デジャブ(既死感？)

 雨の朝,目の前を高速で車が走っていく。

　バス停で母の手を離れた小児が遊んでいる様を見ていると,

　次の瞬間には私が車にはねられて死んでいる。。

　というような予知夢？が頭に浮かぶ。

　別に,何か死ぬ時と場所を探しているわけじゃないが。。

　マイナス１よりも,プラスマイナスゼロの方が,まだましだろう。

ＰＳ１以下は.唄(歌詞)の私が泣けるフレーズ集です。

　(※番号は,別に泣ける順のランクではありません。)

1. Freedom's  just another word for  nothin' left  to lose

　 And nothin' ain't worth nothin' but it's free 

   Feeling good was easy Lord ..

　Freedom's  just another word for  nothin' left to lose

   And nothin' left　is all he　left for me

　(※Janis Joplin 「Me and Bobby Macgee」から。)

　外国語でも日本語でも,なぜか「失なうものは何もない。」

というフレーズを聴くと涙が出てきます。

 ２．あなた,最後のわがまま贈りものをねだるわ。

　　　ねえ,涙拭く木綿のハンカチーフください。ハンカチーフください。

　(※太田裕美が唄う 「木綿のハンカチーフ」から。)

　うん,悲しくて,感情移入してしまう失恋の唄です。。。

３. No.１にならなくてもいい,もともと特別なOnly one。。

　(※慎原j敬之作でスマップも歌う　「世界に一つだけの花」から。)

　デカルトではないけど,自分(エゴ)こそが全てです。

　約70億もいても,他に１つとしてそっくり同じものは無い希少価値のある

　存在ですね。。

４.. チューリップのアップリケ付いたスカート持ってきて。。

　　お父ちゃんもときどき買うてくれはるけど,

　　うち,やっぱりお母ちゃんに買うてほしい。。

　　(※岡林信康　「チューリップのアップリケ」から。)

　　かつての靴職人というのは？。。。。

5. 泣いて帰った道すがら,母ちゃんの働くとこを見た。

　　慰めてもらおう。抱いてもらおうと息をはずませ帰ってはきたが,

　　母ちゃんの姿見たときに泣いた涙も忘れ果て。。

　　(※美輪(丸山)明弘　「ヨイトマケの唄」から。。)

　etc.etc.。。。

　PS2：私はキモいロリコンオヤジであり,また,成人なら白痴女性

　が好みであるというのは,実は共通していて,こんな歳になっても

　未だに成熟した大人の女性を相手にする自信がない,怖い

　ということだろうか？

散乱の伝播関数の理論(18)(応用４)

　散乱の伝播関数の理論の続きです。

　今日は自由電子による光子の散乱(Compton散乱)の微分断面積の

　最低次の計算を行います。

　まず,すぐ前の電子による制動輻射(Bremsstrahlung)の

　Feynman-diagramを再掲します。

　すなわち,電荷:－Ｚｅ＞0 を源とする静電Coulomb場:

　Ａ⁰_Coul(ｘ)＝－Ｚｅ/(4πε₀|ｘ|)

　＝－Ｚｅ∫ｄ³ｑ{exp(iｑｘ)/|ｑ|²}の中を電子が通過する際に

　１光子を放出する２次のグラフ:下図7.8です。　

　　

　このグラフで静電Coulomb場の源:－Ｚｅと交換される仮想光子

　が実光子である場合,

　つまり正電荷の原子核に相当する源:－Ｚｅは存在せず,単に

　自由電子が光子を吸収して放出する過程を想定すると,これが

　記述するのは,"自由電子による光子の散乱＝Compton散乱"です。

§7.7 Compton Scattering(コンプトン散乱)

　前の制動輻射において与えたのと同じ平面波の場:

　Ａ^μ(ｘ;ｋ)＝(2|ｋ|ε₀Ｖ)^-1/2

ε^μ{exp(－iｋｘ)＋exp(iｋｘ)}を電子線の１つの頂点で

　吸収される入射光子とします。

一方,運動量ｋ'^μ,偏光ε'^μを持つ別の平面波:

Ａ'^μ(ｘ;ｋ')＝(2|ｋ'|ε₀Ｖ)^-1/2

ε'^μ{exp(－iｋ'ｘ)＋exp(iｋ'ｘ)}が第２の頂点で放出

されて終光子になるとします。

　この過程は,ｋ＋ｐ_i＝ｋ'＋ｐ_fなる関係によって,エネルギー・

　運動量保存を示す光子の自由電子による散乱,

　つまり,Compton散乱として知られています。

　このCompton散乱の２次のＳ行列要素は,先の制動輻射のＳ行列要素

　Ｓ_fi＝ｅ²∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙψ~_f(ｘ)

　[－iＡ(ｘ;ｋ)iＳ_F(ｘ－ｙ)(－iγ⁰)Ａ⁰_Coul(ｙ)

　＋(－iγ⁰)Ａ⁰_Coul(ｘ)iＳ_F(ｘ－ｙ){－iＡ(ｙ;ｋ)}]ψ_i(ｙ)

　において,γ⁰Ａ⁰_Coul(ｙ)をＡ'(ｙ;ｋ')に,γ⁰Ａ⁰_Coul(ｘ)を

　Ａ'(ｘ;ｋ')に置き換えるだけ異なります。

　制動輻射の２次のＳ行列要素の運動量表示は,

　Ｓ_fi＝{－Ｚｅ³/(ε₀Ｖ)^3/2}2πδ(Ｅ_f＋ｋ⁰－Ｅ_i)(2ｋ⁰)^-1/2

{ｍ²/(Ｅ_fＥ_i)}^1/2(1/|ｑ|²)

　ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[(－iε){i/(ｐ_f＋ｋ－ｍ)}(－iγ⁰)

　＋(－iγ⁰){i/(ｐ_i－ｋ－ｍ)}(－iε)]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)

　でした。

この式から,電磁ポテンシャルの置換:γ⁰Ａ⁰_Coul → Ａ'によって,

Compton散乱の２次のＳ行列要素Ｓ_fi^Compが得られます。

すなわち,Ｓ_fi^Compの運動量表示として,

Ｓ_fi^Comp＝{ｅ²/(ε₀Ｖ²)}(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ)

(4ｋ⁰ｋ'⁰)^-1/2{ｍ²/(Ｅ_fＥ_i)}^1/2

ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[(－iε'){i/(ｐ_i＋ｋ－ｍ)}(－iε)

＋(－iε){i/(ｐ_i－ｋ'－ｍ)}(－iε')]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)

を得ます。

これは,以下の図７.10のFeynman-diagramに対応しています。

このＳ_fi^Compの表現式からは,他のｋ,またはｋ'の符号が異なる３つ

の追加項を落としました。

これらの追加項は,Ａ^μ(ｙ;ｋ)とＡ'^μ(ｘ;ｋ')の積とその交換

グラフに対応する交代項:Ａ'^μ(ｙ;ｋ')とＡ^μ(ｘ;ｋ)の積によ

る計２×４個の項のうち,

exp(iｋｙ)exp(－iｋ'ｘ),exp(－iｋ'ｙ)exp(iｋｘ)に比例する項,

exp(iｋｙ)exp(iｋ'ｘ),exp(iｋ'ｙ)exp(iｋｘ)に比例する項,　

および,exp(－iｋｙ)exp(－iｋ'ｘ),exp(－iｋ'ｙ)exp(－iｋ'ｘ)

に比例する項に由来するものです。

これらのうち,前の２×２個の項は,Compton散乱の４元運動量保存

条件として,ｐ_i＝ｐ_f＋ｋ＋ｋ',またはｐ_f＝ｐ_i＋ｋ＋ｋ'を要求し.

これに対応するδ⁴関数に導くものです。

しかし,こうした条件は１つの自由電子が１つの自由電子と２つの

光子に崩壊する過程,またはその逆反応に対応する条件で,これを

満たすことは運動学的に不可能です。

(※例えば,後述する対生成は光子の電子,陽電子対への崩壊に相当

　しますが,これも１つの光子だけからの生成は運動学的に不可能

　で,２つ以上の光子からの生成のみ可能です。※)

残る第３の項の対は,Ｓ_fi^Compの表現でｋとｋ'を入れかえた項の対

に相当します。

これは入射光子がｋ'で終光子がｋの散乱に対応します。

この項は,δ⁴(ｐ_f＋ｋ－ｐ_i－ｋ')に比例するため,この項がゼロで

ない場合が,上記のＳ_fi^Compの右辺の因子:δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ)

がゼロでない場合と共存することは有り得ません。

しかし,Ｓ_fi^Compが(ｋ,ε)⇔(－ｋ',ε')なる交換に対して対称で

あることに着目すれば,

入射光子がｋ'で終光子がｋの場合のCompton散乱の断面積も

同じ値を与えることがわかります。

これは,２体散乱のCrossing Symmetry(交叉対称性)として知られて

いる性質ですが,実は相互作用の２次の摂動近似だけでなく摂動の

あらゆる次数で成立する正確な対称性です。

この交叉対称性は,素粒子論の多くの場合に成立して重要な役割を

果たすもので,"詳細釣り合いの原理(detailed valance)"と呼ばれ

ます。

さて,具体的なCompton散乱の２次の散乱断面積の計算は,これまで

幾つかの例において展開してきたラインに沿って実行できます。

ただし,スピノール(spinor)代数に関連する因子の計算については

ややハードルが高いです。

まず,Compton散乱の２次のＳ行列要素Ｓ_fi^Compを再掲します。

Ｓ_fi^Comp＝{ｅ²/(ε₀Ｖ²)}(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ)

(4ｋ⁰ｋ'⁰)^-1/2{ｍ²/(Ｅ_fＥ_i)}^1/2ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)

[(－iε'){i/(ｐ_i＋ｋ－ｍ)}(－iε)

＋(－iε){i/(ｐ_i－ｋ'－ｍ)}(－iε')]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)

です。

このＳ行列要素の絶対値の平方:|Ｓ_fi^Comp|²をＴＶ＝(2π)⁴δ⁴(0)

で割って単位体積,単位時間当たりの遷移率とします。

そして,散乱断面積の定義に従って,これを入射粒子の流束(flux):

|ｖ|/Ｖで割り,さらに"単位体積に存在する平均の標的粒子数＝

標的密度:(1/Ｖ)"で割ります。

最後に,位相空間体積:{Ｖ²/(2π)⁶}ｄ³ｐ_fｄ³ｋ'にわたる総和

(積分)を取ると散乱断面積:ｄσが得られます。

制動輻射の断面積の式:

ｄσ＝{Ｚ²ｅ⁶ｍ²/(2ε₀³ｋ⁰Ｅ_fＥ_i|ｖ_i|)}

∫(|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[ε{1/(ｐ_f＋ｋ－ｍ)}γ⁰＋

γ⁰{1/(ｐ_i－ｋ－ｍ)}ε]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²/|ｑ|⁴)(2π)^-5

δ(Ｅ_f＋ｋ⁰－Ｅ_i)ｄ³ｋｄ³ｐ_f

を参考にしてCompton散乱のｄσを求めます。

Compton散乱では,ｄσ＝{ｅ⁴ｍ/(2ｋ⁰ε₀²Ｅ_i|ｖ|)}

∫(|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[ε'{1/(ｐ_i＋ｋ－ｍ)}ε

＋ε{1/(ｐ_i－ｋ'－ｍ)}ε']ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²)(2π)^-2

δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ)ｄ³ｐ_f(ｍ/Ｅ_f)ｄ³ｋ'{1/(2ｋ'⁰)}

となります。

ここでまず,初期の標的電子が静止している実験室系:

ｐ_i^μ＝(Ｅ_i,ｐ_i)＝(ｍ,0)を準拠系に採用すると,

|ｖ|＝ｃ＝1ですから,ｍ/(2ｋ⁰Ｅ_i|ｖ|)}＝1/(2ｋ)です。

ただし,ｋ≡|ｋ|＝ｋ⁰です。

「散乱の伝播関数の理論(13)(応用2-1)」で書いたように,

ｄ³ｐ/(2Ｅ)＝∫₀^∞ｄｐ⁰δ(ｐ²－ｍ²)ｄ³ｐ

＝∫_-∞^∞ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²－ｍ²);Ｅ＝(ｐ²＋ｍ²)^1/2

なる有用な公式があります。

これを利用し,散乱光子の立体角Ω_k'と実験室系でｋとｋ'のなす角

θを固定して,ｄσの右辺の因子:

δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ)ｄ³ｐ_f(ｍ/Ｅ_f)ｄ³ｋ'{1/(2ｋ'⁰)}

をｋ'≡|ｋ'|＝ｋ'⁰で積分します。

すると,∫ｄ³ｐ_f(ｍ/Ｅ_f)ｄ³ｋ'{1/(2ｋ')}δ⁴(ｋ＋ｐ_i－ｋ'－ｐ_f)

＝(1/2)ｄΩ_k'∫₀^∞ｋ'ｄｋ'∫(ｍ/Ｅ_f)ｄ³ｐ_fδ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ)

＝ｍｄΩ_k'∫₀^∞ｋ'ｄｋ'

∫θ(ｋ＋ｍ－ｋ')δ({ｋ＋ｐ_i－ｋ'}²－ｍ²)

＝ｍｄΩ_k'∫₀^k+mｋ'ｄｋ'δ({2ｍ(ｋ－ｋ')－2ｋｋ'(1－cosθ)})

＝ｄ_Ωk'(ｋ'/2){1＋(ｋ/ｍ)(1－cosθ)}

を得ます。

ただし,最後の式では,ｋ'＝ｋ/{1＋(ｋ/ｍ)(1－cosθ)}

です。

すなわち,∫ｄ³ｐ_f(ｍ/Ｅ_f)ｄ³ｋ'{1/(2ｋ')}δ⁴(ｋ＋ｐ_i－ｋ'－ｐ_f)

＝{ｋ'²/(2ｋ)}ｄΩ_k'であり,ｋ'＝ｋ/{1＋(ｋ/ｍ)(1－cosθ)}

＝ｋ/{1＋(2ｋ/ｍ)sin²(θ/2)}　です。

したがって,ｄσ＝{ｅ⁴ｍ/(2ｋ⁰ε₀²Ｅ_i|ｖ|)}

∫(|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[ε'{1/(ｐ_i＋ｋ－ｍ)}ε

＋ε{1/(ｐ_i－ｋ'－ｍ)}ε']ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²)(2π)^-2

δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ)ｄ³ｐ_f(ｍ/Ｅ_f)ｄ³ｋ'{1/(2ｋ'⁰)}

において,Ω＝Ω_k'と書きｅ²＝4πε₀αを用いると,

次のようになります。

すなわち,ｄσ/ｄΩ

＝α²(ｋ'/ｋ)²|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[ε'{1/(ｐ_i＋ｋ－ｍ)}ε

＋ε{1/(ｐ_i－ｋ'－ｍ)}ε'ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²

です。

これは,始状態,終状態で電子と光子が共に偏極している場合の

Compton散乱に対する微分断面積を表わしています。

ここで,準拠系では初期と終期に光子が横方向に偏極していると

して行列要素Ｓ_fi^Compを単純化します。

すなわち,ε^μ＝(0,ε);εｋ＝0,ε'^μ＝(0,ε');

εｋ'＝0 とします。

このとき,ｐ_i^μ＝(Ｅ_i,ｐ_i)＝(ｍ,0)なので,εｐ_i＝ε'ｐ_i＝0

も成立します。

また,スピン行列γ^μの反交換性から,

ｐ_iε＝2ｐ_iε－εｐ_i＝－εｐ_iであり,

同様にｐ_iε'＝－ε'ｐ_iです。

そこで,自由粒子のDirac方程式から,

(ｐ_i＋ｍ)εｕ(ｐ_i,ｓ_i)＝－ε(ｐ_i－ｍ)ｕ(ｐ_i,ｓ_i)＝0

が成立します。

同様に(ｐ_i＋ｍ)ε'ｕ(ｐ_i,ｓ_i)＝0 です。

また,ｋε＝－εｋ,ｋε'＝ －ε'ｋ　です。

スピノル因子の寄与は,

ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[ε'{1/(ｐ_i＋ｋ－ｍ)}ε＋ε{1/(ｐ_i－ｋ'－ｍ)}ε']

ｕ(ｐ_i,ｓ_i)

＝ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[ε'(ｐ_i＋ｋ＋ｍ)ε/(2ｋｐ_i)

＋ε(ｐ_i－ｋ'＋ｍ)ε'/(－2ｋ'ｐ_i)]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)　です。

これに上記の横波光子の性質を用いると,

－ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[ε'εｋ/(2ｋｐ_i)＋εε'ｋ'/(2ｋ'ｐ_i)]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)

と単純化されます。

これをｄσ/ｄΩ

＝α²(ｋ'/ｋ)²|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[ε'{1/(ｐ_i＋ｋ－ｍ)}ε

＋ε{1/(ｐ_i－ｋ'－ｍ)}ε']ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²に代入し,さらに

終電子spin：ｓ_fについて総和し初期電子spin:ｓ_iについて平均

します。

すると,ｄσ_AVE/ｄΩ＝(1/2)Σ_si,sf(ｄσ/ｄΩ)

＝{α²/(8ｍ²)}(ｋ'/ｋ)²Ｔr[(ｐ_f＋ｍ){ε'εｋ/(2ｋｐ_i)

＋εε'ｋ'/(2ｋ'ｐ_i)}(ｐ_i＋ｍ)]{ｋεε'/(2ｋｐ_i)

＋ｋ'ε'ε/(2ｋ'ｐ_i)}]

を得ます。

そして,トレース定理から,

Ｔr[(ｐ_f＋ｍ)ε'εｋ(ｐ_i＋ｍ)ｋεε'

＝Ｔr[εε'ｋ'(ｐ_i＋ｍ)ｋεε'(ｐ_f＋ｍ)

＝Ｔr[(ｐ_f＋ｍ)εε'ｋ'(ｐ_i＋ｍ)ｋεε'です。

以下トレースの途中計算を省略すると,

Ｔr[(ｐ_f＋ｍ){ε'εｋ/(2ｋｐ_i)＋εε'ｋ'/(2ｋ'ｐ_i)}

(ｐ_i＋ｍ)]{ｋεε'/(2ｋｐ_i)＋ｋ'ε'ε/(2ｋ'ｐ_i)}]

＝2{ｋ'/ｋ＋ｋ/ｋ'＋4(εε')²－2}

を得ます。

結局,Compton散乱に対する有名な

Klein-Nishina(クライン・仁科)の公式:

ｄσ_AVE/ｄΩ＝{α²/(4ｍ²)}(ｋ'/ｋ)²

{ｋ'/ｋ＋ｋ/ｋ'＋4(εε')²－2}

が得られます。

この２次のCompton散乱の断面積は,軟光子弾性散乱:

ｋ＝ｋ'→ 0 の極限では古典Thomson散乱(トムソン散乱)の

微分断面積の公式:(ｄσ_AVE/ｄΩ)_k→0＝(α/ｍ)²(εε')²

になります。

ここで,電子質量ｍに対しては,

α/ｍ＝ｅ²/(4πε₀ｍｃ²)～ 2.8×10^-13cmですが,

これはいわゆる古典電子半径です。

また,散乱角θ→ 0 の前方散乱ではｋ→ｋ'であり,低エネルギー

(ｋ～0)だけでなく全てのエネルギーのｋに対してCompton散乱

断面積が正確にThomson散乱断面積に等しくなることがわかります。

最後に,個々の断面積を終状態光子のspin(偏光)にわたって総和し,

始状態光子のspinについて平均すると,散乱光子が偏光していない

場合の断面積:ｄσ~/ｄΩを得ることができます。

それを得る手順は古典電磁気学における光の散乱と全く同じであり,

その結果を借りると,

ｄσ~/ｄΩ＝{α²/(2ｍ²)}(ｋ'/ｋ)²(ｋ'/ｋ＋ｋ/ｋ'－sin²θ)

です。

※(注18-1):ｋとｋ'のなす角がθのとき,一般に,

ｋ^'＝sinθcosφε⁽¹⁾＋sinθsinφε⁽²⁾＋cosθｋ^と書くことが

できます。ただし,ｋ＾≡ｋ/ｋ,ｋ^'≡ｋ'/ｋ'です。

また,ε⁽¹⁾'＝ｌε⁽¹⁾＋ｍε⁽²⁾＋ｎｋ^;ｌ²＋ｍ²＋ｎ²＝1

とおけば.ε⁽¹⁾'ｋ^'＝0 より

ｌsinθcosφ＋ｍsinθsinφ＋ｎcosθ＝0

です。

(ε⁽¹⁾',ε⁽²⁾',ｋ^')が右手系の正規直交基底をなすという条件

から,ε⁽²⁾'＝ｋ^'×ε⁽¹⁾'

＝(ｎsinθsinφ－ｍcosθ)ε⁽¹⁾＋(ｌcosθ－ｎsinθcosφ)ε⁽²⁾

＋(ｍsinθcosφ－ｌsinθsinφ)ｋ＾

です。

故に,全ての偏光(spin)にわたる総和：Σ_ε,ε'(εε')²は,

(ε⁽¹⁾ε⁽¹⁾')²＋(ε⁽¹⁾ε⁽²⁾')²＋(ε⁽²⁾ε⁽¹⁾')²＋(ε⁽²⁾ε⁽²⁾')²

＝ｌ²＋(ｎsinθsinφ－ｍcosθ)²＋ｍ²＋(ｌcosθ－ｎsinθcosφ)²

＝1＋cos²θとなります。

そこで,始光子偏光状態による平均としては,

(1/2)Σ_ε,ε'(εε')²＝(1＋cos²θ)/2です。

ε＝(0,ε),ε'＝(0,ε')より(εε')²＝(εε')²なので,

(1/2)Σ_ε,ε'(εε')²＝(1＋cos²θ)/2　を得ます。

(注18-1終わり)※

微分断面積:ｄσ~/ｄΩ

＝{α²/(2ｍ²)}(ｋ'/ｋ)²(ｋ'/ｋ＋ｋ/ｋ'－sin²θ)は光子の立体角

Ωについて容易に積分されて全断面積σ~が得られます。

すなわち,σ~＝(πα²/ｍ²)∫_-1¹ｄ(cosθ)

{(ｋ'/ｋ)²(ｋ'/ｋ＋ｋ/ｋ'－sin²θ)}

＝(πα²/ｍ²)∫_-1¹ｄｚ[1/{1＋(ｋ/ｍ)(1－ｚ)}³

＋1/{1＋(ｋ/ｍ)(1－ｚ)}－(1－ｚ²)/{1＋(ｋ/ｍ)(1－ｚ)}²]

です。

これから,低エネルギー:(ｋ/ｍ)→ 0 では全断面積は

σ~～ (πα²/ｍ²)∫_-1¹(1＋ｚ²ｄｚ＝(8π/3)(α/ｍ)²となります。

これはThomson散乱の断面積です。

一方,高エネルギー:ｋ/ｍ＞＞1では,全断面積は

σ~～{πα²/(ｋｍ)}{ln(2ｋ/ｍ)＋1/2＋Ｏ((ｍ/ｋ)ln(ｋ/ｍ)}

となります。

右辺の支配的な対数項は被積分関数の[]の中の第２項:

1/{1＋(ｋ/ｍ)(1－ｚ)}に由来します。

※(注18-2):ζ＝1－ｚとおけば,

(πα²/ｍ²)^-1σ~

＝∫₀²ｄζ{(1＋ｋζ/ｍ)^-3＋(1＋ｋζ/ｍ)^-1

－(ζ²－2ζ)(1＋ｋζ/ｍ)^-2}

＝[{－ｍ/(2ｋ)}(1＋ｋζ/ｍ)^-2＋(ｍ/ｋ)ln(1＋ｋζ/ｍ)

＋(ｍ/ｋ)²ζ－{2(ｍ/ｋ)²＋(ｍ/ｋ)³}(1＋ｋζ/ｍ)^-1

－2{(ｍ/ｋ)²＋(ｍ/ｋ)³}ln(1＋ｋζ/ｍ)]₀²です。

すなわち,σ~＝{πα²/(ｋｍ)}

[{1－2ｍ/ｋ－2(ｍ/ｋ)²}ln(1＋2ｋ/ｍ)＋1/2＋4ｍ/ｋ＋(ｍ/ｋ)²

－(1＋2ｋ/ｍ)^-2]　を得ます。

そこで,ｋ/ｍ＞＞1のとき,右辺の[ ]の中で(ｍ/ｋ)の２次の項を

無視すると,

σ~ {πα²/(ｋｍ)}{(1－2ｍ/ｋ)ln(1＋2ｋ/ｍ)＋1/2＋4ｍ/ｋ

－(1＋2ｋ/ｍ)^-2}　となります。

故に,

σ~～ {πα²/(ｋｍ)}{ln(2ｋ/ｍ)＋1/2＋Ｏ((ｍ/ｋ)ln(ｋ/ｍ)}

が得られました。(注18-2終わり)※

今日はここまでにします。

参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics"(McGrawHill)

　どういうやむにやまれぬ理由か？はわからないが,自分の子供殺すくらい

　なら　オレにくれ。。育児ノイローゼコミで引き受けて,最後の命けずって育て

　たるサカイ。。。

近況雑感(天上天下唯我独善!!)

　さて,私は相も変わらずの唯我独善ブリです。

　自分だけは絶対に正しく他人は間違っているカワイソウな存在なので正してやろう神のように救ってやろうなどとオゴっている,自己中モノですが,まあ,自分の日記の中では許される範囲のことでしょう。　

　今やクソジジイであり,思いやりから叱ったり諭したりしてくれる親のような存在などは願ってもいないのですから,トキドキ自省する冷静さを取り戻す以外にはどうしようもありません。

　しかし,頑固な無用のプライドなどもあるようで自省するようなタマじゃないのですね,コレが。

　実はジャマだから早くどっかへ行けよと思われているのに気付かず,オレは人気者で望まれてるなどと勘違いしてるシアワセな裸の王様なんですな。。(最近よく思っていることです。フン,またヒガミ的な自己分析かよ。)

　日曜日は雨だったのですが,７月23(金),24(土),25(日)は毎年恒例の巣鴨盆踊り(2008年,および2009年)でした。金曜日にはカメラを持ってたので撮影しました。

　　　　　

　　　

PS:７月29日に近くに引越しするため,準備に大忙しです。PCも移動しネットにもアクセスできなくなるため27日から当分ブログは書けません。

　のはずだったのですが。。

　手違いで引越しは８月３日に延期になりました。鍵は７月29日に貰うけど。。

散乱の伝播関数の理論(17)(応用3-2)

　散乱の伝播関数の理論,制動輻射(Bremsstrahlung)の続きです。

さて,弾性散乱断面積因子:(ｄσ/ｄΩ_f)_elasticのｅ²のオーダー

の輻射補正は次の２つのタイプの項から生じます。

すなわち,Coulomb場による電子２次散乱において,電子－陽子散乱

の図7.4,図7.5に対応する項 → 下の参考図　　

および,電子の輻射場を媒介とする自分自身との相互作用

の項です。

　後者の自己相互作用の寄与に対応するFeynman-diagramは下の

　図7.9に示すように,電子から出発した２つの仮想光子

　(virtual photons)のうちの１つが,Coulomb源(＝陽子)に着地

　する代わりに電子自身に戻ってくるようなグラフです。　　　

　実は,これらのグラフによる遷移振幅を計算すると,これも発散し,

　丁度,先のｋ＝0 の実光子による赤外発散(infrared catastrophe)

　を正確に相殺する寄与を与えることがわかり,

　結局,これによってｅ²ののオーダーでの赤外発散の困難は除去

　されます。

　しかし,そうした項を計算するという非常に扱いにくい課題に取り

　組むには,より多くの訓練,経験で武装する必要があります。

　ここでは,これ以上深入りしません。

(※これら赤外発散の除去についての本ブログでのレヴューは,

　2006年12/16の記事「電流によって発生す光子の個数分布」,

　2006年12/19の記事「赤外発散の問題(エネルギーゼロの光子)」

　の中などに示唆しています。よかったら,ご参照ください。※)

　さて,軟光子(soft-photon)制動輻射の微分断面積の式:

　ｄσ/ｄΩ_f ～ (ｄσ/ｄΩ_f)_elastic{(2π)^-3ｅ²/(2ε₀)}

ｋｄｋｄΩ_k{(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²θ(Ｅ_i－ｍ＋ｋ)

を離れる前に,この式で弾性極限のｋ＝0 を除く光子のエネルギー

の区間ΔＥに対する断面積の値を評価します。

　まず,Feynmanによる非常に便利な技巧を使って光子の偏極

　(polarization;偏光)にわたる総和を取ることから始めます。

　正確な散乱行列要素を再記すると,

　Ｓ_fi＝{－Ｚｅ³/(ε₀Ｖ)^3/2}2πδ(Ｅ_f＋ｋ⁰－Ｅ_i)(2ｋ⁰)^-1/2

{ｍ²/(Ｅ_fＥ_i)}^1/2(1/|ｑ|²)

　ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[(－iε){i/(ｐ_f＋ｋ－ｍ)}(－iγ⁰)

　＋(－iγ⁰){i/(ｐ_i－ｋ－ｍ)}(－iε)]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)

　です。

　もしも,右辺の各項で因子ε＝γ_με^μにおける光子の偏極(偏光):

　ε^μを４元運動量:ｋ^μに置き換えると,右辺は消えることに着目

　します。

これは,軟光子近似の断面積:

ｄσ/ｄΩ_f ＝(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic{(2π)^-3ｅ²/(2ε₀)}

ｋｄｋｄΩ_k{(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²θ(Ｅ_i－ｍ＋ｋ)

においても正しい性質です。

　これらはカレントの保存:∂_μｊ^μ＝0 からの帰結です。

　すなわち,カレント保存の運動量空間での表現:ｋ_μｊ^μ(ｋ)＝0

　に起因しています。

　あるいは,電磁場のゲージ不変性(gauge-invariance)から要求される

ことであると言ってもいいです。

何故なら,ゲージ変換(gauge transformatin):Ａ^μ → Ａ^μ－∂^μΛ

の運動量空間での表現は,Ａ^μ(ｋ) → Ａ^μ(ｋ)＋ｋ^μ{－iΛ(ｋ)}

であり,場にｋ^μに比例する因子を付け加えても最終の物理的結果

には何の変化も起こさないからです。

　この結果を利用するために,

　ε_με_νＪ^μν＝{(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²

と書きます。

　{(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²

＝ε_μ{ｐ_f^μ/(ｋｐ_f)－ｐ_i^μ/(ｋｐ_i)}

　×ε_ν{ｐ_f^ν/(ｋｐ_f)－ｐ_i^ν/(ｋｐ_i)}

　ですから,

　Ｊ^μν＝{ｐ_f^μ/(ｋｐ_f)－ｐ_i^μ/(ｋｐ_i)}

　×{ｐ_f^ν/(ｋｐ_f)－ｐ_i^ν/(ｋｐ_i)}　です。

このＪ^μνは,確かにｋ_μＪ^μν＝ｋ_νＪ^μν＝0 を満たします。

そして,ε_με_νＪ^μν＝{(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²

はLorentzスカラーであって,ε_μはベクトルですから,Ｊ^μνは

２階のテンソルです。

そこで,これらの表現は任煮のLorent系で共変的に評価できます。

特に,座標系の向きをｋ^μ＝(ｋ⁰,ｋ¹,0,0);ｋ⁰＝ｋ¹＝ｋとなる

ように取ります。

そして∂_μＡ^μ＝0　or ε_μｋ^μ＝0 ですから,Ａ⁰(ｘ)＝0

となるようにして,横波:Ａ(ｘ) (∇Ａ＝0)の２つの独立な

偏光ベクトルが,ε₍₁₎^μ＝(0,ε₍₁₎)＝(0,0,1,0),および,

ε₍₂₎^μ＝(0,ε₍₂₎)＝(0,0,0.1)となるように座標系の空間軸を

選択します。

すると,Σ_polε_με_νＪ^μν＝Ｊ²²＋Ｊ³³＝Ｊ⁰⁰－Ｊ¹¹－Ｊ^μ_μ

と書けます。

(※何故なら,Ｊ^μ_μ＝η_μνＪ^μν＝Ｊ⁰⁰－Ｊ¹¹－Ｊ²²－Ｊ³³ です。)

ところが,ｋ_μＪ^μν＝ｋ_νＪ^μν＝0 であって,

ｋ^μ＝(ｋ,ｋ,0,0)より,ｋ_μ＝(ｋ,－ｋ,0,0)

ですから,Ｊ^0ν＝Ｊ^1ν,Ｊ^μ0＝Ｊ^μ1です。

よって,Ｊ⁰⁰＝Ｊ¹¹により,Σ_polε_με_νＪ^μν＝－Ｊ^μ_μです。

右辺－Ｊ^μ_μは,任意のLorentz系で一定のスカラーです。

こうして偏光の総和は明白に共変な表現に置換されました。

これは,単に,

ｋａ(ｋ)＝ｋ_μａ^μ(ｋ)＝0,ｋｂ(ｋ)＝ｋ_μｂ^μ(ｋ)＝0 を満たす

任意の保存カレントａ^μ(ｋ),ｂ^μ(ｋ)に対して,

Σ_pol{ε_μ(ｋ)ａ^μ(ｋ)}{ε_ν(ｋ)ａ^ν(ｋ)}＝－ａｂが成立する

という意味です。

そこで,Σ_pol{(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²

＝Σ_pol[ε_μ{ｐ_f^μ/(ｋｐ_f)－ｐ_i^μ/(ｋｐ_i)}]

×[ε_ν{ｐ_f^ν/(ｋｐ_f)－ｐ_i^ν/(ｋｐ_i)}]

＝－ｐ_f²/(ｋｐ_f)²＋2(ｐ_fｐ_i)/{(ｋｐ_f)(ｋｐ_f)}－ｐ_i²/(ｋｐ_i)²

＝2(ｐ_fｐ_i)/{(ｋｐ_f)(ｋｐ_f)}－ｍ²/(ｋｐ_f)²－ｍ²/(ｋｐ_i)²

が得られます。

したがって,観測される全偏光成分の軟光子の総和としての

制動輻射断面積は,

ｄσ/ｄΩ_f ＝(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic{α/(4π²)}ｋｄｋｄΩ_k

Σ_pol{(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²θ(Ｅ_i－ｍ＋ｋ)

＝(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic{α/(4π²)}ｋｄｋｄΩ_k

[2(ｐ_fｐ_i)/{(ｋｐ_f)(ｋｐ_f)}－ｍ²/(ｋｐ_f)²－ｍ²/(ｋｐ_i)²]

θ(Ｅ_i－ｍ＋ｋ)

となることがわかりました。

これを,全ての光子立体角Ω_k,および,区間:

0＜ｋ_min≦ｋ≦ｋ_max＜＜Ｅ_i にわたるｋで積分すると,

ｄσ/ｄΩ_f ＝(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic{α/(4π²)}

∫_kmin^kmaxｋｄｋ∫ｄΩ_k

[2(ｐ_fｐ_i)/{(ｋｐ_f)(ｋｐ_f)}－ｍ²/(ｋｐ_f)²－ｍ²/(ｋｐ_i)²]

＝(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic(ε₀α/π)ln(ｋ_max/ｋ_min)∫ｄΩ_k(4π)^-1

[2(1－β_fβ_i)/{(1－ｋ^β_f)(1－ｋ^β_i)}－ｍ²/{Ｅ_f²(1－ｋ^β_f)²}

－ｍ²/{Ｅ_i²(1－ｋ^β_i)²}]

を得ます。

ただし,β_i＝ｖ_i/ｃ,β_f＝ｖ_f/ｃで,これらは今の自然単位(ｃ＝1)

では,入射電子と散乱電子の速度です。

そして,軟光子の極限:ｋ＝0 ではβ_f＝β_iなので,これをβと書くと

β_fβ_i＝β²cosθ (θは電子の散乱角)です。

そして,∫ｄΩ_k(4π)^-1[ｍ²/{Ｅ²(1－ｋ^β)²}

＝(ｍ²/Ｅ²)(1/2)∫_-1¹ｄｚ(1－βｚ)^-2

＝ｍ²/{Ｅ²(1－β²)}＝1です。

何故なら,β²＝ｐ²/Ｅ²より,1－β²＝ｍ²/Ｅ²だからです。

一方,Feynmanによって導入され,開発されたもう１つのトリック

の助けで,∫ｄΩ_k(4π)^-1[2(1－β_fβ_i)/{(1－ｋ^β_f)(1－ｋ^β_i)}

も容易に評価できます。

すなわち,このトリックは,容易に確かめられるように,

∫₀¹ｄｘ{ａｘ＋ｂ(1－ｘ)}^-2＝1/(ａｂ) なる公式です。

そこで,

∫ｄΩ_k(4π)^-1[2(1－β_fβ_i)/{(1－ｋ^β_f)(1－ｋ^β_i)}

＝2(1－β²cosθ)∫₀¹ｄｘ∫ｄΩ_k(4π)^-1

[1－ｋ^{β_fｘ＋(1－ｘ)β_i}^-2

＝2(1－β²cosθ)∫₀¹ｄｘ[1－{β_fｘ＋(1－ｘ)β_i}²]^-1

＝2(1－β²cosθ)∫₀¹ｄｘ{1－β²＋4β²ｘ(1－ｘ)sin²(θ/2)}^-1

を得ます。

したがって,低エネルギー散乱β＜＜1なら,

∫ｄΩ_k(4π)^-1[2(1－β_fβ_i)/{(1－ｋ^β_f)(1－ｋ^β_i)}

＝2{1＋(4/3)β²sin²(θ/2)}＋Ｏ(β⁴)　です。

一方,高エネルギー散乱:－ｑ²＞＞ｍ²,つまりｍ²/|ｑ²|＜＜1の場合

なら,∫ｄΩ_k(4π)^-1[2(1－β_fβ_i)/{(1－ｋ^β_f)(1－ｋ^β_i)}

＝2ln(－ｑ²/ｍ²)＋Ｏ(ｍ²/|ｑ²|)　です。

※(注17-1):β＜＜ 1 なら,

　{1－β²＋4β²ｘ(1－ｘ)sin²(θ/2)}^-1

＝1＋β²－4β²ｘsin²(θ/2)＋4β²ｘ²sin²(θ/2)＋Ｏ(β⁴)

　です。

　故に,cosθ＝1－2sin²(θ/2)より,

　2(1－β²cosθ){1－β²＋4β²ｘ(1－ｘ)sin²(θ/2)}^-1

＝2{1＋(4/3)β²sin²(θ/2)}＋Ｏ(β⁴)　です。

一方,軟光子極限:Ｅ_f＝Ｅ_i＝Ｅでは,

ｑ²＝(ｐ_f－ｐ_i)²＝－(ｐ_f－ｐ_i)²＝－4Ｅ²β²sin²(θ/2)

です。

そこで,|ｐ|＝βＥより,－ｑ²＞＞ｍ²のように運動量遷移

(momentum transfer):ｑが非常に大きいというのは,

ｐ²＞＞ｍ²を意味しており,このとき,Ｅ＞＞ｍです。

そこで,|ｐ|＝(Ｅ²－ｍ²)^1/2 ～ Ｅなので,

β＝|ｐ|/Ｅ ～ 1です。

正確な積分から,

2(1－β²cosθ)∫₀¹ｄｘ{1－β²＋4β²ｘ(1－ｘ)sin²(θ/2)}^-1

＝4(1－β²cosθ)[4β²sin²(θ/2){4β²sin²(θ/2)＋4(1－β²)}]^1/2

×ln|(4β²sin²(θ/2)＋[4β²sin²(θ/2){4β²sin²(θ/2)

＋4(1－β²)}]^/2)/(4β²sin²(θ/2)－[4β²sin²(θ/2)

{4β²sin²(θ/2)＋4(1－β²)}]^1/2)|　です。(数学公式集による。)

すなわち,2(1－β²cosθ)∫₀¹ｄｘ

{1－β²＋4β²ｘ(1－ｘ)sin²(θ/2)}^-1

＝4(1－β²cosθ)[4β²sin²(θ/2){4β²sin²(θ/2)＋4(1－β²)}]^-1/2

ln|(1＋[1＋(1－β²)/{β²sin²(θ/2)}]^1/2)²β²sin²(θ/2)/(1－β²)|

となります。

ここで,δ²≡1－β²＜＜1とおきます。すると,β²＝1－δ²です。

故に,2(1－β²cosθ)∫₀¹ｄｘ{1－β²＋4β²ｘ(1－ｘ)sin²(θ/2)}^-1

＝4{2sin²(θ/2)＋δ²cosθ}[1/{4sin²(θ/2)

＋Ｏ(δ²)ln|{2＋Ｏ(δ²)}²β²sin²(θ/2)/δ²|

＝2ln|4β²sin²(θ/2)}/δ²|＋Ｏ(δ²)

を得ます。

また,δ²＝1－β²＝1－ｐ²/Ｅ²＝ｍ²/Ｅ²であり,

Ｏ(δ²)＝Ｏ(－ｍ²/ｑ²)ですから,

2(1－β²cosθ)∫₀¹ｄｘ{1－β²＋4β²ｘ(1－ｘ)sin²(θ/2)}^-1

＝2ln|4ｐ²sin²(θ/2)]/ｍ²|＋Ｏ(δ²)

＝2ln(ｑ²/ｍ²)＋Ｏ(－ｍ²/ｑ²)＝2ln(－ｑ²/ｍ²)＋Ｏ(ｍ²/|ｑ²|)

です。

(注17-1終わり)※

　こうして,軟光子放出の制動輻射の断面積は,

　非相対論的エネルギー(Ｎ.Ｒ)では,

　ｄσ/ｄΩ_f ＝(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic(2α/π)ln(ｋ_max/ｋ_min)

　{(4/3)β²sin²(θ/2)＋Ｏ(β⁴)}　となり,

　超相対論的エネルギー(Ｅ.Ｒ)では,

　ｄσ/ｄΩ_f ＝(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic(2α/π)ln(ｋ_max/ｋ_min)

　{ln(－ｑ²/ｍ²)－1＋Ｏ(ｍ²/|ｑ²|)}

　となることがわかります。

　ここではこれ以上論じないですが,

　ｋ_min→ 0 におけるln(ｋ_max/ｋ_min)因子の赤外発散を相殺して

　断面積の有限な値を得るために,因子(ｄσ/ｄΩ_f)_elasticが

　(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic→ (有限値)×{Ｏ(ln(ｋ_max/ｋ_min))}^-1となる

ような弾性散乱の仮想光子輻射補正が必要です。

今日はここまでにします。

参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics"(McGraw-Hill)

PS:昨日は珍しく週末なのに,前夜,酒を飲み歩くことをしなくて,

　今朝７時頃に目が覚めて,体が元気であると感じました。

　そこで,急に将棋チェスネットの２チームが参加している社団戦

　の応援にでも行こうと思い立ち,開始時間の朝10時を目指して会

　場の浜松町へと向かいました。

　10時20分過ぎにやっと目的地に着いて,知っているメンバーを見

　つけたので観戦していました。

　７人対戦して４人勝てばチームは勝ちなので４人いれば参加可能

　ではあるのですが,どうもＢチームは正式メンバーが５人しかいな

　いみたいなので急遽２局目から飛び入りしました。

　もう１人の飛び入りもあって,これは,将棋チェスネット１の方の

　メンバーのお子さんで小学２年生の男児です。

　実は,そんなこともあろうかと多少の色気もあって見に行ったの

　ですが,結局,久しぶりの緊張感にちょっとハマってしまいました。

　はじめの２番はすぐ負けましたが,最後の対戦だけは私の勝ちも

　あってチームが４対３勝ちしたので少し貢献できたようです。

　２次会は私はどうもおチャラケ気分の異端児なので,おジャマ虫

　だったかも知れませんが。。。

散乱の伝播関数の理論(16)(応用3-1)

　散乱の伝播関数の理論の続きです。

　このシリーズ記事は６/24以来で,丁度１ヶ月の間があきました。

§7.6 Bremsstrahlung(制動輻射,または制動放射)

※まず,前節の電子－陽子散乱の高次補正のFeynman-diagram

　である図7.6,および図7.7を下に再掲します。※　

　　　　

　図7.6,図7.7で交換されている２つの量子

　(仮想光子:virtual photons)の一方がEinsteinの条件:ｑ²＝0

　(実光子条件＝質量殻条件:real photon or on mass-shell)

　を満足することは大いに有り得ることです。

　この場合,この量子は電子と陽子との間の交換から脱出できて,

　自由輻射,または Bremsstrahlung(制動輻射)として出現します。

　散乱過程におけるこの輻射場との相互作用効果を調べるため,

　再びSchiffによって発見されたのと,よく似た発見的議論を進

　めます。

　これらは,Bjorken-Drellテキストのcompanion volume

　(場の理論:field theory)で論じる予定の,輻射の厳密に量子論

　的な扱いから得られる答と完全に一致し,実験結果と一致する

　有益な結果を,より小さい労力で与えます。

　さて,運動量ｋ^μと偏極(polarization)ε^μを持つ１つの

　"光子(photon)"に相当する４元ベクトルポテンシャルは

　平面波で表現することができて,

　Ａ^μ(ｘ;ｋ)＝(2|ｋ|ε₀Ｖ)^-1/2ε^μ{exp(－iｋｘ)＋exp(iｋｘ)}

　と書けます。

　ただし,ｋ²＝ｋ_μｋ^μ＝0 です。

　偏光ベクトル:ε^μは単位ベクトル(ε²＝ε_με^μ＝－1)であり,

　横波条件:εｋ＝ε_μｋ^μ＝0 を満たします。

※(注16-1):電磁ポテンシャルＡ^μの波動方程式が□Ａ^μ＝0

　(ｋ²＝ｋ_μｋ^μ＝0)となるためには,Lorenzゲージ(gauge):

　∂_μＡ^μ＝0 を取る必要があります。

　この条件はεｋ＝ε_μｋ^μ＝0 に相当します。

また,特別なローレンツ系ではε^μは純粋に空間的(space-like):

ε^μ＝(0,ε)であり,|ε|＝1ですから,

ε²＝ε_με^μ＝－ε²＝－1　です。

そして,ε²はLorentzスカラーですから,任意のローレンツ系で

ε²＝－1(一定:空間的)です。

偏極(偏光):ε^μが単位6クトルに規格化されているとはこういう

意味です。(注16-1終わり)※

Ａ^μ(ｘ;ｋ)＝(2|ｋ|ε₀Ｖ)^-1/2ε^μ{exp(－iｋｘ)＋exp(iｋｘ)}

における規格化定数:(2|ｋ|ε₀Ｖ)^-1/2は,Ａ^μ(ｘ;ｋ)なる平面波

のエネルギーが丁度:ω＝ｋ⁰＝|ｋ|になるよう選んだものです。

(ただし,ｃ＝1の自然単位です。)

これは,Ｕ＝(1/2)∫ｄ³ｘ(ε₀Ｅ²＋μ₀^-1Ｂ²)＝ε₀∫Ｂ²ｄ³ｘ

を計算すれば得られます。

(※何故なら,μ₀^-1＝ｃ²ε₀＝ε₀(自然単位))

すなわち,まず,

Ｂ＝∇×[(2|ｋ|ε₀Ｖ)^-1/2ε

{exp(－iｋｘ)＋exp(iｋｘ)}]

＝i{|ｋ|/(2ε₀Ｖ)}^1/2(ｋ^×ε){exp(－iｋｘ)－exp(iｋｘ)}

＝{2|ｋ|/(ε₀Ｖ)}^1/2(ｋ^×ε)sin(ｋｘ)　です。

ただし,ｋ^≡ｋ/|ｋ|　です。

そして,(ｋ^×ε)(ｋ^×ε)＝－ｋ^{(ｋ^×ε)×ε}

＝ｋ^{ε² ｋ^－ε(εｋ^)}

＝ε²－(εｋ^)²＝ε²－(ε⁰ｋ⁰/|ｋ|)²＝ε²－(ε⁰)²

＝－ε²＝1　です。

　故に,Ｂ²＝{2|ｋ|/(ε₀Ｖ)}sin²(ｋｘ－ωｔ)ですから,

　確かにＵ＝ε₀∫Ｂ²ｄ³ｘ＝|ｋ|＝ω　を得ます。

　以下,散乱の間にそうした１光子が輻射される現象を記述する

　散乱振幅(scattering amplitude)を考察します。

　ただし,簡単のために静電近似に戻って,電子－陽子散乱の自由陽子

　の源による電磁場を静電Coulomb場で置き換えて,ｅの最低次の寄与

　がゼロでない遷移要素(transition-matrix element):Ｓ_fiを計算

　します。

　こうした過程に対するFeynman-diagramを図7.8に示します。　　　　　

　図の１つの頂点(vertex)は,電子とCoulomb場との相互作用に対応し,

　他の頂点は制動輻射の放出につながる２次過程に対応します。

　外場がないところでの自由電子による１次のオーダーの光子の輻射

　放出は有り得ません。

　つまり,単に自由電子が光子を放出するだけという,

　１次のFeynman-diagramは存在しない,

　または書いても寄与がゼロです。

　これは運動学的に禁止されているからです。

　何故なら,１次のオーダーの光子放出を仮定すると,

　エネルギー・運動量の保存が不可能であるからです。

　つまり,ｋ²＝0≠(ｐ_f－ｐ_i)²となって,ｋ,ｐ_f,ｐ_i以外にまわりに

　何もない系なら質量がゼロ:ｋ²＝0 の実光子では保存則不成立

　です。

※(注16-2):－(ｐ_f－ｐ_i)²

＝(ｐ_f－ｐ_i)²－{(ｐ_f²＋ｍ²)^1/2－(ｐ_i²＋ｍ²)^1/2}²

＝2{(ｐ_f²＋ｍ²)^1/2(ｐ_i²＋ｍ²)^1/2－(ｐ_fｐ_i＋ｍ²)}

　です。

そして,{(ｐ_f²＋ｍ²)^1/2(ｐ_i²＋ｍ²)^1/2}²－(ｐ_fｐ_i＋ｍ²)²

＝ｐ_f²ｐ_i²－(ｐ_fｐ_i)²＋(ｐ_f－ｐ_i)²ｍ²≧0 です。

何故ならｐ_f²ｐ_i²－(ｐ_fｐ_i)²＝ｐ_f²ｐ_i²(1－cosθ)≧0

であるからです。

そして,ｋ^μ≠0 ですから,(ｐ_f－ｐ_i)^μ＝ｋ^μ≠0 より,cosθ＜1

です。

したがって,－(ｐ_f－ｐ_i)²＞0,つまり(ｐ_f－ｐ_i)²＜0 ですから,

ｋ²＝0≠(ｐ_f－ｐ_i)²を得ます。(注16-2終わり)※

　２次のＳ行列要素は,

　Ｓ_fi＝ｅ²∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙψ~_f(ｘ)[－iＡ(ｘ;ｋ)iＳ_F(ｘ－ｙ)

　(－iγ⁰)Ａ⁰_Coul(ｙ)＋(－iγ⁰)Ａ⁰_Coul(ｘ)iＳ_F(ｘ－ｙ)

　{－iＡ(ｙ;ｋ)}]ψ_i(ｙ)　です。

　ただし,Ａ⁰_Coul(ｘ)は中心電荷が－Ｚｅの静電Coulombポテンシャル

　でＡ⁰_Coul(ｘ)≡－Ｚｅ/(4πε₀|ｘ|)です。

　(ｅ＜ 0 は電子の電荷)

　そして,右辺の２つの項は図7.8に示されているような頂点の２つの

　順序に対応しています。

　これまでやってきたように,Ｓ_fiの右辺の座標表示の全ての因子

　をFourier展開して座標積分∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙを実行して運動量空間

　における表現に変換します。

　この型にはまった操作を実行した結果は,

　Ｓ_fi＝{－Ｚｅ³/(ε₀Ｖ)^3/2}2πδ(Ｅ_f＋ｋ⁰－Ｅ_i)(2ｋ⁰)^-1/2

{ｍ²/(Ｅ_fＥ_i)}^1/2(1/|ｑ|²)

　ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[(－iε){i/(ｐ_f＋ｋ－ｍ)}(－iγ⁰)

　＋(－iγ⁰){i/(ｐ_i－ｋ－ｍ)}(－iε)]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)

　です。

※(注16-3):何故なら,

　ψ~_f(ｘ)＝{ｍ/(Ｅ_fＶ)}^1/2ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)exp(iｐ_fｘ),

　ψ_i(ｙ)＝{ｍ/(Ｅ_iＶ)}^1/2ｕ(ｐ_i,ｓ_i)exp(－iｐ_iｙ)

　であり,

　また,Ａ^μ(ｘ;ｋ)＝(2ｋε₀Ｖ)^-1/2ε^μ{exp(－iｋｘ)＋exp(iｋｘ)},

　Ｓ_F(ｘ－ｙ)＝∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4{exp{－iｐ(ｘ－ｙ)/(ｐ－ｍ＋iε)},

　Ａ⁰_Coul(ｘ)＝－Ｚｅ/(4πε₀|ｘ|)　であるからです。

　さらに,∫ｄ³ｘ{exp(－iｑｘ)/|ｘ|}＝4π/|ｑ|²です。

　それ故,Ｓ_fi

＝(－Ｚｅ³/ε₀^3/2Ｖ^3/2)(2ｋ⁰)^-1/2{ｍ²/(Ｅ_fＥ_i)}^1/2

∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙｄ⁴ｐ(2π)^-4ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)((－iε){i/(ｐ－ｍ＋iε)}

　(－iγ⁰)[exp{i(ｐ_f－ｋ－ｐ)ｘ＋(ｐ－ｐ_i)ｙ}

　＋exp{i(ｐ_f＋ｋ－ｐ)ｘ＋(ｐ－ｐ_i)ｙ}]/(4πε₀|ｙ|)

　＋(－iγ⁰){i/(ｐ－ｍ＋iε)}(－iε)

　[exp{i(ｐ_f－ｐ)ｘ＋(ｐ－ｋ－ｐ_i)ｙ}

　＋exp{i(ｐ_f－ｐ)ｘ＋(ｐ＋ｋ－ｐ_i)ｙ}]/(4πε₀|ｘ|))

　ｕ(ｐ_i,ｓ_i)　となります。

これの座標積分,およびｄ⁴ｐ積分を実行すると,確かにＳ_fiに対する

上記の運動量表示表現を得ます。(注16-3終わり)※

　さて,Ｓ_fi＝{－Ｚｅ³/(ε₀Ｖ)^3/2}2πδ(Ｅ_f＋ｋ⁰－Ｅ_i)(2ｋ⁰)^-1/2

{ｍ²/(Ｅ_fＥ_i)}^1/2(1/|ｑ|²)

　ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[(－iε){i/(ｐ_f＋ｋ－ｍ)}(－iγ⁰)

　＋(－iγ⁰){i/(ｐ_i－ｋ－ｍ)}(－iε)]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)

　から,散乱断面積(cross section)を求めます。

そのためには,|Ｓ_fi|²を流束密度:|ｖ_i|/Ｖで割り,さらに単位時間

当たりにするため,2πδ(0)で割って,観測される光子と終状態電子

の位相空間での区間体積Ｖ²ｄ³ｋｄ³ｐ_f/(2π)⁶にわたる総和を取り

ます。

　{2πδ(Ｅ_f＋ｋ⁰－Ｅ_i)}²＝2πδ(0)2πδ(Ｅ_f＋ｋ⁰－Ｅ_i)

　に注意すると,

　ｄσ＝{Ｚ²ｅ⁶ｍ²/(2ε₀³ｋ⁰Ｅ_fＥ_i|ｖ_i|)}∫ｄ³ｋｄ³ｐ_f(2π)^-6

[(2π)δ(Ｅ_f＋ｋ⁰－Ｅ_i){(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²|

　ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²/|ｑ|⁴]

　を得ます。

　そして,ｄ³ｐ_f＝ｐ_f²ｄｐ_fｄΩ_f (ｐ_f≡|ｐ_f|)であり,

　ｐ_fｄｐ_f＝Ｅ_fｄＥ_fですが,

　軟光子(soft-photon)放出:ｋ～0 の近似を取ると,

　ｐ_f＝|ｐ_f|＝|ｐ_i―ｋ|～|ｐ_i|＝Ｅ_i|ｖ_i|なので,

　ｄ³ｐ_f＝ｐ_fＥ_fｄＥ_f～|ｖ_i|Ｅ_iＥ_fｄＥ_fです。

　また,ｄ³ｋ＝ｋ²ｄｋｄΩ_k (ｋ≡|ｋ|),そして,

　∫_ｍ^∞δ(Ｅ_f＋ｋ⁰－Ｅ_i)ｄＥ_f＝θ(∞)－θ(ｍ＋ｋ－Ｅ_i)

　＝1－θ(ｍ＋ｋ－Ｅ_i)＝θ(Ｅ_i－ｍ＋ｋ)　です。

　そして,ｄΩ_fを残したｄ³ｐ_f積分,つまりｄＥ_f積分を実行します。

すると,ｄσ/ｄΩ_f ～{Ｚ²ｅ⁶ｍ²/(2ε₀³ｋ)}

{(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²

|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²/|ｑ|⁴]

ｋ²ｄｋｄΩ_k(2π)^-5θ(Ｅ_i－ｍ＋ｋ)

を得ます。

これを,先の「散乱の伝播関数の理論(11)(応用1-1)」で得た

弾性散乱(elastic scattering)の最低次の微分断面積:

　(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic＝(4Ｚ²α²ｍ²/|ｑ|⁴)

　|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²|ｑ|⁴

と比較します。

すると,4πα＝ｅ²/ε₀なので,

ｄσ/ｄΩ_f ～ (ｄσ/ｄΩ_f)_elastic[ｅ²/{2(2π)³ε₀}]

ｋｄｋｄΩ_k{(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²θ(Ｅ_i－ｍ＋ｋ)

です。

　これは,立体角ｄΩ_fの中に電子が観測され,運動量ｋを持つ偏極ε

　の光子がｄｋｄΩ_kの中に出現する断面積を表わしています。

　故に,軟光子の極限では,非弾性散乱の断面積は同一のエネルギー

　と同一の散乱角における弾性散乱の断面積の倍数として表現され

　ます。

　ｄσ/ｄΩ_fの因子:ｋｄｋ{(εｐ_f)/(ｋｐ_f)－(εｐ_i)/(ｋｐ_i)}²に

　よると,ｋ～ 0 で軟光子のスペクトルはｄｋ/ｋのように挙動する

　ため,ｋ＝0 のゼロエネルギー光子を放出する確率は無限大になり

　ます。

　これは,赤外発散(infrared divergence)

　or赤外破局(infrared dcatasyrophe)と呼ばれている現象です。

　こうした無限大の困難から救済されるためには,制動輻射を観測する

　現実の実験条件の注意深い解析が必要です。

　決定的な点は,如何なる検知装置も有限エネルギーの分析しかでき

　ないということです。

　もしも検知装置がｋ＝0 を含む有限なエネルギー区間に非弾性的に

　散乱された電子を受けるなら,それは正に弾性的に散乱された電子を

　受け取ることを意味します。

　そこで,実験と矛盾しない比較をするためには,散乱の断面積

　としてｅ²の同じオーダーまで計算した弾性散乱と非弾性散乱

　の両方の断面積を含む必要があります。

　すなわち,制動輻射の寄与は弾性散乱に対してｅ²培のオーダー

　ですから,(ｄσ/ｄΩ_f)_elasticにも同じｅ²のオーダーまでの輻射

　補正を含める必要があります。

　今日はここまでにします。 

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics"(McGraw-Hill)

共形場理論(4)

　共形場理論の続きです。

　今日は量子論ではスピンが半奇数のFermi粒子に対応するグラスマン(Grassmann)代数の話です。

以下には,古典的反可換量という記述がありますが量子論の反可換量(Grassmann数)に対応する古典量は存在しないはずです。

ベクトル積(外積):ａ×ｂや面積要素:ｄＳ_z＝ｄｘ∧ｄｙのような微分形式を想像すれば古典的対応物が無いとは言い切れませんが。。

1.5 反交換子

　量子論では[Ａ,Ｂ]＝ＡＢ－ＢＡは古典的には可換な量Ａ,Ｂの量子論的非可換性の度合いを表わしていました。このように,古典的には可換な量はbosonといわれます。

　これに対してfermionといわれる古典的には反可換な量も重要です。ただしＡ,Ｂが反可換であるとはＢＡ＝－ＡＢなることをいいます。

　量子化されたfermionの非反可換性を表わすものとして,ある代数Ａに属する任意のＡ,Ｂの反交換子(anti-commutator):[Ａ,Ｂ]_＋を,[Ａ,Ｂ]_＋≡ＡＢ＋ＢＡで定義します。

　反交換子も交換子と似た次の基本性質を持ちます。

◎(反交換子の性質):Ａ,Ｂ,Ｃ∈Ａ,およびａ,ｂ,ｃ∈Ｃに対して次式が成立する。

(ⅰ)双線形性:[ａＡ＋ｂＢ,Ｃ]_＋＝ａ[Ａ,Ｃ]_＋＋ｂ[Ｂ,Ｃ]_＋,[Ａ,ｂＢ＋ｃＣ]_＋＝ｂ[Ａ,Ｂ]_＋＋ｃ[Ａ,Ｃ]_＋,

(ⅱ)対称性:[Ａ,Ｂ]_＋＝[Ｂ,Ａ]_＋,

(ⅲ)Jacobiの恒等式:

　[Ａ,[Ｂ,Ｃ]_＋]＋[Ｂ,[Ｃ,Ａ]_＋]＋[Ｃ,[Ａ,Ｂ]_＋]＝0,　　　

(ⅳ)Leibniz則:[Ａ,ＢＣ]＝[Ａ,Ｂ]_＋Ｃ－Ｂ[Ａ,Ｃ]_＋

　交換子の場合同様,成立は自明なのでこれらの証明はしません。

Ａ,Ｂ,Ｃが全て互いに反可換な量なら,ＡＢＣ＝－ＡＣＢ＝ＣＡＢなのでＡＢとＣは可換になります。

そこで,偶数個のfermionの積はbosonと考えるのが自然です。

　次に,写像δ:Ａ→Ａが線形でδ(ＡＢ)＝δ(Ａ)Ｂ＋(－1)^|A|Ａδ(Ｂ)を満たすとき,δを代数Ａの反微分(anti-derivative)といいます。

　ただし,Leibnitz則に対応する式での記号|Ａ|はＡの偶奇性(パリティ)を示すものです。この数|Ａ|はＡのパリティが±＝(－1)^|A|となるように定義されます。

つまり,Ａがboson的なら|Ａ|＝0,fermion的なら|Ａ|＝1です。

　bosonにおける微分で述べた演算:adＡ:Ｂ→[Ａ,Ｂ]をfermionを含む場合に拡張して,adＡ:Ｂ→ＡＢ－(－1)^|B|ＢＡ と書けば,この演算は１つの微分,または反微分と見なせます。

そして,一般公式:δ(Ｂ₁Ｂ₂..Ｂ_n)＝Σ_i=1ⁿ{(－1)^|B1..Bi-1|Ｂ₁..Ｂ_i-1δ(Ｂ_i)Ｂ_i+1..Ｂ_n}も得られます。

　bosonやfermionを同時に含む系をまとめて扱うために,想定している代数Ａをboson(偶)とfermion(奇)の２つの階級に分けます。

すなわち,Ａ≡Ａ₀＋Ａ₁と直和分割します。ただし,Ａ₀,およびＡ₁は,それぞれ,fermion生成元を偶数個,および奇数個含む項のみの和からなる代数です。

こうすれば,Ａ∈Ａ_i (ｉ＝0,1)に対して|Ａ|＝ｉとなります。

この一般的設定の下で,再度Wickの定理を述べておきます。

Ａの生成元:ａ_i^ (ｉ∈Ｊ)には,それぞれ偶奇性:|ａ_i^|∈{0,1}が定まっているとし,それらは交換関係,または反交換関係:[ａ_i^,ａ_j^]_±＝ｈ_ijに従うとします。

ただし,[Ａ,Ｂ]_±≡ＡＢ－(－1)^|B|ＢＡであり,ｈ_ij∈Ｃは|ａ_i^||ａ_j^|の偶奇に応じ,添字について反対称,または対称です。 

すなわち,ｈ_ijはｈ_ji＝(－1)^{|ai^||aj^|}ｈ_ijなる対称性を持ちます。

Ａの生成元:ａ_i^ (ｉ∈Ｊ)の線形結合全体をＷとし,Ｗ_＋の元同士は反可換,Ｗ_－の元同士は可換であるようなＷの直和分解:Ｗ＝Ｗ_＋＋Ｗ_－があるとします。

全てのｈ_ijをゼロとおいてＡを反可換化,かつ可換化した代数をＡ_cとします。(※Ａ_cはＡの元に対応する古典的量から成る代数です。※)

そして,Ａ_cからＡへの線形な写像: :をＰ∈Ａ_c,ａ^_±∈Ｗ_±に対して:ａ_－^Ｐ:＝ａ_－^:Ｐ:,:Ｐａ_＋^:＝:Ｐ:ａ_＋^, :1:＝1 なる性質によって定義します。

この写像: :を改めて正規積(normal-ordering)と呼びます。

さらに,∀ａ^∈ＷのＷ_±への分割をａ^＝ａ_＋^＋ａ_－^ (ａ_±^∈Ｗ_±)と表わして,縮約ｃ(ａ^,ｂ^)をｃ(ａ^,ｂ^)≡[ａ_＋^,ｂ_－^]_±と定義します。

これらを用いると,一般的なWickの定理を述べることができます。

※共形場理論(2)で述べたWickの定理は次のようなものでした。

[Wickの定理]:Ｐ_i,Ｑ_iの任意の線形結合Ａ,Ｂに対して:exp(Ａ)::exp(Ｂ):＝exp{ｃ(Ａ,Ｂ)}:exp(Ａ＋Ｂ):が成立する。

そして,これのより便利な形式は次の系です。

(系):Ａ_r(ｒ＝1,2,..)をＰ_i,Ｑ_i(ｉ∈Ｉ)の線形結合とする。ｘ_r,ｙ_r∈ＣをパラメータとしてＡ≡Σ_rｘ_rＡ_r,Ｂ≡Σ_rｙ_rＡ_rと置くと,:exp(Ａ)::exp(Ｂ):＝:exp(Σ_rｘ_rＡ_r)::exp(Σ_sｙ_sＡ_s):＝exp{Σ_r,sｘ_rｙ_sｃ(Ａ_r,Ａ_s)}:exp{Σ_r(ｘ_r＋ｙ_r)Ａ_r}:である。※

　さて,互いに反可換,可換なパラメータｘ_r,ｙ_s (ｒ,ｓ∈Ｊ)を用意します。ｒ∈Ｊに対してｘ_r,ｙ_rはａ_r^と同じ偶奇性を持ち,かつ[ｘ_r,ａ_s^]＝[ｙ_r,ａ_s^]＝0とします。

　このとき,ｘ_r,ｙ_s (ｒ,ｓ∈Ｊ)はboson的作用素と考えることができて,:exp(Σ_rｘ_rａ_r^)::exp(Σ_sｙ_sａ_s^):＝exp{Σ_r,sｘ_rｙ_sｃ(ａ_r^,ａ_－s^)}:exp{Σ_r(ｘ_r＋ｙ_r)ａ_r^}:が成り立ちます。

これは上記のWickの定理の系と全く同じものです。

　前と同様,:exp(Σ_rｘ_rａ_r^)::exp(Σ_sｙ_sａ_s^):＝exp{Σ_r,sｘ_rｙ_sｃ(ａ_r^,ａ_s^)}exp{Σ_r(ｘ_r＋ｙ_r)ａ_r^}の両辺をｘ_r,ｙ_s etc.で何回か微分してｘ＝ｙ＝0と置けば,

:ａ_r^::ａ_s^ａ_t^:＝ｃ(ａ_r^,ａ_s^):ａ_t^:±ｃ(ａ_r^,ａ_t^):ａ_s^:±:ａ_r^ａ_s^ａ_t^:,そして,:ａ_r^ａ_s^::ａ_t^ａ_u^:＝±ｃ(ａ_r^,ａ_s^)ｃ(ａ_t^,ａ_u^)±ｃ(ａ_r^,ａ_u^)ｃ(ａ_s^,ａ_t^)±ｃ(ａ_r^,ａ_t^):ａ_s^ａ_u^:±ｃ(ａ_r^,ａ_u^):ａ_s^ａ_t^:±ｃ(ａ_s^,ａ_t^):ａ_r^ａ_u^:±ｃ(ａ_s^,ａ_u^):ａ_r^ａ_t^:±:ａ_r^ａ_s^ａ_t^ａ_u^:などを得ます。

ここで,±はａ_r^ etc.の順序の違いによって生ずる符号です。　 

例えば,±ｃ(ａ_r^,ａ_t^)ｃ(ａ_s^,ａ_u^)では左辺の:ａ_r^ａ_s^::ａ_t^ａ_u^:と比べａ_s^,ａ_t^の順序が変わっているので,対応する符号±は(－1)^{|as^||at^|}で与えられます。 

このように,fermionを含む場合でもWickの定理はbosonの場合とほぼ同じであり,違いはfermion(Grassmann数)の順序の違いによる符号のみに現われます。

今日はここまでです。 

参考文献:山田泰彦 著「共形場理論入門」(培風館)

PS:今日も暑かったです。帰宅途中の小石川植物園の世界最大の花は今日も咲かなかったとの掲示がありました。(※その後,夕方から23日朝にかけて開花したらしいですね。)

　昨日が仕事に通い始めてから１ヶ月でした。今のところ皆勤です。

　そして,なんと高校野球岡山県予選準々決勝で私の母校金光学園も父の母校岡山東商も共に１点差で惜敗しました。

脱水症状？肺水腫？

　はじめて心臓病の初期症状が出たのは2006年12月末に北区のエレベーターの無い３階の部屋に引っ越す予定のときでした。

(2006年12/22の記事「肺気腫にかかってしまいました。」,2006年12/25の記事「引越し{巣鴨から滝野川へ)」参照)

　そして,結局は2007年１月に心不全が原因の肺水腫であることが判明して急いで引っ越した後,水を抜くために帝京大病院に一週間入院ました。

(普段,あまりトイレに行かない私から,オシッコで水を抜くだけなので,点滴や飲み薬の利尿剤で無理やりオシッコ出させて,尿が６リットル出たところで退院しました。なぜか体重は７キロくらい減りました。)

(2007年１/10「肺気腫ではなくて心不全でした。」,2007年1/12「入院のため一週間お休みします。」)

　その後,２月には仕事に復帰しましたが,３月末には悪化して再入院した末,順天大病院に移って,４月10日に心臓手術を受け,４月22日には退院して,同時に失業しました。

　生まれ変わったような気持ちになって,再び巣鴨に戻ってきたのは2008年３月のことでした。

(2007年3/23の「タミフルと異常行動の因果性」の最後の部分,2007年３/24の「辞世」,2007年,４/22の「無事生還しました。」,2008年３/14の「引越し,孟母三遷,神の意思」参照)

(,どんな心境の変化なのか？人間,特に子供を前より"いとおしい"と感じるようになりました。)

　奇しくも,今回も７月29日にエレベーター無しの２階の部屋へと引越し予定ですが,先週の土曜日からずっと下血ならぬ下水？で何か脱水症状のような状態になりました。

　その上,完全に寝転ぶと咳が止まらず座った状態でしか眠れないというかつて経験した,肺に水が貯まった肺水腫に似た症状でなかなか寝られません。

　しかし,少しでも睡眠を取って目覚めると,意外とさわやかで,下痢気味である以外には元気な感覚なので将棋旅行や軽い仕事,手話教室に行こうという気になって実行しています。

　３階くらいはどうってことない体のときに,引越しを決めたとたんに坂を上れないのが主症状の病気になり,退院後も約１年間辛い思いをしました。

　しかし,まあ偶然であって,病気は引越しとは関係ないでしょうね。

　でも,私にとっては２階と３階は大きな違いで,２階までは結構楽なのに最後の１階が辛いのです。今回は２階の部屋ですからリハビリ程度でしょう。

　今朝は整腸剤を飲んだせいか,下痢はおさまり月耀の夜に近くのスナックの親切な元中国人のママに頂いたスイカを切って食べました。オイシイね。。

ＰＳ：クソ暑くて会社から帰宅途中に地下鉄巣鴨駅ホームのベンチでダウン,売店に熱中対策水というのがあったのでガブ飲みすると小康状態ですが力が出ない。。レモン味だけどよく見るとカロリーゼロ。。

　クソー,食欲なくて昼飯半分残したから低血糖かもしれないのに,今ドキの飲料はコレだから注意して買わないと意味がない。。。

　ともあれ,今日は寄り道をする体力もないので帰宅して冷房効いた部屋でゴロ寝しています。

　まだ少しお腹がユルイけど今のところ寝転んでも咳は出ません。

　(↓ところで,帰宅途中に小石川植物園の前を通ると,昨日同様,世界最大の花であるらしい「ショクダイオオコンニャク(燭台大蒟蒻)はまだ咲いていません。」との張り紙がありました。)

　　

　高校野球の岡山県予選で私の母校の金光学園がベスト８に進出したらしいですが,次は強豪倉敷商が相手ですから勝つのは大変でしょうね。。

(確か春の大会の西地区予選リーグでは,金光が倉商に勝ったのに県大会のベスト16以上の決勝トーナメントに行けなかったのでした。)

　もしも勝てば,亡父の母校の岡山東商と当たるでしょう。

　春の選抜で平松投手を擁して岡山東商が初優勝した日が父の命日です。

　金光学園は,過去,春選抜のための秋の県大会と夏の県予選はベスト４が最高です。

　夜になると,酒でも唄でもなくて,ひとのぬくもりが恋しくなる。。。

　誰でーも弱ーいウソーつき,責めることなどありゃーせん。。(山崎ハコより)

共形場理論(3)

　共形場理論の続きです。 

1.4 頂点作用素

　無限個の変数ｔ＝(ｔ₀,ｔ₁,ｔ₂,..),複素パラメータｋ,およびｚを用意します。

　そして,ｔの関数に作用する頂点作用素(vertex operator):Ｖ_k(ｚ)を次式で定義します。

　すなわち,Ｖ_k(ｚ)≡Ｖ_k^－(ｚ)Ｖ_k^＋(ｚ);Ｖ_k^－(ｚ)≡exp(ｋΣ_n=0^∞ｚⁿｔ_n),Ｖ_k^＋(ｚ)≡exp{ｋΣ_n=0^∞ｕ_n(ｚ)∂/∂ｔ_n}です。ただし,ｕ₀(ｚ)≡logｚ,ｕ_n(ｚ)≡ｚ^-n/ｎ(ｎ＞0)です。

ｕ_n(ｚ)はｚの対数:log(ｚ－ｗ)のｗによるベキ級数展開をlog(ｚ－ｗ)＝Σ_n=0^∞ｕ_n(ｚ)ｗⁿと表現したときの展開係数です。

Ｖ_k(ｚ)は掛け算作用素部分Ｖ_k^－(ｚ)が左側に,微分作用素部分Ｖ_k^＋(ｚ)が右側にくる正規積(normal-ordering)の形です。

しかし,２つの頂点作用素の積:Ｖ_l(ｗ)Ｖ_k(ｚ)＝Ｖ_l^－(ｗ)Ｖ_l^＋(ｗ)Ｖ_k^－(ｚ)Ｖ_k^＋(ｚ)を考えると,中央のＶ_l^＋(ｗ)Ｖ_k^－(ｚ)が正規積の順序になっていません。

そして,Ｖ_l^＋(ｗ)Ｖ_k^－(ｚ)＝exp{ｌΣ_m=0^∞ｕ_m(ｗ)∂/∂ｔ_m}exp(ｋΣ_n=0^∞ｚⁿｔ_n)＝exp{ｋｌΣ_m=0^∞ｕ_m(ｗ)ｚ^m}[exp(ｋΣ_n=0^∞ｚⁿｔ_n)exp{ｌΣ_m=0^∞ｕ_m(ｗ)∂/∂ｔ_m}]です。

右辺,最初の因子はexp{ｋｌΣ_m=0^∞ｕ_m(ｗ)ｚ^m}＝exp{(ｋｌ)log(ｗ－ｚ)}＝(ｗ－ｚ)^klですから,Ｖ_l^＋(ｗ)Ｖ_k^－(ｚ)＝(ｗ－ｚ)^klＶ_k^－(ｚ)Ｖ_l^＋(ｗ)と書けます。

したがって,Ｖ_l(ｗ)Ｖ_k(ｚ)＝(ｗ－ｚ)^kl:Ｖ_l(ｗ)Ｖ_k(ｚ):です。

この証明をよりスマートに書くと次のようになります。 

(証明):Ｖ_l^＋(ｗ)＝exp(Ａ),Ｖ_k^－(ｚ)＝exp(Ｂ),Ａ≡ｌΣ_m=0^∞ｕ_m(ｗ)∂/∂ｔ_m},Ｂ≡ｋΣ_n=0^∞ｚⁿｔ_nと置くとき[Ａ,Ｂ]＝ｋｌΣ_m=0^∞ｕ_m(ｗ)ｚ^m＝(ｋｌ)log(ｗ－ｚ)です。

　それ故,exp(Ａ)exp(Ｂ)＝exp([Ａ,Ｂ])exp(Ｂ)exp(Ａ)＝(ｗ－ｚ)^klexp(Ｂ)exp(Ａ)が得られます。(証明終わり)

同様な計算の連続により,一般的公式:Ｖ_k1(ｚ₁)..Ｖ_kN(ｚ_N)＝Π_{1≦i＜j≦N} (ｚ_i－ｚ_j)^kikj:Ｖ_k1(ｚ₁)..Ｖ_kN(ｚ_N):が得られます。

私自身が忙しいということもあり,このシリーズは少しずつゆっくり進むことにします。

参考文献:山田泰彦 著「共形場理論入門」(培風館)

PS:７/29に南大塚一丁目に引越し予定です。昨日まで脱水症状でしたが２軒ハシゴで治りました。

将棋オフに行ってきました。

　前記事最後のPSで報告の通り,17日の朝東京駅を８：20溌のJR高速バスに乗って,毎年恒例の将棋チェスネットの夏合宿(お泊りオフ)に出かけて無事昨日かえってきました。

　今年は,隔年の湯河原以外でのオフで場所は静岡市清水区の三保松原付近の「三保園ホテル」です。このオフも毎年１回ですがニフティの将棋フォーラム時代を含めて15年は越えてるでしょうか。。

　今のスタイルも楽しいですが,初期の頃はプロも呼ばかったし,囲碁フォーラム,麻雀フォーラム合同ではるかに多人数でワイワイやっていましたね。

　　　(↓ホテルの窓から海岸方向の松林を見る)

　　　　　　

　今回はアマ14名,プロ３名の総勢17名参加でした。

　JR静岡駅に11:27分着予定でしたが,３連休の渋滞のためか２時間以上も遅れて13時50分前後に着きました。そこで東海道線で３つ東の清水駅に行き,さらにバスで三保本町バス停で降りてホテルに電話し送迎車に来てもらって着いたのは16時前でした。

　外は暑いし慣れない場所では必要以上に時間かかりましたね。

　着くと,既に,２対局が終わっていました。北島忠雄６段は既にお越しでしたが,女流の２人坂東香菜子２級と伊藤明日香初段は浜崎先生(私の主治医？)の車で来る予定で,まだ到着してませんでした。

　私は着いてほっとしてから２局平手先手で指して連敗でした。

　あとの３人を待っていても仕方ないので,みんなで露天風呂付きの温泉でゆっくりした後,19時過ぎからまずビールで乾杯した後に海の幸中心の夕食を取りました。

　私は,最近小食で食べるという行為にも汗をかくという有様でもあり,すぐに満腹になって食べきれないほどでした。

　結局,浜崎組は夕食を取っている最中の20時過ぎに到着でした。

　夕食後には,連将棋２局後,お風呂が24時までということでフリ-タイムとなり,次の日にまた対局しようということになりました。私はバス疲れか無性に眠くなったので23時半ころ引き上げて先に寝ました。

　翌日は指導対局中心でお昼には引き上げました。私は１勝３敗で勝率計算でブービーでした。まだ,疲れてるので写真だけアップします。優勝北島６段勝率８割1分,準優勝伊東女流初段３勝１敗です。

　バンカナさん,今回は何故か不調でしたね。

　　　(↓多面指しですがプロも同列のハンデイ戦本戦 兼 指導対局風景)

　　　　　

　　　

　(↓全体写真です。私ともう１名は写真を撮ってるので写ってません。実は何も告げない不意打ち写真なので誰もつくり笑顔もピースサインも無し)

　　　

　　　(↓三保海岸から遠く富士山をのぞむ。。。)

　　　　

　実は静岡は５年間住んでいた私のゆかりの地です。ここは,楽しい思い出ばかりではなく,最後には鬱病になって逃げるように去った地でもありますが,いわば現在の私のルーツです。

　その後は関西に移って,東京に就職した後に,１度だけ30歳くらいのときに,東京で急死した友人を悼んで,共通の旧友数人だけと故人を偲ぶため集まって以来30年ぶりの訪問でした。三保周辺もよく行った場所でなつかしかったです。

　まあ,将棋オフについては毎年書いてるのでこれくらいにします。私は２日目の朝酸欠になりましたが異常に暑くて水分不足,脱水症状であり心臓病のせいではないらしいです。

共形場理論(2)

　共形場理論の続きです。

1.3 Wickの定理

ＡをＰ＝∂/∂ｘ,Ｑ＝ｘの生成する非可換代数とします。他方,ｐ,ｑを可換な変数としてＦ(ｐ,ｑ)をｐ,ｑの任意の多項式とします。

Ｆ(ｐ,ｑ)においてｐ→Ｐ＝∂/∂ｘ,ｑ→Ｑ＝ｘに置き換えてＦをＡの元として読み直すことがSchrödingerに始まる伝統的な量子化の方法です。

ただし,この量子化は一意的ではなく例えばＦ＝ｐｑならＦをｐｑと見るか,またはｑｐと見るかによってｐｑ→ＰＱ＝ＱＰ＋1,またはｑｐ→ＱＰという違いが生じます。

こうした不定性を固定する１つの処方箋として記号: :で表わされる正規積(normal-ordering)があります。

正規積とは,可換量Ｆ(ｐ,ｑ)に対して非可換量:Ｆ(ｐ,ｑ):∈Ａを定義して対応させるものです。この対応Ｆ→:Ｆ:はＰ,Ｑそれぞれに対する線形性,および次の関係式によって定義されます。

すなわち,:ｑＦ(ｐ,ｑ):＝Ｑ:Ｆ(ｐ,ｑ):, :Ｆ(ｐ,ｑ)ｐ:＝:Ｆ(ｐ,ｑ):Ｐ,:1:＝1 なる関係式です。

上記においては,説明の都合上,可換量ｐ,ｑと非可換量Ｐ,Ｑの記号を小文字と大文字で区別しました。

しかし,今のｐ,ｑとＰ,Ｑのみの作用素代数Ａの場合,正規積を取るとはｐ,ｑをそれぞれＰ,Ｑに置き換えながらＱを左にＰを右にという順序にする操作を行なうことなので,混乱のおそれがないなら両者に同じ記号を用いて差し支えないです。

以下では,全ての変数をＰ,Ｑのみで表わします。

例えば,:(Ｐ＋Ｑ)²:＝:Ｐ²＋2ＰＱ＋Ｑ²:＝Ｐ²＋2ＱＰ＋Ｑ²といった具合いです。

以上の話は,変数が{Ｑ_i,Ｐ_i}(ｉ∈Ｉ)から成るときのように,変数Ｐ,Ｑの組が複数ある場合も同様です。

そして,Ａ≡Σ_i∈I(ｕ_iＰ_i＋ｖ_iＱ_i) (ｕ_i,ｖ_i∈Ｃ)について,これをＡ＝Ａ_＋＋Ａ_－,Ａ_＋≡Σ_i∈Iｕ_iＰ_i,Ａ_－≡Σ_i∈Iｖ_iＱ_iと分解します。

この記号を,Ｐ_i,Ｑ_jの任意の線形結合Ａ,Ｂに適用したとき,ｃ(Ａ,Ｂ)≡[Ａ_＋,Ｂ_－]と定義して,これをＡ,Ｂの縮約(contraction)といいます。

ここで,正規積と縮約に関する重要な"Wickの定理"を与えます。

[Wickの定理]:Ｐ_i,Ｑ_iの任意の線形結合Ａ,Ｂに対して:exp(Ａ)::exp(Ｂ):＝exp{ｃ(Ａ,Ｂ)}:exp(Ａ＋Ｂ):が成立する。

(証明):正規積の定義から:exp(Ａ):＝:exp(Ａ_＋＋Ａ_－):＝exp(Ａ_－)exp(Ａ_＋)です。

同様に:exp(Ｂ):＝exp(Ｂ_－)exp(Ｂ_＋)です。

それ故,:exp(Ａ)::exp(Ｂ):＝exp(Ａ_－)exp(Ａ_＋)exp(Ｂ_－)exp(Ｂ_＋)が成立します。

　そして,Ｐ_i,Ｑ_iの線形結合Ａ,Ｂについては[Ａ_＋,Ｂ_－]がＡ_＋,Ｂ_－の両方と可換なので,既に求めた公式によりexp(Ａ_＋)exp(Ｂ_－)＝exp[Ａ_＋,Ｂ_－]exp(Ｂ_－)exp(Ａ_＋)＝{ｃ(Ａ,Ｂ)}exp(Ｂ_－)exp(Ａ_＋)です。

　また,Ａ_－とＢ_－,およびＡ_＋とＢ_＋は明らかに可換なので:exp(Ａ＋Ｂ):＝exp(Ａ_－＋Ｂ_－)exp(Ａ_＋＋Ｂ_＋)＝exp(Ａ_－)exp(Ｂ_－)exp(Ａ_＋)exp(Ｂ_＋)です。

　よって,定理の結論である:exp(Ａ)::exp(Ｂ):＝exp{ｃ(Ａ,Ｂ)}:exp(Ａ＋Ｂ):が得られました。(証明終わり)

(系):Ａ_r(ｒ＝1,2,..)をＰ_i,Ｑ_i(ｉ∈Ｉ)の線形結合とする。

　ｘ_r,ｙ_r∈ＣをパラメータとしてＡ≡Σ_rｘ_rＡ_r,Ｂ≡Σ_rｙ_rＡ_rと置くと,:exp(Ａ)::exp(Ｂ):＝:exp(Σ_rｘ_rＡ_r)::exp(Σ_sｙ_sＡ_s):＝exp{Σ_r,sｘ_rｙ_sｃ(Ａ_r,Ａ_s)}:exp{Σ_r(ｘ_r＋ｙ_r)Ａ_r}:である。

　この命題は自明なので証明は省略します。

　得られた式:exp(Σ_rｘ_rＡ_r)::exp(Σ_sｙ_sＡ_s):＝exp{Σ_r,sｘ_rｙ_sｃ(Ａ_r,Ａ_s)}exp{Σ_r(ｘ_r＋ｙ_r)Ａ_r}の両辺をｘ_r,ｙ_s etc.で何回か微分してｘ＝ｙ＝0 と置けば,次の便利な関係式も得られます。

　:Ａ_r::Ａ_sＡ_t:＝ｃ(Ａ_r,Ａ_s):Ａ_t:＋ｃ(Ａ_r,Ａ_t):Ａ_s:＋:Ａ_rＡ_sＡ_t:,:Ａ_rＡ_s::Ａ_tＡ_u:＝ｃ(Ａ_r,Ａ_s)ｃ(Ａ_t,Ａ_u)＋ｃ(Ａ_r,Ａ_u)ｃ(Ａ_s,Ａ_t)＋ｃ(Ａ_r,Ａ_t):Ａ_sＡ_u:＋ｃ(Ａ_r,Ａ_u):Ａ_sＡ_t:＋ｃ(Ａ_s,Ａ_t):Ａ_rＡ_u:＋ｃ(Ａ_s,Ａ_u):Ａ_rＡ_t:＋:Ａ_rＡ_sＡ_tＡ_u:などです。

　また,Wickの定理の結論式:exp(Ａ)::exp(Ｂ):＝exp{ｃ(Ａ,Ｂ)}:exp(Ａ＋Ｂ):から,:exp(Ａ₁)::exp(Ａ₂)::exp(Ａ₃):＝exp{ｃ(Ａ₁,Ａ₂)}:exp(Ａ₁＋Ａ₂)::exp(Ａ₃):＝exp{ｃ(Ａ₁,Ａ₂)}exp{ｃ(Ａ₁＋Ａ₂,Ａ₃)}:exp(Ａ₁＋Ａ₂＋Ａ₃):＝exp{ｃ(Ａ₁,Ａ₂)＋ｃ(Ａ₁,Ａ₃)＋ｃ(Ａ₂,Ａ₃)}:exp(Ａ₁＋Ａ₂＋Ａ₃):です。

　したがって,一般にΠ_r=1ⁿ:exp(Ａ_r):＝[Π_s<texp{ｃ(Ａ_s,Ａ_t)}]:{Π_r=1ⁿexp(Ａ_r)}:を得ます。

　この式で,Ａ_r→ｘ_rＡ_rなる置き換えをした後,両辺のｘ₁ｘ₂..ｘ_rの係数を比較すると,Ａ₁Ａ₂..Ａ_r＝Σ{Π_対ｃ(Ａ_i,Ａ_j):Π_残りＡ_r:}なる恒等式が得られます。

ただし,右辺の和は{1,2,..,ｒ}を幾つかの対(ｉ₁,ｊ₁),(ｉ₂,ｊ₂),..と残りの{ｒ₁,ｒ₂,..}に分割する全ての分け方にわたって取ります。

短いですが今日はここまでです。

参考文献:山田泰彦 著「共形場理論入門」(培風館)

PS:７/17,18は毎年恒例の将棋チェスネットのお泊りオフです。

　今年は三保の「三保園ホテル」です。17日朝８時20分に東京駅八重洲口から出る東名高速バスで向かう予定です。

共形場理論(1)

　昨日(７/13)に記事予告として次のように書きました。

※たまには私自身の60の手習いということで,はじめて読む本で勉強する過程をそのままブログ記事にします。

　山田泰彦著「共形場理論入門」(培風館)を読みます。

　ただし,今から早い夕食を取って主話教室に行く予定です。

　それが終わって帰宅して,テキストを読みつつワードに草稿を書いた後にアップする予定なので初稿は恐らく明日です。※

と書きました。

　今日(７/14)に,上記に予定した記事を開始します。

　まず,唐突に共形場理論(conformal field theory)と言われても何のこと？と思われる諸兄もおられるかと思います。まあ,私自身もこれは定義からして,ややあやふやな概念です。

共形場の定義は,"共形変換(conformal transformation)に対して不変な場を共形場という。"というものですが,これは単に共形場を共形変換に言い換えたに過ぎません。

これでは単に,"共形変換とは何か？"という疑問に置き換えられただけです。

共形というのは形を保存すると読めますから,共形変換とは小さい円を大きい円に写す,あるいはその逆のような単なるスケール変換(Weyl変換)と平行移動のことではないか？と想像されます。

しかし,これは大域的意味の形保存であり局所的には複素関数論で御馴染みの等角写像のことを指します。

つまり,空間のある点で交わる任煮の２曲線の交角(＝接線同士のなす角)が変換の前後で保存されるような写像(等角写像)を与える変換のことを共形変換と呼び,これはスケール変換,平行移動も含みます。

複素関数論によれば,２次元の複素平面上での解析関数と等角写像は同義でしたね。

さて,これ以上の話は先走ることなく参考テキストの"はしがき"をそのまま引用します。

２次元の共形場理論は1984年にBelavin-Polyakov-Zamolodchikovによる画期的論文以降,多くの数学者,物理学者により集中的に研究が進められ,1990年頃までにはほぼ基本的な結果が出そろったといえます。

その成果は２次元の臨界現象の記述や弦理論などへの物理的応用はもちろん,表現論や可積分系,位相的場の理論などその後の数学に与えた影響も少なくありません。

共形場理論そのものの研究は現在では少なくなっていますが,基本的結果や方法は,その後の数理物理の飛躍的進展の中で繰り返し活用されています。

　このように,著者が導入部の序文に述べている要約的内容において読者には曖昧と思える概念があっても,一般にPendingにして疑問を抱いたままで本文を地道に読んで反芻しているうち概念に対する疑問は次第に氷解していくことが多いです。

　そこで,とにかく本文に入りましょう。

第１章:作用素の代数(algebra of operators)

1.1交換子(commutator)

非可換な代数(non-Abelian algebla)Ａを考えます。代数(多元環)ですから,Ｋをある数体として∀Ａ,Ｂ∈Ａ,∀ｃ∈Ｋに対して和Ａ＋Ｂ,積ＡＢ,スカラー陪ｃＡ∈Ａが定まります。

そして,これらには結合則,分配則が成り立ちます。

∀Ａ,Ｂ∈Ａに対して[Ａ,Ｂ]≡ＡＢ－ＢＡと書いて.これをＡ,Ｂの交換子と呼びます。一般に交換子は非可換代数:Ａの非可換性の度合いを示す量です。

ただし,以下ではＫを複素数体Ｃに限定します。すると交換子は以下の性質を有することがわかります。

◎[交換子の性質]:∀Ａ,Ｂ,Ｃ∈Ａ,および∀ａ,ｂ,ｃ∈Ｃに対して次式が成立する。

(ⅰ)双線形性:[ａＡ＋ｂＢ,Ｃ]＝ａ[Ａ,Ｃ]＋ｂ[Ｂ,Ｃ],[Ａ,ｂＢ＋ｃＣ]＝ｂ[Ａ,Ｂ]＋ｃ[Ａ,Ｃ],

(ⅱ)反対称性:[Ａ,Ｂ]＝－[Ｂ,Ａ],

(ⅲ)Jacobiの恒等式:[Ａ,[Ｂ,Ｃ]]＋[Ｂ,[Ｃ,Ａ]]＋[Ｃ,[Ａ,Ｂ]]＝0,(ⅳ)Leibniz則:[Ａ,ＢＣ]＝[Ａ,Ｂ]Ｃ＋Ｂ[Ａ,Ｃ]

　これらは,量子論の計算などにおいて既知の性質であり,ほぼ自明なので証明は省略します。

[定義]:ベクトル空間ｇにおいて,括弧積とよぶ演算:[ , ]:ｇ →ｇ×ｇ が与えられ,これが∀Ａ,Ｂ,Ｃ∈ｇ,∀ａ,ｂ,ｃ∈Ｃに対して上記性質(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を満たすとき,ｇをLie代数という。

　一般のLie代数ｇに対して,[Ａ,Ｂ]＝ＡＢ－ＢＡという式が意味を持つような非可換代数が普遍的に構成されます。これをＵ(ｇ)と書いて,ｇの普遍包絡環(universal ring)という。

※つまり,元の演算:[ , ]:ｇ →ｇ×ｇ に関して定義されたLie環ｇに対して,その元Ａ,Ｂ∈ｇの交換子:ＡＢ－ＢＡを改めて代数Ｕ(ｇ)を定める演算:[Ａ,Ｂ]＝ＡＢ－ＢＡ:Ｕ(ｇ)→Ｕ(ｇ)×Ｕ(ｇ)と定義して新たなLie代数Ｕ(ｇ)が得られます。

　これをｇの普遍包絡環というわけです。※

　次に,線形変換δ:Ａ→ＡでＡ,Ｂ∈Ａに対してδ(ＡＢ)＝δ(Ａ)Ｂ＋Ａδ(Ｂ)を満たすものをＡの微分といいます。

普遍包絡環の上では交換子が性質(ⅳ)のLeibniz則を満たすので,交換子のこの性質と線形性から「交換子をとる。」という演算:adＡ:Ｂ→[Ａ,Ｂ]を一種の微分と見なせます。(adＡはadjoint of Ａと読みます。)

実際,交換子は微分と同じ以下の性質を持ちます。

すなわち,[Ａ,Ｂ₁Ｂ₂..Ｂ_n]＝Σ_i=1^mＢ₁..Ｂ_i-1[Ａ,Ｂ_i]Ｂ_j+1..Ｂ_nです。そして特に,[Ａ,Ｂ²]＝[Ａ,Ｂ]Ｂ＋Ｂ[Ａ,Ｂ],[Ａ,Ｂ³]＝[Ａ,Ｂ]Ｂ²＋Ｂ[Ａ,Ｂ]Ｂ＋Ｂ²[Ａ,Ｂ]です。

もしも,Ｂに逆元Ｂ^-1がある場合には[Ａ,Ｂ^-1]＝[Ａ,Ｂ^-1ＢＢ^-1]＝[Ａ,Ｂ^-1]＋Ｂ^-1[Ａ,Ｂ]Ｂ^-1＋[Ａ,Ｂ^-1]により,[Ａ,Ｂ^-1]＝－Ｂ^-1[Ａ,Ｂ]Ｂ^-1が成立します。

そこで,特にＢと[Ａ,Ｂ]が可換:[[Ａ,Ｂ],Ｂ]＝0 なら,[Ａ,Ｂⁿ]＝ｎ[Ａ,Ｂ]Ｂ^n-1です。

これらの性質による次の有用な公式を与え証明しておきます。

◎:exp(Ａ)Ｂexp(－Ａ)＝exp(adＡ)(Ｂ)＝Σ_n=0^∞(1/ｎ!)(adＡ)ⁿ(Ｂ);ただし,(adＡ)ⁿ(Ｂ)＝[Ａ,[Ａ,..,[Ａ,[Ａ,Ｂ]..]](括弧はｎ重)。

(証明):Ｆ＝Ｆ(ｔ)≡exp(ｔＡ)Ｂexp(－ｔＡ)と置くと,ｄＦ/ｄｔ＝exp(ｔＡ)[Ａ,Ｂ]exp(－ｔＡ)＝exp(ｔＡ)(adＡ)(Ｂ)exp(－ｔＡ),ｄ²Ｆ/ｄｔ²＝exp(ｔＡ)[Ａ,[Ａ,Ｂ]]exp(－ｔＡ)＝exp(ｔＡ)(adＡ)²(Ｂ)exp(－ｔＡ)です。

　それ故,ｄⁿＦ/ｄｔⁿ＝exp(ｔＡ)(adＡ)ⁿ(Ｂ)exp(－ｔＡ)です。よって,[ｄⁿＦ/ｄｔⁿ]_t=0＝(adＡ)ⁿ(Ｂ)です。

　したがって,Taylorの展開定理によって,Ｆ(ｔ)＝Σ_n=0^∞(ｔⁿ/ｎ!)(adＡ)ⁿ(Ｂ)を得ます。

　これにｔ＝1を代入すると,Ｆ(1)＝exp(Ａ)Ｂexp(－Ａ)＝Σ_n=0^∞(1/ｎ!)(adＡ)ⁿ(Ｂ)＝exp(adＡ)(Ｂ)です。(証明終わり)

　そこで,もしもＡと[Ａ,Ｂ]が可換:[Ａ,[Ａ,Ｂ]]＝0 ならexp(Ａ)Ｂexp(－Ａ)＝Ｂ＋[Ａ,Ｂ]です。

　また,Ｂ∈Ａに対してＢ^～≡exp(Ａ)Ｂexp(－Ａ)＝exp(adＡ)(Ｂ)と定義すれば,(Ｂ＋Ｃ)^～＝Ｂ^～＋Ｃ^～,(ＢＣ)^～＝Ｂ^～Ｃ^～となり,写像:exp(adＡ):Ａ→Ａは代数の１つの同型を与えることがわかります。

　これらのことから,一般の性質の良い関数ｆについて,[ｆ(Ｂ)]^～＝ｆ(Ｂ^～)が成立します。

　したがって,特にexp(Ａ)exp(Ｂ)exp(－Ａ)＝exp(Ｂ^～)＝exp{exp(adＡ)(Ｂ)}＝exp{Ｂ＋[Ａ,Ｂ]＋(1/2)[Ａ,[Ａ,Ｂ]]＋..}です。

もしも,Ａと[Ａ,Ｂ]が可換:[Ａ,[Ａ,Ｂ]]＝0 なら,exp(Ａ)exp(Ｂ)exp(－Ａ)＝exp{Ｂ＋[Ａ,Ｂ]}です。

さらに,Ｂと[Ａ,Ｂ]も可換:[Ｂ,[Ａ,Ｂ]]＝0 なら,上記の式の右辺はexp[Ａ,Ｂ]exp(Ｂ)と書けますから,exp(Ａ)exp(Ｂ)＝exp[Ａ,Ｂ]exp(Ｂ)exp(Ａ)です。

1.2 微分作用素の代数

行列以外に交換子の活躍する典型的具体例を挙げます。

ｎ変数:ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_nの多項式の全体をＣ[ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n],または単にＣ[ｘ];ｘ＝(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)と表記します。

Ｃ[ｘ]の任意の元:ｆ＝ｆ(ｘ)はｆ(ｘ)＝Σ_t1t2..tn≧0ｘ₁^t1..ｘ_n^tnなる形の全ての有限和で表わされます。

そこで,空間Ｃ[ｘ]は通常の和とスカラー倍によって無限次元ヒルベルト空間をなします。

次に,Ｃ[ｘ]に作用する線形作用素として次のものを考えます。

すなわち,ｘ_i:ｆ(ｘ)→ｘ_iｆ(ｘ),および(∂/∂ｘ_j):ｆ(ｘ)→∂ｆ/∂ｘ_jです。これら線形作用素の和やスカラー倍の他に作用素同士の積も定義します。このとき,積は必ずしも可換ではありません。

Ｃ[ｘ]に作用する線形作用素の交換関係をまとめると,[ｘ_i,ｘ_j]＝0,[∂/∂ｘ_i,∂/∂ｘ_j]＝0,[∂/∂ｘ_i,ｘ_j]＝δ_ijです。

この関係式は,Heisenberg代数を定義する基本関係式であり量子力学において正準交換関係と呼ばれるものと本質的に同じです。

これらの積和で与えられる任意の作用素は一意的に,Ｄ＝Σ_t1t2..tn≧0ｃ_t1t2..tn(ｘ₁,..,ｘ_n)(∂/∂ｘ₁)^t1.. ,(∂/∂ｘ_n)^tnなる形に表わすことができます。

この(掛け算×微分)の和の形は,微分作用素の正規形と呼ばれます。

なお,ｔ₁,ｔ₂,..,ｔ_nの全てがゼロの場合は作用は微分ではなく単なる掛け算ですが,これも微分作用素の特別なモノと考えます。

最初でもあり,今日はここまでにします。

参考文献:山田泰彦 著「共形場理論入門」(培風館)

PS:解党主義ではないが,この際,たとえは悪いかも知れないけど大政翼賛会のように,小異を無視して大同団結(大連合)して非常時を乗り越えてはいかがでしょうか？

幸せの１つに出逢えたかも(天職か？)

　今の仕事は,いまのところ,給料を貰わなくていいくらいの天職にめぐり逢えたと感じています。

　しかし,カスミだけでは死んでしまうので,願わくは体が許せばフルタイム労働させて頂いて,時給として日々の糧を賄えるだけの手当てが欲しいです。

　たとえば,金融機関ではなく好意で無利子で寸借詐欺みたいに借りているお金くらいは早く全部返したいですしね。

　ところで,「井上ひさし」さん(享年75)に続いて「つかこうへい」さん(享年62)も亡くなられました。

　冥福をお祈り致します。

　今さらのことで,しかもつか氏には関係ないですが,つい思い出しました。

　昔,井上ひさしさんと奥さんの離婚問題について話題が出たときに,若き頃敬愛していた作家:高橋和己の死後奥さんのやはり作家の高橋たか子氏が出した「高橋和己の思い出」を読んだ内容を連想したことを思い出しました。

　彼女は,こわれてしまったと思えそうな自分の夫の自己中心で他人(奥さん？)の心を思いやる余裕がない行動,ある意味では彼の書いた小説とは正反対とも見える実像を赤裸々につづっていました。

　こういうのは赤の他人が入る余地はないのでしょうが,つい先だって長門裕之氏がこわれた南田洋子氏の映像を全国にさらしていたのと同様,若干ですが私はムカっ腹が立ちました。

　さて,話変わって一昨日の選挙の感想です。

　あまり選挙がないのも考えモノですが,短い期間に何回も選挙があると学生の及第試験ではないですが,ケツが落ち着かないと思います。

　試験ばかりだと,肝心の本分たる人民のための政策についてじっくり腰を据えて検討し論議することができず,政局や責任追求論議の方に目をとられて仕方がないのでは?と邪推します。

　政治家というのは１人の"公僕＝奉仕(サ－ヴィス)者＝ご主人様(人民)のしもべ"ではあるのでしょうが,前にも述べたように,誰であろうとカスミを食って生きているわけじゃないです。

　自分の生活の保証が無い,明日にでも路頭に迷ってしまうかも知れないというのでは腰が落ち着かなくて,まず自分の保身が先に立つだろうというのは人間ですから仕方ないと思います。

　でも当選した片山さつき氏が「地獄を見た。」と会見されているのは,私の邪推かもしれませんが,ちょっとムカつきました。

　あなたのおっしゃる"地獄"ってどんな地獄なんでしょうか。。。それは人には人それぞれあるでしょうが。

　かつて,どなたの言でしたか？「金持ちには金持ちの苦労があるんだ。」というご発言を聞いたときにも,「そうした苦労がイヤなら金持ちやめればいいだけじゃん,それで死ぬわけじゃなし。」と勝手に思ったこともあります。

　代議員以外は選挙しか政治に参加できない,しかもどんなに声が大きかろうとたったの１票という現在の代議制,選挙制そのものを疑問視しているので,それに共謀する共犯になることはずっと避けて生きてきています。

　これは,40年以上も昔,まだ選挙権を得る前の年齢にアジテーションやデモンストレーションというプロパガンダ(情宣活動)や,すわり込み,(ハンガー)ストライキ.etc.のように,ごく偶にお上から下される投票機会にだけ"清き一票"を投じるよりも有効と感じられ充実感も感じられる社会活動,政治活動の洗礼を受けた影響かもしれません。

　自分の是とする意見があって,それを主張したいならテロ行動をやれとはいいませんが,"これ＝投票だけ"にこだわる必要ないと感じています。

　もっとも,昔そうした投票以外のハデに見える"甘えた"活動ができたのは,日本という平和な国で,生まれたときにはふた親もそろっていて,自活で暮らしたとはいえ大学にも行ける余裕があったからです。

　どこかの国のように娘の身売りでもしなければ飢え死にするという状況であれば,たとえば投票するだけという以外には"ヒマ＝肉体的,精神的余裕"はないでしょうね。

　まあ,上からの政治,あるいはマスコミ(所詮はスポンサー様のしもべ)による情宣が人々をそういう状況に追い込んでいるという意味もありますが。。

　そこで,今自分に可能であって目指していることは上からの政治とは直接には関係ないことです。

　つまり,たとえ偽善でキレイゴトであろうと,外野の目線は気にせず,募金を含むボランティア的な草の根活動です。

　いかんせん,障がいがあって(甘え？)自分の世話もままならないのですが,「夢は持ってさえいればいつかはかなう。」のでしたよね。。。

大哺乳類展に行きました。

　先週７/８(木)に帰宅してPCのメールを開くと「朝日新聞アスパラ(aspara)クラブ」から上野公園内の国立科学博物館で７/10から開かれる「大哺乳類展(海のなかまたち)」への特別招待メールが来ていました。

　７/12(月)の14時から14時半の入場限定で２名までということなので,M子さんを誘って２人で行く予定でしたが,私が午前に仕事を終えて昼食後13時過ぎに,彼女から「雨でもあり急用ができて行けない。」との連絡があって,今さら他の誰も誘う余裕がないので,もったいないとは思いつつ仕方なく私一人で行ってきました。

　こういうせっかく抽選？に当たったものを断ったりスッポカシたりすると,次の招待が当たっても見送られるカモと思ったので一人でも行くべきでしょうネ。

　海の哺乳類というとほぼ同種目らしいイルカ,クジラ,シャチが中心でした。他にはアザラシ,オットセイ,セイウチ,後はジュゴンやマナティくらいかな。。さらにむしろ陸の哺乳類のラッコにシロクマについての展示でした。

　写真をパシャパシャ取ってるうちに,すぐにデジカメの電池がなくなってしまったので後は単に見てまわりました。そういえば,昨日も教会礼拝コンサートで結構何枚も写真を取ったので電池を換えておくべきでした。

　下の最初の骨格の写真はシャチです。次がハクジラ類２つ,そしてその頭部だけetc.だったかな。。記憶あいまい。。

　　　　　　

　　　

　　　　　　

　　　　　　　

　　　　

　１階は,ところどころに大画面モニターで骨じゃなく生きている海の哺乳類の映像と音声がある以外には歯やヒゲも含めてほとんど骨ばかりでした。

　とにかく,一人でまわると逆に疲れますね。座れるところ余りないし。。

　２階は,結局中でしか買えない関連グッズ販売という感じでした。。

　次はシュールレアリストの端くれとして,東京芸大美術館の「シャガール展」にでも行ってみたいですね。。　　　　　　　　　　　

　　　　　　

(「ＴＯＳＨＩの宇宙」のURLのmaldoror-ducassecocolog-nifty.com)のマルドロール－デュカス（ロートレアモン),および2006年９/２の記事「ロートレアモンとサド」,2006年12/12の記事「ロートレアモンとサド(その２)」参照）

　最近,金もないけど飲みに行こうとか考える前に早い時間から疲れて眠ってしまっていて,それでも５時間経てば確実に覚醒するので夜中の２時～５時に起床すること多いですね。

　まあ,常人の半分以下のスピードですが,携帯の歩数履歴によると私としては多い平均５千歩くらいを毎日歩いているらしく,それも緩やかとはいえ坂道ばかりなので病気のせいか異常に疲れます。健康的なのかなあ？

　昨日は教会,今日は博物館,明日は手話,そして週末には年１回の将棋夏合宿と,このところ仕事以外にもゼイタクなスケジュールで充実してます。

　別に,数物系の勉強や読書,そしてCD,DVDでの音楽や映画の鑑賞にブログ書き,息抜きにネット将棋をして遊ぶという感じで,歩き回らなくてもそれなりに充実していてヒマは無いのです。　

　モノや人に飢えなければ,ずっとゴロゴロして家にこもる趣味に耽けってるばかりでしたが,体を動かした方がイイんでしょうね。

教会に行ってきました。

　小石川白山教会に行ってきました。

　日本基督教団の教会ということです。神父でなく牧師という呼び名なのでプロテスタントですね。

　白山駅からいつも上るゆるやかで長い坂が異常にしんどかったのは,やはり気温が高かったせいなのかな？時間に余裕あったので休み休みゆっくり進んだのでOKでしたが。。。

　10時半礼拝開始なのに10時15分頃着いて早過ぎたかと思いましたが,５分前までに着席ということで問題ありませんでした。

　念のため,以前,御茶ノ水を歩いてたとき無料で配っていたのを貰った英日対訳横書きの新約聖書(NEW TESTAMENT)(写真左)を持参して見せたのですが,もっと訳が新しいという日本語だけの縦書きの新共同訳の大きさ同じの新約聖書(写真右)を礼拝堂入り口で無料で頂きました。

　対訳は老眼鏡で見てもやっと読めるくらいでしたが頂いた縦書きは字が大きいのが助かります。

　もっとも,ちゃんと有料で買った新共同訳の全世界でベストセラーの聖書(旧約・新約)を持ってはいますが。。。ほとんど開いていません。

　　昨日であれば,礼拝日ではないので無料のゴスペルコンサートとして入るだけだったのでは？と思ったのですが普通に教会員の方が多かったようです。

　２日とも謂わゆるオープンチャーチで今日は礼拝日として,後で聞いたところでは,非会員(新参者)は昨日22名,今日は私を含め26名ということでした。

　入場者数は見た感じでは全体でもこの倍くらいでしょうか？

　映像で見るのでなく,実際に教会に入ったのは高校の修学旅行での長崎以来で,礼拝は初めての体験です。目が悪いし,ブログ用の写真を取るという目的があったので中央真ん中よりちょっと前に座りました。

　やはり,まず天井が高いのに目が行ってしまいました。これは音響的には楽しみだなと思いました。

　舞台右肩で演奏の（パイプ)オルガンのきれいな音色と共に,当番制らしい司会の方によって礼拝が始まり聖書の本日の題目部分が読まれました。

　私も知っている有名な,「金持ちが神の国に入るのはらくだが針の穴を通るより難しい。」という部分でした。その直前には子供を祝福したという項目があってこの順番にも意味があることを後で教えてもらいました。

　立つことが無理な人以外は全員が起立して歌う賛美歌の歌詞がわからないので突っ立ってじっと聞いてると,後ろから老婦人(スタッフ？)が愛星幼稚園のロゴつきの賛美歌本を貸してくださいました。

　そこで,賛美歌312番とその後の461番は無難に歌いました。

　立って朗読するアーメン(さぞあれかし？)や主の祈りはいいとしても,使徒の誓い？でしたか？イエスが三日後によみがえられたのを信じます云々の信じますというくだりは,私は求道者でも洗礼を授かった信者でもないのでウソを言うのは嫌なため,口をモゴモゴしてました。

　いずれにしろいい経験でした。教会の敷居,少しは低くなったかも。。

　やはり,昔の使徒行伝の時代とは違って,統一教会や「エホバの証人(ものみの塔)」がやってるように向こうからセッセと布教してまわる金集めのカルト教団では無くて,異端でないキリスト教はこちらから積極的に門を叩くべき狭き門なのですね。

　後で献金もまわってきましたが,私は１円にも泣いてる日々で(食って寝るだけで満足すればいいのに。。好きな本(専門書)や酒に金を使わずにね),無料というから入ったのですから,これは正直に遠慮しました。

　牧師さんだってカスミを食べてるわけじゃないでしょうから,余裕あれば神社のお賽銭のように少しはお礼がしたかったのですが。。

　代表者のお礼の言葉は予想はしてましたが,やはりほんの一部を神にお返しするというようなセリフでした。

　細川牧師の「一生の出会い」という本日のテーマは,「イエスとの出会い」という意味でした。これを聞いただけでも本日来たかいがありました。

　"らくだが針の穴。。"の部分の誤解が一つ解けたからです。

　今までは,「金持ちが神の国に入れない。」というのを,「私のように日銭は無いながらも生まれつき飽食の日本人として生まれたことも含め,文字通り日々食べていく以上の余分な金を持った"金持ち"が神の国に入りたかったら,お金を全部を捨てなさい。」という意味と解釈していました。,

　つまり,私の2009年５/15の記事「カルネアデスの舟板」の内容と同じ意味だろうと思っていました。

　すなわち,新約聖書の別の箇所の「愚か者よ,お前は今夜召される。」とか,「神と富(マモン)の両方に仕えることはできぬ。」などと同義と解釈してました。

　しかし,お金に限らず,"財産＝各自が命の他に？最も大事にしているもの全て"(＝私ならライフワークの物理,数学や雑学の思想,哲学,趣味の将棋,人助けをしたいという思い上がったエゴの気持ちetc)を捨てろという意味ですね。

　つまり,(神よりも）愚かな人間の考えなどは捨てて,すぐ前の項目の子供が親に甘えるごとく,全てを神に委ねることが解放される,救われる,あるいは死後に復活する道である,「全ての他のしがらみを捨てて私に従いなさい」ということを意味しているらしいです。

　イヤー,自力本願は全部捨てて完全にイエス（神？)に頼るべきという意味であって,イエス後のペトロ教皇以下の宗教,信仰が本当に聖書の中のイエスの意図するところ,イエスの計画かどうかはわかりませんが,確かにこれは人が真に解放される道の１つでしょう。

　私は,不遜にも面白いとは感じましたが自身は今のところエゴを捨てられないし捨てようとも思えないので無理ですね。

　確かに,頬をぶたれようが自己主張をせず,我慢しろという意味にも取れますから,社会革命が必要であると考える輩にとってはその意味で「宗教は人民のアヘン」となるのでしょう。←古るーい。。

　ところで,私がこれまでに把握していた聖書の内容として実際に読んだものは,退屈な聖書そのものでなく,解説書的物語的なものです。(ヨハネ黙示録だけはわからないなりに原文のみですが。。)

　,主として読んだのは,まず文庫本の「聖書物語」と犬養道子著の「旧約聖書物語」,「新約聖書物語」,および翻訳本の「小説 聖書(旧約篇)」,「小説 聖書(新約篇)」,「小説 聖書(使徒行伝)」です。

　最後の３冊目の使徒行伝は,いつの頃か?心臓病になった頃かな?何らかの理由で途中読みかけのままになってます。

　まだ,パソコン通信時代のニフティサーブの「FLORD(キリスト教フォーラム)」か「FBIBLE(聖書フォーラム)」の会員時代にプレゼント応募して抽選で七十人訳聖書(ギリシャ語)の,さらに邦訳の「創世記」が当たったので送って,頂いたものもまだ大事に持っています。

　ただし,これらを読んだ内容は例えば新約ならマルコ,マタイ,ヨハネ,ルカ,あと何だっけ?の何番であるかとかの細かいことは知らないけれど,例の「忘れない病」という頭の病気のせいか,90％以上を記憶しているので,ブログでも不正確ながらときどき聖書の言葉として引用しています。

　その他,興味が湧くことに神学的解釈も含めて資料を読み漁ったりしています。例えば,心の貧しきものと貧しきものの違いは？とかです。

　FLORDの会議室を読んでいた当時,「心の貧しきものというのは欲がないという意味ですか？」と質問したら,「面白い解釈ですが少し違うのでは？」というお答えでした。

　「心の貧しきもの」というのは物質ではなく霊的な意味で貧しくて求めている人,卑近な表現では愛に飢えていて霊,主を求めるものという意味らしいです。でも聖書の福音の別の部分では,"心の”抜きのただの「貧しきものは幸いである」という表現もありました。

　これは普通の「物質的に貧しい方が神の国に迎えられるので幸福である。」という意味でしょう。福音は一度でなく何度もあったのでしょうね。。

　私は別に,信仰をしているわけではなく,聖書,キリスト教は純粋に好奇心,興味の対象なのです。こんな興味深いものに探究心が湧かないわけがない。　

　映画も「サムソンとデリラ」,「十戒（C.ヘストン）」,「ゴルゴダの丘(ジャン・ギャバン他)」,「奇跡の丘」,「偉大な生涯の物語」,「ベンハー(C.ヘストン)」,「ジーザス・クライスト・スーパースター」,「最後の誘惑」「パッション(メル・ギブソン監督)」etcの聖書が源のもの,

　それに,十字軍の頃のアッシジの修道士の祖:フランチェスコ(フランシスコ)や修道女の祖:キアラ(クララ)を描いた「ブラザーサン・シスター・ムーン」↓

　そして,ミッキーーローク主演の同じテーマの「フランチェスコ」など,

　それに,関連した,魔女裁判モノかな？「ジャンヌ・ダルク(リュック・ベッソン監督,ミラ・ジョボビッチ主演)」や,ペンシルバニア州のアーミッシュのような教団の話「ヴィレッジ(シャマラン監督)」(2006年11/22「思い出し泣き(その２)」参照)etc.

　そうそう肝心な「天使にラブソングを」も見ました。同じウーピーの「カラーパープル」も見たけどこれはクリスト教の映画じゃない。。。

　音楽では,ヘンデルの「メサイヤ」,モーツァルトの「レクイエム」,フォーレの「レクイエム」,グリーグの「ペールギュント」etc.,

　小説ではSF異端モノが中心ですが,斉藤栄「イエス・キリストの謎」,マイケル・コーディ「イエスの遺伝子」,「最後の。。」そして,最近のダン・ブラウンの「ダヴィンチ・コード」,「天使と悪魔」etcも鑑賞しています。

　肝心のコンサートですが,ソプラノの河村靖代さんとピアノの鳥原和代さんはキリスト教的意味ではなく本当の姉妹でした。

　彼女たちによる歌唱は美しい日本語訳の歌詞の賛美歌らしいものでした。たった数曲でしたが生のソプラノの声感動しました。。来て良かったあ。。

　

　ただ,これらは本当にゴスペルなの？と私は感じました。

　もっともゴスペルは奴隷当時のアメリカの黒人が唄ったものという以外に明確な線引きがあるの？ということさえ,私は知らないのですが。。どうも明るすぎると感じただけです。

　例えば,ジャズなら私なりのブルースの概念があります。

PS:７月12日(月)早朝です。スペイン優勝おめでとう,決勝を夜中の３時半から見る予定でしたが珍しく疲れて朝まで寝てしまいました。

　ゴルフの全米女子オープンは朝方に見ましたが。。解説のアヤコさん相変わらずカワイらしい!って関係ないか。。。

ゴスペルコンサート(小石川白山教会)

　今日は午後１時半から,最近通っている職場のすぐそばの東洋大学と小石川植物園の間の愛星幼稚園の中の小さな小石川白山教会での無料ゴスペルコンサート・福音メッセージに行く予定です。

　本日のメニューはジャズ・ピアノ 上保一恵さん(アメージンググレイスほか)と福音メッセージ「変えられた人生」清瀬弘毅牧師です。

　明日(11日)も日曜日ですから,午前10時半からソプラノ独唱 河村靖代さん(ピアノ鳥原和代さん) ,聖歌隊の賛美歌合唱と細井茂徳牧師の「一生の出会い」など,もっと大々的なメニューがあるらしいのですが,日曜日は私にも他に予定があるので土曜日にしました。

　マンション内の資源ゴミ置き場に梁石日の小説「闇の子供たち」が捨ててあったので,拾って読み始めました。まだ少ししか読んでませんが,タイの子供の人身売買の話で幼児虐待を告発する話らしいです。

　ドキュメンタリーじゃないし本当の話とは断定できませんが,モデルがいるらしく一昨年に日本で映画化されたらしいです。

　背景には,子供を売らないと飢え死にするほどの極貧があるようで,貧困という環境をそのままにして倫理にもとるからやめろ。というのでは,残る家族全員が飢え死にしてもいいのか？という,昔の日本の貧困農家の娘の身売りと同じような難しい問題があるようです。　

　私は日ごろから軽々しく人助けを口にしてますが,本当に甘チャンで,おボッチャンのお遊びに過ぎないことを痛感しています。

　ともあれ,無料コンサートや拾った本でゼイタクが楽しめる日本は北朝鮮とか東南アジアに比べると,まだまだ本当に平和ですね。。。

↓「北村忠三「足の向くままに」から小石川白山教会です。

※白山駅から植物園への道すがら、偶然前を歩いた「小石川白山教会」で、白が印象的だったのでパチリ。１９０２年,ミス・バンファインドトミス・カメラーが小石川区指ヶ谷町８３、８４番地に土地を借りて、宣教師館と約１５坪の小さなチャペルを建て、１１月１２日にそこに移り住んだ。

　これが、小石川福音教会で、現在の小石川白山教会の前身　だそうです。

PS:実は土曜日のコンサートには行けませんでした。

　これを書いてる最中の朝８時過ぎに３年前までいた会社の後輩３人から携帯が入って西荻まで呼び出され,交通費がギリギリだったのですが10時頃に自宅を出て,11時過ぎからN目チャン家で飲んでるうちに,友達の方を優先して間に合わなくなったのでした。

　またまた,西荻駅前のカラオケボックスで唄いまくりしゃべりまくりで帰宅は18時過ぎになりました。何故か上着のポケットに５千円入っていて,"俺は物乞いじゃないぞ"と思いつつ,思わず手を合わせてしまいました。

　いつか100倍にして返すからネ。。

　久しぶりに自分をさらけだしてもいい連中と会って,年上の後輩Ｔさんをちょっと殴りました。,　

　いつもいつも,"甘ったれやがって死にたいならサッサと死ね。俺が殺したるぞ"。。"ならさあ殺せ”という話になって,"何だできないのか"と殴って挑発したのでした。,

　去年は門前仲町のカラオケボックスの開かない窓に私が頭からぶつかってコブができたし,もっと以前は忘年会の２次会で上野駅近くの24時間喫茶で店員が借金の取立てかなんかと勘違いして,"他のお客さんもいらっしゃるので"と注意され,後で肩くんで帰ったので驚いてたこともあったっけ。。

　俺を何とかして怒らせて本性を引きだそうという魂胆はわかってるのだが,俺は男より女の方が好きなんだよ。。

　他に誰も見てないし私も唄いながら大泣きしたあげく,帰りの電車の中では,またＴ氏と二人になって俺を大して知りもしないくせに,”お前は天才だ"と大声で連呼してバカにしくさって。。

　そんなに買いかぶってるなら,昔の漫画家に戻って大金でもつかんで,オゴってくれよナ。。

　俺はナルシストで自分がカワイイのは本当だが,そこまでうぬぼれちゃいねえよ,一体何の天災なんだ？。。酔っ払ってるし,まわりは知らない人ばかりとはいえ,恥ずかしいじゃねえか。。。

　(女房も子供もいて酔ったときだけなんだけど。。)

　あっと,セッカクの無料で聞けるプロのゴスペルだから,明日の朝行こう。。。

場理論におけるS行列とLSZの公式(５)

 閑話休題というか(摂動論について先走ります。　

　摂動論の目的は,LSZの公式でＳ行列要素を構成する源になる

　全ての完全なＧreen関数:

　τ(ｘ₁,..,ｘ_n)≡＜0|Ｔ(φ(ｘ₁)..φ(ｘ_n))|0＞を具体的に

　計算する１つの方法を提供することです。

　さて,一般の相互作用する場φ(ｘ,ｔ),および正準共役運動量

　(canonical conjugate):π(ｘ,ｔ)の同時刻交換関係は,

　In-field(漸近場):φ_in(ｘ,ｔ),およびπ_in(ｘ,ｔ)によって満足

　される交換関係と同じです。

　さらに,仮定によって,状態の完全系が真空(vacuum);|0＞に

　φ,またはφ_inを繰り返し作用させることによって得られるので

　これらの場もまた演算子の完全系を作っています。

　(※演算子の完全系とは任意の演算子がこれらによって展開可能

　という意味です。※)

　故に,φとφ_inとは摂動論適用可能性の仮定に従って１対１に

　対応するため,それらはあるユニタリ演算子Ｕ^(ｔ)による

　ユニタリ変換で関係付けられます。

　すなわち,φ(ｘ,ｔ)＝Ｕ^^-1(ｔ)φ_in(ｘ,ｔ)Ｕ^(ｔ),

　およびπ(ｘ,ｔ)＝Ｕ^^-1(ｔ)π_in(ｘ,ｔ)Ｕ^(ｔ)です。

　演算子Ｕ^(ｔ)の動力学は,この関係式から見出すことが

　できます。

　というのは,φ(ｘ)とφ_in(ｘ)の両方についての運動方程式

　が既知であるからです。

　特に,自由場の交換関係と自由場の方程式を満足するIn-field

　に対する定義関係式から,次のHeisenberg方程式が導かれます。

　∂φ_in(ｘ)/∂ｔ＝i[Ｈ_in^(φ_in,π_in),φ_in(ｘ)],

　∂π_in(ｘ)/∂ｔ＝i[Ｈ_in^(φ_in,π_in),π_in(ｘ)]　です。

　ここでＨ_in^(φ_in,π_in)は物理的質量ｍを持つ粒子に対する

　自由場のHamiltonianです。

　さらに,正確なHeisenberg場に対する(時間の)平行移動不変性

　から次式の成立することが保証されます。

　すなわち,∂φ(ｘ)/∂ｔ＝i[Ｈ^(φ,π),φ(ｘ)]です。

　これはまた,∂π(ｘ)/∂ｔ＝i[Ｈ^(φ,π),π(ｘ)]の成立も

　保証します。

　そこで,φ^d_in(ｘ)≡∂φ_in(ｘ)/∂ｔ

　＝(∂/∂ｔ){Ｕ^(ｔ)φ(ｘ,ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)}

　＝Ｕ^^d(ｔ)φ(ｘ,ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)Ｕ^(ｔ)φ(ｘ,ｔ)

　Ｕ^^-1d(ｔ)Ｕ^(ｔ)φ^d(ｘ,ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)

　＝Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)φ_in(ｘ)＋φ_in(ｘ)Ｕ^(ｔ)Ｕ^^-1d(ｔ)

　＋iＵ^(ｔ)[Ｈ^(φ,π),φ(ｘ)]Ｕ^^-1(ｔ)　です。

　ここで,公式:Ｕ^(ｔ)Ｕ^^-1d(ｔ)

　＝(∂/∂ｔ){Ｕ^(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)}－Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)

　＝－Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)を使用します。

　また,φ_in(ｘ)＝Ｕ^(ｔ)φ(ｘ)Ｕ^^-1(ｔ)によって,

 Ｕ^(ｔ)Ｈ^(φ,π)Ｕ^^-1(ｔ)＝Ｈ^(φ_in,π_in)　です。

　したがって,結局,

 φ^d_in(ｘ)＝[Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ),φ^d_in(ｘ)]

　＋i[Ｈ^(φ_in,π_in),φ_in(ｘ)]

　＝φ^d_in(ｘ)＋[Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)＋iＨ_I^(φ_in,π_in),φ_in(ｘ)]

　を得ます。

　同様にして,π^d_in(ｘ)＝π^d_in(ｘ)

　＋[Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)＋iＨ_I^(φ_in,π_in),π_in(ｘ)]

　も得られます。

　ただし,Ｈ_I^(φ_in,π_in)≡Ｈ^(φ_in,π_in)－Ｈ_in^(φ_in,π_in)　です。

　このＨ_I^(φ_in,π_in)は時間ｔに陽に依存する相互作用項(摂動項)

　をIn-fieldで表現したものです。

　以下,このＨ_I^(φ_in,π_in)をＨ_I(ｔ)と表記することにします。

　φ^d_in(ｘ)＝φ^d_in(ｘ)＋[Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)＋iＨ_I(ｔ),φ_in(ｘ)],

　かつ,

　π^d_in(ｘ)＝π^d_in(ｘ)＋[Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)＋iＨ_I(ｔ),π_in(ｘ)]

 から,[Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)＋iＨ_I(ｔ),φ_in(ｘ)]＝0,

　かつ,[Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)＋iＨ_I(ｔ),π_in(ｘ)]＝0 です。

　そして,φ_in,π_inが演算子の完全系を構成することから

　Ｅ₀(ｔ)をｃ数として iＵ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)＝Ｈ_I(ｔ)＋Ｅ₀(ｔ)

　と書けます。

　そこで,改めてＨ_I'(ｔ)≡Ｈ_I(ｔ)＋Ｅ₀(ｔ)と定義すると,

　Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)＝Ｈ_I'(ｔ)ですからＵ^(ｔ)は方程式;

　∂Ｕ^(ｔ)/∂ｔ＝Ｈ_I'(ｔ)Ｕ^(ｔ)　を解けば得られます。

　Ｕ(ｔ,ｔ')≡Ｕ^(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ')と定義すると,

　i∂Ｕ(ｔ,ｔ')/∂ｔ＝Ｈ_I'(ｔ)Ｕ(ｔ,ｔ'),

　ただし,Ｕ(ｔ,ｔ)＝1です。

　これを近似展開に便利な積分方程式で表わせば,

　Ｕ(ｔ,ｔ')＝1－i∫_t'^tｄｔ₁Ｈ_I'(ｔ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ')

　となります。

　これから,解の初期値をＵ(ｔ₁,ｔ')≡1とする反復法によって

　Ｕ(ｔ,ｔ')＝1－i∫_t'^tｄｔ₁Ｈ_I'(ｔ₁)

　＋(－i)²∫_t'^tｄｔ₁Ｈ_I'(ｔ₁)∫_t'^t1ｄｔ₂Ｈ_I'(ｔ₂)＋..

　＋(－i)ⁿ∫_t'^tｄｔ₁∫_t'^t1ｄｔ₂..∫_t'^tn-1ｄｔ_n[Ｈ_I'(ｔ₁)Ｈ_I'(ｔ₂)

　.Ｈ_I'(ｔ_n)]＋..　なる摂動展開を得ます。

　明らかに,ｔ₁≧ｔ₂≧..≧ｔ_nですから,相互作用項の積:

　[Ｈ_I'(ｔ₁)Ｈ_I'(ｔ₂)..Ｈ_I'(ｔ_n)]を時間順序積(経時積;Ｔ積):

　Ｔ(Ｈ_I'(ｔ₁)Ｈ_I'(ｔ₂)..Ｈ_I'(ｔ_n))で置き換えることができ

　ます。

　すると,

　Ｕ(ｔ,ｔ')＝1＋Σ_n=1^∞(－i)ⁿ∫_t'^tｄｔ₁∫_t'^t1ｄｔ₂..∫_t'^tn-1ｄｔ_n

　Ｔ(Ｈ_I'(ｔ₁)Ｔ-Ｈ_I'(ｔ₂).Ｈ_I'(ｔ_n))　と書けます。

　この表現式は時間変数ｔ₁,ｔ₂,..,ｔ_nの交換対称な形をしている

　ので,対称化して

　Ｕ(ｔ,ｔ')＝1＋Σ_n=1^∞∫_t'^tｄｔ₁∫_t'^tｄｔ₂..∫_t'^tｄｔ_n

　Ｔ(Ｈ_I'(ｔ₁)Ｈ_I'(ｔ₂)Ｈ_I'(ｔ_n))と書くことができます。

　これを記号的にＵ(ｔ,ｔ')≡Ｔ(exp{－i∫_t'^tＨ_I'(ｔ)ｄｔ})

　＝Ｔ(exp{－i∫_t'^tｄ⁴ｘＨ_I(φ_in(ｘ)})　と表現します。

　Ｕ演算子:Ｕ(ｔ,ｔ')の有用な性質は

　Ｕ(ｔ,ｔ')＝Ｕ(ｔ,ｔ")Ｕ(ｔ",ｔ')です。

　これは定義:Ｕ(ｔ,ｔ')＝Ｕ^(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ')から明らかな

　性質です。

　特に,1＝Ｕ(ｔ,ｔ)＝Ｕ(ｔ,ｔ')Ｕ(ｔ',ｔ)により,

　Ｕ(ｔ,ｔ')＝Ｕ^-1(ｔ',ｔ)です。

　さて,これを用いてHeisnbeg場の"時間順序積＝Ｔ積"の

　真空期待値：

　τ(ｘ₁,..,ｘ_n)≡＜0|Ｔ(φ(ｘ₁)..φ(ｘ_n))|0＞

　をIn-fieldで表現することに向かいます。

　まず,τ(ｘ₁,..,ｘ_n))＝＜0|Ｔ(φ(ｘ₁)..φ(ｘ_n))|0＞

　＝＜0|Ｔ(Ｕ^^-1(ｔ₁)φ_in(ｘ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)φ_in(ｘ₂)Ｕ(ｔ₂,ｔ₃)..

　Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)φ_in(ｘ_n)Ｕ^(ｔ_n))|0＞

　＝＜0|Ｔ(Ｕ^^-1(ｔ)Ｕ(ｔ,ｔ₁)φ_in(ｘ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)φ_in(ｘ₂)

　Ｕ(ｔ₂,ｔ₃)..Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)φ_in(ｘ_n)Ｕ(ｔ_n,－ｔ)

　Ｕ^(－ｔ))|0＞

　です。

　ただし,ｔは∞ に近づくことも許される準拠時間です。

　こうした極限では,ｔ₁,ｔ₂,..,ｔ_n∈(－ｔ,ｔ)ですから,

　Ｕ^^-1(ｔ)とＵ^(－ｔ)をＴ積から外に出して

　τ(ｘ₁,..,ｘ_n)＝＜0|Ｕ^^-1(ｔ)Ｔ(Ｕ(ｔ,ｔ₁)φ_in(ｘ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)

　φ_in(ｘ₂)Ｕ(ｔ₂,ｔ₃)..Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)φ_in(ｘ_n)Ｕ(ｔ_n,－ｔ))

　Ｕ^(－ｔ)|0＞　と書くことができます。

　そして,Ｔ(Ｕ(ｔ,ｔ₁)φ_in(ｘ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)φ_in(ｘ₂)Ｕ(ｔ₂,ｔ₃)

　..Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)φ_in(ｘ_n)Ｕ(ｔ_n,－ｔ))　において,

　一般性を失なうことなく

　ｔ＞ｔ₁＞ｔ₂＞..＞ｔ_n-1＞ｔ_n＞－ｔ と仮定できます。

　すると,Ｔ(Ｕ(ｔ,ｔ₁)φ_in(ｘ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)φ_in(ｘ₂)Ｕ(ｔ₂,ｔ₃)

　..Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)φ_in(ｘ_n)Ｕ(ｔ_n,－ｔ))

　＝Ｕ(ｔ,ｔ₁)φ_in(ｘ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)φ_in(ｘ₂)Ｕ(ｔ₂,ｔ₃)..

　Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)φ_in(ｘ_n)Ｕ(ｔ_n,－ｔ)　です。

　これに,Ｕ(ｔ,ｔ₁)＝Ｔ(exp{－i∫_t1^tＨ_I'(τ₀)ｄτ₀}),

　Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)＝Ｔ(exp{－i∫_t2^t1Ｈ_I'(τ₁)ｄτ₁}),..,

  Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)＝Ｔ(exp{－i∫_tn^tn-1Ｈ_I'(τ_n-1)ｄτ_n-1}),

  Ｕ(ｔ_n,－ｔ)＝Ｔ(exp{－i∫_-t^tnＨ_I'(τ_n)ｄτ_n})　

  を代入します。

　かくして,

　Ｕ(ｔ,ｔ₁)φ_in(ｘ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)φ_in(ｘ₂)Ｕ(ｔ₂,ｔ₃)

　..Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)φ_in(ｘ_n)Ｕ(ｔ_n,－ｔ)

　＝Ｔ(exp{－i∫_t1^tＨ_I'(τ₀)ｄτ₀})φ_in(ｘ₁)

　　Ｔ(exp{－i∫_t2^t1Ｈ_I'(τ₁)ｄτ₁})φ_in(ｘ₂)..

　　Ｔ(exp{－i∫_tn^tn-1Ｈ_I'(τ_n-1)ｄτ_n-1})φ_in(ｘ_n)

　　Ｔ(exp{－i∫_-t^tnＨ_I'(τ_n)ｄτ_n})　

　となります。

 ｔ≧τ₀≧ｔ₁≧τ₁≧ｔ₂≧..≧ｔ_n-1≧τ_n-1≧ｔ_n≧τ_n≧－ｔ

　ですから,Ｔ記号は,

　ｔ,τ₀,ｔ₁,τ₁,ｔ₂,..,ｔ_n-1,τ_n-1,ｔ_n,τ_n,－ｔに対する

　記号と考えます。

　すると,

　Ｔ(Ｕ(ｔ,ｔ₁)φ_in(ｘ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)φ_in(ｘ₂)Ｕ(ｔ₂,ｔ₃)..

　Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)φ_in(ｘ_n)Ｕ(ｔ_n,－ｔ))

　＝Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)

　Ｔ(exp{－i∫_t1^tＨ_I'(τ₀)ｄτ₀})Ｔ(exp{－i∫_t2^t1Ｈ_I'(τ₁)ｄτ₁})

　..Ｔ(exp{－i∫_-t^tnＨ_I'(τ_n)ｄτ_n}))　です。

　結局,Ｔ(Ｕ(ｔ,ｔ₁)φ_in(ｘ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)φ_in(ｘ₂)Ｕ(ｔ₂,ｔ₃)

　..Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)φ_in(ｘ_n)Ｕ(ｔ_n,－ｔ))

　＝Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)Ｔ(exp{－i∫_-t^tＨ_I'(τ)ｄτ})

　と書けます。

　さらに記号的に書けば,これは,

　Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)exp{－i∫_-t^tＨ_I'(τ)ｄτ})

　となります。

　これは,より正確には

　Σ_m=0^∞{(―i)^m/ｍ!}∫_-t^tｄτ₁.. ｄτ_m

　Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)Ｈ_I'(τ₁) Ｈ_I'(τ₂)..Ｈ_I'(τ_ｍ))

　で定義される記号で,確かに元のＴ積を忠実に示すものです。

※(注):つまり,

　Σ_m0=0^∞Σ_m1=0^∞..Σ_mn=0^∞{(―i)^m0/ｍ₀!}{(―i)^m0/ｍ₁!}..

　{(―i)^m0/ｍ_n!}∫_t1^tｄτ₀¹ｄτ₀²..ｄτ₀^m0

　∫_t2^t1ｄτ₁¹ｄτ₁²..ｄτ₁^m1..∫_-t^tnｄτ_n¹ｄτ_n²..ｄτ_n^mn

 {Ｈ_I'(τ₀¹)Ｈ_I'(τ₀²)..Ｈ_I'(τ₀^m0)φ_in(ｘ₁)Ｈ_I'(τ₁¹)

　Ｈ_I'(τ₁²)..Ｈ_I'(τ₁^m1)φ_in(ｘ₂)Ｈ_I'(τ₂¹)..Ｈ_I'(τ_n-1^mn-1)

　φ_in(ｘ_n)Ｈ_I'(τ_n¹)Ｈ_I'(τ_n²)..Ｈ_I'(τ_n^mn)}　

　が次のT積の特別な場合です。

　Σ_m0=0^∞Σ_m1=0^∞..Σ_mn=0^∞{(―i)^m0/ｍ₀!}{(―i)^m0/ｍ₁!}..

　{(―i)^m0/ｍ_n!}∫_t1^tｄτ₀¹ｄτ₀².. ｄτ₀^m0∫_t2^t1ｄτ₁¹ｄτ₁²..

　ｄτ₁^m1..∫_-t^tnｄτ_n¹ｄτ_n²..ｄτ_n^m

　Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)Ｈ_I'(τ₀¹)

　Ｈ_I'(τ₀²)..Ｈ_I'(τ₀^m0)ⁿ..Ｈ_I'(τ_n¹)Ｈ_I'(τ_n²)..Ｈ_I'(τ_n^mn))

　です。(注終わり)※

　かくして,τ(ｘ₁,..,ｘ_n)

　＝＜0|Ｕ^^-1(ｔ)Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)

　Ｔ(exp{－i∫_-t^tＨ_I'(τ)ｄτ})Ｕ^(－ｔ)|0＞　であり,

　Ｕ^^-1(ｔ),Ｕ^(－ｔ)　を除いてIn-fieldsによってＳ行列

　が表現されました。

　最後に,Ｕ^^-1(ｔ),および,Ｕ^(－ｔ)は,真空|0＞がｔ→∞

　の極限において,これらの演算子の固有状態であることを示す

　ことによって除去できます。

　このことを示すため,他のαと共に１粒子ｐを含む任意の

　入射状態|αｐ;in＞を考えます。

　ｐがKlein－Gordon粒子の場合には

　＜β;out|ｐα;in＞＝＜β;out|ａ_in^⁺(ｐ)|α;in＞

　＝＜β－ｐ;out|ｐα;in＞

　－i∫ｄ³ｘｆ_p(ｘ)∂₀^⇔＜β;out|φ_in(ｘ)－φ_out(ｘ)|α;in＞

　でした。

　これによって,

 ＜ｐα;in|Ｕ^(－ｔ)|0＞

　＝＜α;in|ａ_in^(ｐ)|Ｕ^(－ｔ)|0＞

　＝－i∫ｄ³ｘ

　ｆ_p^*(ｘ,－ｔ')∂₀'^⇔＜α;in|φ_in(ｘ,－ｔ')Ｕ^(－ｔ)|0＞

　です。

　(※同様な形式はFermi粒子や光子に対しても少し違う形で

　得られます。) 

　φ(ｘ,ｔ)＝Ｕ^^-1(ｔ)φ_in(ｘ,ｔ)Ｕ^(ｔ)を代入すると

　＜ｐα;in|Ｕ^(－ｔ)|0＞

　＝－i∫ｄ³ｘ

　ｆ_p^*(ｘ,－ｔ')∂₀'^⇔＜α;in|Ｕ^(－ｔ')φ(ｘ,－ｔ')

　Ｕ^^-1(－ｔ')Ｕ^(－ｔ)|0＞　です。

　これはｔ＝ｔ'→∞ とするとき,漸近条件:

　lim _t→-∞＜α|φ^f(ｔ)|β＞＝√Ｚ＜α|φ_in^f|β＞に従って,

　次の値に近づきます。

　すなわち,

　√Ｚ＜α;in|Ｕ^(－ｔ)ａ_in^(ｐ)|0＞

　＋i∫ｄ³ｘｆ_p^*(ｘ,－ｔ)＜α;in|Ｕ^^d(－ｔ)φ(ｘ,－ｔ)

　＋Ｕ^(－ｔ)φ(ｘ,－ｔ)Ｕ^^-1d(－ｔ)Ｕ^(－ｔ)|0＞

　に近づきます。 

　そして,明らかに,ａ_in^(ｐ)|0＞＝0 です。

　また,Ｕ^^dφ＋Ｕ^φＵ^^-1dＵ^

　＝Ｕ^^dＵ^^-1φ_inＵ^＋φ_inＵ^Ｕ^^-1dＵ^

　＝[Ｕ^^dＵ^^-1,φ_in]Ｕ^＝－i[Ｈ_I',φ_in]Ｕ^＝0 です。

　何故なら,相互作用:Ｈ_I'(ｔ)=Ｈ_I'(φ_in,π_in)にはπ_in＝φ_i^d

　などの時間微分結合が含まれないと仮定しているので,

　[Ｈ_I',φ_in]＝0 です。 

　したがって,ｔ→∞ のとき,１粒子以上を含む全ての

　In-states |ｐα;in＞に対して

 ＜ｐα;in|Ｕ^(－ｔ)|0＞→ 0 が成立します。

　それ故,真空の一意性によりｔ→∞ では状態Ｕ^(－ｔ)|0＞

  は|0;in＞＝|0＞ の定数陪です。

　すなわち,ある定数λ_－が存在してｔ→∞で

Ｕ^(－ｔ)|0＞＝λ_－|0＞と書くことができます。

同様にしてｔ→∞でＵ^(ｔ)|0＞＝λ_＋|0＞も示すこと

ができます。

定数λ_－,およびλ_＋は,ｔ→∞ において,

λ_－λ_＋^*＝＜0|Ｕ^^-1(ｔ)|0＞＜0|Ｕ^(－ｔ)|0＞

＝＜0|Ｕ^(－ｔ)|0＞＜0|Ｕ^^-1(ｔ)|0＞＝＜0|Ｕ^(ｔ－ｔ)|0＞

＝＜0|Ｔ(exp{i∫_-t^tＨ_I'(τ)ｄτ})|0＞

＝Ｔ(exp{－i∫_-t^tＨ_I'(τ)ｄτ})|0＞^-1を満たします。

 そこで,

τ(ｘ₁,..,ｘ_n)

＝＜0|Ｕ^^-1(ｔ)Ｔ(Ｕ(ｔ,ｔ₁)φ_in(ｘ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)φ_in(ｘ₂)

Ｕ(ｔ₂,ｔ₃)..Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)φ_in(ｘ_n)Ｕ(ｔ_n,－ｔ))Ｕ^(－ｔ)|0＞

＝＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)

exp{－i∫_-t^tＨ_I'(τ)ｄτ})|0＞/Ｔ(exp{－i∫_-t^tＨ_I'(τ)ｄτ})|0＞

です。

さらにｔ→∞ に極限移行すると,

τ(ｘ₁,..,ｘ_n)＝＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)

exp{－i∫_-∞^∞Ｈ_I'(τ)ｄτ})|0＞

/＜0|Ｔ(exp{－i∫_-∞^∞Ｈ_I'(τ)ｄτ})|0＞ です。

すなわち,

τ(ｘ₁,..,ｘ_n)＝Σ_m=0^∞{(－i)^m/ｍ!}∫_-∞^∞∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_m

＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)Ｈ_I(φ_in(ｙ₁))

Ｈ_I(φ_in(ｙ₂).. Ｈ_I(φ_in(ｙ_m)))|0＞

/[Σ_m=0^∞{(－i)^m/ｍ!}∫_-∞^∞∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_m

＜0|Ｔ(Ｈ_I(φ_in(ｙ₁))Ｈ_I(φ_in(ｙ₂)..Ｈ_I(φ_in(ｙ_m)))|0＞

です。

　これが,摂動論の基本的な最終結果です。

§17.4 Wick's Theorem(Wickの定理)

　まず,摂動展開の最終結果は,

　τ(ｘ₁,..,ｘ_n)

　＝Σ_m=0^∞{(－i)^m/ｍ!}∫_-∞^∞∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_m

 ＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)Ｈ_I(φ_in(ｙ₁))

　Ｈ_I(φ_in(ｙ₂)..Ｈ_I(φ_in(ｙ_m)))|0＞

　/[Σ_m=0^∞{(－i)^m/ｍ!}∫_-∞^∞∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_m

 ＜0|Ｔ(Ｈ_I(φ_in(ｙ₁))Ｈ_I(φ_in(ｙ₂)..Ｈ_I(φ_in(ｙ_m)))|0＞

　です。

　さらに,これを評価するには,右辺各項の

　＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)Ｈ_I(φ_in(ｙ₁))

 Ｈ_I(φ_in(ｙ₂)..Ｈ_I(φ_in(ｙ_m)))|0＞

　を具体的に計算する必要があります。

　＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)

 Ｈ_I(φ_in(ｙ₁))Ｈ_I(φ_in(ｙ₂).. Ｈ_I(φ_in(ｙ_m)))|0＞

　に含まれるスカラー場の真空期待値項は

　＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)|0＞なる因子の

　積分を含みます。 

　これを具体的に積分できる形にするため,消滅演算子

　を１つ１つ右に生成演算子を左に移動させることを

　試みます。

　こうして,時間順序積を謂わゆる正規順序積

　(normal-ordering product)にする計画からFeynman振幅

　が得られます。

　これは,最初1949年にDysonによって展開され,後にWick

　によって拡張されました。Wickは次のような定理を証明

　しました。

　内容は次の通りです。

　Ｔ[φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n)]

　＝：φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n)：

　＋{＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)|0＞:φ_in(ｘ₃)..φ_in(ｘ_n):

　＋(全ての置換項))

　＋{＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)|0＞＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₃)φ_in(ｘ₄)|0＞

　:φ_in(ｘ₅)..φ_in(ｘ_n):＋(全ての置換項)))＋..

　＋{＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)|0＞＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₃)φ_in(ｘ₄)|0＞..

　＜0|Ｔ(φ_in(ｘ_n-1)φ_in(ｘ_n)|0＞＋(全ての置換項))

　(↑ ｎが偶数のとき),

　または,

　＋{＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)|0＞＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₃)φ_in(ｘ₄)|0＞..

　＜0|Ｔ(φ_in(ｘ_n-2)φ_in(ｘ_n-1)|0＞φ_in(ｘ_n)＋(全ての置換項))

　(↑ ｎが奇数のとき)

　です。

(※記号；；で表わしたものが正規順序積でありこれは場の演算子

を正振動数部分(消滅演算子)＋負振動数部分(生成演算子)に分けて

積を展開した後,生成が左に消滅が右にくるように交換して交換子

からの寄与は無視したものです。これの真空期待値はゼロです。※)

　真空期待値,または縮約(contractions)は場の演算子を

　正規順序(normal-order)に並べ換えるとその交換子から

　発生します。 

　そして,これらの"縮約＝場のＴ積の真空期待値"は

　自由場のFeynman伝播関数の場の理論的表現となって

　います。

　演算子の正規順序積:φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n):は,これの因子

　である各演算子をφ_in(ｘ)＝φ_in⁽⁺⁾(ｘ)＋φ_in^(-)(ｘ)と正振動数

　部分と負振動数部分に分解することから形成されることを思い

　起こします。

　ここで,φ_in⁽⁺⁾(ｘ)は消滅演算子のみ,φ_in^(-)(ｘ)は生成演算子

　のみから成っています。

　正規順序に到達するためには,あらゆる生成演算子があらゆる

　消滅演算子の左に位置するようにします。

　ただし,もしもFermi場を互換するときには順序の交換のたび

　に(－)符号が導入される必要があります。

　陽に書くと:φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n):

　＝Σ_A,Bδ_pΠ_i∈Aφ_in^(-)(ｘ_i)Π_j∈Bφ_in⁽⁺⁾(ｘ_j)　です。

　ここで和Σ_A,Bはｎ個の添字のあらゆる集合Ａ,Ｂ

　(※ Ａ∪Ｂ＝{1,2,..,ｎ},Ａ∩Ｂ＝φを満たす{1,2,..,ｎ}

　の直和分割 ※)　にわたって取られます。

 δ_pはFermi場の場合の置換の符号です。

そして,正規順序積の真空期待値は全てゼロです。

何故なら,φ_in⁽⁺⁾|0＞＝＜0|φ_in^(-)＝0 だからです。

　以上から,ｎが奇数なら＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n)|0＞＝0

であり,

ｎが偶数なら

＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n)|0＞

＝Σ_permδ_p＜0|Ｔ(φ_in(ｘ_p1)φ_in(ｘ_p2)|0＞

＜0|Ｔ(φ_in(ｘ_p3)φ_in(ｘ_p4)|0＞..＜0|Ｔ(φ_in(ｘ_p(n-1))φ_in(ｘ_pn)|0＞

です。(※ これは単に自由場の２点Green関数(伝播関数:propagator),

実スカラーΔ場なら_Ｆ(ｘ－ｙ)＝＜0|Ｔ(φ_in(ｘ)φ_in(ｙ)|0＞の積

ですね。※)

ただし,＜0|Ｔ(φ_in(ｘ_i)φ_in(ｘ_j)|0＞のφ_in(ｘ_i),φ_in(ｘ_j)

の場φ(ｘ)がFermion場の場合には,必ずｉ＜ｊとなるようにして添字

の若い順に並べるという規約に従います。

(Wickの定理の証明):スカラー場を仮定して帰納法で

証明します。

　ｎ＝1に対しては定理は明らかに正しいです。

　また,ｎ＝2に対しては

　Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂))＝:φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂):＋(ｃ数)

　です。

　何故なら,時間順序から正規順序に変えるのは単にいくつかの

　生成演算子と消滅演算子の交換を意味するに過ぎず,交換後に

　残る交換子は.

　[φ_in⁽⁺⁾(ｘ₁),φ_in^(-)(ｘ₂)]

　＝＜0|[φ_in⁽⁺⁾(ｘ₁),φ_in^(-)(ｘ₂)]|0＞

　＝＜0|φ_in⁽⁺⁾(ｘ₁),φ_in^(-)(ｘ₂)|0＞

　であって,これはｃ数だからです。

　このｃ数を求めるために,

　Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂))＝:φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂):＋(ｃ数)

　の両辺の真空期待値を取れば,

　(ｃ数)＝＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂))|0＞より

　Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂))＝:φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂):

　＋＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂))|0＞　を得ます。

　そして,一般のｎについても定理が正しいと仮定します。

　このとき,Ｔ(φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n+1))においてｔ_n+1を最小時刻

　に選ぶと,

　Ｔ(φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n+1))

　＝Ｔ(φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n))φ_in(ｘ_n+1))

　＝:φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n):φ_in(ｘ_n+1)

　＋Σ_perm＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂))|0＞

　:φ_in(ｘ₃)..φ_in(ｘ_n):φ_in(ｘ_n+1)＋..　

　です。　

　ところで,:φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n):

　＝Σ_A,BΠ_i∈Aφ_in^(-)(ｘ_i)Π_j∈Bφ_in⁽⁺⁾(ｘ_j)　です。 

　故に,:φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n):φ_in(ｘ_n+1)

　＝Σ_A,BΠ_i∈Aφ_in^(-)(ｘ_i)Π_j∈Bφ_in⁽⁺⁾(ｘ_j)

　{φ_in⁽⁺⁾(ｘ_n+1)　＋φ_in^(-)(ｘ_n+1)} 

　＝Σ_A,BΠ_i∈Aφ_in^(-)(ｘ_i)Π_j∈Bφ_in⁽⁺⁾(ｘ_j)φ_in⁽⁺⁾(ｘ_n+1)

　＋Σ_A,BΠ_i∈Aφ_in^(-)(ｘ_i)φ_in^(-)(ｘ_n+1)Π_j∈Bφ_in⁽⁺⁾(ｘ_j)

　＋Σ_A,BΠ_i∈Aφ_in^(-)(ｘ_i)Σ_k∈BΠ_i∈B,j≠kφ_in⁽⁺⁾(ｘ_j)

　＜0|φ_in⁽⁺⁾(ｘ_k)φ_in^(-)(ｘ_n+1)|0＞　です。 

　ここで,＜0|φ_in⁽⁺⁾(ｘ_k)φ_in^(-)(ｘ_n+1)｜0＞

　＝＜0|φ_in(ｘ_k)φ_in(ｘ_n+1)｜0＞

　＝＜0|Ｔ(φ_in(ｘ_k)φ_in(ｘ_n+1))|0＞　です。

　よって,:φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n):φ_in(ｘ_n+1)

　＝:φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n)φ_in(ｘ_n+1):

　＋Σ_k:φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_k-1)φ_in(ｘ_k+1)..φ_in(ｘ_n):

　＜0|Ｔ(φ_in(ｘ_k)φ_in(ｘ_n+1))|0＞　となります。

　これは定理の結論のｎ →(ｎ＋1)の形です。

　したがって,帰納法により定理は証明されました。(証明終わり)

　Wickの定理を,τ(ｘ₁,..,ｘ_n)

＝＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)

exp{－i∫_-∞^∞Ｈ_I'(τ)ｄτ})|0＞

/＜0|Ｔ(exp{－i∫_-∞^∞Ｈ_I'(τ)ｄτ})|0＞

＝Σ_m=0^∞{(－i)^m/ｍ!}∫_-∞^∞∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_m

 ＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)

Ｈ_I(φ_in(ｙ₁))Ｈ_I(φ_in(ｙ₂).. Ｈ_I(φ_in(ｙ_m)))|0＞

/[Σ_m=0^∞{(－i)^m/ｍ!}∫_-∞^∞∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_m

 ＜0|Ｔ(Ｈ_I(φ_in(ｙ₁))Ｈ_I(φ_in(ｙ₂)..Ｈ_I(φ_in(ｙ_m)))|0＞

に適用します。

　このとき,相互作用Hamiltonian項:Ｈ_I(φ_in(ｙ))は通常は既に正規順序

にされていることに注目します。 

　そこで,時間順序積を計算する際に同一の相互作用項Ｈ_I(φ_in(ｙ))

から生じた同一の座標ｙの２つの場の演算子を含む縮約項は

出現しません。

　これらは,τ(ｘ₁,..,ｘ_n)の右辺において正規順序から出発しており,

また明らかにＴ:φ_in(ｙ)φ_in(ｙ):＝:φ_in(ｙ)φ_in(ｙ):です。

(※これは謂わゆるTad-poleですね。)

　今日はここまでにします。

参考文献:J.D.Bjorken,S.D.Drell "Relativistic Quantum Field" (McGraw-Hill)

PS:ちょっと下品かも知れないけど,便秘でもなんでも,人間穴からモノを

出すと気持ちいいものですね。 

PS2:今日７月７日は西宮にいる愛する姪(ミクシィ名いくよくるよ）の37

　回目の誕生日です。(まだ永久就職しないのか？) 

　昨夜,手話講習後に椎名町から帰る途中,携帯メールで37歳おめでとう

　とやったら。。。。フライングだという返事がきました。。 

　ウーン女性の歳１つの差は大きいかも。。 

　先ほどスペインが１対0でドイツに勝ったので,サッカーWカップ決勝

　はオランダ対スペインに決まりました。。

　昨日のウルグァイについては,私は既にガーナに負けていたと思う

　ので順当だと思いました。

　いくら勝つために手段選ばない。。何でも反則アリといっても意図的

　に手で止めるなんて。。と思ってましたから。。

　思わず手が出たぁ　？ 

　キャッチャーのブロックならいいけどそれ以外のサードか誰かが

　走路妨害？野球ならＰＫ抜きで得点が認められるし,バスケットなら

　バスケットカウント,日本のラグビーじゃ認定トライ。。

　ま,ルールといえばルールですが。。

　勝つための手段として例えば昔の高校野球の松井の全打席敬遠

　くらいなら反則でもないし別に何も文句はないけれど。。

　しかし,話は変わって大相撲のことですが,相撲の八百長でもやった

　のならいざ知らず,たかが法律で禁止されてるギャンブルに手を出した

　くらいで”死刑”は量刑不当だろう？。。

　競馬,競輪,競艇,toto,パチンコetc.なら何の罪にもならないのに。。

　麻雀,花札,トランプ,高校野球の小額程度なら私も含めて現在は取り

　締まる側の関係者でも,ほとんどが学生時代にでも経験あるはずです。。

　暴力団についてはむしろ被害者だろうし。。またまた腐った上役たち

　のスケープ・ゴートかよ。。

場理論におけるＳ行列とLSZの公式(4)

　場理論におけるＳ行列とLSZの公式の続きです。

今日はLSZの還元公式(Reduction formula)について記述します。

§16.7 The Reduction Formula for Scalar Fields(スカラー場に対する還元公式)

　前節では散乱演算子Ｓ^に明確な定義が与えられ,その一般的性質が解明されました。その結果として,Ｓ行列要素に対する興味がさらに刺激されます。

Ｓ行列要素の絶対値の２乗:|Ｓ_βα|²は始状態(In-state)αから終状態(Out-state)βへの実験的に観測される遷移確率を与えます。

そこで,これ以後はＳ行列要素を実際に計算するという非常に厄介な課題に向かうことにします。

　1954年まではＳ行列の計算への唯一の系統的アプローチは相互作用カレントｊ~(ｘ)のベキによる摂動展開の理論だけでした。

　そのときから後の進歩としては,最初Low,そしてLehmann,Symanzik,およびZimmmermann(LSZ)によって始められた理論展開に由来するものがあります。

彼らは"弱い結合項＝摂動"による展開に訴えることなく,Ｓ^に含まれる情報の幾つかを表面化する方法を示しました。

　これは,物理的に興味あるＳ行列要素を場の演算子の真空期待値によって表現する方法で漸近条件lim_t→-∞＜α|φ^f(ｔ)|β＞＝√Ｚ＜α|φ_in^f|β＞やlim_t→+∞＜α|φ^f(ｔ)|β＞＝√Ｚ＜α|φ_out^f|β＞を適用することで成し遂げられました。

　既に,場の交換子[φ(ｘ),φ(ｙ)]に対して,有用な式Δ'(ｘ－ｙ)＝ＺΔ(ｘ－ｙ;ｍ²)＋∫_mt2^∞ｄσ²ρ(σ²)Δ(ｘ－ｙ;σ²)を導出する際に,真空期待値:iΔ'(ｘ－ｙ)＝＜0|[φ(ｘ),φ(ｙ)]|0＞を扱うことが有利であるという例を見ました。

　そこでは,理論のLorentz不変性や他の一般的性質に訴えることによって式Δ'(ｘ－ｙ)の簡略な一般形を導きました。

　以下ではLSZの方法に従って,Ｓ_βα＝＜β;out|α;in＞の形の行列要素より幾らかは扱いやすい場の演算子の積の真空期待値を見出すことから出発します。

　別の意味では,場の演算子φ(ｘ)を直接摂動級数で展開する方法で自由なin-field漸近場の演算子の積の真空期待値を用いてＳ行列要素の展開を作り上げていくことも可能です。

　こうした表現の計算規則は既に発見されていて,それは伝播関数アプローチ(propagator-approach)でのFeynmanルールに等しいものです。

　すなわち,Δ'(ｘ－ｙ)を研究する上で訴えられたような不変性の論旨はHeisenberg演算子:φを一意的で不変な真空状態に挟まれた行列要素を研究する場合に最も定式化が容易でうまく使用できるわけです。

　以下では,これら不変性(対称性)の助けを借りてＳ行列要素Ｓ_βα＝＜β;out|α;in＞における物理状態α,βから情報を引き出し,それを真空状態で挟まれた場の演算子の積に表わすLSZの一般的な"Reduction  Teqchnique(還元記述)"を段階的に展開していきます。

　まず,Ｓ行列要素:Ｓ_βαp＝＜β;out|αｐ;in＞を考えます。

βは終状態|β;out＞において散乱されて出現する粒子を記述しており,|αｐ;in＞は入射粒子の集合αに加えてさらに運動量ｐを持った入射粒子が存在する状態を表わす始状態(In-state)です。

　漸近条件を用いてIn-state:|αｐ;in＞から粒子ｐを差し引く代わり適当な場の演算子を導入します。

そして,ａ_in^(ｐ)＝i∫ｄ³ｘｆ_p^*(ｘ)∂₀^⇔φ_in(ｘ),ａ_out^(ｐ)＝i∫ｄ³ｘｆ_p^*(ｘ)∂₀^⇔φ_out(ｘ)なる表式を用います。

すなわち,＜β;out|αｐ;in＞＝＜β;out|ａ_in^⁺(ｐ)|α;in＞＝＜β;out|ａ_out^⁺(ｐ)|α;in＞＋＜β;out|ａ_in^⁺(ｐ)－ａ_out^⁺(ｐ)|α;in＞＝＜β－ｐ;out|α;in＞－i＜β;out|∫ｄ³ｘｆ_p(ｘ)∂₀^⇔[φ_in(ｘ)－φ_out(ｘ)]|α;in＞です。

　|β－ｐ;out＞は,もしも集合βの中にｐが存在するなら,集合βからｐを除いたOut-stateを表わします。しかし,βの中にｐが存在しないならこの項はゼロであって無くなります。

　また,|αｐ;in＞が初期に２粒子がある場合の散乱の始状態なら＜β－ｐ;out|α;in＞は入射粒子と標的粒子が運動量を含め,それらの量子数を保存する前方弾性散乱にのみ寄与します。

　つまり,＜β－ｐ;out|α;in＞＝δ_α(β-p)です。

※(注):|α;in＞が１粒子の場合,＜β－ｐ;out|Ｐ^²|α;in＞＝α²＜β－ｐ;out|α;in＞＝(β－ｐ)²＜β－ｐ;out|α;in＞より＜β－ｐ;out|α;in＞≠0 なら(β－ｐ)²＝α²＝ｍ²ですから,|β－ｐ;out＞も１粒子Out-stateです。

そして,＜β－ｐ;out|Ｐ^^μ|α;in＞＝α^μ＜β－ｐ;out|α;in＞＝(β－ｐ)^μ＜β－ｐ;out|α;in＞ですから,＜β－ｐ;out|α;in＞≠0 は(β－ｐ)^μ＝α^μ,つまりβ^μ＝α^μ＋ｐ^μなる弾性散乱を意味し,しかも方向を変えず素通りする前方散乱のみの振幅です。(注終わり)※

さて,＜β;out|αｐ;in＞＝＜β－ｐ;out|α;in＞－i＜β;out|∫ｄ³ｘｆ_p(ｘ)∂₀^⇔[φ_in(ｘ)－φ_out(ｘ)]|α;in＞の右辺の項:－i∫ｄ³ｘ＜β;out|ｆ_p(ｘ)∂₀^⇔[φ_in(ｘ)－φ_out(ｘ)]|α;in＞はGreenの定理から,時間ｔに依存しません。

これは,前にもGreenの定理から√Ｚ＜α|φ_in^f|β＞においてφ_in^f(ｔ)≡i∫ｄ³ｘｆ^*(ｘ,ｔ)∂₀^⇔φ_in(ｘ,ｔ)が時間ｔに依存しないのでφ_in^fと表現できることを示したのと同様です。

そして,漸近条件lim_t→-∞＜α|φ^f(ｔ)|β＞＝√Ｚ＜α|φ_in^f|β＞,およびlim_t→+∞＜α|φ^f(ｔ)|β＞＝√Ｚ＜α|φ_out^f|β＞から,ｘ⁰→－∞ の極限ではφ_in(ｘ,ｘ⁰)を(1/√Ｚ)φ(ｘ,ｘ⁰)で,ｘ⁰→＋∞ の極限ではφ_out(ｘ,ｘ⁰)を(1/√Ｚ)φ(ｘ,ｘ⁰)で置き換えることが許されます。

それ故,結局＜β;out|αｐ;in＞＝＜β－ｐ;out|α;in＞＋(i/√Ｚ)(lim _x0→+∞－lim _x0→-∞)＜β;out|∫ｄ³ｘｆ_p(ｘ)∂₀^⇔φ(ｘ,ｘ⁰)|α;in＞と書けます。

　これが"Reduction(還元)"の手続きの第一歩です。

これから,より便利な形を得るため,恒等式:(lim _x0→+∞－lim _x0→-∞)∫ｄ³ｘｇ₁(ｘ)∂₀^⇔ｇ₂(ｘ)＝∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ[∂₀{ｇ₁(ｘ)∂₀^⇔ｇ₂(ｘ)}]＝∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ[ｇ₁(ｘ)∂₀²ｇ₂(ｘ)－{∂₀²ｇ₁(ｘ)}ｇ₂(ｘ)]を用います。

また,(□＋ｍ²)ｆ_p(ｘ)＝0 により,得られた式に∂₀²ｆ_p(ｘ)＝(∇²－ｍ²)ｆ_p(ｘ)を代入します。

(i/√Ｚ)(lim _x0→+∞－lim _x0→-∞)∫ｄ³ｘ＜β;out|ｆ_p(ｘ)∂₀^⇔φ(ｘ,ｘ⁰)|α;in＞＝(i/√Ｚ) ∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ＜β;out|ｆ_p(ｘ)∂₀²φ(ｘ)－{∂₀²ｆ_p(ｘ)}φ(ｘ)|α;in＞＝(i/√Ｚ)∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ＜β;out|ｆ_p(ｘ)(∂₀²＋ｍ²)φ(ｘ)－(∇²ｆ_p(ｘ))φ(ｘ)]|α;in＞＝(i/√Ｚ)∫_-∞^∞ｄ⁴ｘｆ_p(ｘ)(□＋ｍ²)＜β;out|φ(ｘ)|α;in＞です。

最後の変形では部分積分に対するGreenの公式を用いました。

最終式として＜β;out|αｐ;in＞＝＜β－ｐ;out|α;in＞＋(i/√Ｚ)∫_-∞^∞ｄ⁴ｘｆ_p(ｘ)(□＋ｍ²)＜β;out|φ(ｘ)|α;in＞を得ました。

　この手続きは,始状態と終状態から全ての粒子を取り除き,場の演算子積の真空期待値のみが残るようになるまで繰り返すことができます。

例えば,＜β;out|αｐ;in＞＝＜β－ｐ;out|α;in＞＋(i/√Ｚ)∫_-∞^∞ｄ⁴ｘｆ_p(ｘ)(□＋ｍ²)＜β;out|φ(ｘ)|α;in＞の右辺の因子:＜β;out|φ(ｘ)|α;in＞の集合βがβ＝γｐ'のときこれから,さらに粒子ｐ'を取り除きます。

＜β;out|φ(ｘ)|α;in＞＝＜γ;out|ａ_out^(ｐ')φ(ｘ)|α;in＞＝＜γ;out|φ(ｘ)ａ_in^(ｐ')|α;in＞＋＜γ;out|ａ_out^(ｐ')φ(ｘ)－φ(ｘ)ａ_in^(ｐ')|α;in＞＝＜γ;out|φ(ｘ)|α－ｐ';in＞＋＜γ;out|ａ_out^(ｐ')φ(ｘ)－φ(ｘ)ａ_in^(ｐ')|α;in＞です。

故に,＜β;out|φ(ｘ)|α;in＞＝＜γ;out|φ(ｘ)|α－ｐ';in＞－i∫ｄ³ｙ＜γ;out|φ_out(ｙ)φ(ｘ)－φ(ｘ)φ_in(ｙ)|α;in＞∂^y₀^⇔ｆ_p'^*(ｙ)を得ます。

漸近条件によって再びｙ⁰→－∞ の極限ではφ_in(ｙ)を(1/√Ｚ)φ(ｙ)で,ｙ⁰→＋∞ の極限ではφ_out(ｙ)を(1/√Ｚ)φ(ｙ)で置き換えることが許されます。

このとき,項－i∫ｄ³ｙ＜γ;out|φ_out(ｙ)φ(ｘ)－φ(ｘ)φ_in(ｙ)|α;in＞∂^y₀^⇔ｆ_p'^*(ｙ)を時間順序積(Ｔ積;T-product)で表現することができます。

まず,＜γ;out|φ_out(ｙ)φ(ｘ)－φ(ｘ)φ_in(ｙ)|α;in＞＝(1/√Ｚ){lim _y0→+∞＜γ;out|φ(ｙ)φ(ｘ)|α;in＞－lim _y0→-∞＜γ;out|φ(ｘ)φ(ｙ)|α;in＞}です。

これは,＜γ;out|φ_out(ｙ)φ(ｘ)－φ(ｘ)φ_in(ｙ)|α;in＞＝(1/√Ｚ){lim _y0→+∞＜γ;out|θ(ｙ⁰－ｘ⁰)φ(ｙ)φ(ｘ)＋θ(ｘ⁰－ｙ⁰)φ(ｘ)φ(ｙ)|α;in＞－lim _y0→-∞＜γ;out|θ(ｘ⁰－ｙ⁰)φ(ｘ)φ(ｙ)＋θ(ｙ⁰－ｘ⁰)φ(ｙ)φ(ｘ)|α;in＞}＝(1/√Ｚ)(lim _y0→+∞－lim _y0→-∞)＜γ;out|Ｔ(φ(ｙ)φ(ｘ))|α;in＞とも書けます。

最後に,恒等式(lim _x0→+∞－lim _x0→-∞)∫ｄ³ｘｇ₁(ｘ)∂₀^⇔ｇ₂(ｘ)＝∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ[ｇ₁(ｘ)∂₀²ｇ₂(ｘ)－{∂₀²ｇ₁(ｘ)}ｇ₂(ｘ)],および自由平面波の方程式(□_y＋ｍ²)ｆ_p'^*(ｙ)＝0 の助けを借ります。,

結局,＜γｐ';out|φ(ｘ)|α;in＞＝＜γ;out|φ(ｘ)|α－ｐ';in＞＋(i/√Ｚ)∫ｄ⁴ｙ＜γ;out|Ｔ(φ(ｙ)φ(ｘ))|α;in＞^←(□_y＋ｍ²)ｆ_p'^*(ｙ)なる式を得ます。

ただし,記号ｇ(ｙ)^←(□_y＋ｍ²)は,演算子(□_y＋ｍ²)が前の関数ｇ(ｙ)に作用すること,つまり(□_y＋ｍ²)ｇ(ｙ)を意味します。

単純に後者のように書けば問題ないのですが,Out状態からの粒子除去をIn状態からのそれと区別してｆ_p'^*(ｙ)を後ろに置く表現を際立たせるためにこう表現します。

このReduction(還元)テクニックを繰り返し適用して,行列要素の両側の状態から全ての粒子を除き,場の演算子のＴ積の真空期待値に到達する道は今や明らかです。

すなわち,全ての運動量対についてｐ_i≠ｑ_jの場合には,＜ｐ₁,..,ｐ_n:out|ｑ₁,..,ｑ_m:in＞＝(i/√Ｚ)^m+nΠ_i=1^m∫ｄ⁴ｘ_iΠ_j=1ⁿ∫ｄ⁴ｙ_jｆ_qi(ｘ_i)(□_xi＋ｍ²)^→＜0|Ｔ(φ(ｙ₁)..φ(ｙ_n)φ(ｘ₁)..φ(ｘ_m))|0＞^←(□_yj＋ｍ²)ｆ_pj^*(ｙ_j)となります。

これを書くに当たって簡単のために全ての{ｐ_i},{ｑ_j}についてｐ_i≠ｑ_jを仮定して前方散乱の項を落としました。

しかし,これには何の問題もありません。

というのは,これら落とした項もまた同じ還元テクニックをうまく適用すれば,同様な場の演算子のＴ積の真空期待値に帰着させることが可能だからです。

最終式:＜ｐ₁,..,ｐ_n:out|ｑ₁,..,ｑ_m:in＞＝(i/√Ｚ)^m+nΠ_i=1^m∫ｄ⁴ｘ_iΠ_j=1ⁿ∫ｄ⁴ｙ_jｆ_qi(ｘ_i)(□_xi＋ｍ²)^→＜0|Ｔ(φ(ｙ₁)..φ(ｙ_n)φ(ｘ₁)..φ(ｘ_m))|0＞^←(□_yj＋ｍ²)ｆ_pj^*(ｙ_j)は場の量子論の散乱振幅の全ての計算の基礎となる役割を果たします。

　　　　　　　　

上図16-2は,(ｚ₁,..,ｚ_r)でｒ個の粒子が消滅,または生成するあらゆるFeynman-diagramを表現していることに着目します。

この図は＜0|Ｔ(φ(ｚ₁)..φ(ｚ_r))|0＞を表現していますが,これはｒ粒子に拡張された完全なGreen関数と見なすことができます。

ReductionFormula:＜ｐ₁,..,ｐ_n:out|ｑ₁,..,ｑ_m:in＞＝(i/√Ｚ)^m+nΠ_i=1^m∫ｄ⁴ｘ_iΠ_j=1ⁿ∫ｄ⁴ｙ_jｆ_qi(ｘ_i)(□_xi＋ｍ²)^→＜0|Ｔ(φ(ｙ₁)..φ(ｙ_n)φ(ｘ₁)..φ(ｘ_m))|0＞^←(□_yj＋ｍ²)ｆ_pj^*(ｙ_j)における因子(□_i＋ｍ²)の役割を考えます。

この演算は,伝播関数 i/(ｐ_i²－ｍ²＋iε)に(□_i＋ｍ²)～ (ｍ²－ｐ_i²)を掛けることで互いに相殺させて,Feynman-diagramの相互作用Black-Box部分へと入っていく外線の足から伝播関数を除去します。

そして,伝播関数の代わりに外線因子として自由平面波ｆ_pi(ｘ_i)またはｆ_pj^*(ｙ_j)を付与するわけです。

Reduction Formula(還元公式)から,Ｓ行列要素は完全なｒ粒子Green関数＜0|Ｔ(φ(ｚ₁)..φ(ｚ_r))|0＞から外線の足を取り除かれ,質量殻ｐ_i²＝ｑ_j²＝ｍ²に置かれた外線運動量を持ったｒ＝ｎ＋ｍ個の粒子のGreen関数であることがわかります。

もしも,ｒ粒子Green関数:＜0|Ｔ(φ(ｚ₁)..φ(ｚ_r))|0＞のFeynman-diagram に(□_i＋ｍ²)～(ｍ²－ｐ_i²);(ｐ_i²＝ｍ²)を作用させたとき,

相殺すべき相手の i/(ｐ_i²－ｍ²＋iε)の因子が存在せず,ｐ²≠ｍ²の質量殻外の内線仮想粒子の伝播関数因子 i/(ｐ²－ｍ²＋iε)が存在するだけなら,ｍ²－ｐ_i²＝0 が掛かる結果,このdiagramのＳ行列への寄与はゼロとなって消えます。

途中ですが今日はここまでにします。

参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields" (McGraw-Hill)

場理論におけるＳ行列とLSZの公式(3)

　場理論におけるＳ行列とLSZの公式の続きです。

　今日はＳ行列の定義と性質について記述します。

§16.6 The Definition and General Properties of the S-Matrix

(Ｓ行列(散乱行列)の定義と一般的性質)

　この時点で漸近場φ_in(ｘ)とφ_out(ｘ)の全ての必要な性質が既知

となり,実験的興味のある"遷移振幅＝Ｓ行列要素"を定義して探求

するための道具は全て揃いました。

　まず,量子数:Ｐ₁,Ｐ₂,..,Ｐ_nを持つ互いに相互作用してない

(空間的(space-like)に離れた)ｎ個の物理的粒子系が存在する

始状態から出発します。

　この状態を|α;in＞≡|Ｐ₁,Ｐ₂,..,Ｐ_n;in＞と記述します。

　ただし,ラベルＰ_j(ｊ＝1,2,..,ｎ)は粒子ｊの４元運動量

に加えて粒子jを特徴付ける電荷とか奇妙さ(strangeness)

のような全ての内部量子数を表わしています。

　φ_in(ｘ)の定義：

√Ｚφ_in(ｘ)＝φ(ｘ)－∫ｄ⁴ｙΔ_ret(ｘ－ｙ;ｍ)ｊ~(ｙ)

によれば,φ_in(ｘ)は内部対称性変換の下でφ(ｘ)と同一の

変換性を持つのでこうした記述が可能なのです。

　すなわち,

より一般的にφ(ｘ)が内部空間のｍ次元ベクトルであって,

φ(ｘ)＝(φ₁(ｘ),..,φ_m(ｘ))^Tと表わせる場合,

もしも.[Ｑ^,φ_r(ｘ)]＝－λ_rsφ_s(ｘ)なる変換性を持つなら

[Ｑ^,ｊ~_r(ｘ)]＝(□＋ｍ²)[Ｑ^,φ_r(ｘ)]＝－λ_rsｊ~_s(ｘ)

なので[Ｑ^,φⁱⁿ_r(ｘ)]＝－λ_rsφⁱⁿ_s(ｘ)が成立します。

※(注1):φ(ｘ)＝(φ₁(ｘ),..,φ_m(ｘ))^Tの

φ_r(ｘ)→φ'_r(ｘ)＝φ_r(ｘ)－iελ_rsφ_s(ｘ)(εは無限小)なる変換

に対する理論の不変性は量子力学では次のことを意味します。

　これは,Φ_α,Φ_βを任意の状態とするとき,変換に伴なう状態

のユニタリ変換(unitary transformation):

|Φ_α＞→|Φ_α'＞＝Ｕ(ε)|Φ_α＞,|Φ_β＞→|Φ_β'＞＝Ｕ(ε)|Φ_β＞

に対して,＜Φ_α|φ_r(ｘ)|Φ_β＞＝＜Φ_α'|φ'_r(ｘ)|Φ_β'＞

＝＜Φ_αＵ^(ε)^-1|{φ_r(ｘ)－iελ_rsφ_s(ｘ)}|Ｕ^(ε)Φ_β＞

が成立することを意味します。

すなわち,Ｕ^(ε)φ_r(ｘ)Ｕ^(ε)^-1＝φ_r(ｘ)－iελ_rsφ_s(ｘ)

が成立します。

εが無限小なので,あるHermite演算子Ｑ^が存在して

ユニタリ変換Ｕ^(ε)はＵ^(ε)≡exp(iεＱ^)＝1＋iεＱ^

と表わせます。

すると,Ｕ^(ε)φ_r(ｘ)Ｕ^(ε)^-1＝φ_r(ｘ)－iελ_rsφ_s(ｘ)

は,φ_r(ｘ)＋iε[Ｑ^,φ_r(ｘ)]＝φ_r(ｘ)－iελ_rsφ_s(ｘ)

と同等です。　よって,[Ｑ^,φ_r(ｘ)]＝－λ_rsφ_s(ｘ)　です。

このときのHermite演算子Ｑ^をこの対称性変換の生成子(generator)

といいます。

Ｑ^は実数演算子なので何かの物理量に同定されます。

(※例えば平行移動:ｘ^μ→ｘ'^μ＝ｘ^μ－ε^μの生成子:Ｐ^_μは,

φ'(ｘ')＝φ(ｘ)によりφ'(ｘ)＝φ(ｘ＋ε)

＝φ(ｘ)＋ε^μ(∂φ(ｘ)/∂ｘ^μ)＝φ(ｘ)＋iε^μ[Ｐ^_μ,φ(ｘ)]

を満たします。

　すなわち,[Ｐ^_μ,φ(ｘ)]＝－i(∂φ(ｘ)/∂ｘ^μ)

が成立します。この生成子:Ｐ^_μは運動量と同定できます。)

もしも,入射漸近場(In-field):

φⁱⁿ(ｘ)＝(φⁱⁿ₁(ｘ),..,φⁱⁿ_m(ｘ))^T に対しても,

[Ｑ^,φⁱⁿ_r(ｘ)]＝－λ_rsφⁱⁿ_s(ｘ)が成立するなら,

Ｕ^(ε)φⁱⁿ_r(ｘ)Ｕ(ε)^-1＝φⁱⁿ_r(ｘ)＋iε[Ｑ^,φⁱⁿ_r(ｘ)]

＝φⁱⁿ_r(ｘ)－λ_rsφⁱⁿ_s(ｘ)　です。

そこで,　＜Φ_α|φⁱⁿ_r(ｘ)|Φ_β＞

＝＜Φ_αＵ(ε)^-1|Ｕ(ε)φⁱⁿ_r(ｘ)Ｕ(ε)^-1|Ｕ(ε)Φ_β＞

＝＜Φ_αＵ(ε)^-1|{φⁱⁿ_r(ｘ)－λ_rsφⁱⁿ_s(ｘ)}|Ｕ(ε)Φ_β＞

＝＜Φ_α'|{φⁱⁿ_r(ｘ)－λ_rsφⁱⁿ_s(ｘ)}|Φ_β'＞　です。

よって,φ(ｘ)と同じく漸近自由場φⁱⁿ(ｘ)でも

φⁱⁿ_r(ｘ)→φⁱⁿ'_r(ｘ)＝φⁱⁿ_r(ｘ)－iελ_rsφⁱⁿ_s(ｘ)(εは無限小)

なる変換に対する理論の不変性が維持されます。(注1終わり)※ 

※(注2):例えば,φ(ｘ)がπ中間子の場なら,φ(ｘ)は荷電空間

(Isotopic -space)のIsotopic-spin(アイソスピン)Ｉ^の大きさ

Ｉ＝1の３次元表現であるvector(ベクトル)と考えることができ

て,φ(ｘ)＝(φ¹(ｘ),φ²(ｘ),φ³(ｘ))^Tと書けます。

　そして,φ⁰(ｘ)＝φ³(ｘ),φ^＋(ｘ)＝(1/√2){φ¹(ｘ)－iφ²(ｘ)},

φ^－(ｘ)＝(1/√2){φ¹(ｘ)＋iφ²(ｘ)}が,それぞれ,π⁰,π^＋,π^－

中間子の場を示します。

そこで,これらが生成する１粒子状態を,

|πⁱ＞＝φⁱ⁺(ｘ)|0＞とすると,

|π⁰＞＝|π³＞＝(0,0,1)^T,

|π^＋＞＝(1/√2){|π¹＞＋i|π²＞}＝(1/√2)(1,i,0)^T,

|π^－＞＝(1/√2){|π¹＞－i|π²＞}＝(1/√2)(1,－i,0)^T

です。

次に,Istopic-space(荷電空間＝アイソ空間)の回転対称性

を考えます。

この内部空間(internal space)を荷電空間と呼ぶ理由は,

電荷がＱ^＝Ｂ^/2＋Ｉ³^なる式で与えられるからです。

ただし,Ｂ^はbaryon-number(バリオン数＝重粒子数)で

π中間子はその固有値がＢ＝0 の固有状態です。

一方,核子はＢ^のＢ＝1の固有状態です。

そのIsospinはＩ＝1/2であり,陽子,中性子はそれぞれ,

Ｉ³＝1/2,－1/2の固有状態です。

さて,|π⁰＞＝(0,0,1)^T,|π^±＞＝(1/√2)(1,±i,0)^TはIso-vector

演算子：Ｉ^＝(Ｉ¹^,Ｉ²^,Ｉ³^)のＩ＝1,Ｉ³＝0,±1の固有状態です。

このときのＩ^＝(Ｉ¹^,Ｉ²^,Ｉ³^)の行列表現(representation)

はＬ＝１の角運動量Ｌ＝(Ｌ¹,Ｌ²,Ｌ³);(Ｌⁱ)_jk=－iε_ijkの

３次元回転行列:Ｌⁱと同じです。

すなわち,荷電空間対称性は線型Lie群の一種である回転群SO(3)

or 特殊ユニタリ群SU(2)に属する変換の下での不変性で,回転

不変性に基づくNoether保存量:Ｉ^がこの群の生成子(Lie代数)

です。

(※余談ですが,このSU(2)はup,downの２自由度だけを特別扱い

したものですが,strangenessをも加えたSU(3)の部分群です。

その他にも,charm,bottom,topという合計３世代６個のflavor

自由度があります。

さらに,独立なcolorSU(3)との直積対称性もあります。※)

上記の|π⁰＞,|π^±＞の３次元縦行列表現に対しては

Ｌ³|π⁰＞＝0,Ｌ³|π^±＞＝±|π^±＞(複号同順)です。

これは,もちろん|π¹＞＝(1,0,0)^T,|π²＞＝(0,1,0)^T,

|π³＞＝(0,0,1)^Tを基底(basis)とした表現です。

これらは演算子で書けば,Ｉⁱ^|π^j＞＝Ｉⁱ^φ^j+(ｘ)|0＞

＝(Ｌⁱ)_jkφ^k+(ｘ)|0＞です。

これは中間子場：φ(ｘ)の内部空間不変性,つまり荷電空間

における回転対称性;[Ｉ^ⁱ,φ^j(ｘ)]＝－(Ｌⁱ)_jkφ^k(ｘ),

or [Ｉ^ⁱ,φ^j+(ｘ)]＝(Ｌⁱ)_jkφ^k+(ｘ)の反映です。(注2終わり)※

　始状態:|α;in＞≡|Ｐ₁,Ｐ₂,..,Ｐ_n;in＞から

終状態|β;out＞≡|Ｐ₁',Ｐ₂',..,Ｐ_m';out＞に遷移するＳ行列

のβα要素をＳ_βα≡＜β;out|α;in＞で定義します。

　この定義を非相対論的理論でも与えた直感的な伝播関数の理論(propagator theory)におけるＳ行列の定義と比較してみます。

2010年５/18の記事「散乱の伝播関数の理論(5)」では,始状態と

終状態のpair:(ｆ,ｉ)に対する遷移振幅,またはＳ行列要素

(S-matrix element)は,

Ｓ_fi≡lim_t→∞∫φ_f^*(ｒ,ｔ)Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ

＝lim_t→∞＜φ_f(ｒ,ｔ),Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)＞

で定義されています。

ただしΨ_i⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)はｔ→－∞ で運動量(波数)ｋ_iの入射平面波

になるという境界条件を持ったSchrödinger方程式の正確な散乱解

です。

　つまりＳ_fiはΨ_i⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)の与えられた終状態:φ_f(ｒ,ｔ)への

ｔ→＋∞ における射影振幅に等しいものです。

　このＳ_fiをＳ_βα≡＜β;out|α;in＞に似た形に書き直すため,

ｔ→＋∞ で量子数ｆ(運動量ｋ_f)の自由平面波φ_f(ｒ,ｔ)に近づく

というout-境界条件を持ったSchrödinger方程式の正確な散乱解

Ψ_f^(-)(ｒ,ｔ)を導入します。

　Ψ_f^(-)(ｒ,ｔ)は自由場に加え,ｔ→＋∞ となるにつれ散乱体

に収束して消えていくような球面波の重ね合わせから成っています。

Ψ_f^(-)(ｒ,ｔ)は「散乱の伝播関数の理論(5)」の表式:

Ψ(ｒ,ｔ)

＝φ(ｒ,ｔ)＋∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀(ｒ,ｔ；ｒ₁,ｔ₁)Ｖ(ｒ₁,ｔ₁)Ψ(ｒ₁,ｔ₁)

において遅延Green関数：Ｇ₀を先進Green関数：Ｇ₀^advで置き換えたSchrödinger方程式の解です。

つまり,Ψ_f^(-)(ｒ,ｔ)

＝φ_f(ｒ,ｔ)＋∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀^adv(ｒ,ｔ；ｒ₁,ｔ₁)Ｖ(ｒ₁,ｔ₁)

Ψ_f^(-)(ｒ₁,ｔ₁)　です。

ただし先進Green関数は,

Ｇ₀^adv(ｒ,ｔ；ｒ₁,ｔ₁)＝0 for ｔ＞ｔ₁を満たすGreen関数です。

そこで,ｔ→＋∞ではΨ_f^(-)(ｒ,ｔ)→φ_f(ｒ,ｔ)です。

故に,Ｓ_fi＝lim_t→∞＜φ_f(ｒ,ｔ),Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)＞は,

Ｓ_fi＝lim_t→∞＜Ψ_f^(-)(ｒ,ｔ),Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)＞

＝lim_t→∞∫ｄ³ｒΨ_f^(-)*(ｒ,0)exp(iＨ^ｔ)exp(－iＨ^ｔ)Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ,0)

＝＜Ψ_f^(-)(ｒ,0),Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ,0)＞

に帰着します。

ところが,Ψ(ｒ,0)は通常のSchrödinger表示の波動関数

Ψ(ｒ,ｔ)から時間依存性を除かれたHeisenberg表示の

波動関数です。

そして,Ｓ_fi＝＜Ψ_f^(-)(ｒ,0),Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ,0)＞は,入射(In-coming)

境界条件を持つ波動関数Ψ_i⁽⁺⁾と散乱(Out-going)境界条件を持

つ波動関数Ψ_f^(-)の対により正確に,ここでも定義:

Ｓ_βα＝＜β;out|α;in＞に対応してこれと一致することが

わかります。

さて,In-states,およびOut-statesの完全性の仮定によって,

In-stateをOut-stateに変換する演算子Ｓ^を定義すること

により,全ての行列要素Ｓ_βα＝＜β;out|α;in＞を得ること

ができます。

すなわち,＜β;in|Ｓ^≡＜β;out|,or　＜β;out|Ｓ^{^-1}≡＜β;in|

で演算子Ｓ^を定義します。

すると,Ｓ_βα＝＜β;out|α;in＞＝＜β;in|Ｓ^|α;in＞

と表現することができます。

こうして定義したＳ行列要素は物理的測定と密接に関わる

遷移振幅を表わすため,これこそが我々の中心的関心の対象

です。 

　Ｓ^またはＳ_βαの重要な性質は,状態のスペクトルに課せられた

　初期の仮定やφ_in(ｘ),φ_out(ｘ)の性質から導かれます。

(1)真空状態(vacuum＝ground state)の安定性

(不変性,および非縮退性)から,|Ｓ₀₀|²＝1 である。

つまり＜0;in|Ｓ^＝＜0;out|＝exp(iφ₀)＜0;in|と書ける。

(※何故なら,＜0;in|0;in＞＝＜0;out|0;out＞＝1ですが,

真空状態は(射線(ray) or 同値類として)一意的(unique)

なので,|0;out＞＝ｃ|0;in＞(ｃはある定数)です。

これにより,＜0;out|0;out＞＝|ｃ|²＜0;in|0;in＞が成立

しますから,|ｃ|＝1です。※)

　仮定によって真空状態は一意的であり,exp(iφ₀)の位相φ₀

はゼロに採ってもいいです。そこで＜0;out|＝＜0;in{＝＜0|

と規約します。

(2)１粒子状態の安定性(定常性)から,

＜ｐ;in|Ｓ^|ｐ;in＞＝＜ｐ;out|ｐ;in＞＝＜ｐ;in|ｐ;in＞＝1

である。

　何故なら規格化された運動量がｐの１粒子状態は|ｐ＞のみ

　なので,|ｐ;in＞＝|ｐ;out＞＝|ｐ＞です。 

(3)演算子:Ｓ^はφ_in(ｘ)＝Ｓ^φ_out(ｘ)Ｓ^^-1に従ってIn-field

をOut-fieldに変換する。

　何故なら,＜β;out|φ_out(ｘ)|α;in＞

＝＜β;in|Ｓ^φ_out(ｘ)|α;in＞ですが,一方,

＜β;out|φ_out(ｘ)は１つのOut-stateを表わしているので

＜β;out|φ_out(ｘ)＝＜β;in|φ_in(ｘ)Ｓ^と書けます。

　そこで,＜β;out|φ_out(ｘ)|α;in＞

＝＜β;in|φ_in(ｘ)Ｓ^|α;in＞＝＜β;in|Ｓ^φ_out(ｘ)|α;in＞

が成立します。

そこで,In-statesの完全性により,

＜β;in|φ_in(ｘ)Ｓ^|α;in＞＝＜β;in|Ｓ^φ_out(ｘ)|α;in＞

から,　Σ_β|β;in＞＜β;in|φ_in(ｘ)Ｓ^|α;in＞

＝Σ_β|β;in＞＜β;in|Ｓ^φ_out(ｘ)|α;in＞

が成立します。

これによって,φ_in(ｘ)Ｓ^|α;in＞＝Ｓ^φ_out(ｘ)|α;in＞

を得ます。

同様にして,φ_in(ｘ)Ｓ^＝Ｓ^φ_out(ｘ)ですから,結局,

φ_in(ｘ)＝Ｓ^φ_out(ｘ)Ｓ^^-1です。

(4)上で定義した散乱演算子:Ｓ^はユニタリ(unitary)である。

　何故なら

＜α;in|Ｓ^＝＜α;out|によって|α;out＞＝Ｓ^⁺|α;in＞

ですから,＜β;in|Ｓ^Ｓ^⁺|α;in＞＝＜β;out|α;out＞＝δ_βα

です。

　故に,Σ_γ＜β;in|Ｓ^|γ;in＞＜γ;in｜Ｓ^⁺|α;in＞＝δ_βα,

つまりＳ_βγＳ_αγ^*＝δ_βαですから,行列としてＳＳ⁺＝1,

それ故Ｓ⁺＝Ｓ^-1でありＳはユニタリ行列です。

これは演算子としてＳ^がユニタリであることを意味します。

(5)Ｓ^はPoincare'不変である。

つまり,(Lorentz変換＋平行移動)の下で理論は不変である。

　すなわち,ｘ'^μ＝ａ^μ_νｘ^ν＋ｂ^μを生ぜしめるユニタリ演算子

をＵ^(ａ,ｂ)とすればＵ^(ａ,ｂ)Ｓ^Ｕ^(ａ,ｂ)^-1＝Ｓ^である。

　何故なら,

φ_in(ａｘ＋ｂ)＝Ｕ^(ａ,ｂ)φ_in(ｘ)Ｕ^(ａ,ｂ)^-1

＝Ｕ^(ａ,ｂ)Ｓ^φ_out(ｘ)Ｓ^^-1Ｕ^(ａ,ｂ)^-1

＝Ｕ^(ａ,ｂ)Ｓ^Ｕ^(ａ,ｂ)^-1Ｕ^(ａ,ｂ)φ_out(ｘ)

Ｕ^(ａ,ｂ)^-1Ｕ^(ａ,ｂ)Ｓ^-1Ｕ^(ａ,ｂ)^-1です。

　ところが,Ｕ^(ａ,ｂ)φ_out(ｘ)Ｕ^(ａ,ｂ)^-1＝φ_out(ａｘ＋ｂ)

であり,さらにφ_in(ａｘ＋ｂ)＝Ｓ^φ_out(ａｘ＋ｂ)Ｓ^^-1です。

　それ故,Ｓ^'≡Ｕ^(ａ,ｂ)Ｓ^Ｕ^(ａ,ｂ)^-1と置けば,

　Ｓ^φ_out(ａｘ＋ｂ)Ｓ^^-1＝Ｓ^'φ_out(ａｘ＋ｂ)Ｓ^'^-1です。

またはＳ^'^-1Ｓ^φ_out(ａｘ＋ｂ)＝φ_out(ａｘ＋ｂ)Ｓ^'^-1Ｓ^

です。

　したがって,Ｔ≡Ｓ^^-1Ｓ^'と置けば,

φ_out(ａｘ＋ｂ)＝Ｔφ_out(ａｘ＋ｂ)Ｔ^^-1,ですが,これは

ユニタリ変換なのでＴ^＝１である他はないためＳ^'＝Ｓ^

です。

　すなわち,Ｕ^(ａ,ｂ)Ｓ^Ｕ^(ａ,ｂ)^-1＝Ｓ^が成立します。

今日はここまでにします。 

参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields","Relativistic Quantum Mechanics"(McGraw-Hill)

PS:うん,敗れたけどパラグァイよくやった。。。

(キーパーすごイ,両者ＰＫを1本ずつ止めた。)

谷川九段(17世名人)の今回の「光速ノート185」の内容は,

６月29日に(羽生名人に挑戦して敗れＡ級一位に戻ってきた)

三浦弘行八段と対局した順位戦Ａ級１回戦の感想です。

終盤の三浦八段投了の盤面と最後の読みは見ごたえあります。

カラオケで歌いまくる。。

　毎度バカなことをやってますが,昨日は夕方に50歳くらいの知り合い２人と男ばかり３人で久しぶりにカラオケボックスに行って歌いまくりました。

　私の歌ったのは次の通りです。(順番はだいたいの記憶です。)

　呪い(山崎ハコ),星の流れに(菊池章子).極め付けお万さんの歌(ツボイノリオ),Honesty（Billy Joel）,愛傷歌(森昌子),Automatic(宇多田ヒカル),なにわしぐれ桂春団治(京山幸技若),時代おくれの酒場(高倉健),ラムのラブソング(松谷祐子,misono),Ben(ベンのテーマ)(Ｍｉｃｈａｅｌ Jackson)

　Yours～時のいたずら(マルシア),テレサ・テンメドレー(香港,恋人たちの神話,夜来春,スキャンダル別れの予感)　Boxer(Simon&Girfunkel),Me.and Bobby Macgee（Janis Joplin）,もうひとつの土曜日(浜田省吾),ケ・セラ・セラ(Ｄｏｌｉｓ Dａｙ),ヒーロー(麻倉未稀),歌いたいの(山崎ハコ),窓(松山千春),赤い絆（山口百恵）,プレイ・バックＰａｒｔ１(山口百恵),

　何曲かは忘れているかも。。。

　岡林信康,泉谷しげる,早川義夫,カルメン・マキと山崎ハコの何曲かは歌いたい曲がＤＡＭのメニューにありませんでした。。

　ノリピーや桜田純子,浅川マキ,八神純子,玉置浩二（安全地帯),アリスetc,そしてド演歌に横文字など予定してましたが時間がきたので次回にまわしました。（キリがないなあ）

　しかし,さらに,１人と別れて夜９時頃ライブ・スナックに行ってステージで

　Oh My Little Girl(尾崎豊),星のフラメンコ（西郷輝彦）,白い花(山崎ハコ),Blue～こんな夜には眠れない(桑田佳祐).香港(テレサ・テン),星の流れに(菊池章子),Yours～時のいたずら(マルシア),想い出迷子２(チョー・ヨンピル)

　本当は,女性とデュエットもしたかったのですが,連れがいっぱいいっぱいになったみたいなので夜中12時過ぎには帰宅しました。

※(後記):全て連れのせいにしてるようですが,どこにでも自由に行けて思い通り自由な時間に帰れるのが一人で飲みにいく最大の理由,メリットです。

　偶にはいいのですが,別に,ぽつんと一人寂しく飲むのが好きなわけではなく,基本的には店のママなどいても一人ぽっちは嫌いです。

　むしろ,皆で大騒ぎするのが大好きで,静かでシラケてる雰囲気だと頼まれもしないのに盛り上げたりする太鼓持ち,宴会屋の性格です。知らないまわりの人たちでも盛り上がっていてうるさいくらいの方が大好きですね。

　私だけカヤの外だと何とか仲間に入ろうとして見え透いてないと自分が思う方法でそれとなくサブーイダジャレなどで信号を送ります。

　まあ,できれば,皆よく知っていて気心の知れる相手が大勢いればいるほどいいのですがネ。。。

　とはいっても,帰宅時間とか自分の自由な生活空間とかを拘束されるのはイヤなのです。ワガママでどうしようもないですね。

　というわけで,水商売のお店の関係者とかお互いよく似た自由人？で独立に行動できる連れならよろこんでつるんで飲みますが,私が一緒に行動しなければダメという連れだと時にはイヤになるのです。

　といっても一緒に連れて行った人間がどうなろうと見捨てて自分だけ楽しむほど薄情じゃないし。。ウーン。。。

(↑ だから付き合いがほどほどで本当の友だちも恋人もいないんだな。。。カワイそうなキモイヤツ。。。。

　他の人も自分と同類の自己チューだという尺度で見ているから,「誰にどう思われようと,どう言われようと自分は自分で自分に恥ずかしくなければ関係ないじゃん。。」などと言って時々殴られたりするんだね。。。

↑自分を正当化して相手を論破せんとするだけの目的のために,こういう薄情なセリフを吐いてはいけないんダヨなあ。。

　全世界を敵にまわしても勝てるほどの自負心,心の強さがあるなら,私も含めて誰もあらぬ誹謗中傷,イジメ等で傷ついたり,心弱くてウツ病などの神経症,心因性の精神病になったり,挙句には自殺するなんて不幸なことは生じません。

　病んでいる心のケアをも目指す自分が,たとえ無意識にでも,力まかせにこんなことを述べる,書くようでは。。。)

　自分の自由(ワガママ)を犠牲にしても平気な性格だったり,自分のエゴ,ワガママを捨てて四六時中一緒にいてもいいほど好きだという相手がいたなら,既に同居なり結婚なりしてたでしょうね。(相手がイヤでなければ。。)

　しかし,ここでいう好きな相手というのは,必ずしも恋愛対象という意味でなくペットや子供etc.という意味も含んでいます。

　過去には生き物ではないですが,無機質な将棋,オーディオ,パソコン,物理,数学なども恋愛の？対象でしたが,これらはよほどハマらないと帰宅時間を束縛しません。。話が脱線したかな？。。。※

PS:出社しまーす。

　介護とか人助けとかを軽々しく考えていて甘かったことがさっそく露呈してしまいました。

　一貫して親切心で接していれば心は通じるはずと考えてましたが,口先だけのキレイゴトでなく果たして私の方が最後まで貫けるかどうか？

　初日につい親切にしたおかげで,ある男性にほぼ２週間毎日ストーカーのようにつきまとわれることになりました。

　それとなく時間をずらしたりして避けても待っていたり,帰る途中ではぐれてま,いっかと思っていると相手は必死で探していて汗だくで出くわしたりします。

　冗談を言っても通じず腹を立てられたり謝られたり,怖がられたりです。途中で親切を中断すると逆恨みされそうで最後までやらざるを得ません。

　ま,予想はできたのですが,当分自己の内面分析どころではありません。

　高齢者介護も考えが甘くて,実習中には”認知症相手の方がクレイムが無くて楽だ。”などと薄情で自己中なことを平気で言ってました。

　クレイムを述べたくても訴えるスベのない認知症者にこそ声なき声を真摯に受け取る努力が必要なのに。。

　職場に慣れてきて,そろそろ自己をアピールして居心地の悪さを払拭する必要もなくなってきたので,仕事場ではだんだんと無口になってきています。