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2010年10月

2010年10月30日 (土)

赤外発散の初期論文(1)

科学記事を再開するに当たり,これまでの連載記事の続きは

後まわしにして,この休止中に再読した赤外発散除去に関する

1937年のBloch・NordsieckのQEDの古典論文の紹介から

始めたいと思います。

 
もっとも,赤外発散問題については最終的解決を与えたと

思われる1961年のYennie-Frauchi-Suuraの70ページ以上

の記念碑的な解析論文があります。

 

(D.Yennie S.Frauchi H.suura

"Infrared Divergence Phenomena and High-Energy

Processes" Ann.Phys.Vol.13 pp379-452 (1961)) 

 

(2006年12/16の記事「電流によって発生する光子の個数分布」,

および2006年12/19の記事

赤外発散の問題(エネルギーゼロの光子)」も参照して

下さい。)

 
私自身はその長い総合的論文も過去に結構苦労して読了

しましたが,恐らく赤外発散除去の手続きを正しく述べた

最初の論文であろうと思われる上記古典論文については,

ずっとQEDの重要論文集の1つとして所持していただけで

ざっと眺めた程度でした。

 
しかし,かつて心臓病で1ヶ月入院したとき,その期間中に

「フックス群と線形常微分微分方程式の関係」についての

入門部分を詳しく勉強したように,今回のPCのない短い生活

の機会に,上記論文をじっくり読んでみました。

(※↑転んでもタダでは起きない性格なので。。。)

 
以下では,それをまとめたノートを見て紹介しますが短い

論文でもあり,内容のほとんどは単なる翻訳に過ぎないかも

しれません。

 論文の表題は「Note on the Radiative Field of the Electron

 (電子による輻射場に関するノート)」著者はF.Bloch and

  A.Nordsieck (Stanford Univ.California) です。

 

 掲載はPhys.Rev,Vol72,p241(1937)(Receieved May14.1937)

です。

 

(※以下本文) 

(Abstract):原子場の中の1電子散乱やβ線の放出のような

非定常過程において,その輻射補正をe2/(hcc)のベキ展開で

扱うこれまでの手法は遷移確率への無限大の低振動数補正に

対しては不完全でした。

 

(注):hc=h-cross≡h/(2π),hはPlanck定数です。※

 

 ωを輻射(光子)の角振動数,Δpを電子の運動量変化として

 e2ω/(mc2),hcω/(mc2),hcω/(cΔp)が1に比べて

 小さいときには,こうした困難は以下に展開する方法で避ける

 ことができます。

 
この手法では,e2/(hcc)のベキ展開の手法とは対照的に

c=0 の古典極限への移行が許されます。

電子についての外的摂動はBorn近似で扱います。

 

その結果,上の3つのパラメータが無視できるような振動数

に対し,量子力学計算は丁度古典公式の再解釈を生み出すこと

がわかります。

 

つまり,"電子の運動変化の総確率は輻射相互作用によって

影響を受けず,放出される光量子の平均個数は無限大ですが,

平均輻射エネルギーは丁度対応する電子軌跡中で古典的に

放射されるエネルギーに等しい。"という再解釈を得ます。

 Ⅰ
.Introduction(序)

 
輻射の量子論は,輻射(光子)の放出と吸収過程を適切に示す

ことに成功してきました。

 

しかし,こうした結果を導いた方法をより一般的な輻射補正

に用いると,ある種の困難が生じます。

 
この困難は,単一光子の放出を伴なうCoulomb場での電子散乱

の確率に対してMott,Sommerfeld,およびBethe,Heitlerにより

与えられた式の中に明確に見られます。

 
これらの公式では,ωの値が小さいとき輻射光量子の角振動数

がωとω+dωの間にある確率は散乱角に依らずdω/ωに

比例します。

 
これらを文字通りに採用して任意の光量子放出を伴なう全散乱

確率を求めると,ωについての積分結果から低振動数では対数

発散するという結果を得ます。

 
同様な困難は,β崩壊や他の非定常過程の確率の輻射補正

においても見られます。

 
ただし,こうした

"赤外破局(infrared-catastrophe:赤外発散)"

は,量子電磁力学(QED)の根本的困難である

"紫外発散(ultravioret-divergence)"

とは明らかに無関係です。

 
後者(紫外発散)は既に古典論にも内在していますが

(※電子の自己エネルギーetc.),赤外発散には古典論

で対応するものはありません。

 

しかし,古典論でも赤外発散の困難の原因を示すと考えられる

性質はあります。

 
簡単のため,衝突時間の逆数に比べて小さい振動数の電磁波

のみを想定すれば放出メカニズムは次のように記述できます。

衝突前の電子場のFourier成分の振幅は衝突後も保持されます。

 

衝突後の新しい運動における新しい電子場と元の電子場との差

が放出される輻射(光子)場です。

 

重要な点は,単位振動当たりの輻射の強さ(輻射エネルギー):

ωがω→ 0 の極限でゼロにはならないということです。

 

そこで,単位振動(=1周期)に放出される光量子の平均個数を

示すと考えられる量:Iω/(hcω)はω→ 0 の極限では無限大

になります。

 

これは厳密な量子論による扱いで予期されるのと同じ結果

なので,無限に多くの光量子の同時的放出の確率のみがゼロ

でない有限な値を取ると考える必要があります。

 

つまり,任意個数の光量子放出の確率は個数が有限個なら

消えなければなりません。

 
こうした状況下では,電子の電荷のベキ級数展開による電子

と輻射場の相互作用という取扱い手法では明らかに不十分

です。

 

何故なら,ベキ級数展開の摂動手法は光量子を多重放出する

確率が放出量子数の増加と共にそのベキのオーダーで減少

するという仮定に基づいているからです。

 
実際,電子の速さをv,その運動エネルギーをEとして,ある

最小角振動数ω0より大きい振動数のみ考えると,そうした

扱いでのベキ級数展開のパラメータは,

{e2/(hcc)}×(v/c)2log{E/(hcω0)}ですが,これは

ω0→ 0 の極限でそのベキが小さいという仮定を破ります。

 
こうした難点を避けるため,以下では電子と低振動数電磁波

との相互作用の結合を小さい摂動と考えない手法を展開して

いきます。

 
この方法では,第1近似で電子の運動は予め与えられていると

仮定します。

 

そこで,電磁場による電子への反応が高次でも考慮される

ような波長に対する電子半径の比:e2ω/(mc2)の古典的展開

に似ています。

 
さて,以下では,これが量子力学では如何に定式化されるかを

2つの連立微分方程式系の逐次近似解として表現します。

 
そして,(電子+電磁場)の系をこうしたやり方で処理した後

では,この系の電子への外力による遷移はこれまでの通常の

小摂動の方法で扱うことが可能になります。

.Formulation of the Method(手法の定式化)

電場の縦成分を除いた後の(電子+電磁場)の全系の

Hamiltonianは,=c{(α,-e/c)+βmc}

+{1/(8π)}∫{(tr)22}dVで与えられます。

(※単位はc.g.s静電単位です。)

 
ここで,ベクトルポテンシャルを次の形に展開します。

2c(πhc/Ω)1/2Σs-1/2ε{Pcos(s)

+Qsin(s)}]です。

 
ただし,Ωは円筒境界条件が適用される体積であり,添字sは

場の縦方向を特徴付けるもので角振動数ωsの波がベクトルs

で伝播することを示します。

 

またλは波の偏極(polarization)状態に対応する添字で,

ε(λ=1.2)は伝播方向がsの波の偏光単位ベクトル

を表わします。

 
上式の展開係数として定義された力学変数:PとQ,次式

によって量子振幅:a^(λ,),a^+(λ,)と関係付けられます。

 

すなわち,(1/√2)(P+iQ)

=a^(λ,s),(1/√2)(P-iQ)=a^+(λ,s)です。

 

ここで力学変数PとQは正準交換関係:

[P,Qs'λ']=-iδss'δλλ',

[P,Ps'λ']=[Q,Qs'λ']=0  

に従います。

これから,

=c[(α,-Σ{Pcos(s)

+Qsin(s)})+βmc]+(1/2)Σ{(P,2+Q2)hcωs}

..(1) を得ます。

 

 ただし,≡2e{πhc/(Ωωs)}1/2εsλ ..(2) です。

 ところで,Dirac行列αは物理的には電子速度を光速cで

割ったものと解釈されます。

 また,古典論の方法に従って第1近似で電子運動への電磁場

の反動を無視します。

そこで,の表現式(1)において行列ααμ/c(3)

のようにc-数で置き換えます。ただし,は電磁場の摂動を

受ける前後の一定の電子速度です。

同時に,Dirac行列:βを(1-μ2)1/2で置換します。

 

こうして,(1)においてαとβをc-数に置換すると,この力学

問題は直ちに解けます。

実際,(1)の右辺の相互作用エネルギーは数学的困難を

生じません。何故なら,これは各場の調和振動子へ一定の力

がかかる場合に非常に類似していますが,それは単にP,Q

 の関数を加えることで考慮できるからです。

もちろん,上記のDirac行列のc-数への置換は近似であって

厳密には正しくありません。

そこで,この逐次近似と厳密な扱いとの許される誤差を考慮

できるように,次のような手順を考えます。

まず,波動方程式ψ=Eψ(4)の解:ψ=ψ(,Q)は

ψ=ψ++ψ-(5)と,2つの部分に一意的に分割できます。

 ψ+-は演算子:Λ≡(α,μ)+β(1-μ2)1/2(6)による条件

Λψ+=ψ+,Λψ-=-ψ-(7)で定義されます。

(注1):何故なら,Λ≡(α,μ)+β(1-μ2)1/2より

Λ2=μ2+(1-μ2)=1 なので,ψ+≡(1+Λ)ψ/2,

ψ-≡(1-Λ)ψ/2と置けばψ=ψ++ψ-,で,かつ,

Λψ+=(Λ+1)ψ/2=ψ+,Λψ+=(Λ-1)ψ/2=-ψ-

となるからです。(注1:終わり)※

このΛに対しては,関係:

Λα=2μαΛ,Λβ=2(1-μ2)1/2-βΛ(8)

が成立します。

これをψ=Eψ(4)に代入し,Λψ=EΛψ(4a)

を用いれば,

[c(μ,-Σ{Pcos(s)+Qsin(s)})

+mc2(1-μ2)1/2±(1/2)Σ(P2+Q2)hcωs-(±E)]

×ψ+,-=-c(μ±α,-mc(1-μ2)-1/2μ

-Σ{Pcos(s)+Qsin(s)})ψ-,+(9)

を得ます。

(注2):(証明){Λ,α}=2μ,{Λ,β}=2(1-μ2)1/2,かつ

=c(α,-Σ{Pcos(s)+Qsin(s)})

+βmc2+(1/2)Σ(P2+Q2)hcωsより,

Λ2c(μ,-Σ{Pcos(s)+Qsin(s)})

+2mc2(1-μ2)1/2

-[c(α,-Σ{Pcos(s)+Qsin(s)})

+βmc2]Λ+(1/2)Σ{(P2+Q2)hcωs

 

一方,Λψ=EΛψより,Λψ+,-=±Eψ+,-です。

故に,Λψ+,-=±Eψ+,-

[2c(μ,-Σ{Pcos(s)+Qsin(s)})

+2mc2(1-μ2)1/2+,-

-[c(α,-Σ{Pcos(s)+Qsin(s)})

+βmc2]Λψ+,-+(1/2)Σ(P,2+Q2)hcωsΛψ+,-

を得ます。

それ故,±Eψ+,-

=[c(μ,-Σ{Pcos(s)+Qsin(s)})

+mc2(1-μ2)1/2+,-+[c(μ±α,p-Σ{Pcos(s)

+Qsin(s)})+mc2(1-μ2)1/2±βmc2-,+

±(1/2)Σ{(P2+Q2)hcωs+,- です。

 
ところが,Λ=(α,μ)+β(1-μ2)1/2によって,

mc2(1-μ2)-1/2Λ=mc2(1-μ2)-1/2(α,μ)+βmc2

ですから,βmc2ψ+,-=-mc2(1-μ2)-1/2(α,μ+,-

±mc2(1-μ2)-1/2ψ+,- です。

 

よって,±βmc2ψ+,-=-mc2(1-μ2)-1/2{-1±(α,μ)}ψ+,-

mc2(1-μ2)1/2ψ+,-+mc2(1-μ2)-1/2μ2ψ+,-±(α,μ-,+,

 

つまり,-(±βmc2ψ-,+)

mc2(1-μ2)1/2ψ-,++mc2(1-μ2)-1/2μ2ψ-,+±(α,μ-,+

mc2(1-μ2)1/2ψ-,++mc2(1-μ2)-1/2(μ±α,μ-,+

です。

 

したがって,{mc2(1-μ2)1/2±βmc2-,+

=-mc2(1-μ2)-1/2(μ±α,μ-,+ です。

 

 以上から,[c(μ,-Σ{Pcos(s)+Qsin(s)})

+mc2(1-μ2)1/2+,-±(1/2)Σ{(P,2+Q2)hcωs-(±E)}×ψ+,-=-c(μ±α,p-Σ{Pcos(s)+Qsin(s)}

-mc(1-μ2)-1/2μ-,+ を得ます。(証明終わり)


(注2終わり)※

 
(9)の2つの関数ψ+,およびψ-は電子と電磁場の相互作用

がゼロに近づくとき,それぞれエネルギーが±mc2(1-μ2)-1/2

で運動量がmc(1-μ2)-1/2μの状態に対応しています。

※式(9)を再掲すると,

[c(μ,-Σ{Pcos(s)+Qsin(s)})

+mc2(1-μ2)1/2±(1/2)Σ{(P2+Q2)hcωs}-(±E)]ψ+,-

=-c(μ±α,-mc(1-μ2)-1/2μ

-Σ{Pcos(s)+Qsin(s)})ψ-,+ (9)

です。

 
前述したように,電子がc-数の速度=cμを持つと仮定して

αμで置き換える近似は,自由粒子極限でエネルギー:

mc2(1-μ2)-1/2を持つ状態ψ-をゼロとし,(9)の右辺を無視

した近似に相当します。

 
この,ψ-をゼロとする仮定は電子のエネルギーは正の状態を取る

べきという物理的要請からなされたものです。

 この近似解をψ~ψ+=uと書くと,式(9)は

[c(μ,-Σ{Pcos(s)+Qsin(s)})

+mc2(1-μ2)1/2+(1/2)Σ(P,2+Q2)hcωs-E]u=0

..(10) となります。

 まだ,先が長いので,今日はひとまずここで終わります。

(参考文献): F.Bloch and A.Nordsieck,

"Note on the Radiative Field of the Electron"

Phys.Rev,Vol.52,p241(1937)

 

(↑edited by J.Schwinger「(selected papers on)QUANTUM ELECTRODYNAMICS」:Dover books on engineering and

engineering physics)より)

 

PS:土曜日も出勤でしたが,台風のせいか雨がきつくて寒いので帰宅

後閉じこもってるとつい眠ってしまったようで起きると夜中でした。

 

ブログの方は慌てずボチボチ進めようと思います。

 

PS2:野沢那智さんが肺がんで亡くなられましたね。72歳でした。

 →ニュース

 (http://news4vip.livedoor.biz/archives/51640329.html)

      

 

 パックイン・ミュージックでしたか?? 

 白石冬美さん(チャコちゃん)とのかけ合いなどが

 なつかしいです。

 ご冥福を祈ります。 合掌!!

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2010年10月29日 (金)

里美香奈さん将棋女流プロ三冠獲得!!

 10・28(木)に行われた将棋女流王将戦三番勝負第3局(於:東京将棋会館)で里美香奈女流名人(18)が清水市代女流王将(41)を下し倉敷藤花と合わせて最年少で三冠を達成しました。

http://www.yomiuri.co.jp/national/culture/news/20101028-OYT1T00792.htm

       

  

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2010年10月24日 (日)

ブログ休止中の出来事

 ブログを1ヶ月程度も休止したのは2007年の3/24入院,4/10手術,4/22退院までの不可抗力によるものから久しぶりです。

 今回のアクセス休止の間の主な出来事(私事,社会)を羅列してみます。

 思えば,私のPCクラッシュは,9/11にクレイジーキャッツの谷啓氏が亡くなり,そして9/14に民主党代表選挙で小沢氏が破れ菅氏が再選された直後です。

 9/18には俳優の小林桂樹さんも亡くなられましたね。

         

 ①私事:9/22(水) 熱暴走でPCクラッシュ(電源 or マザーボード不調) 

 ②9/22(水) 郵便不正事件での村木厚子被告(元局長)が無罪確定で復職。

 これに伴い大阪地検特捜部の不正が発覚(FD改竄)。特捜の前田恒彦検事証拠隠滅容疑で逮捕(9/24) → 10/21犯人隠避罪で当時の上司の大坪正道(部長),佐賀元明(副部長)も起訴される。

 ③9/25(土) 尖閣列島衝突事件でただ一人拘留され司法手続きのためにて10日間の拘置延長(9/19)を言い渡されていた中国漁船船長が中国側の強硬な抗議を受けて9/25に処分保留で解放されチャーター機で帰国

 → 日本国内では政府批判が起きる。→ その後も中国強硬姿勢は続くが次第に緩和。。

※尖閣列島衝突事件・・・9/7未明に起こった尖閣列島付近での中国漁船と日本の海上保安庁巡視船の衝突事件

 海上保安庁巡視船は日本領海内での中国漁船の「違法操業と逃走に伴う故意の衝突」と見て公務執行妨害,および違法操業の疑いで中国漁船の船長以下を逮捕し事情聴取。船長以外の漁船乗組員は9/13に中国に帰国。

 ④私事:9/26(日) 将棋社団戦団体個人戦参加(2勝2敗) ⑤私事:9/28(火) 手話講習出席(2学期4回目)(18:45 ~ 20:45@目白5丁目) 

 ⑥訃報:9/30(木) 池内淳子さん

        

 ⑦私事:10/5(火) 手話講習出席(2学期5回目)

 ⑧10/6(水) 検察察審査会の再度の議決で小沢一郎氏の強制起訴が決まる。(その後小沢氏側提訴も棄却で確定)

 → 野党と与党一部が小沢氏の責任を追求

 こうした司法領域の決定が無作為抽出の11人の投票多数決によってなされるなんてね。。。これは事実上立法・行政の手続きである国民投票による司法の決定ですね。。

 まあ,起訴不起訴の決定の話ですが,日本では起訴される,いや逮捕されると既に犯人扱いになってしまいます。

 政治的要件とはいえ,擬似国民投票で個人の有罪・無罪判定の過程が決まるようでは,そもそも司法・裁判とは何なのか?と私は疑問に思います。

 具体的にこの件での真偽は不明ですが,どんな刑事事件であろうと,たとえ全世界が有罪を叫ぼうとも真実は曲げられないし無実なものは無実であって世論の投票では決まりませんね。。。

 まるで,西部劇でリンチを叫んで留置場へ押しかける群集のようです。

 平気で証拠が捏造され冤罪が課せられ,そして起訴前の取調べ中でも平気で一方的な情報がリークされるようなこの国で,一体警察・検察,いや司法の何が信じられるというのだろう。 

 ⑨ 訃報:10/7(木) 大沢啓二氏(大沢親分)

       

 ⑩訃報:10/8(金) 池部良さん

         

 ⑪私事:10/11(月:祝日) 13時過ぎから19時半まで東大工学部2号館で将棋イベント「あから2010」の大盤解説を観戦。

 「あから2010」とは女流駒桜と日本情報処理学会共催?のコンピュータ vs 清水市代女流王将の将棋対局での将棋ソフトの名称(4つの最強ソフトの合議制)で結果はコンピュータの勝ちでした。

 (会場で偶然友人の関さんと石田さん(将棋+飲み友達)に会いました。) 

 ⑫私事:10/12(火) 手話講習出席(2学期6回目) 

 ⑫10/14(木) チリ鉱山落盤事故(8/5)から33人が無事生還(69~70日ぶり)

 ⑬私事:10/19(火) 手話講習出席(2学期7回目)

 ⑭10/20(水) ~10/23(土) 奄美大島大雨災害

 ⑮私事:10/24(日) 将棋社団戦最終戦参加(個人的には0勝2敗:団体「チェスネット2」は2勝1敗)

 この間,PCが動かないので,ある意味では情報過多から解放された昔的な生活の中でいくつかの本を読みました。以下はそのリストですが,小説の場合は最近ブックオフで買ってきたものばかりです。

 ①東野圭吾「容疑者Xの献身」(直木賞)(最後の部分まではかなり感動を覚えていました。しかし,最後の逆転のトリックには驚きましたが哲学的には少しガッカリしました。) 

 ②QED(量子電磁力学)の赤外発散の困難を解決した古典的論文;Bloch & Nordsiek(1937) 

 ③漫画「江口寿史のお蔵だし」

 ④内田康夫「贄門島)(上)(下)」

 ⑤松浦理江子「親指Pの修業時代」

 さらに「親指Pの下巻」と宮部みゆきの「理由」(直木賞)などを読んでいましたがPC復活と共に中断しています。その他にも数冊同時読書進行中。。。

 物理についても,新案をまとめるため,「λφ4くりこみ理論」やFeynmanの「パートン模型」など復習中です。また,インスタントンや非線形格子理論についても調べたかったのですが資料と暇がありませんでした。

 また,10月初旬に引越し後の資料を整理しているうちに2008年8月以来紛失していた確率的に未来を知ることができる?という遅延選択の具体的装置を述べた特許申請文をも再発見しましたが,これはまだ着手していません。

PS:この間円高が進行しています。日銀の金利ゼロ政策,これもデフレに対抗するインフレ誘導策のようですが。。

 同じようでも,私は前から円の総量が少ないからデフレなので単純に円を増やすことで事実上の円の価値を下げるインフレ策を模索,それも麻生政権末期に一時提唱されたように日銀券ではなく政府が紙幣を発行してはどうか?と思っていました。

 900兆円も刷れば国の借金が解消される,国債の債券は国際的価値が下がるので債権者には不満あるでしょうが,国内的には問題ないと思うし,さらに政府が紙幣を増刷すれば国家予算も潤沢になります。

 そして,円の国際的信用がガタ落ちするので二重の意味で円安になります。

 過去には各国が経済的安値合戦を進行させればやがて物理的な戦争に到ったものですが今はそんなことはないでしょう。

 こうした単独行為は国際的批判を浴びるでしょうが,そもそも不況の誘因となったリーマンショックは直接には米国内に責任があるし100年に1度の危機であれば思い切った施策をとらねばならないし,一時的な信用失墜も自国または他国の戦争に期待するよりましでしょう。

PS2:まだPC復活を喜んでいて旧マシンのバックアップを考えている段階で本格的には始動していません。

 前よりズボラになりPC中毒(ネット中毒)?が緩和されたみたいです。気持ちが歳取って少し意欲が失せたかな?。。。

 (現在,科学記事も再開すべく休止中に読んだ赤外発散の古典論文についてワードにて草稿執筆中です。。upできるまであと少しです。(10/29現在))

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2010年10月20日 (水)

復活??

 あるコメントのレスをオンラインで書いている最中に熱暴走?で電源が数分で自動的に落ちるようになりました。そして,そのコメントも復活不可能でした。これはアップするなという意味と解釈しました。

 さて,PCの中を開けてみると,3つ見えるファンのうちの2つが電源入れても回っていません。マザーボードの電源部分がこわれたようで私の手にはおえず修理できたとしても修理コストが中古マシン本体を超えます。

 そこで新規に中古のPCでも買える資金ができるまでは,PCもネットもない生活をすることにしてました。

 本日夜,IBMの中古を秋葉原ソフマップで買って家に持ち帰り復活セッティングの最中に今ちょっとだけテストアクセスです。

 明日にでも本格的に復活するかも。。

 まずはたまっているだろうメールチェックです。

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