赤外発散の初期論文(3)

　大分,間があきましたが赤外発散の初期論文の紹介の続きです。

 気ままで飽きっぽい性格なので,ただ単に既に鑑賞し終わって

歴史的意味はあっても,私の中では既にこれ以上の発展性がなく,

より理解しやすい別の文献の存在を知っている,対象について,

最後まで記述するのさえ,気が向かないということもあります。

まあ,特にタイピングに手間取っているだけなのですが,

いつまでも休止期間中のExerciseにばかり関わってるわけ

にもいかないという気持ちもあるので,多少急ピッチで記事

の最終回としました。

論文の第Ⅲ章からです。

Ⅲ.Application to small Perturbation on the electron;

Transition Probabilities and Mean radiated energy

(電子小摂動への応用;遷移確率と平均放射エネルギー)

　さて,まず,下に解:(17)を再掲します。

　ｕ＝ｕ(μ,ｍ_sλ)

　＝γ(μ)Ω^1/2exp[(i/ｈ_c)(ｍｃ(1－μ²)^–1/2μ,ｒ)

　＋iΣ_sλσ_sλcos(ｋ_sｒ){Ｑ_sλ－(1/2)σ_sλsin(ｋ_sｒ)}]

　Π_sλｈ_ｍsλ(Ｑ_sλ－σ_sλsin(ｋ_sｒ))(17)　です。

　これは,電子に作用する外的摂動が小さいときの遷移確率の

計算に利用できます。

　それぞれ量子数がｍ_sλ,ｎ_sλ,速度がｖ＝ｃμ,ｗ＝ｃνの電子

で特徴付けられる２つの状態間の遷移を考えます。

　電子の位置座標とスピンにかかる相互作用演算子Ｖ^の行列要素

は次式で与えられます。

(※Ｖ^はＨ＝Ｈ₀＋Ｖの相互作用ポテンシャルＶの意味です。)

　すなわち,Ｖ(μ,ｍ_sλ,ν,ｎ_sλ)

　＝(1/Ω)∫ｄｒexp{(－i/ｈ_c)(ｍｃ(1－μ²)^–1/2μ,ｒ)}

　γ^*(μ)Ｖ^δ(ν)exp{(i/ｈ_c)(ｍｃ(1－ν²)^–1/2ν,ｒ)}

　Π_sλＩ(ｋ_s;σ_sλ,ｍ_sλ,τ_sλ,ｎ_sλ)(18)　です。

τ_sλはμに対する関数σ_sλの対応するνに対する関数です。

(※:σ_sλ＝(μ,ａ_sλ)/[ｈ_c{ｋ_s－(μ,ｋ_s)}](13)に対し,

τ_sλ＝(ν,ａ_sλ)/[ｈ_c{ｋ_s－(ν,ｋ_s)}]です。※)

δ(ν)は,状態μに対する振幅γ(μ)に対応する状態μに対する

４成分振幅です。

(※:δ(ν)はDiracのデルタ関数ではなく,γ(μ)と同じく４成分

の列ベクトル or ４成分Diracスピノールです。※)

Ｉ(ｋ;σ,ｍ,τ,ｎ)

≡∫ｄＱｈ_ｍ(Ｑ－σsin(ｋｒ))exp{－i(σ－τ)cos(ｋｒ)Ｑ

＋i(1/2)(σ²－τ²)sin(ｋｒ)cos(ｋｒ)}ｈ_n(Ｑ－τsin(ｋｒ))

＝exp{－i(ｍ－ｎ)(ｋｒ)}Ｋ(σ,ｍ,τ,ｎ)(19) です。

　ここで,Ｋ(σ,ｍ,τ,ｎ)

≡exp{－(σ²－τ²)/2}(ｍ!ｎ!)1/2{－i2^-//2(σ－τ)}^(m-n)

 Σ_ζ=0^l[{－(σ²－τ²)/2}^ζ/{(ｌ－ζ)!(|ｍ－ｎ|＋ζ)!}](20)

です。

　ただし,ｌはｍ≦ｎならｌ＝ｍ,ｍ＞ｎならｌ＝ｎです。

Ｉの表現(19)を(18)に代入すると,

Ｖ(μ,ｍ_sλ,ν,ｎ_sλ)＝(1/Ω)Ｆ(ｑ)Π_sλＫ(σ_sλ,ｍ_sλ,τ_sλ,ｎ_sλ)

を得ます。

ここに,Ｆ(ｑ)≡∫ｄｒexp{－i(ｑｒ)}γ^*(μ)Ｖ^δ(ν),

ｑ≡(ｍｃ/ｈ_c){(1－μ²)^–1/2μ－(1－ν²)^–1/2ν}＋

Σ_sλ(ｍ_sλ－ｎ_sλ)ｋ_s (23)

　それ故,単位時間当たりの(μ,ｍ_sλ)→ (ν,ｎ_sλ)の遷移確率:

Ｔは次のように書けます。

すなわち,Ｔ(μ,ｍ_sλ,ν,ｎ_sλ)

＝{2π/(ｈ_cΩ²)}Ｄ[ｍｃ²(1－μ²)^–1/2－ｍｃ²(1－ν²)^–1/2

＋Σ_sλ(ｍ_sλ－ｎ_sλ)ｈ_cω_s]|Ｆ(ｑ)|²

Π_sλＫ(σ_sλ,ｍ_sλ,τ_sλ,ｎ_sλ)² (24)です。

ただし,上の式のＤ[ ]はDiracのデルタ関数を意味します。

　以下では,議論を簡単にするため,(23)の最後と(24)の引数に

おいて最後の電磁項を無視します。

　そして,電子のエネルギー・運動量の変化に比べて電磁場の

エネルギー・運動量の変化が小さいという仮定,つまり低振動数

では明らかに正当化される仮定を導入します。

　さらに,全てのｍ_sλがゼロであるような状態:(μ,ｍ_sλ)＝(μ,0),

つまり自由光量子が全く存在しない初期状態からの遷移を考えます。

　その状態から種類ｓ,λの光量子ｎ_sλが放出され,遷移後に電子

が立体角要素:sinθｄθｄφの中に移動する単位時間当たりの

確率Ｕは(24),(20)によって,次のように書けます。

　Ｕ(μ,ν,ｎ_sλ)sinθｄθｄφ

＝{1/(4π²ｈ_c⁴Ω)}sinθｄθｄφ{ｍ²νｃ/(1－ν²)}|Ｆ(ｑ)|²

 Π_sλexp{－(σ_sλ²－τ_sλ²)/2}{(σ_sλ－τ_sλ)²/2}^ｎsλ/(ｎ_sλ!)

(26)です。

　この結果は序文で書いた通りに,"任意の有限個数の光量子放出

確率はゼロである。"ことを確証するものです。

　これを明示するために,まず光量子が全く放出されないケース:

ｎ_sλ＝0の場合を考えます。

 このときには,{(σ_sλ－τ_sλ)²/2}^ｎsλ/(ｎ_sλ!)＝1ですから

(26)の指数因子の部分は,単にΠ_sλexp{－(σ_sλ²－τ_sλ²)/2}です。

 (13)σ_sλ＝(μ,ａ_sλ)/[ｈ_c{ｋ_s－(μ,ｋ_s)}],

τ_sλ＝(ν,ａ_sλ)/[ｈ_c{ｋ_s－(ν,ｋ_s)}],および,

  (2)ａ_sλ≡2ｅ{πｈ_c/(Ωω_s)}^1/2より,

　Π_sλexp{－(σ_sλ²－τ_sλ²)/2}

＝exp(－2πｅ²ｈ_c^-1Ω^-1Σ_sλω_s^-1[(μ,ε_sλ)/{ｋ_s－(μ,ｋ_s)

}－(ν,ε_sλ)/{ｋ_s－(ν,ｋ_s)}]²)(27)

となることがわかります。

そこで,領域ｄｋ内には振動モード:Ω(2π)^-3ｄｋが存在する

ことを利用してｄｋ積分を実行しλで和を取れば,

ｎ_sλがゼロのときの(27)右辺の指数の中は,－{ｅ²/(4π²ｈ_cｃ)}lim_ω0→0∫_ω0^ω1ｄω_sω_s^-1∫₀^πsinθ_sｄθ_s∫₀^2πｄφ_s[{μ/(1－μ_s)

－ν/(1－ν_s)}²－{μ_s/(1－μ_s)－ν_s/(1－ν_s)}²]](28)

となります。

ここでθ_s,φ_sはｋ_sの極角,μ_s,ν_sはμ,νのｋ_sに沿う成分です。

そして,ｄω_s積分は上限にω₁の切断(cut-off)を持つとしています。

(28)の角度にわたる積分:∫₀^πsinθ_sｄθ_s∫₀^2πｄφ_sは有限な

正因子を与えますが,一方ｄω_s積分はω₀→ 0 の極限で対数発散

します。

この結果,(27)は消えます。

※(注5):つまり,ω₀→ 0 でΠ_sλexp{－(σ_sλ²－τ_sλ²)/2}

＝exp(－2πｅ²ｈ_c^-1Ω^-1Σ_sλω_s^-1[(μ,ε_sλ)/{ｋ_s－(μ,ｋ_s)}

－(ν,ε_sλ)/{ｋ_s－(ν,ｋ_s)}]²) → exp(－∞) → 0 です。※　

もしも,(26)のｎ_sλがゼロと異なる場合,(26)は(27)と有限な因子

しか異ならないのでやはりゼロです。

　しかしながら,放出される光量子数とは独立に,電子がμからν

へと遷移する総確率は,個数ｎ_sλにわたる(26)の総和で与えられます。

　それを計算すると,

{1/(4π²ｈ_c⁴Ω)}sinθｄθｄφ{ｍ²νｃ/(1－ν²)}|Ｆ(ｑ)|²

 (29)です。

　これは電磁場の相互作用を完全に無視して得る結果と同じです。

　こうした結果は電磁場の運動量変化が電子のそれに比べて無視

されるケースであるため物理的には予期されたものです。

　したがって,結局,有限個の光量子放出を伴なうμ→ νの確率

はゼロであり,一方,全確率は有限であるという事実から放出される

光量子の平均個数は無限大であると結論されます。

　そして,輻射が振動数区間ｄω_s,角度域ｄθ_s,ｄφ_sに輻射される

(同時に電子が立体角要素sinθｄθｄφに検出される)平均放射

エネルギーは次式で与えられます。

すなわち,{Ω/(2πc)³}ω_s²ｄω_ssinθ_sｄθ_sｄφ_s

Σ_λΣ_nsλ=0^∞{ｎ_sλｈ_cω_sＵsinθｄθｄφ (30)です。

これは,{1/(4π²ｈ_c⁴Ω)}sinθｄθｄφ{ｍ²νｃ/(1－ν²)}

|Ｆ(ｑ)|²・{ｅ²/(4π²ｃ)}[{μ/(1－μ_s)－ν/(1－ν_s)}²

－{μ_s/(1－μ_s)－ν_s/(1－ν_s)}²]}ｄω_ssinθ_sｄθ_sｄφ_s (31)

に比例します。

このことは,(26),(13),(2)と

公式:Σ_n=0^∞{ｎｘⁿ exp(－ｘ)/ｎ!}＝ｘ から得られます。

(30)の余分なω_s因子:ω_s²のため,光量子の平均総数は無限大なのに平均総エネルギーは有限です。

また,式(31)は丁度,立体角要素sinθｄθｄφに電子が散乱される

総確率にその方向に古典的に放出される総エネルギーを掛けたもの

に一致しています。

低振動数の極限で微細構造定数:ｅ²/(ｈ_cｃ)のベキ展開による和

のエネルギーは,式(31)単独で正しいと仮定されるものと一致して

平均輻射エネルギーの同じ結果へと導きます。

もっとも遷移確率に関する限り,ベキ展開手法は,結果を完全に

ミスリードするものではありますが。。。

上記考察は,β崩壊の理論の多くの文献ケースにも応用できます。

その際には,外的摂動は電子座標には作用しませんが１つの電子

を生成します。上記扱いとの唯一の違いは,電磁場に関する限り,

電子生成と共に核子速度がｃμからｃνに置き換わることです。

散乱と同じく,β崩壊の確率は低振動数輻射を伴なう電子相互

作用によっては変わらず,平均輻射エネルギーはｅ²/(ｈ_cｃ)の

ベキ展開で計算されるものとよく一致することがわかります。

(※完了)

　最後の方では冗長な計算を省略してエッセンスだけにしましたが,

この項についてはこれで終わりです。

(参考文献): F.Bloch and A.Nordsieck,

"Note on the Radiative Field of the Electron" Phys.

Rev,Vol.52,p54(1937)

(edited by J.Schwinger「(selected papers on)QUANTUM ELECTRODYNAMICS」:Dover books on engineering and

engineering physics)より。

PS:最初に書いた発展性がないという意味は,私の頭の中でのこと

であって他意はありません。

　赤外発散については,後のYennie-Frauchi-Suuraの70ページ以上

の集大成の論文(D.Yennie S.Frauchi H.suura

"Infrared Divergence Phenomena and High-Energy Processes" Ann.Phys.Vol.13 pp379-452 (1961))でも内容は最初のこの論文

の考察に同等です。

　要するに,ゼロ振動数の無限個の実光子の寄与がexp(－∞)で

ゼロ振動数の無限個の仮想光子の寄与がexp(＋∞)となるので

実際計算で相殺するという話です。

　手法は全く異なりますが紫外発散でのくりこみにおける

Lamb Shiftや異常磁気能率などの輻射補正と同じく,赤外発散

でもexp(－∞)×exp(＋∞)が正確に相殺して１になるわけでは

ないために余分の補正因子が得られます。　(以上)