量子電磁力学の輻射補正(3)(真空偏極-2)

　輻射補正の続き,真空偏極補正の残りです。

 Ｍ²が大きいときに,

Ｉ_μν(ｑ)～{iα/(3π)}(ｑ_μｑ_ν－ｑ²ｇ_μν)[log(Ｍ²/ｍ²)

－6∫₀¹ｄｚ[ｚ(1－ｚ)log{1－ｑ²ｚ(1－ｚ)/ｍ²}]　

の物理的意味を理解するため,図8.1(ｅ)におけるように散乱への

電子線の閉loopの寄与を考えます。

　　　　　　

 まず,電子-陽電子散乱の２次の振幅:

　Ｓ_fi^B＝(ｅ²ｍ²/ε₀Ｖ²)(Ｅ_p1Ｅ_pi'Ｅ_q1Ｅ_q1')^-1/2

　[{ｕ~(ｐ_1'')(－iγ_μ)ｖ(ｑ₁)}{ｖ~(ｑ₁)(－iγ^μ)ｕ(ｐ₁')}(－i)

　{(ｐ₁－ｐ₁')²＋iε}^-1－{ｕ~(ｐ₁')(－iγ_μ)ｖ(ｑ₁')}

　{ｖ~(ｑ₁)(－iγ^μ)ｕ(ｐ₁)}(－i){(ｐ₁＋ｑ₁)²＋iε}^-1]

　×(2π)⁴δ⁴(ｐ₁'＋ｑ₁'－ｐ₁－ｑ₁)

　を再掲します。

　これの第２項:

　－{ｕ~(ｐ₁')(－iγ_μ)ｖ(ｑ₁()}{ｖ~(ｑ₁)(－iγ^ν)ｕ(ｐ₁)}

　(－iｇ_μν){(ｐ₁＋ｑ₁)²＋iε}^-1(2π)⁴δ⁴(ｐ₁'＋ｑ₁'－ｐ₁－ｑ₁)

　に４次の真空偏極補正を加えた振幅は,

　光子伝播関数(propagator)を元の(－iｇ_μν){(ｐ₁＋ｑ₁)²＋iε}^-1

　から,これとこれの置換;　(－iｇ_μν){(ｐ₁＋ｑ₁)²＋iε}^-1

　→ {(ｐ₁＋ｑ₁)²＋iε}^-1Ｉ_μν(ｐ₁＋ｑ₁)²(ｐ₁＋ｑ₁)²＋iε}^-1

　の総和へと変更する,光子伝播関数因子の修正で表現されます。

 補正項を加え修正された光子伝播関数は,

　－iｇ_μν/ｑ²＋(－i/ｑ²)Ｉ_μν(ｑ)(－i/ｑ²)　です。

　これに,具体的に,

　Ｉ_μν(ｑ)＝{iα/(3π)}(ｑ_μｑ_ν－ｑ²ｇ_μν)[log(Ｍ²/ｍ²)

　－6∫₀¹ｄｚ[ｚ(1－ｚ)log{1－ｑ²ｚ(1－ｚ)/ｍ²}]

　を代入し,さらに電子頂点(vertex)におけるcurrent(電流)の保存

　によって消えるｑ_μとｑ_νに比例する項を全て落とします。

　(※↑ 光子の縦波成分は散乱振幅には,一切寄与しません。)

 すると,光子伝播関数の寄与は,

  (－iｇ_μν/ｑ²)[1－{α/(3π)}log(Ｍ²/ｍ²)

＋(2α/π)∫₀¹ｄｚ[ｚ(1－ｚ)log{1－ｑ²ｚ(1－ｚ)/ｍ²}]

と書き換えられます。

　これは,αの１次のオーダーまで補正された光子伝播関数を

表わしています。

※(注1):ここまで一貫して使用している自然単位系:

ｃ＝ｈ/(2π)＝1 でのcurrent:ｊ^μ(ｘ)＝(ρ(ｘ),ｊ(ｘ))の保存

は,∂_μｊ^μ＝∂ｊ^μ/∂ｘ^μ＝0 (連続方程式:∂ρ/∂ｔ＋∇ｊ＝0)

で与えられます。

　具体的には,電荷ｅの因子を除くcurrent(電流)は,状態１→状態２

の流れでは,ｊ^μ(ｘ)＝ψ₂~(ｘ)γ^μψ₁(ｘ)で与えられます。

　ただし,ψ~(ｘ)≡ψ+(ｘ)γ⁰です。

　特に,ψ₁,ψ₂が共に正エネルギーなら,

ｊ^μ(ｘ)＝Ｃｕ~(ｐ₂)γ^μｕ(ｐ₁)exp{－i(ｐ₂－ｐ₁)ｘ}より,

∂_μｊ^μ＝Ｃiｕ~(ｐ₂)(ｐ₂－ｐ₁)ｕ(ｐ₁)exp{－i(ｐ₂－ｐ₁)ｘ}

＝iＣｕ~(ｐ₂){(ｐ₂－ｍ)－(ｐ₁－ｍ)}ｕ(ｐ₁)exp{－i(ｐ₂－ｐ₁)ｘ}

＝0 です。(ただし,Ｃは規格化定数でｐ≡ｐ_μγ^μです。)　

　そこで保存則:∂_μｊ^μ＝0 は,運動量空間では(ｐ₂－ｐ₁) _μｊ^μ＝0

を意味します。

　一方,ψ₁が正エネルギー,ψ₂が負エネルギーｑ₂なら

　ｊ^μ(ｘ)＝Ｃｖ~(ｑ₁)γ^μｕ(ｐ₁)exp{－i(ｑ₂＋ｐ₁)ｘ}より,

　∂_μｊ^μ＝Ｃiｖ~(ｑ₂)(ｑ₂－ｐ₁)ｕ(ｐ₁)exp{－i(ｑ₂＋ｐ₁)ｘ}

　＝iＣｕ~(ｐ₂){(－ｑ₂－ｍ)－(ｐ₁－ｍ)}

　ｕ(ｐ₁)exp{－i(－ｑ₂－ｐ₁)ｘ}＝0 です。

　この場合にも保存則:∂_μｊ^μ＝0 の運動量空間での表現は.

　(ｑ₂＋ｐ₁) _μｊ^μ＝0 です。(注1終わり)※

　したがって,任意のFeynman-diagramにおいて２つの保存current

　の間を結ぶ１光子交換に対する振幅の電子閉ループの効果は

　,(－iｇ_μν/ｑ²)[1－{α/(3π)}log(Ｍ²/ｍ²)

　＋(2α/π)∫₀¹ｄｚ[ｚ(1－ｚ)log{1－ｑ²ｚ(1－ｚ)/ｍ²}]

　で与えられます。

　そこで,運動量遷移が小さい極限のｑ²＝0 (実光子:on-shell)

　では,光子伝播関数は－iｇ_μν/(ｑ²＋iε)から,積因子:

　Ｚ₃≡1－{α/(3π)}log(Ｍ²/ｍ²)だけの変更を受けます。

　それ故,例えば小さい運動量遷移に対する電荷－Ｚｅ＞0 の原子核

　による電子のCoulomb散乱振幅は,最低次の近似で

　iＺｅ²ｕ~γ⁰ｕ/(ε₀ｑ²)から,

iｅ_R²ｕ~γ⁰ｕ/(ε₀ｑ²)≡iＺ₃Ｚｅ²ｕ~γ⁰ｕ/(ε₀ｑ²)

  ～ {iＺｅ²ｕ~γ⁰ｕ/(ε₀ｑ²)}[1－{α/(3π)}log(Ｍ²/ｍ²)]

へと修正されます。

　Ｚは原子番号で,これと似た記号で紛らわしいのですが,修正因子

Ｚ₃は一般にはαの２次以上の全ての高次補正を考慮して

Ｚ₃＝1－{α/(3π)}log(Ｍ²/ｍ²)]＋Ｏ(α²)と書きます。

　(※Ｚ₃を真空偏極での"くりこみ係数"と呼びます。)

　したがって,電磁相互作用を含むDirac方程式:

　{γ^μ(i∂_μ－ｅＡ_μ)－ｍ}ψ＝0 に現われるパラメータｅの二乗は　

　実は4πε₀α～ 4πε₀/137ではなく,これより幾らか大きい値で

　あると結論されます。

　何故なら実際に4πε₀αの測定にあずかるのはｅ²ではなく

　ｅ_R²＝Ｚ₃ｅ²なので,ｅ²＞ｅ_R²＝4πε₀αであると考えられるからです。

　ｅ_Rはくりこまれた電荷(renormalised charge)と呼ばれ,ｅは裸の

　電荷(bare charge)と呼ばれます。

　裸の電荷という呼称に対応して,くりこまれた電荷ｅ_Rは着物を着た

　電荷(dressed charge)と呼ばれることもあります。

 以上から,光子が交換される任意のプロセスでは積因子Ｚ₃が存在

　することがわかります。

　そしてｅ_R²＝Ｚ₃ｅ²～ｅ²[1－{α/(3π)}log(Ｍ²/ｍ²)]ですが,

　これは運動量遷移ｑには無関係です。

 このことから真空の静的分極性から生じる電子の電荷にも同じ"

　くりこみ(renormalization)"が存在すると思われます。

　それ故,裸のｅの代わりに観測電荷ｅ_Rによって断面積を書き直

　せばｅ²のオーダーでの発散は消えます。

　このとき,観測量(observable)である運動量依存の補正はｑ² → 0

　 の静的極限では消える項:

　(2α/π)∫₀¹ｄｚ[ｚ(1－ｚ)log{1－ｑ²ｚ(1－ｚ)/ｍ²}]

　に由来しますが,この寄与は有限ですから計算のために採用された

　切断方法には独立です。

　裸の物理的電荷間の関係だけが切断に依存するわけです。

　低エネルギー遷移の極限:|ｑ²/ｍ²|＜＜1では,例えば２次の

　Coulomb散乱振幅因子:{iｅ²ｕ~γ⁰ｕ/(ε₀ｑ²)}は次の係数だけ

　変わります。

　すなわち,

　{iｅ²ｕ~γ⁰ｕ/(ε₀ｑ²)}[1－{α/(3π)}log(Ｍ²/ｍ²)

　－{α/(15π)}(ｑ²/ｍ²)]

　～ {iｅ_R²ｕ~γ⁰ｕ/(ε₀ｑ²)}[1－{α_R/(15π)}(ｑ²/ｍ²)＋Ｏ(α_R²)]

　と書けます。

 何故なら,元の裸のαはくりこみ後ではもはや観測される微細構造

定数 ～ 1/137 に対応するものではなく,

α_R≡ｅ_R²/(4πε₀) ～1/137 であり,

1/137 ～ α_R＝α[1－{α/(3π)}log(Ｍ²/ｍ²)]＜＜αである

からです。

※(注2):|ｑ²/ｍ²|＜＜1ではlog{1－ｑ²ｚ(1－ｚ)/ｍ²}

  ～ －ｑ²ｚ(1－ｚ)/ｍ²で∫₀¹ｄｚｚ²(1－ｚ)²＝1/30なので,

(2α/π)∫₀¹ｄｚ[ｚ(1－ｚ)log{1－ｑ²ｚ(1－ｚ)/ｍ²}]

～ －{α/(15π)}(ｑ²/ｍ²)です。  (注2終わり)※

 {iｅ_R²ｕ~γ⁰ｕ/(ε₀ｑ²}[1－{α_R/(15π)}(ｑ²/ｍ²)]は

座標空間では[1－{α_R/(15πｍ²)}∇²]ｅ_R²/(4πε₀ｒ)

＝ｅ_R²/(4πε₀ｒ)＋{ｅ_R²α_R/(15πε₀ｍ²)}δ³(ｘ)　なる形の

相互作用として表現されます。

※(注3):何故なら,

2010年６/14の記事「散乱の伝播関数の理論(11)」

によれば,電荷がＺの原子核によるCoulomb散乱の２次の振幅

(S行列要素)は,Ｓ_fi＝(iＺｅ²ｍ/(ε₀Ｖ)(Ｅ_fＥ_i)^-1/2

[{ｕ~(ｐ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i)}/|ｑ|²]2πδ(Ｅ_f－Ｅ_i)　ですが,

　このケースでは,ｑ⁰＝ｑ₀＝Ｅ_f－Ｅ_i＝0 よりｑ²＝－|ｑ|²であり,

∫ｄ⁴ｘexp(iｑｘ)/(4πｒ)＝2πδ(Ｅ_f－Ｅ_i)(1/|ｑ|²)　です。

　それ故,∫ｄ⁴ｘ{²exp(iｑｘ)}/(4πｒ)＝2πδ(Ｅ_f－Ｅ_i)(－|ｑ|²/ｑ²)

　＝ｑ²∫ｄ⁴ｘexp(iｑｘ)/(4πｒ)です。

　そして,∇²{1/(4πｒ)}＝－δ³(ｘ)であるからです。※

　そこで,原子番号がＺの水素様原子のエネルギー準位の最低次

の輻射補正は,α_Rを元の記号αに戻せば

　ΔＥ_nl＝－Ｚｅ_R²α/(15πε₀ｍ²)|ψ_nl(0)|²

　＝－{4πε₀Ｚα²/(15πε₀ｍ²)}(1/π)(ｍＺα/ｎ)³δ_l0

　＝－(Ｚ²α²ｍ/2){8Ｚ²α³/(15πｎ³)}δ_l0

　で与えられます。　

※(注4): Ｖ(ｒ)＝Ｚｅ_R²/(4πε₀ｒ) →　－Ｚｅ_R²/(ε₀|ｑ|)

－Ｚｅ_R²α/(15πε₀ｍ²)δ³(ｘ)であり.

　＜ψ_nlδ³(ｘ)ψ_nl＞＝∫ｄ³ｘψ_nl^*(ｘ)δ³(ｘ)ψ_nl(ｘ)＝|ψ_nl(0)|²,

　ｅ_R²α＝α/(4πε₀),です。

　そして,水素原子の波動関数に対する通常の量子力学から

　ｌ＝0 では|ψ_nl(0)|²＝(1/π)(ｍＺα/ｎ)³であり,

　ｌ≠0 ならψ_nl(0)＝0 なることが既知です。(注4終わり)※

　特に,Ｚ＝1(水素原子),ｎ＝2,ｌ＝0 に対しては,光スペクトル

　の振動数変化として,

　ν＝ΔＥ₂₀/ｈ_c＝－27(ｍｃ/s)＝－27(megacycles per second)

　です。(ｈ_c≡ｈ/(2π)ｈはPlanck定数)

(※ΔＥ₂₀＝－1.8×10^-26ＪよりΔＥ₂₀/ｈ_c＝－27.3ＭＨMHzです。※)

　低運動量遷移ｑ²＜＜ｍ²の電子散乱に対しては相互作用は全電荷

に比例します。小さい衝突径数の大きい運動量遷移:ｑ²＝-|ｑ|²の

散乱に対しては,電子が分極雲の中を貫通するので相互作用の強さ

はより増加します。

(※(入射運動量)×(衝突径数)＝角運動量＝一定ではｐ_iｂ＝ｐ_fｂ_f

　＝{ｈ_cｌ(ｌ＋1)}^1/2＝一定で,ｂが小さいならｐ_i＝|ｐ_i|が大きい

　ので=|ｑ|=|ｐ_f－ｐ_i|も大きいわけです。※)

　この結果によるCoulombの法則の修正はUehlingによって1935年

　に初めて計算されました。これが水素原子内で分離する

　2Ｓ_1/2－2Ｐ_1/2のLamb shift(ラムシフト)の最初の測定の目標

　でした。

　1947年には－27(ｍｃ/s)のほかに～1000(ｍｃ/s)までのシフト

　が発見されました。

　最近(Bjorken-Drellがテキストを執筆した当時＝1960～1970)の

大変精密な測定値と精密な計算値は水素原子のｎ＝2のLamb-shift

について0.2ｍｃ/s以内で一致しており,真空偏極のために

－27(ｍｃ/s)のシフトが存在するという仮説の妥当性が高精度で

確認されています。

　これは閉ループの寄与を生起させたDirac方程式の空孔理論

　と電子と光子の相互作用に用いた単純な点結合の双方に支持

　を与える１つの印象的な証拠であると考えられます。

※なお,Lamb shift(ラム・シフト)については後に一節を設けて

(§8.7で)詳述する予定です。※

　本節では,まだ大きいｑ²(短距離特性の相互作用)に対する計算

の妥当性を検証する実験に基づいて理論への幾らかの修正を施す

必要性を提示するという作業が残っていますが,今日はここまで

にします。

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell "elativistic Quantum Mechanics"(McGraw-Hill)