プルーム上昇のモデル式(3)

　プルーム上昇式の残りです。このシリーズはこれで終わりです。　

§5.逆転層貫通の条件

プルームが逆転層(inversion layer)を貫通する条件を考察します。

※(補足)：逆転層とは通常大気と逆に高度ｚが上昇するにつれて気温が増加していくような層のことです。

　断熱冷却されながら上昇していく周辺大気より暖かいプルームが上昇しても,こうした層があると自身よりも暖かい周辺大気に遭遇してプルームが浮力を失なうために,反射されて層を貫通できない可能性があります。

こうした事情は,2006年９/25の記事「ベナール対流の安定性とレイリー数」の序論では次のように書いています。

層の底ｚ＝0 では温度がＴ＝Ｔ₀ 天井でＴ＝Ｔ₁ として定常熱伝導の方程式∇²Ｔ＝ 0 の解はＴ(ｚ)＝Ｔ₀－βｚ＝Ｔ₀＋{(Ｔ₁－Ｔ₀)/Ｈ}ｚ です。

ここでβ＞0 ,つまりＴ₀＞Ｔ₁としないと地球上の重力場の中では対流が起きません。そればかりでなく対流が起きるためにはβの値が断熱温度減率(湿度によって変化)よりも大きくないと対流は起きません。(例えばランダウ「流体力学１」を参照)

(補足終わり)※

さて,本題に戻ります。

　ｚ＝ｚ_iに微小厚さΔｚ_iの鋭い逆転層があって,大気はこの高さｚ＝ｚ_i(と厚さΔｚ_iの極く薄い層)を除けば中立,つまり層の上下では共にｓ＝(ｇ/Ｔ_a)(∂θ_a/∂ｚ)＝0 であるとします。

そして逆転層より下:ｚ＜ｚ_iの中立状態の温位はθ_a＝θであり,逆転層より上のｚ＞ｚ_iの同じく中立状態の温位はθ_a＝θ＋Δθ_iであるとします。

(ⅰ)鉛直浮力プルームの場合

ｚ＝ｚ_iの層を通過できたと仮定したときにθ_p≧θ_a,つまりθ_p≧θ＋Δθ_iが満足される,すなわちθ'≡θ_p－θと置いたときにθ'≧Δθ_iが満足されるならプルームは逆転層を貫通できるはずです。

何故なら,プルームが逆転層を貫通する仮想変位を行ったとき,受ける浮力は上向き,つまりｇ(θ'－Δθ_i)/Ｔ_a≧0 なので,それは下には押し戻されないからです。

(ただし,θ'≧Δθ_iは十分条件であって必要条件ではありません。つまりθ'＜Δθ_iで浮力が負の向きであっても上向きの運動量が十分であれば貫通します。)

　微小厚さ:Δｚ_iの逆転層に対して,逆転層の強さ:ｂ_iを,(32)ｂ_i≡ｇΔθ_i/θ_a＝∫_Δzi(ｇ/θ_a)(∂θ_a/∂ｚ)ｄｚ＝∫_Δziｓｄｚによって定義します。

また,改めてθ'≡θ_p－θに対する浮力流束:Ｆ_zと容積流束:Ｖを定義し直しておきます。Ｆ_z≡∫_P(ｇρ_pθ'ｗ'/Ｔ_a)ｄｘｄｙ/(πρ_a),Ｖ＝∫_Pρ_pｗ'ｄｘｄｙ/(πρ_a)です。

　こう定義すると,プルーム断面上でのθ'の平均値は,＜θ'＞＝(Ｔ_a/ｇ)(Ｆ_z/Ｖ)で与えられます。

　すぐ上で述べた逆転層貫通の(十分)条件θ'≧Δθ_iはプルーム断面について,＜θ'＞≧Δθ_i,つまり(Ｔ_a/ｇ)(Ｆ_z/Ｖ)≧Δθ_i⇔ (Ｆ_z/Ｖ)≧(ｇΔθ_i/Ｔ_a)と解釈されます。

一方,ｂ_i＝ｇΔθ_i/θ_aですから,θ_a～Ｔ_aより結局逆転層の貫通条件は(Ｆ_z/Ｖ)≧ｂ_iと表わせることがわかります。

ところで,中立大気ではｓ＝(ｇ/Ｔ_a)(∂θ_a/∂ｚ)＝0 ですから方程式の１つ:(22)ｄＦ_z/ｄｔ＝－ｓ(ｗＶ)からＦ_z＝Ｆ (一定)です。

そこで,ｚ＝ｚ_i～ｚ_i＋Δｚ_iでもＦ_zi＝Ｆ(一定)と考えられます。

すると,(23)ｄ(ｗＶ)/ｄｔ＝Ｆ_zは,ｄ(ｗＶ)/ｄｔ＝Ｆ(一定)となりますから,これもすぐに解けてｗＶ＝Ｆｔ＋Ｆ_mを得ます。

それ故,最後の(24)ｄＶ/ｄｔ＝2α(ｗＶ)^3/2/Ｖはｄ(Ｖ²/2)/ｄｔ＝2α(Ｆｔ＋Ｆ_m)^3/2となります。

ｔ＝0でＶ＝0 の点源なら,解はＶ²/2＝(4α/5)Ｆ^-1{(Ｆｔ＋Ｆ_m)^5/2－Ｆ_m^5/2},すなわちＶ＝(8α/5)^1/2Ｆ^-1/2{(Ｆｔ＋Ｆ_m)^5/2－Ｆ_m^5/2}^1/2と書けます。

　今の場合は浮力プルーム(Ｆ_m＝0)を想定しているので,ｗＶ＝Ｆｔ＋Ｆ_m＝Ｆｔであり,Ｖ＝(8α/5)^1/2Ｆ^3/4ｔ^5/4です。

　したがってｗ＝Ｆｔ/Ｖ＝(8α/5)^-1/2Ｆ^1/4ｔ^-1/4を得ます。

　これが,ｔ＝ｔ_iでｚ＝ｚ_iに到達するとすれば,ｚ_i＝∫₀^tiｗｄｔ＝(8α/5)^-1/2(4/3)Ｆ^1/4ｔ_i^3/4ですから,ｔ_i＝(8α/5)^2/3(3/4)^4/3Ｆ^-1/3ｚ_i^4/3です。

　そこで,Ｖ_i＝(8α/5)^1/2Ｆ^-1/4ｔ_i^5/4＝(8α/5)^4/3(3/4)^5/3Ｆ^1/3ｚ_i^5/3を得ますから,結局Ｖ_i＝(4・3⁵α⁴/5⁴)^1/3Ｆ^1/3ｚ_i^5/3です。

　そして,実験によればＶ_i～ 0.0717Ｆ^1/3ｚ_i^5/3 ⇔ α～ 0.125です。

　以上から,浮力プルームの貫通条件:(Ｆ_zi/Ｖ_i)≧ｂ_iは,{5⁴/(4・3⁵α⁴)}^1/3Ｆ^2/3ｚ_i^-5/3≧ｂ_iと書けることがわかります。

したがって,無風時(calm)に中立状態で浮力プルームが逆転層(ｚ＝ｚ_i)を貫通する条件として,(32)ｚ_i≦(4・3⁵α⁴/5⁴)^-1/5Ｆ^2/5ｂ_i^-3/5が得られました。

(ⅰ)折れ曲がりプルームの場合

　この場合も,浮力プルームについては(Ｆ_zi/Ｖ_i)≧ｂ_iを逆転層貫通の条件であるとします。

　周辺大気は中立(ｓ＝0)なのでＦ_zi＝Ｆ(一定)です。

そして,前記事で書いたように,(21)ｄＶ/ｄｚ＝2β(ｕＶ)^1/2のｚ＝0(ｔ＝0)でＶ＝0 の解は,Ｖ＝ｕ(βｚ)²ですからＶ_i＝ｕ(βｚ_i)²より,Ｆ_zi/Ｖ_i＝{Ｆ/(ｕβ²)}ｚ_i^-2です。

　そこで,折れ曲がり浮力プルームの逆転層貫通条件は,Ｆ/(β²ｕ)}ｚ_i^-2≧ｂ_iと表現できます。

したがって,有風時に中立状態で浮力プルームが逆転層(ｚ＝ｚ_i)を貫通する条件として(33)Ｆ≧β²ｕｂ_iｚ_i²～ 0.25ｕｂ_iｚ_i², or (33)'ｚ_i≦β^-1{Ｆ/(ｕｂ_i)}^1/2～ 2.0{Ｆ/(ｕｂ_i)}^1/2が得られました。

(ⅲ)鉛直プルームで浮力がゼロのジェット・プルーム,および浮力流束は不足だが十分な運動量の鉛直流束を持つ場合

　初期浮力がゼロのジェット(Ｆ＝0)の場合を考えると,ｓ＝0 なら(22)ｄＦ_z/ｄｔ＝－ｓ(ｗＶ)＝0 よりＦ_z＝Ｆ＝0 です。

　そこで,ｚ＜ｚ_iではＦ_z＝0 (一定)ですがｚ＝ｚ_iで浮力流束:－ｂ_iＶ_i＝－(∫_Δziｓｄｚ)Ｖ_iを獲得して,ｚ＞ｚ_iではＦ_z＝－ｂ_iＶ_i(一定)と考えることができます。

　逆転層:ｚ＝ｚ_iより上ではプルーム内部の温位θ_pが外気のそれθ＋Δθ_iよりも小さく,エントレインメントが無視できてＶ＝Ｖ_i(一定)と仮定すれば次のように書けるはずです。

ｚ＜ｚ_i(ｔ＜ｔ_i)ではＦ_z＝0 (一定),ｗＶ＝Ｆ_m(一定),ｄＶ/ｄｔ＝＝2α(ｗＶ)^3/2/Ｖであり,一方,ｚ＞ｚ_i(ｔ＞ｔ_i)ではＦ_z＝－ｂ_iＶ_i(一定),ｗＶ＝－ｂ_iＶ_i(ｔ－ｔ_i)＋Ｆ_m,Ｖ＝Ｖ_i(一定)です。

そこで,ｔ＞ｔ_iではｗ＝－ｂ_i(ｔ－ｔ_i)＋Ｆ_m/Ｖ_iより,ｗ＝0 となるのはｔ_max＝ｔ_i＋Ｆ_m/(ｂ_iＶ_i)のときです。

このときの高さ:ｚ＝ｚ_maxは,ｚ_max＝ｚ_i＋∫_ti^ｔmaxｗｄｔ＝ｚ_i－(ｂ_i/2)(ｔ_max－ｔ_i)²＋(Ｆ_m/Ｖ)(ｔ_max－ｔ_i)で与えられます。よってｚ_max－ｚ_i＝Ｆ_m²/(2ｂ_iＶ_i²)です。

さらに,Ｖ_iをＦ_m,ｚ_iで表わすためｔ＜ｔ_iでのＶを求めます。

従う方程式はｄＶ/ｄｔ＝2α(ｗＶ)^3/2/Ｖ or ｄ(Ｖ²/2)/ｄｔ＝2α(ｗＶ)^3/2＝2αＦ_m^3/2です。

ｔ＝0 でＶ＝Ｖ₀≡Ｆ_m/ｗ₀の解は,Ｖ²/2＝2αＦ_m^3/2ｔ＋(Ｆ_m/ｗ₀)², or Ｖ＝{αＦ_m^3/2ｔ＋(Ｆ_m/ｗ₀)²}^1/2で与えられます。

そして,ｗ＝Ｆ_m/Ｖ＝よりｚ_i＝∫₀^ti(Ｆ_m/Ｖ)ｄｔ＝2Ｆ_m(Ｖ_i－Ｖ₀)/(4αＦ_m^3/2)ですからＶ_i＝2αＦ_m^1/2ｚ_i＋Ｖ₀です。

点源ならＶ₀＝0 なので,Ｖ_i＝2αＦ_m^1/2ｚ_iより,ｚ_max－ｚ_i＝Ｆ_m²/(2ｂ_iＶ_i²)＝(1/2)(Ｆ_m/ｂ_i)(2α)^-2ｚ_i^-2です。

よって,(34)ｚ_max/ｚ_i＝1＋(1/8)α^-2(Ｆ_m/ｂ_i)ｚ_i^-3を得ます。

このケースでは,ｚ_max≧3ｚ_iを貫通条件として採用します。そして,そして,α～ 0.125としてその条件を求めることにします。

無風時(calm)に中立状態でジェット・プルームが逆転層(ｚ＝ｚ_i)を貫通する条件として,(35)Ｆ_m≧16α²ｂ_iｚ_i^-3 ～ 0.25ｂ_iｚ_i^-3, or (35)'ｚ_i≦(4α)^2/3(Ｆ_m/ｂ_i)^1/3～ 1.59(Ｆ_m/ｂ_i)^1/3が得られました。

もしも,わずかの浮力Ｆを持つプルームならｚ＜ｚ_i(ｔ＜ｔ_i)ではＦ_z＝Ｆ(一定),ｗＶ＝Ｆｔ＋Ｆ_m,ｄ(Ｖ²/2)/ｄｔ＝2α(Ｆｔ＋Ｆ_m)^3/2であり,一方,ｚ＞ｚ_i(ｔ＞ｔ_i)ではＦ_z＝Ｆ－ｂ_iＶ_i(一定),ｗＶ＝－ｂ_iＶ_i(ｔ－ｔ_i)＋Ｆｔ＋Ｆ_m,Ｖ＝Ｖ_i(一定)です。

ｔ＞ｔ_iでは,ｗ＝－ｂ_i(ｔ－ｔ_i)＋Ｆｔ/Ｖ_i＋Ｆ_m/Ｖ_iより,ｗ＝0 となるのはｔ＝ｔ_max＝(ｂ_iＶ_iｔ_i＋Ｆ_m)/(ｂ_iＶ_i－Ｆ)のときです。

このときの高さ:ｚ＝ｚ_maxは,ｚ_max－ｚ_i＝∫_ti^ｔmaxｗｄｔ＝(Ｆｔ_i＋Ｆ_m)²/{2Ｖ_i(ｂ_iＶ_i－Ｆ)}で与えられます。

ここで,Ｖ_i＝(8α/5)^1/2Ｆ^-1/2{(Ｆｔ_i＋Ｆ_m)^5/2－Ｆ_m^5/2}^1/2,かつ(Ｆｔ_i＋Ｆ_m)²＝{5Ｖ_i²Ｆ/(8α)＋Ｆ_m^5/2}^4/5なのでｚ_max－ｚ_i＝{5Ｖ_i²Ｆ/(8α)＋Ｆ_m^5/2}^4/3/{2Ｖ_i(ｂ_iＶ_i－Ｆ)}なる式を得ます。

　以下,この場合もｚ_max≧3ｚ_iを貫通条件として中立状態大気中の逆転層(ｚ＝ｚ_i)を貫通する条件式が得られます。

　何故か,ここまででノートが終わってるので,この項はこれでおしまいにします。

参考文献：G.A.Briggs “Plume Rise",U.S.Atomic Energy Commision Division of Technical Information(1969)

PS1:土曜日４日午後に,４～６日に文京区春日の文京シビックセンターで開催されていた「障害者ふれあいの集い」に行ってきました。

　　

　　

　11/30に出席した手話講習会での情報によると,豊島区や北区でも同時に開催されているらしいです。

　実は私もつたない作品＝"牛乳などの紙パックから再生紙を作り折り紙などを切り貼りしてパウチしたコースター"を何枚か出品していて,１枚30円也で販売されてたりしていました。

　　　

　　

　　

　　

PS2：鈴木宗男さん。がんばれ。

　一緒にしたら迷惑かもしれないけど高知のスクールバス運転手の件といい,理不尽だと思いますね。

　ちまたでウワサの市川海老蔵氏とそのケンカ相手も世論に負けないでくださいネ。。

　有名人といえども酒癖はしょうがない面ありますね。

　不特定の乗客を乗せるタクシー運転手と同じく(尤もこちらは遊びじゃなく仕事ですが),常識があろうとなかろうと外での個人的飲酒はキケンと背中合わせなのは.大人なんだから覚悟の上でしょう。

　男でも女でも,普段は物静かだったりリッパに見える方でも,酒の席では基本的に無礼講です。

　酔っ払うと自慢話やホラ話のテンコ盛り,酒乱,泣き上戸,怒り上戸,裸になるなどなど,性格が変わる(実は本性？)ような方々,いっぱい見てきています。本当は羨ましい限りです。

　本気で酒でストレス解消しようとに飲みにきているのなら,その解消法はヒトさまざまです。まあ,そうした愚行のお相手も込みで飲み屋の代金を払ってるのだと思っています。

　有名人とはいえ,かつての草薙つよポンのケースと同じく,普段の姿と重ねて批判されるのはカワイソーですね。

　私だって他人の一方的なストレス解消を迷惑だと感じて,ケンカは弱いけれど思うだけなら「こいつ,どついたろか？」と考えることもしばしばですが。。。