地震に関する過去の科学記事(バックナンバー)

　この際ですから,地震関係の過去の科学記事を紹介しておきます。

(↑ははーん？なるほど手抜きだね。)

　まず,2006年11/４の「結晶内での弾性波(地震波)」です。

　そして,2009年９/８の「定量的地震学１」,９/15の「定量的地震学２」,９/23の「定量的地震学３」,９/29の「定量的地震学４」,11/17の「定量的地震学５」,11/19の「定量的地震学６」です。

　この後,このシリーズをなぜ途中で中断したのかという理由はよく覚えていませんが,４から５の間があいてるのは10月から介護ヘルパー２級をとるために学校に通っていた時期と丁度一致しています。

　さらには,,2009年12/10の「震源の探知(大森公式等)」があります。

　最後の小記事については丸々転載しておきます。

　(転載開始)↓

　2009年12月10日　「震源の探知(大森公式等)」

今日は,ちょっと手抜きのツナギで2006年11/14の記事 「結晶内での弾性波（地震波）」の続きとして,中学か高校の地学で習った簡単な知識を披瀝してお茶をにごします。

　年末,体調はよくも悪くもないですがヒマ人なりに予定がこみ合っていて貧乏なこともありフリ－マンをエンジョイというわけにはいきません。

　ではまず,記事の再掲から始めます。

　(※再掲)

　今日は等方的とは限らない一般の結晶内での弾性波,特に地震波について考察してみます。

弾性体の密度をρ,応力テンソルを{σ_jk},それを構成する部分の局所的速度をｕ＝{ｕ_j}とすると,この弾性体が従うべき運動方程式は流体方程式と同じくρｄ²ｕ_j/ｄｔ²＝∂σ_jk/∂ｘ_kで表与えられます。

そして,歪み速度テンソル{ｕ_jk}をｕ_jk≡(∂ｕ_j/∂ｘ_k＋∂ｕ_k/∂ｘ_j)/2で定義すれば,これは{σ_jk}と同じく反対称の単なる回転を除いた対称テンソルです。これは６個の独立成分を持ちます。

線形弾性体近似では,フック(Hooke)の法則:σ_jk＝Ｃ_jklmｕ_lmが成立するため,先の運動方程式はρｄ²ｕ_j/ｄｔ²＝Ｃ_jklm(∂²ｕ_m/∂ｘ_k∂ｘ_l)となります。

Ｃ_jklmは,一般に81個の成分を持ちますが,{σ_jk}も{ｕ_jk}も対称テンソルなのでｊとｋ,ｌとｍについて対称ですから,独立成分は６×６＝36個となります。

また,歪みエネルギーＷはΔＷ＝σ_jkΔｕ_jkから求まり,対称２次形式Ｗ＝(1/2)Ｃ_jklmｕ_jkｕ_lmになるので,Ｃ_jklmはｊ,ｋとｌ,ｍの交換についても対称であり,結局,その独立成分は(30/2)＋6＝21個となります。

この方程式の平面波の解をｕ_j＝ｕ_0jexp[i(ｋｒ－ωｔ)]として代入すると,ρω²ｕ_j＝Ｃ_jklmｋ_kｋ_lｕ_mとなります。これを書き直すと(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)ｕ_m＝0 となります。

この１次方程式が自明でない解を持つためには,３行３列の行列係数:(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l) (ｊ,ｍ＝1,2,3)の行列式がゼロ,すなわち,det(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)＝0 が成立する必要があります。

そして,ω²を未知数としてこの方程式を解けば,ω²の３個の解が得られ,それらはｋの関数となります。

ところで,もしも結晶が等方性弾性体であれば,歪みエネルギーＷ＝(1/2)Ｃ_jklmｕ_jkｕ_lmは座標系の回転に対して不変なスカラーであるはずですが,ｕ_jkの２次形式の形で得られる独立な不変スカラーはｕ_kk²とｕ_jkｕ_jkのみです。

そこで,適当な係数λ,μを選んでＷ＝(1/2)λｕ_kk²＋μｕ_jkｕ_jkと書けるはずです。そこで,応力テンソル{σ_jk}＝{Ｃ_jklmｕ_lm}はσ_jk＝λｕ_llδjk＋2μｕ_jkと書けます。ここに弾性定数λ,μはラメ(Lame)の定数と呼ばれています。

このときには運動方程式もρｄ²ｕ/ｄｔ²＝(λ＋μ)∇(∇ｕ)＋μ∇²ｕと,簡単になります。

先に挙げた１次方程式の係数の行列要素はρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l＝(ρω²－μｋ²)δ_jm－(λ＋μ)ｋ_jｋ_mとなります。

ｋの向きをｘ軸の正の向きに取ると,ｋ₁＝ｋ＝|ｋ|,ｋ₂＝ｋ₃＝0 ですから,行列[(ρω²－μｋ²)δ_jm＋(λ＋μ)ｋ_jｋ_m]は対角成分が[ρω²－(λ＋2μ)ｋ²]と２つの(ρω²－μｋ²)の対角行列になります。

したがって,det(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)＝0 の解はＶ_P²≡(ω_P/ｋ)²＝(λ＋2μ)/ρ,Ｖ_S²≡(ω_S/ｋ)²＝μ/ρとなります。

それぞれの速度に対応する平面波は,速度Ｖ_Pで波の伝播方向への振動である"縦波＝Ｐ波"と,速度Ｖ_Sで波の伝播方向に垂直な方向の振動である"横波＝Ｓ波"です。

しかし,もしも異方性の弾性体の場合ならω＞0 の３つの解ω(ｋ)はｋの関数として１次の同次式ではあっても,単なる１次関数になるとは限らず,弾性波は一般に分散性の波でもあると思われます。

そこで,伝播速度は"単一波の速度＝位相速度"ではなく,群速度Ｖ＝∂ω/∂ｋで与えられると考えられます。

ところで,σ_jkやｕ_jkを[σ]＝^t(σ₁₁,σ₂₂,σ₃₃,σ₂₃,σ₃₁,σ₁₂)のように６次元の列ベクトルで表わすボイト(Vogit)の表記という表記法があります。

この表記で表現すると,フックの法則は[σ]＝Ｃ[ｕ]と簡単になります。ここでＣは６行６列のテンソル行列です。

また,このとき,特に結晶が等方性弾性体ならＣの成分のうちで独立なのはやはり２つだけで,先に述べたラメの定数はλ＝Ｃ₁₂,μ＝Ｃ₄₄＝(Ｃ₁₁－Ｃ₁₂)/2と表わされます。

例えば結晶が立方体構造をしている立方晶系では独立成分は３つです。つまり,Ｃ₁₁＝Ｃ₂₂＝Ｃ₃₃,Ｃ₁₂＝Ｃ₂₃＝Ｃ₃₁,かつ４～６行の成分は４～６列しか成分のない対角行列であってＣ₄₄＝Ｃ₅₅＝Ｃ₆₆であり,結局,この結晶構造を示すにはＣ₁₁とＣ₁₂とＣ₄₄の３つだけあれば十分である,ということになります。

この条件ではｘ軸をｋの向きに取り,先のdet(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)＝ 0 でのＣ_jklmをボイトの表記でＣを表わせば,ξ＝(ω/ｋ)²,ａ＝Ｃ₁₁/ρ,ｂ＝Ｃ₄₄/ρ,c＝Ｃ₁₂/ρとして(ξ－ａ)(ξ－ｂ)²＝0 ですから,解はξ＝ａ,ｂとなります。

つまり速度をＶ_P,Ｖ_Sとすると,Ｖ_P²＝Ｃ₁₁/ρとＶ_S²＝Ｃ₄₄/ρの２つの速度が得られます。これは等方性弾性体でのＣ₄₄＝μ,Ｃ₁₁＝λ＋2μのケースと一致しています。

一方,六方晶系ではＣ₁₁＝Ｃ₂₂で,Ｃ₁₃＝Ｃ₂₃,また４～６は対角行列でＣ₄₄＝Ｃ₅₅,Ｃ₆₆＝(Ｃ₁₁－Ｃ₁₂)/2ですから,結局のところＣ₁₁,Ｃ₁₂,Ｃ₁₃,Ｃ₃₃,Ｃ₄₄の５つだけがあれば十分となります。

結果だけ書くと,Ｖ_P²＝Ｃ₁₁/ρ,およびＶ_S²＝Ｃ₄₄/ρ,(Ｃ₁₁－Ｃ₁₂)/(2ρ)となり,"横波＝Ｓ波"には２つの速度があるので地震の観測ではＳ波のほうに２重の波が観測されると予測されます。

ただし,異方性の結晶では一般に波は完全にＳ波とＰ波になるように行列が対角形になるとは限らないので,これらの計算においては偶々波の進行方向が結晶の対称軸と一致したり直交していたりする特別なケースだけしか扱っていません。

一般的な扱いについては,暇があってその気になればまた記事にするかもしれません。

参考文献；ランダウ＝リフシッツ 著「弾性理論」(東京図書),角谷典彦 著「連続体力学」(共立出版)

(再掲終了※)

　と書きましたが,ここからもっと身近な地震の話題へとつなげます。

等方性媒質を仮定すると,Ｖ_P＝{(λ＋2μ)/ρ}^1/2,Ｖ_S＝(μ/ρ)^1/2ですからＶ_P＞Ｖ_Sです。

そこで,震源Ｏから地震を感知する場所:ＡまでＰ波,およびＳ波が到着するまでの時間を,それぞれＴ_P,およびＴ_Sと書けばＴ_P＝∫_O^A(1/Ｖ_P)ｄｓ,Ｔ_S＝∫_O^A(1/Ｖ_S)ｄｓです。

Ｖ_P＞Ｖ_Sですから,Ｔ_S＞Ｔ_Pとなります。

つまり,まず縦揺れのＰ波だけが到着しその後に横揺れＳ波も到着して両方が重ね合わされた大きい揺れが始まるのですね。

特にＯＡ間の到るところで媒質が同じ均等な弾性体であれば,この区間でＶ_P,Ｖ_Sが一定です。

そこで,このときにはＯＡ間の波の進行距離(直線距離でなくてもよい)をｄ_A≡∫_O^AｄｓとするとＴ_P＝ｄ_A/Ｖ_P,Ｔ_S＝ｄ_A/Ｖ_Sです。

これから,引き算するとＴ_S－Ｔ_P＝(ｄ_A/Ｖ_S－ｄ_A/Ｖ_P)＝ｄ_A(1/Ｖ_S－1/Ｖ_P)です。

それ故,Ｔ_SP≡Ｔ_S－Ｔ_P,ｋ≡(1/Ｖ_S－1/Ｖ_P)^-1＝Ｖ_PＶ_S/(Ｖ_P－Ｖ_S)と定義すればｄ_A＝ｋＴ_SPという比例関係の公式を得ます。

　この式は発見者の大森房吉氏(1918)の名前を取って,大森公式(Ohmori's law)と呼ばれます。

　　　　(下図は中越地震本震の地震計記録からです。)

　　　　　

こうした等方的で均質な媒質を伝わる場合,弱いＰ波だけが来て「あ,ひょっとして地震かな？」と思ってから本格的で大きな揺れがくるまでの初期微動の時間をＴ_SPとするとその地点Ａから震源Ｏまでの距離ｄ_AはＴ_SPに比例します。

初期微動時間が長いほど震源までの距離(地理的な距離だけでなく震源深さまでも含めた距離)が長いということが言えます。もしも震源が直下にあれば縦揺れは上下震動,横揺れは左右震動になります。

さて,標高ｈが違う３地点Ａ,Ｂ,Ｃがありその座標がそれぞれ(ｘ_A,ｙ_A,ｈ_A),(ｘ_B,ｙ_B,ｈ_B) (ｘ_C,ｙ_C,ｈ_C)であるとき,上記のような公式に基づいて初期震動時間の観測から観測点から震源までの距離ｄ_A,ｄ_B,ｄ_Cが全てわかったとします。

このとき,未知の震源Ｏの座標を(ｘ_O,ｙ_O,ｈ_O)と仮定すれば地震波が全て直進ならｄ_A²＝(ｘ_A－ｘ_O)²＋(ｙ_A－ｙ_O)²＋(ｈ_A－ｈ_O)²,ｄ_B²＝(ｘ_B－ｘ_O)²＋(ｙ_B－ｙ_O)²＋(ｈ_B－ｈ_O)²,ｄ_C²＝(ｘ_C－ｘ_O)²＋(ｙ_C－ｙ_O)²＋(ｈ_C－ｈ_O)²が成立します。

これは３つの未知数ｘ_O,ｙ_O,ｈ_Oに対する３つの連立２次方程式ですから解くことが可能です。つまり,正確に震源までの距離を観測できる点が３個あれば原理的には震源の位置がわかります。これは３点法と呼ばれるものですね。

普通,震源の高さｈ_Oは海抜で測って負の数であり震源は地中または海中にあります。

大森公式ｄ_A＝ｋＴ_SPは地震に対する公式で大森係数と呼ばれるｋ＝Ｖ_PＶ_S/(Ｖ_P－Ｖ_S)は８(ｋｍ/ｓ)程度の値ですが,この式は雷における音と光の２つのように速さの異なる２つの信号が届く現象では全く同じ公式が成立します。

ただし,雷の場合は光速がｃ～30万km/ｓ,空気中の音速がｖ～340ｍ/ｓでｃ＞＞ｖなのでｋ＝ｃｖ/(ｃ－ｖ)～ｃｖ/ｃ＝ｖですから,事実上ｄ_A～ｖＴなのでほとんど光速は関係なしです。(Ｔは光が見えてから音が聞こえるまでの時間です。)

例えば,ピカッと光ってから雷の音が聴こえるまでの時間が１秒なら,自分から340ｍ程度離れたところ(空中かもしれません)で"放電＝落雷"があったと推測されます。

PS：＞私のマノン・レスコーたちへ　

　病気とか事故に会っていなければどこで誰と遊んでいてもいいけれど,連絡つかない状況だととにかく心配です。大丈夫かなあ。。。。)

　("マゾ, ロリコン, 準デブ専, メガネフェチ＝変態"のＴＯＳＨＩより。。)

(Ｔ.ウッズも聖人君子ではなく適当にストレスを解消しているらしいので安心しました。あれだけの収入を得る能力があれば大勢の家族を養えますね。

　性欲のある健康な男だし,大有名人で品行方正キャラが売り物なら日本だと風俗通いもままならないので女遊びは囲い込むしか仕方ないとして,もしもプロテスタントならマドンナの養子のように大勢を扶養するのはむしろ義務かな？)

PS2:ドクちゃんって日本が好きなんだ。。？？

　国ではなくて故郷(くに)が好きなんでしょ？

　http://news.aimu-net.com/read.cgi/wildplus/1257045443/

PS3:「陳情政治」からいきなり「非陳情政治」へと革命的に移行するのではなく,途中で１人(小沢さん)に権力が集中するシステムを経る。。

　共産革命でも過渡期ではプロレタリア独裁(現実には中国では毛沢東,ロシアではレーニンの１人独裁)です。それはそれでマヌーバとしてありなのでしょうが独裁者がプラトン的(プラトニック)に正しい哲人でいるうちはいいけど,うまく移行できないと"元の木阿弥"か,もっと悪くなります。

　小沢氏が中国に大挙して出かけていって米国にブラフかけて「ポッポ政権」を裏で後押ししてるのかも知れないけど,うまくいくのかねえ。基地問題。。

　朝っぱらから女子アナが「吉宗は何将軍？」と聞かれて「暴れん坊将軍？」と答えていました。それでもいいんだろうけど,ニュース番組なので一応「米(コメ)将軍だろ？」とツッコミたくなりました。。。アハハ

　↑(転載終了)