線型代数のエッセンス(11)(ユニタリ空間-2)

　線型代数のエッセンスの§4.ユニタリ空間の続きです。

[定義4-21](同型写像):２つのユニタリ空間ＬとＬ₁が線型空間として同型であり,その同型写像において,"スカラー積＝ユニタリ内積"が保存されるとき,ユニタリ空間ＬとＬ₁は同型であるという。

[定理4-22]:２つのユニタリ空間ＬとＬ₁が同型 ⇔ dimＬ＝dimＬ₁

(証明)十分性(ＬとＬ₁が同型ならdimＬ＝dimＬ₁)は明らかです。.

必要性を示すため,dimＬ＝dimＬ₁＝ｎと仮定します。

そしてＬ,およびＬ₁の正規直交座標系をそれぞれ(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n),および(ｅ'₁,ｅ'₂,..,ｅ'_n)と選びます。

ａ∈Ｌとａ'∈Ｌ₁は,ここで選んだ座標系に対して座標が同一であるとき,ａとａ'が対応するということにします。

このとき,この対応は１対１であって,加法と乗法(スカラー倍)が保存されることは既に示しました。

また,Ｌの任意の２つのベクトルをａ＝α₁ｅ₁＋α₂ｅ₂＋..＋α_nｅ_n,ｂ＝β₁ｅ₁＋β₂ｅ₂＋..＋β_nｅ_nとすると,これらに対応するＬ₁のベクトルはａ'＝α₁ｅ'₁＋α₂ｅ'₂＋..＋α_nｅ'_n,ｂ'＝β₁ｅ'₁＋β₂ｅ'₂＋..＋β_nｅ'_nです。

このとき,明らかに(ａ,ｂ)＝Σ_j=1ⁿα_jβ_j^*＝(ａ',ｂ')が成立しますから,ユニタリ内積も保存されることがわかります。(証明終わり)

[定義4-23](集合の直交性):ユニタリ空間の集合ＭとＮにおいて,∀ａ∈Ｍと∀ｂ∈Ｎが直交する:(ａ,ｂ)＝0 のとき,ＭとＮは直交するといいＭ⊥Ｎと書く。

　また,あるａ∈Ｌが∀ｘ∈Ｍと直交する:"(ａ,ｘ)＝0 for ∀ｘ∈Ｍ "のとき,ａとＭは直交するといいａ⊥Ｍと書く

[定理4-24]:Ｍ⊥ＮならＭ∩Ｎ＝{0}である。

(証明)ａ∈Ｍ∩Ｎなら(ａ,ａ)＝0 なのでａ＝0 です。(証明終わり)

[定義4-25]:ユニタリ空間Ｌの線型部分空間の和:Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_s＝{ａ₁＋ａ₂＋..＋ａ_s∈Ｌ|ａ₁∈Ａ₁,ａ₂∈Ａ₂,..,ａ_s∈Ａ_s}において,Ａ_j⊥Ａ_k(ｊ≠ｋ)なら,この和を直交和(orthogonal sum)という。

[定理4-26]:ユニタリ空間の部分空間の直交和は常に直和である。

(証明)Ａ≡Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_sとし直交和であるとします。

　そして,ａ＝ａ₁＋ａ₂＋..＋ａ_s＝0;ａ₁∈Ａ₁,ａ₂∈Ａ₂,..,ａ_s∈Ａ_sとします。

　両辺にａ_jを掛けてユニタリ内積をとると,(ａ_j,ａ_j)＝0 となるためａ_j＝0 (ｊ＝1,2,..,ｓ)です。

　したがって,Ａ_j∩Ａ_k＝{0}(ｊ≠ｋ)ですからＡ＝Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_sが直和(direct sum)であることがわかります。(証明終わり)

[定理4-26]:ユニタリ空間の部分空間Ａ＝Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_sが直交和でａ＝ａ₁＋ａ₂＋..＋ａ_s;ａ₁∈Ａ₁,ａ₂∈Ａ₂,..,ａ_s∈Ａ_s,かつｂ＝ｂ₁＋ｂ₂＋..＋ｂ_s＝0;ｂ₁∈Ａ₁,ｂ₂∈Ａ₂,..,ｂ_s∈Ａ_sなら,(ａ,ｂ)＝(ａ₁,ｂ₁)＋(ａ₂,ｂ₂)＋..＋(ａ_s,ｂ_s)である。

(↑自明なので証明略)

[定義4-27]:ユニタリ空間Ｌの空でない部分集合Ｍと直交するベクトルの全体をＭの直交補空間(orthogonal complement)といいＭ^⊥で表わす。Ｍ^⊥≡{ａ∈Ｌ|ａ⊥Ｍ }である。

[定理4-28]:ユニタリ空間Ｌの任意の空でない線型部分空間Ｍの直交補空間Ｍ^⊥はＬの線型部分空間である。

(証明)ａ,ｂ∈Ｍ^⊥,α,β∈Ｃに対し(αａ＋βｂ,ｃ)＝α(ａ,ｃ)＋β(ｂ,ｃ)＝0 よりαａ＋βｂ∈Ｍ^⊥ですから,Ｍ^⊥はＬの線型部分空間です。(証明終わり)

[定理4-29]:ユニタリ空間Ｌはその任意の部分空間Ａとその直交補空間Ａ^⊥の直和としてＬ＝Ａ＋Ａ^⊥と表わせる。

(証明)ｎ＝dimＬ,ｍ＝dimＡ,ｓ＝dim(Ａ＋Ａ^⊥としてＡの正規直交基をｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_m,Ａ^⊥の正規直交基をｅ_m+1,ｅ_m+2,..,ｅ_sとします。

系ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_m,ｅ_m+1,ｅ_m+2,..,ｅ_sがＬの基底ではないと仮定すると,(ｅ,ｅ)＝1,(ｅ,ｅ_j)＝0 (ｊ＝1,2,..,ｓ)を満たすｅ∈Ｌが存在します。

このｅは明らかにＡ^⊥に直交しますから,ｅ∈Ａ^⊥であり,しかもゼロではないのでｅ_m+1,ｅ_m+2,..,ｅの全てと直交することは不可能ですから,矛盾を生じます。

よって,系ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_m,ｅ_m+1,ｅ_m+2,..,ｅ_sはＬの基底であり,ｓ＝ｎでＬ＝Ａ＋Ａ^⊥です。(証明終わり)

(別証明)Ａの正規直交基をｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_mとするとき,任意のａ∈Ｌに対してａ’≡ａ－{(ａ,ｅ₁)ｅ₁＋(ａ,ｅ₂)ｅ₂＋..＋(ａ,ｅ_m)ｅ_m}と置けば,任意のｂ∈Ａについて(ａ',ｂ)＝(ａ,ｂ)－{(ａ,ｅ₁)(ｂ,ｅ₁)＋(ａ,ｅ₂)(ｂ,ｅ₂)＋..＋(ａ,ｅ_m)(ｂ,ｅ_m)}＝0 です。

　何故なら,ｂ＝(ｂ,ｅ₁)ｅ₁＋(ｂ,ｅ₂)ｅ₂＋..＋(ｂ,ｅ_m)ｅ_mなので(ａ,ｂ)＝(ａ,ｅ₁)(ｂ,ｅ₁)＋(ａ,ｅ₂)(ｂ,ｅ₂)＋..＋(ａ,ｅ_m)(ｂ,ｅ_m)であるからです。

故に,ａ'∈Ａ^⊥であり∀ａ∈Ｌが常にａ＝(ａ－ａ')＋ａ';ａ－ａ'∈Ａ,ａ'∈Ａ^⊥の形に書けるのでＬ＝Ａ＋Ａ^⊥です。(証明終わり)

[定理4-29の系]:(Ａ^⊥)^⊥＝Ａである。(←自明)

[定義4-30]:ユニタリ空間Ｌがその部分空間Ａと直交補空間Ａ^⊥の直和としてＬ＝Ａ＋Ａ^⊥と表わされるとする。

∀ｘ∈Ｌはｘ＝ａ＋ｂ;ａ∈Ａ,ｂ∈Ａ^⊥と一意的に分解されるが,このａをｘのＡへの射影(projection),ｂをｘのＡ^⊥への射影という。

ｘ＝ａ＋ｂ;ａ∈Ａ,ｂ∈Ａ^⊥のときａ＝Ｐr_Ａ^ｘ,ｂ＝Ｐr_Ａ⊥^ｘと表わす。Ｐr_Ａ^(またはＰr_Ａ⊥^)を射影変換,または作用素として射影演算子(projection operator)という。

[定理4-31]:Ｐr_Ａ^はＬにおける１次変換であり,Ｐr_Ａ^Ｌ＝Ａである。特にＰr_L^＝Ｅ^(恒等変換)である。 (←自明)

[定理4-31の系]:ユニタリ空間の２つのベクトルの和の部分空間への射影はそれぞれの射影の和に等しく,ベクトルと数の積の射影はベクトルの射影と数の積に等しい。

すなわち,Ｌ＝Ａ＋Ａ^⊥のとき,∀ｘ,ｙ∈Ｌ,∀α∈Ｃに対してＰr_Ａ^(ｘ＋ｙ)＝Ｐr_Ａ^ｘ＋Ｐr_Ａ^ｙ,Ｐr_Ａ^(αｘ)＝αＰr_Ａ^ｘである。

(↑自明)

短かいですが今日はここまでにします。 

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光訳)「線型代数学」(東京図書)

PS:エリカ様,ちょっとイメージ変わったかな？変わらなくていいのに,様がとれたらツマンナイ。。。

　京大の入試,私も現役,浪人と理学部を２回受けて２回とも落ちたのでちょっと懐かしいですネ。

　安田講堂事件で東大入試中止の年の２回目(1969年３月)は,京大も封鎖中だったので受験会場は京都工繊大でしたが,現役(1968年３月)のときは学部は覚えてないけど確か京大構内で試験を受けました。

　私も数学の試験でカンニング,といっても机の右端に座っててそれとなく右隣の離れた席の解答が見えたので１問だけ答合わせをして,ほぼ同じだったので安心した,という記憶があります。

　当時は,今と違ってまだ両目とも視力が2.0でしたからね。(母子家庭で貧乏だったので私立は受けてません。。)