場理論におけるS行列とLSZの公式(５)

 閑話休題というか(摂動論について先走ります。　

　摂動論の目的は,LSZの公式でＳ行列要素を構成する源になる

　全ての完全なＧreen関数:

　τ(ｘ₁,..,ｘ_n)≡＜0|Ｔ(φ(ｘ₁)..φ(ｘ_n))|0＞を具体的に

　計算する１つの方法を提供することです。

　さて,一般の相互作用する場φ(ｘ,ｔ),および正準共役運動量

　(canonical conjugate):π(ｘ,ｔ)の同時刻交換関係は,

　In-field(漸近場):φ_in(ｘ,ｔ),およびπ_in(ｘ,ｔ)によって満足

　される交換関係と同じです。

　さらに,仮定によって,状態の完全系が真空(vacuum);|0＞に

　φ,またはφ_inを繰り返し作用させることによって得られるので

　これらの場もまた演算子の完全系を作っています。

　(※演算子の完全系とは任意の演算子がこれらによって展開可能

　という意味です。※)

　故に,φとφ_inとは摂動論適用可能性の仮定に従って１対１に

　対応するため,それらはあるユニタリ演算子Ｕ^(ｔ)による

　ユニタリ変換で関係付けられます。

　すなわち,φ(ｘ,ｔ)＝Ｕ^^-1(ｔ)φ_in(ｘ,ｔ)Ｕ^(ｔ),

　およびπ(ｘ,ｔ)＝Ｕ^^-1(ｔ)π_in(ｘ,ｔ)Ｕ^(ｔ)です。

　演算子Ｕ^(ｔ)の動力学は,この関係式から見出すことが

　できます。

　というのは,φ(ｘ)とφ_in(ｘ)の両方についての運動方程式

　が既知であるからです。

　特に,自由場の交換関係と自由場の方程式を満足するIn-field

　に対する定義関係式から,次のHeisenberg方程式が導かれます。

　∂φ_in(ｘ)/∂ｔ＝i[Ｈ_in^(φ_in,π_in),φ_in(ｘ)],

　∂π_in(ｘ)/∂ｔ＝i[Ｈ_in^(φ_in,π_in),π_in(ｘ)]　です。

　ここでＨ_in^(φ_in,π_in)は物理的質量ｍを持つ粒子に対する

　自由場のHamiltonianです。

　さらに,正確なHeisenberg場に対する(時間の)平行移動不変性

　から次式の成立することが保証されます。

　すなわち,∂φ(ｘ)/∂ｔ＝i[Ｈ^(φ,π),φ(ｘ)]です。

　これはまた,∂π(ｘ)/∂ｔ＝i[Ｈ^(φ,π),π(ｘ)]の成立も

　保証します。

　そこで,φ^d_in(ｘ)≡∂φ_in(ｘ)/∂ｔ

　＝(∂/∂ｔ){Ｕ^(ｔ)φ(ｘ,ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)}

　＝Ｕ^^d(ｔ)φ(ｘ,ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)Ｕ^(ｔ)φ(ｘ,ｔ)

　Ｕ^^-1d(ｔ)Ｕ^(ｔ)φ^d(ｘ,ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)

　＝Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)φ_in(ｘ)＋φ_in(ｘ)Ｕ^(ｔ)Ｕ^^-1d(ｔ)

　＋iＵ^(ｔ)[Ｈ^(φ,π),φ(ｘ)]Ｕ^^-1(ｔ)　です。

　ここで,公式:Ｕ^(ｔ)Ｕ^^-1d(ｔ)

　＝(∂/∂ｔ){Ｕ^(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)}－Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)

　＝－Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)を使用します。

　また,φ_in(ｘ)＝Ｕ^(ｔ)φ(ｘ)Ｕ^^-1(ｔ)によって,

 Ｕ^(ｔ)Ｈ^(φ,π)Ｕ^^-1(ｔ)＝Ｈ^(φ_in,π_in)　です。

　したがって,結局,

 φ^d_in(ｘ)＝[Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ),φ^d_in(ｘ)]

　＋i[Ｈ^(φ_in,π_in),φ_in(ｘ)]

　＝φ^d_in(ｘ)＋[Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)＋iＨ_I^(φ_in,π_in),φ_in(ｘ)]

　を得ます。

　同様にして,π^d_in(ｘ)＝π^d_in(ｘ)

　＋[Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)＋iＨ_I^(φ_in,π_in),π_in(ｘ)]

　も得られます。

　ただし,Ｈ_I^(φ_in,π_in)≡Ｈ^(φ_in,π_in)－Ｈ_in^(φ_in,π_in)　です。

　このＨ_I^(φ_in,π_in)は時間ｔに陽に依存する相互作用項(摂動項)

　をIn-fieldで表現したものです。

　以下,このＨ_I^(φ_in,π_in)をＨ_I(ｔ)と表記することにします。

　φ^d_in(ｘ)＝φ^d_in(ｘ)＋[Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)＋iＨ_I(ｔ),φ_in(ｘ)],

　かつ,

　π^d_in(ｘ)＝π^d_in(ｘ)＋[Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)＋iＨ_I(ｔ),π_in(ｘ)]

 から,[Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)＋iＨ_I(ｔ),φ_in(ｘ)]＝0,

　かつ,[Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)＋iＨ_I(ｔ),π_in(ｘ)]＝0 です。

　そして,φ_in,π_inが演算子の完全系を構成することから

　Ｅ₀(ｔ)をｃ数として iＵ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)＝Ｈ_I(ｔ)＋Ｅ₀(ｔ)

　と書けます。

　そこで,改めてＨ_I'(ｔ)≡Ｈ_I(ｔ)＋Ｅ₀(ｔ)と定義すると,

　Ｕ^^d(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ)＝Ｈ_I'(ｔ)ですからＵ^(ｔ)は方程式;

　∂Ｕ^(ｔ)/∂ｔ＝Ｈ_I'(ｔ)Ｕ^(ｔ)　を解けば得られます。

　Ｕ(ｔ,ｔ')≡Ｕ^(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ')と定義すると,

　i∂Ｕ(ｔ,ｔ')/∂ｔ＝Ｈ_I'(ｔ)Ｕ(ｔ,ｔ'),

　ただし,Ｕ(ｔ,ｔ)＝1です。

　これを近似展開に便利な積分方程式で表わせば,

　Ｕ(ｔ,ｔ')＝1－i∫_t'^tｄｔ₁Ｈ_I'(ｔ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ')

　となります。

　これから,解の初期値をＵ(ｔ₁,ｔ')≡1とする反復法によって

　Ｕ(ｔ,ｔ')＝1－i∫_t'^tｄｔ₁Ｈ_I'(ｔ₁)

　＋(－i)²∫_t'^tｄｔ₁Ｈ_I'(ｔ₁)∫_t'^t1ｄｔ₂Ｈ_I'(ｔ₂)＋..

　＋(－i)ⁿ∫_t'^tｄｔ₁∫_t'^t1ｄｔ₂..∫_t'^tn-1ｄｔ_n[Ｈ_I'(ｔ₁)Ｈ_I'(ｔ₂)

　.Ｈ_I'(ｔ_n)]＋..　なる摂動展開を得ます。

　明らかに,ｔ₁≧ｔ₂≧..≧ｔ_nですから,相互作用項の積:

　[Ｈ_I'(ｔ₁)Ｈ_I'(ｔ₂)..Ｈ_I'(ｔ_n)]を時間順序積(経時積;Ｔ積):

　Ｔ(Ｈ_I'(ｔ₁)Ｈ_I'(ｔ₂)..Ｈ_I'(ｔ_n))で置き換えることができ

　ます。

　すると,

　Ｕ(ｔ,ｔ')＝1＋Σ_n=1^∞(－i)ⁿ∫_t'^tｄｔ₁∫_t'^t1ｄｔ₂..∫_t'^tn-1ｄｔ_n

　Ｔ(Ｈ_I'(ｔ₁)Ｔ-Ｈ_I'(ｔ₂).Ｈ_I'(ｔ_n))　と書けます。

　この表現式は時間変数ｔ₁,ｔ₂,..,ｔ_nの交換対称な形をしている

　ので,対称化して

　Ｕ(ｔ,ｔ')＝1＋Σ_n=1^∞∫_t'^tｄｔ₁∫_t'^tｄｔ₂..∫_t'^tｄｔ_n

　Ｔ(Ｈ_I'(ｔ₁)Ｈ_I'(ｔ₂)Ｈ_I'(ｔ_n))と書くことができます。

　これを記号的にＵ(ｔ,ｔ')≡Ｔ(exp{－i∫_t'^tＨ_I'(ｔ)ｄｔ})

　＝Ｔ(exp{－i∫_t'^tｄ⁴ｘＨ_I(φ_in(ｘ)})　と表現します。

　Ｕ演算子:Ｕ(ｔ,ｔ')の有用な性質は

　Ｕ(ｔ,ｔ')＝Ｕ(ｔ,ｔ")Ｕ(ｔ",ｔ')です。

　これは定義:Ｕ(ｔ,ｔ')＝Ｕ^(ｔ)Ｕ^^-1(ｔ')から明らかな

　性質です。

　特に,1＝Ｕ(ｔ,ｔ)＝Ｕ(ｔ,ｔ')Ｕ(ｔ',ｔ)により,

　Ｕ(ｔ,ｔ')＝Ｕ^-1(ｔ',ｔ)です。

　さて,これを用いてHeisnbeg場の"時間順序積＝Ｔ積"の

　真空期待値：

　τ(ｘ₁,..,ｘ_n)≡＜0|Ｔ(φ(ｘ₁)..φ(ｘ_n))|0＞

　をIn-fieldで表現することに向かいます。

　まず,τ(ｘ₁,..,ｘ_n))＝＜0|Ｔ(φ(ｘ₁)..φ(ｘ_n))|0＞

　＝＜0|Ｔ(Ｕ^^-1(ｔ₁)φ_in(ｘ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)φ_in(ｘ₂)Ｕ(ｔ₂,ｔ₃)..

　Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)φ_in(ｘ_n)Ｕ^(ｔ_n))|0＞

　＝＜0|Ｔ(Ｕ^^-1(ｔ)Ｕ(ｔ,ｔ₁)φ_in(ｘ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)φ_in(ｘ₂)

　Ｕ(ｔ₂,ｔ₃)..Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)φ_in(ｘ_n)Ｕ(ｔ_n,－ｔ)

　Ｕ^(－ｔ))|0＞

　です。

　ただし,ｔは∞ に近づくことも許される準拠時間です。

　こうした極限では,ｔ₁,ｔ₂,..,ｔ_n∈(－ｔ,ｔ)ですから,

　Ｕ^^-1(ｔ)とＵ^(－ｔ)をＴ積から外に出して

　τ(ｘ₁,..,ｘ_n)＝＜0|Ｕ^^-1(ｔ)Ｔ(Ｕ(ｔ,ｔ₁)φ_in(ｘ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)

　φ_in(ｘ₂)Ｕ(ｔ₂,ｔ₃)..Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)φ_in(ｘ_n)Ｕ(ｔ_n,－ｔ))

　Ｕ^(－ｔ)|0＞　と書くことができます。

　そして,Ｔ(Ｕ(ｔ,ｔ₁)φ_in(ｘ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)φ_in(ｘ₂)Ｕ(ｔ₂,ｔ₃)

　..Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)φ_in(ｘ_n)Ｕ(ｔ_n,－ｔ))　において,

　一般性を失なうことなく

　ｔ＞ｔ₁＞ｔ₂＞..＞ｔ_n-1＞ｔ_n＞－ｔ と仮定できます。

　すると,Ｔ(Ｕ(ｔ,ｔ₁)φ_in(ｘ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)φ_in(ｘ₂)Ｕ(ｔ₂,ｔ₃)

　..Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)φ_in(ｘ_n)Ｕ(ｔ_n,－ｔ))

　＝Ｕ(ｔ,ｔ₁)φ_in(ｘ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)φ_in(ｘ₂)Ｕ(ｔ₂,ｔ₃)..

　Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)φ_in(ｘ_n)Ｕ(ｔ_n,－ｔ)　です。

　これに,Ｕ(ｔ,ｔ₁)＝Ｔ(exp{－i∫_t1^tＨ_I'(τ₀)ｄτ₀}),

　Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)＝Ｔ(exp{－i∫_t2^t1Ｈ_I'(τ₁)ｄτ₁}),..,

  Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)＝Ｔ(exp{－i∫_tn^tn-1Ｈ_I'(τ_n-1)ｄτ_n-1}),

  Ｕ(ｔ_n,－ｔ)＝Ｔ(exp{－i∫_-t^tnＨ_I'(τ_n)ｄτ_n})　

  を代入します。

　かくして,

　Ｕ(ｔ,ｔ₁)φ_in(ｘ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)φ_in(ｘ₂)Ｕ(ｔ₂,ｔ₃)

　..Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)φ_in(ｘ_n)Ｕ(ｔ_n,－ｔ)

　＝Ｔ(exp{－i∫_t1^tＨ_I'(τ₀)ｄτ₀})φ_in(ｘ₁)

　　Ｔ(exp{－i∫_t2^t1Ｈ_I'(τ₁)ｄτ₁})φ_in(ｘ₂)..

　　Ｔ(exp{－i∫_tn^tn-1Ｈ_I'(τ_n-1)ｄτ_n-1})φ_in(ｘ_n)

　　Ｔ(exp{－i∫_-t^tnＨ_I'(τ_n)ｄτ_n})　

　となります。

 ｔ≧τ₀≧ｔ₁≧τ₁≧ｔ₂≧..≧ｔ_n-1≧τ_n-1≧ｔ_n≧τ_n≧－ｔ

　ですから,Ｔ記号は,

　ｔ,τ₀,ｔ₁,τ₁,ｔ₂,..,ｔ_n-1,τ_n-1,ｔ_n,τ_n,－ｔに対する

　記号と考えます。

　すると,

　Ｔ(Ｕ(ｔ,ｔ₁)φ_in(ｘ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)φ_in(ｘ₂)Ｕ(ｔ₂,ｔ₃)..

　Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)φ_in(ｘ_n)Ｕ(ｔ_n,－ｔ))

　＝Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)

　Ｔ(exp{－i∫_t1^tＨ_I'(τ₀)ｄτ₀})Ｔ(exp{－i∫_t2^t1Ｈ_I'(τ₁)ｄτ₁})

　..Ｔ(exp{－i∫_-t^tnＨ_I'(τ_n)ｄτ_n}))　です。

　結局,Ｔ(Ｕ(ｔ,ｔ₁)φ_in(ｘ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)φ_in(ｘ₂)Ｕ(ｔ₂,ｔ₃)

　..Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)φ_in(ｘ_n)Ｕ(ｔ_n,－ｔ))

　＝Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)Ｔ(exp{－i∫_-t^tＨ_I'(τ)ｄτ})

　と書けます。

　さらに記号的に書けば,これは,

　Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)exp{－i∫_-t^tＨ_I'(τ)ｄτ})

　となります。

　これは,より正確には

　Σ_m=0^∞{(―i)^m/ｍ!}∫_-t^tｄτ₁.. ｄτ_m

　Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)Ｈ_I'(τ₁) Ｈ_I'(τ₂)..Ｈ_I'(τ_ｍ))

　で定義される記号で,確かに元のＴ積を忠実に示すものです。

※(注):つまり,

　Σ_m0=0^∞Σ_m1=0^∞..Σ_mn=0^∞{(―i)^m0/ｍ₀!}{(―i)^m0/ｍ₁!}..

　{(―i)^m0/ｍ_n!}∫_t1^tｄτ₀¹ｄτ₀²..ｄτ₀^m0

　∫_t2^t1ｄτ₁¹ｄτ₁²..ｄτ₁^m1..∫_-t^tnｄτ_n¹ｄτ_n²..ｄτ_n^mn

 {Ｈ_I'(τ₀¹)Ｈ_I'(τ₀²)..Ｈ_I'(τ₀^m0)φ_in(ｘ₁)Ｈ_I'(τ₁¹)

　Ｈ_I'(τ₁²)..Ｈ_I'(τ₁^m1)φ_in(ｘ₂)Ｈ_I'(τ₂¹)..Ｈ_I'(τ_n-1^mn-1)

　φ_in(ｘ_n)Ｈ_I'(τ_n¹)Ｈ_I'(τ_n²)..Ｈ_I'(τ_n^mn)}　

　が次のT積の特別な場合です。

　Σ_m0=0^∞Σ_m1=0^∞..Σ_mn=0^∞{(―i)^m0/ｍ₀!}{(―i)^m0/ｍ₁!}..

　{(―i)^m0/ｍ_n!}∫_t1^tｄτ₀¹ｄτ₀².. ｄτ₀^m0∫_t2^t1ｄτ₁¹ｄτ₁²..

　ｄτ₁^m1..∫_-t^tnｄτ_n¹ｄτ_n²..ｄτ_n^m

　Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)Ｈ_I'(τ₀¹)

　Ｈ_I'(τ₀²)..Ｈ_I'(τ₀^m0)ⁿ..Ｈ_I'(τ_n¹)Ｈ_I'(τ_n²)..Ｈ_I'(τ_n^mn))

　です。(注終わり)※

　かくして,τ(ｘ₁,..,ｘ_n)

　＝＜0|Ｕ^^-1(ｔ)Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)

　Ｔ(exp{－i∫_-t^tＨ_I'(τ)ｄτ})Ｕ^(－ｔ)|0＞　であり,

　Ｕ^^-1(ｔ),Ｕ^(－ｔ)　を除いてIn-fieldsによってＳ行列

　が表現されました。

　最後に,Ｕ^^-1(ｔ),および,Ｕ^(－ｔ)は,真空|0＞がｔ→∞

　の極限において,これらの演算子の固有状態であることを示す

　ことによって除去できます。

　このことを示すため,他のαと共に１粒子ｐを含む任意の

　入射状態|αｐ;in＞を考えます。

　ｐがKlein－Gordon粒子の場合には

　＜β;out|ｐα;in＞＝＜β;out|ａ_in^⁺(ｐ)|α;in＞

　＝＜β－ｐ;out|ｐα;in＞

　－i∫ｄ³ｘｆ_p(ｘ)∂₀^⇔＜β;out|φ_in(ｘ)－φ_out(ｘ)|α;in＞

　でした。

　これによって,

 ＜ｐα;in|Ｕ^(－ｔ)|0＞

　＝＜α;in|ａ_in^(ｐ)|Ｕ^(－ｔ)|0＞

　＝－i∫ｄ³ｘ

　ｆ_p^*(ｘ,－ｔ')∂₀'^⇔＜α;in|φ_in(ｘ,－ｔ')Ｕ^(－ｔ)|0＞

　です。

　(※同様な形式はFermi粒子や光子に対しても少し違う形で

　得られます。) 

　φ(ｘ,ｔ)＝Ｕ^^-1(ｔ)φ_in(ｘ,ｔ)Ｕ^(ｔ)を代入すると

　＜ｐα;in|Ｕ^(－ｔ)|0＞

　＝－i∫ｄ³ｘ

　ｆ_p^*(ｘ,－ｔ')∂₀'^⇔＜α;in|Ｕ^(－ｔ')φ(ｘ,－ｔ')

　Ｕ^^-1(－ｔ')Ｕ^(－ｔ)|0＞　です。

　これはｔ＝ｔ'→∞ とするとき,漸近条件:

　lim _t→-∞＜α|φ^f(ｔ)|β＞＝√Ｚ＜α|φ_in^f|β＞に従って,

　次の値に近づきます。

　すなわち,

　√Ｚ＜α;in|Ｕ^(－ｔ)ａ_in^(ｐ)|0＞

　＋i∫ｄ³ｘｆ_p^*(ｘ,－ｔ)＜α;in|Ｕ^^d(－ｔ)φ(ｘ,－ｔ)

　＋Ｕ^(－ｔ)φ(ｘ,－ｔ)Ｕ^^-1d(－ｔ)Ｕ^(－ｔ)|0＞

　に近づきます。 

　そして,明らかに,ａ_in^(ｐ)|0＞＝0 です。

　また,Ｕ^^dφ＋Ｕ^φＵ^^-1dＵ^

　＝Ｕ^^dＵ^^-1φ_inＵ^＋φ_inＵ^Ｕ^^-1dＵ^

　＝[Ｕ^^dＵ^^-1,φ_in]Ｕ^＝－i[Ｈ_I',φ_in]Ｕ^＝0 です。

　何故なら,相互作用:Ｈ_I'(ｔ)=Ｈ_I'(φ_in,π_in)にはπ_in＝φ_i^d

　などの時間微分結合が含まれないと仮定しているので,

　[Ｈ_I',φ_in]＝0 です。 

　したがって,ｔ→∞ のとき,１粒子以上を含む全ての

　In-states |ｐα;in＞に対して

 ＜ｐα;in|Ｕ^(－ｔ)|0＞→ 0 が成立します。

　それ故,真空の一意性によりｔ→∞ では状態Ｕ^(－ｔ)|0＞

  は|0;in＞＝|0＞ の定数陪です。

　すなわち,ある定数λ_－が存在してｔ→∞で

Ｕ^(－ｔ)|0＞＝λ_－|0＞と書くことができます。

同様にしてｔ→∞でＵ^(ｔ)|0＞＝λ_＋|0＞も示すこと

ができます。

定数λ_－,およびλ_＋は,ｔ→∞ において,

λ_－λ_＋^*＝＜0|Ｕ^^-1(ｔ)|0＞＜0|Ｕ^(－ｔ)|0＞

＝＜0|Ｕ^(－ｔ)|0＞＜0|Ｕ^^-1(ｔ)|0＞＝＜0|Ｕ^(ｔ－ｔ)|0＞

＝＜0|Ｔ(exp{i∫_-t^tＨ_I'(τ)ｄτ})|0＞

＝Ｔ(exp{－i∫_-t^tＨ_I'(τ)ｄτ})|0＞^-1を満たします。

 そこで,

τ(ｘ₁,..,ｘ_n)

＝＜0|Ｕ^^-1(ｔ)Ｔ(Ｕ(ｔ,ｔ₁)φ_in(ｘ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₂)φ_in(ｘ₂)

Ｕ(ｔ₂,ｔ₃)..Ｕ(ｔ_n-1,ｔ_n)φ_in(ｘ_n)Ｕ(ｔ_n,－ｔ))Ｕ^(－ｔ)|0＞

＝＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)

exp{－i∫_-t^tＨ_I'(τ)ｄτ})|0＞/Ｔ(exp{－i∫_-t^tＨ_I'(τ)ｄτ})|0＞

です。

さらにｔ→∞ に極限移行すると,

τ(ｘ₁,..,ｘ_n)＝＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)

exp{－i∫_-∞^∞Ｈ_I'(τ)ｄτ})|0＞

/＜0|Ｔ(exp{－i∫_-∞^∞Ｈ_I'(τ)ｄτ})|0＞ です。

すなわち,

τ(ｘ₁,..,ｘ_n)＝Σ_m=0^∞{(－i)^m/ｍ!}∫_-∞^∞∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_m

＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)Ｈ_I(φ_in(ｙ₁))

Ｈ_I(φ_in(ｙ₂).. Ｈ_I(φ_in(ｙ_m)))|0＞

/[Σ_m=0^∞{(－i)^m/ｍ!}∫_-∞^∞∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_m

＜0|Ｔ(Ｈ_I(φ_in(ｙ₁))Ｈ_I(φ_in(ｙ₂)..Ｈ_I(φ_in(ｙ_m)))|0＞

です。

　これが,摂動論の基本的な最終結果です。

§17.4 Wick's Theorem(Wickの定理)

　まず,摂動展開の最終結果は,

　τ(ｘ₁,..,ｘ_n)

　＝Σ_m=0^∞{(－i)^m/ｍ!}∫_-∞^∞∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_m

 ＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)Ｈ_I(φ_in(ｙ₁))

　Ｈ_I(φ_in(ｙ₂)..Ｈ_I(φ_in(ｙ_m)))|0＞

　/[Σ_m=0^∞{(－i)^m/ｍ!}∫_-∞^∞∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_m

 ＜0|Ｔ(Ｈ_I(φ_in(ｙ₁))Ｈ_I(φ_in(ｙ₂)..Ｈ_I(φ_in(ｙ_m)))|0＞

　です。

　さらに,これを評価するには,右辺各項の

　＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)Ｈ_I(φ_in(ｙ₁))

 Ｈ_I(φ_in(ｙ₂)..Ｈ_I(φ_in(ｙ_m)))|0＞

　を具体的に計算する必要があります。

　＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)

 Ｈ_I(φ_in(ｙ₁))Ｈ_I(φ_in(ｙ₂).. Ｈ_I(φ_in(ｙ_m)))|0＞

　に含まれるスカラー場の真空期待値項は

　＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)|0＞なる因子の

　積分を含みます。 

　これを具体的に積分できる形にするため,消滅演算子

　を１つ１つ右に生成演算子を左に移動させることを

　試みます。

　こうして,時間順序積を謂わゆる正規順序積

　(normal-ordering product)にする計画からFeynman振幅

　が得られます。

　これは,最初1949年にDysonによって展開され,後にWick

　によって拡張されました。Wickは次のような定理を証明

　しました。

　内容は次の通りです。

　Ｔ[φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n)]

　＝：φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n)：

　＋{＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)|0＞:φ_in(ｘ₃)..φ_in(ｘ_n):

　＋(全ての置換項))

　＋{＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)|0＞＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₃)φ_in(ｘ₄)|0＞

　:φ_in(ｘ₅)..φ_in(ｘ_n):＋(全ての置換項)))＋..

　＋{＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)|0＞＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₃)φ_in(ｘ₄)|0＞..

　＜0|Ｔ(φ_in(ｘ_n-1)φ_in(ｘ_n)|0＞＋(全ての置換項))

　(↑ ｎが偶数のとき),

　または,

　＋{＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)|0＞＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₃)φ_in(ｘ₄)|0＞..

　＜0|Ｔ(φ_in(ｘ_n-2)φ_in(ｘ_n-1)|0＞φ_in(ｘ_n)＋(全ての置換項))

　(↑ ｎが奇数のとき)

　です。

(※記号；；で表わしたものが正規順序積でありこれは場の演算子

を正振動数部分(消滅演算子)＋負振動数部分(生成演算子)に分けて

積を展開した後,生成が左に消滅が右にくるように交換して交換子

からの寄与は無視したものです。これの真空期待値はゼロです。※)

　真空期待値,または縮約(contractions)は場の演算子を

　正規順序(normal-order)に並べ換えるとその交換子から

　発生します。 

　そして,これらの"縮約＝場のＴ積の真空期待値"は

　自由場のFeynman伝播関数の場の理論的表現となって

　います。

　演算子の正規順序積:φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n):は,これの因子

　である各演算子をφ_in(ｘ)＝φ_in⁽⁺⁾(ｘ)＋φ_in^(-)(ｘ)と正振動数

　部分と負振動数部分に分解することから形成されることを思い

　起こします。

　ここで,φ_in⁽⁺⁾(ｘ)は消滅演算子のみ,φ_in^(-)(ｘ)は生成演算子

　のみから成っています。

　正規順序に到達するためには,あらゆる生成演算子があらゆる

　消滅演算子の左に位置するようにします。

　ただし,もしもFermi場を互換するときには順序の交換のたび

　に(－)符号が導入される必要があります。

　陽に書くと:φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n):

　＝Σ_A,Bδ_pΠ_i∈Aφ_in^(-)(ｘ_i)Π_j∈Bφ_in⁽⁺⁾(ｘ_j)　です。

　ここで和Σ_A,Bはｎ個の添字のあらゆる集合Ａ,Ｂ

　(※ Ａ∪Ｂ＝{1,2,..,ｎ},Ａ∩Ｂ＝φを満たす{1,2,..,ｎ}

　の直和分割 ※)　にわたって取られます。

 δ_pはFermi場の場合の置換の符号です。

そして,正規順序積の真空期待値は全てゼロです。

何故なら,φ_in⁽⁺⁾|0＞＝＜0|φ_in^(-)＝0 だからです。

　以上から,ｎが奇数なら＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n)|0＞＝0

であり,

ｎが偶数なら

＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n)|0＞

＝Σ_permδ_p＜0|Ｔ(φ_in(ｘ_p1)φ_in(ｘ_p2)|0＞

＜0|Ｔ(φ_in(ｘ_p3)φ_in(ｘ_p4)|0＞..＜0|Ｔ(φ_in(ｘ_p(n-1))φ_in(ｘ_pn)|0＞

です。(※ これは単に自由場の２点Green関数(伝播関数:propagator),

実スカラーΔ場なら_Ｆ(ｘ－ｙ)＝＜0|Ｔ(φ_in(ｘ)φ_in(ｙ)|0＞の積

ですね。※)

ただし,＜0|Ｔ(φ_in(ｘ_i)φ_in(ｘ_j)|0＞のφ_in(ｘ_i),φ_in(ｘ_j)

の場φ(ｘ)がFermion場の場合には,必ずｉ＜ｊとなるようにして添字

の若い順に並べるという規約に従います。

(Wickの定理の証明):スカラー場を仮定して帰納法で

証明します。

　ｎ＝1に対しては定理は明らかに正しいです。

　また,ｎ＝2に対しては

　Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂))＝:φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂):＋(ｃ数)

　です。

　何故なら,時間順序から正規順序に変えるのは単にいくつかの

　生成演算子と消滅演算子の交換を意味するに過ぎず,交換後に

　残る交換子は.

　[φ_in⁽⁺⁾(ｘ₁),φ_in^(-)(ｘ₂)]

　＝＜0|[φ_in⁽⁺⁾(ｘ₁),φ_in^(-)(ｘ₂)]|0＞

　＝＜0|φ_in⁽⁺⁾(ｘ₁),φ_in^(-)(ｘ₂)|0＞

　であって,これはｃ数だからです。

　このｃ数を求めるために,

　Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂))＝:φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂):＋(ｃ数)

　の両辺の真空期待値を取れば,

　(ｃ数)＝＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂))|0＞より

　Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂))＝:φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂):

　＋＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂))|0＞　を得ます。

　そして,一般のｎについても定理が正しいと仮定します。

　このとき,Ｔ(φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n+1))においてｔ_n+1を最小時刻

　に選ぶと,

　Ｔ(φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n+1))

　＝Ｔ(φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n))φ_in(ｘ_n+1))

　＝:φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n):φ_in(ｘ_n+1)

　＋Σ_perm＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂))|0＞

　:φ_in(ｘ₃)..φ_in(ｘ_n):φ_in(ｘ_n+1)＋..　

　です。　

　ところで,:φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n):

　＝Σ_A,BΠ_i∈Aφ_in^(-)(ｘ_i)Π_j∈Bφ_in⁽⁺⁾(ｘ_j)　です。 

　故に,:φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n):φ_in(ｘ_n+1)

　＝Σ_A,BΠ_i∈Aφ_in^(-)(ｘ_i)Π_j∈Bφ_in⁽⁺⁾(ｘ_j)

　{φ_in⁽⁺⁾(ｘ_n+1)　＋φ_in^(-)(ｘ_n+1)} 

　＝Σ_A,BΠ_i∈Aφ_in^(-)(ｘ_i)Π_j∈Bφ_in⁽⁺⁾(ｘ_j)φ_in⁽⁺⁾(ｘ_n+1)

　＋Σ_A,BΠ_i∈Aφ_in^(-)(ｘ_i)φ_in^(-)(ｘ_n+1)Π_j∈Bφ_in⁽⁺⁾(ｘ_j)

　＋Σ_A,BΠ_i∈Aφ_in^(-)(ｘ_i)Σ_k∈BΠ_i∈B,j≠kφ_in⁽⁺⁾(ｘ_j)

　＜0|φ_in⁽⁺⁾(ｘ_k)φ_in^(-)(ｘ_n+1)|0＞　です。 

　ここで,＜0|φ_in⁽⁺⁾(ｘ_k)φ_in^(-)(ｘ_n+1)｜0＞

　＝＜0|φ_in(ｘ_k)φ_in(ｘ_n+1)｜0＞

　＝＜0|Ｔ(φ_in(ｘ_k)φ_in(ｘ_n+1))|0＞　です。

　よって,:φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n):φ_in(ｘ_n+1)

　＝:φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n)φ_in(ｘ_n+1):

　＋Σ_k:φ_in(ｘ₁)..φ_in(ｘ_k-1)φ_in(ｘ_k+1)..φ_in(ｘ_n):

　＜0|Ｔ(φ_in(ｘ_k)φ_in(ｘ_n+1))|0＞　となります。

　これは定理の結論のｎ →(ｎ＋1)の形です。

　したがって,帰納法により定理は証明されました。(証明終わり)

　Wickの定理を,τ(ｘ₁,..,ｘ_n)

＝＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)

exp{－i∫_-∞^∞Ｈ_I'(τ)ｄτ})|0＞

/＜0|Ｔ(exp{－i∫_-∞^∞Ｈ_I'(τ)ｄτ})|0＞

＝Σ_m=0^∞{(－i)^m/ｍ!}∫_-∞^∞∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_m

 ＜0|Ｔ(φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)..φ_in(ｘ_n)

Ｈ_I(φ_in(ｙ₁))Ｈ_I(φ_in(ｙ₂).. Ｈ_I(φ_in(ｙ_m)))|0＞

/[Σ_m=0^∞{(－i)^m/ｍ!}∫_-∞^∞∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_m

 ＜0|Ｔ(Ｈ_I(φ_in(ｙ₁))Ｈ_I(φ_in(ｙ₂)..Ｈ_I(φ_in(ｙ_m)))|0＞

に適用します。

　このとき,相互作用Hamiltonian項:Ｈ_I(φ_in(ｙ))は通常は既に正規順序

にされていることに注目します。 

　そこで,時間順序積を計算する際に同一の相互作用項Ｈ_I(φ_in(ｙ))

から生じた同一の座標ｙの２つの場の演算子を含む縮約項は

出現しません。

　これらは,τ(ｘ₁,..,ｘ_n)の右辺において正規順序から出発しており,

また明らかにＴ:φ_in(ｙ)φ_in(ｙ):＝:φ_in(ｙ)φ_in(ｙ):です。

(※これは謂わゆるTad-poleですね。)

　今日はここまでにします。

参考文献:J.D.Bjorken,S.D.Drell "Relativistic Quantum Field" (McGraw-Hill)

PS:ちょっと下品かも知れないけど,便秘でもなんでも,人間穴からモノを

出すと気持ちいいものですね。 

PS2:今日７月７日は西宮にいる愛する姪(ミクシィ名いくよくるよ）の37

　回目の誕生日です。(まだ永久就職しないのか？) 

　昨夜,手話講習後に椎名町から帰る途中,携帯メールで37歳おめでとう

　とやったら。。。。フライングだという返事がきました。。 

　ウーン女性の歳１つの差は大きいかも。。 

　先ほどスペインが１対0でドイツに勝ったので,サッカーWカップ決勝

　はオランダ対スペインに決まりました。。

　昨日のウルグァイについては,私は既にガーナに負けていたと思う

　ので順当だと思いました。

　いくら勝つために手段選ばない。。何でも反則アリといっても意図的

　に手で止めるなんて。。と思ってましたから。。

　思わず手が出たぁ　？ 

　キャッチャーのブロックならいいけどそれ以外のサードか誰かが

　走路妨害？野球ならＰＫ抜きで得点が認められるし,バスケットなら

　バスケットカウント,日本のラグビーじゃ認定トライ。。

　ま,ルールといえばルールですが。。

　勝つための手段として例えば昔の高校野球の松井の全打席敬遠

　くらいなら反則でもないし別に何も文句はないけれど。。

　しかし,話は変わって大相撲のことですが,相撲の八百長でもやった

　のならいざ知らず,たかが法律で禁止されてるギャンブルに手を出した

　くらいで”死刑”は量刑不当だろう？。。

　競馬,競輪,競艇,toto,パチンコetc.なら何の罪にもならないのに。。

　麻雀,花札,トランプ,高校野球の小額程度なら私も含めて現在は取り

　締まる側の関係者でも,ほとんどが学生時代にでも経験あるはずです。。

　暴力団についてはむしろ被害者だろうし。。またまた腐った上役たち

　のスケープ・ゴートかよ。。