散乱の伝播関数の理論(19)(応用５)

　散乱の伝播関数の理論の続きです。

　実は,引越し後の科学記事として共形場の理論の続きから再開し

　ようと画策していたのですが,その考察中に少し躓いてしまい,　　

　かなり遅れそうなので,取り合えずテーマを表題に代えて,私の

　既存の過去ノートに頼ることにしました。

(※PS:そもそも,参考にしている共形場の理論のテキストを以後読み

　進んでいく上での全ての基礎となるべきGrassman代数の定義から

　曖昧で,すぐ次の命題から私には証明不可能で,掲載してある証明

　モドキも理解困難なので,結局,このテキストで勉強するのを中止

　しました。

　用語の定義なら,別の書物を参考にすればいいだけですが,

　テキスト単独で最初から公理,定義のようなものが曖昧だと

　感じたので,読もうという気力が萎えてしまいました。※)

§7.8 Pair Anihilation into Gamma Rays(γ線への対消滅)

　下に再掲のCompton散乱に対するFeynman diagram(図7.10)

を横に向けると,かなり物理的に興味深いプロセスに遭遇します。

すなわち,電子-陽電子対の２つの光子への消滅です。

そして,上図７.11に示す運動学に関連したＳ行列要素は,

運動量空間では次のように書けます。

Ｓ_fi^Pair＝ｅ²{ｍ²/(4Ｅ_＋Ｅ_－ｋ₁ｋ₂ε₀²)}^1/2(2π)⁴

δ⁴(ｋ₁＋ｋ₂－ｐ_＋－ｐ_－)ｖ~(ｐ_＋,ｓ_＋)

[(－iε₂){ｉ/(ｐ_－－ｋ₁－ｍ)}(－iε₁)

＋(－iε₁){ｉ/(ｐ_－－ｋ₂－ｍ)}(－iε₂)]ｕ(ｐ_－,ｓ_－)

です。

これは,Bose統計で要求されるように２つの光子の入れ換え

に対しては対称です。

これまでのFeynman伝播関数(propagator)に関する記述では,この

プロセスは過去に生成された正エネルギー:ｐ_－の電子が負エネル

ギー状態:－ｐ_＋に散乱されて伝播し過去に帰る,という描像に対

応します。

そして経路に沿って２つの光子を生成します。

つまり,エネルギーを輻射場へと２回手放します。

こうした過程が起こり得るのは最低次でｅ²のオーダーです。

何故なら,エネルギー・運動量の保存により,運動学的に対消滅

から単一の光子に転化することは有り得ないからです。

さらに,Ｓ_fi^Pairの２つの光子の入れ換え対称性が保証されるため

には両方のグラフが含まれる必要があります。

ところで,すぐ前に考察したCompton散乱振幅を見返すと,

Ｓ_fi^Comp＝{ｅ²/(ε₀Ｖ²)}(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ)

(4ｋ⁰ｋ' ⁰)^-1/2{ｍ²/(Ｅ_fＥ_i)}^1/2

ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[(－iε'){i/(ｐ_i＋ｋ－ｍ)}(－iε)

＋(－iε){i/(ｐ_i－ｋ'－ｍ)}(－iε')]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)

です。

これと,今の対消滅の振幅:　

Ｓ_fi^Pair＝ｅ²{ｍ²/(4Ｅ_＋Ｅ_－ｋ₁ｋ₂ε₀²)}^1/2(2π)⁴

δ⁴(ｋ₁＋ｋ₂－ｐ_＋－ｐ_－)ｖ~(ｐ_＋,ｓ_＋)

[(－iε₂){ｉ/(ｐ_－－ｋ₁－ｍ)}(－iε₁)

＋(－iε₁){ｉ/(ｐ_－－ｋ₂－ｍ)}(－iε₂)]ｕ(ｐ_－,ｓ_－)

を比較して見ると,

非常に強い類似性に気が付くはずです。

実際,(ε,ｋ)⇔(ε₁,－ｋ₁),(ε',ｋ')⇔(ε₂,＋ｋ₂),

かつ,(ｐ_i,ｓ_i)⇔(ｐ_－,ｓ_－),(ｐ_f,ｓ_f)⇔(－ｐ_＋,ｓ_＋)　

なる交換(代入)によって,振幅Ｓ_fi^CompとＳ_fi^Pairは互いに変換

し合うことが見て取れます。

　これは,任意の順序に対して正しく,タイプ:Ａ＋Ｂ → Ｃ＋Ｄ

　の反応を,例えばＡ＋Ｃ~ → Ｂ~＋Ｄなるプロセスに関連付ける

　"一般的な代入法則＝詳細釣り合いの原理

　(principles of detailed Valance)" の１例になっています。

　この代入規則の別の例は下の再掲:図7:8　

　に対応する制動輻射(Bremsstrahlung)の振幅:

　Ｓ_fi^Brem＝ｅ²∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙψ~_f(ｘ)[－iＡ(ｘ;ｋ)iＳ_F(ｘ－ｙ)

　(－iγ⁰)Ａ⁰_Coul(ｙ)＋(－iγ⁰)Ａ⁰_Coul(ｘ)iＳ_F(ｘ－ｙ)

　{－iＡ(ｙ;ｋ)}]ψ_i(ｙ);

　Ａ⁰_Coul(ｘ)≡－Ｚｅ/(4πε₀|ｘ|)(ｅ＜0 は電子の電荷),

　および,下図７.12に示す対創生(対生成:pair production)の振幅

　です。

　

　さて,対消滅に戻って,

　Ｓ_fi^Pair＝ｅ²{ｍ²/(4Ｅ_＋Ｅ_－ｋ₁ｋ₂ε₀²)}^1/2(2π)⁴

δ⁴(ｋ₁＋ｋ₂－ｐ_＋－ｐ_－)ｖ~(ｐ_＋,ｓ_＋)

　[(－iε₂){ｉ/(ｐ_－－ｋ₁－ｍ)}(－iε₁)

　＋(－iε₁){ｉ/(ｐ_－－ｋ₂－ｍ)}(－iε₂)]ｕ(ｐ_－,ｓ_－)

　から,

　もう,お馴染みのステップで微分断面積の構成に進みます。

　偏りのない入射陽電子－電子(電子が静止の実験室系)を仮定

　した結果は,

　ｄσ~＝{ｅ⁴/(2πε₀)²}∫{ｍ/(Ｅ_＋β_＋)}(―1)(1/4)(4ｍ²)^-1

Ｔr(ｍ－ｐ_＋){ε₂ｋ₁ε₁/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₁ｋ₂ε₂/(2ｐ_－ｋ₂)}

　(ｐ_－＋ｍ){ε₁ｋ₁ε₂/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₂ｋ₂ε₁/(2ｐ_－ｋ₂)}

　{ｄ³ｋ₁/(2ｋ₁)}{ｄ³ｋ₂/(2ｋ₂)}δ⁴(ｋ₁＋ｋ₂－ｐ_－－ｐ_＋)

　 です。

ただし,β_＋≡ｐ_＋/Ｅ_＋(ｐ_＋≡|ｐ_＋|)は入射陽電子の速さです。

また,右辺の因子1/4は電子と陽電子の初期spin状態の平均に由来し,

マイナス符号は陽電子スピノールの規格化に由来します。

(※標的電子が静止の実験室系では,Ｅ_－＝ｍ,つまりｍ/Ｅ_－＝1

であり標的に向かう速さは|ｖ|＝β_＋＝|ｐ_＋|/Ｅ_＋です。)

　行列要素の単純化された形は,実験室系での横波ゲージの選択:

　ε₁ｐ_－＝0,ε₂ｐ_－＝0,および,Compton散乱で適用したのと同じ

　交換則(代入則)のためです。

　(※実験室系では,初期電子の４元運動量はｐ_－＝(ｍ,0)で,光子の

　４元spin(偏り)はそれぞれ,ε₁＝(0,ε₁),ε₂＝(0,ε₂)です。)

※(注19-1):上記ｄσ~の具体形を説明するため,まず,

　Ａ≡ｖ~(ｐ_＋,ｓ_＋)[ε₂(ｐ_－－ｋ₁＋ｍ)ε₁/(－2ｐ_－ｋ₁)

　＋ε₁(ｐ_－－ｋ₂＋ｍ)ε₂/(－2ｐ_－ｋ₁)]ｕ(ｐ_－,ｓ_－)

　とおきます。

　すると,(ｐ_－＋ｍ)ε_iｕ(ｐ_－,ｓ_－)

　＝－ε_i(ｐ_－－ｍ)ｕ(ｐ_－,ｓ_－)＝0 なので,

　Ａ＝ｖ~(ｐ_＋,ｓ_＋)[ε₂ｋ₁ε₁/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₁ｋ₂ε₂/(2ｐ_－ｋ₁)]

　ｕ(ｐ_－,ｓ_－)　と簡単化されます。

そして,電子spinによる総和の寄与は,

Σ_±s-ｕ_β(ｐ_－,ｓ_－)ｕ~_λ(ｐ_－,ｓ_－)＝(ｐ_－＋ｍ)_βλ/(2ｍ)

です。

同様に,陽電子spinによる総和の寄与は,

－Σ_±s+ｖ_δ(ｐ_＋,ｓ_＋)ｖ~_α(ｐ_＋,ｓ_＋)

＝Σ_r=3⁴ε_rｗ_δ^r(ｐ_＋)ｗ~_α^r(ｐ_＋)

＝Σ_r=1⁴ε_rｗ_δ^r(ｐ_＋)ｗ~_α^r(ｐ_＋)(ｍ－ｐ_＋)_δα/(2ｍ)

＝(ｍ－ｐ_＋)_δα/(2ｍ)

です。

故に,Σ_±s-,±s+|Ａ|²

＝Σ_±s-,±s+{ｖ~_α(ｐ_＋,ｓ_＋)

[ε₂ｋ₁ε₁/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₁ｋ₂ε₂/(2ｐ_－ｋ₁)]_αβｕ_β(ｐ_－,ｓ_－)}

{ｕ~_λ(ｐ_－,ｓ_－)[ε₁ｋ₁ε₂/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₂ｋ₂ε₁/(2ｐ_－ｋ₁)]_λδ

ｖ_δ(ｐ_＋,ｓ_＋)}

＝(4ｍ²)^-1(ｍ－ｐ_＋)_δα

[ε₂ｋ₁ε₁/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₁ｋ₂ε₂/(2ｐ_－ｋ₁)]_αβ

(ｐ_－＋ｍ)_βλ[ε₁ｋ₁ε₂/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₂ｋ₂ε₁/(2ｐ_－ｋ₁)]_λδ

と書けます。

すなわち,Σ_±s-,±s+|Ａ|²＝(4ｍ²)^-1

Ｔr(ｍ－ｐ_＋){ε₂ｋ₁ε₁/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₁ｋ₂ε₂/(2ｐ_－ｋ₂)}

(ｐ_－＋ｍ){ε₁ｋ₁ε₂/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₂ｋ₂ε₁/(2ｐ_－ｋ₂)}

なる式を得ます。(注19-1終わり)※

さて,トレース因子の具体的計算に入ります。

まず,Ｔr(ｍ－ｐ_＋)ε₂ｋ₁ε₁(ｐ_－＋ｍ)ε₂ｋ₂ε₁

＝Ｔrε₁ｋ₂ε₂(ｐ_－＋ｍ)ε₁ｋ₁ε₂(ｍ－ｐ_＋)

＝Ｔr(ｍ－ｐ_＋)ε₁ｋ₂ε₂(ｐ_－＋ｍ)ε₁ｋ₁ε₂より,

ｄσ~の右辺トレース因子のうち分母が4(ｐ_－ｋ₁)(ｐ_－ｋ₂)の２つの

項は等しいことがわかります。

一方,Ｔ₁≡Ｔr(ｍ－ｐ_＋)ε₂ｋ₁ε₁(ｐ_－＋ｍ)ε₁ｋ₁ε₂とおくと,

前のCompton散乱におけるトレース計算と同じく

ε₁²＝－1,ｋ₁²＝0 によって,ｍ,ｍ²を因子に持つ項の寄与は

ゼロです。

そこで,Ｔ₁＝－Ｔrｐ_＋ε₂ｋ₁ε₁ｐ_－ε₁ｋ₁ε₂

＝－8ｋ₁ｐ_－{ｋ₁ｐ_＋＋2(ｋ₁ε₂)(ｐ_＋ε₂)}　です。

ところが,保存則:ｋ₁＋ｋ₂＝ｐ_－＋ｐ_＋よりｐ_＋－ｋ₁＝ｋ₂－ｐ_－

ですからｋ₁ｐ_＋＝ｋ₂ｐ_－です。

また,ｐ_＋ε₂－ｋ₁ε₂＝ｋ₂ε₂－ｐ_－ε₂＝0より,

ｐ_＋ε₂＝ｋ₁ε₂です。

そこで,結局,Ｔ₁＝－8ｋ₁ｐ_－{ｋ₂ｐ_－＋2(ｋ₁ε₂)²}　です。

同様に,Ｔ₂≡Ｔr(ｍ－ｐ_＋)ε₁ｋ₂ε₂(ｐ_－＋ｍ)ε₂ｋ₂ε₁

＝－Ｔrｐ_＋ε₁ｋ₂ε₂ｐ_－ε₂ｋ₂ε₁

＝－8ｋ₂ｐ_－{ｋ₂ｐ_＋＋2(ｋ₂ε₁)(ｐ_＋ε₁)}　より,

Ｔ₂＝－8ｋ₂ｐ_－{ｋ₁ｐ_－＋2(ｋ₂ε₁)²}　を得ます。

最後に,Ｔ₃≡Ｔr(ｍ－ｐ_＋)ε₂ｋ₁ε₁(ｐ_－＋ｍ)ε₂ｋ₂ε₁

＝Ｔr(ｍ－ｐ_＋)ε₁ｋ₂ε₂(ｐ_－＋ｍ)ε₁ｋ₁ε₂とおけば,

ｐ_＋＝－ｐ_－＋(ｋ₁＋ｋ₂)　より,

Ｔ₃＝Ｔr(ｐ_－＋ｍ)ε₂ｋ₁ε₁(ｐ_－＋ｍ)ε₂ｋ₂ε₁

－Ｔr(ｋ₁＋ｋ₂)ε₂ｋ₁ε₁(ｐ_－＋ｍ)ε₂ｋ₂ε₁

＝8(ｋ₁ｐ_－)(ｋ₂ｐ_－){2(ε₁ε₂)²－1}

＋8(ｋ₂ｐ_－)(ｋ₁ε₂)²＋8(ｋ₁ｐ_－)(ｋ₂ε₁)²です。

したがって,

Ｔr[(ｍ－ｐ_＋){ε₂ｋ₁ε₁/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₁ｋ₂ε₂/(2ｐ_－ｋ₂)}

(ｐ_－＋ｍ){ε₁ｋ₁ε₂/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₂ｋ₂ε₁/(2ｐ_－ｋ₂)}]

＝(1/4)[Ｔ₁/(ｋ₁ｐ_－)²＋Ｔ₂/(ｋ₂ｐ_－)²

＋2Ｔ₃/{(ｋ₁ｐ_－)(ｋ₂ｐ_－)}]

＝2{－ｋ₂/ｋ₁－ｋ₁/ｋ₂＋4(ε₁ε₂)²－2}(ｋ_i≡|ｋ_i|)

を得ました。

　これから,ｄσ~＝{ｅ⁴/(2πε₀)²}{ｍ/(Ｅ_＋β_＋)}

　∫{ｄ³ｋ₁/(2ｋ₁)}{ｄ³ｋ₂/(2ｋ₂)}δ⁴(ｋ₁＋ｋ₂－ｐ_－－ｐ_＋)

　(－2/4)(4ｍ²)^-1{－ｋ₂/ｋ₁－ｋ₁/ｋ₂＋4(ε₁ε₂)²－2}

　なる表式を得ます。

最後に残る唯一の仕事は実験室運動系でのδ関数の評価です。

ｄσ~の右辺のδ関数因子に対して積分ｄ³ｋ₂,および,ｄ³ｋ₁の

うち立体角を除く変数ｋ₁≡|ｋ₁|による積分ｄｋ₁を実行します。

すると,∫{ｄ³ｋ₁/(2ｋ₁)}{ｄ³ｋ₂/(2ｋ₂)}

δ⁴(ｋ₁＋ｋ₂－ｐ_－－ｐ_＋)

＝(1/2)∫₀^∞ｋ₁ｄｋ₁ｄΩ_k1δ((ｐ_＋＋ｐ_－－ｋ₁)²)

θ(Ｅ_＋＋Ｅ_－－ｋ₁)

＝(1/2)∫₀^∞ｋ₁ｄｋ₁ｄΩ_k1δ((ｐ_＋＋ｐ_－)²－2ｋ₁(ｐ_＋＋ｐ_－))

θ(Ｅ_＋＋Ｅ_－－ｋ₁)

と書けます。

すなわち,(ｄΩ_k1/2)∫₀^E+＋mｋ₁ｄｋ₁

δ(2ｍ²＋2ｍＥ_＋－2ｋ₁(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ))

＝(1/4)ｍ(ｍ＋Ｅ_＋)/(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)²ｄΩ_k1

(ｐ_＋≡|ｐ_＋|)　です。

そこで,β_＋＝|ｐ_＋|/Ｅ_＋＝ｐ_＋/Ｅ_＋)より,

ｄσ~/ｄΩ_k1

＝{ｅ⁴/(2πε₀)²}(ｍ/ｐ_＋)(－2/4)(4ｍ²)^-1

{－ｋ₂/ｋ₁－ｋ₁/ｋ₂＋4(ε₁ε₂)²－2}

(1/4)ｍ(ｍ＋Ｅ_＋)/(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)²;

(ｐ_＋≡|ｐ_＋|)　を得ます。

ただし,ｋ₁＝|ｋ₁|＝ｍ(ｍ＋Ｅ_＋)/(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)

です。

これを整理すると,　

ｄσ~/ｄΩ_k1＝α²(ｍ＋Ｅ_＋)/[8ｐ_＋(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)²]

{－ｋ₂/ｋ₁－ｋ₁/ｋ₂＋4(ε₁ε₂)²－2}　です。

ただし,αは微細構造定数(structure constant)で,

ｃ＝ｈ_c＝1の自然単位ではα≡ｅ²/(4πε₀)です。

(ｈ_c≡ｈ/(2π);ｈはPlanck定数)

そして,エネルギー・運動量の保存則により,　

ｋ₂＝|ｋ₂|＝ｍ＋Ｅ_＋－ｋ₁

＝(ｍ＋Ｅ_＋)(Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)/(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)

＝ｋ₁(Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)/ｍ　ですから,

ｋ₂/ｋ₁＝(Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)/ｍ,ｋ₁/ｋ₂

＝ｍ/(Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)/ｍ　です。

結局,入射電子と陽電子のspinに特定の偏りを考慮しない対消滅

の微分断面積が,

ｄσ~/ｄΩ_k1＝α²(ｍ＋Ｅ_＋)/[8ｐ_＋(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)²]

{(Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)/ｍ＋ｍ/(Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)＋2－4(ε₁ε₂)²}

で与えられることがわかります。

さらに,終光子のspin(偏光)についても偏りのない対消滅の

総断面積σ~を求めるため,終光子のspinと立体角ｄΩ_k1に

わたって上記のｄσ~/ｄΩ_k1を総和し積分します。

ただし,ｄΩ_k1積分については注意が必要です。

というのは終状態は２つの同種粒子を含むからです。

上のｄσ~/ｄΩ_k1の式は光子の１つがｄΩ_k1の中に現われる事象

をカウントしたものですが,光子の区別不可能性の故,検知される

１光子が２つの光子のうちのどちらか一方であることしかわかり

ません。

ｄσ~/ｄΩ_k1は,微分断面積としてはこのままでいいのですが,

全立体角にわたって積分する場合には,各状態を正確に２回

カウント(double-count)することになります。

そこで,正しくはσ~＝(1/2)∫(ｄσ~/ｄΩ_k1)ｄΩ_k1

＝(1/2)∫₀^2πｄφ_k1∫_-1¹ｄ(cosθ_k1)(ｄσ~/ｄΩ_k1)

です。

　(※積分を模式的に総和の記号Σで表わせば,Σ_k1,k2ｄΩ_k1ｄΩ_k2

ですが,これはｋ₁,ｋ₂が同種粒子のときには,明らかにｋ₁＜ｋ₂と

　ｋ₂＜ｋ₁を二重にカウントするので1/2を掛けるのは当然です。)

積分を実行して任意のエネルギーレベルでの全断面積σ~を計算

するのは容易ではありませんが,低エネルギーと高エネルギーの

近似式は容易に得られます。

まず,低エネルギー極限(β_＋＜＜1)では,ｐ_＋→ 0,ｋ₁→－ｋ₂

であり,光子の偏りの平均は(1/2)Σ_ε1,ε2(ε₁ε₂)²＝1/2

ですから,σ~＝{α²π/(β_＋ｍ²)}{1＋Ｏ(β_＋²)}　です。

一方,高エネルギーの超相対論的極限では,

σ~＝{α²π/(ｍＥ_＋)}

{ln(2Ｅ_＋/ｍ)－1＋Ｏ((ｍ/Ｅ_＋)ln(Ｅ_＋/ｍ))＋..}　です。

高エネルギー極限では,先に示した微分断面積:　

ｄσ~/ｄΩ_k1＝α²(ｍ＋Ｅ_＋)/[8ｐ_＋(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)²]

{(Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)/ｍ＋ｍ/(Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)＋2－4(ε₁ε₂)²}

における因子の[ ]内の最初の２項は,等しく対消滅の主オーダー

に寄与しますが,最後の２項は(ｍ/Ｅ_＋)だけ小さい寄与をします。

こうした結果は,最初1930年にDiracによって得られました。

※(注19-2):まず,低エネルギー極限では,

ｋ₁＋ｋ₂＝ｐ_＋＝0,ｋ₁＝－ｋ₂ なので,θ＝π

1/2)Σ_ε1,ε2(ε₁ε₂)²＝(1＋cos²θ)/2＝1,

故にΣ_ε1,ε2(ε₁ε₂)²＝Σ_ε1,ε2(ε₁ε₂)²＝2　です。

(ｋ₁とｋ₂のなす角がθのときΣ_ε1,ε2(ε₁ε₂)²＝1＋cos²θとなる

理由については,Compton散乱の断面積について書いた記事

「散乱の伝播関数(17)(応用４)」の最後の部分を参照して下さい。)

そこで,低エネルギーでは,

σ~＝{πε₀²α²(ｍ＋Ｅ_＋)/(2ｐ_＋)}

_-1¹ｄｚ[(Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)/{ｍ(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)²}

＋ｍ/{(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)²(Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)}　

～{πα²(ｍ＋Ｅ_＋)/(2ｐ_＋)}

∫_-1¹ｄｚ[(Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ){1＋ｐ_＋ｚ/(ｍＥ_＋)}²/{ｍ(ｍ＋Ｅ_＋)²

ｍ{1＋ｐ_＋ｚ/(ｍＥ_＋)}²(1＋ｐ_＋ｚ/Ｅ_＋)/{(ｍ＋Ｅ_＋)²Ｅ_＋}}

です。

故に,σ~＝{πα²(ｍ²＋Ｅ_＋²)/(2ｍｐ_＋Ｅ_＋(ｍ＋Ｅ_＋)}

∫_-1¹{1＋ｐ_＋ｚ/(ｍＥ_＋)}²ｄｚ

＋(ｐ_＋/Ｅ_＋)(ｍ²－Ｅ_＋²)∫_-1¹ｚ{1＋ｐ_＋ｚ/(ｍＥ_＋)}²ｄｚ

＝{πα²/(2ｍｐ_＋Ｅ_＋(ｍ＋Ｅ_＋)}

[(ｍ²＋Ｅ_＋²)/{2＋(2/3)ｐ_＋²/(ｍ＋Ｅ_＋)²}

＋(4/3)(ｐ_＋²/Ｅ_＋)(ｍ－Ｅ_＋)]　です。

ここで,Ｅ_＋＝ｍ,β_＋＝ｐ_＋/Ｅ_＋＝ｐ_＋/ｍより,

ｐ_＋＝ｍβ_＋とおけば,結局,

σ~＝{α²π/(β_＋ｍ²)}{1＋Ｏ(β_＋²)}　を得ます。

一方,高エネルギー極限のｐ_＋→ ∞ではθは固定されないので,

Σ_ε1,ε2(ε₁ε₂)²＝1＋cos²θです。

そこで,σ~＝{πα²(ｍ＋Ｅ_＋)/(2ｐ_＋)}

∫_-1¹ｄｚ[(Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)/{ｍ(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)²}

＋ｍ/{(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)²(Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)}

＋(1－ｚ²)/(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)²]　です。

これは,σ~＝{πα²(ｍ＋Ｅ_＋)/(2ｐ_＋)}

∫_-1¹ｄｚ[1/{ｍ(Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)}－2/(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)²}

＋(1－ｚ²)/(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)²]　と書けます。

積分項

＝[{－1/(ｍｐ_＋)}ln|Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ|

－(2/ｐ_＋){1/(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)}

－(1/ｐ_＋){1/(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)}

－(1/ｐ_＋³){ｐ_＋ｚ－(ｍ＋Ｅ_＋)²/(ｐ_＋ｚ－ｍ－Ｅ_＋)

＋2(ｍ＋Ｅ_＋)ln|ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ|}]_-1¹

＝{2/(ｍｐ_＋)}ln(|ｐ_＋＋Ｅ_＋|/ｍ)

－{2(ｍ＋Ｅ_＋)/ｐ_＋³}ln{2ｍ(ｍ＋Ｅ_＋)/(ｍ＋Ｅ_＋＋ｐ_＋)²

－[1/{ｍ(ｍ＋Ｅ_＋)}{1＋(ｍ＋Ｅ_＋)²/ｐ_＋²}－2/ｐ_＋²}　です。

※何と,先に,テキストに結果が明示されていないことから予想

して"計算は容易ではない"と書いたことに反して,

低エネルギー,高エネルギーを問わない一般的ケースでも初等的

に積分を実行できました。※

σ~＝{α²π(ｍ＋Ｅ_＋)/(2ｐ_＋)}[{2/(ｍｐ_＋)}ln(|ｐ_＋＋Ｅ_＋|/ｍ)

－{2(ｍ＋Ｅ_＋)/ｐ_＋³}ln{2ｍ(ｍ＋Ｅ_＋)/(ｍ＋Ｅ_＋＋ｐ_＋)²

－1/{ｍ(ｍ＋Ｅ_＋)}＋(ｍ＋Ｅ_＋)/(ｍｐ_＋²)－2/ｐ_＋²]

なる一般式を得ました。

これは,高エネルギー極限:ｐ_＋→ ∞では,ｐ_＋～ Ｅ_＋,

ｍ＋Ｅ_＋～ Ｅ_＋なので,

σ~～ {α²π/(ｍＥ_＋)}[ln(2Ｅ_＋/ｍ)－1＋(ｍ/Ｅ_＋)ln(2Ｅ_＋/ｍ)

－ｍ/Ｅ_＋]　と近似されます。

すなわち,

σ~＝{α²π/(ｍＥ_＋)}{ln(2Ｅ_＋/ｍ)－1

＋Ｏ((ｍ/Ｅ_＋)ln(Ｅ_＋/ｍ))＋..}

なる近似式を得ました。

(注19-2終わり)※

今日はここまでにします。

PS:電磁単位の扱いにおける混乱から,散乱の伝播関数の理論(応用)

シリーズの散乱断面積に不要な真空誘電率ε₀が含まれている間違

いを発見したのでそれら一連の式の誤まった係数を修正しておき

ました。(2010年８月30日(月)夕方)

参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics"(McGraw-Hill){ｅ⁴/(2πε₀)²}∫{

PS:ともかく,"賽は投げられた。

　こうなったら,とにかく,現実的政策を何も断行できない奴らに

　代わって,小沢さん。がんばってくれよ。