線型代数のエッセンス(12)(ユニタリ空間-3)

線型代数のエッセンスの§4.ユニタリ空間の続きです。

[定義4-32](汎関数):Ｌを複素数体Ｃの上の任意の有限次元線型空間とする。ｘ∈Ｌの各々にｆ(ｘ)∈Ｃを対応させる写像ｆ:Ｌ→Ｃがあるとき,このｘ→ｆ(ｘ)の対応ｆをＬの上で定義された汎関数(functional)という。

[定義4-33](線型汎関数):Ｌを複素数体Ｃの上の任意の有限次元線型空間とする。Ｌの上の汎関数ｆが∀ｘ,ｙ∈Ｌ,∀α,β∈Ｃに対しｆ(αｘ＋βｙ)＝αｆ(ｘ)＋βｆ(ｙ)を満たすとき,汎関数ｆは線型汎関数であるという。

[定義4-34](共役空間):Ｌを複素数体Ｃの上の任意の有限次元線型空間とするとき,Ｌの上の線型汎関数全体の集合Ｌ^*:すなわちＬ^*≡{ｆ|ｆはＬの上の線型汎関数}をＬの共役空間(conjugate space),または双対空間(dual space)という。

[定理4-35]:Ｌを複素数体Ｃの上の任意の有限次元線型空間とするとき,その共役空間Ｌ^*はｆ∈Ｌ^*の複素数値ｆ(ｘ)の和と積で定義される演算について線型空間をなす。

(証明) Ｌ^*の元の和とその複素数倍の積演算について以下の線形空間の公理が満たされるのは明らかです。

(ⅰ)ｆ＋ｇ＝ｇ＋ｆ (ｆ,ｇ∈Ｌ^*),(ⅱ)(ｆ＋ｇ)＋ｈ＝ｆ＋(ｇ＋ｈ) (ｆ,ｇ,ｈ∈Ｌ^*),(ⅲ)∀ｆ,ｇ∈Ｌに対してｆ＋φ＝ｇを満たすφ∈Ｌ^*が存在する。このφをｇ－ｆと書く。(ⅳ)α(βｆ)＝(αβ)ｆ (α,β∈Ｃ,ｆ∈Ｌ^*),

(ⅴ)α(ｆ＋ｇ)＝αｆ＋αｇ (α∈Ｃ,ｆ,ｇ∈Ｌ^*),(ⅵ) (α＋β)ｆ＝αｆ＋βｆ (α,β∈Ｃ,ｆ∈Ｌ^*),(ⅶ)∀ｆ∈Ｌ^*に対し1・ｆ＝ｆ

(証明終わり)

[定理4-35]:Ｌを任意の有限次元線型空間とし(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)をＬにおけるある座標系とする。Ｃの数の列α₁,α₂,..,α_nを全く任意に与えたとき,Ｌの上で定義された線型汎関数ｆ∈Ｌ^*でｆ(ｅ_j)＝α_j(ｊ＝1,2,..,ｎ)を満足するものが１つ,しかも唯１つに限って存在する。

(証明)ｘ＝ξ₁ｅ₁＋ξ₂ｅ₂＋..＋ξ_nｅ_n＝Σ_j=1ⁿξ_jｅ_jに対してｆ(ｘ)≡α₁ξ₁＋α₂ξ₂＋..＋α_nξ_n＝Σ_j=1ⁿα_jξ_jと定義すればｆ(ｅ_j)＝α_j(ｊ＝1,2,..,ｎ)です。

　さらにｙ＝η₁ｅ₁＋η₂ｅ₂＋..＋η_nｅ_n＝Σ_j=1ⁿη_jｅ_jとすれば,α,β∈Ｃに対してαｘ＋βｙ＝(αξ₁＋βη₁)ｅ₁＋(αξ₂＋βη₂)ｅ₂＋..＋(αξ_n＋βη_n)ｅ_n＝Σ_j=1ⁿ(αξ_j＋βη_j)ｅ_jです。

それ故,ｆ(αｘ＋βｙ)＝Σ_j=1ⁿα_j(αξ_j＋βη_j)＝α(Σ_j=1ⁿα_jξ_j)＋β(Σ_k=1ⁿα_kη_k)＝αｆ(ｘ)＋βｆ(ｙ)が成立します。

したがってｆはＬの線型汎関数です。

　次にｇをｇ(ｅ_j)＝α_j(ｊ＝1,2,..,ｎ)を満たすＬの上の線型汎関数とすると,ｘ＝ξ₁ｅ₁＋ξ₂ｅ₂＋..＋ξ_nｅ_n＝Σ_j=1ⁿξ_jｅ_jに対して常にｇ(ｘ)＝α₁ξ₁＋α₂ξ₂＋..＋α_nξ_n＝Σ_j=1ⁿα_jξ_j＝ｆ(ｘ)となるのでｇ＝ｆです。(証明終わり)

[定理4-36]:Ｌを有限次元ユニタリ空間とする。このとき以下の命題が成立する。

(ⅰ)ａ∈Ｌに対してｆ_a(ｘ)≡(ｘ,ａ)とするとｆ_aはＬの上の線型汎関数である。

(ⅱ)異なるａ∈Ｌには異なるｆ_aが対応する。つまりａ,ｂ∈Ｌ,ａ≠ｂならｆ_a≠ｆ_bである。

(ⅲ)Ｌの上の任意の線型汎関数ｆ∈Ｌ^*に対してｆ＝ｆ_a,つまり"ｆ(ｘ)＝(ｘ,ａ) for ∀ｘ∈Ｌ"を満たすａ∈Ｌが唯一つ存在する。

(証明)(ⅰ)自明

(ⅱ)ｆ_a＝ｆ_b:つまり"(ｘ,ａ)＝(ｘ,ｂ) for ∀ｘ∈Ｌ"なら,(ｘ,ａ－ｂ)＝0 より,(ａ－ｂ,ａ－ｂ)＝0 なのでａ＝ｂを得ます。

　よって,ａ≠ｂならｆ_a≠ｆ_bです。

(ⅲ)Ｌの正規直交基底をｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nとします。

ｆ∈Ｌ^*が任意に与えられたとき,γ_j≡ｆ(ｅ_j)^*(ｊ＝1,2,..,ｎ)によってａ≡γ₁ｅ₁＋γ₂ｅ₂＋..＋γ_nｅ_n＝Σ_j=1ⁿγ_jｅ_jとおけば,ｘ＝ξ₁ｅ₁＋ξ₂ｅ₂＋..＋ξ_nｅ_n＝Σ_j=1ⁿξ_jｅ_jに対して,(ｘ,ａ)＝γ₁^*ξ₁＋γ₂^*ξ₂＋..＋γ_n^*ξ_n＝Σ_j=1ⁿγ_j^*ξ_jです。

一方,ｆ(ｅ_j)＝γ_j^*(ｊ＝1,2,..,ｎ)ですからｘ＝ξ₁ｅ₁＋ξ₂ｅ₂＋..＋ξ_nｅ_n＝Σ_j=1ⁿξ_jｅ_jに対してｆ(ｘ)＝γ₁^*ξ₁＋γ₂^*ξ₂＋..＋γ_n^*ξ_n＝Σ_j=1ⁿγ_j^*ξ_jです。

以上からｆ(ｘ)＝(ｘ,ａ)が成立します。

これを満たすａ∈Ｌが唯一(unique)であることは,(ⅱ)によって明らかです。(証明終わり)

[定義4-37](共役変換):Ａ^をユニタリ空間Ｌの上の１次変換とする。

∀ｙ∈Ｌに対してｆ_y(ｘ)＝(Ａ^ｘ,ｙ)はｘについての線型汎関数なので,ｙ∈Ｌに対応してａ_y∈Ｌが一意的に存在しｆ_y(ｘ)＝(Ａ^ｘ,ｙ)＝(ｘ,ａ_y)が成立する。

ａ_y∈Ｌはｙ∈ＬだけでなくＡ^に対して一意的なので,ｙ∈Ｌにａ_y∈Ｌを対応させる変換をＡ^の共役変換(conjugate　transformation)といいＡ^⁺で表わす。

つまり,ａ_y＝Ａ^⁺ｙであり(Ａ^ｘ,ｙ)＝(ｘ,Ａ^⁺ｙ)である。

[定理4-38]:Ａ^をユニタリ空間Ｌの上の１次変換とするとき,その共役Ａ^⁺も空間Ｌの上の１次変換である。

さらに,Ａ^,Ｂ^をユニタリ空間Ｌの上の１次変換,αを任意の複素数とすると以下の性質が成り立つ。

(ⅰ)(Ａ^⁺)⁺＝Ａ^ (ⅱ)(αＡ^)⁺＝α^*Ａ^⁺

(ⅲ)(Ａ^＋Ｂ^)⁺＝Ａ^⁺＋Ｂ^⁺ (ⅳ)(Ａ^Ｂ^)⁺＝Ｂ^⁺Ａ^⁺

(ⅴ)Ｅ^⁺＝Ｅ^,Ｏ^⁺＝Ｏ^

(証明)まず,ｘ,ｙ∈Ｌとして,Ａ^⁺の定義式を(ｘ,Ａ^⁺ｙ)＝(Ａ^ｘ,ｙ)と書きます。

これにｕ,ｖ∈Ｌ,α,β∈Ｃとしてｙ＝αｕ＋βｖを代入すると,(ｘ,Ａ^⁺(αｕ＋βｖ))＝(Ａ^ｘ,αｕ＋βｖ)＝α^*(Ａ^ｘ,ｕ)＋β^*(Ａ^ｘ,ｖ)＝α^*(ｘ,Ａ^⁺ｕ)＋β^*(ｘ,Ａ^⁺ｖ)＝(ｘ,αＡ^⁺ｕ＋βＡ^⁺ｖ)となります。

　つまり(ｘ,Ａ^⁺(αｕ＋βｖ))＝(ｘ,αＡ^⁺ｕ＋βＡ^⁺ｖ)ですから,(Ａ^ｘ,ｙ)＝(ｘ,ａ_y)を満たすａ_y＝Ａ^⁺ｙの一意性によりＡ^⁺(αｕ＋βｖ)＝αＡ^⁺ｕ＋βＡ^⁺ｖを得ます。

　よってＡ^⁺は空間Ｌの上の１次変換です。

(ⅰ)(ｘ,(Ａ^⁺)⁺ｙ)＝(Ａ^⁺ｘ,ｙ)＝(ｙ,Ａ^⁺ｘ)^*＝(Ａ^ｙ,ｘ)^*＝(ｘ,Ａ^⁺ｙ)です。故に(Ａ^⁺)⁺＝Ａ^を得ます。

(ⅱ)(ｘ,(αＡ^)⁺ｙ)＝(αＡ^ｘ,ｙ)＝α(Ａ^ｘ,ｙ)＝α(ｘ,Ａ^⁺ｙ)＝(ｘ,α^*Ａ^⁺ｙ)です。故に(αＡ^)⁺＝α^*Ａ^⁺を得ます。

(ⅲ)(ｘ,(Ａ^＋Ｂ^)⁺ｙ)＝((Ａ^＋Ｂ^)ｘ,ｙ)＝(Ａ^ｘ,ｙ)＋(Ｂ^ｘ,ｙ)＝(ｘ,Ａ^⁺ｙ)＋(ｘ,Ｂ^⁺ｙ)＝(ｘ,(Ａ^⁺＋Ｂ^⁺)ｙ)です。故に(Ａ^＋Ｂ^)⁺＝Ａ^⁺＋Ｂ^⁺です。

(ⅳ)(ｘ,(Ａ^Ｂ^)⁺ｙ)＝(Ａ^Ｂ^ｘ,ｙ)＝(Ａ^(Ｂ^ｘ),ｙ)＝(Ｂ^ｘ,Ａ^⁺ｙ)＝(ｘ,Ｂ^⁺Ａ^⁺ｙ)です。故に(Ａ^Ｂ^)⁺＝Ｂ^⁺Ａ^⁺を得ます。

(ⅴ)(ｘ,Ｅ^⁺ｙ)＝(Ｅ^ｘ,ｙ)＝(ｘ,ｙ)＝(ｘ,Ｅ^ｙ),および,(ｘ,Ｏ^⁺ｙ)＝(Ｏ^ｘ,ｙ)＝0＝(ｘ,Ｏ^ｙ)です。故にＥ^⁺＝Ｅ^,および,Ｏ^⁺＝Ｏ^です。(証明終わり)

[定理4-39]:ユニタリ空間Ｌの正規直交基に対する１次変換Ａ^の行列をＡとすると,共役変換Ａ^⁺の行列はエルミート共役行列(Hermitian conjugate matrix):Ａ⁺である。

(証明)Ｌの正規直交基をｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nとしＡ＝(α_ij)とすると,変換の行列の定義によって(Ａ^ｅ₁,Ａ^ｅ₂,..,Ａ^ｅ_n)＝(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nと)Ａ,またはＡ^ｅ_j＝Σ_i=1ⁿα_ijｅ_iです。

　そして,正規直交性:(ｅ_i,ｅ_j)＝δ_ijから(Ａ^ｅ_j,ｅ_k)＝α_kj＝(ｅ_j,Ａ^⁺ｅ_k)＝(Ａ^⁺ｅ_k,ｅ_j)^*です。よって(Ａ^⁺ｅ_k,ｅ_j)＝α_kj^*,あるいは(Ａ^⁺ｅ_j,ｅ_k)＝α_jk^*です。

　したがって,Ａ^⁺ｅ_j＝Σ_i=1ⁿα_ji^*ｅ_iなのでＡ^⁺の行列は(Ａ^⁺)_ij＝(α_ji^*),つまり^tＡ^*＝Ａ⁺で与えられることがわかります。

(証明終わり)

[定義4-40](正規変換):ユニタリ空間Ｌの１次変換Ａ^でその共役Ａ^⁺と可換なもの:つまりＡ^Ａ^⁺＝Ａ^⁺Ａ^を満たすＡ^を正規変換(normal transformation)という。

[定理4-41]:ユニタリ空間Ｌの正規変換Ａ^の正規直交座標系における行列をＡとするとＡＡ⁺＝Ａ⁺Ａが成立する。

(↑Ａ^,Ａ^⁺ ⇔Ａ,Ａ⁺は同型対応なので自明です。)

[定理4-42]:Ａ^をユニタリ空間Ｌの正規変換とする。ρがＡ^の固有値であるときρ^*はＡ^⁺の固有値になり,Ａ^の固有値ρに属する固有ベクトルはＡ^⁺の固有ベクトルであって固有値ρ^*に属する。 

(証明)Ａ^Ａ^⁺＝Ａ^⁺Ａ^,かつＡ^ａ＝ρａ(ａ∈Ｌ)とします。

　Ａ^ａ＝ρａは,(Ａ^－ρＥ^)ａ＝0 とも書けます。

　また,Ａ^Ａ^⁺＝Ａ^⁺Ａ^から(Ａ^－ρＥ^)(Ａ^－ρＥ^)⁺＝(Ａ^－ρＥ^)⁺(Ａ^－ρＥ^)です。

　よって,0＝((Ａ^－ρＥ^)ａ,(Ａ^－ρＥ^)ａ)＝(ａ,(Ａ^－ρＥ^)⁺(Ａ^－ρＥ^)ａ)＝(ａ,(Ａ^－ρＥ^)(Ａ^－ρＥ^)⁺ａ)＝((Ａ^－ρＥ^)⁺ａ,(Ａ^－ρＥ^)⁺ａ)です。

　したがって,(Ａ^－ρＥ^)⁺ａ＝0 ,すなわちＡ^⁺ａ＝ρ^*ａを得ます。

(証明終わり)

[定理4-43]:ユニタリ空間Ｌの正規変換Ａ^の異なる固有値に属する固有ベクトルは互いに直交する。

(証明) Ａ^Ａ^⁺＝Ａ^⁺Ａ^,かつＡ^ａ＝ρａ,Ａ^ｂ＝σｂ (ａ,ｂ∈Ｌ;ρ,σ∈Ｃ)でρ≠σとします。

このとき,ρ(ａ,ｂ)＝(Ａ^ａ,ｂ)＝(ａ,Ａ^ｂ)＝σ(ａ,ｂ),すなわち,(ρ－σ)(ａ,ｂ)＝0 ですが,仮定からρ≠σなので(ａ,ｂ)＝0 です。

(証明終わり)

[定理4-44]:ユニタリ空間Ｌにおいては正規変換Ａ^の各々に対し,Ａ^の固有ベクトルからつくられる正規直交基が存在し,この基底におけるＡ^の行列Ａは対角線型(diagonal-linear)となる。

(証明)ユニタリ空間Ｌにおいて,まず正規変換Ａ^の１つの固有ベクトルａ₁を任意に取り,ａ₁に直交するＬの部分空間をＬ₁とします。

すなわち,Ａ^Ａ^⁺＝Ａ^⁺Ａ^,Ａ^ａ₁＝ρ₁ａ₁(ａ₁≠0),Ｌ₁≡{ｘ∈Ｌ|(ａ₁,ｘ)＝0}です。

　すると,∀ｘ∈Ｌ₁に対して,(ａ₁,Ａ^ｘ)＝(Ａ^⁺ａ₁,ｘ)＝ρ₁^*(ａ₁,ｘ)＝0 ですからＡ^ｘ∈Ｌ₁となりＬ₁はＡ^に関して不変な部分空間(Ａ^Ｌ₁⊂Ｌ₁)であることがわかります。

　そこで,Ａ^Ｌ₁⊂Ｌ₁によりＬ₁の中にまたＡ^の固有ベクトルａ₂が存在します。Ａ^ａ₂＝ρ₂ａ₂(ａ₂≠0)です。

　それ故,Ｌ₂≡{ｘ∈Ｌ|(ａ₂,ｘ)＝0}とすると,これもＡ^に関してＬの不変部分空間(Ａ^Ｌ₂⊂Ｌ₂)を構成します。

さらに,部分空間Ｌ₂'をＬ₂'≡Ｌ₁∩Ｌ₂で定義すれば,Ａ^Ｌ₁⊂Ｌ₁,かつＡ^Ｌ₂⊂Ｌ₂によってＡ^Ｌ₂'⊂Ｌ₂'です。つまりＬ₂'はＬ₁の不変部分空間となります。

　したがってまた,Ｌ₂'の中にＡ^ａ₃＝ρ₂ａ₃(ａ₃≠0)なるＡ^の固有ベクトルａ₃を見出すことができますから,さらにａ₃と直交するＬ₂'の不変部分空間Ｌ₃'＝Ｌ₁∩Ｌ₂∩Ｌ₃をつくることができます。

　こうしてＡ^の固有ベクトルａ₁,ａ₂,ａ₃と,これのそれぞれに直交する不変部分空間の列Ｌ₁⊃Ｌ₂'⊃Ｌ₃'をつくることができました。

　この手続きを繰り返せば,結局,Ｌの直交基底:ａ₁,ａ₂,..,ａ_nが得られ,さらにｅ_j≡ａ_j/|ａ_j|(ｊ＝1,2,..,ｎ)と正規化(normalize)すれば,これらをＬの正規直交基ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nとすることができます。

　すなわち,Ａ^ｅ_j＝ρ_jｅ_j,(ｅ_i,ｅ_j)＝δ_ij(ｊ＝1,2,..,ｎ)満たすＡ^の全ての固有ベクトルの系:ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nが得られます。

　したがって,(Ａ^ｅ₁,Ａ^ｅ₂,..,Ａ^ｅ_n)＝(ρ₁ｅ₁,ρ₂ｅ₂,..,ρ_nｅ_n)＝(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)Ａと表現されるのでＡ^の行列Ａは,

　なる形の対角行列 or 対角線型の行列で与えられます。

正規直交基ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nに対する正規変換Ａ^の行列Ａは,互いに異なるとは限らないｎ個の固有値:ρ₁,ρ₂,..,ρ_nを対角成分とする対角線型の行列になります。(証明終わり)

※(注１):[定理4-44]は正規行列は常に複素数を対角成分とする対角行列に相似変換可能なことを述べています。(注１終わり)※

[定理4-45]:零空間でない実線型空間Ｌの１次変換Ａ^はいずれも次元が１か２のＡ^に関する不変部分空間を少なくとも１つは持っている。

(証明)ｎ次元実線型空間Ｌの１次変換Ａ^の固有多項式φ(λ)は係数が全て実数のｎ次多項式です。

それ故,代数方程式φ(λ)＝0のｎ個の解は全て実根と互いに共役な虚根のペアで与えられます。

　ｎ次方程式φ(λ)＝0が実根λ＝ｒ∈Ｒを持てば,Ａ^の行列Ａに対してＡ[ｘ₁]＝ｒ[ｘ₁]を満たし,一般に成分が複素数のｎ次元列ベクトルのＡの固有ベクトル[ｘ₁]を見出すことができます。

Ａは実行列なので,Ａ[ｘ₁]＝ｒ[ｘ₁]からＡ[ｘ₁^*]＝Ａ^*[ｘ₁^*]＝ｒ[ｘ₁^*]が成立することがわかります。

よって[ａ]≡([ｘ₁]＋[ｘ₁^*])/2と定義すれば,[ａ]はＡ[ａ]＝ｒ[ａ],[ａ^*]＝[ａ]を満たす実成分のｎ次元列ベクトルです。

故に,これに同型対応するｎ次元実線型空間Ｌのベクトルａ∈Ｌが存在します。

そこでＬの部分空間Ｌ₁をＬ₁≡{ｘ∈Ｌ|ｘ＝ｐａ(ｐ∈Ｒ)}で定義すれば,これはａ≠0 のみで張られる実線型空間ＬのＡ^に関する１次元不変部分空間となります。

一方,ｎ次方程式φ(λ)＝0 が実根を持たないとき互いに共役な虚根のペアをλ＝α,α^*とすればｎ次元列ベクトル[ｘ₁]が存在してＡ[ｘ₁]＝α[ｘ₁],かつＡ^*[ｘ₁^*]＝Ａ[ｘ₁^*]＝α^*[ｘ₁^*]です。

[ａ]≡([ｘ₁]＋[ｘ₁^*])/2,[ｂ]≡([ｘ₁]－[ｘ₁^*])/(2i),とすると[ａ],[ｂ]は共に実成分のｎ次元列ベクトルで,[ｘ₁]＝[ａ]＋i[ｂ],[ｘ₁^*]＝[ａ]－i[ｂ]です。

故に,Ａ[ａ]＝(α[ｘ₁]＋α^*[ｘ₁^*])/2＝{(α＋α^*)/2}[ａ]－{(α－α^*)/(2i)}[ｂ],Ａ[ｂ]＝{(α＋α^*)/2}[ａ]＋{(α－α^*)/(2i)}[ｂ]を満たしますが係数{(α＋α^*)/2},{(α－α^*)/(2i)}は実数です。

そこで,[ａ],[ｂ]にそれぞれ同型対応するｎ次元実線型空間Ｌのベクトルａ,ｂ∈Ｌが存在します。

したがって,この場合はＬの部分空間Ｌ₁をＬ₁≡{ｘ∈Ｌ|ｘ＝ｐａ＋ｑｂ(ｐ,ｑ∈Ｒ)}で定義すれば,これはａ,ｂのみで張られる実線型空間ＬのＡ^に関する２次元不変部分空間となります。(証明終わり)

※(注２):[定理4-45]は,実行列なら常に１次か２次のブロック対角行列に相似変換できることを述べています。(注２終わり)※

今日はここまでにします。 

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光訳)「線型代数学」(東京図書)

PS:比較的遠くまで出かける必要がある日には,夏は猛暑,冬は最近の東京じゃめったには降らない雪とか,さんざん天候に災いされて自分,ずい分運が悪いようですが,

　偶々,昨日朝に命綱のお米が切れて千円さえ借りる相手もなく米を２kgも買う金もなくて,本日３日の15時頃帰宅中の巣鴨駅でどうしたものか？と案じてるところに,天の助け,毎週日曜日に通っている飲み屋のりくちゃん(現在の保護者?)にバッタリ出くわしました。

(↑2009年１/10の過去記事「私の保護者」を参照)

　彼女に千円貸してもらって当面の虎口を脱することができそうです。私に千円以上与えてもスグにムダに使ってしまうことなど彼女は熟知しています。

　「捨てる神あれば拾う神あり。」イヤ,パスモに280円は残ってますが。。

　どうしようもないときには必ずといっていいほど助けが現われる。。やはり私は運がいいのでしょうか？

　都バスは障害者割引でゼロ円,出勤日にはお昼は食堂で食べて給料から引かれますが,その他お米さえあれば家賃,光熱費後払いで,ほぼゼロ円でずっと暮らせることは暮らせます。

　お米が２kgで12合くらい,１日２合を食べるかどうかなので何もなければ１週間以上は大丈夫ですってナサケナイ暮らししてるなあ。＞自分

　西友で最安値の２ｋｇ,699円のお米は嬉しかったのですが,個人的貧乏人の消費者としてはTPPでも実行されるともっと有難いです。

　現在,米国内では米５ｋｇが300円くらいなのに日本に輸入されると関税が約800％近くもかけられ約９倍の５ｋｇが2500円前後の売価になるというカリフォルニア米(米国産のコシヒカリ,あきたこまちなど)が,米国内と同じように５kg300円で売られるなら全く違います。

　ただし,関税が撤廃されても需要の少ない米国の安い価格が日本でそのままの米価ではないでしょうが,恐らく安い米なら10kgでせいぜい1000円くらいと考えられるので計算上は１年間ト－タルでも主食のお米が１万円くらいで賄えることになります。

　これだと,私のようにエンゲル係数がほぼ100％の最低生活では,家賃,光熱費以外は年間数万円の出費で済む勘定になります。

　TPPは私のような単純な消費者という立場でなく,日本の生産者:特に農業で米を作っている農家などには大打撃となります。

　米作りが主体では食べていけず関税の高い米作等に従事する意欲が極度に失せて,食糧の国内自給率がほとんどゼロにもなりかねません。

　農業に限らず,生産者が打撃を受けると経済的には国の税収なども影響を受けて国民というか消費者の経済にも響くので複雑？みたいですね。

PS2:さて,昨日(２日)もつい気紛れで小石川植物園前の教会のところから自宅まで真っ直ぐ帰れる住宅街の静かな道をプラプラと歩いていると前からパトカーが来て何とはなくすれ違った後,しばらくして

　そのパトカーが何故か引き返してきて久しぶりに警官に職質されました。

　職質の種類が,何となく真昼間に寒空の中をよろよろと歩くジジイへの配慮,心配系,おまわり的親切系に見えたので,本来警官は全然スキくないけど珍しく素直に答えてあげましたネ。

　昨日の雨上がりの帰り道の軒先で見かけた,スミレの鉢植えについ立ち止まってシャッターを押しました。↓　

　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　

　まだ,花を愛でる程度の余裕があるというか？イヤ,その程度の心の癒ししか求め得ないというか。。ですね