線型代数のエッセンス(9)(１次変換(補遺))

　線型代数のエッセンスの§3.１次変換の残りです。

[定義3-47](固有多項式):線型空間Ｌのある１次変換Ａ^について適当な座標系を取ればＡ^の行列Ａが作られる。この行列Ａの固有多項式:φ(λ)＝|λＥ－Ａ|を変換Ａ^の固有多項式(characteristic polynomial)という。

※座標系を変えてもＡは変換行列Ｔにより相似な行列Ａ₁＝ＴＡＴ^-1に変わるだけなのでφ(λ)は座標系の選び方には依りません。すなわち,|λＥ－Ａ₁|＝|λＥ－ＴＡＴ^-1|＝|Ｔ(λＥ－Ａ)Ｔ^-1|＝|λＥ－Ａ|＝φ(λ)です。※

[定理3-48]:線型空間Ｌの１次変換Ａ^の固有多項式の次数はＡ^の作用する空間Ｌの次元に等しい。

(証明)固有多項式φ(λ)＝|λＥ－Ａ|の次数は正方行列(λＥ－Ａ)の次数,すなわち正方行列Ａの次数に等しくこれは空間Ｌの次元に等しいのは明らかです。(証明終わり)

[定理3-49]:線型空間Ｌがその上の１次変換Ａ^に関して不変な部分空間の直和に分解されるならば,Ａ^の固有多項式は誘導される変換Ａ₁^,Ａ₂^の固有多項式の積に等しい。

(証明)Ａ＝Ａ₁＋Ａ₂によりλＥ－Ａ＝(λＥ₁－Ａ₁)＋(λＥ₂－Ａ₂)ですから|λＥ－Ａ|＝|λＥ₁－Ａ₁||λＥ₂－Ａ₂|です。(証明終わり)

[定理3-50]:線型空間Ｌの各１次変換Ａ^はその固有多項式の根である。すなわち,λの多項式:φ(λ)＝|λＥ－Ａ|に形式的にλ＝Ａ＾を代入すると,作用素の恒等式としてφ(Ａ^)＝Ｏ＾が成立する。

(証明)φ(λ)＝|λＥ－Ａ|＝α₀＋α₁λ＋..＋α_nλⁿと多項式を陽に表わすと「線型代数のエッセンス(1)(行列)」で証明した「Hamilton-Cayleyの定理」より,行列の恒等式としてφ(Ａ)＝α₀＋α₁Ａ＋..＋α_nＡⁿ＝Ｏが成立することがわかっています。

　したがって,Ａ→Ａ^の同型対応によりφ(Ａ^)＝α₀＋α₁Ａ^＋..＋α_nＡ^ⁿ＝Ｏ^が得られます。(証明終わり)

※(注):φ(Ａ^)＝α₀＋α₁Ａ^＋..＋α_nＡ^ⁿ＝Ｏ^というのは∀ｘ∈Ｌに対してφ(Ａ^)ｘ＝0が成立することを意味します。(注終わり)※

[定義3-51](最小多項式):線型空間Ｌの１次変換Ａ^を根とする最高次係数が１の多項式で次数が最小のものをＡ^の最小多項式(minimal polynomial)という。

[定理3-52]:線型空間Ｌの１次変換Ａ^の最小多項式はＡ^の行列Ａの最小多項式に等しい。

(↑自明)

[定義3-53](固有値,固有ベクトル):線型空間Ｌの１次変換Ａ^に対して数ζ∈Ｃと零でないベクトルａ∈Ｌが存在してＡ^ａ＝ζａが成立するときζをＡ^の固有値(eigenvalue),ａをＡ^のζに属する固有ベクトル(eigenvector)という。

[定理3-54]:線型空間Ｌの１次変換Ａ^の１つの固有ベクトルだけによって張られるＬの１次元部分空間はＬの１つの不変部分空間である。(←自明)

[定理3-55]:線型空間Ｌの１次変換Ａ^の固有値ζは全てその固有多項式φ(λ)＝|λＥ－Ａ|の根である。逆にζがＡ^の固有多項式の根ならζはＡ^の固有値である。

つまり,ζが１次変換Ａ^の固有値 ⇔ φ(ζ)＝|ζＥ－Ａ|＝0である

(証明)「線型代数のエッセンス(1)(行列)」の内容の一部を再掲して証明とします。

(再掲記事): [定義1-20](固有多項式):Ａをｎ次の正方行列とするとき,ｎ次多項式;φ(λ)≡|λＥ－Ａ| or φ(λ)≡det(λＥ－Ａ)をＡの固有多項式という。そしてφ(λ)の零点,or 方程式φ(λ)＝0 の根λ₁,λ₂,..,λ_nを行列Ａの固有値という。

※(注):列ベクトルｘがＡの固有値λに属する固有ベクトルであるとは,ｘ≠0であってＡｘ＝λｘなる関係式が成立することです。そして,Ａｘ＝λｘは行列形式では(λＥ－Ａ)ｘ＝0と表現できます。

このｎ元連立１次方程式:(λＥ－Ａ)ｘ＝0 が自明な解(ｘ＝0)以外の解(ｘ≠0)を持つための必要十分条件がφ(λ)＝|λＥ－Ａ|＝0です。(注終わり※)(再掲終わり)

そしてＬの適当な座標系におけるＡ^⇔Ａ,およびａ⇔[ａ]の同型対応によりＡ^ａ＝ζａはＡａ＝ζ[ａ]に同型対応しますから定理が成立します。(証明終わり)

[定義3-56]:線型空間Ｌの１次変換Ａ^の固有値ζの固有多項式の根としての重複度を固有値ζの重複度という。

[定理3-57]:ｎ次元線型空間Ｌの１次変換Ａ^がｎ個の1次独立な固有ベクトルを持つならば,これらのベクトルを座標系に取ることによって変換Ａ^の行列Ａを対角行列形にすることができる。

逆に行列Ａがある座標系において対角行列形を取るならその基底ベクトルはのＡ~の固有ベクトルである。

(証明)Ａ^ａ_j＝λ_jａ_j(ｊ＝1,2,..,ｎ)が成立してａ₁,ａ₂,..,ａ_nが１次独立で座標系にとることができるなら,(Ａ^ａ₁,Ａ^ａ₂,..,Ａ^ａ_n)＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)Ａ,　

　　

と書くことができます。逆の成立も自明です。(証明終わり)

[定理3-58]:線型空間Ｌの１次変換Ａ^の異なる固有値に属する固有ベクトルは１次独立である。

(証明) Ａ^ａ₁＝λ₁ａ₁,Ａ^ａ₂＝λ₂ａ₂,ａ₁≠0,ａ₂≠0で,かつλ₁≠λ₂とします。このとき,ａ₁,ａ₂についての1次関係式をα₁ａ₁＋α₂ａ₂＝0 と書けばＡ^(α₁ａ₁＋α₂ａ₂)＝λ₁α₁ａ₁＋λ₂α₂ａ₂＝0が成立します。

λ₁α₁ａ₁＋λ₂α₂ａ₂＝0にα₂ａ₂＝－α₁ａ₁を代入するとα₁(λ₁－λ₂)ａ₁＝0ですがａ₁≠0,かつλ₁≠λ₂よりα₁＝0を得ます。それ故,α₂ａ₂＝0,かつａ₂≠0よりα₂＝0も得られますからａ₁とａ₂は１次独立です。(証明終わり)

[定理3-58の系]:線型空間Ｌの１次変換Ａ^の固有多項式がｎ個の相異なる根を持てばその変換の行列Ａは適当な座標系において対角行列の形である。(←自明)

短いですが,これで§3は終わりなので今日はここまでにします。

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光訳)「線型代数学」(東京図書)

PS:一般に人は,環境との関わり,特に同じ"人間＝他人"とのコミュニケーション自体にストレスを感じます。

　これは,まだ物心もつかない乳幼児でも人見知りをすることにも見られるように人に限らず犬や猫なども持つ性質であろうと思われます。

　動物,いや生き物の防衛本能に帰属するものかも知れません。

　特に,日本では私よりも老人の方によく見られる現象ですが,英語圏で"Excuse me"に相当するであろう"失礼"とか,"失礼します","すみません"etc.とかの断りも云わず(云えず),人にぶつかったりして,さらに何も云わずにサッと過ぎて行く方がおられ,時には私でさえ少しムカつくことがあります。

　私は,これを社会性がない人と呼んでいます。

　社会性がない人の典型は,女性であれば,駅で切符を買う際に混雑して行列ができているときでも自分の番が来てからゆっくりと運賃表を探しておもむろにバッグから財布を取り出しコインを探して,さらに切符を購入後もその場をドかずに財布とバッグを直すなど,後に続く他人など全く気にしないような,かつては"オバタリアン"と称された人のことです。

　まあ,昔の女性は家庭に押し込められていて社会に出て働く人は希少であったという理由で,他人を配慮することも含めた社会性が身についていないことはある程度理解できます。

　また,かつての典型的な田舎の朴訥な人柄で「モノ言えば本当に唇が寒い」という人々や,戦後の自分が生きていくのがやっとの焼け跡・闇市の時代に育って他人とのコミュニケーションではイヤなこと,イヤな人ばかりに遭遇して人間不信になったという"トラウマ"がある人たちもいるでしょう。

　でも,老人とは限らず,他人と関わりを持つ,会話をすることのフラストレーションやストレスと,他方,他人とは関係せず孤独であることの寂しさ,ストレスを比較して,後者の方が大きくい,あるいは少しのストレスやリスクはあっても他人の温もり,癒し,人肌の方がより恋しいこともありますね。

　私の場合は,ときに孤独であることも嫌いではないですが今は若い頃ほど他人とのコミュニケーションが苦にならない,というより関係を持つことにより喜びを感じるようになりました。

　当たり前のことなんですが,他人を含む環境との関わりは生老病死のストレスをもたらすだけではなくて,歓びをも与えてくれます。

　そのことを今さらながら,実感しているんですね。生きていることは悪いことばかりではないですよ。

　土曜ですがこれから出勤します。。