共形場理論(4)

　共形場理論の続きです。

　今日は量子論ではスピンが半奇数のFermi粒子に対応するグラスマン(Grassmann)代数の話です。

以下には,古典的反可換量という記述がありますが量子論の反可換量(Grassmann数)に対応する古典量は存在しないはずです。

ベクトル積(外積):ａ×ｂや面積要素:ｄＳ_z＝ｄｘ∧ｄｙのような微分形式を想像すれば古典的対応物が無いとは言い切れませんが。。

1.5 反交換子

　量子論では[Ａ,Ｂ]＝ＡＢ－ＢＡは古典的には可換な量Ａ,Ｂの量子論的非可換性の度合いを表わしていました。このように,古典的には可換な量はbosonといわれます。

　これに対してfermionといわれる古典的には反可換な量も重要です。ただしＡ,Ｂが反可換であるとはＢＡ＝－ＡＢなることをいいます。

　量子化されたfermionの非反可換性を表わすものとして,ある代数Ａに属する任意のＡ,Ｂの反交換子(anti-commutator):[Ａ,Ｂ]_＋を,[Ａ,Ｂ]_＋≡ＡＢ＋ＢＡで定義します。

　反交換子も交換子と似た次の基本性質を持ちます。

◎(反交換子の性質):Ａ,Ｂ,Ｃ∈Ａ,およびａ,ｂ,ｃ∈Ｃに対して次式が成立する。

(ⅰ)双線形性:[ａＡ＋ｂＢ,Ｃ]_＋＝ａ[Ａ,Ｃ]_＋＋ｂ[Ｂ,Ｃ]_＋,[Ａ,ｂＢ＋ｃＣ]_＋＝ｂ[Ａ,Ｂ]_＋＋ｃ[Ａ,Ｃ]_＋,

(ⅱ)対称性:[Ａ,Ｂ]_＋＝[Ｂ,Ａ]_＋,

(ⅲ)Jacobiの恒等式:

　[Ａ,[Ｂ,Ｃ]_＋]＋[Ｂ,[Ｃ,Ａ]_＋]＋[Ｃ,[Ａ,Ｂ]_＋]＝0,　　　

(ⅳ)Leibniz則:[Ａ,ＢＣ]＝[Ａ,Ｂ]_＋Ｃ－Ｂ[Ａ,Ｃ]_＋

　交換子の場合同様,成立は自明なのでこれらの証明はしません。

Ａ,Ｂ,Ｃが全て互いに反可換な量なら,ＡＢＣ＝－ＡＣＢ＝ＣＡＢなのでＡＢとＣは可換になります。

そこで,偶数個のfermionの積はbosonと考えるのが自然です。

　次に,写像δ:Ａ→Ａが線形でδ(ＡＢ)＝δ(Ａ)Ｂ＋(－1)^|A|Ａδ(Ｂ)を満たすとき,δを代数Ａの反微分(anti-derivative)といいます。

　ただし,Leibnitz則に対応する式での記号|Ａ|はＡの偶奇性(パリティ)を示すものです。この数|Ａ|はＡのパリティが±＝(－1)^|A|となるように定義されます。

つまり,Ａがboson的なら|Ａ|＝0,fermion的なら|Ａ|＝1です。

　bosonにおける微分で述べた演算:adＡ:Ｂ→[Ａ,Ｂ]をfermionを含む場合に拡張して,adＡ:Ｂ→ＡＢ－(－1)^|B|ＢＡ と書けば,この演算は１つの微分,または反微分と見なせます。

そして,一般公式:δ(Ｂ₁Ｂ₂..Ｂ_n)＝Σ_i=1ⁿ{(－1)^|B1..Bi-1|Ｂ₁..Ｂ_i-1δ(Ｂ_i)Ｂ_i+1..Ｂ_n}も得られます。

　bosonやfermionを同時に含む系をまとめて扱うために,想定している代数Ａをboson(偶)とfermion(奇)の２つの階級に分けます。

すなわち,Ａ≡Ａ₀＋Ａ₁と直和分割します。ただし,Ａ₀,およびＡ₁は,それぞれ,fermion生成元を偶数個,および奇数個含む項のみの和からなる代数です。

こうすれば,Ａ∈Ａ_i (ｉ＝0,1)に対して|Ａ|＝ｉとなります。

この一般的設定の下で,再度Wickの定理を述べておきます。

Ａの生成元:ａ_i^ (ｉ∈Ｊ)には,それぞれ偶奇性:|ａ_i^|∈{0,1}が定まっているとし,それらは交換関係,または反交換関係:[ａ_i^,ａ_j^]_±＝ｈ_ijに従うとします。

ただし,[Ａ,Ｂ]_±≡ＡＢ－(－1)^|B|ＢＡであり,ｈ_ij∈Ｃは|ａ_i^||ａ_j^|の偶奇に応じ,添字について反対称,または対称です。 

すなわち,ｈ_ijはｈ_ji＝(－1)^{|ai^||aj^|}ｈ_ijなる対称性を持ちます。

Ａの生成元:ａ_i^ (ｉ∈Ｊ)の線形結合全体をＷとし,Ｗ_＋の元同士は反可換,Ｗ_－の元同士は可換であるようなＷの直和分解:Ｗ＝Ｗ_＋＋Ｗ_－があるとします。

全てのｈ_ijをゼロとおいてＡを反可換化,かつ可換化した代数をＡ_cとします。(※Ａ_cはＡの元に対応する古典的量から成る代数です。※)

そして,Ａ_cからＡへの線形な写像: :をＰ∈Ａ_c,ａ^_±∈Ｗ_±に対して:ａ_－^Ｐ:＝ａ_－^:Ｐ:,:Ｐａ_＋^:＝:Ｐ:ａ_＋^, :1:＝1 なる性質によって定義します。

この写像: :を改めて正規積(normal-ordering)と呼びます。

さらに,∀ａ^∈ＷのＷ_±への分割をａ^＝ａ_＋^＋ａ_－^ (ａ_±^∈Ｗ_±)と表わして,縮約ｃ(ａ^,ｂ^)をｃ(ａ^,ｂ^)≡[ａ_＋^,ｂ_－^]_±と定義します。

これらを用いると,一般的なWickの定理を述べることができます。

※共形場理論(2)で述べたWickの定理は次のようなものでした。

[Wickの定理]:Ｐ_i,Ｑ_iの任意の線形結合Ａ,Ｂに対して:exp(Ａ)::exp(Ｂ):＝exp{ｃ(Ａ,Ｂ)}:exp(Ａ＋Ｂ):が成立する。

そして,これのより便利な形式は次の系です。

(系):Ａ_r(ｒ＝1,2,..)をＰ_i,Ｑ_i(ｉ∈Ｉ)の線形結合とする。ｘ_r,ｙ_r∈ＣをパラメータとしてＡ≡Σ_rｘ_rＡ_r,Ｂ≡Σ_rｙ_rＡ_rと置くと,:exp(Ａ)::exp(Ｂ):＝:exp(Σ_rｘ_rＡ_r)::exp(Σ_sｙ_sＡ_s):＝exp{Σ_r,sｘ_rｙ_sｃ(Ａ_r,Ａ_s)}:exp{Σ_r(ｘ_r＋ｙ_r)Ａ_r}:である。※

　さて,互いに反可換,可換なパラメータｘ_r,ｙ_s (ｒ,ｓ∈Ｊ)を用意します。ｒ∈Ｊに対してｘ_r,ｙ_rはａ_r^と同じ偶奇性を持ち,かつ[ｘ_r,ａ_s^]＝[ｙ_r,ａ_s^]＝0とします。

　このとき,ｘ_r,ｙ_s (ｒ,ｓ∈Ｊ)はboson的作用素と考えることができて,:exp(Σ_rｘ_rａ_r^)::exp(Σ_sｙ_sａ_s^):＝exp{Σ_r,sｘ_rｙ_sｃ(ａ_r^,ａ_－s^)}:exp{Σ_r(ｘ_r＋ｙ_r)ａ_r^}:が成り立ちます。

これは上記のWickの定理の系と全く同じものです。

　前と同様,:exp(Σ_rｘ_rａ_r^)::exp(Σ_sｙ_sａ_s^):＝exp{Σ_r,sｘ_rｙ_sｃ(ａ_r^,ａ_s^)}exp{Σ_r(ｘ_r＋ｙ_r)ａ_r^}の両辺をｘ_r,ｙ_s etc.で何回か微分してｘ＝ｙ＝0と置けば,

:ａ_r^::ａ_s^ａ_t^:＝ｃ(ａ_r^,ａ_s^):ａ_t^:±ｃ(ａ_r^,ａ_t^):ａ_s^:±:ａ_r^ａ_s^ａ_t^:,そして,:ａ_r^ａ_s^::ａ_t^ａ_u^:＝±ｃ(ａ_r^,ａ_s^)ｃ(ａ_t^,ａ_u^)±ｃ(ａ_r^,ａ_u^)ｃ(ａ_s^,ａ_t^)±ｃ(ａ_r^,ａ_t^):ａ_s^ａ_u^:±ｃ(ａ_r^,ａ_u^):ａ_s^ａ_t^:±ｃ(ａ_s^,ａ_t^):ａ_r^ａ_u^:±ｃ(ａ_s^,ａ_u^):ａ_r^ａ_t^:±:ａ_r^ａ_s^ａ_t^ａ_u^:などを得ます。

ここで,±はａ_r^ etc.の順序の違いによって生ずる符号です。　 

例えば,±ｃ(ａ_r^,ａ_t^)ｃ(ａ_s^,ａ_u^)では左辺の:ａ_r^ａ_s^::ａ_t^ａ_u^:と比べａ_s^,ａ_t^の順序が変わっているので,対応する符号±は(－1)^{|as^||at^|}で与えられます。 

このように,fermionを含む場合でもWickの定理はbosonの場合とほぼ同じであり,違いはfermion(Grassmann数)の順序の違いによる符号のみに現われます。

今日はここまでです。 

参考文献:山田泰彦 著「共形場理論入門」(培風館)

PS:今日も暑かったです。帰宅途中の小石川植物園の世界最大の花は今日も咲かなかったとの掲示がありました。(※その後,夕方から23日朝にかけて開花したらしいですね。)

　昨日が仕事に通い始めてから１ヶ月でした。今のところ皆勤です。

　そして,なんと高校野球岡山県予選準々決勝で私の母校金光学園も父の母校岡山東商も共に１点差で惜敗しました。