子はexp{ｋｌΣ_m=0^∞ｕ_m(ｗ)ｚ^m}＝exp{(ｋｌ)log(ｗ－ｚ)}＝(ｗ－ｚ)^klですから,Ｖ_l^＋(ｗ)Ｖ_k^－(ｚ)＝(ｗ－ｚ)^klＶ_k^－(ｚ)Ｖ_l^＋(ｗ)と書けます。

したがって,Ｖ_l(ｗ)Ｖ_k(ｚ)＝(ｗ－ｚ)^kl:Ｖ_l(ｗ)Ｖ_k(ｚ):です。

この証明をよりスマートに書くと次のようになります。 

(証明):Ｖ_l^＋(ｗ)＝exp(Ａ),Ｖ_k^－(ｚ)＝exp(Ｂ),Ａ≡ｌΣ_m=0^∞ｕ_m(ｗ)∂/∂ｔ_m},Ｂ≡ｋΣ_n=0^∞ｚⁿｔ_nと置くとき[Ａ,Ｂ]＝ｋｌΣ_m=0^∞ｕ_m(ｗ)ｚ^m＝(ｋｌ)log(ｗ－ｚ)です。

　それ故,exp(Ａ)exp(Ｂ)＝exp([Ａ,Ｂ])exp(Ｂ)exp(Ａ)＝(ｗ－ｚ)^klexp(Ｂ)exp(Ａ)が得られます。(証明終わり)

同様な計算の連続により,一般的公式:Ｖ_k1(ｚ₁)..Ｖ_kN(ｚ_N)＝Π_{1≦i＜j≦N} (ｚ_i－ｚ_j)^kikj:Ｖ_k1(ｚ₁)..Ｖ_kN(ｚ_N):が得られます。

私自身が忙しいということもあり,このシリーズは少しずつゆっくり進むことにします。

参考文献:山田泰彦 著「共形場理論入門」(培風館)

PS:７/29に南大塚一丁目に引越し予定です。昨日まで脱水症状でしたが２軒ハシゴで治りました。