場理論におけるＳ行列とLSZの公式(4)

　場理論におけるＳ行列とLSZの公式の続きです。

今日はLSZの還元公式(Reduction formula)について記述します。

§16.7 The Reduction Formula for Scalar Fields(スカラー場に対する還元公式)

　前節では散乱演算子Ｓ^に明確な定義が与えられ,その一般的性質が解明されました。その結果として,Ｓ行列要素に対する興味がさらに刺激されます。

Ｓ行列要素の絶対値の２乗:|Ｓ_βα|²は始状態(In-state)αから終状態(Out-state)βへの実験的に観測される遷移確率を与えます。

そこで,これ以後はＳ行列要素を実際に計算するという非常に厄介な課題に向かうことにします。

　1954年まではＳ行列の計算への唯一の系統的アプローチは相互作用カレントｊ~(ｘ)のベキによる摂動展開の理論だけでした。

　そのときから後の進歩としては,最初Low,そしてLehmann,Symanzik,およびZimmmermann(LSZ)によって始められた理論展開に由来するものがあります。

彼らは"弱い結合項＝摂動"による展開に訴えることなく,Ｓ^に含まれる情報の幾つかを表面化する方法を示しました。

　これは,物理的に興味あるＳ行列要素を場の演算子の真空期待値によって表現する方法で漸近条件lim_t→-∞＜α|φ^f(ｔ)|β＞＝√Ｚ＜α|φ_in^f|β＞やlim_t→+∞＜α|φ^f(ｔ)|β＞＝√Ｚ＜α|φ_out^f|β＞を適用することで成し遂げられました。

　既に,場の交換子[φ(ｘ),φ(ｙ)]に対して,有用な式Δ'(ｘ－ｙ)＝ＺΔ(ｘ－ｙ;ｍ²)＋∫_mt2^∞ｄσ²ρ(σ²)Δ(ｘ－ｙ;σ²)を導出する際に,真空期待値:iΔ'(ｘ－ｙ)＝＜0|[φ(ｘ),φ(ｙ)]|0＞を扱うことが有利であるという例を見ました。

　そこでは,理論のLorentz不変性や他の一般的性質に訴えることによって式Δ'(ｘ－ｙ)の簡略な一般形を導きました。

　以下ではLSZの方法に従って,Ｓ_βα＝＜β;out|α;in＞の形の行列要素より幾らかは扱いやすい場の演算子の積の真空期待値を見出すことから出発します。

　別の意味では,場の演算子φ(ｘ)を直接摂動級数で展開する方法で自由なin-field漸近場の演算子の積の真空期待値を用いてＳ行列要素の展開を作り上げていくことも可能です。

　こうした表現の計算規則は既に発見されていて,それは伝播関数アプローチ(propagator-approach)でのFeynmanルールに等しいものです。

　すなわち,Δ'(ｘ－ｙ)を研究する上で訴えられたような不変性の論旨はHeisenberg演算子:φを一意的で不変な真空状態に挟まれた行列要素を研究する場合に最も定式化が容易でうまく使用できるわけです。

　以下では,これら不変性(対称性)の助けを借りてＳ行列要素Ｓ_βα＝＜β;out|α;in＞における物理状態α,βから情報を引き出し,それを真空状態で挟まれた場の演算子の積に表わすLSZの一般的な"Reduction  Teqchnique(還元記述)"を段階的に展開していきます。

　まず,Ｓ行列要素:Ｓ_βαp＝＜β;out|αｐ;in＞を考えます。

βは終状態|β;out＞において散乱されて出現する粒子を記述しており,|αｐ;in＞は入射粒子の集合αに加えてさらに運動量ｐを持った入射粒子が存在する状態を表わす始状態(In-state)です。

　漸近条件を用いてIn-state:|αｐ;in＞から粒子ｐを差し引く代わり適当な場の演算子を導入します。

そして,ａ_in^(ｐ)＝i∫ｄ³ｘｆ_p^*(ｘ)∂₀^⇔φ_in(ｘ),ａ_out^(ｐ)＝i∫ｄ³ｘｆ_p^*(ｘ)∂₀^⇔φ_out(ｘ)なる表式を用います。

すなわち,＜β;out|αｐ;in＞＝＜β;out|ａ_in^⁺(ｐ)|α;in＞＝＜β;out|ａ_out^⁺(ｐ)|α;in＞＋＜β;out|ａ_in^⁺(ｐ)－ａ_out^⁺(ｐ)|α;in＞＝＜β－ｐ;out|α;in＞－i＜β;out|∫ｄ³ｘｆ_p(ｘ)∂₀^⇔[φ_in(ｘ)－φ_out(ｘ)]|α;in＞です。

　|β－ｐ;out＞は,もしも集合βの中にｐが存在するなら,集合βからｐを除いたOut-stateを表わします。しかし,βの中にｐが存在しないならこの項はゼロであって無くなります。

　また,|αｐ;in＞が初期に２粒子がある場合の散乱の始状態なら＜β－ｐ;out|α;in＞は入射粒子と標的粒子が運動量を含め,それらの量子数を保存する前方弾性散乱にのみ寄与します。

　つまり,＜β－ｐ;out|α;in＞＝δ_α(β-p)です。

※(注):|α;in＞が１粒子の場合,＜β－ｐ;out|Ｐ^²|α;in＞＝α²＜β－ｐ;out|α;in＞＝(β－ｐ)²＜β－ｐ;out|α;in＞より＜β－ｐ;out|α;in＞≠0 なら(β－ｐ)²＝α²＝ｍ²ですから,|β－ｐ;out＞も１粒子Out-stateです。

そして,＜β－ｐ;out|Ｐ^^μ|α;in＞＝α^μ＜β－ｐ;out|α;in＞＝(β－ｐ)^μ＜β－ｐ;out|α;in＞ですから,＜β－ｐ;out|α;in＞≠0 は(β－ｐ)^μ＝α^μ,つまりβ^μ＝α^μ＋ｐ^μなる弾性散乱を意味し,しかも方向を変えず素通りする前方散乱のみの振幅です。(注終わり)※

さて,＜β;out|αｐ;in＞＝＜β－ｐ;out|α;in＞－i＜β;out|∫ｄ³ｘｆ_p(ｘ)∂₀^⇔[φ_in(ｘ)－φ_out(ｘ)]|α;in＞の右辺の項:－i∫ｄ³ｘ＜β;out|ｆ_p(ｘ)∂₀^⇔[φ_in(ｘ)－φ_out(ｘ)]|α;in＞はGreenの定理から,時間ｔに依存しません。

これは,前にもGreenの定理から√Ｚ＜α|φ_in^f|β＞においてφ_in^f(ｔ)≡i∫ｄ³ｘｆ^*(ｘ,ｔ)∂₀^⇔φ_in(ｘ,ｔ)が時間ｔに依存しないのでφ_in^fと表現できることを示したのと同様です。

そして,漸近条件lim_t→-∞＜α|φ^f(ｔ)|β＞＝√Ｚ＜α|φ_in^f|β＞,およびlim_t→+∞＜α|φ^f(ｔ)|β＞＝√Ｚ＜α|φ_out^f|β＞から,ｘ⁰→－∞ の極限ではφ_in(ｘ,ｘ⁰)を(1/√Ｚ)φ(ｘ,ｘ⁰)で,ｘ⁰→＋∞ の極限ではφ_out(ｘ,ｘ⁰)を(1/√Ｚ)φ(ｘ,ｘ⁰)で置き換えることが許されます。

それ故,結局＜β;out|αｐ;in＞＝＜β－ｐ;out|α;in＞＋(i/√Ｚ)(lim _x0→+∞－lim _x0→-∞)＜β;out|∫ｄ³ｘｆ_p(ｘ)∂₀^⇔φ(ｘ,ｘ⁰)|α;in＞と書けます。

　これが"Reduction(還元)"の手続きの第一歩です。

これから,より便利な形を得るため,恒等式:(lim _x0→+∞－lim _x0→-∞)∫ｄ³ｘｇ₁(ｘ)∂₀^⇔ｇ₂(ｘ)＝∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ[∂₀{ｇ₁(ｘ)∂₀^⇔ｇ₂(ｘ)}]＝∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ[ｇ₁(ｘ)∂₀²ｇ₂(ｘ)－{∂₀²ｇ₁(ｘ)}ｇ₂(ｘ)]を用います。

また,(□＋ｍ²)ｆ_p(ｘ)＝0 により,得られた式に∂₀²ｆ_p(ｘ)＝(∇²－ｍ²)ｆ_p(ｘ)を代入します。

(i/√Ｚ)(lim _x0→+∞－lim _x0→-∞)∫ｄ³ｘ＜β;out|ｆ_p(ｘ)∂₀^⇔φ(ｘ,ｘ⁰)|α;in＞＝(i/√Ｚ) ∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ＜β;out|ｆ_p(ｘ)∂₀²φ(ｘ)－{∂₀²ｆ_p(ｘ)}φ(ｘ)|α;in＞＝(i/√Ｚ)∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ＜β;out|ｆ_p(ｘ)(∂₀²＋ｍ²)φ(ｘ)－(∇²ｆ_p(ｘ))φ(ｘ)]|α;in＞＝(i/√Ｚ)∫_-∞^∞ｄ⁴ｘｆ_p(ｘ)(□＋ｍ²)＜β;out|φ(ｘ)|α;in＞です。

最後の変形では部分積分に対するGreenの公式を用いました。

最終式として＜β;out|αｐ;in＞＝＜β－ｐ;out|α;in＞＋(i/√Ｚ)∫_-∞^∞ｄ⁴ｘｆ_p(ｘ)(□＋ｍ²)＜β;out|φ(ｘ)|α;in＞を得ました。

　この手続きは,始状態と終状態から全ての粒子を取り除き,場の演算子積の真空期待値のみが残るようになるまで繰り返すことができます。

例えば,＜β;out|αｐ;in＞＝＜β－ｐ;out|α;in＞＋(i/√Ｚ)∫_-∞^∞ｄ⁴ｘｆ_p(ｘ)(□＋ｍ²)＜β;out|φ(ｘ)|α;in＞の右辺の因子:＜β;out|φ(ｘ)|α;in＞の集合βがβ＝γｐ'のときこれから,さらに粒子ｐ'を取り除きます。

＜β;out|φ(ｘ)|α;in＞＝＜γ;out|ａ_out^(ｐ')φ(ｘ)|α;in＞＝＜γ;out|φ(ｘ)ａ_in^(ｐ')|α;in＞＋＜γ;out|ａ_out^(ｐ')φ(ｘ)－φ(ｘ)ａ_in^(ｐ')|α;in＞＝＜γ;out|φ(ｘ)|α－ｐ';in＞＋＜γ;out|ａ_out^(ｐ')φ(ｘ)－φ(ｘ)ａ_in^(ｐ')|α;in＞です。

故に,＜β;out|φ(ｘ)|α;in＞＝＜γ;out|φ(ｘ)|α－ｐ';in＞－i∫ｄ³ｙ＜γ;out|φ_out(ｙ)φ(ｘ)－φ(ｘ)φ_in(ｙ)|α;in＞∂^y₀^⇔ｆ_p'^*(ｙ)を得ます。

漸近条件によって再びｙ⁰→－∞ の極限ではφ_in(ｙ)を(1/√Ｚ)φ(ｙ)で,ｙ⁰→＋∞ の極限ではφ_out(ｙ)を(1/√Ｚ)φ(ｙ)で置き換えることが許されます。

このとき,項－i∫ｄ³ｙ＜γ;out|φ_out(ｙ)φ(ｘ)－φ(ｘ)φ_in(ｙ)|α;in＞∂^y₀^⇔ｆ_p'^*(ｙ)を時間順序積(Ｔ積;T-product)で表現することができます。

まず,＜γ;out|φ_out(ｙ)φ(ｘ)－φ(ｘ)φ_in(ｙ)|α;in＞＝(1/√Ｚ){lim _y0→+∞＜γ;out|φ(ｙ)φ(ｘ)|α;in＞－lim _y0→-∞＜γ;out|φ(ｘ)φ(ｙ)|α;in＞}です。

これは,＜γ;out|φ_out(ｙ)φ(ｘ)－φ(ｘ)φ_in(ｙ)|α;in＞＝(1/√Ｚ){lim _y0→+∞＜γ;out|θ(ｙ⁰－ｘ⁰)φ(ｙ)φ(ｘ)＋θ(ｘ⁰－ｙ⁰)φ(ｘ)φ(ｙ)|α;in＞－lim _y0→-∞＜γ;out|θ(ｘ⁰－ｙ⁰)φ(ｘ)φ(ｙ)＋θ(ｙ⁰－ｘ⁰)φ(ｙ)φ(ｘ)|α;in＞}＝(1/√Ｚ)(lim _y0→+∞－lim _y0→-∞)＜γ;out|Ｔ(φ(ｙ)φ(ｘ))|α;in＞とも書けます。

最後に,恒等式(lim _x0→+∞－lim _x0→-∞)∫ｄ³ｘｇ₁(ｘ)∂₀^⇔ｇ₂(ｘ)＝∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ[ｇ₁(ｘ)∂₀²ｇ₂(ｘ)－{∂₀²ｇ₁(ｘ)}ｇ₂(ｘ)],および自由平面波の方程式(□_y＋ｍ²)ｆ_p'^*(ｙ)＝0 の助けを借ります。,

結局,＜γｐ';out|φ(ｘ)|α;in＞＝＜γ;out|φ(ｘ)|α－ｐ';in＞＋(i/√Ｚ)∫ｄ⁴ｙ＜γ;out|Ｔ(φ(ｙ)φ(ｘ))|α;in＞^←(□_y＋ｍ²)ｆ_p'^*(ｙ)なる式を得ます。

ただし,記号ｇ(ｙ)^←(□_y＋ｍ²)は,演算子(□_y＋ｍ²)が前の関数ｇ(ｙ)に作用すること,つまり(□_y＋ｍ²)ｇ(ｙ)を意味します。

単純に後者のように書けば問題ないのですが,Out状態からの粒子除去をIn状態からのそれと区別してｆ_p'^*(ｙ)を後ろに置く表現を際立たせるためにこう表現します。

このReduction(還元)テクニックを繰り返し適用して,行列要素の両側の状態から全ての粒子を除き,場の演算子のＴ積の真空期待値に到達する道は今や明らかです。

すなわち,全ての運動量対についてｐ_i≠ｑ_jの場合には,＜ｐ₁,..,ｐ_n:out|ｑ₁,..,ｑ_m:in＞＝(i/√Ｚ)^m+nΠ_i=1^m∫ｄ⁴ｘ_iΠ_j=1ⁿ∫ｄ⁴ｙ_jｆ_qi(ｘ_i)(□_xi＋ｍ²)^→＜0|Ｔ(φ(ｙ₁)..φ(ｙ_n)φ(ｘ₁)..φ(ｘ_m))|0＞^←(□_yj＋ｍ²)ｆ_pj^*(ｙ_j)となります。

これを書くに当たって簡単のために全ての{ｐ_i},{ｑ_j}についてｐ_i≠ｑ_jを仮定して前方散乱の項を落としました。

しかし,これには何の問題もありません。

というのは,これら落とした項もまた同じ還元テクニックをうまく適用すれば,同様な場の演算子のＴ積の真空期待値に帰着させることが可能だからです。

最終式:＜ｐ₁,..,ｐ_n:out|ｑ₁,..,ｑ_m:in＞＝(i/√Ｚ)^m+nΠ_i=1^m∫ｄ⁴ｘ_iΠ_j=1ⁿ∫ｄ⁴ｙ_jｆ_qi(ｘ_i)(□_xi＋ｍ²)^→＜0|Ｔ(φ(ｙ₁)..φ(ｙ_n)φ(ｘ₁)..φ(ｘ_m))|0＞^←(□_yj＋ｍ²)ｆ_pj^*(ｙ_j)は場の量子論の散乱振幅の全ての計算の基礎となる役割を果たします。

　　　　　　　　

上図16-2は,(ｚ₁,..,ｚ_r)でｒ個の粒子が消滅,または生成するあらゆるFeynman-diagramを表現していることに着目します。

この図は＜0|Ｔ(φ(ｚ₁)..φ(ｚ_r))|0＞を表現していますが,これはｒ粒子に拡張された完全なGreen関数と見なすことができます。

ReductionFormula:＜ｐ₁,..,ｐ_n:out|ｑ₁,..,ｑ_m:in＞＝(i/√Ｚ)^m+nΠ_i=1^m∫ｄ⁴ｘ_iΠ_j=1ⁿ∫ｄ⁴ｙ_jｆ_qi(ｘ_i)(□_xi＋ｍ²)^→＜0|Ｔ(φ(ｙ₁)..φ(ｙ_n)φ(ｘ₁)..φ(ｘ_m))|0＞^←(□_yj＋ｍ²)ｆ_pj^*(ｙ_j)における因子(□_i＋ｍ²)の役割を考えます。

この演算は,伝播関数 i/(ｐ_i²－ｍ²＋iε)に(□_i＋ｍ²)～ (ｍ²－ｐ_i²)を掛けることで互いに相殺させて,Feynman-diagramの相互作用Black-Box部分へと入っていく外線の足から伝播関数を除去します。

そして,伝播関数の代わりに外線因子として自由平面波ｆ_pi(ｘ_i)またはｆ_pj^*(ｙ_j)を付与するわけです。

Reduction Formula(還元公式)から,Ｓ行列要素は完全なｒ粒子Green関数＜0|Ｔ(φ(ｚ₁)..φ(ｚ_r))|0＞から外線の足を取り除かれ,質量殻ｐ_i²＝ｑ_j²＝ｍ²に置かれた外線運動量を持ったｒ＝ｎ＋ｍ個の粒子のGreen関数であることがわかります。

もしも,ｒ粒子Green関数:＜0|Ｔ(φ(ｚ₁)..φ(ｚ_r))|0＞のFeynman-diagram に(□_i＋ｍ²)～(ｍ²－ｐ_i²);(ｐ_i²＝ｍ²)を作用させたとき,

相殺すべき相手の i/(ｐ_i²－ｍ²＋iε)の因子が存在せず,ｐ²≠ｍ²の質量殻外の内線仮想粒子の伝播関数因子 i/(ｐ²－ｍ²＋iε)が存在するだけなら,ｍ²－ｐ_i²＝0 が掛かる結果,このdiagramのＳ行列への寄与はゼロとなって消えます。

途中ですが今日はここまでにします。

参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields" (McGraw-Hill)