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2011年4月 8日 (金)

量子電磁力学の輻射補正(2)(真空偏極-1)

 輻射補正の続きです。まずは真空偏極グラフの計算からです。

 

§8.2 Vacuum Polarization(真空偏極)

 

 図8.4を再掲します。

 

 このうち最も厳しい発散は,図8.4(e)の閉電子loopに対応する

 Sfi(4e)の光子伝播関数の次の置換の補正から生じます。

 

 すなわち,

(-igμν){(p1+q1)2+iε}-1

 → (-i){(p1+q1)2+iε}-1μν(p1+q1){(p1+q1)2+iε}-1

 ≡(-1)[(-i){(p1+q1)2+iε}-1]2ε0-1∫d4k(2π)-4

 {Tr(-ieγμ)(-m+iε)-1(-ieγν)

(11-m+iε)-1]

なる置換です。

 

 この寄与を,光子の2次の自己エネルギー部分と呼びます。

 

 積分は2つの電子伝播関数を含み,そこで分母にはkがたった2次しかないので2次の発散をします。

 

 この2次の発散は2010年7/26の記事:

 「散乱の伝播関数の理論(17)(応用3-2)」のBremsstrahlung

 (制動輻射)の項において論じられたようなゲージ不変性の要求

 に訴えることにより,もっともらしく論じることができて,

 ある意味では,一掃することができます。

 

 グラフ(e)の伝播関数の置換:

 "(-igμν)(q2+iε)-1

 → (-i)(q2+iε)-1μν(q)(q2+iε)-1" に対して

"ゲージの変化Aμ(q) → Aμ(q)+qμΛ(q)が物理的振幅

の計算の最終結果を変えてはいけない。"という要請は次の意味

を持ちます。

 

 図8.4(e)の光子は制動輻射やCompton散乱で生じるような

Einstein条件:q2=0 を満たす実光子(real photon)とします。

 

 下図8.5に描写したように,電子loopはAμ(q)が相互作用する

ブラックボックス(?=頂点)を流れるcurrentに対してe2補正

を与えます。 

   

 それ故,置換:(-igμν)(q2+iε)-1

 → (-i)(q2+iε)-1μν(q)(q2+iε)-1 に対するゲージ

不変の要請は,

"q2=0 ならqμμν(q)=0 "でなければならないこと

を意味します。

 

(注):Aμ(x) →Aμ(x)+∂μΛ(x)に対して,波動関数は

ψ(x) → ψ(x)exp{-ieΛ(x)/c}なる位相変化を受けます。

(自然単位系なので,以下ではc=1とします。)

 

 しかし,物理量(実在)を与えるψ~γψのようなψの

双1次形式(bilinear-form)では位相が消えるため散乱振幅

fiは不変です。※

 

μνの定義:(q2+iε)-1μν(q)(q2+iε)-1

≡(-1){(-i)ε0-1{(q12+iε)-1}2∫d4k(2π)-4

{Tr(-ieγμ)(-m+iε)-1(-ieγν)(-m+iε)-1}

から,

 

ゲージ不変性は,μμν(q)=-ε0-12∫d4k(2π)-4

 Tr[(-m+iε)-1γν(-m+iε)-1]

 =-ε0-12∫d4k(2π)-4Tr[(-m+iε)-1

 ×{(-m+iε)-(-m+iε)}(-m+iε)-1γν]

 =-ε0-12∫d4k(2π)-4

 Tr [{(-m+iε)-1-(-m+iε)-1ν]

 がゼロになることを意味します。

 

もしも上記積分が"有限値"を取るなら,右辺の被積分関数のTr[ ]

の中の(第1項)は,k→(k-q)なる積分変数のシフト(置換積分)

で丁度(-)符号抜きの(第2項)に等しくなるためゼロとなって

自動的にゲージ条件は満たされます。

 

しかし,残念ながら実際にはk→ ∞までわたる領域での上記積分

は第1項,第2項とも有限にはならず,その結果この段階では

μμν(q)は不定のままです。

 

そこで,議論をこれ以上先に進めるために,kの積分を

その高振動数領域で切断(cutoff)します。

 

すなわち,Iμν(q)≡Iμν(q;:m2)

 → I~μν(q)=Iμν(q;m2)+Σii(Mi2)Iμν(q;Mi2)

と置換します。

 

 ただしMi2は非常に大きい平方質量で係数Ciはこの置換:

μν→I~μνで,元の積分が収束するように選択される

ものとします。

 

 この切断方法は一意的ではなく,今のところ当面の数学を

実行するための便宜です。

   もしも,この結果として物理的に測定可能な量が,いずれか

の切断パラメータに依存するようなら;この理論は失敗です。

 

 とにかく,こうした発散量の存在は大運動量(大振動数)に

おける, あるいは同じことですが座標空間での短距離における

理論上の困難です。

 

(↑※これを短距離特異性といいます。)

 

いずれにしろこの切断方法の採用は,当面ゲージ条件:

μμν(q)=0 が維持されるいう利点があります。

 

さてqμμν(q)=0 を満たすIμν(q)の具体的計算を

行ないますが,これは伝播関数の分母を次のような恒等式

によって指数関数因子に上げることで最も容易に計算できます。

 

すなわち,

i(-m+iε)-1=i/(-m+iε)=-(+m)/(k2-m2+iε)

=(+m)∫0dz[exp{iz(k2-m2+iε)}]

なる公式です。

 

これを用いれば,Iμν(q)=-4(-ie)2ε0-1

 0dz10dz2∫d4k(2π)-4

 {kμ(k-q)ν+kν(k-q)μ-gμν(k2-kq-m2)}

exp[iz1(k2-m2+iε)+iz2{(k-q)2-m2+iε}]

と書けます。

 

(↑既にトレース計算実行後です。)

 

(注):Tr[γμ(+m)γν(+m)]­=Tr[γμγν()+m2Tr(γμγν)=4[kμ(k-q)ν+kν(k-q)μ-gμν(k2-kq-m2)]です。※

 

次に,4元運動量積分の積分変数kを,l=k-qz2/(z1+z2)

=k-qz1/(z1+z2)によって変数lへと置換します。

こうすると,まずはd4k=d4lです。

 

そして,再掲式:

μν(q)=-4(-ie)2

0dz10dz2∫d4k(2π)-4

[kμ(k-q)ν+kν(k-q)μ-gμν(k2-kq-m2)]

exp[iz1(k2-m2+iε)+iz2{(k-q)2-m2+iε}]

において,

 

指数部分は,iz1(k2-m2+iε)+iz2{(k-q)2-m2+iε}

=i{z12+z2(k-q)2}-i(z1+z2)(m2-iε)であり,

この第1項は,

12+z2(k-q)2=z12+z22-2z2kq+z22

=l2(z1+z2)+q212/(z1+z2) です。

 

また,kμ(k-q)ν+kν(k-q)μ

={lμ+qμ2/(z1+z2)}{lν-qν1/(z1+z2)}

+{lν+qν2/(z1+z2)}{lμ-qμ1/(z1+z2)}

=2lμν-2qμν12/(z1+z2)2+(lの1次の項)

となります。

 

さらに,k2-kq-m2

={l+qz2/(z1+z2)}2-{l+qz2/(z1+z2)}q-m2

=l2-q212/(z1+z2)2-m2+(lの1次の項)

と書けます。

 

ここで便利な恒等式:

(1)∫d4l(2π)-4{exp{il2(z1+z2)}}={16π2i(z1+z2)2}-1,

(2)∫d4l(2π)-4[lμexp{il2(z1+z2)}]=0 ,

(3) ∫d4l(2π)-4[lμνexp{il2(z1+z2)}]

={32π2(z1+z2)3}-1μν

を用います。

 

(注):(証明)(1)I0≡(2π)-1-∞exp{il02(a+iε)}dl0

とおくと.I02=(2π)-2-∞exp{i(x2+y2)(a+iε)dxdy}

=(2π)-10rexp{ir2(a+iε)}dr=i/(4πa)

=exp(iπ/2)/(4πa)なので,0=(4πa)-1/2exp(iπ/4) です。

 

次に,I1(2π)-1-∞exp{-il12(a+iε)}dl1とおくとI12=-i/(4πa)=exp(-iπ/2)/(4πa)なのでI1=(4πa)-1/2exp(-iπ/4)です。

 

よって,I≡(2π)-4-∞4lexp{il2(a+iε)}

=(16π22)-1exp(-iπ/2)=(16π2ia2)-1 を得ます。

 

(2)さらに,被積分関数が積分変数の奇関数なので

-∞0exp{il02(a+iε)}dl0

=∫-∞kexp{-ilk2(a+iε)}dlk=0 (k=1,2,3)

は明らかです。 

(↑※∫-∞は必ずしもlim R→∞-RRを意味しませんが,被積分関数

がO(1/R2)のオーダーであれば∫-∞は.lim R→∞-RRと同等です。)

 

 よって(2π)-4∫d4l[lμexp{ia(l2+iε)}]=0 (μ=0,1,2,3)

を得ます。

 

(3) (2)と同じ理由でμ≠νのときには,

(2π)-4∫d4l[lμνexp{ia(l2+iε)}]=0 です。

 

 μ=ν=0 のときは,

0≡(2π)-1-∞exp{il02(a+iε)}dl0

 =(4πa)-1/2exp(iπ/4)より,

(2π)-1-∞02exp{il02(a+iε)}dl0

 =(-i)(dI0/da)=(16π23)-1/2exp(3iπ/4) ですから,

 

 (2π)-4∫d4l[l02exp{il2(a+iε)}]

=(2π)-4∫dl0 [l02exp{il2(a+iε)}]

×Πk=13∫dlkexp{-ilk2(a+iε)}]

=(32π23)-1[exp(3iπ/4-3iπ/4)]

=(32π23)-1  を得ます。

 

 同様に,μ=ν=k(k=1,2,3)のときは,

(2π)-1-∞k2exp{-ilk2(a+iε)}dlk

=i(dIk/da)=(16π23)-1/2exp(-3iπ/4)

より,

 

(2π)-4∫d4l[lk2exp{il2(a+iε)}]

=(32π23)-1[exp(iπ/4-iπ/4- iπ/4-3iπ/4)]

=-(32π23)-1 です。 (証明終わり)※

 

よって,(lの1次の項)は無視して

μν(q)=-4(-ie)2ε0-1

0dz10dz2∫d4l(2π)-4

 [2lμν-2qμν12/(z1+z2)2

 -gμν{l2-q212/(z1+z2)-m2}]exp[i{l2(z1+z2)

+q212/(z1+z2)-(m2-iε)(z1+z2)}] ですが,

 

右辺の∫d4l(2π)-4の積分を実行すると,

-i(α/π)∫0dz10dz2(z1+z2)-2

[2(gμν2-qμν)z12/(z1+z2)2

+gμν{-i/(z1+z2)-q212/(z1+z2)2+m2}]

exp[i{q212/(z1+z2)-(m2-iε)(z1+z2)}]

が得られます。

 

ここで,微細構造定数(fine structure constant)

α=e2/(4πε0)を用いました。(α ~ 1/137です。)

 

さて,切断による補正:

~μν(q)=μν(q:m2)+Σii(Mi2)Iμν(q:Mi2)を,

改めて第1項も含めた形で,

~μν(q)=Σjj(mj2)Iμν(q:mj2) と書きます。

 

れを陽に書けば,

~μν(q)=-i(α/π)Σjj0dz10dz2(z1+z2)-2

[2(gμν2-qμν)z12/(z1+z2)2

+gμν{-i/(z1+z2)-q212/(z1+z2)2

+mj2}]exp[i{q212/(z1+z2)-(mj2-iε)(z1+z2)}]

です。

 

質量切断で右辺の積分は有限になると仮定されているため,

μ(gμν2-qμν)=qν2-q2ν=0 により

~μν(q)のうち(gμν2-qμν)に比例する項は自動的

にゲージ条件を満たします。

 

しかしgμνに比例する項はゲージ条件を満たさないと見えます。

 

ところが,これらの項はゲージ条件を満たす満たさない以前に

値としてゼロであり消えてしまうことを示すことができます。

 

まず,人為的な単位付けの任意性を意味するスケール変換不変性

から,z1→λz1,z2→λz2の置換に対して積分は不変です,

 

すなわち,Σjj00dz1dz2(z1+z2)-2

{mj2-i/(z1+z2)-q212/(z1+z2)2}

exp[i{q212/(z1+z2)-(mj2-iε)(z1+z2)}]

Σjj00dz1dz2(z1+z2)-2{mj2-i/{λ(z1+z2)}

-q212/(z1+z2)2}exp[iλ{q212/(z1+z2)

-(mj2-iε)(z1+z2)}] です。

 

最右辺は,iλ(∂/∂λ)(Σjj00dz1dz2(z1+z2)-2

exp[iλ{q212/(z1+z2)-(mj2-iε)(z1+z2)}])

と書けます。

 

ところが,再び,z1→z1/λ,z2→z2/λなるスケール変換

によりΣjj00dz1dz2(z1+z2)-2

exp[iλ{q212/(z1+z2)-(mj2-iε)(z1+z2)}]

Σjj00dz1dz2(z1+z2)-2

exp[i{q212/(z1+z2)-(mj2-iε)(z1+z2)}]

となります。

 

したがって,Σjj00dz1dz2(z1+z2)-2

exp[iλ{q212/(z1+z2)-(mj2-iε)(z1+z2)}]は

λには依存しないため,これが有限ならλによる微分は

恒等的にゼロです。

 

これで,切断結果が有限であれば確かにゲージ条件が満たされる

ことが示されましたが,たった今消えることを示した以外の項,

ゼロでないI~μνへの残りの寄与はどうなるのでしょうか?

 

以下ではこれを評価しますが,これも同じスケール変換(縮約)

のトリックで処理されます。

 

このため,恒等式:1=∫0dλλ-1δ(1-(z1+z2)/λ)

を用いて因子1を挿入します。

 

すると,~μν(q)=-(2iα/π)(gμν2-qμν)

Σjj000dz1dz20dλλ-112(z1+z2)-4

δ(1-(z1+z2)/λ)exp[i{q212/(z1+z2)-(mj2-iε)

(z1+z2)}] です。

 

ここで,z1→λz1,z2→λz2を行なえば

~μν(q)=-(2iα/π)(gμν2-qμν)

00dz1dz212δ(1-z1-z2))

0dλλ-1Σjjexp[iλ{q212-mj2+iε}]

を得ます。

 

しかし,残念なことに切断抜きではλによる積分は対数発散

します。

 

(↓※ゲージ不変性のおかげで2次発散を 0次の対数発散にまで

軽減できましたが発散そのものはまだ残ります。)

 

特に,切断I~μν(q)=Σjjμν(q;mj2)=μν(q;m2)+Σii(Mi2)Iμν(q:Mi2)において,C1=-1,C2=C3=..=0 と選びます。

 

なわち,I~μν(q)≡Iμν(q;m2)-Iμν(q;M2)とします。

 

すると,~μν(q)=-(2iα/π)(gμν2-qμν))

00dz1dz212δ(1-z1-z2))

0dλλ-1[exp{iλ(q212-m2+iε)}

-exp[iλ(q212-M2+iε)}])

 

(2iα/π)(gμν2-qμν)∫01dzz(1-z)

0dλλ-1(exp[iλ{q2z(1-z)-M2+iε}]

-exp[i{q2z(1-z)-m2+iε)}]  となります。

 

したがって,I~μν(q)~ (2iα/π)(gμν2-qμν)

01dzz(1-z)log[M2/{m2-q2z(1-z)}]={iα/(3π)}

(gμν2-qμν)[log(M2/m2)-6∫01dzz(1-z)log{1

-(q2/m2)z(1-z)} が得られます。

 

これは明らかにM2 → ∞に対して対数発散します。

 

※(注):∫0dλλ-1{exp(iλa)-exp(-iλb)}を計算します。

 

これは,∫0dλ[{isin(aλ)-isin(bλ)}/λ]

+∫0dλ[{cos(aλ)-cos(bλ)}/λ]

=2∫0dλ[isin{λ(a-b)/2}cos{λ(a+b)/2}

-sin{λ(a-b)/2}sin{λ(a+b)/2}/λ]  です。

 

a=q2z(1-z)-m2+iε,b=q2z(1-z)-M2+iε

ですから,(a-b)/2=(M2-m2)/2>0であり,

(a+b)/2=q2z(1-z)-(M2+m2)/2 です。

 

2が小さいときには|a+b|/2>(a-b)/2ですが,q2が大きく

なると|a+b|/2<(a-b)/2 です。

 

右辺第1項の∫0dλ[sin{λ(a-b)/2}cos{λ(a+b)/2}/λ]

は,2が小さいときにはゼロ,2が時間的(正)で大きいときには

これは,πi/2です。

 

一方,右辺第2項は

0dλ[sin{λ(a-b)/2}sin{λ(a+b)/2}/λ]

=-log|a/b|=log|b/a|

=log{{M2-q2z(1-z)}/{m2-q2z(1-z)}|

~ log[M2/{m2-q2z(1-z)}] です。

 

(数学公式集(岩波全書)参照)

 

また∫01dzz(1-z)=1/6です。   (注終わり)※

 

今日はここで終わります。

 

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics"(McGrawHill)

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114 . 場理論・QED」カテゴリの記事

コメント

しかし,残念なことに切断抜きではλによる積分は対数発散します。

しかし,残念なことに切断抜きではλによる積分値は対数発散します。

投稿: 凡人 | 2013年4月18日 (木) 21時20分

もしも上記積分が"有限値"を取るなら,

もしも上記積分値が"有限値"を取るなら,

kの積分をその高振動数領域で切断(cutoff)します。

kの積分値をその高振動数領域で切断(cutoff)します。

投稿: 凡人 | 2013年4月18日 (木) 00時03分

I02=(2π)-2∫-∞∞exp{i(x2+y2)(a+iε)dxdy} ⇨ I02=(2π)-2∫-∞∞exp{i(x2+y2)(a+iε)}dxdy
=∫-∞lkexp{-ilk2(a+iε)}dlk=0 ⇨ =∫-∞∞lkexp{-ilk2(a+iε)}dlk=0
∫0∞∫0∞∫0∞dz1dz2 ⇨ ∫0∞∫0∞dz1dz2
I~μν(q)=-(2iα/π)(gμνq2-qμqν))∫0∞∫0∞dz1dz2z1z2δ(1-z1-z2))∫0∞dλλ-1[exp{iλ(q2z1z2-m2+iε)}-exp[iλ(q2z1z2-M2+iε)}]) ⇨ I~μν(q)=-(2iα/π)(gμνq2-qμqν)∫0∞∫0∞dz1dz2z1z2δ(1-z1-z2)∫0∞dλλ-1[exp{iλ(q2z1z2-m2+iε)}-exp[iλ(q2z1z2-M2+iε)}]
=(2iα/π)(gμνq2-qμqν)∫01dzz(1-z)∫0∞dλλ-1(exp[iλ{q2z(1-z)-M2+iε}]-exp[i{q2z(1-z)-m2+iε)}] ⇨ =(2iα/π)(gμνq2-qμqν)∫01dzz(1-z)∫0∞dλλ-1(exp[iλ{q2z(1-z)-M2+iε}]-exp[i{q2z(1-z)-m2+iε)}])
[log(M2/m2)-6∫01dzz(1-z)log{1-(q2/m2)z(1-z)} ⇨ [log(M2/m2)-6∫01dzz(1-z)log{1-(q2/m2)z(1-z)}]
=log{{M2-q2z(1-z)}/{m2-q2z(1-z)}| ⇨ =log|{M2-q2z(1-z)}/{m2-q2z(1-z)}|

投稿: hirota | 2013年4月17日 (水) 00時07分

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