場理論におけるＳ行列とLSZの公式(3)

　場理論におけるＳ行列とLSZの公式の続きです。

　今日はＳ行列の定義と性質について記述します。

§16.6 The Definition and General Properties of the S-Matrix

(Ｓ行列(散乱行列)の定義と一般的性質)

　この時点で漸近場φ_in(ｘ)とφ_out(ｘ)の全ての必要な性質が既知

となり,実験的興味のある"遷移振幅＝Ｓ行列要素"を定義して探求

するための道具は全て揃いました。

　まず,量子数:Ｐ₁,Ｐ₂,..,Ｐ_nを持つ互いに相互作用してない

(空間的(space-like)に離れた)ｎ個の物理的粒子系が存在する

始状態から出発します。

　この状態を|α;in＞≡|Ｐ₁,Ｐ₂,..,Ｐ_n;in＞と記述します。

　ただし,ラベルＰ_j(ｊ＝1,2,..,ｎ)は粒子ｊの４元運動量

に加えて粒子jを特徴付ける電荷とか奇妙さ(strangeness)

のような全ての内部量子数を表わしています。

　φ_in(ｘ)の定義：

√Ｚφ_in(ｘ)＝φ(ｘ)－∫ｄ⁴ｙΔ_ret(ｘ－ｙ;ｍ)ｊ~(ｙ)

によれば,φ_in(ｘ)は内部対称性変換の下でφ(ｘ)と同一の

変換性を持つのでこうした記述が可能なのです。

　すなわち,

より一般的にφ(ｘ)が内部空間のｍ次元ベクトルであって,

φ(ｘ)＝(φ₁(ｘ),..,φ_m(ｘ))^Tと表わせる場合,

もしも.[Ｑ^,φ_r(ｘ)]＝－λ_rsφ_s(ｘ)なる変換性を持つなら

[Ｑ^,ｊ~_r(ｘ)]＝(□＋ｍ²)[Ｑ^,φ_r(ｘ)]＝－λ_rsｊ~_s(ｘ)

なので[Ｑ^,φⁱⁿ_r(ｘ)]＝－λ_rsφⁱⁿ_s(ｘ)が成立します。

※(注1):φ(ｘ)＝(φ₁(ｘ),..,φ_m(ｘ))^Tの

φ_r(ｘ)→φ'_r(ｘ)＝φ_r(ｘ)－iελ_rsφ_s(ｘ)(εは無限小)なる変換

に対する理論の不変性は量子力学では次のことを意味します。

　これは,Φ_α,Φ_βを任意の状態とするとき,変換に伴なう状態

のユニタリ変換(unitary transformation):

|Φ_α＞→|Φ_α'＞＝Ｕ(ε)|Φ_α＞,|Φ_β＞→|Φ_β'＞＝Ｕ(ε)|Φ_β＞

に対して,＜Φ_α|φ_r(ｘ)|Φ_β＞＝＜Φ_α'|φ'_r(ｘ)|Φ_β'＞

＝＜Φ_αＵ^(ε)^-1|{φ_r(ｘ)－iελ_rsφ_s(ｘ)}|Ｕ^(ε)Φ_β＞

が成立することを意味します。

すなわち,Ｕ^(ε)φ_r(ｘ)Ｕ^(ε)^-1＝φ_r(ｘ)－iελ_rsφ_s(ｘ)

が成立します。

εが無限小なので,あるHermite演算子Ｑ^が存在して

ユニタリ変換Ｕ^(ε)はＵ^(ε)≡exp(iεＱ^)＝1＋iεＱ^

と表わせます。

すると,Ｕ^(ε)φ_r(ｘ)Ｕ^(ε)^-1＝φ_r(ｘ)－iελ_rsφ_s(ｘ)

は,φ_r(ｘ)＋iε[Ｑ^,φ_r(ｘ)]＝φ_r(ｘ)－iελ_rsφ_s(ｘ)

と同等です。　よって,[Ｑ^,φ_r(ｘ)]＝－λ_rsφ_s(ｘ)　です。

このときのHermite演算子Ｑ^をこの対称性変換の生成子(generator)

といいます。

Ｑ^は実数演算子なので何かの物理量に同定されます。

(※例えば平行移動:ｘ^μ→ｘ'^μ＝ｘ^μ－ε^μの生成子:Ｐ^_μは,

φ'(ｘ')＝φ(ｘ)によりφ'(ｘ)＝φ(ｘ＋ε)

＝φ(ｘ)＋ε^μ(∂φ(ｘ)/∂ｘ^μ)＝φ(ｘ)＋iε^μ[Ｐ^_μ,φ(ｘ)]

を満たします。

　すなわち,[Ｐ^_μ,φ(ｘ)]＝－i(∂φ(ｘ)/∂ｘ^μ)

が成立します。この生成子:Ｐ^_μは運動量と同定できます。)

もしも,入射漸近場(In-field):

φⁱⁿ(ｘ)＝(φⁱⁿ₁(ｘ),..,φⁱⁿ_m(ｘ))^T に対しても,

[Ｑ^,φⁱⁿ_r(ｘ)]＝－λ_rsφⁱⁿ_s(ｘ)が成立するなら,

Ｕ^(ε)φⁱⁿ_r(ｘ)Ｕ(ε)^-1＝φⁱⁿ_r(ｘ)＋iε[Ｑ^,φⁱⁿ_r(ｘ)]

＝φⁱⁿ_r(ｘ)－λ_rsφⁱⁿ_s(ｘ)　です。

そこで,　＜Φ_α|φⁱⁿ_r(ｘ)|Φ_β＞

＝＜Φ_αＵ(ε)^-1|Ｕ(ε)φⁱⁿ_r(ｘ)Ｕ(ε)^-1|Ｕ(ε)Φ_β＞

＝＜Φ_αＵ(ε)^-1|{φⁱⁿ_r(ｘ)－λ_rsφⁱⁿ_s(ｘ)}|Ｕ(ε)Φ_β＞

＝＜Φ_α'|{φⁱⁿ_r(ｘ)－λ_rsφⁱⁿ_s(ｘ)}|Φ_β'＞　です。

よって,φ(ｘ)と同じく漸近自由場φⁱⁿ(ｘ)でも

φⁱⁿ_r(ｘ)→φⁱⁿ'_r(ｘ)＝φⁱⁿ_r(ｘ)－iελ_rsφⁱⁿ_s(ｘ)(εは無限小)

なる変換に対する理論の不変性が維持されます。(注1終わり)※ 

※(注2):例えば,φ(ｘ)がπ中間子の場なら,φ(ｘ)は荷電空間

(Isotopic -space)のIsotopic-spin(アイソスピン)Ｉ^の大きさ

Ｉ＝1の３次元表現であるvector(ベクトル)と考えることができ

て,φ(ｘ)＝(φ¹(ｘ),φ²(ｘ),φ³(ｘ))^Tと書けます。

　そして,φ⁰(ｘ)＝φ³(ｘ),φ^＋(ｘ)＝(1/√2){φ¹(ｘ)－iφ²(ｘ)},

φ^－(ｘ)＝(1/√2){φ¹(ｘ)＋iφ²(ｘ)}が,それぞれ,π⁰,π^＋,π^－

中間子の場を示します。

そこで,これらが生成する１粒子状態を,

|πⁱ＞＝φⁱ⁺(ｘ)|0＞とすると,

|π⁰＞＝|π³＞＝(0,0,1)^T,

|π^＋＞＝(1/√2){|π¹＞＋i|π²＞}＝(1/√2)(1,i,0)^T,

|π^－＞＝(1/√2){|π¹＞－i|π²＞}＝(1/√2)(1,－i,0)^T

です。

次に,Istopic-space(荷電空間＝アイソ空間)の回転対称性

を考えます。

この内部空間(internal space)を荷電空間と呼ぶ理由は,

電荷がＱ^＝Ｂ^/2＋Ｉ³^なる式で与えられるからです。

ただし,Ｂ^はbaryon-number(バリオン数＝重粒子数)で

π中間子はその固有値がＢ＝0 の固有状態です。

一方,核子はＢ^のＢ＝1の固有状態です。

そのIsospinはＩ＝1/2であり,陽子,中性子はそれぞれ,

Ｉ³＝1/2,－1/2の固有状態です。

さて,|π⁰＞＝(0,0,1)^T,|π^±＞＝(1/√2)(1,±i,0)^TはIso-vector

演算子：Ｉ^＝(Ｉ¹^,Ｉ²^,Ｉ³^)のＩ＝1,Ｉ³＝0,±1の固有状態です。

このときのＩ^＝(Ｉ¹^,Ｉ²^,Ｉ³^)の行列表現(representation)

はＬ＝１の角運動量Ｌ＝(Ｌ¹,Ｌ²,Ｌ³);(Ｌⁱ)_jk=－iε_ijkの

３次元回転行列:Ｌⁱと同じです。

すなわち,荷電空間対称性は線型Lie群の一種である回転群SO(3)

or 特殊ユニタリ群SU(2)に属する変換の下での不変性で,回転

不変性に基づくNoether保存量:Ｉ^がこの群の生成子(Lie代数)

です。

(※余談ですが,このSU(2)はup,downの２自由度だけを特別扱い

したものですが,strangenessをも加えたSU(3)の部分群です。

その他にも,charm,bottom,topという合計３世代６個のflavor

自由度があります。

さらに,独立なcolorSU(3)との直積対称性もあります。※)

上記の|π⁰＞,|π^±＞の３次元縦行列表現に対しては

Ｌ³|π⁰＞＝0,Ｌ³|π^±＞＝±|π^±＞(複号同順)です。

これは,もちろん|π¹＞＝(1,0,0)^T,|π²＞＝(0,1,0)^T,

|π³＞＝(0,0,1)^Tを基底(basis)とした表現です。

これらは演算子で書けば,Ｉⁱ^|π^j＞＝Ｉⁱ^φ^j+(ｘ)|0＞

＝(Ｌⁱ)_jkφ^k+(ｘ)|0＞です。

これは中間子場：φ(ｘ)の内部空間不変性,つまり荷電空間

における回転対称性;[Ｉ^ⁱ,φ^j(ｘ)]＝－(Ｌⁱ)_jkφ^k(ｘ),

or [Ｉ^ⁱ,φ^j+(ｘ)]＝(Ｌⁱ)_jkφ^k+(ｘ)の反映です。(注2終わり)※

　始状態:|α;in＞≡|Ｐ₁,Ｐ₂,..,Ｐ_n;in＞から

終状態|β;out＞≡|Ｐ₁',Ｐ₂',..,Ｐ_m';out＞に遷移するＳ行列

のβα要素をＳ_βα≡＜β;out|α;in＞で定義します。

　この定義を非相対論的理論でも与えた直感的な伝播関数の理論(propagator theory)におけるＳ行列の定義と比較してみます。

2010年５/18の記事「散乱の伝播関数の理論(5)」では,始状態と

終状態のpair:(ｆ,ｉ)に対する遷移振幅,またはＳ行列要素

(S-matrix element)は,

Ｓ_fi≡lim_t→∞∫φ_f^*(ｒ,ｔ)Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ

＝lim_t→∞＜φ_f(ｒ,ｔ),Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)＞

で定義されています。

ただしΨ_i⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)はｔ→－∞ で運動量(波数)ｋ_iの入射平面波

になるという境界条件を持ったSchrödinger方程式の正確な散乱解

です。

　つまりＳ_fiはΨ_i⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)の与えられた終状態:φ_f(ｒ,ｔ)への

ｔ→＋∞ における射影振幅に等しいものです。

　このＳ_fiをＳ_βα≡＜β;out|α;in＞に似た形に書き直すため,

ｔ→＋∞ で量子数ｆ(運動量ｋ_f)の自由平面波φ_f(ｒ,ｔ)に近づく

というout-境界条件を持ったSchrödinger方程式の正確な散乱解

Ψ_f^(-)(ｒ,ｔ)を導入します。

　Ψ_f^(-)(ｒ,ｔ)は自由場に加え,ｔ→＋∞ となるにつれ散乱体

に収束して消えていくような球面波の重ね合わせから成っています。

Ψ_f^(-)(ｒ,ｔ)は「散乱の伝播関数の理論(5)」の表式:

Ψ(ｒ,ｔ)

＝φ(ｒ,ｔ)＋∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀(ｒ,ｔ；ｒ₁,ｔ₁)Ｖ(ｒ₁,ｔ₁)Ψ(ｒ₁,ｔ₁)

において遅延Green関数：Ｇ₀を先進Green関数：Ｇ₀^advで置き換えたSchrödinger方程式の解です。

つまり,Ψ_f^(-)(ｒ,ｔ)

＝φ_f(ｒ,ｔ)＋∫ｄ⁴ｘ₁Ｇ₀^adv(ｒ,ｔ；ｒ₁,ｔ₁)Ｖ(ｒ₁,ｔ₁)

Ψ_f^(-)(ｒ₁,ｔ₁)　です。

ただし先進Green関数は,

Ｇ₀^adv(ｒ,ｔ；ｒ₁,ｔ₁)＝0 for ｔ＞ｔ₁を満たすGreen関数です。

そこで,ｔ→＋∞ではΨ_f^(-)(ｒ,ｔ)→φ_f(ｒ,ｔ)です。

故に,Ｓ_fi＝lim_t→∞＜φ_f(ｒ,ｔ),Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)＞は,

Ｓ_fi＝lim_t→∞＜Ψ_f^(-)(ｒ,ｔ),Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ,ｔ)＞

＝lim_t→∞∫ｄ³ｒΨ_f^(-)*(ｒ,0)exp(iＨ^ｔ)exp(－iＨ^ｔ)Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ,0)

＝＜Ψ_f^(-)(ｒ,0),Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ,0)＞

に帰着します。

ところが,Ψ(ｒ,0)は通常のSchrödinger表示の波動関数

Ψ(ｒ,ｔ)から時間依存性を除かれたHeisenberg表示の

波動関数です。

そして,Ｓ_fi＝＜Ψ_f^(-)(ｒ,0),Ψ_i⁽⁺⁾(ｒ,0)＞は,入射(In-coming)

境界条件を持つ波動関数Ψ_i⁽⁺⁾と散乱(Out-going)境界条件を持

つ波動関数Ψ_f^(-)の対により正確に,ここでも定義:

Ｓ_βα＝＜β;out|α;in＞に対応してこれと一致することが

わかります。

さて,In-states,およびOut-statesの完全性の仮定によって,

In-stateをOut-stateに変換する演算子Ｓ^を定義すること

により,全ての行列要素Ｓ_βα＝＜β;out|α;in＞を得ること

ができます。

すなわち,＜β;in|Ｓ^≡＜β;out|,or　＜β;out|Ｓ^{^-1}≡＜β;in|

で演算子Ｓ^を定義します。

すると,Ｓ_βα＝＜β;out|α;in＞＝＜β;in|Ｓ^|α;in＞

と表現することができます。

こうして定義したＳ行列要素は物理的測定と密接に関わる

遷移振幅を表わすため,これこそが我々の中心的関心の対象

です。 

　Ｓ^またはＳ_βαの重要な性質は,状態のスペクトルに課せられた

　初期の仮定やφ_in(ｘ),φ_out(ｘ)の性質から導かれます。

(1)真空状態(vacuum＝ground state)の安定性

(不変性,および非縮退性)から,|Ｓ₀₀|²＝1 である。

つまり＜0;in|Ｓ^＝＜0;out|＝exp(iφ₀)＜0;in|と書ける。

(※何故なら,＜0;in|0;in＞＝＜0;out|0;out＞＝1ですが,

真空状態は(射線(ray) or 同値類として)一意的(unique)

なので,|0;out＞＝ｃ|0;in＞(ｃはある定数)です。

これにより,＜0;out|0;out＞＝|ｃ|²＜0;in|0;in＞が成立

しますから,|ｃ|＝1です。※)

　仮定によって真空状態は一意的であり,exp(iφ₀)の位相φ₀

はゼロに採ってもいいです。そこで＜0;out|＝＜0;in{＝＜0|

と規約します。

(2)１粒子状態の安定性(定常性)から,

＜ｐ;in|Ｓ^|ｐ;in＞＝＜ｐ;out|ｐ;in＞＝＜ｐ;in|ｐ;in＞＝1

である。

　何故なら規格化された運動量がｐの１粒子状態は|ｐ＞のみ

　なので,|ｐ;in＞＝|ｐ;out＞＝|ｐ＞です。 

(3)演算子:Ｓ^はφ_in(ｘ)＝Ｓ^φ_out(ｘ)Ｓ^^-1に従ってIn-field

をOut-fieldに変換する。

　何故なら,＜β;out|φ_out(ｘ)|α;in＞

＝＜β;in|Ｓ^φ_out(ｘ)|α;in＞ですが,一方,

＜β;out|φ_out(ｘ)は１つのOut-stateを表わしているので

＜β;out|φ_out(ｘ)＝＜β;in|φ_in(ｘ)Ｓ^と書けます。

　そこで,＜β;out|φ_out(ｘ)|α;in＞

＝＜β;in|φ_in(ｘ)Ｓ^|α;in＞＝＜β;in|Ｓ^φ_out(ｘ)|α;in＞

が成立します。

そこで,In-statesの完全性により,

＜β;in|φ_in(ｘ)Ｓ^|α;in＞＝＜β;in|Ｓ^φ_out(ｘ)|α;in＞

から,　Σ_β|β;in＞＜β;in|φ_in(ｘ)Ｓ^|α;in＞

＝Σ_β|β;in＞＜β;in|Ｓ^φ_out(ｘ)|α;in＞

が成立します。

これによって,φ_in(ｘ)Ｓ^|α;in＞＝Ｓ^φ_out(ｘ)|α;in＞

を得ます。

同様にして,φ_in(ｘ)Ｓ^＝Ｓ^φ_out(ｘ)ですから,結局,

φ_in(ｘ)＝Ｓ^φ_out(ｘ)Ｓ^^-1です。

(4)上で定義した散乱演算子:Ｓ^はユニタリ(unitary)である。

　何故なら

＜α;in|Ｓ^＝＜α;out|によって|α;out＞＝Ｓ^⁺|α;in＞

ですから,＜β;in|Ｓ^Ｓ^⁺|α;in＞＝＜β;out|α;out＞＝δ_βα

です。

　故に,Σ_γ＜β;in|Ｓ^|γ;in＞＜γ;in｜Ｓ^⁺|α;in＞＝δ_βα,

つまりＳ_βγＳ_αγ^*＝δ_βαですから,行列としてＳＳ⁺＝1,

それ故Ｓ⁺＝Ｓ^-1でありＳはユニタリ行列です。

これは演算子としてＳ^がユニタリであることを意味します。

(5)Ｓ^はPoincare'不変である。

つまり,(Lorentz変換＋平行移動)の下で理論は不変である。

　すなわち,ｘ'^μ＝ａ^μ_νｘ^ν＋ｂ^μを生ぜしめるユニタリ演算子

をＵ^(ａ,ｂ)とすればＵ^(ａ,ｂ)Ｓ^Ｕ^(ａ,ｂ)^-1＝Ｓ^である。

　何故なら,

φ_in(ａｘ＋ｂ)＝Ｕ^(ａ,ｂ)φ_in(ｘ)Ｕ^(ａ,ｂ)^-1

＝Ｕ^(ａ,ｂ)Ｓ^φ_out(ｘ)Ｓ^^-1Ｕ^(ａ,ｂ)^-1

＝Ｕ^(ａ,ｂ)Ｓ^Ｕ^(ａ,ｂ)^-1Ｕ^(ａ,ｂ)φ_out(ｘ)

Ｕ^(ａ,ｂ)^-1Ｕ^(ａ,ｂ)Ｓ^-1Ｕ^(ａ,ｂ)^-1です。

　ところが,Ｕ^(ａ,ｂ)φ_out(ｘ)Ｕ^(ａ,ｂ)^-1＝φ_out(ａｘ＋ｂ)

であり,さらにφ_in(ａｘ＋ｂ)＝Ｓ^φ_out(ａｘ＋ｂ)Ｓ^^-1です。

　それ故,Ｓ^'≡Ｕ^(ａ,ｂ)Ｓ^Ｕ^(ａ,ｂ)^-1と置けば,

　Ｓ^φ_out(ａｘ＋ｂ)Ｓ^^-1＝Ｓ^'φ_out(ａｘ＋ｂ)Ｓ^'^-1です。

またはＳ^'^-1Ｓ^φ_out(ａｘ＋ｂ)＝φ_out(ａｘ＋ｂ)Ｓ^'^-1Ｓ^

です。

　したがって,Ｔ≡Ｓ^^-1Ｓ^'と置けば,

φ_out(ａｘ＋ｂ)＝Ｔφ_out(ａｘ＋ｂ)Ｔ^^-1,ですが,これは

ユニタリ変換なのでＴ^＝１である他はないためＳ^'＝Ｓ^

です。

　すなわち,Ｕ^(ａ,ｂ)Ｓ^Ｕ^(ａ,ｂ)^-1＝Ｓ^が成立します。

今日はここまでにします。 

参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields","Relativistic Quantum Mechanics"(McGraw-Hill)

PS:うん,敗れたけどパラグァイよくやった。。。

(キーパーすごイ,両者ＰＫを1本ずつ止めた。)

谷川九段(17世名人)の今回の「光速ノート185」の内容は,

６月29日に(羽生名人に挑戦して敗れＡ級一位に戻ってきた)

三浦弘行八段と対局した順位戦Ａ級１回戦の感想です。

終盤の三浦八段投了の盤面と最後の読みは見ごたえあります。