赤外発散の初期論文(2)

　赤外発散(infrared-catastroph:赤外破局;赤外異変)の初期論文

紹介の続きです。

　前回最後の,近似解をψ～ψ⁺＝ｕとすると,

[ｃ(μ,ｐ－Σ_sλａ_sλ{Ｐ_sλcos(ｋ_sｒ)＋Ｑ_sλsin(ｋ_sｒ)})

＋ｍｃ²(1－μ²)^1/2＋(1/2)Σ_sλ{(Ｐ_sλ²＋Ｑ_sλ²)ｈ_cω_s}－Ｅ]ｕ＝0

..(10)　となります。

　というところから続けます。(※ｈ_c≡ｈ/(2π);ｈはPlanck定数)

　序文では,"単にＰ_sλ,Ｑ_sλにｒの関数を加えることで考慮する

ことができます。"と書かれていましたが,それに相当してＰ_sλ,Ｑ_sλ

に次のような正準変換を施します。

すなわち,Ｐ_sλ＝Ｐ'_sλ＋σ_sλcos(ｋ_sｒ),

Ｑ_sλ＝Ｑ'_sλ＋σ_sλsin(ｋ_sｒ),ｒ＝ｒ',および,

ｐ＝ｐ'－Σ_sλｈ_cｋ_sσ_sλ{Ｐ'_sλcos(ｋ_sｒ)＋Ｑ'_sλsin(ｋ_sｒ)

＋(1/2)σ_sλ} (11)　とします。

　(※正準変換ですから,Ｐ'_sλとＱ'_sλもＰ_sλとＱ_sλの正準交換

関係を保存して[Ｐ'_sλ,Ｑ'_s'λ']＝－iδ_ss'δ_λλ',

[Ｐ'_sλ,Ｐ'_s'λ']＝[Ｑ'_sλ,Ｑ'_s'λ']＝0 に従います。※)

　対応して,波動関数ｕも,

ｕ(ｒ,Ｑ_sλ)

＝exp[iΣ_sλσ_sλcos(ｋ_sｒ){Ｑ'_sλ＋(1/2)σ_sλsin(ｋ_sｒ)}]

ｕ'(ｒ,Ｑ'_sλ)(12)としてプライムのついたｕ'で表現します。

　そして,変数σ_sλについては,

　σ_sλ＝(μ,ａ_sλ)/[ｈ_c{ｋ_s－(μ,ｋ_s)}](13)と選択します。

　すると,ｕ'に対する簡単化された方程式:

[ｃ(μ,ｐ')＋ｍｃ²(1－μ²)^1/2＋(1/2)Σ_sλ(Ｐ'_sλ²＋Ｑ'_sλ²)ｈ_cω_s

－{ｃ/(2ｈ_c)}Σ_sλ(μ,ａ_sλ)²/{ｋ_s－(μ,ｋ_s)}－Ｅ]ｕ'＝0 (14)

を得ます。

※(注3):実際,

[ｃ(μ,ｐ－Σ_sλａ_sλ{Ｐ_sλcos(ｋ_sｒ)＋Ｑ_sλsin(ｋ_sｒ)})

＋ｍｃ²(1－μ²)^1/2＋(1/2)Σ_sλ{(Ｐ_sλ,²＋Ｑ_sλ²)ｈ_cω_s}－Ｅ]ｕ＝0

..(10)に,単純に上記の正準変換を代入すると,

 [ｃ(μ,ｐ'－Σ_sλｈ_cｋ_sσ_sλ

 {Ｐ'_sλcos(ｋ_sｒ)＋Ｑ'_sλsin(ｋ_sｒ)＋(1/2)σ_sλ}

　－Σ_sλａ_sλ

　[{Ｐ'_sλ＋σ_sλcos(ｋ_sｒ)}cos(ｋ_sｒ)＋{Ｑ'_sλ＋σ_sλsin(ｋ_sｒ)}

　×sin(ｋ_sｒ)])＋ｍｃ²(1－μ²)^1/2＋(1/2)Σ_sλ

[(Ｐ'_sλ²＋Ｑ'_sλ²＋2σ_sλ{Ｐ'_sλcos(ｋ_sｒ)＋Ｑ'_sλsin(ｋ_sｒ)}＋σ_sλ²)

ｈ_cω_s－Ｅ]ｕ'＝0 　となります。

　さらに,σ_sλ＝(μ,ａ_sλ)/[ｈ_c{ｋ_s－(μ,ｋ_s)}](13)より

　(μ,ａ_sλ)＝ｈ_cｋ_sσ_sλ－(μ, ｈ_cｋ_s)ですから,

　ｈ_cω_sσ_sλ²－ｃ(μ,ｈ_cｋ_sσ_sλ²)＝ｃ(μ,ａ_sλσ_sλ)

　です。

そこで,[ｃ(μ,ｐ')－(ｃ/2)Σ_sλ(μ,ａ_sλσ_sλ)＋ｍｃ²(1－μ²)^1/2

＋(1/2)Σ_sλ(Ｐ'_sλ²＋Ｑ'_sλ²)ｈ_cω_s－Ｅ]ｕ'＝0 を得ます。

再び,σ_sλ＝(μ,ａ_sλ)/[ｈ_c{ｋ_s－(μ,ｋ_s)}]を代入すること

により,結局

[ｃ(μ,ｐ')＋ｍｃ²(1－μ²)^1/2＋(1/2)Σ_sλ(Ｐ'_sλ²＋Ｑ'_sλ²)ｈ_cω_s

－{ｃ/(2ｈ_c)}Σ_sλ(μ,ａ_sλ)²/{ｋ_s－(μ,ｋ_s)}－Ｅ]ｕ'＝0 (14)

を得ます。(注3終わり)※

 (14)の解は,ｕ'＝ｕ'(μ,ｍ_sλ,ｇ)

　＝γ(μ)Ω^1/2exp[(i/ｈ_c)(ｍｃ(1－μ²)^–1/2μ＋ｇ,ｒ)]

　Π_sλｈ_ｍsλ(Ｑ'_sλ)　(15),

　および,Ｅ＝Ｅ(μ,ｍ_sλ,ｇ)

　＝ｍｃ²(1－μ²)^-1/2＋ｃ(μ,ｇ)＋Σ_sλ(ｍ_sλ＋1/2)ｈ_cω_s

　－{ｃ/(2ｈ_c)}Σ_sλ(μ,ａ_sλ)²/{ｋ_s－(μ,ｋ_s)}(16)

　で与えられます。

　ただし,γ(μ)はΛγ＝γなる関係式を満たす規格化された

４成分振幅(４元スピノ－ル)であり,

ｇは固定されたμに対して,(15)の関数ｕ'が完全直交系をなす

よう導入された任意ベクトルです。

※(注4):(14)を

[ｃ(μ,ｐ')＋ｍｃ²(1－μ²)^1/2＋(1/2)Σ_sλ(Ｐ'_sλ²＋Ｑ'_sλ²)ｈ_cω_s

－{ｃ/(2ｈ_c)}Σ_sλ(μ,ａ_sλ)²/{ｋ_s－(μ,ｋ_s)}ｕ'＝Ｅｕ'

と書けば,これはＥを固有値とする固有値方程式です。

ｕ'は元々演算子:Λ≡(α,μ)＋β(1－μ²)^1/2(6)に対し,

Λψ⁺＝ψ⁺を満たす正エネルギー解:ψ⁺＝ｕに指数因子を

掛けただけの,ｕ'(ｒ,Ｑ_sλ)

＝exp[－iΣ_sλσ_sλcos(ｋ_sｒ){Ｑ'_sλ＋(1/2)σ_sλsin(ｋ_sｒ)}]

ｕ(ｒ,Ｑ'_sλ)(12')ですから,Λｕ'＝ｕ'を満たします。

　そこで,Λγ＝γを満たすΛの固有ベクトル:γ＝γ(μ)

によってｕ'(ｒ,Ｑ_sλ)＝γ(μ)ｆ(ｒ,Ｑ_sλ)と表わせる

はずです。

　また,正準交換関係:[ｐ,ｑ]＝－iによって特徴付けられる

力学変数ｐ,ｑによるHamiltonian:Ｈ＝(1/2)(ｐ²＋ｑ²)を

持つ１次元調和振動子の運動方程式:Ｈ|ψ＞＝Ｅ|ψ＞

を考えます。

　これの一般解:|ψ＞は,Ｈ|ｎ＞＝Ｅ_n|ｎ＞を満たす固有値:

Ｅ_n＝ｎ＋1/2に属するＨの固有ベクトル|ｎ＞(ｎ＝0,1,2,..)

の線形結合:|ψ＞＝Σ_nｃ_n|ｎ＞で与えられることがわかって

います。

　特に,ｑ-表示(座標表示)を考えてｐについてはSchrodinger表現

ｐ＝－i(ｄ/ｄｑ)を採用し,固有ベクトル:|ｎ＞の波動関数ｈ_n(ｑ)

つまり固有関数をｈ_n(ｑ)≡＜ｑ|ｎ＞で与えると,

方程式Ｈ|ｎ＞＝Ｅ_n|ｎ＞,は定常状態のSchrodinger波動方程式:

(1/2)(－ｄ²/ｄｑ²＋ｑ²)ｈ_n(ｑ)＝Ｅ_nｈ_n(ｑ)　を意味します。

　ｈ_n(ｑ)の座標変数をｑの代わりにｘとして波動関数をｈ_n(ｘ)

と書けば,これは(1/2)(－ｄ²/ｄｘ²＋ｘ²)ｈ_n＝(ｎ＋1/2) ｈ_n,

つまり,ｈ_n"－ｘ²ｈ_n＋(2ｎ＋1)ｈ_n＝0 に帰着します。

(ｈ_n(ｘ)＝(定係数)×exp(－ｘ²/2)Ｈ_n(ｘ)(Ｈ_n(ｘ);は

Hermite多項式)と表わせることが知られています。)

　それ故,調和振動子の総和に相当する電磁場部分の

固有値関係式は,

(1/2)(Ｐ'_sλ²＋Ｑ'_sλ²)ｈ_ｍsλ(Ｑ'_sλ)＝(ｍ_sλ＋1/2)ｈ_ｍsλ(Ｑ'_sλ)

を満たす全ての固有関数の積:{Π_sλｈ_ｍsλ(Ｑ'_sλ)}により,

(1/2)Σ_sλ(Ｐ'_sλ²＋Ｑ'_sλ²){Π_sλｈ_ｍsλ(Ｑ'_sλ)}

＝Σ_sλ(ｍ_sλ＋1/2){Π_sλｈ_ｍsλ(Ｑ'_sλ)},(ｍ_sλ＝0,1,2,..)

と表わされます。

　以上から,

[ｃ(μ,ｐ')＋ｍｃ²(1－μ²)^1/2＋(1/2)Σ_sλ(Ｐ'_sλ²＋Ｑ'_sλ²)

ｈ_cω_s－{ｃ/(2ｈ_c)}Σ_sλ(μ,ａ_sλ)²/{ｋ_s－(μ,ｋ_s)}ｕ'＝Ｅｕ'

の完全な変数分離解がｕ’＝γ(μ)Π_sλｈ_ｍsλ(Ｑ'_sλ)φ(ｒ)

と書けることがわかります。

　残りの因子:φ(ｒ)は,

[ｃ(μ,ｐ')＋ｍｃ²(1－μ²)^1/2＋Σ_sλ(ｍ_sλ＋1/2)ｈ_cω_s

－{ｃ/(2ｈ_c)}Σ_sλ(μ,ａ_sλ)²/{ｋ_s－(μ,ｋ_s)}φ(ｒ)

＝Ｅφ(ｒ)　の解です。

　パラメータｇを導入して,エネルギー固有値を

Ｅ＝Ｅ(μ,ｍ_sλ,ｇ)＝ｍｃ²(1－μ²)^-1/2＋ｃ(μ,ｇ)

＋Σ_sλ(ｍ_sλ＋1/2)ｈ_cω_s

－{ｃ/(2ｈ_c)}Σ_sλ(μ,ａ_sλ)²/{ｋ_s－(μ,ｋ_s)}と定めれば,

残るφ(ｒ)の方程式は,[ｃ(μ,ｐ')＋ｍｃ²(1－μ²)^1/2]φ(ｒ)

＝[ｃ(μ,ｇ)＋ｍｃ²(1－μ²)^-1/2]φ(ｒ)　に帰着します。

　そこでｐ'φ(ｒ)＝{ｍｃ(1－μ²)^-1/2μ＋ｇ}φ(ｒ)を,

ｐ'＝(－iｈ_c)(ｄ/ｄｒ)なる表現とした線形微分方程式を

解けば,φ(ｒ)＝exp[(i/ｈ_c){ｍｃ²(1－μ²)^-1/2μ＋ｇｒ}]

を得ます。

そこで,規格化因子Ω^1/2を付加してｕ'＝ｕ'(μ,ｍ_sλ,ｇ)

＝γ(μ)Ω^1/2exp[(i/ｈ_c)(ｍｃ(1－μ²)^–1/2μ＋ｇ,ｒ)]

Π_sλｈ_ｍsλ(Ｑ'_sλ)(15)　を得るわけです。

(注4終わり)※

　以下では,ｇ＝0 に対する関数ｕ'(μ,ｍ_sλ)≡ｕ'(μ,ｍ_sλ,0)

＝γ(μ)Ω^1/2exp[(i/ｈ_c)(ｍｃ(1－μ²)^–1/2μ)]Π_sλｈ_ｍsλ(Ｑ'_sλ))

のみを考えます。

　Ｅ＝Ｅ(μ,ｍ_sλ)

＝ｍｃ²(1－μ²)^-1/2＋Σ_sλ(ｍ_sλ＋1/2)ｈ_cω_s

－{ｃ/(2ｈ_c)}Σ_sλ(μ,ａ_sλ)²/{ｋ_s－(μ,ｋ_s)}　です。

　電子と電磁場の間に相互作用がないときには,

Ｅ＝ｍｃ²(1－μ²)^-1/2で,これは運動量がｍｃ²(1－μ²)^-1/2μ

の自由電子に相当します。

　関数ｈ_ｍ(ｘ)は,調和振動子の方程式:

ｈ_ｍ"－ｘ²ｈ_ｍ＋(2ｍ＋1)ｈ_ｍ＝0 　の規格化された解です。

　そして,ｕ'から元のｕに戻し,Ｑ'_sλも元のＱ_sλに戻すと,

これは(11),(12),(13)からｕ＝ｕ(μ,ｍ_sλ)

＝γ(μ)Ω^1/2exp[(i/ｈ_c)(ｍｃ(1－μ²)^–1/2μ,ｒ)

＋iΣ_sλσ_sλcos(ｋ_sｒ){Ｑ_sλ－(1/2)σ_sλsin(ｋ_sｒ)}]

Π_sλｈ_ｍsλ(Ｑ_sλ－σ_sλsin(ｋ_sｒ)) (17)　です。

　この解:(17)の近似的正当性は,微細構造定数:ｅ²/(ｈ_cｃ)

が小さいという条件に依存していないことに着目します。

　電磁波放出の反作用(＝電子の運動の変化)のみを無視する

近似をしており,(17)にはより大きな質量ｍを付与することも

可能だからです。

　(17)を正当化するために小さいと仮定する必要のある数は,

最初の近似においてψ^-を計算し,そのノルム(norm)をψ⁺の

ノルム(＝１)と比較することで評価できます。

　実際に,ψ^-のノルムを評価すると,

　norm(ψ^-)～ {ｅ²ω₁/(ｍｃ²)}[ｆ(μ)ｈ_cω₁/(ｍｃ²)

　＋ｇ(μ)ｅ²ω₁/(ｍｃ²)]　となります。ただし,ω₁はここで

　考慮すべき高角振動数です。

　また,ｆ,ｇはμ＝ｖ/ｃだけの関数でありμが小さいとき

にはｆ～ 1/(3π),ｇ～ {4/(9π²)}μ²,

また,(1－μ²)^-1/2が大きいときには,

ｆ～ {1/(4π)}(1－μ²),ｇ～{1/(4π²)}(1－μ²)²log{1/(1－μ²)}

のように評価されます。

　これを見ればわかるように,今の近似展開でのパラメータは決して

微細構造定数:ｅ²/(ｈ_cｃ)ではなく,ｈ_c→ 0 の古典極限も可能です。

そして,ｈ_c→ 0 の極限では(17)におけるＰ_sλ,Ｑ_sλへのシフト

σ_sλcos(ｋ_sｒ),σ_sλsin(ｋ_sｒ)は,実際に外場の中を一様運動

する電子により生成される電磁場の横波部分を正しく記述して

います。

　切りがいいので今日はここまでにします。

次章では近似解の(17)式を応用して遷移確率と輻射の平均

エネルギーの計算に入ります。

　(参考文献): F.Bloch and A.Nordsieck,

"Note on the Radiative Field of the Electron " 　Phys.Rev,Vol.52,p54(1937)　

(edited by J.Schwinger「(selected papers on) QUANTUM ELECTRODYNAMICS」:Dover books on engineering and

engineering physics)より。

PS:依然としてマシン(PC)は不安定です。

　中古保証は1ヶ月ですからそろそろ考えないとネ。とはいえ

メチャ安物のマシンですから,ある程度仕方ないか。。

　さて,腹がヘッタから夜食でも？と冷蔵庫内を見ても卵が４つ

しかなかったので,２つを使って醤油味の玉子焼きを作りそれを

おかずにご飯を茶碗１杯食べたら眠くなりました。

　まだ寝るには早いけど。。

PS2:11月５日はＭさん(＝Ｋ.Ｓさん)の誕生日です。会えないけれど

おめでとう。中旬には岡山県にいる私の母も90回目の誕生日を迎える

予定です。。