場の量子論における摂動論(1)

　今日の記事も10月のブログ休止中に作ったノートからです。ほぼ１ヶ月もありましたからね。。

当面個人的関心を持って作業中の課題に関連してφ⁴理論を詳しく考察したいという動機があり,それに際して紫外発散のくりこみ(renormlization)において正則化すべきFeynman積分が現われる過程など,摂動論の基礎を復習したいと考えたわけです。

主として培風館から出ているシリーズの中西襄さんが書かれた「場の量子論」を参考にしました。したがって,経路積分による定式化ではなく伝統的な理論を記述します。

　まず,相互作用表示(interaction-picture)の話から始めますが,最初に朝永振一郎氏が創案したといわれる超多時間形式について述べます。

　ｎ個の粒子がそれぞれ空間座標:ｘ⁽¹⁾,ｘ⁽²⁾,..,ｘ⁽ⁿ⁾をもつ場合,一般にはそれらに共通な時間(時刻)ｔというものはなく,それぞれに対応する時刻:ｘ₀⁽¹⁾,ｘ₀⁽²⁾,..,ｘ₀⁽ⁿ⁾を導入する必要があります。

そして,全ての相異なるｊ,ｋに対して性質:(ｘ^(j)－ｘ^(ｋ))²＜0 (２点間の距離が空間的(space^like))が成立しているなら,Einsteinの微視的因果律(microscopic causality)のために,こうした多時間で矛盾なく定義可能です。

これを利用した４次元座標による共変的定式化を多時間形式(many-time formalism)といいます。

(※(注):空間的:(ｘ^(j)－ｘ^(ｋ))²＝(ｘ₀^(j)－ｘ₀^(ｋ))²－(ｘ^(j)－ｘ^(ｋ))²＜0 というのは２事象:ｘ^(j),ｘ^(ｋ)が同時刻:ｘ₀^(j)＝ｘ₀^(ｋ)に異なる空間点:ｘ^(j)≠ｘ^(ｋ)をとるような慣性座標系が存在可能なることを意味しています。※)

　多時間形式の考え方を場の量子論に拡張したものが超多時間形式(super-many-time formalism)です。(朝永振一郎(S.Tomonaga)(1943)による。)

これにおいては,ｎという有限個の時間の代わりに空間的超曲面σなる概念を導入します。 

すなわち,σをある連続関数:ｆ_σに対してｘ⁰≡ｆ_σ(ｘ)を満たす点(ｘ⁰,ｘ)の全体と定義します。ただし,ｆ_σはこの超曲面σ上の任意の２点ｘ,ｙが互いに空間的位置にある,つまり(ｘ－ｙ)²＜0 を満たすように与えられた関数とします。

特に,ｆ_σがｆ_σ(ｘ)＝(一定)なる定数値関数なら,σはｘ⁰＝(一定)の超平面なので,このときには普通の時間ｔに同一視できます。

そして,超多時間形式での状態ベクトルを|σ＞と表記します。

σ_xを超曲面σ上の点ｘ＝(ｘ^μ)＝(ｘ⁰,ｘ)の近傍だけでσと僅かに異なる空間的超曲面とし,σ_xとσで挟まれた微笑部分の４次元体積をω_xとします。つまり,ω_x≡∫ｄ³ｘ[ｆ_σx(ｘ)－ｆ_σ(ｘ)]です。

そして,時間微分に相当する超多時間形式での微分をσの変分:δ|σ＞/δσ(ｘ)≡lim_ωx→0[{|σ_n＞－|σ＞}/ω_x]で定義します。

次に,相互作用のある多体系に対して相互作用表示(Interaction picture)を導入します。

系のHamiltonian:ＨはＨ＝Ｈ₀＋Ｈ_intのように自由場のHamiltonian:Ｈ₀と相互作用のそれ:Ｈ_intの和に分割できます。(※(注):むしろ,Ｈ_int≡Ｈ－Ｈ₀でＨ_intを定義すると考えるべきかも知れません？)

なお,以下,Plank定数:ｈ_c≡ｈ/(2π)と光速ｃを1とする自然単位を採用して論じます。

さて,通常のSchrödinger方程式は|ｔ＞^Sを時刻ｔにおけるSchrödinger表示(Schrödinger- picture)の状態ベクトルとして,i(∂|ｔ＞^S/∂ｔ)＝Ｈ|ｔ＞^Sと表現されます。

一方,同じ状態の相互作用表示:|ｔ＞^Iを|ｔ＞^I≡exp(iＨ₀ｔ)|ｔ＞^Sで定義します。

すると,i(∂|ｔ＞^I/∂ｔ)＝exp(iＨ₀ｔ)(Ｈ－Ｈ₀)|ｔ＞^S＝exp(iＨ₀ｔ)Ｈ_int|ｔ＞^S＝exp(iＨ₀ｔ)Ｈ_intexp(－iＨ₀ｔ)|ｔ＞^Iですから,相互作用Hamiltonianの相互作用表示をＨ_int(ｔ)≡exp(iＨ₀ｔ)Ｈ_intexp(－iＨ₀ｔ)と定義すれば,Schrödinger方程式はi(∂|ｔ＞^I/∂ｔ)＝Ｈ_int(ｔ)|ｔ＞^Iなる形に変形されます。

　相互作用が微分結合を含まないなら,相互作用Hamiltonian:Ｈ_intはいくつかの場φ_jの多項式を３次元空間積分したもので与えらx+れます。

Schrödinger表示では演算子は時間ｔによらないため,それぞれの場をφ_j(ｘ)(ｊ＝1,2,..,ｎ)と書けば,Ｈ_intはＨ_int[φ₁(ｘ),φ₂(ｘ),..,φ_n(ｘ)]なる関数形を持ちます。

そこで,Ｈ_int(ｔ)＝Ｈ_int[φ₁(ｔ,ｘ),φ₂(ｔ,ｘ),..,φ_n(ｔ,ｘ)]と書けます。ただし,φ_j(ｔ,ｘ)≡exp(iＨ₀ｔ)φ_j(ｘ)exp(－iＨ₀ｔ)で,この演算子φ_j(ｔ,ｘ)は自由場の演算子φ_j(ｘ)と同定されます。

※(注１):Schrödinger表示での演算子をＯ^S,Heisenberg表示での演算子をＯ^H(ｔ)とすると,Ｏ^H(ｔ)＝exp(iＨｔ)Ｏ^Sexp(－iＨｔ),またはＯ^S＝exp(－iＨｔ)Ｏ^H(ｔ)exp(iＨｔ)と書けます。

Ｏ^Sが全く時間ｔに依存しないとき,Ｏ^H(ｔ)は∂Ｏ^H/∂ｔ＝i[Ｈ,Ｏ^H],またはi(∂Ｏ^H/∂ｔ)＝[Ｏ^H,Ｈ]なる時間発展の方程式を満たします。これをHeisenbergの運動方程式といいます。

一方,相互作用表示では同じ演算子はＯ^I(ｔ)＝exp(iＨ₀ｔ)Ｏ_Sexp(－iＨ₀ｔ)で与えられますから,形としては自由Hamiltonianに対するHeisenbergの運動方程式:∂Ｏ^I/∂ｔ＝i[Ｈ₀,Ｏ^I],またはi(∂Ｏ^I/∂ｔ)＝[Ｏ^I,Ｈ₀]を満たします。

直接,相互作用表示とHeisenberg表示の関係はＯ^I(ｔ)＝exp(iＨ₀ｔ)exp(－iＨｔ)Ｏ^H(ｔ)exp(iＨｔ)exp(－iＨ₀ｔ)です。

また,Hamiltonianは Schrödinger表示では,Ｈ＝Ｈ₀＋Ｈ_intであり,特に相互作用部分であるＨ_intは,相互作用表示ではＨ_int(ｔ)≡exp(iＨ₀ｔ)Ｈ_intexp(－iＨ₀ｔ)と表わされます。

特に,粒子場の演算子は空間ｘと時間ｔに依存するHeisenberg演算子ですから,それをφ_j^H(ｘ)＝φ_j^H(ｔ,ｘ)(ｊ＝1,2,..,ｎ)と書き,Ｏ_H(ｔ)≡φ_j^H(ｔ,ｘ)と置くとそのHeisenbergの運動方程式:i(∂φ_j^H/∂ｔ)＝[φ_j^H,Ｈ]は相互作用する粒子場の方程式に一致するはずです。

そして,Schrödinger表示のｔに依存しない場の演算子φ_j^Sはφ_j^S(ｘ)＝exp(－iＨｔ)φ_j^H(ｔ,ｘ)exp(iＨｔ)で与えられますが,これは本文の中で与えたφ_j(ｘ)＝φ_j^H(0,ｘ)と同じものです。

したがって,相互作用表示の場の演算子:φ_j(ｔ,ｘ)≡exp(iＨ₀ｔ)φ_j(ｘ)exp(－iＨ₀ｔ)は,自由Hamiltonianに対するHeisenbergの運動方程式:i(∂φ_j/∂ｔ)＝[φ_j,Ｈ₀]を満たします。

この自由粒子の運動方程式:i(∂φ_j/∂ｔ)＝[φ_j,Ｈ₀]は自由場の方程式に一致するので,結局φ_j(ｘ)＝φ_j(ｔ,ｘ)を自由場の演算子と同定できるわけです。(注1終わり)※

故に,Ｈ_int(ｔ)＝Ｈ_int[φ₁(ｔ,ｘ),φ₂(ｔ,ｘ),..,φ_n(ｔ,ｘ)]＝Ｈ_int[φ₁(ｘ),φ₂(ｘ),..,φ_n(ｘ)]は自由場の演算子φ₁(ｘ),φ₂(ｘ),..,φ_n(ｘ)の関数で表現した相互作用Hamiltonianである,といえます。

※(注２):Ｈ^H(ｔ)＝exp(iＨｔ)Ｈ^Sexp(－iＨｔ)＝exp(iＨｔ)Ｈ[φ₁(ｘ),φ₂(ｘ),..,φ_n(ｘ)]exp(－iＨｔ)＝Ｈ[φ₁^H(ｘ),φ₂^H(ｘ),..,φ_n^H(ｘ)]＝Ｈ₀[φ₁^H(ｘ),φ₂^H(ｘ),..,φ_n^H(ｘ)]＋Ｈ_int[φ₁^H(ｘ),φ₂^H(ｘ),..,φ_n^H(ｘ)]です。

また,Ｈ^I(ｔ)＝exp(iＨ₀ｔ)Ｈ^Sexp(－iＨ₀ｔ)＝exp(iＨ₀ｔ)Ｈ[φ₁(ｘ),φ₂(ｘ),..,φ_n(ｘ)]exp(－iＨｔ)です。あるいはＨ^I(ｔ)＝exp(iＨ₀ｔ)exp(－iＨｔ)Ｈ[φ₁^H(ｘ),φ₂^H(ｘ),..,φ_n^H(ｘ)]exp(－iＨｔ)exp(－iＨ₀ｔ)です。Ｈ＝Ｈ₀＋Ｈ_int,

Schrödinger表示でのHamiltonian:Ｈ＝Ｈ₀＋Ｈ_int＝Ｈ[φ₁(ｘ),φ₂(ｘ),..,φ_n(ｘ)]に対して,相互作用部分:Ｈ_int[φ₁(ｘ),φ₂(ｘ),..,φ_n(ｘ)]はHeisenberg表示ではＨ_int[φ₁^H(ｘ),φ₂^H(ｘ),..,φ_n^H(ｘ)]＝Ｈ[φ₁^H(ｘ),φ₂^H(ｘ),..,φ_n^H(ｘ)]－Ｈ₀[φ₁^H(ｘ),φ₂^H(ｘ),..,φ_n^H(ｘ)]です。

そして,Ｈ^I_int(ｔ)＝exp(iＨ₀ｔ)Ｈ_int[φ₁(ｘ),φ₂(ｘ),..,φ_n(ｘ)]exp(－iＨ₀ｔ)＝Ｈ_int[φ₁(ｔ,ｘ),φ₂(ｔ,ｘ),..,φ_n(ｔ,ｘ)]ですが,これは先に与えたＨ_int(ｔ)＝Ｈ_int[φ₁(ｘ),φ₂(ｘ),..,φ_n(ｘ)]と同じものです。

そこで.Ｈ_int(ｔ)は確かに自由場の演算子φ₁(ｘ),φ₂(ｘ),..,φ_n(ｘ)の関数で表現した相互作用Hamiltonianといえるわけです。(注２終わり)※

さて,時刻ｔにおける相互作用Hamiltonian:Ｈ_int(ｔ)に対して,Ｈ_int(ｔ)≡∫ｄ³ｘＨ_int(ｔ,ｘ)で定義されるHamiltonian密度:Ｈ_int(ｘ)＝Ｈ_int(ｔ,ｘ)を考えます。

相互作用に微分結合がないときには,相互作用Lagrangian:Ｌ_int(ｔ)に対してＬ_int(ｔ)≡∫ｄ³ｘＬ_int(ｔ,ｘ)で定義されるLagrangian密度をL_int(ｘ)＝L_int(ｔ,ｘ)とすると,Ｈ_int(ｘ)＝－L_int(ｘ)です。

そこで,微分結合がないときは相互作用表示の運動方程式:i(∂|ｔ＞^I/∂ｔ)＝Ｈ_int(ｔ)|ｔ＞^Iを超多時間形式の変分:δ|σ＞/δσ(ｘ)≡lim_ωx→0[{|σ_n＞－|σ＞}/ω_x] (ω_x≡∫ｄ³ｘ[ｆ_σx(ｘ)－ｆ_σ(ｘ)])で表わすとiδ|σ＞^I/δσ(ｘ)＝Ｈ_int(ｘ)|σ＞^Iとなります。

この最終形:iδ|σ＞^I/δσ(ｘ)＝Ｈ_int(ｘ)|σ＞^IをTomonaga-Schwinger方程式といいます。この方程式は明確に共変形です。(以下では,簡単のためにTomonaga-Schwinger方程式をT-S eq.と略記します。)

方程式:T-S eq.は無限自由度の連立偏微分方程式ですが,これの解が存在するためには(ｘ_σ－ｙ_σ)が空間的距離の任意の２点ｘ_σ,ｙ_σに対して,δ²|σ＞^I/{δσ(ｘ)δσ(ｙ)}＝δ²|σ＞^I/{δσ(ｙ)δσ(ｘ)}が成立することが必要です。

この条件は,T-S eq.では,"(ｘ－ｙ)²＜0 を満たす任意のｘ,ｙに対して[Ｈ_int(ｘ),Ｈ_int(ｙ)]＝0 が成立する。"という条件と同値です。これをT-S eq.の微分可能条件(integrability-condition)といいます。

この微分可能条件は因果律,つまり局所可換性が満たされていれば少なくとも形式的には常に満たされます。

ただ,相互作用に微分結合がある場合には,Ｈ_int(ｘ)＝－L_int(ｘ)が成立せず, T-S eq.が共変とは限りません。

しかし,空間的超曲面σ上の点ｘ＝(ｘ^μ)におけるσの法線方向単位ベクト:ｎ(ｘ)＝(ｎ^μ(ｘ))を導入して,Ｈ_int(ｘ)の代わりにＨ_int(ｘ,ｎ(ｘ))のような量を採用すれば共変的定式化が可能らしいです。

以下では,相互作用には微分結合がない場合,つまり相互作用Hamiltonianは場の多項式のような直接結合だけを含むと仮定します。

さて,先に得られたT-S eq.は空間的超曲面σ上を用いることにより基本方程式を共変な形に表現しています。

しかし,実際問題を扱う場合,最終結果は特定のσには依存せず,結果にσが残ることはないので,T-S eq.iδ|σ＞^I/δσ(ｘ)＝Ｈ_int(ｘ)|σ＞^Iを解く代わりに,i(∂|ｔ＞^I/∂ｔ)＝Ｈ_int(ｔ)|ｔ＞^Iを解いても結果は同じです。

そこで,以下では超多時間形式は意識せず,専ら後者の方程式i(∂|ｔ＞^I/∂ｔ)＝Ｈ_int(ｔ)|ｔ＞^Iを基本方程式と考えて,これを解くことに集中します。

さて,Ｕ行列と呼ばれる量:Ｕ(ｔ,ｔ₀)を導入して基本方程式:i(∂|ｔ＞^I/∂ｔ)＝Ｈ_int(ｔ)|ｔ＞^Iの解を|ｔ＞^I≡Ｕ(ｔ,ｔ₀)|ｔ₀＞^Iと表現すれば,元の微分方程式はi{∂Ｕ(ｔ,ｔ₀)/∂ｔ}＝Ｈ_int(ｔ)Ｕ(ｔ,ｔ₀),Ｕ(ｔ₀,ｔ₀)＝1と書き直せます。

これと,Ｈ_int(ｔ)のHermite性からＵ(ｔ,ｔ₀)はＵ(ｔ,ｔ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₀)＝Ｕ(ｔ,ｔ₀),およびＵ(ｔ,ｔ₀)＝Ｕ(ｔ,ｔ₀)^-1＝Ｕ(ｔ,ｔ₀)^＋なる性質を持つことがわかります。

さらに,Ｈ_int(ｔ)＝exp(iＨ₀ｔ)Ｈ_int exp(－iＨ₀ｔ)を微分方程式に代入するとi[∂{exp(－iＨ₀ｔ)Ｕ(ｔ,ｔ₀)}/∂ｔ]＝(Ｈ₀＋Ｈ_int)exp(－iＨ₀ｔ)Ｕ(ｔ,ｔ₀),すなわちi[∂{exp(－iＨ₀ｔ)Ｕ(ｔ,ｔ₀)}/∂ｔ]＝Ｈ{exp(－iＨ₀ｔ)Ｕ(ｔ,ｔ₀)}となります。

これは形式的に解けてexp(－iＨ₀ｔ)Ｕ(ｔ,ｔ₀)＝exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)}exp(－iＨ₀ｔ₀)より,Ｕ(ｔ,ｔ₀)＝exp(iＨ₀ｔ)exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)}exp(－iＨ₀ｔ₀)を得ます。

しかし,これでは解を求めたというより単にSchrödinger表示に戻っただけで共変形でもありません。

そこで,Ｈ_int(ｔ)の具体的な形は既知としてi{∂Ｕ(ｔ,ｔ₀)/∂ｔ}＝Ｈ_int(ｔ)Ｕ(ｔ,ｔ₀),Ｕ(ｔ₀,ｔ₀)＝1を解く必要があります。

それ故,等価な積分方程式:Ｕ(ｔ,ｔ₀)＝1－i∫_t0^tｄｔ₁Ｈ_int(ｔ₁)Ｕ(ｔ₁,ｔ₀)を考えます。もしもＨ_int(ｔ)が量子演算子でなくただのｃ-数なら,これはVoltera型の積分方程式の特殊ケースです。

これを形式的な逐次近似法で解きます。

まず,Ｕ(ｔ,ｔ₀)＝1＋(－i)∫_t0^tｄｔ₁Ｈ_int(ｔ₁)＋(－i)²∫_t0^tｄｔ₁Ｈ_int(ｔ₁)∫_t0^t1ｄｔ₂Ｈ_int(ｔ₂)Ｕ(ｔ₂,ｔ₀)です。

これを無限回繰り返せば,Ｕ(ｔ,ｔ₀)＝Σ_n=0^∞(－i)ⁿ∫_t0^tｄｔ₁∫_t0^t1ｄｔ₂..∫_t0^tn-1ｄｔ_n[Ｈ_int(ｔ₁)Ｈ_int(ｔ₂).. Ｈ_int(ｔ_n)]＝Σ_n=0^∞(－i)ⁿ∫_t0^tｄｔ₁∫_t0^tｄｔ₂..∫_t0^tｄｔ_nθ(ｔ₁－ｔ₂)..θ(ｔ_n-1－ｔ_n)[Ｈ_int(ｔ₁).. Ｈ_int(ｔ_n)]を得ます。θ(τ)はHeaviside関数です。

この無限展開式は右辺の級数が収束するときに限り意味を持ちますが,もしもＨ_int(ｔ)がｃ-数なら右辺は常に収束します。

今日はここまでにします。 

参考文献:中西襄 著「場の量子論」(培風館) ),J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields"(McGraw-Hill),J.D.Bjorken & S.D.Drell"Relativistic Quantum Mechanics"(McGraw-Hill)