線型代数のエッセンス(10)(ユニタリ空間-1)

　線型代数のエッセンスの続きです。§4.ユニタリ空間に入ります。

そろそろ別テーマの科学記事も書きたいと思っていますが,これまでの経験から途中で複数のシリ－ズなどを同時進行すると一方に興味が移って半永久的に中断する可能性があるので,もう少しこのテーマだけを続けようと思います。

今日は,午後に事務的というかボランティア的用事をするためにお休みを取っています。

今,通っているところは無償のボランティアの種がいっぱいある宝の山なので,もしも私が最後の死に場所を探すならもってこいですね。

(イヤ,積極的にやるなら例えば今ならニュージーランドまで行って活動するとかもあるけれど,恐らく今の私ではお荷物になるだけです。

消極的ですが現在可能なことを精一杯やるだけです。

とはいっても,張り切ってヤルぞーとひとりよがりにテンパッテるツモリはありませんが。。何なんだ？？

なさけは他人のためでなく自分のためなんです。。。)

§4.ユニタリ空間

[定義4-1](ユニタリ内積,ユニタリ空間):線型空間Ｌの２つの元ａ,ｂに対して以下の性質を持つ演算(combination)(ａ,ｂ)を定義する。

　(ａ,ｂ)は,(Ｌ×Ｌ) → Ｃの写像で(ａ,ｂ)∈Ｃである。

(ⅰ)(ｂ,ａ)＝(ａ,ｂ)^*,(ⅱ)(αａ,ｂ)＝α(ａ,ｂ),(ⅲ)(ａ＋ｂ,ｃ)＝(ａ,ｃ)＋(ｂ,ｃ),(ⅳ)(ａ,ａ)は非負の実数,

(ⅴ)(ａ,ａ)＝0 ⇔ ａ＝0

　ただし,α∈Ｃ,ａ,ｂ,ｃ∈Ｌである。

　複素数λ∈Ｃに対して,λ^*はλの複素共役(complex conjugate)を意味する。

　この演算(ａ,ｂ)をａとｂのスカラー積,またはユニタリ内積(unitary inner-product)といい,ユニタリ内積が定義された線型空間Ｌを(複素)ユニタリ空間(unitary space)と呼ぶ。

特に,(ａ,ｂ)が常に実数(real)でαも実数の場合には,Ｌを実ユニタリ空間と呼ぶ。

[定理4-2](ユニタリ内積の性質Ⅰ):ユニタリ空間Ｌの元ａ,ｂ,ｃとα,β∈Ｃに対して次の性質が成り立つ。

1.(αａ,βｂ)＝αβ^*(ａ,ｂ),2.(ａ,ｂ＋ｃ)＝(ａ,ｂ)＋(ａ,ｃ),

3.(ａ,0)＝(0,ａ)＝0

(↑自明なので証明略)

[定義4-3]:Ｌをユニタリ空間とするとき,∀ａ∈Ｌに対し(ａ,ａ)^1/2をベクトルａの長さ(length),またはノルム(norm)と呼び,記号|ａ|で表わす。

[定理4-4](ユニタリ内積の性質Ⅱ):ユニタリ空間Ｌの元ａ,ｂ,ｃとα,β∈Ｃに対して次の性質が成り立つ。

1. |0|＝0  2.｜αａ｜＝|α||ａ|:|α|はαの絶対値:(αα^*)^1/2

(↑自明)

[定理4-5](Schwartzの不等式):ユニタリ空間Ｌの任意の２つのベクトルａ,ｂに対して|(ａ,ｂ)|≦|ａ||ｂ|が成立する。この不等式をSchwartzの不等式という。

(証明) ユニタリ内積の定義から∀λ∈Ｃに対して(ａ－λｂ,ａ－λｂ)≧0 です。それ故,(ａ,ａ)－λ^*(ａ,ｂ)－λ(ａ,ｂ)^*＋λλ^*(ｂ,ｂ)≧0 です。

　ｂ≠0 の場合,特にλ≡(ａ,ｂ)^*/(ｂ,ｂ)とおけばλ^*≡(ａ,ｂ)/(ｂ,ｂ)です。

　これを上式に代入すると|ａ|²－|(ａ,ｂ)|²/|ｂ|²≧0,すなわち,|(ａ,ｂ)|²≦|ａ|²|ｂ|²,つまり|(ａ,ｂ)|≦|ａ||ｂ|を得ます。

　また,ｂ＝0 の場合には明らかに|(ａ,ｂ)|＝|ａ||ｂ|＝0 です。

　そして,もしもａとｂが１次独立なら,∀λ∈Ｃに対してａ－λｂ≠0 より(ａ－λｂ,ａ－λｂ)＞0 ですから不等号が成立して|(ａ,ｂ)|＜|ａ||ｂ|となります。

一方,ａとｂが１次従属で,ある複素数αに対してａ＝αｂと書けるなら,|(ａ,ｂ)|＝|α||(ｂ,ｂ)|＝|ａ||ｂ|となって等号が成立します。(証明終わり)

[定理4-5の系]:ユニタリ空間Ｌの任意の２つのベクトルａ,ｂに対して不等式:|ａ＋ｂ|≦|ａ|＋|ｂ|が成立する。

(証明)|ａ＋ｂ|²＝(ａ＋ｂ,ａ＋ｂ)＝(ａ,ａ)＋(ａ,ｂ)＋(ａ,ｂ)^*＋(ｂ,ｂ)＝|ａ|²＋2Re(ａ,ｂ)＋|ｂ|²ですが,Schwartzの不等式よりRe(ａ,ｂ)≦|(ａ,ｂ)|≦|ａ||ｂ|なので|ａ＋ｂ|²≦|ａ|²＋2|ａ||ｂ|＋|ｂ|²＝(|ａ|＋|ｂ|)²が成立します。

(証明終わり)

[定義4-6]:ユニタリ空間Ｌの任意の２つのベクトルａ,ｂに対して|ａ－ｂ|をａとｂの間の距離(distance or metric)といい記号ρ(ａ,ｂ)で表わす。ρ(ａ,ｂ)≡|ａ－ｂ|である。

[定理4-7](距離の性質):ユニタリ空間Ｌの任意のベクトルａ,ｂ,ｃに対して次の性質が成り立つ。

1.ρ(ｂ,ａ)＝ρ(ａ,ｂ),および,2.ρ(ａ,ｂ)＋(ｂ,ｃ)≧ρ(ａ,ｃ)(三角不等式)

↑この定理はユニタリ内積,ノルムの性質を距離によって置き換えたに過ぎないので証明は省略します。

[定義4-8]:ユニタリ空間Ｌのベクトルａ,ｂに対して(ａ,ｂ)＝0 が成立するとき,ａとｂは直交する(orthogonal)という。

[定理4-9]:ベクトル 0 は∀ａ∈Ｌと直交する。また,逆に∀ａ∈Ｌと直交するＬのベクトルは 0 のみである。

(証明)定理の前半は明らかです。そして後半もほぼ自明です。

つまり,"∃ｂ∈Ｌ:(ａ,ｂ)＝0 for ∀ａ∈Ｌ"と仮定すれば,(ａ,ｂ)＝0 にａ＝ｂを代入すると(ｂ,ｂ)＝0 となるため,ユニタリ内積の定義:[定義4-1]の(ⅴ)によりｂ＝0 を得ます。(証明終わり)

[定義4-10](直交系):ユニタリ空間Ｌのベクトルの集合:{ａ₁,ａ₂,..,ａ_m}において,異なる全てのｊ,ｋ(ｊ,ｋ＝1,2,..,ｍ)に対し(ａ_j,ａ_k)＝0 が成立するとき,このベクトル系:ａ₁,ａ₂,..,ａ_mをユニタリ空間Ｌの直交系という。

[定理4-11]:ユニタリ空間Ｌのゼロ(零:0)でないベクトルが作る任意の直交系の元は全て１次独立である。

(証明)ａ₁,ａ₂,..,ａ_mをユニタリ空間Ｌのゼロでないベクトルが作る直交系とし,１次関係式:α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_mａ_m＝0 (α₁,α₂,..,α_m∈Ｃ)を仮定します。

ｊ＝1,2,..,ｍの各々のｊについて,ａ_jと上式の両辺との内積を取れば,(ａ_j,α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_mａ_m＝0 (ｊ＝1,2,..,ｍ)です。

そして,ｋ≠ｊのａ_kとの直交性:(ａ_j,ａ_k)＝0を用いると,結局α_j(ａ_j,ａ_j)＝0 (ｊ＝1,2,..,ｍ)となりますが,ａ_jがゼロでないという仮定から(ａ_j,ａ_j)≠0 です。

したがって,α_j＝0 (ｊ＝1,2,..,ｍ)を得ます。(証明終わり)

[定義4-12](直交基):ユニタリ空間Ｌの次元がｎのとき,ｎ個のゼロでないベクトルのつくる直交系が存在すれば,これはＬの基底となる。この直交系をＬの直交基(orthogonal basis)と呼ぶ。

[定理4-13]:任意のユニタリ空間Ｌにおいてゼロでないベクトルのつくる任意の直交系は,これに適当なベクトルを補足して空間Ｌにおける直交基となるようにできる。

　この定理の証明のため,次の補題(Schmidtの直交化法)を示します。

[補題]:(Schmidtの直交化法)

　まず,ａ₁≠0 なるベクトルａ₁∈Ｌを適当に選びます。

このとき,(ｂ,ａ₁)≠0 を満たすｂ∈Ｌが存在すればｂを用いてベクトルａ₂∈Ｌをａ₂≡ｂ－{(ｂ,ａ₁)/(ａ₁,ａ₁)}ａ₁で定義します。

すると,明らかに(ａ₂,ａ₁)＝0 です。

しかし,もしもｂがａ₁に従属,つまり適当な複素数αに対してｂ＝αａ₁と書けるならａ₂＝αａ₁－{(αａ₁,ａ₁)/(ａ₁,ａ₁)}ａ₁＝0となってａ₂が零ベクトルになってしまいます。

そこで,ｂとしてはａ₁に独立:ａ₁に平行でないものを選びます。

こうすると,ａ₂≠0 であり,かつ(ａ₂,ａ₁)＝0 ですから,[定理4-11]によってａ₁とａ₂は１次独立です。

　次に,ａ₁,ａ₂に独立で(ｃ,ａ₁)≠0,(ｃ,ａ₂)≠0 を満たすｃ∈Ｌが存在すれば,ｃを用いてベクトルａ₃∈Ｌを,ａ₃≡ｃ－{(ｃ,ａ₁)/(ａ₁,ａ₁)}ａ₁－{(ｃ,ａ₂)/(ａ₂,ａ₂)}ａ₂によって定義します。

　こう定義すると(ａ₃,ａ₁)＝0,(ａ₃,ａ₂)＝0 です。こうして３個のベクトルから成る直交系:ａ₁,ａ₂,ａ₃が得られました。

この方法(Schmidtの直交化法)を繰り返して,さらにａ₄,ａ₅,..,ａ_mと定義してゆき,これ以上はａ₁,ａ₂,..,ａ_mに独立でどれとも直交しないゼロでないＬのベクトルが存在し得ないなら,系:ａ₁,ａ₂,..,ａ_mをＬの極大直交系と呼びます。

Ｌが有限次元ならこの方法による1次独立なベクトルの創生には限りがありますから,極大直交系が存在することは明らかです。

(定理4-13の証明)ｎ次元ユニタリ空間Ｌにおいて直交系ａ₁,ａ₂,..,ａ_mが与えられているとします。

　これにＬのゼロでないベクトルａ_m+1,..,ａ_sを適当に補足してａ₁,ａ₂,..,ａ_sがＬの極大直交系となるようにします。

そして,∀ｘ∈Ｌに対してξ_k≡(ｘ,ａ_k)/(ａ_k,ａ_k)(ｋ＝1,2,..,s)とおいてベクトルｙ≡ξ₁ａ₁＋ξ₂ａ₂＋..＋ξ_sａ_sをつくります。

このとき,(ｙ,ａ_k)＝ξ_k(ａ_k,ａ_k)＝(ｘ,ａ_k),つまり(ｘ－ｙ,ａ_k)＝0 (ｋ＝1,2,..,ｓ)が得られます。

故に,ａ₁,ａ₂,..,ａ_sが極大直交系であるという仮定により,ｘ－ｙ＝0,すなわちｘ＝ｙです。

　したがって,∀ｘ∈Ｌはｘ＝ξ₁ａ₁＋ξ₂ａ₂＋..＋ξ_sａ_s (ξ_k≡(ｘ,ａ_k)/(ａ_k,ａ_k)(ｋ＝1,2,..,s)と常にａ₁,ａ₂,..,ａ_sの１次結合で表わされるので,ａ₁,ａ₂,..,ａ_sはＬの基底であり,それ故ｓ＝ｎであってＬの直交基をなします。(証明終わり)

[定義4-14](正規直交系):ユニタリ空間Ｌの単位長さ(ノルムが１)のベクトルのみからなる直交系を正規直交系(orthonormal system)という。

　特にＬの基底(base)をなす正規直交系を正規直交基(orthonormal basis)と呼ぶ。

[定理4-15]:ユニタリ空間Ｌの任意の正規直交系は,これに適当なベクトルを補足して空間Ｌにおける正規直交基となるようにできる。

　これの証明は[定理4-13]で用いたSchmidtの直交化法:ａ₂≡ｂ－{(ｂ,ａ₁)/(ａ₁,ａ₁)}ａ₁,ａ₃≡ｃ－{(ｃ,ａ₁)/(ａ₁,ａ₁)}ａ₁－{(ｃ,ａ₂)/(ａ₂,ａ₂)}ａ₂..で,途中にノルムを１に正規化する手続きを挿入して変更するだけでいいので割愛します。

　すなわち,ａ₂'≡ｂ－{(ｂ,ａ₁)/(ａ₁,ａ₁)}ａ₁,ａ₂≡ａ₂'/|ａ₂'|,ａ₃'≡ｃ－{(ｃ,ａ₁)/(ａ₁,ａ₁)}ａ₁－{(ｃ,ａ₂)/(ａ₂,ａ₂)}ａ₂,ａ₃≡ａ₃'/|ａ₃'|,..とすれば証明できます。

[定理4-15の系]:有限次元ユニタリ空間には必ず正規直交基が存在する。(証明略)

[定義4-16](座標系):ユニタリ空間Ｌのベクトル系ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nがＬの基底をなすとき,一定の順序を着けた系:(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)をＬの座標系(coordinate system)という。

ａ∈Ｌに対してａ＝α₁ｅ₁＋α₂ｅ₂＋..＋α_nｅ_nを与える数の組(α₁,α₂,..,α_n)をａの座標(coordinate)といい,α_jをａの座標成分(component)という。

特に,ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nがＬの正規直交基であるとき,座標系(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)をＬの正規直交座標系(orthonormal coordinetes)という。この場合,(ｅ_i,ｅ_j)＝δ_ijである。

[定理4-17]:(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)をユニタリ空間Ｌの正規直交座標系とするとａ∈Ｌの座標は(ａ,ｅ₁),(ａ,ｅ₂),..,(ａ,ｅ_n)に等しい。

(証明)ａ＝α₁ｅ₁＋α₂ｅ₂＋..＋α_nｅ_nとすると(ｅ_i,ｅ_j)＝δ_ijより(ａ,ｅ_j)＝α_j,(ｊ＝1,2,..,ｎ)です。(証明終わり)

[定理4-18]:(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)をユニタリ空間Ｌの正規直交座標系としａ,ｂ∈Ｌがａ＝Σ_j=1ⁿα_jｅ_j,ｂ＝Σ_j=1ⁿβ_jｅ_jと表わされるとき(ａ,ｂ)＝Σ_j=1ⁿα_jβ_j^*である。

(↑自明)

[定理4-19](Besselの不等式):ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_m(ｍ≦ｎ)をｎ次元ユニタリ空間Ｌの任意の正規直交系としａ∈Ｌに対してα_k＝(ａ,ｅ_k)(ｋ＝1,2,..,ｍ)とおけば,Besselの不等式:|ａ|²＝(ａ,ａ)≧Σ_j=1^mα_jα_j^*＝|α₁|²＋|α₂|²＋..|α_m|²が成立する。

(証明)ｘ≡α₁ｅ₁＋α₂ｅ₂＋..＋α_mｅ_mと置けば,0≦(ａ－ｘ,ａ－ｘ)＝(ａ,ａ)－(ｘ,ａ)－(ａ,ｘ)＋(ｘ,ｘ)です。

そして,(ｘ,ｘ)＝(Σ_j=1^mα_jｅ_j,Σ_k=1^mα_kｅ_k)＝Σ_j=1^mα_jα_j^*,(ａ,ｘ)＝(ａ,Σ_j=1^mα_jｅ_j)＝Σ_j=1^mα_j^*(ａ,ｅ_j)＝Σ_j=1^mα_jα_j^*,(ｘ,ａ)＝(Σ_j=1^mα_jｅ_j,ａ)＝Σ_j=1^mα_j(ｅ_j,ａ)＝Σ_j=1^mα_jα_j^*です。

故に,0≦(ａ－ｘ,ａ－ｘ)＝(ａ,ａ)－Σ_j=1^mα_jα_j^*を得ます。

したがって,|ａ|²＝(ａ,ａ)≧Σ_j=1^mα_jα_j^*＝|α₁|²＋|α₂|²＋..|α_m|²です。(証明終わり)

[定理4-19の系](Parsevalの等式):ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nがユニタリ空間Ｌの正規直交基ならａ∈Ｌに対してα_k＝(ａ,ｅ_k)(ｋ＝1,2,..,ｎ)とおけば, Parsevalの等式:|ａ|²＝(ａ,ａ)＝Σ_j=1ⁿα_jα_j^*＝|α₁|²＋|α₂|²＋..|α_n|²が成立する。(自明)

[定理4-20]:ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nをユニタリ空間Ｌの正規直交系とする。

任意のａ∈Ｌに対しα_k＝(ａ,ｅ_k)(ｋ＝1,2,..,ｎ)とするとき,|ａ|²＝(ａ,ａ)＝Σ_j=1ⁿα_jα_j^*＝|α₁|²＋|α₂|²＋..|α_n|²が成立するならｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nはＬの基底をなす。

(証明)ｘ≡α₁ｅ₁＋α₂ｅ₂＋..＋α_nｅ_nと置けば(ａ－ｘ,ａ－ｘ)＝(ａ,ａ)－Σ_j=1ⁿα_jα_j^* ですから(ａ,ａ)＝Σ_j=1ⁿα_jα_j^*なら(ａ－ｘ,ａ－ｘ)＝0 です。

したがって,ａ－ｘ＝0,つまりａ＝ｘ＝α₁ｅ₁＋α₂ｅ₂＋..＋α_nｅ_nとが成立しますが,ａ∈Ｌは任意なのでｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nは空間Ｌの基底をなすことがわかります。(証明終わり)

今日はここまでにします。

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光訳)「線型代数学」(東京図書)

PS:無償のボランテイアなどといいながら,昨日は３/８の修了式を含めあと３回(３週)の手話講習会が終わって椎名町から池袋まで４人の女性と５人で帰り,最後に池袋駅で若い看護士さんとツーショットになったので飲みに誘いました。

　ＯＫだったのですが,つい自分好みの飲み屋と嗜好が違ったのでまた次の機会と述べて別れてしまいました。次があるかどうかもわからないのにどこでも良かったですね。

　たまたま,女性に１軒おごるくらいの金はあったのですが,やはりフーテンの寅さんモドキですかね。。