アジアカップ優勝

　準々決勝のカタール戦での渾身のガッツポーズからザッケローニ監督の心は選手と一体になったかに見えます。

　試合終了と同時に選手たちと抱き合う姿にも感激しました。

ＰＳ：２月１日は私の61回目の誕生日です。昨晩は前々夜祭:イツモのように「招きハゲ？」として飲んできました。

肺水腫？？

　また,寝るのに起座位でないと呼吸が苦しい,つまり椅子に座った状態で寝ないとカラ咳が出ることが多いので無理に睡眠薬で寝たりしているので胸に水がたまっているらしいです。

　病名心不全ですから,ときどき呼吸困難で空気中なのにアップアップ状態になることがあるのはある程度しょうがないですが,恐らく異常に寒いからでしょうねえ。

　あと1カ月半くらいで気候が良くなれば自然に心臓も元気になると楽観的に考えてます。

PS:明男さんにいただいたコメントより後の1/29朝の追伸です。

　まず,明男さん。。いつもご心配ありがとうございます。

　ご指摘の通り,小水を多量に出して胸水を排出する以外に治療法ないみたいですが,今朝は何故かかなり尿が出たので改善されたと思います。

　水に溺れるのは気管から肺に水入って窒息するのでしょうが肺水腫は空気中で既に肺胞に水が入ってる状態ですから同じく呼吸が苦しいです。

　2006年12月末にかけて北区滝野川４丁目への引越し作業中に,マンション廊下の窓から顔を出して上半身の下着まで脱いで胸をかきむしりながらアップアップ呼吸で一瞬死を覚悟しかかったのは今でも忘れられませんネ。

　手伝いに来た友人は室内で私のPCでゲーム(将棋)中で気づかなかったようですが,アレは苦しかったです。

　そのときは肺気腫と自己診断したのですが。。

　(2006年12/22の記事「肺気腫にかかってしまいました。」参照)　

　それから,１ヶ月後に心不全と診断され内科に一週間入院して利尿剤の点滴で６リットルの小水を出して体重が７キロ落ちて一応肺水腫は治りましたが,２ヵ月後には心不全で再入院,転院して外科で心臓手術をし１年後にはまた豊島区巣鴨に帰ってきたのでした。

　ただし,私はまだ透析患者ではないのでオシッコを出すのは可能です。

　ただ,平均すると日に数回しかトイレに行かず,飲み屋だと大体５時間に１回トイレにいくかいかないかという状態なので危ないのですが,座っているか立っているとその日の気候によっては健康体と同じく咳も出ませんから,まだ軽いようです。

　水に溺れるのと同じく？横になると呼吸が苦しく立位や座位だと楽です。

　さて,土日も仕事(というより私には気分転換のよ,うな作業で,しかもとても充実した時間)があるのでこれから出勤です。

将棋チェスネット新年会

　昨日23日は最近恒例の将棋チェスネットの対局新年会に行ってきました。

　一次会は真昼の12時からで場所は阿佐ヶ谷の「棋友館」というところです。

　私は自宅から徒歩10分余りの丸の内線「新大塚駅」に行き,朝の10時半頃発の電車で45分程度かかって「南阿佐ヶ谷駅」に着き,そこから徒歩５分でちょっと早めに着きました。

　まだ,プロの北島忠雄六段と柿木将棋作者の柿木義一さんだけしかおられませんでしたが,北島先生が「風邪治りましたか？」とおっしゃるので「何故ご存知なのか？」と聞くと,このブログで見たとのことでした。　

　確かに,昔ブログのアドレスを入れた名刺を差し上げたこともあったけど,こんなシロウトのブログもチェックされているのかと恐縮しました。

　阿佐ヶ谷の「棋友館」は普段は元奨励会の小田切秀人さんが子供将棋教室を開いているところです。今回も参加して教えていただいた北島六段の奨励会時代からの懇意のお方らしいです。

　参加者が少なくて私を含めて８名にプロの北島六段と高群佐知子女流三段を迎えた10人でハンデ戦の４回戦をやりました。チェスクロックで双方20分持ち,秒読み30秒です。

　プロは最低２面指しもハンデということで,私は都合上北島さんに２局,高群さんに１局教えていただき,,もう１局は中国象棋(シャンチ－)では強豪のＪＩＲＯさんと指して全局敗退しましたが楽しかったです。

　まず,北島先生と２枚落ち下手で次に高群先生と飛車落ち下手,そしてＪＩＲＯさんとは平手の先手で指しました。

　私はいつものようにスロースターターでもあり,指導対局を受けることにも慣れているせいか最初の２枚落ちはイツモのネット将棋のクセもあってなかなか考えることができずにスイスイ指しましたが10分足らずを残して負けました。

　後での感想でのご指摘によれば,勝勢のチャンスもあったということで,その局面では私も手ごたえを感じていましたが腰を落ち着けて考えなかったせいもあり最近のプロとの対局ではイツモのように決め手を逃したらしいです。

　次の高群先生との飛車落ちでも飛車を切ってご機嫌気味に寄せを楽しんでるくらいでしたが,決め手を欠いてジリジリとなってしまいました。

　ＪＩＲＯさんとの平手は最初から横歩取り３八歩の定跡を検討する感想戦のようなのどかな緊張のない対話対局となり,先手有利となる手がわかったという収穫がありましたが勝負としては負けました。

　最後に再び北島先生でしたが同じ手合いはチョットいやだったので相談すると４枚落ちなども提案されましたが,４枚下手ではたとえ勝っても楽しくないので飛車落ちでお願いしました。

　スロースターターの最後の対局ということもあり２枚のときよりも好調でした。この対局では結構長考もしたのですが,どうもプロ相手ではない普通の平手のときには気づくはずの決め手を逃しヨソゆきの手を指したようで負けました。

　負け惜しみを言えば技術というより勝負で勝つという執念が希薄でしたネ。

　↓対局風景です。

　　　

　17時頃に表彰式も終わり,私や遅れて到着した私の主治医浜崎さんも対局数は違っても全敗でしたが全員に賞品がありました。私は「羽生善治の思考」という棋書ではない本を頂きました。

　その後.南阿佐ヶ谷駅付近で二次会の飲み会ありましたが遠慮して帰りました。

PS:悲しいね。味方を攻撃する,味方を殺してどうする？

　犯罪者の多くは社会の弱者にとって敵ではなく味方なのに。。

線型代数のエッセンス(4)(線型空間２)

　線型代数の§2.線型空間の続きです。

　まず,線型空間の定義を再掲します。

[定義2-1]:空でない集合Ｌについて以下の諸条件が満たされるとき,Ｌを複素数体Ｃの上の線型空間(linear space)またはベクトル空間(vector space)という。またＬの任意の元(要素;element)ａをベクトル(vector)と呼ぶ。

　これが既に与えた線型空間の定義ですが,実は空間Ｌのスカラー積の係数を与える数体としては,ここで特定した複素数体Ｃに限る必要はなく一般の数体Ｋとして構いません。

そして,上の定義のように係数を与える数体を複素数体Ｃに選んだ線型空間なら,これを複素数体Ｃの上の線型空間といいます。

[定義2-19](同型):同一の数体の上の２つの線型空間が同型(isomorphic)であるとは２つの空間の元(要素)間に１対１の対応が存在して,第１の空間のベクトルの和には第２の空間の対応するベクトルの和が対応し,第１の空間のベクトルと数αの積には第２の空間の対応するベクトルの積が対応するようにできることをいう。

　上述の１対１対応(one to one correspondence)を同型対応または同型写像(isomorphism)という。

※(注):紛らわしいのですが,ここでいう１対１対応とは単に写像(mapping)として"１対１(one to one)＝単射(injection)"であるという意味ではなく,"１対１上への写像(one to one onto-mappimg)＝全単射(bijection)"であることを意味します。

線型空間として同型であるためには,少なくとも集合(set)として同型である必要があります。

そして,ＡとＢが集合として同型であるとはＡからＢへの"全単射＝１対１写像(単射:injection)かつ全射(surjection)"が少なくとも１つは存在することです。

もしも,Ａ,Ｂが有限集合の場合ならＡとＢが集合として同型であることは両者の元(要素)の個数が同じであることを意味します。この場合には単射と全射は同義です。

Ａ,Ｂを集合(set)とするとき,ある規則に基づいてＡの各々の元に対してＢの元を１つずつ対応させる操作をＡからＢへの写像という。

ｆが集合ＡからＢへの写像であることをｆ:Ａ→Ｂと表わす。

写像ｆによってａ∈Ａがｂ∈Ｂに写されることを記号的にｂ＝ｆ(ａ)と表わす。

このとき,Ａをｆの定義域(domain),Ｂを値域(range)という。

また,Ｂの部分集合:ｆ(Ａ)≡{ｆ(ｘ)∈Ｂ|ｘ∈Ａ}をｆによるＡの像(image)という。

Ｂの部分集合Ｃに対して,ｆ^-1(Ｃ)≡{ｘ∈Ａ|ｆ(ｘ)∈Ｃ}をＣのｆによる原像または逆像(inverse image)という。

ａ₁,ａ₂∈Ａに対してｂ₁＝ｆ(ａ₁),ｂ₂＝ｆ(ａ₂),ｂ₁,ｂ₂∈Ｂと書くと,ａ₁≠ａ₂なら常にｂ₁≠ｂ₂となるとき,この写像ｆはＡからＢへの単射であるという。

　また,∀ｂ∈Ｂに対しｂ＝ｆ(ａ)を満たすａ∈Ａが必ず存在する:つまりＢ＝ｆ(Ａ)のとき,写像ｆはＡからＢへの全射であるという。また,ＡからＢへの全射をＡからＢの上への写像(onto mapping)という。

　ｆが単射かつ全射のとき,これを全単射という。

さて,ｆが集合の同型写像(全単射)なら,Ｂの原像はＡ＝ｆ^-1(Ｂ)≡{ｘ∈Ａ|ｆ(ｘ)∈Ｂ}ですが,単一のｂ∈Ｂに対する原像をｆ^-1(ｂ)≡{ｘ∈Ａ|ｆ(ｘ)＝ｂ}と定義すれば,ｆの単射性からこれは単一の元から成るＡの部分集合です。

すなわち,ｂ＝ｆ(ａ)ならｆ^-1(ｂ)＝{ａ}です。

　このときはｂ∈Ｂにａ∈Ａを対応させる写像をｇと表わすとｇも全単射です。この写像ｇ:Ｂ→Ａを記号的にｆ^-1:Ｂ→Ａと書き,ｆの逆写像といいます。ａ＝ｇ(ｂ)＝ｆ^-1(ｂ)です。

ただし,[定義2-19]での線型空間における同型,あるいは同型写像の定義は,集合としての同型写像(全単射)の上,さらに線型空間における和,積の演算の準同型(homomorphic)の意味を持っています。(注終わり)※

[定義2-20]:２つの線型空間をＬ,Ｌ₁としＬからＬ₁へのある写像をｆとするとき,∀ａ,ｂ∈Ｌ,∀α∈Ｃに対しｆ(ａ＋ｂ)＝ｆ(ａ)＋ｆ(ｂ),ｆ(αａ)＝αｆ(ａ)が成立するなら,この写像ｆを準同型写像(homomorphism)という。

　準同型写像ｆが上への写像(全射)ならｆを同型写像という。

このようなＬからＬ₁へのある同型写像ｆが存在するならＬとＬ₁は同型である。

[定理2-21]:線型空間における同型写像において,0 は 0 に対応する。

(証明)線型空間ＬとＬ₁が同型でｆをＬからＬ₁への任意の同型写像とすると,ｆ(0)＝ｆ(ａ＋(－ａ))＝ｆ(ａ)＋ｆ(－ａ)＝ｆ(ａ)＋ｆ((－1)ａ)＝ｆ(ａ)＋(－1)ｆ(ａ)＝ｆ(ａ)＋(－ｆ(ａ))＝0 です。

(証明終わり)

[定理2-22]:同型な線型空間ＬからＬ₁への同型写像においてはＬの生成元の系はＬ₁の生成元の系に写像される。

(証明)ｆをＬからＬ₁への同型写像とし,{ａ₁,ａ₂,..,ａ_s}をＬの生成元の系とします。

　そして,ｂ₁≡ｆ(ａ₁),ｂ₂≡ｆ(ａ₂),..,ｂ_s≡ｆ(ａ_s)とおきます。

　任意のｂ∈Ｌ₁に対してａ≡ｆ^-1(ｂ)とおきます。

　このとき{ａ₁,ａ₂,..,ａ_s}がＬの生成元の系であるという仮定より,ａ＝α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_sａ_s;α₁,α₂,..,α_s∈Ｃと書けます。

故に,ｂ＝ｆ(ａ)＝ｆ(α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_sａ_s)＝α₁ｆ(ａ₁)＋α₂ｆ(ａ₂)＋..＋α_sｆ(ａ_s)＝α₁ｂ₁＋α₂ｂ₂＋..＋α_sｂ_sです。

　よって,{ｂ₁,ｂ₂,..,ｂ_s}はＬ₁の生成元の系です。

　(証明終わり)

[定理2-23]:同型な線型空間ＬからＬ₁への同型写像においてはＬの１次独立なベクトルはＬ₁の１次独立なベクトルに写像される。

(証明)ｆをＬからＬ₁への同型写像とし,ａ₁,ａ₂,..,ａ_mをＬの１次独立なベクトルとします。さらに,ｂ_j≡ｆ(ａ_j)(j＝1,2,..,ｍ)とします。

ｂ_j(j＝1,2,..,ｍ)に対する１次関係式をβ₁ｂ₁＋β₂ｂ₂＋..＋β_mｂ_m＝0;β₁,β₂,..,β_m∈Ｃと書けば,これはβ₁ｆ(ａ₁)＋β₂ｆ(ａ₂)＋..＋β_mｆ(ａ_m)＝ｆ(β₁ａ₁＋β₂ａ₂＋..＋β_mａ_m)＝0 を意味します。

故にβ₁ａ₁＋β₂ａ₂＋..＋β_mａ_m＝ｆ^-1(0)ですが,ｆがＬからＬ₁への同型写像ならｆ^-1はＬ₁からＬへの同型写像なので,[定理2-21]によりβ₁ａ₁＋β₂ａ₂＋..＋β_mａ_m＝0 です。

ところが,仮定からａ₁,ａ₂,..,ａ_mはＬの１次独立なベクトルなのでβ₁＝β₂＝..＝β_m＝0 でなければなりません。

よって,ｂ₁,ｂ₂,..,ｂ_mはＬ₁の１次独立なベクトルです。(証明終わり)

[定理2-24]:同型な線型空間ＬからＬ₁への同型写像によってＬの基底がＬ₁の基底に写像され,それ故同型な線型空間は同一の次元を持つ。すなわち,ＬとＬ₁が同型 ⇔ dimＬ＝dimＬ₁である。。

　また,２つの線型空間が同一の次元を持てばそれらは同型である。

(証明)定理の前半は[定理2-22],[定理2-23]より明らかです。

また,前半の逆命題である後半の証明は以下の通りです。

ＬとＬ₁が共通の次元ｎを持つとしＬ,およびＬ₁のそれぞれの基底を{ａ₁,ａ₂,..,ａ_n},および{ｂ₁,ｂ₂,..,ｂ_n}とするとき,各々のａ_jにｂ_jを対応させる写像をｆとします。すなわち,ｂ_j≡f(ａ_j)です。

さらに,任意のａ＝α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_nａ_n∈Ｌ;α₁,α₂,..,α_n∈Ｃにｂ＝α₁ｆ(ａ₁)＋α₂ｆ(ａ₂)＋..＋α_nｆ(ａ_n)＝α₁ｂ₁＋α₂ｂ₂＋..＋α_nｂ_n∈Ｌ₁を対応させることでＬからＬ₁への写像としてｆを定義できます。

この写像ｆが線型空間ＬからＬ₁への１つの同型写像であることは明らかです。

したがって,ＬとＬ₁は同型であることがわかります。(証明終わり)

このところ科学記事の間が開きすぎている感があるので,中途半端で短かいですが続きは後回しにして今日はここまでにします。

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光訳)「線型代数学」(東京図書)

ゴーール。。。。

　やった。。。

　間 寛平チャン　今ゴーール。。。

日々の雑感(体調回復.訃報:和田 勉さん)

　今,１月19日の早朝です。昨夜11時頃にTVをつけっぱなしで寝たらしく,朝５時20分頃には目覚めました。

　頭が少し重たく,寝ていたのにも関わらず肺の裏側の肩甲骨から肩の当たりの筋肉が疲れたような感じですが,おそらくイツモの私の"風邪にはならないぞ"という筋肉と精神の緊張が無意識に持続していたのでしょう。

　いずれにしろ,何ら辛い症状はなく油断しなければ大丈夫なようです。

　私は,実質上18歳で実家を出て以来,ずーっと独り身で病気になろうと何だろうと物理的,肉体的な意味では家族を含め他人に頼ったことがなく,小さい病気なら自分だけでなんとか切り抜け,ノイローゼのときにも自分で病気だろうと感知して一人で精神病院に行き薬を貰って軽減させるような人間です。

　そして,最後に手術が必要な大病の場合だと自分で救急車を呼んで入院するという具合です。

( 生活のお金については金融業者以外の他人にも頼ったことはありますし,引越しなど特別の場合には他力に頼っています。上記の話はお金を払って仕事としてサービスをしてもらう話は入っていません。

　世の中,こうしたサービスも含め誰にも頼らず一人だけで自給自足で生きていくことなどは今の世の中ほぼ不可能です。)

　独り身でも全く平気？で,それ故,他人もそうなんじゃないか？というひとりよがりで他人の肉体,感情の異変や機微には全く鈍感な,ある意味バカで強い？人間は,やはり他人が言うように長生きするのかもしれません。

　私のように,料理,洗濯,整理整頓を含め全ての茶飯事も精神的なことも結局は何とか自分だけでこなして,恐らく伴侶がなくても大丈夫な人間には求めても神は伴侶を与えてくれないようです。

　一方,近頃,昼間私の隣のあたりで仕事をしているK君などは女性に好かれるタイプには見えないのですがチャンと伴侶がいるようです。

　彼は,ときに人知れず涙を流し,できないことがあると途方にくれた感じになって悲しそうです。しかも,それの意思表示もうまくできず支えてあげなければくずれそうに見えるときがあります。

　彼は,今では何でもはっきりと主張できる私のようなタイプの人間とは全く違っているようです。これが天の配剤でしょうか。。神は伴侶を必要とする人には伴侶を与えてくださるみたいです。

(↑しかし実はうらやましいです。私だって淋しくない,悲しくないわけはないのですが。。。。なぜか一人で落ち込むことはあっても他に弱味を見せないぞという性格みたいですね。)

　以下はひとりごとです。

　天の配剤。。弱肉強食の世界です。成長するといかに憎たらしい外見になる人でも赤児,幼児のとき,肉体的弱者の時期にはとても可愛いらしく見えて,普通の大人ならとても危害を加えようと感じない外見をしています。

　どんなことでもそこそこはできるし,なんでもそこそこは知っている世間で言う"ものしり博士"というのはくせ者ですね。

　"ものしり博士"じゃなく専門バカでもいい,最低１つはプロレベルのものがあればいいのです。１つとして優れてお金になる才能がない,あるいはあるかもしれないが,"来るものは拒まず,去るものは追わず"という醒めた性格でプライドだけが高くて武家の商法しかやれないなら,それはどうしようもない奴ですね。

(↑PS:もちろん,私もしくは私に似た人物を指すものです。(念のため)　八方美人:＝「君子,"あおむけ"に近寄らず。」云々。。)

PS:和田 勉さんが食道ガンで亡くなられたらしいです。80歳でした。

　映像で知る限りは渥美清さん(寅さん？)と同じく私の大好きなキャラクターの方でした。実際に会いたかった方の一人です。

　　　　　　　

　→スポーツ報知「さよならガハハおじさん。」　http://hochi.yomiuri.co.jp/entertainment/news/20110119-OHT1T00003.htm

　ご冥福をお祈りします。合掌!!

体調不良？？

　今朝は30分に１本しかない上野公園行きのバスが珍しくほぼ時間通りに来て,私は２分遅れてそれに間に合わず,次のバスでは遅刻するためその巣鴨小学校前バス停から徒歩で25分余りかかってギリギリ始業に間に合いました。

　ゼイゼイ。。

　そして昼食は何故か食欲が無く.それから仕事が終わってほぼまっすぐに帰宅後,どうも微熱があるような感覚なので残念ながら大事をとって夜の手話教室を休もうと思います。

　昨日より大分暖かいはずなのに寒いです。私には風邪は命取りです。

　私の病気の場合は暖房や冷房は決してゼイタクではないと思っています。

　今も,依然として食欲がないのでお茶でも飲んでもう寝ようと思いますが,こういうときでも不眠症気味ですね。

(まあ,今日は時間があるからイツでも寝られるけどベッド上でブログを書く元気もこれがせいいっぱいですね。)

久しぶりにヤフオク出品

　ヤフオクに,昔使っていたPC用のフォートラン・コンパイラを出品しました。

　Yahooに項目があったので,コピーでなく正式購入したものなら,ソフトを出品してもいいのですね。

　2001年末当時,東京で最初に就職して1990年３月に退職した会社に11年半ぶりにアルバイトに行きました。

　そのときのジョブを自宅でもやるために自腹で買いました。

　そのときには,日本語マニュアル付き価格が16万円となっていたのを秋葉原のソフマップで約11万円で買いましたが今は無用です。

　(↓ベッドの上で撮った写真です。)

　　　　　　

→　Yahoo　オークション　　http://page4.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/d115158611

細川俊之氏逝く。

　俳優の細川俊之さんが自宅で転倒して頭部を打ち,そのまま亡くなられた,ということらしいです。70歳でした。こうした高齢？による事故死は有名芸能人では谷啓さん以来です。

　ご冥福を祈ります。

　↓ありし日の細川俊之さん。木の実ナナさんと。。　　　

　　　　　　

　←スポーツ報知:ｈｔtp://hochi.yomiuri.co.jp/entertainment/news/20110115-OHT1T00023.htm より。

今年はじめての定期通院をしました。

　昨日(12日)は休みを取って春日部市にある浜崎医院　 に行ってきました。

　↓写真は帰りの午後２時頃に撮ったので逆光補正をしています。

　　　　　　　

　ここは,東武線の「せんげん台」駅の次の「武里」駅から徒歩７～８分くらいのところにあって,武里の次の次の駅が「春日部」駅です。

　巣鴨からは,都営三田線で「西巣鴨」駅まで行き,そこから都バスで東武線「西新井」駅まで,約40分間です。これは障害者の都内フリーパスのコ－スです。

　「西新井」から東武急行で「せんげん台」駅にいき,そこで普通に乗り換えて１駅で着きます。私の場合,トータルでは１時間半から２時間はかかりますね。

　　　　　　　　

　前は,比較的近くて交通費もいらない帝京大病院に行ってたのですが,あるきっかけから,自分の主治医をこの浜崎医院の院長の浜崎さんに代えました。

　権利という言葉は嫌いなのですが,担当医を代えるのは患者の１つの権利でもあると思いますからね。

　実は,浜崎さんは,私が41歳だった1991年にパソコン通信ニフティーサーブの将棋フォーラムに入会して以来,毎年数回しかお会いしていませんでしたが20年来の友人知己に入るお方です。

　友人知己に入るお方とは,もってまわった表現ですが,オンラインで知り合い,年に数回のオフでグループでしかお会いする機会のない方々には,確かに忘年オフでは一緒に酔っ払い,旅行では同じ釜の飯を食べて同じ風呂に入り,将棋フォーラムの場合なら趣味が共通の将棋をやったりと長く深い付き合いですが,それでも親交としていまいちの感がある方もいるのです。

　浜崎氏とは恐らく,1991年暮れの両国での忘年会が初対面だと思いますが,近年までは他のメンバーほどの個人的付き合いがなかった気がします。

　パソコンと将棋の組み合わせということもあり,メンバーでお会いする人の中には,医者も含め知識階層の方が多々おられるのですが,私自身が昔から金持ちやインテリとは話が合わないと決め付けている感があるので,将棋とパソコンという共通点でしかつながりがないお方の１人でした。

　しかし,2007年春に私が大病をしたのをきっかけに旅行などで話をする機会が増えて,そのうち主治医としてやっかいになることになりました。

　心臓病の方は暑さ寒さがもろにこたえるので少しキツいのは仕方ないにしても,昨日は寒さのせいか両足だけでなく左手も糖尿性神経症でかなりシビレていました。

　診察,検査の方は,正月に暴飲暴食したわけではないが,薬飲むのをサボっていたせいなのか,空腹時血糖が前回の188から364になったのはともかくとして,ヘモグロビン(HｂA1c)が前回の7.9から8.6と増えたのは少しヤバいです。

　血糖降下の薬を増やしてもらい一部皮下注射することになりました。(インシュリンではありません。)　

　ところで,昨日はアパートの隣の部屋が開いて次の入居者のためのリフォームで日中はチョッとうるさいこともあり,ゆっくりと帰ろうと思って,西新井駅から都バスに座ったまま西巣鴨駅を越えて終点池袋まで行きました。

　しかしなぜか,西巣鴨を過ぎた当たりで体調がおかしくなり,何とか池袋駅のバス停まで着いてそばの山田電機入口のちょっと寒いベンチの上で横になりました。

　かなり寒くて,この辛さは帰って自宅で横になれば治るとしてもタクシー代もないし久しぶりに救急車を呼ぼうかと思いましたが,しばらくうずくまってると楽になってきたので,山田電機の内部に入って地下の暖房の効いたベンチに移るとほぼ回復しました。

　どうも,あまりにも寒くて,バスの中でも省エネのためか暖房が浅めであったこともあり,腹筋や肩の筋肉が震えてこれらを緊張させて寒さに耐えていた時間が長かったため,筋肉が梗塞状態で疲れて痛くなったせいのようです。梗塞が心筋でなくてよかったです。

(数年前,本当の心筋梗塞になったときに,"ちんちん梗塞ならよかったのに。"と大笑いしていたけど,冗談じゃないんだよ。＞りくちゃん,かなちゃん。)

　というわけで,山田電機の中だけでもウィンドウショッピングをして無事帰宅しました。

PS：奥の院を出た後,今ほどではないけれど就職難の1977年に大型計算機で計算業務を行なう会社に就職しました。

　入社当時,会社は日電と東芝のACOSを使っていました。1990年に退職した頃は富士通VP-30(スパコン？)を使っていました。

　1990年(40歳)当時,退職金の一部でNECのPC98を買い,40の手習いでパソコンを始めましたが,大型コンピュータの経験は役に立ちませんでしたね。

　それから,１年経った頃1991年のGWの最中に,雑誌「アスキー」で"日ペンの美子ちゃん"のように"オジサンが女の子とも友達になれる。"というようなマンガも付いて盛んに宣伝していたパソコン通信を始めようかなと思い,当時のニフティーサーブに入会したのが長いネットとの付き合いのきっかけでした。

　当時はPC-VANが20万人,ニフティ-サーブが２万人とマイナーであったネットの世界に入ったのは,単にスケベなことが動機であったとしても今思えば先見の明がありましたね。

　しかし,結局,当時同じようにパソコンやネットに目を付けていた比較的有名な人と知り合えたのを除けば,何ら先見の明を生かすことはしなかったので,私に金銭的なメリットはないまま今に至っています。

線型代数のエッセンス(3)(線型空間１)

　線型代数の続きです。§2の線型空間に入ります。

§2.線型空間　

[定義2-1]:空でない集合Ｌについて以下の諸条件が満たされるとき,Ｌを複素数体Ｃの上の線型空間(linear space),またはベクトル空間(vector space)という。

　また,Ｌの任意の元(要素;element)ａをベクトル(vector)と呼ぶ。

(ａ)Ｌの各元ａ,ｂに対してＬの１つの元ｃを対応させ,ｃをａとｂの和(sum)と呼び,ｃ＝ａ＋ｂと書く。

(ｂ)Ｌの各元ａとＣの各元αに対してＬの１つの元ｄを対応させ,ｄをαとａの積(product),またはａのスカラー倍と呼び,ｄ＝αａと書く。

(ｃ)上述の２つの演算(combination):和,積は次の性質を有する。

(ⅰ)ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ (ａ,ｂ∈Ｌ),(ⅱ)(ａ＋ｂ)＋ｃ＝ａ＋(ｂ＋ｃ) (ａ,ｂ,ｃ∈Ｌ),(ⅲ)∀ａ,ｂ∈Ｌに対してａ＋ｘ＝ｂを満たすｘ∈Ｌが存在する。このｘをｂ－ａと書く。

(ⅳ)α(βａ)＝(αβ)ａ (α,β∈Ｃ,ａ∈Ｌ),

(ⅴ)α(ａ＋ｂ)＝αａ＋αｂ (α∈Ｃ,ａ,ｂ∈Ｌ),(ⅵ)(α＋β)ａ＝αａ＋βａ (α,β∈Ｃ,ａ∈Ｌ),

(ⅶ)∀ａ∈Ｌに対し1・ａ＝ａ

[定理2-2]:∀ａ∈Ｌに対しａ＋ｘ＝ａを満たすｘ∈Ｌが存在する。このｘを零ベクトルと呼び,0と書く。

(証明)[定義2-1]の(ⅲ)により各ａ∈Ｌに対してｘ_a＝ａ－ａ∈Ｌが存在してａ＋ｘ_a＝ａ＋(ａ－ａ)＝ａと書けます。

　ところが,∀ｂ∈Ｌに対してｂ＋ｘ_a＝ｂ＋(ａ－ａ)＝{(ｂ－ａ)＋ａ}＋(ａ－ａ)＝(ｂ－ａ)＋ａ＝ｂです。つまりｂ＋ｘ_a＝ｂですから,ｘ_a＝ｘ_b,またはａ－ａ＝ｂ－ｂです。

これはｘ_aが全てのａ∈Ｌに共通であることを意味しますから,共通なｘ_aを単にｘと書きます。

こうすれば,∀ａ∈Ｌに対しａ＋ｘ＝ａです。

一方,∀ａ∈Ｌに対しａ＋ｘ'＝ａならｘ＋ｘ'＝ｘ,かつｘ'＋ｘ＝ｘ'ですから,ｘ＝ｘ'です。

したがって,∀ａ∈Ｌに対しａ＋ｘ＝ａを満たすｘ∈Ｌは一意的(unique)です。(証明終わり)

[定義2-3]:ａ∈Ｌに対しａ＋ｙ＝0 なるｙをａに関する負ベクトルといい,これを(－ａ)で表わす。

[定理2-4]:ａ,ｂ∈Ｌ,α∈Ｃとする。このとき次の諸性質が成立する。

(ⅰ)ｂ－ａ＝ｂ＋(－ａ),(ⅱ) 0・ａ＝0,(ⅲ)－(－ａ)＝ａ,

(ⅳ)－ａ＝(－1)ａ,(ⅴ)(－α)ａ＝－αａ,(ⅵ)α・0＝0,(ⅶ)ｍａ＝ａ＋ａ＋..＋ａ (右辺はｍ項ある。)

(証明)(ⅰ)ｂ－ａ＝(ｂ－ａ)＋0＝(ｂ－ａ)＋{ａ＋(－ａ)}＝{(ｂ－ａ)＋ａ}＋(－ａ)＝ｂ＋(－ａ),

(ⅱ) 0・ａ＝0・ａ＋0＝0・ａ＋{ａ＋(－ａ)}＝{0・ａ＋1・ａ}＋(－ａ)＝(0＋1)ａ＋(－ａ)＝ａ＋(－ａ)＝0,

(ⅲ)－(－ａ)＝－(－ａ)＋0＝－(－ａ)＋{ａ＋(－ａ)}＝{－(－ａ)＋(－ａ)}＋ａ＝0＋ａ＝ａ,(ⅳ)－ａ＝－ａ＋0＝－ａ＋0・ａ＝－ａ＋{1＋(－1)}ａ＝{(－ａ)＋ａ}＋(－1)ａ＝0＋(－1)ａ＝(－1)ａ,

(ⅴ)(－α)ａ＝(－α)ａ＋0＝(－α)ａ＋{αａ＋(－αａ)}＝{(－α)＋α}ａ＋(－αａ)＝－αａ,(ⅵ)α・0＝α・0＋0＝α・0＋{αａ＋(－αａ)}＝α(0＋ａ)＋(－αａ)＝αａ＋(－αａ)＝0,

(ⅶ)ｍａ＝(1＋1＋,,＋1)ａ＝ａ＋ａ＋..＋ａ (右辺はｍ項ある。) (証明終わり)

[定理2-5]:α∈Ｃ,ａ∈Ｌでαａ＝0 なら,α＝0,またはａ＝0である。

(証明)αａ＝0でα≠0ならα^-1(αａ)＝0 よりａ＝0 です。

(証明終わり)

[定義2-6]:α₁,α₂,..,α_s∈Ｃ,ａ₁,ａ₂,..,ａ_s∈Ｌに対し,α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_sａ_sをベクトルａ₁,ａ₂,..,ａ_sの１次結合または線型結合(linear combination)という。

[定義2-7]:α₁,α₂,..,α_s∈Ｃ,ａ₁,ａ₂,..,ａ_s∈Ｌに対し,α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_sａ_s＝0 なる関係をベクトルａ₁,ａ₂,..,ａ_sの１次関係式という。

そしてα₁＝α₂＝..＝α_s＝0 のときこの関係は自明である(trivial)といい,そうでないときは自明でない(non-trivial)という。

[定義2-8]:ａ₁,ａ₂,..,ａ_s∈Ｌに対し自明でない関係式が成立するとき,これらのベクトルは１次従属である(linearly-dependent)といい,さもなければ１次独立である(linearly-independent)という。

[定理2-9]:ある順序に並べられたＬのゼロでないベクトルの系(set):ａ₁,ａ₂,..,ａ_mが１次従属ならば,それらのベクトルのうち少なくとも１つはそれに先行するベクトルの１次結合として表わされる。

逆に,このベクトル列の１つがそれに先行するベクトルの１次結合として表わされるなら,この系は１次従属である。

(証明)ａ₁,ａ₂,..,ａ_mが１次従属であるとし,これについて成立する自明でない１次関係式をα₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_mａ_m＝0 と書きます。

複素数の列:α₁,α₂,..,α_mのうちでゼロでない最後のものをα_kとすると,α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_kａ_k＝0 ,かつα_k≠0 により,ａ_k＝(－α₁/α_k)ａ₁＋(－₁α₂/α_k)ａ₂＋..＋(－α_k-1/α_k)ａ_k-1と書けます。

逆に,ａ_k＝β₁ａ₁＋β₂ａ₂＋..＋β_k-1ａ_k-1なら,β₁ａ₁＋β₂ａ₂＋..＋β_k-1ａ_k-1＋(－1)ａ_k＋0・ａ_k+1＋..0・ａ_m＝0となりますが,これは自明でない１次関係式です。(証明終わり)

[定義2-10]:Ｍを線型空間Ｌのある部分集合とする。Ｍに属するベクトルの系):ａ₁,ａ₂,..があって∀ｘ∈Ｍがこれらのうちの有限個のベクトルの１次結合として表わされるとき,ａ₁,ａ₂,..を集合Ｍの生成元(generator)の系という。

[定義2-11]:Ｍを線型空間Ｌのある部分集合とする。このとき集合Ｍの１次独立な生成元の系をＭ の基または基底(basis)という。

[定理2-12]:Ｍを線型空間Ｌのある部分集合とする。　

　Ｍの生成元の系ａ₁,ａ₂,..の中の１つの元ａ_kがそれ以外の生成元の１次結合で表わされるとき,元の生成元の系から元ａ_kを除いた残りの系は,なおＭの生成元の系である。

(証明)まずａ₁,ａ₂,..がＭ の生成元の系なので,∀ｘ∈Ｍ はｘ＝α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..(α₁,α₂,..∈Ｃ)と書けます。

そこで,ａ_k＝β₁ａ₁＋β₂ａ₂＋..＋β_k-1ａ_k-1＋β_k+1ａ_k+1＋..(β₁,β₂,..∈Ｃ)と表わされるならｘ＝(α₁＋α₁β₁)ａ₁＋(α₂＋α₂β₂)ａ₂＋..＋(α_k-1＋α_k-1β_k-1)ａ_k-1＋(α_k+1＋α_k+1β_k+1)ａ_k+1＋..と書けます。(証明終わり)

[定理2-13]:線型空間Ｌの任意の生成元の系の中から,この空間Ｌの基底を選び出すことができる。

(証明)Ｌの生成元の系の１つをａ₁,ａ₂,..,ａ_sとします。

　このベクトル列ａ₁,ａ₂,..,ａ_sの中からそれに先行するベクトルの１次結合で表わされるものを削除していけば,最後に得られる系はなおＬの生成元の系でしかも１次従属でないので１次独立です。

　したがって,これらがL の基底を成します。(証明終わり)

[定理2-14]:ａ₁,ａ₂,..,ａ_sを線型空間Lの基底とすると∀ｘ∈Ｌはａ₁,ａ₂,..,ａ_sの１次結合で表わされるが,この表わし方は一意的である。

(証明)ｘ∈L がｘ＝α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋.. ＋α_sａ_s(α₁,α₂,..,α_s∈Ｃ),かつｘ＝β₁ａ₁＋β₂ａ₂＋..＋β_k-1ａ_k-1＋..β_sａ_s(β₁,β₂,..,β_s∈Ｃ)と表わされるとします。

　このとき,0＝(α₁－β₁)ａ₁＋(α₂－β₂)ａ₂＋..(α_s－β_s)ａ_sなる１次関係式が成立しますがａ₁,ａ₂,..,ａ_sは１次独立なのでα_i－β_i＝0(ｉ＝1,2,..,ｓ)です。故にα_i＝β_i(ｉ＝1,2,..,ｓ)です。(証明終わり)

[定義2-15]:線型空間Ｌ が少なくとも１組の有限個のベクトルから成る基底を持つとき,Ｌの次元(dimension)は有限(finite)であるという。またはLは有限次元(finite-dimensional)であるという。

　なお,"零ベクトル:0だけから成る空間＝零空間(zero-space)"の次元は 0(ゼロ)であると規定する。

[定理2-16]:零空間でない１つの有限次元線型空間Ｌの基底は全て同一個数のベクトルから成る。この基底を成すベクトルの個数を空間Ｌの次元といいdimＬで表わす。

(証明)有限次元線型空間Ｌの１組の基底をａ₁,ａ₂,..,ａ_n,別の任意の１組の基底をｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_mとします。

基底の定義よりａ₁,ａ₂,..,ａ_nはＬの生成元の系ですから,これにｘ₁を加えたｘ₁,ａ₁,ａ₂,..,ａ_nも生成元の系です。

しかし,ｘ₁はａ₁,ａ₂,..,ａ_nの１次結合で表わされるので,この(ｎ＋1)個のベクトルの系ｘ₁,ａ₁,ａ₂,..,ａ_nは１次従属です。

そこで系のベクトル列をｘ₁,ａ₁,ａ₂,..,ａ_nと書くとき,ａ₁,ａ₂,..,ａ_nの中の１つａ_iが先行するベクトルの１次結合で表わされます。

そして,このａ_iを除外したｎ個のベクトルの列をｘ₁,ａ'₁,..,ａ'_n-1と書けば,これはなおＬの生成元の系となっています。

次に(ｎ＋1)個のベクトル列ｘ₂,ｘ₁,ａ'₁,..,ａ'_n-1を考えると,これも１次従属であり列ｘ₂とｘ₁は１次独立ですからａ'₁,..,ａ'_n-1の中に先行するベクトルの１次結合で表わされるものがあります。

これを除外すれば,ｎ個のベクトル列ｘ₂,ｘ₁,ａ"₁,..,ａ"_n-2が得られますが,これもなおＬの生成元の系です。

以下,この操作を繰り返して基底ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_mの個数ｍがｎ以上の場合には,ｎ回目の操作で列ｘ_n,ｘ_n-1,..,ｘ₂,ｘ₁が得られ,これらは１次独立な生成元の系です。

そして,ｍ＞ｎなら(ｎ＋1)回目の操作でｘ_n+1がｘ_n,ｘ_n-1,..,ｘ₂,ｘ₁の１次結合で表わされることになるため,基底ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_mの１次独立性に矛盾します。

よって,基底の個数はｎを超えません。ｍ≦ｎです。

逆に,ｎ≧ｍのとき,基底ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_mから出発してａ₁,ａ₂,..,ａ_nを順に加えてｍ個の生成元を構成していく手続きから,ｎはｍを超えないこと:ｎ≦ｍが云えます。

以上から,ｎ＝ｍです。(証明終わり)

[定理2-17]:ｎ次元線型空間Ｌにおける任意の１次独立な系ａ₁,ａ₂,..,ａ_mを(ｍ＜ｎ)に対して,適当なLのベクトル系ａ_m+1,..,ａ_nを加えて系ａ₁,ａ₂,..,ａ_m,ａ_m+1,..,ａ_nがＬの基底となるようにできる。

(証明)ｎ次元線型空間Ｌにおいて１組の基底ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_nを取り,ベクトルの列:ａ₁,ａ₂,..,ａ_m,ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_nをつくります。

そして,この列の中から先行するベクトルの1次結合として表わされるものを全て削除していきます。

すると,前定理によって,残った系のベクトルの個数はｎに等しくてａ₁,ａ₂,..,ａ_m,ｘ_i1,,..,ｘ_inとなります。

これらは１次独立であってＬの生成元の系です。(証明終わり)

[定理2-18]:ｎ次元線型空間Ｌの(ｎ＋1)個のベクトルからなる系は全て１次従属である。この空間の任意のｎ個の１次独立なベクトルの系はL の基底を成す。

　Ｌの１次独立なベクトルの個数の最大値はその空間の次元ｎ＝dimＬに等しい。

※上記のことは,これまでのことから自明なので証明を省略します。

今日はここまでにします。 

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光訳)「線型代数学」(東京図書)

小さな親切,大きなお世話

　昨日(1/7)は,巣鴨に帰宅するため白山２丁目から都営三田線春日駅に向かう都バスの中でそばに座った老女性が「横浜までどうやって帰ればいいかわからない。」というので,一緒に巣鴨まで行ってJR巣鴨駅まで誘導しJR山手線の渋谷駅から東横線で帰るように言いました。

　彼女は81歳の方で２月に誕生日を迎えるらしく私より21歳も上の母親に近い年齢で「小石川七福神めぐり」という散歩企画に横浜から一人で応募し参加して来ていたけれど途中で疲れたので別れて一人で帰るところだったということでした。

　私は別れるときにお礼を言われて気分よくしていました。

　前日にそういうこともあったので,今日も調子に乗って都営巣鴨駅で帰りに見掛け白い杖でウロウロしていた盲目らしい女性を誘導しようとしたら「自分で歩きます。かえって危ない。。あ,ごめんなさい。」と怒られてしまいました。

　昨年の11月頃にも手話教室に行く途中のバスで偶然２週続けて同方向の盲目の老男性に会って,２回ともバスを降りてから途中まで誘導をしたつもりでしたが,彼が最後まで無言だったのは実は私のおせっかい,大きなお世話に腹を立てていたのかも知れないなと思い直しました。

　親切とおせっかいは抱き合わせで,"小さな親切＝大きなお世話"であることを改めて痛感しました。

　しかし,以前,飲み屋で「電車の中で席を譲ろうとしたら断られたのでもう決して他人に席を譲ったりしない。」と述べておられた女性がいたことも思い出しましたが,そんなことでめげるくらいなら他人の世話など決してできないし,やらない方がいいと思います。

　一応,断られた後も心配だったので,そっと後ろから駅の横断歩道の向こうまで目で追いかけました。目が見えないので,こちらもヨボヨボのみすぼらしいクソジジイだということはバレてないでしょうネ。

　久しぶりに少し落ち込み,調子に乗った自分を反省しました。

　しかし,帰宅してそのまま眠ってしまい,さっき夜10時半頃目覚めてから,自分の世話もできないのにキレイゴトや他人のお世話をすることで自己満足するというエゴを満たしてるのだからリスクは仕方がないと屁理屈を付けて気分も落ち着き,このブログを書いています。

　つくづくバカだね。＞自分

線型代数のエッセンス(2)(行列補遺)

　線型代数の続き,§1.行列の残りです。

[定義1-44](最小多項式):与えられた正方行列Ａに対し,このＡを根とするゼロでない多項式ｆ(λ)のうち,次数が最小でかつ最高次の係数が１のもの(monic)をＡの最小多項式(minimal polynomial)という。

[定理1-45]:任意の正方行列に対して最小多項式が唯一つ存在する。

(証明)先に証明した[定理1-43](HamiltonCayleyの定理)より任意の正方行列Ａに対して固有多項式:φ(λ)≡|λＥ－Ａ|を考えると,これはゼロではなく最高次係数が１の多項式でφ(Ａ)＝Ｏ を満たします。

そこで,任意のＡに対してＡを根とするゼロでない多項式が少なくとも１つは存在することがわかります。

次に,"Ａを根とするゼロでない次数が最小の多項式＝最小多項式"が２つ存在すると仮定して,それらをψ₁(λ),ψ₂(λ)と書けばψ₁(Ａ)＝Ｏ,かつψ₂(Ａ)＝Ｏ よりψ₁(Ａ)－ψ₂(Ａ)＝Ｏです。

それ故,ψ(λ)≡ψ₁(λ)－ψ₂(λ)とおくとψ(λ)はψ₁(λ),ψ₂(λ)より次数が低いλの多項式であって,ψ(Ａ)＝Ｏ を満たします。

故に,もしもψ(λ)が恒等的にゼロでないならψ₁,ψ₂がＡの最小多項式であるという仮定に矛盾します。

したがって,ψ(λ)≡0 であるべきでありψ₁(λ)とψ₂(λ)は同一の多項式です。(証明終わり)

[定理1-46]:行列Ａを根とする任意の多項式ｆ(λ)はＡの最小多項式ψ(λ)で割り切れる。(※特に行列Ａの固有多項式:φ(λ)＝|λＥ－Ａ|は最小多項式で割り切れます。)

(証明)ｆ(λ)をψ(λ)で割ったときの商をｑ(λ),余りをｒ(λ)とすると,これはｆ(λ)＝ψ(λ)ｑ(λ)＋ｒ(λ)と表わされます。

これはλをＡに置き換えても成立します。すなわち,ｆ(Ａ)＝ψ(Ａ)ｑ(Ａ)＋ｒ(Ａ)です。

これにｆ(Ａ)＝ψ(Ａ)＝Ｏを代入するとｒ(Ａ)＝Ｏを得ます。

ところが多項式ｒ(λ)の次数は最小多項式ψ(λ)より低いのでｒ(λ)≡0 なることが必要です。

したがって,ｆ(λ)＝ψ(λ)ｑ(λ)となってｆ(λ)がψ(λ)で割り切れることが示されました。(証明終わり)

[定理1-47]:相似な行列は同一の最小多項式を有する。

(証明)行列Ａ,Ｂが相似:すなわち,|Ｘ|≠0 なるあるＸが存在してＡ＝Ｘ^-1ＢＸと書けるとします。

このとき,もしもｆ(Ｂ)＝Ｏならｆ(Ａ)＝ｆ(Ｘ^-1ＢＸ)＝Ｘ^-1ｆ(Ｂ)Ｘ＝Ｏです。逆に,ｆ(Ａ)＝ＯならＢ＝ＸＡＸ^-1なのでｆ(Ｂ)＝ｆ(ＸＡＸ^-1)＝Ｘｆ(Ａ)Ｘ^-1＝Ｏです。

そこで,任意のｆについてｆ(Ａ)＝Ｏなることとｆ(Ｂ)＝Ｏなることが同値ですから,ＡとＢが同一の最小多項式を持つことは明らかです。(証明終わり)

[定義1-48](細胞状行列):行列Ａを何本かの水平線と垂直線によって部分に分割する。こうした部分をＡの細胞(cell)と呼び,細胞に分割された行列を細胞状行列と呼ぶ。

[定理1-49]:行列Ａ,Ｂがその細胞を構成するブロック行列をそれぞれＡ_ij,Ｂ_ijとして次のように細胞に分割されているとする。

　　このとき

　(↑自明なので証明は略)

[定理1-50]:行列Ｕ,Ｖが細胞に分割されているとする。

(証明) Ｕ＝[ｕ_rs],Ｖ＝[ｖ_st]とすると(ＵＶ)_rt＝Σ_sｕ_rsｖ_stです。

　Ｕの第r行は(Ｕ_i1 Ｕ_i2 .. Ｕ_in)の中に含まれ,Ｖの第ｔ列は^t(Ｖ_1k Ｖ_2k .. Ｖ_nk)の中に含まれるとします。

　ｕ_rsがＵ_ijに含まれるならｖ_stはＶ_jkに含まれ,Ｕの第ｓ列とＶの第ｓ行がＵ_ijとＶ_jkの同じ番号の列,行に対応することから,ｕ_rsｖ_stはＵ_ijＶ_jkの対応する成分の１項です。

よって,Σ_sｕ_rsｖ_stはΣ_jＵ_ijＶ_jk＝Ｗ_ikの細胞が作る行列の第ｒ項第ｔ列成分となります。(証明終わり)

[定義1-51](直和分解):Ａを正方行列とし,Ａ₁,Ａ₂,..,Ａ_sを正方細胞として下のようにかけるとき,Ａを細胞対角行列という。

　あるいは,Ａは部分Ａ₁,Ａ₂,..,Ａ_sに分解する。

　またはＡはＡ₁,Ａ₂,..,Ａ_sの直和(direct-sum)であるといい,Ａ＝Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_sと書く。

[定理1-52]:直和分解された行列の演算は,主対角線上の細胞による演算に帰着する。

　特にＡ＝Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_sであるとき,ｆ(λ)をλの多項式とすればｆ(Ａ)＝ｆ(Ａ₁)＋ｆ(Ａ₂)＋..＋ｆ(Ａ_s)である。

(証明) Ａ＝Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_s,Ｂ＝Ｂ₁＋Ｂ₂＋..＋Ｂ_sでＡ_iとＢ_iの次数が等しいとするとＡ＋Ｂ＝(Ａ₁＋Ｂ₁)＋(Ａ₂＋Ｂ₂)＋..＋(Ａ_s＋Ｂ_s)は明らかです。また,αＡ＝αＡ₁＋αＡ₂＋..＋αＡ_sも自明です。

また,ＡＢ＝(Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_s)(Ｂ₁＋Ｂ₂＋..＋Ｂ_s)＝(Ａ₁Ｂ₁)＋(Ａ₂Ｂ₂)＋..＋(Ａ_sＢ_s)となることは次のように示されます。

　です。

　よって,明らかにＡ^k＝Ａ₁^k＋Ａ₂^k＋..＋Ａ_s^k,..が成立し,結局ｆ(Ａ)＝Σ_k=1ⁿα_kＡ^k＝(Σ_k=1ⁿα_kＡ₁^k)＋(Σ_k=1ⁿα_kＡ₂^k)＋..＋(Σ_k=1ⁿα_kＡ_s^k)＝ｆ(Ａ₁)＋ｆ(Ａ₂)＋..＋ｆ(Ａ_s)を得ます。(証明終わり)

[定理1-53]:直和分解されている行列の固有多項式は,その主対角線上の細胞の固有多項式の積に等しい。

(証明) Ａ＝Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_sのとき,λＥ－Ａ＝(λＥ₁－Ａ₁)＋(λＥ₂－Ａ₂)＋..＋(λＥ_s－Ａ_s)です。

ところで,Ｂ＝[ｂ_ij]＝Ｂ₁＋Ｂ₂＋..＋Ｂ_sのとき,その行列式は定義により|Ｂ|＝Σ_P(－)^Pｂ_1i1ｂ_2i2..ｂ_ninです。

Ｐは(1 2 ..ｎ)→(i₁,i₂,..i_n)なる任意の置換ですが,右辺の和のうち|Ｂ|にゼロでない寄与をするのは,ｂ_rirがゼロでない項の積のみです。

　Ｂ₁,Ｂ₂,..Ｂ_sの次数をそれぞれｒ₁,ｒ₂,..ｒ_sとすると,まず,1,2,..,ｒ₁に対してはi₁,i₂,..i_sが全て{1,2,..,ｒ₁}に属する置換の場合にのみｂ_1i1ｂ_2i2..ｂ_riir1がゼロでない値を持ちます。

そこで,1,2,..,ｒ₁のみ置換を行ない,ｒ₁＋1,ｒ₁＋2,..,ｎについては全く置換しないｎ次の置換をＰ₁とします。次に,ｒ₁＋1,ｒ₁＋2,.., ｒ₁＋ｒ₂のみ置換を行なうｎ次の置換をＰ₂とします。以下,同様にＰ₃,Ｐ₄,..,Ｐ_sを作ることができます。

すると,|Ｂ|にゼロでない寄与をする置換Ｐは,こうしたＰ₁,Ｐ₂,..,Ｐ_sに対してＰ＝Ｐ₁Ｐ₂..,Ｐ_sなる積に対応するものだけですから,(－)^P＝(－)^P1(－)^P2.. (－)^Psより,|Ｂ|＝Σ_P1Σ_P2,.., Σ_Ps(－)^P(－)^P1(－)^P2.. (－)^Psｂ_1i1ｂ_2i2..ｂ_nin＝|Ｂ₁||Ｂ₂|..|Ｂ_s|です。

　したがって,先の直和:λＥ－Ａ＝(λＥ₁－Ａ₁)＋(λＥ₂－Ａ₂)＋..＋(λＥ_s－Ａ_s)に対して,|λＥ－Ａ|＝|λＥ₁－Ａ₁||λＥ₂－Ａ₂|..|λＥ_s－Ａ_s|を得ます。(証明終わり)

[定理1-54]:直和分解されている行列の最小多項式は,その対角線上の細胞の最小多項式の最小公倍式(least common mulitiple)に等しい。

(証明)正方行列ＡがＡ＝Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_sと直和分解されているとし,細胞Ａ₁,Ａ₂,..,Ａ_sの各々の最小多項式をψ₁,ψ₂,..,ψ_sとします。そしてＡの最小多項式はψとします。

多項式ｆ(λ)に対してｆ(Ａ)＝Ｏ が成立するなら,[定理1-52]よりｆ(Ａ)＝ｆ(Ａ₁)＋ｆ(Ａ₂)＋..＋ｆ(Ａ_s)＝Ｏです。

よって,直和行列の定義からｆ(Ａ₁)＝ｆ(Ａ₂)＝..＝ｆ(Ａ_s)＝Ｏですからｆ(λ)はψ₁(λ),ψ₂(λ),..,ψ_s(λ)の全てで割り切れます。

そこで,Ａの最小多項式ψについてもψ(Ａ)＝Ｏによってψ(λ)はψ₁(λ),ψ₂(λ),..,ψ_s(λ)の全てで割り切れます。言い換えるとψはψ₁,ψ₂,..,ψ_sの公倍式です。

逆にｆがψ₁,ψ₂,..,ψ_sの公倍式であれば,ｆ(λ)はψ₁(λ),ψ₂(λ),..,ψ_s(λ)の全てで割り切れます。そして,ψ_i(Ａ_i)＝Ｏ(i＝1,2,..,ｓ)により,ｆ(Ａ₁)＝ｆ(Ａ₂)＝..＝ｆ(Ａ_s)＝Ｏですからｆ(Ａ)＝Ｏです。

したがって,任意のψ₁,ψ₂,..,ψ_sの公倍式は最小多項式ψで割り切れることがわかります。

以上から,ψ(λ)はψ_i(λ)(i＝1,2,..,ｓ)の最小公倍式であることが示されました。(証明終わり)

[定義1-55](細胞三角行列):Ａを正方行列とするとき,これが次のようにＡ_ijを正方細胞とする細胞の三角行列の形に書けるならＡを細胞三角行列という。

　　

[定理1-56]:ｓ行ｓ列の細胞三角行列Ａ,Ｂの積Ｃ＝ＡＢはやはり細胞三角行列であって対角線上の細胞はＣ_ii＝Ａ_iiＢ_ii(ｉ＝1,2,..,ｓ)で与えられる。

　

(証明は細胞対角行列と同様なので省略します。)

[定理1-57]:細胞三角行列の固有多項式は,その主対角線上の細胞の固有多項式の積に等しい。(証明略)

短かいですが今日はここまでにします。

次回は§2.線型空間に入ります。

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光 訳)「線型代数学」(東京図書)

PS:しかし寒い。６日の夜８時頃今年１つ目の新年会に行くために10分くらい歩いたのですが,風が冷たくてこたえました。帰りは酒が入ってたせいか往きよりも少しはましでしたが。。。

　気温が低くても風がなければ体感温度はさほどでもないと思うのですがいかんせん風が強くて。。。

　東京の年間平均気温は高々毎年±0.5度くらいの間の変動しかないし,夏が猛暑でしたから帳尻合わせで冬が寒いのは予想通りで覚悟してましたが,私の主要な病気である心不全では気温は高すぎても低すぎても心臓の動きに影響あるようで今年度は確かにきついです。

久しぶりの雑感

　個人であれば,各人とも実存的人間と社会的人間(平たく言えば自分の利益追求(エゴ)と他人の利益(公益)への奉仕)の両面があって,対立しやすい両面のどちらを重要視するか？で価値観が大きく左右されます。

　しかし,仕事以外の家庭人である場合ならともかく,政治家(屋)や公務員(役人)は,仕事そのものが本来社会的であるにも関わらず,仕事中でも自分と人民(国民,市民etc.)の２つの"ご主人様"に仕えて諸刃の剣?に苦慮していると見えるのは困ったものです。

　家庭に帰ればともかく,少なくとも建前では仕事中は(民の幸福)＞(自分の利害)でしょう。

　たとえ自己の現在的利益が消滅することになっても,その他大勢の利益に奉仕するのでないなら,所詮100年に１度の危機など解決できるはずもなく,ただ嵐が過ぎ去るのを待って息を殺してやり過ごすだけなら無政府の方がましです。

　しかし,マスコミ会見などに見られる建前の上でも,(自分＞民)という価値意識が見え見えで前言は平気で撤回するし責任は極力回避してメンツとか自己保身に汲々としてる様は明らかです。

　まるで,酒乱でもあるかのように昔なら非難されたであろう明らかにムチャクチャなことばかりやってるのに,この状態がそのまま続いてるのはとても不思議ですね。(← 傍観者,評論家モード)

　話は変わって,諸刃の剣で思いつきましたが世間の事物は全て諸刃の剣のようなものですね。

　極端な話,今は年を取ってかなり失われましたが,"五欲＝(飲)食欲,睡眠欲,色欲(性欲),財欲,名誉欲"などはなければないほうが幸せということもあります。

　神様,仏様,天使,天女とかにはこういう煩わしいものはないんでしょうね。

　人間の諍いや精神の葛藤とそれによる戦争,疾病,犯罪などは全てこれらの欲から派生しますから,そういう意味では,欲がなくて悟りきった仙人のような状態なら人は幸せであるというべきかも知れません。

　しかし,生き物である人間は飲食しないと死んでしまうし,睡眠もまた然りです。色欲(性欲)がなくなると人類は子孫がなくなって滅びるでしょう。

　これらは本能と呼ばれるものに根ざしています。(← 神が種が滅びないよう授けてくれたものでしょう。)

　私は,むしろ,今ではもはや失って取り戻すこと不可能な"旺盛な五欲に溢れていた若さ"に憧れています。

　無用と思われる,やはり欲に根ざすであろう羞恥心とかがなければ,私の若い頃中心の精神的長患いもなかったでしょうが,にも関わらず羞恥心もないような枯れたオジタリアンと化したくはないです。

　諸刃の剣であることを承知でその剣を持ちたい気分ですね。

　たとえ煩わしくても欲があるからこそ人間です。

　痛み,悲しみ,苦しみもあるけどだからこそ歓び,喜びもある。何も感じない悟り切った仙人になるなどは棺桶に入った後でいい。

　この世は飲ん兵衛が引き受けた。あの世はあんたにまかせたぜ。。( ← 京山幸枝若が唄う「浪花しぐれ！！,桂春団治」のセリフから、、)

ＰＳ：ふと,私が40年くらい前の学生運動時代に身分差別問題をカジるために読んで今も所持している井上清著「部落の歴史と解放理論」に書いてあった「矢田事件」(矢田教育差別事件)を思い出しました。

　かつての大阪市教組の,"同和教育は進めたいが,それにより教師の負担が増えるのは困る。"という話で,これが原因で「解同」と「共産党」が袂を分かったのが「矢田事件」ですが,これなども諸刃の剣ですかね。

　こうした話には「狭山事件」の石川一雄さんの話も含め,ここ20年以上も能動的に関わってはいませんが,今もまだ風化してないのでしょうね。

(2006年６/９の記事「狭山差別裁判」を参照 ← 石川さん仮釈放時のビデオは"旧マル中"の知り合いから譲り受けて今も所持していますが。。)

PS2：年末の12/28に元女優の高峰秀子さんが肺がんで亡なくなられてたんですね。年末のドサクサで今日(４日)まで知りませんでした。　

　享年86歳ということですから私の母(90歳)と同年代です。

　母が好きだった木下恵介などのテレビでの作品で何度も見ているはずですが,私にはあまり印象はなく,美人で知的で昔風の非のうちどころのないスターというイメージしかありません。

　　

　ご冥福をお祈りします。

　アリャリャ。。若い嫁さんもらって74歳で長女ができて故：上原謙の記録を破って元気なのに注目していた歌舞伎の中村富十郎さんまで亡くなりました。

　まだ81歳です。子供が成人していませんよ。。

　　　　　

　　　　　　　　　　合掌！！　

線型代数のエッセンス(1)(行列)

　久しぶりに,数学,それも線型代数学の話題でも取り上げようかという気になり1985年８月の覚書きノートを取り出してきてアップします。

取り合えずは,"正方行列Ａの固有多項式をφ(λ)≡|λＥ－Ａ| or φ(λ)≡det(λＥ－Ａ)とおくとき,Ａ自身がφ(λ)＝0 の根になる,つまりＯを零行列としてφ(Ａ)＝Ｏが成立する。"というHamilton-Cayleyの定理を証明するところが第一目標です。

ほぼ予備知識なしという仮定でゼロからスタートします。

もっとも,面倒な証明が必要なところは大抵の教科書に載ってるはずなので,証明を省略します。

数学のテキストによくある必要事項(定義,定理,証明)の羅列に過ぎないと見えるかもしれませんがご容赦ください。 

§1.行列(複素数体Ｃの行列)

[定義1-1](行列):複素数体Ｃのｍｎ個の元を,ｍ個の行(row)とｎ個の列(column)を持つ長方形の型に配列したものをｍ行ｎ列の行列(matrix),または(ｍ×ｎ)行列という。

　そして,これを

　または,Ａ＝[ａ_ij]と表わす。

そして,Ａ＝[ａ_ij]のとき,ａ_ijを行列Ａの成分,または要素(matrix-element)と呼び,このａ_ijを(Ａ)_ijと表わす。

特にｍ＝ｎのときには,(ｍ×ｎ)行列を次数(order)がｍの正方行列(square-matrix),またはｍ次の正方行列と呼ぶ。

[定義1-2]:(ｍ×ｎ)行列においてｍ＝1の行列を行ベクトル(row-vector),ｎ＝1の行列を列ベクトル(column-vector)という。

[定義1-3]:行列Ａ＝[ａ_ij],Ｂ＝[ｂ_ij]があって,∀(i,j)成分の要素について等式:ａ_ij＝ｂ_ijが成立するとき,そのときに限り行列Ａと行列Ｂは等しいといい,Ａ＝Ｂと表わす。

[定義1-4]:Ａ＝[ａ_ij],Ｂ＝[ｂ_ij]と∀α∈Ｃに対し,行列の和(sum)をＡ＋Ｂ≡[ａ_ij＋ｂ_ij],スカラー倍(複素数倍:complex-multiple)をαＡ≡[αａ_ij]で定義する。

　また,全ての要素(成分)がゼロの行列を零行列(zero-matrix)と呼び,これをＯで表わす。

[定理1-5](行列の性質Ⅰ):Ａ,Ｂ,Ｃをｍ行ｎ列の任意の行列とし,α,β∈Ｃとする。

  (ⅰ)    1・Ａ＝Ａ,(ⅱ) 0・Ａ＝Ｏ,

　(ⅲ)α(βＡ)＝β(αＡ)＝(αβ)Ａ,

　(ⅳ)Ａ＋(Ｂ＋Ｃ)＝(Ａ＋Ｂ)＋Ｃ,(ⅴ)Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ,

　(ⅵ)Ａ＋Ｏ＝Ｏ＋Ａ＝Ａ,(ⅶ)(α＋β)Ａ＝αＡ＋βＡ,

　(ⅷ)α(Ａ＋Ｂ)＝αＡ＋αＢ,

　(ⅸ)(－1)Ａを－Ａと書けばＡ＋(―Ａ)＝Ｏ　

　これらの性質の成立は行列の定義と照らし合わせると自明なので証明は省略します。

[定理1-6](行列の性質Ⅱ):Ａ,Ｂ,Ｃをｍ行ｎ列の任意の行列とし,α,β∈Ｃとすると次の性質が成り立つ。

(ⅹ) Ａ＋(－Ｂ)をＡ―Ｂと書けば(Ａ－Ｂ)＋Ｂ＝Ａ,またＣ＋Ｂ＝ＡならＣ＝Ａ―Ｂである。

(ｘi) (－α)Ａ＝－αＡ,(ｘⅱ)－(Ａ＋Ｂ)＝－Ａ－Ｂ,(ｘⅲ) －(－Ａ)＝Ａ, (ｘⅳ)Ａ＋Ａ＝2Ａ,Ａ＋Ａ＋Ａ＝3Ａ,..etc.

↑これらも自明です。

[定義1-7](行列の乗法):(ｍ×ｎ)行列Ａ＝[ａ_ij](ｉ＝1,2,..,ｍ；ｊ＝1,2,..,ｎ)と(ｎ×ｐ)行列Ｂ＝[ｂ_jk](ｊ＝1,2,..,ｎ；ｋ＝1,2,..,ｐ)に対し,ｃ_ik≡Σ_j=1ⁿａ_ijｂ_jkを成分とする(ｍ×ｐ)行列Ｃ＝[ｃ_ik](ｉ＝1,2,..,ｍ；ｋ＝1,2,..,ｐ)をＡとＢの積といい,Ｃ＝ＡＢと書く。

(※注意:一般にｍ＝ｎ＝ｐでもＢＡ≠ＡＢです。)

[定理1-8](行列の積の性質):Ａ,Ｂ,Ｃを以下のような積が定義可能な行列とし,α∈Ｃとする。以下の性質が成り立つ。

(ⅰ) α(ＡＢ)＝(αＡ)Ｂ＝Ａ(αＢ),(ⅱ)(Ａ＋Ｂ)Ｃ＝ＡＣ＋ＢＣ,(ⅲ) Ｃ(Ａ＋Ｂ)＝ＣＡ＋ＣＢ,(ⅳ)Ａ(ＢＣ)＝(ＡＢ)Ｃ

(証明)(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)は自明なので(ⅳ)だけを証明します。

　さて,Ｍ＝[ｍ_ik]≡ＡＢ,Ｎ＝[ｎ_jl]≡ＢＣとすると,ｍ_ik＝Σ_j=1ⁿａ_ijｂ_jk,ｎ_jl＝Σ_k=1^pｂ_jkｃ_klです。

　故に,(ＡＮ)_il＝Σ_j=1ⁿａ_ijｎ_jl,＝Σ_j=1ⁿΣ_k=1^pａ_ijｂ_jkｃ_kl＝Σ_k=1^pｍ_ikｃ_kl＝(ＭＣ)_ikです。

　したがって,ＡＮ＝ＭＣ,つまりＡ(ＢＣ)＝(ＡＢ)Ｃが示されました。

(証明終わり)

[定義1-9](行列式):Ａがｎ次の正方行列のとき,Ｐを(1,2,..,ｎ)→(i₁,i₂,..,i_n)なる(1,2,..,ｎ)の任意の置換としてΣ_P(－)^Pａ_1i1ａ_2i2..ａ_ninをＡの行列式(determinant of Ａ)と呼び,これを|Ａ|またはdetＡと表わす。

　ただし,(－)^Pでは置換Ｐの符号である。(これはＰが偶置換ならプラス,奇置換ならマイナスを示す。)

[定理1-10](行列式の性質):Ａ,Ｂをｎ次の正方行列とし,α∈Ｃとする。このとき,(ⅰ)|αＡ|＝αⁿＡ,(ⅱ)|ＡＢ|＝|Ａ||Ｂ|が成り立つ。 (←証明略:線形代数学のテキストを参照)

[定義1-11](余因子):行列Ａ＝[ａ_ij]の(i,j)成分ａ_ijに対応する第i行と第j列を削除して得られる(ｎ－1)次行列の行列式に(－1)^i+jを掛けた値を行列Ａの要素ａ_ijの余因子(cofactor)といいＡ_ijで表わす。

[定理1-12](行列式の展開公式):行列Ａの行列式|Ａ|は|Ａ|＝Σ_j=1ⁿａ_ijＡ_ijと展開される。

　また,ｋ≠iのとき,和Σ_j=1ⁿａ_ijＡ_kjはゼロである。

(証明)Ａ＝[ａ_ij]のとき,Ｐを(1,2,..,ｎ)→(ｊ,i₂,..,i_n)のような任意の置換,Ｑ_jを1→ｊに特定した(1,2,..,ｎ)→(ｊ,i₂,..,i_n)のような置換とすると,行列式の定義により|Ａ|＝Σ_P(－)^Pａ_1i1ａ_2i2..ａ_nin＝Σ_jａ_1jΣ_Qj(－)^Qjａ_2i2..ａ_ninと書けます。

　右辺の因子Σ_Qj(－)^Qjａ_2i2..ａ_ninはＡから(1,ｊ)成分ａ_1j対応する第１行と第ｊ列を除いた(ｎ－1)次行列式に(－1)^j+1を掛けたもの,つまり余因子Ａ_1jですから,|Ａ|＝Σ_jａ_1jＡ_1jが得られます。

　そこで2≦ｋ≦ｎのｋ≠1なるｋに対して和Σ_jａ_kjＡ_1jを取れば,これはＡの第１行目を全て第ｋ行目で置き換えた行列の行列式です。

　行列式の行や列の交換反対称性から１行目とｋ行目の値が全く同じ場合の行列式はゼロですから,ｋ≠1ならΣ_jａ_kjＡ_1j＝0 です。

ここまでは(i,j)成分ａ_ijをi＝1の(1,j)成分ａ_1jに特定して考察しましたが,明らかにｉ＝1に特定することなく任意のｉについて,Σ_jａ_ijＡ_ij＝|Ａ|,かつΣ_jａ_kjＡ_ij＝0 (ｋ≠i)が成立します。(証明終わり)

[定義1-13](単位行列):Ｅ＝[δ_ij](i,j＝1.2,..,ｎ)なる行列Ｅをｎ次の単位行列(unit matrix)という。

ただしδ_ijはKronckerのデルタ記号です。これは,i＝jならδ_ij＝1,i≠jならδ_ij＝0 なる値を示すi,jの関数です。

[定理1-14](単位行列の性質):Ｅと同じ次数の正方行列Ａに対してＡＥ＝ＥＡ＝Ａが成立する。(自明)

[定義1-15](対角行列):行列の対角線上の要素がλ₁,λ₂,..,λ_nである以外に全ての行列要素がゼロの,Ａ＝[λ_iδ_ij]なる形の正方行列を対角行列(diagonal matrix)という。

※(注):λ₁＝λ₂＝..＝λ_n＝1の特別な対角行列が単位行列です。※

[定理1-16](対角行列の性質):対角行列の積は対角行列である。(自明)

[定義1-17](可逆性):ｎ次の正方行列Ａに対してＸＡ＝ＡＸ＝Ｅなる行列Ｘが存在するならＡは可逆(invertible)であるといい,ＸをＡの逆行列と呼んでＸ＝Ａ^-1と書く。

[定理1-18](余因子行列):ｎ次の正方行列Ａ＝[ａ_ij](i,j＝1.2,..,ｎ)に対して(j,i)成分の要素がＡ_ijの行列を余因子行列Ａ~,つまりＡ~≡[Ａ_ji]と定義すると,ＡＡ~＝Ａ~Ａ＝|Ａ|Ｅである。

(証明)(ＡＡ~)_ik＝Σ_j=1ⁿａ_ijＡ_kjですが,この右辺は[定理1-5]の行列式の展開公式そのもので(ＡＡ~)_ik＝|Ａ|δ_ikです。これは,ＡＡ~＝|Ａ|Ｅを意味します。

他方,(Ａ~Ａ)_ik＝Σ_j=1ⁿＡ_ijａ_kj＝|Ａ|δ_ikより,Ａ~Ａ＝|Ａ|Ｅが成立することも明らかです。(証明終わり)

(定理1-18の系):Ａがｎ次正方行列のとき,|Ａ~Ａ|＝|Ａ|ⁿである。(自明)

[定義1-19](正則行列):正方行列Ａが|Ａ|≠0 を満たすとき,Ａを正則行列(regular-matrix)という。

　また,Ａが|Ａ|＝0 を満たすときには,Ａを非正則行列(irregular-matrix) or 特異行列(singular-matrix)という。

[定理1-20](逆行列):Ａが正則行列のとき,Ａは可逆であり逆行列はＡ^-1＝Ａ~/|Ａ|で与えられる。(← [定理1-18]より自明)

[定理1-21]:Ａが可逆(正則)のとき,(ⅰ)|Ａ^-1|＝|Ａ|^-1＝1/|Ａ|,(ⅱ)(Ａ^-1)^-1＝Ａ,(ⅲ)(ＡＢ)^-1＝Ｂ^-1Ａ^-1が成立する。

(証明)(ⅰ)ＡＡ^-1＝Ｅより|Ａ||Ａ^-1|＝|Ｅ|＝1です。そしてＡが可逆(正則)より|Ａ|≠0 なので|Ａ^-1|＝|Ａ|^-1＝1/|Ａ|です。

　(ⅱ) (ⅰ)によりＡが正則ならＡ^-1も正則ですから,Ａ^-1の逆:(Ａ^-1)^-1が存在します。すなわち,Ａ^-1(Ａ^-1)^-1＝Ｅです。この両辺に左からＡを掛けると(Ａ^-1)^-1＝Ａを得ます。

　(ⅲ)(ＡＢ)^-1＝Ｅ(ＡＢ)^-1＝(Ｂ^-1ＥＢ)(ＡＢ)^-1＝(Ｂ^-1Ａ^-1ＡＢ)(ＡＢ)^-1＝(Ｂ^-1Ａ^-1){(ＡＢ)(ＡＢ)^-1}＝Ｂ^-1Ａ^-1Ｅ＝Ｂ^-1Ａ^-1です。(証明終わり)

[定義1-22](行列の多項式):多項式φ(λ)＝α₀＋α₁λ＋..＋α_pλ^p (α₀,α₁,..,α_p∈Ｃ)に対し,対応するｎ次正方行列Ａの多項式φ(Ａ)をφ(λ)の変数λをＡに置き換えたもの:φ(Ａ)≡α₀＋α₁Ａ＋..＋α_pＡ^p (α₀,α₁,..,α_p∈Ｃ)で定義する。

[定理1-23]:λの２つの多項式φ(λ),ψ(λ)の和:ｆ(λ)≡φ(λ)＋ψ(λ),積:ｇ(λ)≡φ(λ)ψ(λ)もλの多項式である。このときｆ(Ａ)＝φ(Ａ)＋ψ(Ａ),ｇ(Ａ)＝φ(Ａ)ψ(Ａ)も成立する。

　特にψ(Ａ)φ(Ａ)＝φ(Ａ)ψ(Ａ)(積の交換法則)が成立する。

(証明)行列の四則演算は,複素数体Ｃの上の複素数の四則演算と行列の積が可換でないことのみが異なりますが,単一の行列ＡとＡのベキＡ^jについては全て積が可換なので,行列Ａの多項式は複素数の多項式と四則演算においては同一の性質を持ちます。(証明終わり)

[定義1-24](行列の転置):(ｍ×ｎ)行列Ａ＝[ａ_ij](i＝1,2,..ｍ,j＝1.2,..,ｎ)に対し,行と列を逆転させた(ｎ×ｍ)行列Ｂ≡[ｂ_ij]＝[ａ_ji]をＡの転置行列(transport-matix)といい^tＡと表わす。

(特に行ベクトルの転置は列ベクトル,列ベクトルの転置は行ベクトルなので,列ベクトルをａと表記するとその行ベクトルは^tａと書けます。)

[定理1-25](転置行列の性質):(ⅰ)^t(αＡ＋βＢ)＝α^tＡ＋β^tＢ,(ⅱ)^t(ＡＢ)＝^tＢ^tＡ,(ⅲ)^t(Ａ^-1)＝(^tＡ)^-1 (証明略)

[定義1-26](対称性):行列Ａ＝[ａ_ij]において^tＡ＝Ａ ⇔ ａ_ji＝ａ_ijならＡは対称(symmetric)であるという。

　また,^tＡ＝－Ａ ⇔ ａ_ji＝－ａ_ijならＡは交代(alternative)である,または反対称(anti-symmetric)であるという。

[定理1-27]:Ａ,Ｂが共に対称行列;つまり^tＡ＝Ａ,^tＢ＝Ｂであり,かつＡＢ＝ＢＡならばＡＢも対称行列である。(自明)

[定義1-28](直交行列):Ａが正方行列で^tＡＡ＝Ａ^tＡ＝Ｅ,つまり^tＡ＝Ａ^-1なるとき,Ａを直交行列という。

[定理1-29]:直交行列の逆行列,直交行列の積は直交行列である。

(証明)Ａが直交行列:^tＡ＝Ａ^-1とすると,[定理1-25](ⅲ)によって^t(Ａ^-1)＝(^tＡ)^-1＝(Ａ^-1)^-1ですから,Ａ^-1も直交行列です。

　次に,^tＡ＝Ａ^-1,かつ^tＢ＝Ｂ^-1とする。このとき,^t(ＡＢ)＝^tＢ^tＡ＝Ｂ^-1Ａ^-1＝(ＡＢ)^-1です。(証明終わり)

[定義1-30](複素共役,エルミート共役):Ａ＝[ａ_ij]をａ_ij∈Ｃの複素数行列とする。α^*でα∈Ｃの複素共役(complex-conjugate)を表わすとき,Ａ^*≡[ａ_ij^*]をＡの複素共役行列という。

　また,Ａ⁺≡^tＡ^*＝[ａ_ji^*]をＡのエルミート共役(Hermitian-conjyugate),またはＡの随伴(adjoint)行列という。

[定義1-31](エルミート行列):Ａ⁺＝ＡならＡをエルミート行列(Hermitian),または自己随伴(self-adjoint)行列という。

[定義1-32](ユニタリ行列):Ａ⁺Ａ＝ＡＡ⁺＝Ｅ,つまりＡ⁺＝Ａ^-1なるとき,Ａをユニタリ(unitary)行列であるという。

[定理1-33]:(ⅰ)Ａ⁺＝Ａ^-1ならば(Ａ^-1)⁺＝Ａである。(ⅱ)(ＡＢ)⁺＝Ｂ⁺Ａ⁺,(ⅲ)Ａ⁺＝Ａ^-1,Ｂ⁺＝Ｂ^-1なら)(ＡＢ)⁺＝(ＡＢ)^-1である。(証明略)

[定理1-34]:Ａがユニタリ:Ａ⁺＝Ａ^-1,ならＡの行列式|Ａ|の絶対値は１である。

(証明)Ａのエルミート共役行列Ａ⁺の定義から|Ａ⁺|＝|^tＡ^*|＝|Ａ^*|＝|Ａ|^*です。そして,ＡがユニタリならＥ＝Ａ⁺Ａより,1＝|Ｅ|＝|Ａ⁺Ａ|＝|Ａ⁺||Ａ|＝|Ａ|^*|Ａ|です。(証明終わり)

[定義1-35](相似性):行列ＡとＢに対してある正則行列Ｘが存在してＡ＝Ｘ^-1ＢＸ,あるいはＸＡ＝ＢＸが成立するとき,ＡはＢに相似(similar)であるという。

[定理1-36](相似関係の同値性):

(ⅰ)ＡはＡに相似である。(反射的:reflecsive)　

(ⅱ)ＡがＢに相似ならＢはＡに相似である。(対称的:symmetric)　

(ⅲ)ＡがＢに相似,かつＢがＣに相似ならＡはＣに相似である。(推移的:transitive)　

　が成立する。

※(注):これら反射性,対称性,推移性は関係が同値関係であるための必要十分条件なので,相似性(similarity)は同値関係(equivalence relation)の１つであることがわかります。(注終わり)※

(証明)まず,(ⅰ)Ａ＝Ｅ^-1ＡＥです。また,(ⅱ)ＡがＢに相似なら正則行列Ｘが存在してＡ＝Ｘ^-1ＢＸです。故にＢ＝ＸＡＸ^-1＝(Ｘ^-1)^-1Ａ^-1Ｘ^-1ＥでありＸ^-1は正則なのでＢはＡに相似です。

(ⅲ)ＡがＢに相似,かつＢがＣに相似なら正則行列Ｘ,Ｙが存在してＡ＝Ｘ^-1ＢＸ,Ｂ＝Ｙ^-1ＣＹです。Ａ＝Ｘ^-1ＢＸ＝Ｘ^-1(Ｙ^-1ＣＹ)Ｘ＝(ＹＸ)^-1Ｃ(ＹＸ)でＹＸは正則ですからＡはＣに相似です。(証明終わり)

[定理1-37]:正則行列Ｘと行列の族:{Ａ₁,Ａ₂,..,Ａ_m}について,(ⅰ)Ｘ^-1(Σ_k=1^mＡ_k)Ｘ＝Σ_k=1^mＸ^-1Ａ_kＸ,(ⅱ)Ｘ^-1(Ａ₁Ａ₂..Ａ_m)Ｘ＝(Ｘ^-1Ａ₁Ｘ)(Ｘ^-1Ａ₂Ｘ)..(Ｘ^-1Ａ_mＸ) が成り立つ。(証明略)

(定理1-37の系):正則行列Ｘと行列Ａに対しＸ^-1Ａ^kＸ＝(Ｘ^-1ＡＸ)^kである。そして一般に,任意の多項式ｆ(λ)に対してＸ^-1ｆ(Ａ)Ｘ＝ｆ(Ｘ^-1ＡＸ)である。(自明)

[定義1-38](固有多項式):Ａをｎ次の正方行列とするとき,ｎ次多項式;φ(λ)≡|λＥ－Ａ| or φ(λ)≡det(λＥ－Ａ)をＡの固有多項式という。そして,φ(λ)の零点,or 方程式φ(λ)＝0 の根λ₁,λ₂,..,λ_nを行列Ａの固有値という。

※(注):列ベクトルｘがＡの固有値λに属する固有ベクトルであるとは,ｘ≠0 であってＡｘ＝λｘなる関係式が成立することです。そして,Ａｘ＝λｘは(λＥ－Ａ)ｘ＝0 と行列表現できます。

このｎ元連立１次方程式:(λＥ－Ａ)ｘ＝0 が自明解(ｘ＝0)以外の解を持つための必要十分条件がφ(λ)＝|λＥ－Ａ|＝0 です。(注終わり※)

[定理1-39]:行列Ａ＝[ａ_ij]の固有多項式φ(λ)≡|λＥ－Ａ|の次数は,Ａの次数に等しく,そのλⁿの係数は１,λ^n-1の係数はＡのトレース(trace)(対角和):ＴrＡ≡Σ_i=1ⁿａ_iiに(－)符号を付けた値に等しい。

(証明)まず,行列式の定義によって|λＥ－Ａ|＝Σ_P(－)^P(λＥ－Ａ)_1i1(λＥ－Ａ)_2i2..(λＥ－Ａ)_ninです。

　また,行列:(λＥ－Ａ)の要素を陽に書けば,(λＥ－Ａ)_ij＝λδ_ij－ａ_ijです。

　したがって,固有多項式:φ(λ)＝|λＥ－Ａ|において,λの最高次λⁿを含む項は,Σ_Pの置換Ｐが恒等置換Ｉ:(1,2,..,ｎ)→(1,2,..,ｎ)の場合:Ｐ＝Ｉに対応する行列の対角項の積(λＥ－Ａ)₁₁(λＥ－Ａ)₂₂..(λＥ－Ａ)_nn＝(λ－ａ₁₁)(λ－ａ₂₂)..(λ－ａ_nn)のみから発生します。

　そして,Σ_Pの恒等置換Ｐ＝Ｉ以外の置換Ｐによる項は,ｎ個の因子のうち単なる定数の行列の非対角項因子を少なくとも２個含むため,高々λの(ｎ－2)次項しか持ち得ません。

　以上から,固有多項式φ(λ)のλⁿ,λ^n-1の項は共に,項:(λ－ａ₁₁)(λ－ａ₂₂)..(λ－ａ_nn)のみから発生することがわかります。

　そこで,φ(λ)におけるλの最高次λⁿの係数は１であり,λ^n-1の係数は－(ａ₁₁＋ａ₂₂＋..＋ａ_nn)＝－ＴrＡとなることが示されました。

(証明終わり)

[定理1-40]:行列Ａの固有多項式φ(λ)≡|λＥ－Ａ|の定数項はφ(0)＝|－Ａ|＝(－1)ⁿ|Ａ|である。(自明)

[定理1-41]:相似な行列の固有多項式は相等しい。

(証明)相似の定義によれば,行列ＡがＢに相似であることは|Ｘ|≠0 なる行列Ｘが存在してＡ＝Ｘ^-1ＢＸと表現できることを意味します。

　そして,Ａ＝Ｘ^-1ＢＸならＡの固有多項式は|λＥ－Ａ|＝|λＥ－Ｘ^-1ＢＸ|＝|Ｘ^-1(λＥ－Ｂ)Ｘ|＝|Ｘ^-1||λＥ－Ｂ||Ｘ|＝|Ｘ|^-1|λＥ－Ｂ||Ｘ|＝|λＥ－Ｂ|です。最右辺の|λＥ－Ｂ|はＢの固有多項式です。(証明終わり)

(定理1-41の系):相似な行列は同一の固有値,同一のトレース,同一の行列式を持つ。

(証明)これは[定理1-41]を[定理1-39],[定理1-40]と組み合わせると得られます。(終わり)

[定理1-42]行列の固有値の総和はその行列のトレースに等しい。

(証明)[定理1-39]より,行列Ａ＝[ａ_ij]の固有多項式はφ(λ)＝|λＥ－Ａ|＝λⁿ－(ａ₁₁＋ａ₂₂＋..＋ａ_nn)λ^n-1＋..と表現されます。

　一方,Ａの固有値λ₁,λ₂,..,λ_nはφ(λ)＝0 の根なのでφ(λ)はφ(λ)＝(λ－λ₁)(λ－λ₂)..(λ－λ_n)と因数分解されます。

　したがって,λⁿ－(ａ₁₁＋ａ₂₂＋..＋ａ_nn)λ^n-1＋..＝(λ－λ₁)(λ－λ₂)..(λ－λ_n)＝λⁿ－(λ₁＋λ₂＋..＋λ_n)λ^n-1＋..なるλの恒等式が成立します。

　それ故,この両辺のλ^n-1の係数比較によってλ₁＋λ₂＋..＋λ_n＝ａ₁₁＋ａ₂₂＋..＋ａ_nn＝ＴrＡを得ます。(証明終わり)

[定理1-43](Hamilton-Cayleyの定理):行列Ａの固有多項式をφ(λ)≡|λＥ－Ａ|とするとφ(Ａ)＝Ｏである。つまりＡはφ(λ)＝0 の行列の根になっている。

(証明) (λＥ－Ａ)の余因子行列(λＥ－Ａ)~をＢと表記すると,Ｂの要素は(λＥ－Ａ)の余因子ですから全てλの(ｎ－1)次多項式です。

そこで,行列Ｂ自身も要素が定数項のみの行列,λの１次項のみの行列,２次項のみの行列,..,(ｎ－1)次項のみの行列の和に分解できます。

すなわち,Ｂ＝Ｂ⁽⁰⁾＋Ｂ⁽¹⁾λ＋..＋Ｂ^(n-1)λ^n-1と係数が行列のλの(ｎ－1)次多項式の形に書けます。係数:Ｂ⁽⁰⁾,Ｂ⁽¹⁾,..,Ｂ^(n-1)は要素(成分)が定数のｎ次正方行列です。

一方,余因子行列の性質から,Ｂ(λＥ－Ａ)＝|λＥ－Ａ|Ｅです。

この恒等式は,φ(λ)＝|λＥ－Ａ|＝α₀＋α₁λ＋..＋α_nλⁿと書けば,(Ｂ⁽⁰⁾＋Ｂ⁽¹⁾λ＋..＋Ｂ^(n-1)λ^n-1)(λＥ－Ａ)＝(α₀＋α₁λ＋..＋α_nλⁿ)Ｅなる等式の成立を意味します。

両辺のλの係数を比較すると,－Ｂ⁽⁰⁾Ａ＝α₀Ｅ,－Ｂ⁽¹⁾Ａ＋Ｂ⁽⁰⁾＝α₁Ｅ,－Ｂ⁽²⁾Ａ＋Ｂ⁽¹⁾＝α₂Ｅ,..,－Ｂ^(n-1)Ａ＋Ｂ^(n-2)＝α_n-1Ｅ,－Ｂ^(n-1)Ａ＝α_nＥです。

これら(ｎ＋1)個の等式の両辺に,順にＥ,Ａ,Ａ²,..,Ａ^n-1,Ａⁿを右から掛けて辺々加えると,左辺は相殺されてＯとなり,右辺はα₀Ｅ＋α₁Ａ＋..＋α_nＡⁿ＝φ(Ａ)となります。(証明終わり)

　今日はここまでにします。

参考文献:ア・イ・マリツェフ著(柴岡康光 訳)「線型代数学」(東京図書？)　(← これは,元々30年くらい前に既にボロボロの状態の古書で入手したのですが,今,探してみたけど,もはやどこに行ったか？手元にないみたいです。)

2011年元旦!!新年ですね。

　明けおめ,ことよろ。。。

　丁度あと１ヶ月で61歳の誕生日だ。。

　昨晩は夜10時から,金もないのにキレイドコロのお店で２年越しで酒を飲み,初詣にも行かず夜中の１時半頃に帰宅してすぐ寝て朝６時頃さわやかに目覚めました。

　年始からこれでは今年も思いやられます。目の前にお店でおみやげにもらったみかんがあったので食べてます。

PS：２本のうち１本が切れた蛍光管の交換にもう数時間も苦労しています。平衡感覚おかしくて右足簡易脚立,左足ベッド上でつかむところはシーリングから下がってる蛍光灯だけなので,バランスをくずして１回転倒しました。

　１回うまくいって点灯しかかってから,未だ２度と点灯していません。何度も片腕ごとに疲れて休憩をとっています。

　前回引越し時に窓のカーテンのフックをかけるだけなのに数日もかかったり,と若く健康なときには5～10分でできていた大したこともない日常事が全然できないのは,はがゆいですね。

　私にできることは,本当にマウスやキーボードでできるようなデスクワークだけみたいですね。

　私の見掛けや日ごろの言動から,実は元気そのもので芝居でもしてる"ナンチャッテ障害者"なんじゃ？と思われるような傾向がありますが,こうした恐らく友人知己には見せないだろうミジメな姿を見れば,思い直すカモしれない。

　とか思ったりして。。。。

　デモ,私は全然かわゆくないから,金でも払わないと物理的な手助けは得られそうもないですね。

　友人知己には見せないってカッコイイこと書いてますが,実は以前もしばしば助けてくれって言っています。しかし,"大袈裟だな。たかがそんなことくらいでワザワザ家まで行かないよ,そんな簡単なコト,ゆっくり自分でヤレばいいじゃん"って軽い感じで覚えてさえいないでしょうね

　しかし,手前ミソですが,高齢者の介護でもそうですが,お風呂で背中が洗えないとか普通は何でもないと思えることに手助けが必要なんですよネ。

　ちくしょう。むずかしいことはできてもやさしいことはできない。

PS2:：１月２日13時半です。一夜明けてまだ蛍光管がうまく入らなくてイライラします。こんな簡単なことができないなんて。。。

　管は片方あればそこそこ明るいし,読書などで暗いと感じたら蛍光灯スタンドもありますから,別段慌てるほどのことはないです。

　それに正月だし面倒なことは後回しにして休み休みやってるのですが,ベッドそばの簡易脚立は普段はお盆を乗せて食事テーブルの代用にしたりしているので片付かなくてね。

　この際ですから,もう５千円も余裕があれば旧居では使用していた丸型の省エネでリモコンも付いていて何年も管など交換不要のはるかに明るい灯りを買って販売店に設置してもらうのですが。。。

　(↑飲み屋に行かなきゃ可能だろ？　まったくぅ)

　↓約１年前の還暦２ヶ月前の自分の写真をチョッと公開

　(実はツーショットなのにカッコをつけて下からのアングルでハゲ頭を隠し,不機嫌顔をつくってるようだ。着ている服も貧乏たらしくて不潔っぽい。。)