線型代数のエッセンス(4)(線型空間２)

　線型代数の§2.線型空間の続きです。

　まず,線型空間の定義を再掲します。

[定義2-1]:空でない集合Ｌについて以下の諸条件が満たされるとき,Ｌを複素数体Ｃの上の線型空間(linear space)またはベクトル空間(vector space)という。またＬの任意の元(要素;element)ａをベクトル(vector)と呼ぶ。

　これが既に与えた線型空間の定義ですが,実は空間Ｌのスカラー積の係数を与える数体としては,ここで特定した複素数体Ｃに限る必要はなく一般の数体Ｋとして構いません。

そして,上の定義のように係数を与える数体を複素数体Ｃに選んだ線型空間なら,これを複素数体Ｃの上の線型空間といいます。

[定義2-19](同型):同一の数体の上の２つの線型空間が同型(isomorphic)であるとは２つの空間の元(要素)間に１対１の対応が存在して,第１の空間のベクトルの和には第２の空間の対応するベクトルの和が対応し,第１の空間のベクトルと数αの積には第２の空間の対応するベクトルの積が対応するようにできることをいう。

　上述の１対１対応(one to one correspondence)を同型対応または同型写像(isomorphism)という。

※(注):紛らわしいのですが,ここでいう１対１対応とは単に写像(mapping)として"１対１(one to one)＝単射(injection)"であるという意味ではなく,"１対１上への写像(one to one onto-mappimg)＝全単射(bijection)"であることを意味します。

線型空間として同型であるためには,少なくとも集合(set)として同型である必要があります。

そして,ＡとＢが集合として同型であるとはＡからＢへの"全単射＝１対１写像(単射:injection)かつ全射(surjection)"が少なくとも１つは存在することです。

もしも,Ａ,Ｂが有限集合の場合ならＡとＢが集合として同型であることは両者の元(要素)の個数が同じであることを意味します。この場合には単射と全射は同義です。

Ａ,Ｂを集合(set)とするとき,ある規則に基づいてＡの各々の元に対してＢの元を１つずつ対応させる操作をＡからＢへの写像という。

ｆが集合ＡからＢへの写像であることをｆ:Ａ→Ｂと表わす。

写像ｆによってａ∈Ａがｂ∈Ｂに写されることを記号的にｂ＝ｆ(ａ)と表わす。

このとき,Ａをｆの定義域(domain),Ｂを値域(range)という。

また,Ｂの部分集合:ｆ(Ａ)≡{ｆ(ｘ)∈Ｂ|ｘ∈Ａ}をｆによるＡの像(image)という。

Ｂの部分集合Ｃに対して,ｆ^-1(Ｃ)≡{ｘ∈Ａ|ｆ(ｘ)∈Ｃ}をＣのｆによる原像または逆像(inverse image)という。

ａ₁,ａ₂∈Ａに対してｂ₁＝ｆ(ａ₁),ｂ₂＝ｆ(ａ₂),ｂ₁,ｂ₂∈Ｂと書くと,ａ₁≠ａ₂なら常にｂ₁≠ｂ₂となるとき,この写像ｆはＡからＢへの単射であるという。

　また,∀ｂ∈Ｂに対しｂ＝ｆ(ａ)を満たすａ∈Ａが必ず存在する:つまりＢ＝ｆ(Ａ)のとき,写像ｆはＡからＢへの全射であるという。また,ＡからＢへの全射をＡからＢの上への写像(onto mapping)という。

　ｆが単射かつ全射のとき,これを全単射という。

さて,ｆが集合の同型写像(全単射)なら,Ｂの原像はＡ＝ｆ^-1(Ｂ)≡{ｘ∈Ａ|ｆ(ｘ)∈Ｂ}ですが,単一のｂ∈Ｂに対する原像をｆ^-1(ｂ)≡{ｘ∈Ａ|ｆ(ｘ)＝ｂ}と定義すれば,ｆの単射性からこれは単一の元から成るＡの部分集合です。

すなわち,ｂ＝ｆ(ａ)ならｆ^-1(ｂ)＝{ａ}です。

　このときはｂ∈Ｂにａ∈Ａを対応させる写像をｇと表わすとｇも全単射です。この写像ｇ:Ｂ→Ａを記号的にｆ^-1:Ｂ→Ａと書き,ｆの逆写像といいます。ａ＝ｇ(ｂ)＝ｆ^-1(ｂ)です。

ただし,[定義2-19]での線型空間における同型,あるいは同型写像の定義は,集合としての同型写像(全単射)の上,さらに線型空間における和,積の演算の準同型(homomorphic)の意味を持っています。(注終わり)※

[定義2-20]:２つの線型空間をＬ,Ｌ₁としＬからＬ₁へのある写像をｆとするとき,∀ａ,ｂ∈Ｌ,∀α∈Ｃに対しｆ(ａ＋ｂ)＝ｆ(ａ)＋ｆ(ｂ),ｆ(αａ)＝αｆ(ａ)が成立するなら,この写像ｆを準同型写像(homomorphism)という。

　準同型写像ｆが上への写像(全射)ならｆを同型写像という。

このようなＬからＬ₁へのある同型写像ｆが存在するならＬとＬ₁は同型である。

[定理2-21]:線型空間における同型写像において,0 は 0 に対応する。

(証明)線型空間ＬとＬ₁が同型でｆをＬからＬ₁への任意の同型写像とすると,ｆ(0)＝ｆ(ａ＋(－ａ))＝ｆ(ａ)＋ｆ(－ａ)＝ｆ(ａ)＋ｆ((－1)ａ)＝ｆ(ａ)＋(－1)ｆ(ａ)＝ｆ(ａ)＋(－ｆ(ａ))＝0 です。

(証明終わり)

[定理2-22]:同型な線型空間ＬからＬ₁への同型写像においてはＬの生成元の系はＬ₁の生成元の系に写像される。

(証明)ｆをＬからＬ₁への同型写像とし,{ａ₁,ａ₂,..,ａ_s}をＬの生成元の系とします。

　そして,ｂ₁≡ｆ(ａ₁),ｂ₂≡ｆ(ａ₂),..,ｂ_s≡ｆ(ａ_s)とおきます。

　任意のｂ∈Ｌ₁に対してａ≡ｆ^-1(ｂ)とおきます。

　このとき{ａ₁,ａ₂,..,ａ_s}がＬの生成元の系であるという仮定より,ａ＝α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_sａ_s;α₁,α₂,..,α_s∈Ｃと書けます。

故に,ｂ＝ｆ(ａ)＝ｆ(α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_sａ_s)＝α₁ｆ(ａ₁)＋α₂ｆ(ａ₂)＋..＋α_sｆ(ａ_s)＝α₁ｂ₁＋α₂ｂ₂＋..＋α_sｂ_sです。

　よって,{ｂ₁,ｂ₂,..,ｂ_s}はＬ₁の生成元の系です。

　(証明終わり)

[定理2-23]:同型な線型空間ＬからＬ₁への同型写像においてはＬの１次独立なベクトルはＬ₁の１次独立なベクトルに写像される。

(証明)ｆをＬからＬ₁への同型写像とし,ａ₁,ａ₂,..,ａ_mをＬの１次独立なベクトルとします。さらに,ｂ_j≡ｆ(ａ_j)(j＝1,2,..,ｍ)とします。

ｂ_j(j＝1,2,..,ｍ)に対する１次関係式をβ₁ｂ₁＋β₂ｂ₂＋..＋β_mｂ_m＝0;β₁,β₂,..,β_m∈Ｃと書けば,これはβ₁ｆ(ａ₁)＋β₂ｆ(ａ₂)＋..＋β_mｆ(ａ_m)＝ｆ(β₁ａ₁＋β₂ａ₂＋..＋β_mａ_m)＝0 を意味します。

故にβ₁ａ₁＋β₂ａ₂＋..＋β_mａ_m＝ｆ^-1(0)ですが,ｆがＬからＬ₁への同型写像ならｆ^-1はＬ₁からＬへの同型写像なので,[定理2-21]によりβ₁ａ₁＋β₂ａ₂＋..＋β_mａ_m＝0 です。

ところが,仮定からａ₁,ａ₂,..,ａ_mはＬの１次独立なベクトルなのでβ₁＝β₂＝..＝β_m＝0 でなければなりません。

よって,ｂ₁,ｂ₂,..,ｂ_mはＬ₁の１次独立なベクトルです。(証明終わり)

[定理2-24]:同型な線型空間ＬからＬ₁への同型写像によってＬの基底がＬ₁の基底に写像され,それ故同型な線型空間は同一の次元を持つ。すなわち,ＬとＬ₁が同型 ⇔ dimＬ＝dimＬ₁である。。

　また,２つの線型空間が同一の次元を持てばそれらは同型である。

(証明)定理の前半は[定理2-22],[定理2-23]より明らかです。

また,前半の逆命題である後半の証明は以下の通りです。

ＬとＬ₁が共通の次元ｎを持つとしＬ,およびＬ₁のそれぞれの基底を{ａ₁,ａ₂,..,ａ_n},および{ｂ₁,ｂ₂,..,ｂ_n}とするとき,各々のａ_jにｂ_jを対応させる写像をｆとします。すなわち,ｂ_j≡f(ａ_j)です。

さらに,任意のａ＝α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_nａ_n∈Ｌ;α₁,α₂,..,α_n∈Ｃにｂ＝α₁ｆ(ａ₁)＋α₂ｆ(ａ₂)＋..＋α_nｆ(ａ_n)＝α₁ｂ₁＋α₂ｂ₂＋..＋α_nｂ_n∈Ｌ₁を対応させることでＬからＬ₁への写像としてｆを定義できます。

この写像ｆが線型空間ＬからＬ₁への１つの同型写像であることは明らかです。

したがって,ＬとＬ₁は同型であることがわかります。(証明終わり)

このところ科学記事の間が開きすぎている感があるので,中途半端で短かいですが続きは後回しにして今日はここまでにします。

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光訳)「線型代数学」(東京図書)