水滴の成長と蒸発(1)

　前の一連の記事のプルーム上昇式について書いていた1983年８月の覚書きノートには続きがあります。それは水滴の成長と蒸発という項目です。

これも1000ページ近い"英文のANLモデル(アルゴンヌ国立研究所模型;後のSACTI)のドキュメントを全部翻訳して内容を完全に把握する"という当時のジョブの一環として勉強したものです。

冷却塔(cooling tower)からの温排気排出の影響には,水蒸気による白煙発生の他に,それが周辺大気で冷却され凝結した水滴の飛散による濃霧,また冷却水が海水のように塩分などを含む場合には飛散水滴による農作物等への塩害etc.も考えられるからです。

そこで,この項目についても覚書きとして記述しておきます。

(当時は,仕事の都合上,タイムリミットもあって,とにかく当座の計算アルゴリズム等に必要な式に到達するのが目的だったので,途中のプラス,マイナスなど細かいところはアバウトだったりテキトーだったりなところもあるので,あとで修正が必要なのです。)

以下は本文です。

§1.拡散流束による水滴質量の増減

　水蒸気の密度をρ_v,その密度流束(局所流束密度)をｊ_vとします。

この局所流束密度ｊ_vは,移流風速(水蒸気を含む空気の平均流速)をｕとすると,そのゆらぎ(fluctuation)に相当する拡散流束を加えて,

ｊ_v＝ρ_vｕ－Ｄ_v∇ρ_vと表現されます。

ただし,Ｄ_vは拡散係数です。

この流束を用いた水蒸気の質量保存を示す連続の方程式は,

∂ρ_v/∂ｔ＋∇ｊ_v＝0 or ∂ρ_v/∂ｔ＝－∇ｊ_vです。

そして,ｊ_v＝ρ_vｕ－Ｄ_v∇ρ_vにより∇ｊ_v＝∇(ρ_vｕ－Ｄ_v∇ρ_v)です。

しかし,この水蒸気を含む空気は非圧縮(または,高々Boussinesq近似)を仮定しているため,∇ｕ＝0 を満たしますから,

これは,∇ｊ_v＝ｕ∇ρ_v－∇(Ｄ_v∇ρ_v) と書けます。

さらに,拡散係数Ｄ_vは空間位置によらない定数であると仮定すると,

∇ｊ_v＝ｕ∇ρ_v－Ｄ_v∇²ρ_vです。

結局,上記連続の方程式:∂ρ_v/∂ｔ＝－∇ｊ_vは,

∂ρ_v/∂ｔ＋ｕ∇ρ_v＝Ｄ_v∇²ρ_v (1)　を意味します。

これは,Fick型の(移流)拡散方程式(diffusion equation)と呼ばれる方程式です。

　一方,ρ_wを液体の水の密度として半径ａの球水滴の質量をｍとするとｍ＝∫ρ_wｄＶ＝4πａ³ρ_w/3です。

水滴の中心を原点:Ｏとするような極座標で考えると,ｒ＞ａの領域では水蒸気に対して,上述の拡散方程式:∂ρ_v/∂ｔ＋ｕ∇ρ_v＝Ｄ_v∇²ρ_v (1)が成立しますが,ｒ＜ａの球内は(1)が成立しない特異領域と考えられます。

　そして,空気は水滴表面から内部に浸入することはないので,表面ｒ＝ａでは速度の表面への垂直成分:ｕ_r＝0 であるべきですが,現実の水滴表面ではより強い粘着条件:ｕ＝0 が満たされていると思われます。

　つまり,表面ｒ＝ａではｕ＝0 なる境界条件が満たされると考えます。

　水滴の質量保存から,明らかにｄｍ/ｄｔ＝－∫_r=aｊ_vｎ_rｄＳですが,

　上記境界条件を要求すると,ｒ＝ａでは

　ｊ_v＝ρ_vｕ－Ｄ_v∇ρ_v＝－Ｄ_v∇ρ_vなので,

　ｄｍ/ｄｔ＝Ｄ_v∫_r=a(∂ρ_v/∂ｒ)_r=aｄＳ (2)です。

　特に,表面だけでなく全空間でｕ＝0 を満たす,水滴に対して静止した空気中でのｄｍ/ｄｔを(ｄｍ/ｄｔ)₀と書けば,場は中心対称ですから,

　(ｄｍ/ｄｔ)₀＝4πａ²Ｄ_v(ｄρ_v/ｄｒ)_r=a (3)と書けます。

他方,ｕ＝0 なら∂ρ_v/∂ｔ＝Ｄ_v∇²ρ_vです。さらにｔ→ ∞ の極限では拡散場は定常(∂ρ_v/∂ｔ＝0)になり,しかも球対称ですから,

∇²ρ_v＝ｒ^-1ｄ²(ｒρ_v(ｒ)/ｄｒ²＝0 です。　

これを,ｒ＝ａでρ_v＝ρ_v(ａ);ｒ＝∞でρ_v＝ρ_∞の境界条件下で解けば

ρ_v(ｒ)＝ρ_∞＋ａ{ρ_v(ａ)－ρ_∞}/ｒ (4)を得ます。

これにより,(ｄρ_v/ｄｒ)_r=a＝{ρ_∞－ρ_v(ａ)}/ａ (5)ですから,

ｕ＝0の静止大気中での水滴の質量保存の式は,　

(ｄｍ/ｄｔ)₀＝4πａ²Ｄ_v(ｄρ_v/ｄｒ)_r=a＝4πａＤ_v{ρ_∞－ρ_v(ａ)}

と書けます。

水蒸気が理想気体なら,それが従う状態方程式:ｅ＝ρ_vＲＴ/Ｍ_wから,

ρ_∞＝ｅ_∞Ｍ_w/(ＲＴ_∞),ρ_v(ａ)＝ｅ_aＭ_w/(ＲＴ_a)を代入して,

(ｄｍ/ｄｔ)₀＝(4πａＤ_vＭ_w/Ｒ)(ｅ_∞/Ｔ_∞－ｅ_a/Ｔ_a) (6)

です。

または,ｍ＝4πａ³ρ_w/3なる式により,

方程式:ａ(ｄａ/ｄｔ)₀＝{Ｄ_vＭ_w/(ρ_wＲ)}(ｅ_∞/Ｔ_∞－ｅ_a/Ｔ_a) (7)

を得ます。

ただし,Ｔ_aは水滴表面(ｒ＝ａ)の温度,ｅは水蒸気圧,Ｒはモル気体定数(Ｒ～ 8.31J/(molＫ)),Ｍ_wは水の分子量(Ｍ_w～ 18ｇ/mol)です。

しかし,水滴半径ａが分子半径と比較してそれほど大きくない場合には,空気や水蒸気を連続体とみなす巨視的流体力学の適用範囲の外に出ると考えられるため,必要な小水滴に対する補正をします。

以下,Fuchs(1959)によって与えられた方法に従います。

　拡散方程式とその解は水滴表面からの水蒸気の反跳長さ(recoiling length):Δ_vを超えないなら正しくないと考えます。

すなわち,ｒ≧ａ＋Δ_vではρ_v(ｒ)＝ρ_∞＋Ａ/ｒ(8)が成立しますが,

ａ≦ｒ≦ａ＋Δ_ｖの境界領域では水蒸気流束を構成する分子はMaxwell-Boltzmannの速度分布に従う粒子として気体運動論的に扱うことにします。

水分子の質量をｍ_wとし,分子の平均速度をｖ＝(ｖ_x,ｖ_y,ｖ_z),その大きさをｖ≡|ｖ|,Boltzmann定数をｋ_B≡Ｒ/Ｎ_A(Ｎ_AはAvogadro数)とすると,温度がＴのときの分子の平均速さは,

＜ｖ＞＝(8ｋ_BＴ)^1/2/(πｍ_w)^1/2＝(8ＲＴ)^1/2/(πＭ_w)^1/2 (9)

で与えられます。

※(注):＜ｖ＞＝∫ｖexp{－ｍ_wｖ²/(2ｋ_BＴ)}ｄ³ｖ/∫exp{－ｍ_wｖ²/(2ｋ_BＴ)}ｄ³ｖ＝∫₀^∞ｖ³exp{－ｍ_wｖ²/(2ｋ_BＴ)}ｄｖ/∫₀^∞ｖ²exp{－ｍ_wｖ²/(2ｋ_BＴ)}ｄｖ　です。

ところが,∫₀^∞exp(－αｖ²)ｄｖ＝(1/2)(π/α)^1/2ですから,両辺をαで微分することで,∫₀^∞ｖ²exp(－αｖ²)ｄｖ＝(1/4)π^1/2/α^3/2を得ます。

さらに,これをαで微分すると,∫₀^∞ｖ⁴exp(－αｖ²)ｄｖ＝(3/8)π^1/2/α^5/2です。

一方,∫₀^∞ｖ³exp(－αｖ²)ｄｖ＝(1/2)∫₀^∞ｕexp(－αｕ)ｄｕ＝(1/2)(1/α²)より,∫₀^∞ｖ³exp(－αｖ²)ｄｖ/∫₀^∞ｖ²exp(－αｖ²)ｄｖ＝2/(πα)^1/2です。

＜ｖ＞＝∫₀^∞ｖ³exp{－ｍ_wｖ²/(2ｋ_BＴ)}ｄｖ/∫₀^∞ｖ²exp{－ｍ_wｖ²/(2ｋ_BＴ)}ｄｖの右辺は,上記のα＝ｍ_w/(2ｋ_BＴ)の場合に当たりますから,

　＜ｖ＞＝(8ｋ_BＴ)^1/2/(πｍ_w)^1/2＝(8ＲＴ)^1/2/(πＭ_w)^1/2です。

一方,二乗平均速度を評価するのなら,

＜ｖ²＞^1/2＝[∫ｖ²exp{－ｍ_wｖ²/(2ｋ_BＴ)}ｄ³ｖ]^1/2＝[∫₀^∞ｖ⁴exp{－ｍ_wｖ²/(2ｋ_BＴ)}ｄｖ/∫₀^∞ｖ²exp{－ｍ_wｖ²/(2ｋ_BＴ)}ｄｖ]^1/2

＝{3/(2α)}^1/2＝(3ｋ_BＴ/ｍ_w)^1/2＝(3ＲＴ/Ｍ_w)^1/2です。

後者はエネルギーの等分配則＜ｍｖ²/2＞＝(3/2)ｋ_BＴから予想される結果に一致しています。

(8/π)^1/2と3^1/2 には大差がないので,＜ｖ＞と＜ｖ²＞^1/2は同じオーダーの量です。(注終わり)※

　さて,ｎを分子濃度,つまり単位体積当たりの分子数とします。

分子の従うMaxwell-Boltzman分布を,

"ｖ＝(ｖ_x,ｖ_y,ｖ_z)とｖ＋ｄｖ＝(ｖ_x＋ｄｖ_x,ｖ_y＋ｄｖ_y,ｖ_z＋ｄｖ_z)を対角線とする速度空間の微小直方体内に,単位体積当たりＦ(ｖ²)ｄｖ_xｄｖ_yｄｖ_z個の分子があること"で表現すれば,

∫Ｆ(ｖ²)ｄｖ_xｄｖ_yｄｖ_z＝ｎ,∫ｖＦ(ｖ²)ｄｖ_xｄｖ_yｄｖ_z/ｎ＝＜ｖ＞

です。

すると,速度空間では速度ｖがｖ～ ｖ＋ｄｖの間にあり,かつ座標空間の任意の向きの平面の微小立体角:ｄΩ＝cosθｄθｄφに衝突する単位時間,単位面積当たりの分子数は,

{ｖsinθｄΩ/(4π)}Ｆ(ｖ²)ｄｖ_xｄｖ_yｄｖ_z

＝ｖＦ(ｖ²)ｄｖ_xｄｖ_yｄｖ_zsinθcosθｄθｄφ/(4π)

で与えられます。

ただし,この平面がｖとなす角がθであるように極座標軸を取ってます。

平面の一方の側の単位面積に衝突する単位時間当たりの分子の総数は,これを角度θについて 0 からπ/2まで,φについて 0 から2πまで,さらにｖについて 0 から∞まで積分した値です。

∫₀^π/2sinθcosθｄθ∫₀^2πｄφ＝πですから,この値:[∫ｖＦ(ｖ²)ｄｖ_xｄｖ_yｄｖ_z∫₀^π/2sinθcosθｄθ∫₀^π/2ｄφ]/(4π)は,(1/4)∫ｖＦ(ｖ²)ｄｖ_xｄｖ_yｄｖ_z＝(1/4)ｎ＜ｖ＞に等しいことがわかります。

したがって,(分子数密度流束)＝(任意の面に衝突する単位時間,単位面積当たりの分子数)は,　

(1/4)ｎ＜ｖ＞ (10)　と書けます。

右辺の因子:＜ｖ＞は先に書いたように,

＜ｖ＞＝(8ｋ_BＴ)^1/2/(πｍ_w)^1/2＝(8ＲＴ)^1/2/(πＭ_w)^1/2 (9)

で与えられます。

また,水蒸気の温度を改めてＴの代わりにＴ_gと書くと,水蒸気はｅ＝ρ_wｋ_BＴ_g/ｍ_w＝ｎｋ_BＴ_gなる状態方程式に従います。

故に,水滴の周囲の水蒸気の分子数密度流束は

ｗ^↓＝(1/4)ｎ＜ｖ＞＝(1/4){ｅ/(ｋ_BＴ_g)}(8ｋ_BＴ_g)^1/2/(πｍ_w)^1/2

＝ｅ/(2π_wｋ_BＴ_g)^1/2です。

他方,水滴表面に付着する水蒸気の分子数密度流束をｗ^↑と書き,平衡状態にあるときのｗ^↑の水滴の周囲の分子数密度流束ｗ^↓に対する比を凝結定数と呼んでα_cとします。

すると,ｗ^↑＝α_cｗ^↓です。

そうすると,水滴表面の分子数密度流束は,

ｗ^↑＝α_cｅ/(2πｍ_wｋ_BＴ_a)^1/2 (13)

で与えられることになります。

実験によれば,α_cの値は,α_c≒0.01～ 0.07です。

ただし,水蒸気分子の平均速さは,＜ｖ＞＝(8ＲＴ_g)^1/2/(πＭ_w)^1/2でも

分子速度ｖの分布は等方的で,そのベクトル平均はゼロと考えられるので

分子数密度流束ｗ^↓の向きはあらゆる方向について対称です。

水滴表面の水蒸気圧:ｅが飽和水蒸気圧:ｅ_satに等しいときに"定常状態＝蒸発平衡"に達するとすれば,

平衡時の水滴表面での飽和分子数流束:ｗ^↑_satは,　

ｗ^↑_sat＝α_cｅ_sat/(2πｍ_wｋ_BＴ_a)^1/2 (14)　です。

ただし,Ｔ_aは水滴表面の絶対温度です。

それ故,流入する分子数流束と流出する分子数流束は互いに独立であるとしてＴ_g～ Ｔ_a ＝Ｔと置けば,水滴に流入する総流束密度の大きさは

ｗ_sat＝ｗ^↑－ｗ^↑_sat＝α_c(ｅ－ｅ_sat)/(2πｍ_wｋ_BＴ)^1/2(15)

と書けます。

この(15)式は,ｅ＜ｅ_satなら水滴が蒸発し,ｅ≧ｅ_satなら蒸発しないことを意味しています。

さて,水滴中心からの距離ｒにおける水蒸気の分子数密度をＮ_v(ｒ),密度をρ_v(ｒ)とすればρ_v(ｒ)＝ｍ_wＮ_v(ｒ)です。

したがって,ｒ＝ａ＋Δ_ｖにおける水蒸気が,流出入する水蒸気を代表するとすれば,その水滴表面へと向かう凝結流束密度は,

α_cｍ_wＮ_v(ａ＋Δ_ｖ)＜ｖ_v＞/4＝α_c＜ｖ_v＞ρ_v(ａ＋Δ_ｖ)/4　です。

他方,水滴表面ｒ＝ａで蒸発に向かう蒸発流束密度は,

α_c＜ｖ_v＞ρ_v(ａ)/4です。

そこで,表面での総蒸発流束Ｊ_v(ａ)は,

Ｊ_v(ａ)＝4πａ²ｊ_v(ａ)＝πａ²α_c＜ｖ_v＞{ρ_v(ａ)－ρ_v(ａ＋Δ_c)} (16)

で与えられることがわかります。

一方,冒頭で書いたように,巨視的流体力学の見方では,

ｒ＝ａでの流速密度はｊ_v＝－Ｄ_v∇ρ_vなので,総流束は

Ｊ_v(ｒ)＝4πａｒ²ｊ_v(ｒ)＝－4πｒ²(ｄρ_v/ｄｒ)Ｄ_v

です。

ところで,今の気体運動論的考察では,

ｒ≧ａ＋Δ_ｖでρ_v(ｒ)＝ρ_∞＋Ａ/ｒ (8)が成立する,

と仮定しているので,

ｒ＝ａ＋Δ_ｖにおいてはρ_v(ａ＋Δ_v)＝ρ_∞＋Ａ/(ａ＋Δ_v)です。

故に,(ｄρ_v/ｄｒ)_r=a+Δv＝－Ａ/(ａ＋Δ_c)²ですから,

Ｊ_v(ａ＋Δ_v)＝－4π(ａ＋Δ_v)²(ｄρ_v/ｄｒ)_r=a+ΔvＤ_v＝4πＤ_vＡ (17)

を得ます。

"定常状態＝蒸発平衡"では,Ｊ_v(ａ＋Δ_v)＝Ｊ_v(ａ) (18)であるべきで,

ρ_v(ａ＋Δ_v)＝ρ_∞＋Ａ/(ａ＋Δ_v)ですから(16),(17)より,

4πＤ_vＡ＝πａ²α_c＜ｖ_v＞{ρ_v(ａ)－ρ_v(ａ＋Δ_c)}

＝πａ²α_c＜ｖ_v＞{ρ_v(ａ)－ρ_∞－Ａ/(ａ＋Δ_v)}

が成立します。

したがって,

[ａ²α_c＜ｖ_v＞/(ａ＋Δ_v)＋4Ｄ_v]Ａ＝ａ²α_c＜ｖ_v＞{ρ_v(ａ)－ρ_∞},

および＜ｖ_v＞＝(8ｋ_aＴ_a)^1/2/(πｍ_w)^1/2＝(8ＲＴ_a)^1/2/(πＭ_w)^1/2 (9)

が成立します。

以上から,

Ａ＝ａ{ρ_v(ａ)－ρ_∞}/[ａ/(ａ＋Δ_v)＋4Ｄ_v/(ａα_c＜ｖ_v＞)]

＝ａ{ρ_v(ａ)－ρ_∞}/[ａ/(ａ＋Δ_v)＋Ｄ_v{2πＭ_w/(ＲＴ_a)}^1/2/(ａα_c)] (19)　を得ます。

これは,冒頭で述べた巨視的流体力学の考察:

(4)ρ_v(ｒ)＝ρ_∞＋ａ{ρ_v(ａ)－ρ_∞}/ｒ,

および(ｄｍ/ｄｔ)₀＝4πａＤ_v{ρ_∞－ρ_v(ａ)}から導かれた式,

(6)(ｄｍ/ｄｔ)₀＝(4πａＤ_vＭ_w /Ｒ)(ｅ_∞/Ｔ_∞－ｅ_a/Ｔ_a),

または(7)ａ(ｄａ/ｄｔ)₀＝{Ｄ_vＭ_w /(ρ_wＲ)}(ｅ_∞/Ｔ_∞－ｅ_a/Ｔ_a)

を次のように補正することに相当します。

すなわち,(4)はａ{ρ_v(ａ)－ρ_∞}→ Ａ＝ａ{ρ_v(ａ)－ρ_∞}/[ａ/(ａ＋Δ_v)＋Ｄ_v{2πＭ_w/(ＲＴ_a)}^1/2/(ａα_c)]として,

ρ_v(ｒ)＝ρ_∞＋ａ{ρ_v(ａ)－ρ_∞}/ｒ→ (4)'ρ_v(ｒ)＝ρ_∞＋Ａ/ｒ

と補正します。

そこで,(6),および(7)は拡散係数をＤ_v→ Ｄ_v'＝Ｄ_v/[ａ/(ａ＋Δ_v)＋Ｄ_v{2πＭ_w/(ＲＴ_a)}^1/2/(ａα_c)](20)として,

それぞれ(ｄｍ/ｄｔ)₀＝(4πａＤ_v'Ｍ_w/Ｒ)(ｅ_∞/Ｔ_∞－ｅ_a/Ｔ_a)(6)',

およびａ(ｄａ/ｄｔ)₀＝{Ｄ_v'Ｍ_w/(ρ_wＲ)}(ｅ_∞/Ｔ_∞－ｅ_a/Ｔ_a)(7)'

に補正します。　

これで小水滴に対して補正された質量保存式を得ました。

　次に,水蒸気を含む空気に対して運動している水滴に対する補正を考察します。

　これは,水滴が運動する代わりに静止水滴に対して空気が運動する,つまりｕ≠0 の等価な問題として設定できます。

この場合も,ｒ＞ａにおける拡散は定常(∂ρ_v/∂ｔ＝0)に達しているとすれば,質量保存の拡散方程式はｕ∇ρ_v＝Ｄ_v∇²ρ_vです。

水滴表面での流束密度がｊ_v＝－Ｄ_v∇ρ_vなので,

やはりｄｍ/ｄｔ＝－∫_r=aｊ_vｎ_rｄＳ＝∫_r=aＤ_v(∂ρ_v/∂ｒ)ｄＳです。

　ここで,平均通風係数と呼ばれる量ｆ_vを,

ｆ_v≡ｄｍ/ｄｔ/(ｄｍ/ｄｔ)₀(21)で,

　平均輸送係数ｋ_vをｋ_v≡－∫_r=aＤ_v(∂ρ_v/∂ｒ)ｄＳ/[4πａ²{ρ_v(ａ)－ρ_∞}] (22)　で定義します。

　すると,(2)'と(21),(22)からｋ_v＝Ｄ_vｆ_v/ａです。

さらに,無次元のSherwood数Ｓ_hを次式で定義します。

すなわち,Ｓ_h≡2ｋ_vａ/Ｄ_v＝2ｆ_v (23)です。

こう定義すると,ｄｍ/ｄｔ＝Ｓ_hＤ_v2πａ(ρ_∞－ρ_sat) (24)です。

ｕ＝0 のときにはｆ_v＝1 or Ｓ_h＝2です。

ただし,これらは単に定義した,または言葉を置き換えただけで何ら新しいことを述べていません。文献を読む際の便宜だけでしょう。

§2.水滴中の熱の移動

　ｋを媒質中の熱伝導度,Ｔを絶対温度とすると,Fourierによれば熱流束ベクトル:ｊ_hはｊ_h＝－ｋ∇Ｔ (25)で与えられます。

そして,一般的な流体中のエネルギー保存の式は,粘性による散逸が無視できる場合には流体単位質量あたりのエントロピーをｓとしてρＴ(∂ｓ/∂ｔ＋ｕ∇ｓ)＝－∇ｊ_hと書けます。ρは流体の密度です。

今の場合のように,媒質流体(水,空気)が非圧縮と見なせるときには

∇ｕ＝0,かつＴｄｓ＝ｃ_pｄＴ(ｃ_pは単位質量当たりの定圧比熱)なので,

これはρｃ_p(∂Ｔ/∂ｔ＋ｕ∇Ｔ)＝κ∇²Ｔ

or ∂Ｔ/∂ｔ＋ｕ∇Ｔ＝κ∇²Ｔ(26)　と変形されます。

ただし,κ≡ｋ/(ρｃ_p)でκは熱拡散係数と呼ばれる量です。

　ｊ_h＝－ｋ∇Ｔ(25)より,水滴の熱量をｑとし,乾燥空気の熱伝導度をｋ_aとすると,

　ｄｑ/ｄｔ＝－∫_r=aｊ_hｎ_rｄＳ＝∫_r=aｋ_a(∂Ｔ/∂ｒ)ｄＳ　(27)

　です。

特に,ｕ＝0(水滴に対して水蒸気静止)のときのｄｑ/ｄｔを(ｄｑ/ｄｔ)₀と書きます。

ｕ＝0 の熱伝導方程式:∂Ｔ/∂ｔ＝κ∇²Ｔのｔ→∞での定常状態(∂Ｔ/∂ｔ＝0)の∇²Ｔ＝ｒ^-1ｄ²(ｒＴ)/ｄｒ²＝0 の解:Ｔ＝Ｔ_∞＋ａ(Ｔ_∞－Ｔ_a)/ｒから,(ｄｑ/ｄｔ)₀＝4πａｋ_a(Ｔ_∞－Ｔ_a)(28)です。

ａが小さい小水滴のときには,先に拡散係数Ｄ_hの代わりにＤ_h'を用いるよう補正したのと同じく,熱伝導度ｋ_aの代わりにｋ_a'≡ｋ_a/[ａ/(ａ＋Δ_T)＋ｋ_a{2πＭ_w/(ＲＴ_a)}^1/2/(ａα_T＋ρｃ_p)](29)を用います。

なお,Δ_T,α_Tは拡散での反跳長さΔ_v,凝結定数α_cに相当する熱伝導(熱拡散)での量です。

また,水滴に対して水蒸気が運動するときには,Nusselt数と呼ばれる数Ｎ_uをＮ_u≡2ｄｑ/ｄｔ/(ｄｑ/ｄｔ)₀で定義します。

(ｄｑ/ｄｔ)₀＝4πａｋ_a(Ｔ_∞－Ｔ_a) (28)からｄｑ/ｄｔ＝Ｎ_uｋ_a 2πａ(Ｔ_∞－Ｔ_a)(30)と書けます。ｕ＝0 のときにはＮ_u＝2です。

今日はここまでですが,まだ続きます。

なお,もちろんオリジナルではなく当時,参考文献を見たはずなのですが,それをノートに書いてないので今は不明です。

確か1983年当時に勤めていた会社の蔵書だったと記憶してます。

PS:新しい試みとしてワードのルビ(ふりがな)を記号としてココログにコピーしてみたのですが取り合えずのところは失敗でした。おかげで文章を校正する時間を浪費しました。

貧乏ひまなしで師走は日曜日でも時間がありません。バスに遅れるので続きはあとで。

PS:民主党だけドタバタしてるように見えるのは与党だから仕方ないとはいえ,こんなとき野党は何のためにあるのか？責任追及だけやるしかないのか？そもそも代議士とは何をするのが仕事なのか？

政界再編はいずれ必要なんだろうけど,今やられてもそれが終わる頃には私自身の寿命などは終わってるだろうなあ。。。

イヤ,またまたマスコミや評論家の多くと同じく,自分のこと抜きで他人を揶揄しちまったか。

なんとか法とかの法律に賛成反対とか,国や公共団体の迷惑行為,大きなお世話はやめて欲しいけど,基本的に政治のお世話には期待してないアナーキーを自認している自分。。

自分の世話さえままならず,社会的にも無力で有象無象の自分がいまさら何の能書きをたれてるのか。お笑いだ。。。

PS2：機械文明や都会のコンビニエンスに依存し切っている身はいまさらどうしようもないという気分もあるけれど,もしもここ10年くらいの間,PCやネットがなかったら,既に廃人になってたかも。。　

今のような状態でも,自分が生き生きと生きてるように感じることが多々あるのは悲しいことかも知れないけど,血の通ってないPCやネット依存症に身を委ねて合理化しているおかげでしょうネ。