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2010年12月12日 (日)

水滴の成長と蒸発(1)

 前の一連の記事のプルーム上昇式について書いていた1983年8月の覚書きノートには続きがあります。それは水滴の成長と蒸発という項目です。

これも1000ページ近い"英文のANLモデル(アルゴンヌ国立研究所模型;後のSACTI)のドキュメントを全部翻訳して内容を完全に把握する"という当時のジョブの一環として勉強したものです。

冷却塔(cooling tower)からの温排気排出の影響には,水蒸気による白煙発生の他に,それが周辺大気で冷却され凝結した水滴の飛散による濃霧,また冷却水が海水のように塩分などを含む場合には飛散水滴による農作物等への塩害etc.も考えられるからです。

 

そこで,この項目についても覚書きとして記述しておきます。

 

(当時は,仕事の都合上,タイムリミットもあって,とにかく当座の計算アルゴリズム等に必要な式に到達するのが目的だったので,途中のプラス,マイナスなど細かいところはアバウトだったりテキトーだったりなところもあるので,あとで修正が必要なのです。)

以下は本文です。

§1.拡散流束による水滴質量の増減

 水蒸気の密度をρv,その密度流束(局所流束密度)をvとします。

この局所流束密度vは,移流風速(水蒸気を含む空気の平均流速)をとすると,そのゆらぎ(fluctuation)に相当する拡散流束を加えて,

 

v=ρv-Dv∇ρv と表現されます。

 

ただし,Dvは拡散係数です。

この流束を用いた水蒸気の質量保存を示す連続の方程式は,

∂ρv/∂t+∇v=0 or ∂ρv/∂t=-∇vです。

 

そして,v=ρv-Dv∇ρvによりv=∇(ρv-Dv∇ρv)です。

 

しかし,この水蒸気を含む空気は非圧縮(または,高々Boussinesq近似)を仮定しているため,∇=0 を満たしますから,

 

これは,v∇ρv-∇(Dv∇ρv) と書けます。

さらに,拡散係数Dv空間位置によらない定数であると仮定すると,

v∇ρv-Dv2ρvです。

結局,上記連続の方程式:∂ρv/∂t=-∇vは,

 

∂ρv/∂t+∇ρv=Dv2ρv (1) を意味します。

 

これは,Fick型の(移流)拡散方程式(diffusion equation)と呼ばれる方程式です。

 一方wを液体の水の密度として半径aの球水滴の質量をmとするとm=∫ρwdV=4πa3ρw/3です。

水滴の中心を原点:Oとするような極座標で考えると,r>aの領域では水蒸気に対して,上述の拡散方程式:∂ρv/∂t+∇ρv=Dv2ρv (1)が成立しますが,r<aの球内は(1)が成立しない特異領域と考えられます。

 そして,空気は水滴表面から内部に浸入することはないので,表面r=aでは速度の表面への垂直成分:ur=0 であるべきですが,現実の水滴表面ではより強い粘着条件:=0 が満たされていると思われます。

 

 つまり,表面r=aでは=0 なる境界条件が満たされると考えます。

 水滴の質量保存から,明らかにdm/dt=-∫r=avrdSですが,

 上記境界条件を要求すると,r=aでは

 v=ρv-Dv∇ρv=-Dv∇ρvなので,

 

 dm/dt=Dvr=a(∂ρv/∂r)r=adS (2)です。

 特に,表面だけでなく全空間で=0 を満たす,水滴に対して静止した空気中でのdm/dtを(dm/dt)0と書けば,場は中心対称ですから,

 

 (dm/dt)0=4πa2v(dρv/dr)r=a (3)と書けます。

他方,=0 なら∂ρv/∂t=Dv2ρvです。さらにt→ ∞ の極限では拡散場は定常(∂ρv/∂t=0)になり,しかも球対称ですから,

 

2ρv=r-12(rρv(r)/dr2=0 です。 

これを,r=aでρv=ρv(a);r=∞でρv=ρの境界条件下で解けば

 

ρv(r)=ρ+a{ρv(a)-ρ}/r (4)を得ます。

これにより,(dρv/dr)r=a={ρ-ρv(a)}/a (5)ですから,

 

=0の静止大気中での水滴の質量保存の式は, 

(dm/dt)0=4πa2v(dρv/dr)r=a=4πaDv-ρv(a)}

と書けます。

水蒸気が理想気体なら,それが従う状態方程式:e=ρvRT/Mwから,

ρ=ew/(RT),ρv(a)=eaw/(RTa)を代入して,

 

(dm/dt)0=(4πaDvw/R)(e/T-ea/Ta) (6)

 

です。

または,m=4πa3ρw/3なる式により,

 

方程式:a(da/dt)0={Dvw/(ρwR)}(e/T-ea/Ta) (7)

 

を得ます。

ただし,aは水滴表面(r=a)の温度,eは水蒸気圧,Rはモル気体定数(R~ 8.31J/(molK)),Mwは水の分子量(Mw~ 18g/mol)です。

しかし,水滴半径aが分子半径と比較してそれほど大きくない場合には,空気や水蒸気を連続体とみなす巨視的流体力学の適用範囲の外に出ると考えられるため,必要な小水滴に対する補正をします。

 

以下,Fuchs(1959)によって与えられた方法に従います。

 拡散方程式とその解は水滴表面からの水蒸気の反跳長さ(recoiling length):Δvを超えないなら正しくないと考えます。

すなわち,r≧a+Δvではρv(r)=ρ+A/r(8)が成立しますが,

a≦r≦a+Δの境界領域では水蒸気流束を構成する分子はMaxwell-Boltzmannの速度分布に従う粒子として気体運動論的に扱うことにします。

水分子の質量をmwとし,分子の平均速度を=(vx,vy,vz),その大きさをv≡||,Boltzmann定数をkB≡R/NA(NAはAvogadro数)とすると,温度がTのときの分子の平均速さは,

  

<v>=(8kBT)1/2/(πmw)1/2=(8RT)1/2/(πMw)1/2 (9)

 

で与えられます。

(注):<v>=∫vexp{-mw2/(2kBT)}d3/∫exp{-mw2/(2kBT)}d303exp{-mw2/(2kBT)}dv/∫02exp{-mw2/(2kBT)}dv です。

ところが,∫0exp(-αv2)dv=(1/2)(π/α)1/2ですから,両辺をαで微分することで,∫02exp(-αv2)dv=(1/4)π1/23/2を得ます。

 

さらに,これをαで微分すると,∫04exp(-αv2)dv=(3/8)π1/25/2です。

一方,∫03exp(-αv2)dv=(1/2)∫0uexp(-αu)du=(1/2)(1/α2)より,∫03exp(-αv2)dv/∫02exp(-αv2)dv=2/(πα)1/2です。

 

<v>=∫03exp{-mw2/(2kBT)}dv/∫02exp{-mw2/(2kBT)}dvの右辺は,上記のα=mw/(2kBT)の場合に当たりますから,

 <v>=(8kBT)1/2/(πmw)1/2=(8RT)1/2/(πMw)1/2です。

一方,二乗平均速度を評価するのなら,

<v21/2=[∫v2exp{-mw2/(2kBT)}d3]1/2[∫04exp{-mw2/(2kBT)}dv/∫02exp{-mw2/(2kBT)}dv]1/2

={3/(2α)}1/2=(3kBT/mw)1/2(3RT/Mw)1/2です。

 

後者はエネルギーの等分配則<mv2/2>=(3/2)kBTから予想される結果に一致しています。

 

(8/π)1/231/2 には大差がないので,<v>と<v21/2は同じオーダーの量です。(注終わり)※

 さて,nを分子濃度,つまり単位体積当たりの分子数とします。

分子の従うMaxwell-Boltzman分布を,

"=(vx,vy,vz)と+d=(vx+dvx,vy+dvy,vz+dvz)を対角線とする速度空間の微小直方体内に,単位体積当たりF(v2)dvxdvydvz個の分子があること"で表現すれば,

 

∫F(v2)dvxdvydvz=n,∫vF(v2)dvxdvydvz/n=<v>

 

です。

すると,速度空間では速度+dの間にあり,かつ座標空間の任意の向きの平面の微小立体角:dΩ=cosθdθdφに衝突する単位時間,単位面積当たりの分子数は,

 

{vsinθdΩ/(4π)}F(v2)dvxdvydvz

=vF(v2)dvxdvydvzsinθcosθdθdφ/(4π)

 

で与えられます。

ただし,この平面がとなす角がθであるように極座標軸を取ってます。

平面の一方の側の単位面積に衝突する単位時間当たりの分子の総数は,これを角度θについて 0 からπ/2まで,φについて 0 から2πまで,さらにvについて 0 から∞まで積分した値です。

0π/2sinθcosθdθ∫0dφ=πですから,この値:[∫vF(v2)dvxdvydvz0π/2sinθcosθdθ∫0π/2dφ]/(4π)は,(1/4)∫vF(v2)dvxdvydvz=(1/4)n<v>に等しいことがわかります。

したがって,(分子数密度流束)=(任意の面に衝突する単位時間,単位面積当たりの分子数)は, 

 

(1/4)n<v> (10) と書けます。

 

右辺の因子:<v>は先に書いたように,

<v>=(8kBT)1/2/(πmw)1/2=(8RT)1/2/(πMw)1/2 (9)

で与えられます。

また,水蒸気の温度を改めてTの代わりにTgと書くと,水蒸気はe=ρwBg/mw=nkBgなる状態方程式に従います。

  

故に,水滴の周囲の水蒸気の分子数密度流束は

=(1/4)n<v>=(1/4){e/(kBg)}(8kBg)1/2/(πmw)1/2

=e/(2πwBg)1/2です。

他方,水滴表面に付着する水蒸気の分子数密度流束をwと書き,平衡状態にあるときのwの水滴の周囲の分子数密度流束wに対する比を凝結定数と呼んでαcとします。

 

すると,=αcです。

そうすると,水滴表面の分子数密度流束は,

=αce/(2πmwBa)1/2 (13)

で与えられることになります。

 

実験によれば,αcの値は,αc≒0.01~ 0.07です。

ただし,水蒸気分子の平均速さは,<v>=(8RTg)1/2/(πMw)1/2でも

分子速度の分布は等方的で,そのベクトル平均はゼロと考えられるので

分子数密度流束wの向きはあらゆる方向について対称です。

水滴表面の水蒸気圧:eが飽和水蒸気圧:esatに等しいときに"定常状態=蒸発平衡"に達するとすれば,

 

平衡時の水滴表面での飽和分子数流束:wsatは, 

sat=αcsat/(2πmwBa)1/2 (14) です。

  

ただし,Taは水滴表面の絶対温度です。

それ故,流入する分子数流束と流出する分子数流束は互いに独立であるとしてTg~ Ta =Tと置けば,水滴に流入する総流束密度の大きさは

 

sat=w-wsat=αc(e-esat)/(2πmwBT)1/2(15)

 

と書けます。

この(15)式は,e<esatなら水滴が蒸発し,e≧esatなら蒸発しないことを意味しています。

さて,水滴中心からの距離rにおける水蒸気の分子数密度をNv(r),密度をρv(r)とすればρv(r)=mwv(r)です。

したがって,r=a+Δにおける水蒸気が,流出入する水蒸気を代表するとすれば,その水滴表面へと向かう凝結流束密度は,

αcwv(a+Δ)<vv>/4=αc<vv>ρv(a+Δ)/4 です。

他方,水滴表面r=aで蒸発に向かう蒸発流束密度は,

αc<vv>ρv(a)/4です。

そこで,表面での総蒸発流束v(a)は,

 

v(a)=4πa2v(a)=πa2αc<vv>{ρv(a)-ρv(a+Δc)} (16)

 

で与えられることがわかります。

一方,冒頭で書いたように,巨視的流体力学の見方では,

r=aでの流速密度はv=-Dv∇ρvなので,総流束は

v(r)=4πar2v(r)=-4πr2(dρv/dr)Dv

です。

ところで,今の気体運動論的考察では,

r≧a+Δρv(r)=ρ+A/r (8)が成立する,

と仮定しているので,

 

r=a+Δにおいてはρv(a+Δv)=ρ+A/(a+Δv)です。

 

故に,(dρv/dr)r=a+Δv=-A/(a+Δc)2ですから,

v(a+Δv)=-4π(a+Δv)2(dρv/dr)r=a+Δvv=4πDvA (17)

を得ます。

"定常状態=蒸発平衡"では,Jv(a+Δv)=Jv(a) (18)であるべきで,

ρv(a+Δv)=ρ+A/(a+Δv)ですから(16),(17)より,

4πDvA=πa2αc<vv>{ρv(a)-ρv(a+Δc)}

=πa2αc<vv>{ρv(a)-ρ-A/(a+Δv)}

が成立します。

したがって,

  

[a2αc<vv>/(a+Δv)+4Dv]A=a2αc<vv>{ρv(a)-ρ},

および<vv>=(8kaa)1/2/(πmw)1/2=(8RTa)1/2/(πMw)1/2 (9)

 

が成立します。

以上から,

 

A=a{ρv(a)-ρ}/[a/(a+Δv)+4Dv/(aαc<vv>)]

=a{ρv(a)-ρ}/[a/(a+Δv)+Dv{2πMw/(RTa)}1/2/(aαc)] (19) を得ます。

これは,冒頭で述べた巨視的流体力学の考察:

(4)ρv(r)=ρ+a{ρv(a)-ρ}/r,

および(dm/dt)0=4πaDv-ρv(a)}から導かれた式,

 

(6)(dm/dt)0=(4πaDvw /R)(e/T-ea/Ta),

または(7)a(da/dt)0={Dvw /(ρwR)}(e/T-ea/Ta)

 

を次のように補正することに相当します。

すなわち,(4)はa{ρv(a)-ρ}→ A=a{ρv(a)-ρ}/[a/(a+Δv)+Dv{2πMw/(RTa)}1/2/(aαc)]として,

 

ρv(r)=ρ+a{ρv(a)-ρ}/r→ (4)'ρv(r)=ρ+A/r

と補正します。

そこで,(6),および(7)は拡散係数をDv→ Dv'=Dv/[a/(a+Δv)+Dv{2πMw/(RTa)}1/2/(aαc)](20)として,

 

それぞれ(dm/dt)0=(4πaDv'Mw/R)(e/T-ea/Ta)(6)',

およびa(da/dt)0={Dv'Mw/(ρwR)}(e/T-ea/Ta)(7)'

に補正します。 

これで小水滴に対して補正された質量保存式を得ました。

 次に,水蒸気を含む空気に対して運動している水滴に対する補正を考察します。

 

 これは,水滴が運動する代わりに静止水滴に対して空気が運動する,つまり≠0 の等価な問題として設定できます。

この場合も,r>aにおける拡散は定常(∂ρv/∂t=0)に達しているとすれば,質量保存の拡散方程式は∇ρv=Dv2ρvです。

 

水滴表面での流束密度がv=-Dv∇ρvなので,

やはりdm/dt=-∫r=avrdS=∫r=av(∂ρv/∂r)dSです。

 ここで,平均通風係数と呼ばれる量fvを,

v≡dm/dt/(dm/dt)0(21)で,

 

 平均輸送係数kvをkv≡-∫r=av(∂ρv/∂r)dS/[4πa2v(a)-ρ}] (22) で定義します。

 

 すると,(2)'と(21),(22)からkv=Dvv/aです。

さらに,無次元のSherwood数Shを次式で定義します。

 

すなわち,Sh≡2kva/Dv=2fv (23)です。

 

こう定義すると,dm/dt=Shv2πa(ρ-ρsat) (24)です。

=0 のときにはfv=1 or Sh=2です。

 

ただし,これらは単に定義した,または言葉を置き換えただけで何ら新しいことを述べていません。文献を読む際の便宜だけでしょう。

§2.水滴中の熱の移動

 kを媒質中の熱伝導度,Tを絶対温度とすると,Fourierによれば熱流束ベクトル:hh=-k∇T (25)で与えられます。

そして,一般的な流体中のエネルギー保存の式は,粘性による散逸が無視できる場合には流体単位質量あたりのエントロピーをsとしてρT(∂s/∂t+∇s)=-∇hと書けます。ρは流体の密度です。

今の場合のように,媒質流体(水,空気)が非圧縮と見なせるときには

=0,かつTds=cpdT(cpは単位質量当たりの定圧比熱)なので,

 

これはρcp(∂T/∂t+∇T)=κ∇2

or ∂T/∂t+∇T=κ∇2T(26) と変形されます。

ただし,κ≡k/(ρcp)でκは熱拡散係数と呼ばれる量です。

 h=-k∇T(25)より,水滴の熱量をqとし,乾燥空気の熱伝導度をkaとすると,

  

 dq/dt=-∫r=ahrdS=∫r=aa(∂T/∂r)dS (27)

 

 です。

特に,0(水滴に対して水蒸気静止)のときのdq/dtを(dq/dt)0と書きます。

 

=0 の熱伝導方程式:∂T/∂t=κ∇2Tのt→∞での定常状態(∂T/∂t=0)の∇2T=r-12(rT)/dr2=0 の解:T=T+a(T-Ta)/rから,(dq/dt)0=4πaka(T-Ta)(28)です。

aが小さい小水滴のときには,先に拡散係数Dhの代わりにDh'を用いるよう補正したのと同じく,熱伝導度kaの代わりにka'≡ka/[a/(a+ΔT)+ka{2πMw/(RTa)}1/2/(aαT+ρcp)](29)を用います。

 

なお,ΔTTは拡散での反跳長さΔv,凝結定数αcに相当する熱伝導(熱拡散)での量です。

また,水滴に対して水蒸気が運動するときには,Nusselt数と呼ばれる数NuをNu≡2dq/dt/(dq/dt)0で定義します。

 

(dq/dt)0=4πaka(T-Ta) (28)からdq/dt=Nua 2πa(T-Ta)(30)と書けます。=0 のときにはNu=2です。

今日はここまでですが,まだ続きます。

なお,もちろんオリジナルではなく当時,参考文献を見たはずなのですが,それをノートに書いてないので今は不明です。

確か1983年当時に勤めていた会社の蔵書だったと記憶してます。

 

PS:新しい試みとしてワードのルビ(ふりがな)を記号としてココログにコピーしてみたのですが取り合えずのところは失敗でした。おかげで文章を校正する時間を浪費しました。

  

貧乏ひまなしで師走は日曜日でも時間がありません。バスに遅れるので続きはあとで。

 

PS:民主党だけドタバタしてるように見えるのは与党だから仕方ないとはいえ,こんなとき野党は何のためにあるのか?責任追及だけやるしかないのか?そもそも代議士とは何をするのが仕事なのか?

 

政界再編はいずれ必要なんだろうけど,今やられてもそれが終わる頃には私自身の寿命などは終わってるだろうなあ。。。

 

イヤ,またまたマスコミや評論家の多くと同じく,自分のこと抜きで他人を揶揄しちまったか。

 

なんとか法とかの法律に賛成反対とか,国や公共団体の迷惑行為,大きなお世話はやめて欲しいけど,基本的に政治のお世話には期待してないアナーキーを自認している自分。。

 

自分の世話さえままならず,社会的にも無力で有象無象の自分がいまさら何の能書きをたれてるのか。お笑いだ。。。

 

PS2:機械文明や都会のコンビニエンスに依存し切っている身はいまさらどうしようもないという気分もあるけれど,もしもここ10年くらいの間,PCやネットがなかったら,既に廃人になってたかも。。 

 

今のような状態でも,自分が生き生きと生きてるように感じることが多々あるのは悲しいことかも知れないけど,血の通ってないPCやネット依存症に身を委ねて合理化しているおかげでしょうネ。

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