線型代数のエッセンス(14)(ユニタリ空間-5)

　線型代数のエッセンスの§4.ユニタリ空間の続きです。

[定義4-65]:Ａ^をユニタリ空間Ｌの対称変換(Ａ^⁺＝Ａ^)とする。∀ｘ∈Ｌに対して(Ａ^ｘ,ｘ)≧0 のとき,Ａ^は負でない(nonnegative:非負である)という。

　このとき,特に"(Ａ^ｘ,ｘ)＝0 ⇔ｘ＝0 "であるなら,Ａ^は正(positive),or 正定符号(positive-definite:正定値)であるという。

※(注):Ａ^が対称変換(Ａ^⁺＝Ａ^)のとき,(Ａ^ｘ,ｘ)^*＝(ｘ,Ａ^ｘ)＝(Ａ^ｘ,ｘ)より,(Ａ^ｘ,ｘ)が実数であることは保証されています。※

[定理4-66]:ユニタリ空間の負でない(非負の)変換の負でない実数を係数とする１次結合は負でない変換である。(← 自明)

[定理4-67]:Ａ^をユニタリ空間の任意の１次変換とすると,Ａ^Ａ^⁺,およびＡ^⁺Ａ^は共に負でない対称変換(nonnegative-Hermite)である。

(証明)Ａ^をユニタリ空間Ｌの任意の１次変換とします。

まず,(Ａ^Ａ^⁺)⁺＝(Ａ^⁺)⁺Ａ^⁺＝Ａ^Ａ^⁺,(Ａ^⁺Ａ^)⁺＝Ａ^⁺(Ａ^⁺)⁺＝Ａ^⁺Ａ^ですからＡ^Ａ^⁺,Ａ^⁺Ａ^は確かに対称変換です。

次に,∀ｘ∈Ｌに対して(Ａ^Ａ^⁺ｘ,ｘ)＝(Ａ^⁺ｘ,Ａ^⁺ｘ)＝|Ａ^⁺ｘ|²≧0,(Ａ^⁺Ａ^ｘ,ｘ)＝(Ａ^ｘ,Ａ^ｘ)＝|Ａ^ｘ|²≧0 も明らかです。

(証明終わり)

[定理4-67の系]:任意の対称変換の平方は負でない対称変換である。

(証明)Ａ^⁺＝Ａ^なのでＡ^²＝Ａ^⁺²＝Ａ^Ａ^⁺＝Ａ^⁺Ａ^ですから,定理によって自明です。(証明終わり)

[定理4-68]:ユニタリ空間の負でない対称変換の固有値は負でない実数である。

(証明)Ａ^をユニタリ空間Ｌの負でない１次変換とします。

Ａａ＝αａ(ａ∈Ｌ,ａ≠0)とすれば,(Ａａ,ａ)＝α(ａ,ａ)＝α|ａ|²≧0 であり|ａ|²≠0 なのでα≧0 を得ます。(証明終わり)

[定理4-69]:ユニタリ空間の対称変換Ａ^の固有値が全て負でない実数ならＡ^は負でない１次変換である。

(証明)Ａ^はｎ次のユニタリ空間Ｌの対称変換でＡ^の全ての固有値(重複を含めたＡ^のｎ次固有多項式の根)をα₁,α₂,..,α_nとします。

そして,α₁,α₂,..,α_nのそれぞれに属する固有ベクトルを正規化したＬの正規直交基をｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nとします。

∀ｘ∈Ｌはｘ＝Σ_j=1ⁿξ_jｅ_jと書けます。

このｘについては,(Ａ^ｘ,ｘ)＝(Ａ^(Σ_j=1ⁿξ_jｅ_j),Σ_k=1ⁿξ_kｅ_k)＝Σ_j=1ⁿΣ_k=1ⁿξ_jξ_k^*(Ａ^ｅ_j,ｅ_k)＝Σ_j=1ⁿΣ_{k =1}ⁿξ_jξ_k^*α_j(ｅ_j,ｅ_k)＝Σ_j=1ⁿΣ_{k =1}ⁿξ_jξ_k^*α_jδ_jk＝Σ_j=1ⁿα_j|ξ_j|²と書けます。

仮定によってα_j≧0 (ｊ＝1,2,..,ｎ)ですから∀ｘ∈Ｌに対して(Ａ^ｘ,ｘ)≧0 です。(証明終わり)

[定理4-70]:ユニタリ空間の負でない対称変換Ａ^が正定符号である。⇔ Ａ^は正則な変換である。

(証明)Ａ^はｎ次のユニタリ空間Ｌの対称変換でＡ^の全ての固有値(重複を含めたＡ^のｎ次固有多項式の根)をα₁,α₂,..,α_nとします。

Ａ^は対称変換ですからＡの行列は対角成分が固有値α₁,α₂,..,α_nの対角行列に同値ですから,その行列式は|Ａ|＝detＡ＝α₁α₂..α_nで与えられます。

　したがって,Ａ^が正則でない:|Ａ|＝0 なら,あるｊについてはα_j＝0　となります。

　それ故,α₁,α₂,..,α_nの固有ベクトルを正規化したＬの正規直交基ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nに対して,このｊについては(Ａｅ_j,ｅ_j)＝α_j＝0 となるため,Ａ^は正定符号ではありません。

　一方,Ａ^が正則:|Ａ|≠0 なら,α_j＞0 (ｊ＝1,2,..,ｎ)ですからＬの任意の元:ｘ＝Σ_j=1ⁿξ_jｅ_jに対して(Ａ^ｘ,ｘ)＝Σ_j=1ⁿα_j|ξ_j|²＞0 が成立します。

　しかも,(Ａ^ｘ,ｘ)＝0 となるのはξ_j＝0 (ｊ＝1,2,..,ｎ),つまりｘ＝0 のときだけですからＡ^は正定符号です。(証明終わり)

[定理4-71]:ユニタリ空間の負でない対称変換Ａ^に対してＡ^＝Ｂ^²を満足する負でない対称変換Ｂ^が唯一つに限って存在する。さらにＡ^と可換な１次変換は全てＢ^とも可換である。

(証明)Ａ^はｎ次のユニタリ空間Ｌの対称変換でＡ^の全ての固有値(重複を含めたＡ^のｎ次固有多項式の根)をα₁,α₂,..,α_nとします。

そして,α₁,α₂,..,α_nのそれぞれに属する固有ベクトルを正規化したＬの正規直交基をｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nとします。

このとき,α_j≧0なので１次変換Ｂ^をＢ^ｅ_j≡α_j^1/2ｅ_j(ｊ＝1,2,..,ｎ)によって定義します。

すると,Ｂ^の固有値は明らかにα_j^1/2(ｊ＝1,2,..,ｎ)であり,固有値が全て負でないのでＢ^は負でない対称変換です。

しかも,Ｂ^²ｅ_j＝α_jｅ_j＝Ａ^ｅ_j(ｊ＝1,2,..,ｎ)が成立しますからＡ^＝Ｂ^²です。

次に１次変換Ｘ^がＡ^＝Ｂ^²と可換であるとします。

すなわち,Ａ^Ｘ^＝Ｘ^Ａ^とします。Ａ^,Ｂ^,Ｘ^のｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nとによる行列Ａ,Ｂ,Ｘは適当な配列に対して,

可換条件:Ａ^Ｘ^＝Ｘ^Ａ^:ＸＡ＝ＡＸはα_jＸ_jk＝Ｘ_jkα_k (ｊ,ｋ＝1,2,..,ｓ),つまり(α_j－α_k)Ｘ_jk＝0 を意味します。

この行列の細胞表現ではｊ≠ｋならα_j≠α_kなのでｊ≠ｋならＸ_jk＝0　であり,Ｘの非対角成分はゼロです。

それ故,行列Ｘ,ＢＸ,ＸＢの具体的な形が次のように書けます。

以上から,Ｂ^Ｘ^＝Ｘ^Ｂ^を得ました。

次にＢ^とは別に,Ａ^＝Ｃ^²で負でない対称変換Ｃ^があるとします。

先のＡ^の行列表現Ａのｓ×ｓ個の細胞分割に対応して,空間ＬはＬ＝Ｌ₁＋Ｌ₂＋..＋Ｌ_sとＡ^の不変部分空間Ｌ_j(j＝1,2,..,ｓ)の直和に分解されます。

明らかにＣ^Ａ^＝Ａ^Ｃ^ですからＬ_jはＣ^に対しても不変です。

またＣ^は対称変換なので各部分空間Ｌ_jにおいてＣ^の固有ベクトルから成る正規直交基が存在します。それらに対応するＣ^の固有値をγ_j1,γ_j2,..,γ_jρとします。

また,Ａ^,Ｂ^,Ｃ^の不変部分空間に誘導される変換をＡ_j^,Ｂ_j^,Ｃ_j^と書きます。

するとＡ_j^＝α_jＥ_j^,Ｂ_j^＝α_j^1/2Ｅ_j^,かつＡ_j^＝Ｃ_j^²なのでγ_j1²＝γ_j2²＝..,γ_jρ²＝α_jです。

したがって,Ｃ_j^＝α_j^1/2Ｅ_j^＝Ｂ_j^です。

それ故,Ｃ~＝Ｂ^であり一意性も示されました。(証明終わり)

[定理4-72]:ユニタリ空間の互いに可換な負でない対称変換の積は負でない対称変換である。

(証明)Ａ₁^,Ａ₂^をユニタリ空間Ｌの互いに可換な負でない対称変換とします。

　[定理4-71]によりＡ₁^＝Ｂ₁^²,Ａ₂^＝Ｂ₂^²を満たす負でない対称変換Ｂ₁^,Ｂ₂^が存在して,これらも可換です。

　故に,Ａ₁^Ａ₂^＝Ｂ₁^²Ｂ₂^²＝Ｂ₁^Ｂ₂^Ｂ₁^Ｂ₂^＝(Ｂ₁^Ｂ₂^)²が成立します。

　ところで,Ｂ₁^Ｂ₂^＝Ｂ₂^Ｂ₁^なので[定理4-58](ⅲ)よりＢ₁^Ｂ₂^は対称であり,負でないことも明らかですから,[定理4-67の系]によってＡ₁^Ａ₂^は負でない対称変換です。(証明終わり)

[定理4-73]:ユニタリ空間の任意の１次変換Ａ^はある対称変換Ｂ^,Ｃ^によってＡ^＝Ｂ^＋iＣ^の形に表わすことができる。

　また,実ユニタリ空間の任意の１次変換Ａ^はある対称変換Ｂ^,反対称変換Ｃ^によってＡ^＝Ｂ^＋Ｃ^の形に表わすことができる。

(証明)Ｂ^≡(Ａ^＋Ａ^⁺)/2,Ｃ^≡(Ａ^－Ａ^⁺)/(2i)と置けばＡ^＝Ｂ^＋iＣ^でありＢ^⁺＝(Ａ^⁺＋Ａ^)/2＝Ｂ^,Ｃ^⁺＝(Ａ^⁺－Ａ^)/(－2i)＝Ｃ^となってＢ^,Ｃ^は対称であることがわかります。

　また,Ｂ^≡(Ａ^＋Ａ^⁺)/2,Ｃ^≡(Ａ^－Ａ^⁺)/2と置けばＡ^＝Ｂ^＋Ｃ^であり,Ｂ^⁺＝(Ａ^⁺＋Ａ^)/2＝Ｂ^,Ｃ^⁺＝(Ａ^⁺－Ａ^)/2＝－Ｃ^となってＢ^は対称,Ｃ^は反対称であることがわかります。(証明終わり)

[定理4-74](補助定理):ユニタリ空間Ｌの１次変換Ａ^,Ｂ^がベクトルの長さを同じように変える:つまり∀ｘ∈Ｌに対し(Ａ^ｘ,Ａ^ｘ)＝(Ｂ^ｘ,Ｂ^ｘなら,あるユニタリ変換Ｕ^が存在してＢ^＝Ｕ^Ａ^と書ける。

(証明)Ａ≡Ａ^Ｌ,Ｂ≡Ｂ^Ｌとします。

　∀ａ∈Ａに対し,あるｘ∈Ｌが存在してａ＝Ａ^ｘです。このとき,ｂ≡Ｂ^ｘとすればｂはａに対して一意的です。

　何故なら,もしａ＝Ａ^ｘ₁ならＡ^(ｘ－ｘ₁)＝0 ですが,仮定により(Ａ^(ｘ－ｘ₁),Ａ^(ｘ－ｘ₁))＝(Ｂ^(ｘ－ｘ₁),Ｂ^(ｘ－ｘ₁))＝0 なのでＢ^(ｘ－ｘ₁)＝0 よりＢ^ｘ＝Ｂ^ｘ₁となるからです。

　そこで,変換Ｖ^を上述のようにａ∈Ａにｂ∈Ｂに対応させるＡからＢへの写像:ｂ＝Ｖ^ａとして定義します。

　そしてＡ^とＢ^は対等なので同様にａもｂに対して一意的ですから,Ｖ^は１対１写像です。

　この定義から,あるｘ∈ＬについてＶ^Ａ^ｘ＝Ｂ^ｘです。

　次にａ₁,ａ₂∈Ａ,α,β∈Ｃとします。そして,ａ₁＝Ａ^ｘ₁,ａ₂＝Ａ^ｘ₂ (ただしｘ₁,ｘ₂∈Ｌ)とします。

　このとき,Ｖ^(αａ₁＋βａ₂)＝Ｖ^(αＡ^ｘ₁＋βＡ^ｘ₂)＝Ｂ^(αｘ₁＋βｘ₂)＝αＢ^ｘ₁＋βＢ^ｘ₂＝αＶ^ａ₁＋βＶ^ａ₂なのでＶ~は１次変換です。

　また,(Ｖ^ａ₁,Ｖ^ａ₁)＝(Ｖ^Ａ^ｘ₁,Ｖ^Ａ^ｘ₁)＝(Ｂ^ｘ₁,Ｂ^ｘ₁)＝(Ａ^ｘ₁,Ａ^ｘ₁)＝(ａ₁,ａ₁)です。

　以上からＶ^はＡからＢへの同型写像です。

　次にＡ,およびＢそれぞれの直交補空間Ａ^⊥,およびＢ^⊥を考えます。Ｌ＝Ａ＋Ａ^⊥＝Ｂ＋Ｂ^⊥です。

　ところがＡとＢが同型:dimＡ＝dimＢなので,dimＡ^⊥＝dimＢ^⊥ですからＡ^⊥とＢ^⊥も同型です。

　それ故,Ａ^⊥からＢ^⊥への同型写像Ｗ^が存在するはずです。

　つまり,ａ',ａ"∈Ａ^⊥,α,β∈ＣならＷ^ａ',Ｗ^ａ"∈Ｂ^⊥でＷ^(αａ'＋βａ")＝αＷ^ａ'＋Ｗ^ａ",かつ(Ｗ^ａ',Ｗ^ａ")＝(ａ',ａ")を満たす変換Ｗ^が存在します。

　そして,∀ｘ∈Ｌはｘ＝ｘ'＋ｘ",ｘ'∈Ａ,ｘ"∈Ａ^⊥と常に一意的に直和分解できますから変換Ｕ^をＵ^ｘ≡Ｖ^ｘ'＋Ｗ^ｘ"で定義します。

　すると,∀ｘ,ｙ∈Ｌ,α,β∈Ｃに対しＵ^(αｘ＋βｙ)＝Ｖ^(αｘ'＋βｙ')＋Ｗ^(αｘ"＋βｙ")＝αＵ^ｘ＋βＵ^ｙが成立するため,変換Ｕ^は線型です。

　また,(Ｕ^ｘ,Ｕ^ｘ)＝(Ｖ^ｘ'＋Ｗ^ｘ",Ｖ^ｘ'＋Ｗ^ｘ")＝(Ｖ^ｘ',Ｖ^ｘ')＋(Ｗ^ｘ",Ｗ^ｘ")＝(ｘ',ｘ')＋(ｘ",ｘ")＝(ｘ,ｘ)です。

　したがってＵ^はユニタリです。さらにＵ^Ａ^ｘ＝Ｖ^Ａ^ｘ＝Ｂ^ｘですから,Ｂ^＝Ｕ^Ａ^を得ます。(証明終わり)

[定理4-75]:ユニタリ空間Ｌの任意の１次変換Ａ^はユニタリ変換Ｕ^(Ｕ^⁺＝Ｕ^^-1)と負でない対称変換Ｄ^(Ｄ^⁺＝Ｄ^)の積としてＡ^＝Ｕ^Ｄ^と一意的に分解される。この分解を極分解という。

(証明)Ａ＾をユニタリ空間Ｌの任意の１次変換とすると,[定理4-67]よりＡ^⁺Ａ^は負でない対称変換です 。

　それ故,[定理4-72]からＡ^⁺Ａ^＝Ｄ^²を満たす負でない対称変換Ｄ^が存在して一意的です。

　そして,∀ｘ∈Ｌに対して(Ａ^ｘ,Ａ^ｘ)＝(ｘ,Ａ^⁺Ａ^ｘ)＝(ｘ,Ｄ^²ｘ)＝(Ｄ^ｘ,Ｄ^ｘ)ですから,[定理4-73]によりＡ^＝Ｕ^Ｄ^,Ｕ^⁺＝Ｕ^^-1と書けます。

　逆に,Ｕ^⁺＝Ｕ^^-1,Ｄ^⁺＝Ｄ^でＡ^＝Ｕ^Ｄ^ならＡ^⁺＝Ｄ^Ｕ^^-1よりＡ^⁺Ａ^＝Ｄ^²です。Ｄ^を非負に限るとこれを満たすＤ^は一意的です 。

　そして,Ａ^が正則ならＤ^も正則なのでＵ^＝Ａ^Ｄ^^-1となりＵ^も一意的です。

　Ａ^が正則でないならＤ^も正則でないのでＤ^は負ではないですが正定符号ではないため,Ａ^,Ｄ^は共にゼロ固有値を持ちます。

　ゼロ固有値以外の不変部分空間ではＡ^に対してＵ^は一意ですがそれ以外では不定です。？？(証明終わり)

[定理4-75の系]:ユニタリ空間Ｌの任意の１次変換Ａ^は負でない対称変換Ｄ^(Ｄ^⁺＝Ｄ^)とユニタリ変換Ｕ^(Ｕ^⁺＝Ｕ^^-1)の積としてＡ^＝Ｄ^Ｕ^と一意的に分解される。

(証明)[定理4.75]の証明においてＡ^⁺Ａ^＝Ｄ^²の代わりにＡ^Ａ^⁺＝Ｄ^²とするだけです。(終わり)

[定理4.76](Cayley変換):ユニタリ空間の対称変換をＡ^(Ａ^⁺＝Ａ^)とすると,Ａ^±iＥ^は逆を持ち,Ｕ^≡(Ａ^－iＥ^)(Ａ^＋iＥ^)^-1で与えられる変換Ｕ^はユニタリである。

　このＵ^は固有値として１を持たず,またＡ^＝－i(Ｕ＾＋Ｅ^)(Ｕ^－Ｅ^)^-1はと表わされる。

　逆に,Ｕ^がＵ^⁺＝Ｕ^^-1を満たし１に等しい固有値を持たないならＵ^－Ｅ^は可逆でＡ^≡－i(Ｕ＾＋Ｅ^)(Ｕ^－Ｅ^)^-1は対称でありＵ^はＵ^≡(Ａ^－iＥ^)(Ａ^＋iＥ^)^-1で与えられる。

(証明)まず,Ａ^⁺＝Ａ^よりＡ^の固有値は実数であって±iではないので|Ａ±iＥ|≠0 ですからＡ^±iＥ^は正則です。

　そして,(Ａ^＋iＥ^)(Ａ^－iＥ^)＝Ａ^²－iＡ^＋iＡ^＋Ｅ^＝(Ａ^－iＥ^)(Ａ^＋iＥ^)です。これから(Ａ^＋iＥ^)^-1と(Ａ^－iＥ^)^-1も可換です 。

　そこで,Ｕ^≡(Ａ^－iＥ^)(Ａ^＋iＥ^)^-1とするとＵ^⁺＝(Ａ^＋iＥ^)^+-1(Ａ^＋iＥ^)⁺＝(Ａ^－iＥ^)^-1(Ａ^＋iＥ^)よりＵ^Ｕ^⁺＝Ｅ^が成立することは自明です。

　次にＵ^－Ｅ^＝(Ａ^－iＥ^)(Ａ^＋iＥ^)^-1－Ｅ^なので,(Ｕ^－Ｅ^)(Ａ^＋iＥ^)＝-2iＥ^です。

　故に,(Ｕ^－Ｅ^)^-1＝(Ａ^＋iＥ^)/(－2i)です。|Ｕ－Ｅ|≠0 なのでＵ^は固有値として１を持ちません。

　しかも,(Ｕ^－Ｅ^)Ａ^＝-2iＥ^－iＥ^(Ｕ^－Ｅ^)＝－iＥ^(Ｕ^＋Ｅ^)より,Ａ^＝－i(Ｕ＾＋Ｅ^)(Ｕ^－Ｅ^)^-1となります。

　逆も同じように直線的なので以下省略します。(証明終わり)

　この線型代数シリーズはここで一区切りにします。

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光 訳)「線型代数学」(東京図書)