線型代数のエッセンス(13)(ユニタリ空間-4)

線型代数のエッセンスの§4.ユニタリ空間の続きです。

[定義4-46](ユニタリ変換):ユニタリ空間のそれ自身の上への同型写像をこの空間のユニタリ変換(unitary transformation)という。

　すなわち,ユニタリ空間Ｌの正則な１次変換Ｕ^がＬのユニタリ内積を保存するとき:つまり∀ａ,ｂ∈Ｌに対して(Ｕ^ａ,Ｕ^ｂ)＝(ａ,ｂ)を満足するとき,Ｕ^をＬのユニタリ変換という。

[定理4-47](ユニタリ変換):Ｕ^がユニタリ変換ならＵ^⁺＝Ｕ^^-1である。逆も成立する。

(証明) Ｕ^がユニタリ変換なら∀ｘ,ｙ∈Ｌに対して(ｘ,ｙ)＝(Ｕ^ｘ,Ｕ^ｙ)＝(ｘ,Ｕ^⁺Ｕ^ｙ)ですから,Ｕ^⁺Ｕ^＝Ｅ^を得ます。

そこでＵ^⁺＝Ｕ^^-1でありＵ^Ｕ^⁺＝Ｅ^も成立するのでＵ^は正規変換でもあります。

逆に,Ｕ^⁺＝Ｕ^^-1ならＵ^⁺Ｕ^＝Ｅ^より,∀ｘ,ｙ∈Ｌに対して(Ｕ^ｘ,Ｕ^ｙ)＝(ｘ,Ｕ^⁺Ｕ^ｙ)＝(ｘ,ｙ)なのではユニタリ変換です。

(証明終わり)

[定理4-48]:ユニタリ空間Ｌにおいて正規直交座標系を任意に選ぶとき,これに対するユニタリ変換Ｕ^の行列をＵとすればＵ⁺Ｕ＝ＵＵ⁺＝Ｅ,つまりＵ⁺＝Ｕ^-1である。

　逆に,Ｕ⁺＝Ｕ^-1ならＵ^＝Ｕ^^-1である。

(↑同型対応によって自明なので証明略)

[定理4-49]:ユニタリ空間Ｌの１次変換Ｕ^がベクトルの長さ(ノルム)を変えないならＵ^はユニタリである。

(証明)Ｕ^がベクトルの長さを変えないなら∀ａ,ｂ∈Ｌ,∀λ∈Ｃに対して(ａ＋λｂ,ａ＋λｂ)＝(Ｕ^(ａ＋λｂ),Ｕ^(ａ＋λｂ)),かつ(ａ,ａ)＝(Ｕ^ａ,Ｕ^ａ),(ｂ,ｂ)＝(Ｕ^ｂ,Ｕ^ｂ)です。

(ａ＋λｂ,ａ＋λｂ)＝(Ｕ^(ａ＋λｂ),Ｕ^(ａ＋λｂ))は(ａ,ａ)＋λ(ｂ,ａ)＋λ^*(ａ,ｂ)＋λλ^*(ｂ,ｂ)＝(Ｕ^ａ,Ｕ^ａ)＋λ(Ｕ^ｂ,Ｕ^ａ)＋λ^*(Ｕ^ａ,Ｕ^ｂ)＋λλ^*(Ｕ^ｂ,Ｕ^ｂ)と変形されます。

これはλ(ｂ,ａ)＋λ^*(ａ,ｂ)＝λ(Ｕ^ｂ,Ｕ^ａ)＋λ^*(Ｕ^ａ,Ｕ^ｂ)を意味します。

　λ＝1とおけば(ｂ,ａ)＋(ａ,ｂ)＝(Ｕ^ｂ,Ｕ^ａ)＋(Ｕ^ａ,Ｕ^ｂ),λ＝ｉとおけば(ｂ,ａ)－(ａ,ｂ)＝(Ｕ^ｂ,Ｕ^ａ)－(Ｕ^ａ,Ｕ^ｂ)が得られます。

したがって,(ａ,ｂ)＝(Ｕ^ａ,Ｕ^ｂ)を得ますから[定義4-46]によってＵ^がユニタリ変換であることがわかります。(証明終わり)

[定理4-50]:ユニタリ空間Ｌの１次変換Ｕ^がユニタリである⇔ Ｕ^は正規直交基を正規直交基にうつす。

(証明)ベクトル系:ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nをユニタリ空間Ｌの正規直交基とすると,Ｕ^がユニタリなら(Ｕ^ｅ_i,Ｕ^ｅ_j)＝(ｅ_i,ｅ_j)＝δ_ij(ｉ,ｊ＝1,2,..,ｎ)より系:Ｕ^ｅ₁,Ｕ^ｅ₂,..,Ｕ^ｅ_nもＬの正規直交基です。

逆に(Ｕ^ｅ_i,Ｕ^ｅ_j)＝δ_ij(ｉ,ｊ＝1,2,..,ｎ)なら,Ｌの任意の２元:ａ＝α₁ｅ₁＋α₂ｅ₂＋..＋α_nｅ_n＝Σ_j=1ⁿα_jｅ_j,ｂ＝β₁ｅ₁＋β₂ｅ₂＋..＋β_nｅ_n＝Σ_j=1ⁿβ_jｅ_jについて(Ｕ^ａ,Ｕ^ｂ)＝Σ_j=1ⁿα_jβ_j^*＝(ａ,ｂ)が成立するため,Ｕ^はユニタリです。(証明終わり)

[定理4-51]:(ⅰ)恒等変換はユニタリである。(ⅱ)ユニタリ変換の積はユニタリである。(ⅲ)ユニタリ変換の逆変換はユニタリである。

(証明)(ⅰ),(ⅲ)は自明です。(ⅱ)Ｕ^,Ｖ^をユニタリ変換とするとＵ^⁺＝Ｕ^^-1,Ｖ^⁺＝Ｖ^^-1ですから,(Ｕ^Ｖ^)⁺＝Ｖ^⁺Ｕ^⁺＝Ｖ^^-1Ｕ^^-1＝(Ｕ^Ｖ^)^-1よりＵ^Ｖ^もユニタリです。

(証明終わり)

[定義4-52](ユニタリ同値):Ｌ,Ｌ₁を２つのユニタリ空間としＡ^,およびＡ^₁をそれぞれＬ,およびＬ₁の上の１次変換とする。

　Ａ^をＡ^₁にうつすＬからＬ₁への同型写像が存在するとき,Ａ^とＡ^₁とは同型または相似,あるいはユニタリ同値(unitary-equivalent)であるという。

　特に,Ｌ＝Ｌ₁のとき,同型写像はユニタリ変換:Ｕ^でＡ^₁＝Ｕ^Ａ^Ｕ^^-1である。

　これは正規直交基に対する行列の形ではＵがユニタリ行列でＡ＝ＵＡＵ^-1と表現される。

この場合,行列ＡとＡ₁は相似,またはユニタリ同値であるという。

※(注):すなわち,∀ｘ∈Ｌに対しｙ＝Ａ^ｘのときｘ₁＝ｆ(ｘ),ｙ₁＝ｆ(ｙ)なるＬからＬ₁への同型写像ｆ:Ｌ→Ｌ₁があって,ｙ₁＝Ａ^₁ｘ₁が満たされるならＡ^とＡ^₁は相似,または同型であるというわけです。

Ｌ,Ｌ₁はユニタリ空間なのでｆが同型写像という意味は線型写像であるだけでなく,ユニタリ内積を保存することを意味します。

つまり,(ｘ,ｙ)＝(ｆ(ｘ),ｆ(ｙ))₁です。ただしＬ₁におけるユニタリ内積をＬにおけるそれと区別するために( , )₁と表現しました。

　Ｌ＝Ｌ₁のとき,ｘ₁＝ｆ(ｘ),ｙ₁＝ｆ(ｙ)なる同型写像ｆは"内積を保存する同型写像＝ユニタリ変換":Ｕ^に置き換えられｘ₁＝Ｕ^ｘ,ｙ₁＝Ｕ^ｙです。

∀ｘ∈Ｌに対しｙ＝Ａ^ｘでかつｘ₁＝Ｕ^ｘ,ｙ₁＝Ｕ^ｙであり,ｙ₁＝Ａ^₁ｘ₁が満たされるなら,ｙ＝Ａ^ｘＵ^ｙ＝Ａ^₁Ｕ^ｘ,かつＵ^ｙ＝Ｕ^Ａ^ｘなので,Ａ^₁Ｕ^ｘ＝Ｕ^Ａ^ｘ or Ａ^₁Ｕ^＝Ｕ^Ａ^,つまりＡ^₁＝Ｕ^Ａ^Ｕ^^-1です。(注終わり)※

[定理4-53]:ユニタリ空間Ｌの１次変換Ａ^,Ｂ^が同型である。⇔ Ｌに適当な２つの正規直交基が存在してその一方によるＡ^の行列が他方によるＢ^の行列に一致する。

(証明)(→)Ａ^,Ｂ^が同型:ユニタリ変換Ｕ^が存在してＢ^＝Ｕ^Ａ^Ｕ^^-1と書けるとします。このときＡ^＝Ｕ^^-1Ｂ^Ｕ^です。

そこで,正規直交基ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nによる行列Ａは(Ａ^ｅ₁,Ａ^ｅ₂,..,Ａ^ｅ_n)＝(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)Ａで与えられます。

これは(Ｕ^^-1Ｂ^Ｕ^ｅ₁,Ｕ^^-1Ｂ^Ｕ^ｅ₂,..,Ｕ^^-1Ｂ^Ｕ^ｅ_n)＝(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)Ａ,つまり,(Ｂ^Ｕ^ｅ₁,Ｂ^Ｕ^ｅ₂,..,Ｂ^Ｕ^ｅ_n)＝(Ｕ^ｅ₁,Ｕ^ｅ₂,..,Ｕ^ｅ_n)Ａを意味します。

最後の等式は,正規直交基(Ｕ^ｅ₁,Ｕ^ｅ₂,..,Ｕ^ｅ_n)＝(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)Ｕに対する変換Ｂ^の行列が(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)によるＡ^の行列Ａに一致することを示しています。

(←)２つの正規直交基ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n,およびｅ₁',ｅ₂',..,ｅ_n'に対して(Ａ^ｅ₁,Ａ^ｅ₂,..,Ａ^ｅ_n)＝(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)Ａ,および(Ｂ^ｅ₁',Ｂ^ｅ₂',..,Ｂ^ｅ_n')＝(ｅ₁',ｅ₂',..,ｅ_n')Ａが成立するとします。

そこで(ｅ₁',ｅ₂',..,ｅ_n')＝(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)Ｕ＝(Ｕ^ｅ₁,Ｕ^ｅ₂,..,Ｕ^ｅ_n)とおけば,Ｕ^^-1Ｂ^Ｕ^＝Ａ^が成立しますが,(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n),および(ｅ₁',ｅ₂',..,ｅ_n')が共に正規直交基なのでＵ^はユニタリです。(証明終わり)

[定理4-54]:ユニタリ空間Ｌの２つの正規な１次変換Ａ^,Ｂ^が同型(ユニタリ同値)であるためには,それらの固有多項式が一致することが必要かつ十分である。

(証明)(必要性):ユニタリ変換Ｕ^が存在してＢ^＝Ｕ^Ａ^Ｕ^^-1と書けるため固有多項式は|λＥ－Ｂ|＝|λＥ－ＵＡＵ^-1|＝|λＥ－Ａ|です。

(十分性):Ａ^とＢ^の固有多項式が同じなら両者の固有値は全て一致します。さらに共に正規変換ならＬの適当な２つの正規直交基によって,Ａ^Ｂ^には同一の対角線型行列が対応します。

したがって,上記の[定理4-53]により正規変換Ａ^とＢ^は同型(ユニタリ同値)であることがわかります。(証明終わり)

[定理4-54の系]:Ａ,Ｂがそれらの共役Ａ⁺,Ｂ⁺とそれぞれ可換な行列(正規行列)であってＡとＢがユニタリ同値である。⇔Ａ,Ｂの固有多項式(全ての固有値)が一致する。(← 自明)

[定理4-55]:ユニタリ空間Ｌの正規変換Ａ^(Ａ^Ａ^⁺＝Ａ^⁺Ａ^)に対しては,ユニタリ行列Ｕが存在してＵＡＵ^-1＝ＵＡＵ⁺を対角線型にすることができる。

(証明)前記事最後に記した [定理4-44]:"ユニタリ空間Ｌにおいては正規変換Ａ^の各々に対し,Ａ^の固有ベクトルからつくられる正規直交基が存在し,この基底においてＡ^の行列Ａは対角線型となる。"

　によって正規変換Ａ^に対しては固有ベクトルからつくられる正規直交基:ｅ₁',ｅ₂',..,ｅ_n'による行列表現:(Ａ^ｅ₁',Ａ^ｅ₂',..,Ａ^ｅ_n')＝(ρ₁ｅ₁',ρ₂ｅ₂',..,ρ_nｅ_n')＝(ｅ₁',ｅ₂',..,ｅ_n')ＢではＢは対角成分がＡ^の固有値(ρ₁,ρ₂,..,ρ_n)で与えられる対角行列です。

他方,別のある正規直交基:ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nに対しては行列Ａにより((Ａ^ｅ₁,Ａ^ｅ₂,..,Ａ^ｅ_n)＝(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)Ａと書けます。

このとき,Ａ^が正規変換:Ａ^Ａ^⁺＝Ａ^⁺Ａ^なので,それに同型対応するＡ,Ｂも行列としてそれらの共役Ａ⁺,Ｂ⁺とそれぞれ可換,つまりＡ,Ｂは共に正規行列です。

しかもＡ,Ｂの固有多項式は一致します。

そこで,上記の[定理4-54の系]:"Ａ,Ｂがそれらの共役Ａ⁺,Ｂ⁺とそれぞれ可換な行列(正規行列)であってＡとＢがユニタリ同値である。⇔ Ａ,Ｂの固有多項式(全ての固有値)が一致する。"

　によってＡとＢはユニタリ同値ですから,あるユニタリ行列ＵによってＢ＝ＵＡ^Ｕ^-1と書けます。(証明終わり)

[定理4-55の系]:ユニタリ行列Ａ(ＡＡ⁺＝Ａ⁺Ａ＝Ｅ)に対してはユニタリ行列Ｕが存在してＵＡＵ^-1＝ＵＡＵ⁺を対角線型にすることができる。

(↑ユニタリ行列Ａは正規行列なので[定理4-55]から明らかです。)

[定理4-56]:ユニタリ変換の固有多項式の根の絶対値は１である。

(証明)Ｌをユニタリ空間,Ｕ^をユニタリ変換とします。ａ∈Ｌが固有値αに属するＵ^の固有ベクトルならＵ^ａ＝αａですから,(ａ,ａ)＝(Ｕ^ａ,Ｕ^ａ)＝αα^*(ａ,ａ)です。

　したがってαα^*＝1ですが,これは|α|²＝1,つまり|α|＝1なることを意味します。(証明終わり)

※ユニタリ変換の固有値αは全てα＝exp(iθ)(θは実数)の形です。

[定義4-57](対称変換):ユニタリ空間Ｌの１次変換をＡ^とする。

　Ａ^⁺＝Ａ^のとき,この変換Ａ^を対称(symmetric),またはHermite(エルミート)であるという。

すなわち,"(Ａｘ,ｙ)＝(ｘ,Ａｙ) for ∀ｘ,ｙ∈Ｌ"⇔ Ａ^が対称である。

※対称変換は明らかに正規変換です。 

[定理4-58](対称変換の性質):Ａ^,Ｂ^はユニタリ空間Ｌの対称変換:Ａ^⁺＝Ａ^,Ｂ^⁺＝Ｂ^とする。

このとき,(ⅰ)(Ａ^＋Ｂ^)⁺＝Ａ^⁺＋Ｂ^⁺＝Ａ^＋Ｂ^ (ⅱ)α∈Ｒ(実数)に対して(αＡ^)⁺＝α^*Ａ^⁺＝αＡ^ (ⅲ)(Ａ^Ｂ^)⁺＝Ａ^Ｂ^⇔ Ａ^Ｂ^＝Ｂ^Ａ が成立する。

(証明)(ⅰ),(ⅱ)は自明,(ⅲ)も(Ａ^Ｂ^)⁺＝Ｂ^⁺Ａ^⁺ですから明らかです。(証明終わり)

[定理4-59](対称変換の性質):Ａ^がユニタリ空間Ｌの対称変換:Ａ^⁺＝Ａ^ならＡ^の固有値は実数である。

(証明)ａ∈Ｌが固有値αに属するＡ^の固有ベクトルならＡ^ａ＝αａですから,(ａ,ａ)＝(ａ,Ａ^ａ)＝α^*(ａ,ａ)＝(Ａ^ａ,ａ)＝α(ａ,ａ)が成立します。

　よってα^*＝αですが,これはαが実数なることを意味します。

(証明終わり)

[定理4-59の系]:Hermite行列の固有多項式の根は全て実数である。(正規直交基に対しては対称変換はHermite行列に同型対応するので自明)

[定理4-60]:ユニタリ空間の対称変換は適当な正規直交基に対して実対角行列をもつ。

　すなわち,任意のHermite行列Ａ(Ａ⁺＝Ａ)は適当なユニタリ行列ＵによってＵＡＵ-1が対角行列になるようにできる。(←自明)

[定義4-61](反対称変換):ユニタリ空間Ｌの１次変換をＡ^とする。

　Ａ^⁺＝－Ａ^のとき,変換Ａ^を反対称(anti-symmetric),または交代(alternative)という。

　すなわち,"(ｘ,Ａｙ)＝－(Ａｘ,ｙ)＝for ∀ｘ,ｙ∈Ｌ"⇔ Ａ^が反対称である。

※反対称変換は明らかに正規変換です。 

[定理4-62](反対称変換の性質):Ａ^がユニタリ空間Ｌの反対称変換:Ａ^⁺＝－Ａ^⇔Ａ^＝iＢ^なる対称変換Ｂ^(Ｂ^⁺＝Ｂ^)が存在する

(証明)(←)Ａ^⁺＝(iＢ^)＝－iＢ^＝－Ａ^です。(→)Ｂ^≡－iＡ^とおくとＢ^⁺＝iＡ^⁺＝－iＡ^＝Ｂ^です。(証明終わり)

[定義4-63](反Hermite):Ａ⁺＝－Ａを満たす行列を反Hermite行列,あるいはHermite反対称行列という。

[定理4-64](反対称変換の性質):Ａ^がユニタリ空間Ｌの反対称変換:Ａ^⁺＝－Ａ^ならＡ^の固有値はゼロまたは純虚数である。

(証明)ａ∈Ｌが固有値αに属するＡ^の固有ベクトルならＡ^ａ＝αａですから(ａ,ａ)＝(ａ,Ａ^ａ)＝α^*(ａ,ａ)＝－(Ａ^ａ,ａ)＝－α(ａ,ａ)です。

　したがってα^*＝－αですが,これはαがゼロまたは純虚数なることを意味します。(証明終わり)

　途中ですが長くなったので,ここでまた一休みです。

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光訳)「線型代数学」(東京図書)

PS:たまの「寝てようび」なのに貧乏症が出ていますが,そろそろ毎週日曜だけ飲める飲み屋で骨休めしようと思います。

　ところで,前にどこかで聞いたことがありますが,日本の庶民の食文化が一汁一菜の質素なものであり,欧米のようなものでないのは,パン等に比べ主食の"米＝銀シャリ"があまりにウマ過ぎるためだそうです。

　おかずが塩だけのおにぎりでもウマいためであるということですが,これはよく実感しています。